資源簡介

第04講 6.2.3向量的數乘運算
課程標準 學習目標
①了解向量數乘的概念。 ②理解并掌握向量數乘的運算律，會運用向量數乘的運算律進行向量運算。 ③理解并掌握向量共線定理及其判定方法。 ④能用坐標表示平面向量的數量積，會表示兩個平面向量的夾角。 ⑤能用坐標表示平面向量共線、垂直的條件。 1在熟悉課本知識的基礎上，了解并充分掌握向量數乘的概念； 2.在掌握向量加減與數乘定義的基礎上，理解并掌握向量數乘的運算律，會運用向量數乘的運算律進行向量運算； 3.準確理解并掌握向量共線定理及其判定方法；
知識點01：向量的數乘
（1）向量數乘的定義
一般地,我們規定實數與向量的積是一個向量,這種運算叫做向量的數乘,記作.它的長度與方向規定如下：
①
②當時，的方向與的方向相同；當時，的方向與的方向相反；當時，.
【即學即練1】（2023·全國·高一隨堂練習）任作一向量，再作向量，.
【答案】答案見解析
【詳解】由知，與同向，模長為模長的2倍，由此作出；
由知，與方向相反，模長為模長的，由此作出；

（2）向量數乘的幾何意義
對于：①從代數角度看，是實數，是向量，它們的積仍然是向量．的條件是或．②從幾何的角度看，對于長度來說，當時，意味著表示向量的有向線段在原方向或相反方向上伸長了倍；當時，意味著表示向量的有向線段在原方向或反方向上縮短了倍．
實數與向量可以求積，但不能進行加減運算，如，都無意義．
（3）向量數乘的運算律
實數與向量的積滿足下面的運算律：設、是實數，、是向量，則：
①結合律：
②第一分配律：
③第二分配律：
知識點02：向量的線性運算
向量的加、減、數乘運算統稱為向量的線性運算.向量線性運算的結果仍是向量.
對于任意向量,,以及任意實數,,,恒有.
知識點03：向量共線定理
（1）內容：向量與非零向量共線，則存在唯一一個實數，.
（2）向量共線定理的注意問題：
①定理的運用過程中要特別注意．
特別地，若，實數仍存在，但不唯一．
②定理的實質是向量相等，應從大小和方向兩個方面理解，借助于實數溝通了兩個向量與的關系．
③定理為解決三點共線和兩直線平行問題提供了一種方法．要證三點共線或兩直線平行，任取兩點確定兩個向量，看能否找到唯一的實數使向量相等即可．
【即學即練2】（2023·全國·高一課堂例題）設，是平面內的一組基底，，，，求證：A，B，D三點共線．
【答案】證明見解析
【詳解】證明：因為
，
所以與共線．
又因為與有公共的起點A，所以A，B，D三點共線．
題型01 幾何圖形中用已知向量表示未知向量
【典例1】（2023上·湖北黃石·高二陽新縣第一中學校聯考期中）如圖，在四邊形ABCD中，，設，，則等于（ ）
A． B．
C． D．
【典例2】（2023下·福建福州·高一福建省連江第一中學校考期中）如圖，在中，，則（ ）
A． B． C． D．
【典例3】（2022下·湖南長沙·高一湖南師大附中校考期末）中，，則（ ）
A． B．
C． D．
【變式1】（2023下·上海嘉定·高一校考期末）已知是的邊上的中線，若，則 .（用表示）
【變式2】（2023下·新疆阿克蘇·高一校考階段練習）在中，點為邊的中點，記，則（ ）
A． B． C． D．
【變式3】（2023下·四川攀枝花·高一統考期末）在中，為上一點，且，則（ ）
A． B．
C． D．
題型02 平面向量的混合運算
【典例1】（2023·高一課前預習）計算：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【典例2】（2023下·重慶綦江·高一校考期中）化簡為（ ）
A． B．
C． D．
【變式1】（2023·全國·高一課堂例題）計算：
(1)；
(2)．
【變式2】（2023下·高一課時練習）計算：
(1)；
(2)．
題型03 向量共線的判定
【典例1】（2022·河南·校聯考三模）已知、、均為非零向量，且，，則（ ）
A．與垂直 B．與同向 C．與反向 D．與反向
【典例2】（2023·高一課時練習）設，是兩個不共線的向量，關于向量，有①，；②，；③；，④；．其中，共線的有 ．（填序號）
【典例3】（2023·全國·高一隨堂練習）設，為不共線的非零向量，判斷下列各題中的，向量是否共線．
(1)，；
(2)，；
(3)，．
【變式1】（2023·全國·高一專題練習）對于非零向量， “”是“”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件
【變式2】（2023·高一課時練習）已知、是兩非零向量，且與共線，若非零向量與共線，則與必定 ．
【變式3】（2023·全國·高一隨堂練習）判斷下列各小題中的向量，是否共線：
(1)，；
(2)，（其中兩個非零向量和不共線）；
(3)，.
題型04 利用向量共線證明線線平行
【典例1】（2023下·廣東汕頭·高一校考期中）在四邊形中，，，，則四邊形的形狀是（ ）
A．梯形 B．菱形
C．平行四邊形 D．矩形
【典例2】（2022·高一課時練習）如圖，設分別是梯形的對角線的中點.
(1)試用向量的方法證明：；
【變式1】（2023·高一課時練習）四邊形ABCD中，，，，試判斷四邊形ABCD的形狀（其中，為不平行的非零向量）．
【變式2】（2023·高一課時練習）設D、E、F分別是的三邊BC、CA、AB上的點，且，，，則（ ）
A．與反向平行 B．與同向平行
C．與反向平行 D．與不共線
題型05 已知向量共線（平行）求參數
【典例1】（2023下·山西運城·高一統考期中）已知向量，不共線，且向量與方向相同，則實數的值為（ ）
A．1 B． C．1或 D．1或
【典例2】（2023上·江西·高一統考期中）已知，為平面內向量的一組基底，，，若，則 .
【典例3】（2023下·山西朔州·高一校考階段練習）已知兩個非零向量不共線，且與共線，求實數k的值．
【變式1】（2023上·山東泰安·高三統考階段練習）已知向量是平面內的一組基底，若向量與共線，則的值為（ ）
A． B． C． D．
【變式2】（2023·全國·高三專題練習）已知，是兩個不共線的平面向量，向量，，若，則有（ ）
A． B． C． D．
【變式3】（2023·全國·高三專題練習）已知向量、不共線，且向量與平行，則實數 .
題型06 三點共線問題
【典例1】（2023下·貴州遵義·高一校考階段練習）已知不共線的向量，且，，，則一定共線的三點是（ ）
A．A，B，D B．A，B，C
C．B，C，D D．A，C，D
【典例2】（2023下·安徽合肥·高一統考期中）設是不共線的兩個向量，.若三點共線，則k的值為 .
【典例3】（2023上·江西·高二校聯考開學考試）已知是平面內不共線的單位向量，是該平面內的點，且，，.
(1)若，求；
(2)若三點共線，求實數的值.
【變式1】（2023下·上海浦東新·高一校考期中）設，是兩個不共線向量，，，，若A，B，D三點共線，則實數p的值為 ．
【變式2】（2023·全國·高一隨堂練習）如圖，在中，點M為AB的中點，點N在BD上，.

