資源簡介

第03講 6.2.2向量的減法運算
課程標準 學習目標
①借助實例和平面向量的幾何表示，理解相反向量的含義、向量減法的意義及減法法則。 ②掌握向量減法的幾何意義。 ③能熟練地進行向量的加、減綜合運算。 1.通過閱讀課本在向量加法的基礎上，理解向量減法與數量減法的異同，并學會有加法理解減法的運算與意義，提升數學運算能力； 2.熟練運用掌握向量加法的三角形法則和平行四邊形法則，并能熟練地運用這兩個法則在減法運算的題目中靈活的作兩個向量的加法與減法兩種運算； 3.在認真學習的基礎上，深刻掌握兩個或者多個相連接加法，減法的交換律和結合律，并能作圖解釋向量加法與減法的運算律的合理性，把運算律的應用范圍進行拓廣；
知識點01：向量的減法
（1）相反向量
與向量長度相等,方向相反的向量,叫做的相反向量，記作.
①零向量的相反向量仍是零向量
②任意向量與其相反向量的和是零向量，即:
③若,互為相反向量,則，，.
（2）向量減法定義
向量加上的相反向量，叫做與的差，即.
求兩個向量差的運算叫做向量的減法.
向量減法的實質是向量加法的逆運算.利用相反向量的定義,可以把向量的減法轉化為向量的加法進行運算.
（3）向量減法的幾何意義
已知向量,,在平面內任取一點,作,,則向量.如圖所示
如果把兩個向量,的起點放在一起,則可以表示為從向量的終點指向向量的終點的向量.
【即學即練1】（2023·全國·高一隨堂練習）如圖，已知向量，，不共線，求作向量．

【答案】答案見解析
【詳解】如圖，作，則即為，
再作，則向量即為．

知識點02：向量三角不等式
①已知非零向量，，則（當與反向共線時左邊等號成立；當與同向共線時右邊等號成立）；
②已知非零向量，，則（當與同向共線時左邊等號成立；當與反向共線時右邊等號成立）；
記憶方式：（“符異”反向共線等號成立；“符同”同向共線等號成立）如中，中間連接號一負一正“符異”，故反向共線時等號成立；右如：中中間鏈接號都是正號“符同”，故同向共線時等號成立；
【即學即練2】（2023·全國·高三專題練習）下列命題中，正確的是（　　）
A．若，，則
B．若則或
C．對于任意向量，有
D．對于任意向量，有
【答案】D
【詳解】對于A，當時，滿足，，但不一定平行，故A錯誤；
對于B，當，時，滿足，但，不成立，故B錯誤；
對于C，若非零向量方向相反，則，故C錯誤；
對于D，當中有零向量時，；
當為非零向量時，若共線且方向相同時，則，
當為非零向量時，若共線且方向相反時，則，
當為非零向量時，且不共線時，如圖所示，，
綜上，，故D正確．
故選：D．

