資源簡(jiǎn)介

第06講 6.3.1平面向量基本定理
課程標(biāo)準(zhǔn) 學(xué)習(xí)目標(biāo)
①理解平面向量基本定理及其意義，了解向量基底的含義。 ②掌握平面向量基本定理，會(huì)用基底表示平面向量。 ③會(huì)應(yīng)用平面向量基本定理解決有關(guān)平面向量的綜合問(wèn)題。 ④能用坐標(biāo)表示平面向量的數(shù)量積，會(huì)表示兩個(gè)平面向量的夾角。 ⑤能用坐標(biāo)表示平面向量共線、垂直的條件。 1.在課本知識(shí)學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)上，加上初中階段對(duì)數(shù)軸的理解，以及物理知識(shí)中里的分解的知識(shí)，進(jìn)一步理解平面向量基本定理及其意義，了解向量基底的含義； 2.掌握平面向量基本定理，不僅僅局限在直角坐標(biāo)系，更應(yīng)該學(xué)會(huì)用基底表示平面向量； 3.在掌握基礎(chǔ)知識(shí)的基礎(chǔ)上，學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)致用，會(huì)應(yīng)用平面向量基本定理解決有關(guān)平面向量的綜合問(wèn)題；
知識(shí)點(diǎn)01：平面向量基本定理
（1）平面向量基本定理
如果,是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，那么對(duì)于這一平面內(nèi)的任一向量,有且只有一對(duì)實(shí)數(shù),,使.
若,不共線,我們把,叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一個(gè)基底.
（2）對(duì)平面向量基本定理的理解
(1)這個(gè)定理告訴我們,平面內(nèi)任意兩個(gè)不共線向量都可以作為基底,一旦選定一組基底,則平面內(nèi)的任一向量都可用該組基底唯一表示.
(2)對(duì)于確定的基底,,同一向量的分解式是唯一的,不同向量的分解式是不同的.
(3)同一個(gè)非零向量在不同的基底下分解式是不同的,零向量的分解式是唯一的,即,且.
(4)這個(gè)定理可推廣為:平面內(nèi)任意三個(gè)不共線的向量中,任何一個(gè)向量都可表示例示為其余兩個(gè)向量的線性組合,且形式唯一.
知識(shí)點(diǎn)02：平面向量基本定理的有關(guān)結(jié)論
（1）設(shè),是平面內(nèi)一組基底，若，當(dāng)時(shí)，與共線；當(dāng)時(shí)，與共線；當(dāng)時(shí)，，同樣的時(shí)，.
（2）設(shè)是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線的向量，若，則.
題型01 基底的概念及辨析
【典例1】（2023下·高一課時(shí)練習(xí)）已知向量，不共線，則下列向量不可以作為一組基底的是（ ）
A．和 B．和
C．和 D．和
【答案】B
【詳解】A選項(xiàng)，設(shè)，則，無(wú)解，故和是不共線的向量，可作為一組基底，A錯(cuò)誤；
B選項(xiàng)，∵，
∴和共線，不能作為一組基底，故B正確；
C選項(xiàng)，設(shè)，則，無(wú)解，故和不共線，故可作為一組基底，C錯(cuò)誤；
D選項(xiàng)，設(shè)，則，無(wú)解，和不共線，可作為一組基底，D錯(cuò)誤..
故選：B
【典例2】（多選）（2023下·安徽阜陽(yáng)·高一校考階段練習(xí)）設(shè)是平面內(nèi)兩個(gè)不共線的向量，則以下可作為該平面內(nèi)一組基底的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】DBD
【詳解】不能用表示，故不共線，所以A符合；
不能用表示，所以不共線，故B符合；
，故共線，所以C不符合；
不能用表示，故不共線，所以D符合.
故選：ABD.
【變式1】（2022下·重慶北碚·高一西南大學(xué)附中校考階段練習(xí)）設(shè)是兩個(gè)不平行的向量，則下列四組向量中，不能組成平面向量的一個(gè)基底的是（ ）
A．和 B．和
C．和 D．和
【答案】C
【詳解】依題意，不共線，
A選項(xiàng)，不存在使，
所以和可以組成基底.
B選項(xiàng)，不存在使，
所以和可以組成基底.
C選項(xiàng)，，
所以和不能構(gòu)成基底.
D選項(xiàng)，不存在使，
所以和可以組成基底.
故選：C
【變式2】（多選）（2022下·廣西北海·高一統(tǒng)考期末）如圖所示，設(shè)是平行四邊形的兩條對(duì)角線的交點(diǎn)，給出下列向量組，其中可作為該平面內(nèi)所有向量的基底的是（ ）
A．與 B．與 C．與 D．與
【答案】BC
【詳解】A項(xiàng)中與共線，D項(xiàng)中與共線，B，C項(xiàng)中兩向量不共線，
故選：BC
題型02 用基底表示向量
【典例1】（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）在中，點(diǎn)D，E分別是，的中點(diǎn)，記，，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【詳解】由題意可知，，．
兩式相減，得，所以．
故選：D．
【典例2】（2023·湖南·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）在中，D是邊AB上一點(diǎn)，且，點(diǎn)E是CD的中點(diǎn).設(shè)，，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【詳解】
如圖，，
故選：C.
【典例3】（2023下·河北石家莊·高一校考期中）已知平行四邊形中，，若，則（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】D
【詳解】在中，，即是的中點(diǎn)，則，
又，即，
因此，
而，不共線，
所以，.
故選：D
【變式1】（2023上·重慶·高三重慶八中校考階段練習(xí)）在中，為邊上的中線，，則（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【詳解】
因?yàn)椋?br/>由已知可得，，
所以，，
所以，.
故選：A.
【變式2】（2023上·河北保定·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）如圖，在平行四邊形中，是的中點(diǎn)，和相交于點(diǎn)． 記 ，，則（ ）