求證：M，N，C三點共線.
【變式3】（2023下·山東泰安·高一校考階段練習）如圖，在中，.設.

(1)用表示；
(2)若為內部一點，且.求證：三點共線，并指明點的具體位置.
題型07 利用向量共線定理求參數
【典例1】（2023上·北京順義·高三牛欄山一中校考期中）在中，，是直線上的一點，若則實數的值為（ ）
A． B． C． D．
【典例2】（2023·四川綿陽·四川省綿陽南山中學校考一模）如圖，在中，，P為CD上一點，且滿足，則m的值為 ．
【典例3】（2023下·四川綿陽·高一三臺中學校考階段練習）已知向量，不共線，且，，.
(1)將用，表示；
(2)若，求的值；
【變式1】（2023下·江蘇南通·高一校考期中）已知是兩個不共線的向量，向量．若，則（ ）
A． B． C．2 D．
【變式2】（2023上·四川南充·高三四川省南部中學校考階段練習）在平行四邊形 中， 點E滿足且， 則實數 ．
【變式3】（2023下·山東日照·高一校考階段練習）已知不共線，向量，，且，則的值為 .
題型08 平面向量共線定理的推論
【典例1】（2023下·河南省直轄縣級單位·高一河南省濟源第一中學校考階段練習）如圖，在中，，P是線段BD上一點，若，則實數m的值為（ ）