題型01 向量減法及其幾何意義
【典例1】（2022·高一課前預習）如圖所示，四邊形是平行四邊形，是該平行四邊形外一點，且，，，試用向量、、表示向量與.
【答案】，
【詳解】解：由平面向量的減法可得，.
【典例2】（2023下·四川自貢·高一統考期末）已知非零向量滿足，則與的夾角為 ．
【答案】/
【詳解】如圖，設，
因為，即，可知為等邊三角形，
所以與的夾角為.
故答案為：.
【變式1】（2022·高一課時練習）已知向量，，如圖所示.
（1）求作向量；
（2）求作向量.
【答案】作圖見解析
【詳解】解：如圖所示.
（1） （2）
【變式2】（2023下·河南駐馬店·高一校聯考期中）在中，，則是（ ）
A．等邊三角形 B．直角三角形 C．鈍角三角形 D．等腰直角三角形
【答案】D
【詳解】因為，，，，
所以，
所以是等邊三角形．
故選：A．
題型02 利用向量加減法運算化簡表達式
【典例1】（2023·全國·高一假期作業）化簡
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【詳解】（1）
（2）
【典例2】（2023·高一課前預習）化簡下列各式：
(1)(＋)＋()；
(2)；
(3)；
(4)；
(5)
【答案】(1)(2)(3)(4)(5)
【詳解】（1）法一：原式；
法二：原式；
（2）法一：原式
法二：原式
（3）方法一：；
方法二：；
（4）
（5）
【典例3】（2022·高一課時練習）化簡下列各式：
(1)；
(2).
【答案】(1)
(2)
【詳解】（1）
；
（2）
【變式1】（2023·全國·高一專題練習）化簡下列各式：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【詳解】（1）.
（2）
【變式2】（2022·高一課前預習）化簡：
(1)；
(2).
【答案】(1)
(2)
【詳解】（1）解：；
（2）解：.
【變式3】（2022·高一課前預習）化簡下列式子：
(1)；
(2)；
【答案】(1)
(2)
【詳解】（1）原式
（2）原式
題型03 向量的模
【典例1】（2021·高一課時練習）已知四邊形是邊長為的正方形，求：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【詳解】（1）如圖：
（2）
【典例2】（2023·高一課時練習）已知向量，滿足，，則的最大值為 ．
【答案】7
【詳解】因為，當且僅當，反向時，等號成立，
所以的最大值為7.
故答案為：7.
【變式1】（2022·高一課時練習）已知菱形ABCD的邊長為1.且，求的值.
【答案】
【詳解】因為
所以
【變式2】（2022·高一課時練習）證明：當向量不共線時，.
【答案】證明見解析
【詳解】證明：因為向量不共線，如圖，在OAB中，
由三角形兩邊之和大于第三邊得：，
由三角形兩邊之差小于第三邊得：，
所以.
題型04 利用已知向量表示其它向量
【典例1】（2022·高一課時練習）如圖所示，已知，，，，，，試用表示下列各式：
(1)；
(2)；
(3)．
【答案】(1)
(2)
(3)
【詳解】（1）
（2）
（3）
【典例2】（2022·高一課時練習）如圖，在五邊形ABCDE中，四邊形ACDE是平行四邊形，且，，，試用，，表示向量，，，及．
【答案】；；；；
【詳解】解：由四邊形ACDE是平行四邊形，且，，，
可得，
，
，
，
.
【變式1】（2021·高一課時練習）如圖所示，，，.
(1)用表示；
(2)用表示.
【答案】(1)；
(2).
【詳解】（1）.
（2）.
【變式2】（2019·全國·高三專題練習）已知點是平行四邊形內一點，且＝，＝，＝，試用表示向量、、、及．
【答案】答案見解析.
【詳解】∵四邊形為平行四邊形．
∴＝＝；
＝－＝；
＝－＝ ；
＝－＝ ；
＝＋＝ ．
題型05 向量加減法運算的實際應用
【典例1】（2021下·高一課時練習）某人順風勻速行走速度大小為，方向與風向相同，此時風速大小為，則此人實際感到的風速為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【詳解】由題意，某人順風勻速行走速度大小為，方向與風向相同，此時風速大小為，
根據向量的運算法則，可得此人實際感到的風速為.
故選：A.
【典例2】（2023·高一課時練習）在“向北走”，“向西走”，則 ，與的夾角的余弦值為 ．
【答案】 25 /
【詳解】如圖，在矩形中，設，則，
空1：；
空2：因為，則與的夾角即為，
所以.
故答案為：25；.