A． B． C． D．
【典例2】（2023下·山東泰安·高一泰安一中校考期中）如圖所示，在中，點是的中點，過點的直線分別交直線于不同的兩點，若，則的值為（ ）

A．2 B．3 C． D．5
【典例3】（2023·全國·高三專題練習）經過的重心G的直線與OA，OB分別交于點P，Q，設，.
(1)證明：為定值；
(2)求m＋n的最小值.
【變式1】（2023上·江西吉安·高三吉安一中校考期中）中，為上一點且滿足，若為上一點，且滿足，為正實數，則下列結論正確的是（ ）
A．的最小值為 B．的最大值為1
C．的最大值為16 D．的最小值為4
【變式2】（2023上·河南焦作·高三統考開學考試）在中，，E是線段AD上的動點，設，則 ．
【變式3】（2023下·陜西西安·高一西安市鐵一中學校考期中）如圖，已知點是的重心，若過的重心，且，，，（，），試求的最小值．
A夯實基礎 B能力提升 C綜合素養
A夯實基礎
一、單選題
1．（2023·云南大理·統考一模）在中，，則（ ）
A． B． C． D．
2．（2023上·北京海淀·高二校考階段練習）已知向量，那么等于（ ）
A． B． C． D．
3．（2023·全國·高三專題練習）設是非零向量，λ是非零實數，下列結論中正確的是（ ）
A．與的方向相反 B．與的方向相同
C． D．
4．（2023下·安徽馬鞍山·高一馬鞍山市紅星中學校考階段練習）在△OAB中，P為線段AB上的一點，，且，則（ ）
A． B．
C． D．
5．（2023下·江蘇鎮江·高一揚中市第二高級中學校考期中）設是平面內的一組基底，，則（ ）
A．三點共線 B．三點共線
C．三點共線 D．三點共線
6．（2023下·陜西榆林·高二校聯考期中）已知是平面內不共線的兩個向量，且，，若，則實數（ ）
A． B． C．6 D．
7．（2022下·河南安陽·高一安陽縣第一高級中學校考階段練習）已知向量，不共線，若向量與向量共線，則的值為（ ）
A． B．0或 C．0或1 D．0或3
8．（2022下·安徽宣城·高二安徽省宣城中學統考期末）如圖，在中，點是線段上一點，若，則實數的值為（ ）
A． B． C． D．
二、多選題
9．（2023下·黑龍江齊齊哈爾·高一齊齊哈爾中學校考期中）如圖在中，AD BE CF分別是邊BC CA
(1)；
(2)；
(3)．
B能力提升
1．（2023上·天津南開·高三南開中學校考階段練習）是由3個全等的三角形與中間一個小等邊三角形拼成的一個較大的等邊三角形，若，，且，則（ ）.
A． B． C． D．
2．（2023上·安徽安慶·高三安徽省懷寧縣新安中學校考階段練習）已知是三角形所在平面內一定點，動點滿足，則點軌跡一定通過三角形的（ ）
A．內心 B．外心 C．垂心 D．重心
3．（2023下·四川眉山·高一校考階段練習）已知點G是的重心，過點G作直線分別與兩邊相交于點M，N兩點（點M，N與點B，C不重合），設，，則的最小值為 ．
4．（2023·全國·高一隨堂練習）已知非零向量，，，，畫圖并說明是的平分線．
C綜合素養
1．（2023下·云南保山·高一統考期中）我國著名數學家華羅庚曾說過：“數缺形時少直觀，形少數時難入微，數形結合百般好，隔離分家萬事休”. 數學中，數和形是兩個最主要的研究對象，它們之間有著十分密切的聯系，在一定條件下，數和形之間可以相互轉化，相互滲透. 而向量正是數與形“溝通的橋梁”. 如圖，在中，，若為中點，與交于點，且， .

2．（2023上·遼寧·高三統考期中）如圖，在中，是邊上的中線．
(1)取的中點，試用和表示；
(2)若G是上一點，且，直線過點G，交交于點E，交于點F．若，，求的最小值．
3．（2023上·陜西寶雞·高三校聯考階段練習）如圖，在中，點滿足，是線段的中點，過點的直線與邊分別交于點.

(1)若，求的值；
(2)若，求的最小值.
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21世紀教育網(www.21cnjy.com)第04講 6.2.3向量的數乘運算
課程標準 學習目標
①了解向量數乘的概念。 ②理解并掌握向量數乘的運算律，會運用向量數乘的運算律進行向量運算。 ③理解并掌握向量共線定理及其判定方法。 ④能用坐標表示平面向量的數量積，會表示兩個平面向量的夾角。 ⑤能用坐標表示平面向量共線、垂直的條件。 1在熟悉課本知識的基礎上，了解并充分掌握向量數乘的概念； 2.在掌握向量加減與數乘定義的基礎上，理解并掌握向量數乘的運算律，會運用向量數乘的運算律進行向量運算； 3.準確理解并掌握向量共線定理及其判定方法；
知識點01：向量的數乘
（1）向量數乘的定義
一般地,我們規定實數與向量的積是一個向量,這種運算叫做向量的數乘,記作.它的長度與方向規定如下：
①
②當時，的方向與的方向相同；當時，的方向與的方向相反；當時，.
【即學即練1】（2023·全國·高一隨堂練習）任作一向量，再作向量，.
【答案】答案見解析
【詳解】由知，與同向，模長為模長的2倍，由此作出；
由知，與方向相反，模長為模長的，由此作出；

（2）向量數乘的幾何意義
對于：①從代數角度看，是實數，是向量，它們的積仍然是向量．的條件是或．②從幾何的角度看，對于長度來說，當時，意味著表示向量的有向線段在原方向或相反方向上伸長了倍；當時，意味著表示向量的有向線段在原方向或反方向上縮短了倍．
實數與向量可以求積，但不能進行加減運算，如，都無意義．
（3）向量數乘的運算律
實數與向量的積滿足下面的運算律：設、是實數，、是向量，則：
①結合律：
②第一分配律：
③第二分配律：
知識點02：向量的線性運算
向量的加、減、數乘運算統稱為向量的線性運算.向量線性運算的結果仍是向量.
對于任意向量,,以及任意實數,,,恒有.
知識點03：向量共線定理
（1）內容：向量與非零向量共線，則存在唯一一個實數，.
（2）向量共線定理的注意問題：
①定理的運用過程中要特別注意．
特別地，若，實數仍存在，但不唯一．
②定理的實質是向量相等，應從大小和方向兩個方面理解，借助于實數溝通了兩個向量與的關系．
③定理為解決三點共線和兩直線平行問題提供了一種方法．要證三點共線或兩直線平行，任取兩點確定兩個向量，看能否找到唯一的實數使向量相等即可．
【即學即練2】（2023·全國·高一課堂例題）設，是平面內的一組基底，，，，求證：A，B，D三點共線．
【答案】證明見解析
【詳解】證明：因為
，
所以與共線．
又因為與有公共的起點A，所以A，B，D三點共線．
題型01 幾何圖形中用已知向量表示未知向量
【典例1】（2023上·湖北黃石·高二陽新縣第一中學校聯考期中）如圖，在四邊形ABCD中，，設，，則等于（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【詳解】因為，
所以
.
故選：C
【典例2】（2023下·福建福州·高一福建省連江第一中學校考期中）如圖，在中，，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【詳解】在中，，
∴.
故選：A．
【典例3】（2022下·湖南長沙·高一湖南師大附中校考期末）中，，則（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【詳解】,
故選：A

【變式1】（2023下·上海嘉定·高一校考期末）已知是的邊上的中線，若，則 .（用表示）
【答案】
【詳解】由題意知：.