【變式1】（2023·全國·高一專題練習）在中，若，則的形狀為（ ）
A．等邊三角形 B．等腰三角形
C．直角三角形 D．等腰直角三角形
【答案】D
【詳解】因為，，
所以，
所以為等邊三角形．
故選：A
A夯實基礎 B能力提升
A夯實基礎
一、單選題
1．（2023上·北京順義·高三楊鎮第一中學校考階段練習）化簡等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根據向量加減運算法則計算出結果.
【詳解】.
故選：A
2．（2023·全國·高三專題練習）已知下列各式：①；②；③.其中結果為零向量的個數為（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【分析】根據平面向量的加法、減法運算法則，逐一計算即可求得結果.
【詳解】①中；
②中；
③；
即①③結果為零向量，
故選：C.
3．（2019下·北京東城·高一統考期末）如圖，向量，，，則向量（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根據向量的加減法求解即可.
【詳解】依題意，得，
故選：C．
4．（2023下·云南西雙版納·高一校考期中）在四邊形中，若，且，則（ ）
A．在四邊形是矩形
B．在四邊形是菱形
C．在四邊形是正方形
D．在四邊形是平行四邊形
【答案】D
【分析】由平面向量加法的平行四邊形法則可判斷為平行四邊形，再由向量加法、減法運算和模的含義可得對角線相等，然后可判斷四邊形形狀.
【詳解】因為，所以四邊形為平行四邊形，
又，所以，即對角線相等，所以四邊形為矩形.
故選：A
5．（2023·高一課時練習）若，，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由向量模長的三角不等式可求得的取值范圍．
【詳解】由向量模長的三角不等式可得，當且僅當、的方向相同時，等號成立；
，當且僅當、的方向相反時，等號成立，
因此，的取值范圍是，
故選：A．
6．（2023下·黑龍江哈爾濱·高一哈爾濱市第六中學校校考階段練習）在中，若，則的形狀為（ ）
A．鈍角三角形 B．直角三角形
C．等腰直角三角形 D．等邊三角形
【答案】D
【分析】根據向量的減法法則可得，由三邊相等關系即可得出結果.
【詳解】解：因為，，
所以，
所以為等邊三角形．
故選：D
7．（2022下·廣東廣州·高一華南師大附中校考期中）下列向量運算結果錯誤的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根據向量加減法的線性運算，直接判斷選項即可.
【詳解】對于A，，A錯誤；
對于B，，B正確；
對于C，，C正確；
對于D，，D正確；
故選：A
8．（2022·高一課時練習）若，，則的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】利用向量模的三角不等式可求得的取值范圍.
【詳解】因為，所以，，即.
故選：C.
二、多選題
9．（2023下·內蒙古包頭·高一統考期末）已知，，，四點不共線，下列等式能判斷為平行四邊形的是（ ）
A． B．（為平面內任意一點）
C． D．（為平面內任意一點）
【答案】DBC
【分析】根據平面向量線性運算法則及相等向量的定義判斷即可.
【詳解】因為，，，四點不共線，
對于A：，所以且，所以為平行四邊形，故A正確；
對于B：因為，所以，所以且，
所以為平行四邊形，故B正確；
對于C：因為，即，
所以，所以且，
所以為平行四邊形，故C正確；
對于D：因為，所以，
所以，所以四邊形為平行四邊形，故D錯誤；
故選：ABC
10．（2022·湖南·模擬預測）給出下面四個結論，其中正確的結論是（ ）
A．若線段，則向量
B．若向量，則線段
C．若向量與共線，則線段
D．若向量與反向共線，則
【答案】DD
【分析】A選項，根據得到點B在線段上，進行判斷A正確；BC選項，可舉出反例；D選項，根據向量線性運算推導出答案.
【詳解】選項A：由得點B在線段上，則，A正確：
選項B；三角形，，但，B錯誤；
對于C：，反向共線時，，故，C錯誤；
選項D：,反向共線時，，故D正確．
故選：AD．
三、填空題
11．（2023上·廣東東莞·高二校考階段練習）簡化 ．
【答案】
【分析】根據向量加減法法則運算即可.
【詳解】，
故答案為：
12．（2023下·高一單元測試）任給兩個向量和，則下列式子恒成立的有 ．
① ②
③ ④
【答案】②③
【分析】根據向量加法的平行四邊形法則可判斷①；根據向量減法的三角形法則可判斷②③④.
【詳解】①根據向量加法的平行四邊形法則，得，則①不恒成立；
②根據向量減法的三角形法則，得，則②恒成立；
③根據向量減法的三角形法則，得，則③恒成立；
④根據向量減法的三角形法則，得，則④不恒成立.
故答案為：②③.
四、解答題
13．（2023·全國·高一隨堂練習）如圖，已知向量、，求作．
(1) (2)
(3) (4)
【答案】【分析】（1）（2）（3）（4）根據平面向量的減法法則可作出向量.
【詳解】（1）解：作，，則，即即為所求作的向量.

（2）解：作，，則，即即為所求作的向量.