故答案為：
【變式2】（2023下·新疆阿克蘇·高一校考階段練習）在中，點為邊的中點，記，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【詳解】由題意可知，.
故選：C
【變式3】（2023下·四川攀枝花·高一統考期末）在中，為上一點，且，則（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【詳解】
由題意知，，因為，且，
所以，故答案為C.
故選：C
題型02 平面向量的混合運算
【典例1】（2023·高一課前預習）計算：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【詳解】（1）
；
（2）
；
（3）
；
（4）
.
【典例2】（2023下·重慶綦江·高一校考期中）化簡為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【詳解】根據向量的四則運算可知，
.
故選：D
【變式1】（2023·全國·高一課堂例題）計算：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【詳解】（1）原式．
（2）原式.
【變式2】（2023下·高一課時練習）計算：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【詳解】（1）原式
．
（2）原式
題型03 向量共線的判定
【典例1】（2022·河南·校聯考三模）已知、、均為非零向量，且，，則（ ）
A．與垂直 B．與同向 C．與反向 D．與反向
【答案】C
【詳解】因為，，所以與同向，與反向，所以與反向．
故選：C.
【典例2】（2023·高一課時練習）設，是兩個不共線的向量，關于向量，有①，；②，；③；，④；．其中，共線的有 ．（填序號）
【答案】①②③
【詳解】①，共線；
②，共線；
③，共線；
④和無法表示成，所以不共線.
故答案為：①②③
【典例3】（2023·全國·高一隨堂練習）設，為不共線的非零向量，判斷下列各題中的，向量是否共線．
(1)，；
(2)，；
(3)，．
【答案】(1)共線(2)共線 3)不共線
【詳解】（1），則有，即共線；
（2），則有，即共線；
（3）設，共線，則由共線向量基本定理，得存在，使，
即，所以，所以共線，
這與已知條件不共線矛盾，不共線.
【變式1】（2023·全國·高一專題練習）對于非零向量， “”是“”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件
【答案】D
【詳解】對于非零向量，當時，，一定成立，即充分性成立；
當時，，不一定滿足，即必要性不成立.
所以對于非零向量， “”是“”的充分不必要條件.
故選：A
【變式2】（2023·高一課時練習）已知、是兩非零向量，且與共線，若非零向量與共線，則與必定 ．
【答案】共線
【詳解】因為、是兩非零向量，且與共線，所以，使得.
又因為非零向量與共線，所以，使得.
所以，.
所以，與必定共線.
故答案為：共線.
【變式3】（2023·全國·高一隨堂練習）判斷下列各小題中的向量，是否共線：
(1)，；
(2)，（其中兩個非零向量和不共線）；
(3)，.
【答案】(1)共線；(2)共線；(3)共線.
【詳解】（1），，所以，
所以，共線.
（2），,
所以，所以，共線.
（3）因為，，
所以，
所以.
所以，共線.
題型04 利用向量共線證明線線平行
【典例1】（2023下·廣東汕頭·高一校考期中）在四邊形中，，，，則四邊形的形狀是（ ）
A．梯形 B．菱形
C．平行四邊形 D．矩形
【答案】D
【詳解】因為，，，
所以.
所以.
所以且，
所以四邊形為梯形..
故選：A
【典例2】（2022·高一課時練習）如圖，設分別是梯形的對角線的中點.
(1)試用向量的方法證明：；
【答案】(1)證明見解析
【詳解】（1）分別為中點，，，
；
，可設，
，又，，.
【變式1】（2023·高一課時練習）四邊形ABCD中，，，，試判斷四邊形ABCD的形狀（其中，為不平行的非零向量）．
【答案】四邊形ABCD為梯形．
【詳解】，，
∴，
所以四邊形ABCD為梯形．
【變式2】（2023·高一課時練習）設D、E、F分別是的三邊BC、CA、AB上的點，且，，，則（ ）
A．與反向平行 B．與同向平行
C．與反向平行 D．與不共線
【答案】D
【詳解】因為，所以，
因為，所以，
因為，所以，
，
，
，
所以，
所以與反向平行，故A正確，B錯誤；
，
所以與同向平行，故CD錯誤.
故選：A
題型05 已知向量共線（平行）求參數
【典例1】（2023下·山西運城·高一統考期中）已知向量，不共線，且向量與方向相同，則實數的值為（ ）
A．1 B． C．1或 D．1或
【答案】D
【詳解】因為向量與方向相同，
所以存在唯一實數，使，
因為向量，不共線，
所以，解得或（舍去），
故選：A
【典例2】（2023上·江西·高一統考期中）已知，為平面內向量的一組基底，，，若，則 .
【答案】
【詳解】由得，，解得.
故答案為：.
【典例3】（2023下·山西朔州·高一校考階段練習）已知兩個非零向量不共線，且與共線，求實數k的值．
【答案】或．
【詳解】因為與共線，
所以存在實數，使，
即．
由于不共線，所以．
即實數k的值為或．
【變式1】（2023上·山東泰安·高三統考階段練習）已知向量是平面內的一組基底，若向量與共線，則的值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【詳解】因為向量與共線，
所以存在唯一實數，使，即，
所以，
因為向量是平面內的一組基底，所以，
解得，，
故選：D
【變式2】（2023·全國·高三專題練習）已知，是兩個不共線的平面向量，向量，，若，則有（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【詳解】因為，所以設，
因為，，
所以，可得，
所以，
故選：C．
【變式3】（2023·全國·高三專題練習）已知向量、不共線，且向量與平行，則實數 .
【答案】
【詳解】因為向量與平行，設，其中，
因為向量、不共線，則，解得.
故答案為：.
題型06 三點共線問題
【典例1】（2023下·貴州遵義·高一校考階段練習）已知不共線的向量，且，，，則一定共線的三點是（ ）
A．A，B，D B．A，B，C
C．B，C，D D．A，C，D
【答案】D
【詳解】對A，,
所以，則三點共線，A正確；
對B，,
則不存在任何，使得，所以不共線,B錯誤；
對C，,
則不存在任何，使得，所以不共線，C錯誤；
對D，,
則不存在任何，使得，所以不共線，D錯誤；
故選:A.
【典例2】（2023下·安徽合肥·高一統考期中）設是不共線的兩個向量，.若三點共線，則k的值為 .
【答案】
【詳解】因為三點共線，故,
則，使得，
又，
故，則，解得，
故答案為：
【典例3】（2023上·江西·高二校聯考開學考試）已知是平面內不共線的單位向量，是該平面內的點，且，，.
(1)若，求；
(2)若三點共線，求實數的值.
【答案】(1)
(2)
【詳解】（1），，
.
（2），，
又三點共線，即共線，
，解得：.
【變式1】（2023下·上海浦東新·高一校考期中）設，是兩個不共線向量，，，，若A，B，D三點共線，則實數p的值為 ．
【答案】
【詳解】由題意，因為三點共線，所以共線，
所以存在實數，使得，
所以，，所以．
故答案為：．
【變式2】（2023·全國·高一隨堂練習）如圖，在中，點M為AB的中點，點N在BD上，.

求證：M，N，C三點共線.
【答案】證明見解析
【詳解】設，
則
所以，
又因為有公共起點C，所以M，N，C三點共線.
【變式3】（2023下·山東泰安·高一校考階段練習）如圖，在中，.設.

(1)用表示；
(2)若為內部一點，且.求證：三點共線，并指明點的具體位置.
【答案】(1)，
(2)證明見解析，是的中點
【詳解】（1）依題意，，
.-
（2）由，
又，所以，
，故三點共線，且是的中點.

題型07 利用向量共線定理求參數
【典例1】（2023上·北京順義·高三牛欄山一中校考期中）在中，，是直線上的一點，若則實數的值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【詳解】因為，所以，
又是直線上的一點，所以，
又，
所以，所以.
故選：B
【典例2】（2023·四川綿陽·四川省綿陽南山中學校考一模）如圖，在中，，P為CD上一點，且滿足，則m的值為 ．
【答案】
【詳解】因為，即，
所以,
又
所以，解得.
故答案為：.
【典例3】（2023下·四川綿陽·高一三臺中學校考階段練習）已知向量，不共線，且，，.
(1)將用，表示；
(2)若，求的值；
【答案】(1)
(2)
【詳解】（1）因為，，所以；
（2）因為，，，
所以，即，
又向量，不共線，所以，
解得，即的值為.
【變式1】（2023下·江蘇南通·高一校考期中）已知是兩個不共線的向量，向量．若，則（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】D
【詳解】由題設且，故，則，可得.
故選：A
【變式2】（2023上·四川南充·高三四川省南部中學校考階段練習）在平行四邊形 中， 點E滿足且， 則實數 ．
【答案】4
【詳解】由題意可得：
,
故答案為：4.
【變式3】（2023下·山東日照·高一校考階段練習）已知不共線，向量，，且，則的值為 .
【答案】
【詳解】由可設：，則，
，解得：.
故答案為：.
題型08 平面向量共線定理的推論
【典例1】（2023下·河南省直轄縣級單位·高一河南省濟源第一中學校考階段練習）如圖，在中，，P是線段BD上一點，若，則實數m的值為（ ）

A． B． C． D．
【答案】D
【詳解】∵，∴，
又，∴，
∵B，P，D三點共線，∴，∴.
故選：A.
【典例2】（2023下·山東泰安·高一泰安一中校考期中）如圖所示，在中，點是的中點，過點的直線分別交直線于不同的兩點，若，則的值為（ ）

A．2 B．3 C． D．5
【答案】D
【詳解】因為點是的中點，
所以，
又因為
所以，
因為三點共線，
所以，
所以.
故選：A
【典例3】（2023·全國·高三專題練習）經過的重心G的直線與OA，OB分別交于點P，Q，設，.
(1)證明：為定值；
(2)求m＋n的最小值.
【答案】(1)證明見解析
(2)
【詳解】（1）設，
因為的重心是G點，
所以，
，
，
因為G， P，Q三點共線，
所以存在，使得，即，
所以有；
（2）因為，
所以，
當且僅當時取等號，即當時取等號，
所以m＋n的最小值為.
【變式1】（2023上·江西吉安·高三吉安一中校考期中）中，為上一點且滿足，若為上一點，且滿足，為正實數，則下列結論正確的是（ ）
A．的最小值為 B．的最大值為1
C．的最大值為16 D．的最小值為4
【答案】D
【詳解】AB選項，因為，所以，
故，
因為三點共線，設，即，
故，
令，故，
為正實數，由基本不等式得，解得，
當且僅當時，等號成立，所以的最大值為，AB錯誤；
CD選項，，
當且僅當，即時，等號成立，C錯誤，D正確.
故選：D
【變式2】（2023上·河南焦作·高三統考開學考試）在中，，E是線段AD上的動點，設，則 ．
【答案】2
【詳解】如圖所示，由題意知，
因為A，E，D三點共線，所以，
所以．