（3）解：作，，則，即即為所求作的向量.
（2）要使，由（1）所得圖知：平行四邊形的兩條對角線相等，
所以，當平行四邊形為矩形時成立，故，相互垂直.
B能力提升
1．（2022下·河南南陽·高一統考階段練習）八卦是中國古老文化的深奧概念，其深邃的哲理解釋了自然、社會現象．如圖1所示的是八卦模型圖，其平面圖形記為圖2中的正八邊形ABCDEFGH，其中O為正八邊形的中心，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用相等向量和向量的減法直接求解.
【詳解】．
故選：B
2．（2023下·高一課時練習）一輛汽車從A點出發向西行駛100千米到達B點，然后向北偏西方向走200千米到達C點，最后向東行駛100千米到達D點.
(1)作出位移，，；
(2)求.
【答案】(1)作圖見解析
(2)200千米
【分析】（1）在平面直角坐標系中，作出位移，即可得出；
（2）根據已知可得出四邊形ABCD為平行四邊形，結合圖象，即可得出答案.
【詳解】（1）作出，，，如圖所示.

（2）由題意，知與方向相反，且長度相等，所以四邊形ABCD為平行四邊形，
所以千米.
21世紀教育網(www.21cnjy.com)
21世紀教育網(www.21cnjy.com)
21世紀教育網(www.21cnjy.com)第03講 6.2.2向量的減法運算
課程標準 學習目標
①借助實例和平面向量的幾何表示，理解相反向量的含義、向量減法的意義及減法法則。 ②掌握向量減法的幾何意義。 ③能熟練地進行向量的加、減綜合運算。 1.通過閱讀課本在向量加法的基礎上，理解向量減法與數量減法的異同，并學會有加法理解減法的運算與意義，提升數學運算能力； 2.熟練運用掌握向量加法的三角形法則和平行四邊形法則，并能熟練地運用這兩個法則在減法運算的題目中靈活的作兩個向量的加法與減法兩種運算； 3.在認真學習的基礎上，深刻掌握兩個或者多個相連接加法，減法的交換律和結合律，并能作圖解釋向量加法與減法的運算律的合理性，把運算律的應用范圍進行拓廣；
知識點01：向量的減法
（1）相反向量
與向量長度相等,方向相反的向量,叫做的相反向量，記作.
①零向量的相反向量仍是零向量
②任意向量與其相反向量的和是零向量，即:
③若,互為相反向量,則，，.
（2）向量減法定義
向量加上的相反向量，叫做與的差，即.
求兩個向量差的運算叫做向量的減法.
向量減法的實質是向量加法的逆運算.利用相反向量的定義,可以把向量的減法轉化為向量的加法進行運算.
（3）向量減法的幾何意義
已知向量,,在平面內任取一點,作,,則向量.如圖所示
如果把兩個向量,的起點放在一起,則可以表示為從向量的終點指向向量的終點的向量.
【即學即練1】（2023·全國·高一隨堂練習）如圖，已知向量，，不共線，求作向量．