故答案為：2.
【變式3】（2023下·陜西西安·高一西安市鐵一中學校考期中）如圖，已知點是的重心，若過的重心，且，，，（，），試求的最小值．
【答案】
【詳解】∵是的重心，∴是邊上的中線，，
∴，
∴，
又∵，（，），∴，，
∴，
又∵，，三點共線，
∴.
又∵，，∴由基本不等式，有
，
當且僅當，即，時，等號成立，
∴的最小值為.
A夯實基礎 B能力提升 C綜合素養
A夯實基礎
一、單選題
1．（2023·云南大理·統考一模）在中，，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根據向量的線性運算即可求解.
【詳解】∵，∴，
故選：C.
2．（2023上·北京海淀·高二校考階段練習）已知向量，那么等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根據向量混合運算即可.
【詳解】，
故選：C.
3．（2023·全國·高三專題練習）設是非零向量，λ是非零實數，下列結論中正確的是（ ）
A．與的方向相反 B．與的方向相同
C． D．
【答案】B
【分析】由平面向量的基本概念及數乘運算一一判定即可.
【詳解】對于A，當時，與的方向相同，當時，與的方向相反，故A不正確；對于B，顯然，即B正確；
對于C，，由于與1的大小不確定，故與的大小關系不確定，故C不正確；
對于D，是向量，而表示長度，兩者不能比較大小，故D不正確．
故選：B
4．（2023下·安徽馬鞍山·高一馬鞍山市紅星中學校考階段練習）在△OAB中，P為線段AB上的一點，，且，則（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根據向量的線性運算即可求解.
【詳解】,
所以 ，
故選：A
5．（2023下·江蘇鎮江·高一揚中市第二高級中學校考期中）設是平面內的一組基底，，則（ ）
A．三點共線 B．三點共線
C．三點共線 D．三點共線
【答案】C
【分析】根據向量共線定理設出方程，若方程無解，則三點不共線，從而得到ABD錯誤，C正確.
【詳解】A選項，設，則，無解，故三點不共線，A錯誤；
B選項，設，則，無解，故三點不共線，B錯誤；
C選項，，
，
故，故三點共線，C正確；
D選項，，
設，則，無解，故三點不共線，D錯誤.
故選：C
6．（2023下·陜西榆林·高二校聯考期中）已知是平面內不共線的兩個向量，且，，若，則實數（ ）
A． B． C．6 D．
【答案】D
【分析】根據向量平行的相關知識，結合平面向量基本定理即可求解.
【詳解】由，得，
所以，
則，解得.
故選：D
7．（2022下·河南安陽·高一安陽縣第一高級中學校考階段練習）已知向量，不共線，若向量與向量共線，則的值為（ ）
A． B．0或 C．0或1 D．0或3
【答案】D
【分析】根據向量共線的條件,代入化簡,對應系數相等
【詳解】因為與共線，可設，即，因為，不共線，所以所以.
故選:A.
8．（2022下·安徽宣城·高二安徽省宣城中學統考期末）如圖，在中，點是線段上一點，若，則實數的值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用向量共線設，，從而得到，得到方程組，求出.
【詳解】因為三點共線，所以設，
即，整理得：，
因為，所以，解得：
故選：C
二、多選題
9．（2023下·黑龍江齊齊哈爾·高一齊齊哈爾中學校考期中）如圖在中，AD BE CF分別是邊BC CA AB上的中線，且相交于點G，則下列結論正確的是（ ）

A． B．
C． D．
【答案】BC
【分析】由條件可知為的重心，由重心的性質逐一判定即可.
【詳解】由條件可知為的重心，
對于A，由重心的性質可得，所以，故A錯誤；
對于B，由重心的性質可得，所以，故B正確；
對于D，故D錯誤；
對于C，，，
，故C正確.
故選：BC.
10．（2023上·重慶江北·高二校考開學考試）設點M是所在平面內一點，則下列說法正確的是（ ）
A．若，則點M是BC的中點
B．若，則點M是的重心
C．若，則點M，B，C三點共線
D．若，則
【答案】DCD
【分析】根據平面向量的線性運算法則，以及重心的性質，逐項判定，即可求解．
【詳解】對于A中，如圖所示，根據向量的平行四邊形法則，可得，
若，可得M為BC的中點，所以A正確；

對于B中，若M為的重心，則滿足，
即，所以B不正確；
對于C中，由，可得，即，
所以M，B，C三點共線，所以C正確；
對于D中，如圖所示，由，

可得，所以D正確．
故選：ACD
三、填空題
11．（2023上·湖南邵陽·高三校考階段練習）如圖，在平行四邊形ABCD中，E是對角線AC上靠近點的三等分點，點F為BE的中點，若，則 ．
【答案】
【分析】利用平面向量的線性運算計算即可.
【詳解】
，
所以，，.
故答案為：.
12．（2023下·河北石家莊·高一校考期中）設是內部一點，且，則 ．
【答案】
【分析】先作出草圖，然后分析出的位置，先考慮長度的比值，最后即可得到面積的比值.
【詳解】設為的中點，如圖所示，連接，則.
又，所以，即為的中點，
則，，
即.
故答案為：.
四、解答題
13．（2023上·江蘇徐州·高三校考階段練習）在中，E為AC的中點，D為邊BC上靠近點B的三等分點．
(1)分別用向量，表示向量，；
(2)若點N滿足，證明：B，N，E三點共線．
【答案】(1)，
(2)證明見解析
【詳解】（1）因為E為AC的中點，D為邊BC上靠近點B的三等分點，
所以 ，
則，
.
（2）因為，所以，
則，
所以，即，所以，
又因為有公共點，
所以，，三點共線.

14．（2023·全國·高一隨堂練習）已知向量，（三點不共線），判斷下列各題中的點是否在直線上．
(1)；
(2)；
(3)．
【答案】(1)在
(2)不在
(3)不在
【詳解】（1）因為向量，（三點不共線），則，可作為該平面的一個基底，
所以存在，使得任一向量滿足，
當時，，則，
所以，則，
故點在直線上；
當點在直線上時，則存在，使得，
所以，則，
又，所以，則；
所以是點在直線上的充要條件.
對于，顯然，所以點在直線上.
（2）對于，顯然，
所以點不在直線上
（3）對于，顯然，
所以點不在直線上
B能力提升
1．（2023上·天津南開·高三南開中學校考階段練習）是由3個全等的三角形與中間一個小等邊三角形拼成的一個較大的等邊三角形，若，，且，則（ ）.
A． B． C． D．
【答案】D
【詳解】由題設
，
所以，即，
又，故.
故選：A
2．（2023上·安徽安慶·高三安徽省懷寧縣新安中學校考階段練習）已知是三角形所在平面內一定點，動點滿足，則點軌跡一定通過三角形的（ ）
A．內心 B．外心 C．垂心 D．重心
【答案】D
【詳解】記為的中點，連接，作，如圖，
則，，
因為，
所以，
所以點在三角形的中線上，則動點P的軌跡一定經過的重心.
故選：D.
3．（2023下·四川眉山·高一校考階段練習）已知點G是的重心，過點G作直線分別與兩邊相交于點M，N兩點（點M，N與點B，C不重合），設，，則的最小值為 ．
【答案】4
【詳解】由題設，
又共線，如下圖，則，即，故，
而，則，

所以，
僅當，即時等號成立，
所以目標式最小值為4.
故答案為：4
4．（2023·全國·高一隨堂練習）已知非零向量，，，，畫圖并說明是的平分線．
【答案】答案見解析
【詳解】因為是與同向的單位向量，是與同向的單位向量，
如圖，設，
則，，
以為鄰邊作平行四邊形，
則，且平行四邊形為菱形，
所以平分，
所以，
又為公共端點，所以三點共線，
所以是的平分線．
C綜合素養
1．（2023下·云南保山·高一統考期中）我國著名數學家華羅庚曾說過：“數缺形時少直觀，形少數時難入微，數形結合百般好，隔離分家萬事休”. 數學中，數和形是兩個最主要的研究對象，它們之間有著十分密切的聯系，在一定條件下，數和形之間可以相互轉化，相互滲透. 而向量正是數與形“溝通的橋梁”. 如圖，在中，，若為中點，與交于點，且， .

得，，
所以，
因為E，F，G三點共線，則，
則，
當且僅當，即時取等號，
所以的最小值為.
3．（2023上·陜西寶雞·高三校聯考階段練習）如圖，在中，點滿足，是線段的中點，過點的直線與邊分別交于點.

(1)若，求的值；
(2)若，求的最小值.
【答案】(1)(2)
【詳解】（1）解：因為，
所以
因為是線段的中點，所以，
設，則有，
因為三點共線，所以，解得，即，
所以，所以.
（2）解：因為，同理可得，
由（1）可知，，所以，
因為三點共線，所以，即，
所以，
當且僅當，即時取等號，
所以的最小值為.
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