【答案】答案見解析
【詳解】如圖，作，則即為，
再作，則向量即為．

知識點02：向量三角不等式
①已知非零向量，，則（當與反向共線時左邊等號成立；當與同向共線時右邊等號成立）；
②已知非零向量，，則（當與同向共線時左邊等號成立；當與反向共線時右邊等號成立）；
記憶方式：（“符異”反向共線等號成立；“符同”同向共線等號成立）如中，中間連接號一負一正“符異”，故反向共線時等號成立；右如：中中間鏈接號都是正號“符同”，故同向共線時等號成立；
【即學即練2】（2023·全國·高三專題練習）下列命題中，正確的是（　　）
A．若，，則
B．若則或
C．對于任意向量，有
D．對于任意向量，有
題型01 向量減法及其幾何意義
【典例1】（2022·高一課前預習）如圖所示，四邊形是平行四邊形，是該平行四邊形外一點，且，，，試用向量、、表示向量與.
【典例2】（2023下·四川自貢·高一統考期末）已知非零向量滿足，則與的夾角為 ．
【變式1】（2022·高一課時練習）已知向量，，如圖所示.
（1）求作向量；
（2）求作向量.
【變式2】（2023下·河南駐馬店·高一校聯考期中）在中，，則是（ ）
A．等邊三角形 B．直角三角形 C．鈍角三角形 D．等腰直角三角形
題型02 利用向量加減法運算化簡表達式
【典例1】（2023·全國·高一假期作業）化簡
(1)；
(2)．
【典例2】（2023·高一課前預習）化簡下列各式：
(1)(＋)＋()；
(2)；
(3)；
(4)；
(5)
【典例3】（2022·高一課時練習）化簡下列各式：
(1)；
(2).
【變式1】（2023·全國·高一專題練習）化簡下列各式：
(1)；
(2)．
【變式2】（2022·高一課前預習）化簡：
(1)；
(2).
【變式3】（2022·高一課前預習）化簡下列式子：
(1)；
(2)；
題型03 向量的模
【典例1】（2021·高一課時練習）已知四邊形是邊長為的正方形，求：
(1)；
(2)．
【典例2】（2023·高一課時練習）已知向量，滿足，，則的最大值為 ．
【變式1】（2022·高一課時練習）已知菱形ABCD的邊長為1.且，求的值.
【變式2】（2022·高一課時練習）證明：當向量不共線時，.
題型04 利用已知向量表示其它向量
【典例1】（2022·高一課時練習）如圖所示，已知，，，，，，試用表示下列各式：
(1)；
(2)；
(3)．
【典例2】（2022·高一課時練習）如圖，在五邊形ABCDE中，四邊形ACDE是平行四邊形，且，，，試用，，表示向量，，，及．
【變式1】（2021·高一課時練習）如圖所示，，，.
(1)用表示；
(2)用表示.
【變式2】（2019·全國·高三專題練習）已知點是平行四邊形內一點，且＝，＝，＝，試用表示向量、、、及．
題型05 向量加減法運算的實際應用
【典例1】（2021下·高一課時練習）某人順風勻速行走速度大小為，方向與風向相同，此時風速大小為，則此人實際感到的風速為（ ）
A． B．
C． D．
【典例2】（2023·高一課時練習）在“向北走”，“向西走”，則 ，與的夾角的余弦值為 ．
【變式1】（2023·全國·高一專題練習）在中，若，則的形狀為（ ）
A．等邊三角形 B．等腰三角形
C．直角三角形 D．等腰直角三角形
A夯實基礎 B能力提升
A夯實基礎
一、單選題
1．（2023上·北京順義·高三楊鎮第一中學校考階段練習）化簡等于（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·全國·高三專題練習）已知下列各式：①；②；③.其中結果為零向量的個數為（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
3．（2019下·北京東城·高一統考期末）如圖，向量，，，則向量（ ）

A． B． C． D．
4．（2023下·云南西雙版納·高一校考期中）在四邊形中，若，且，則（ ）
A．在四邊形是矩形
B．在四邊形是菱形
C．在四邊形是正方形
11．（2023上·廣東東莞·高二校考階段練習）簡化 ．
12．（2023下·高一單元測試）任給兩個向量和，則下列式子恒成立的有 ．
① ②
③ ④
四、解答題
13．（2023·全國·高一隨堂練習）如圖，已知向量、，求作．
(1) (2)
(3) (4)
14．（2023·高一課時練習）已知，，，求的值．

15．（2020·高一課時練習）如圖，已知，為兩個非零向量．
(1)求作向量及；
(2)向量，成什么位置關系時，？（不要求證明）
B能力提升
1．（2022下·河南南陽·高一統考階段練習）八卦是中國古老文化的深奧概念，其深邃的哲理解釋了自然、社會現象．如圖1所示的是八卦模型圖，其平面圖形記為圖2中的正八邊形ABCDEFGH，其中O為正八邊形的中心，則（ ）
A． B． C． D．
2．（2023下·高一課時練習）一輛汽車從A點出發向西行駛100千米到達B點，然后向北偏西方向走200千米到達C點，最后向東行駛100千米到達D點.
(1)作出位移，，；
(2)求.
21世紀教育網(www.21cnjy.com)
21世紀教育網(www.21cnjy.com)
21世紀教育網(www.21cnjy.com)

展開更多......

收起↑