A． B．
C． D．
【答案】D
【詳解】在平行四邊形中，和相交于點(diǎn)，
所以，又是的中點(diǎn)，
所以，所以，
所以.
故選：A
【變式3】（2023上·山西朔州·高三校考開(kāi)學(xué)考試）如圖，在中，設(shè)，，，，則（ ）

A． B．
C． D．
【答案】D
【詳解】由題意,
故選：D．
題型03 用平面向量基本定理求參數(shù)
【典例1】（2023上·天津南開(kāi)·高三南開(kāi)中學(xué)校考階段練習(xí)）是由3個(gè)全等的三角形與中間一個(gè)小等邊三角形拼成的一個(gè)較大的等邊三角形，若，，且，則（ ）.
A． B． C． D．
【答案】D
【詳解】由題設(shè)
，
所以，即，
又，故.
故選：A
【典例2】（2023上·河北滄州·高三校聯(lián)考期中）如圖，與的面積之比為2，點(diǎn)P是區(qū)域內(nèi)任意一點(diǎn)（含邊界），且，則的取值范圍是（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【詳解】根據(jù)題意，將圖形特殊化，設(shè)垂直平分于點(diǎn)，
因?yàn)榕c的面積之比為2，則，
當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，可得，此時(shí)，即的最小值為；
當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，可得，
此時(shí)，即，此時(shí)為最大值為，
所以的取值范圍為.
故選：C.

【典例3】（2023下·河南省直轄縣級(jí)單位·高一濟(jì)源市第四中學(xué)校考階段練習(xí)）在中，D是的中點(diǎn)，E在邊上，，與交于點(diǎn)O，
(1)設(shè)，求的值；
(2)若，求的值．
【答案】(1)
(2)
【詳解】（1）∵，
∴；
（2）因?yàn)镋，O，C三點(diǎn)共線，不妨設(shè),
所以，
再設(shè)，所以，
所以，
所以，，
因?yàn)椋?br/>∴得，即．
【變式1】（2023·廣東汕頭·校考一模）在平行四邊形中，為的重心，滿(mǎn)足，則（ ）
A． B． C．0 D．
【答案】D
【詳解】如圖，設(shè)與相交于點(diǎn)，為的重心，

可得為的中點(diǎn)，，
所以
，
因?yàn)椋?br/>所以，則.
故選：A.
【變式2】（2023上·遼寧大連·高三大連八中校考期中）在三角形ABC中，點(diǎn)D是AB邊上的四等分點(diǎn)且，AC邊上存在點(diǎn)E滿(mǎn)足，直線CD和直線BE交于點(diǎn)F，若，則的值為（ ）

A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【詳解】由已知，
則
同理可得，
因?yàn)橹本€CD和直線BE交于點(diǎn)F，
所以設(shè)
即
解得.
故選：C.

【變式3】（2023下·新疆喀什·高一統(tǒng)考期末）已知中，D為的中點(diǎn)，，若，則 .
【答案】
【詳解】因?yàn)?
所以,故;
故答案為：.
題型04 平面向量基本定理的綜合應(yīng)用
【典例1】（2023上·北京·高三101中學(xué)校考階段練習(xí)）如圖，在中，M，N分別為AB，AC邊上的中點(diǎn)，P是線段MN上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不含端點(diǎn)），CP與AB交于點(diǎn)D，BP與AC交于點(diǎn)E，，，則的最小值為（ ）

A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】C
【詳解】設(shè)，則，
因?yàn)镸，N分別為AB，AC邊上的中點(diǎn)，所以，，
故，
因?yàn)椤祝裕?br/>設(shè)，則，，
故，故，
同理可得，，
因?yàn)椤祝裕?br/>設(shè)，則，
，，
故，，
則
因?yàn)椋苫静坏仁降茫?br/>當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，
故.
故選：C
【典例2】（2023上·陜西安康·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知是所在平面內(nèi)一點(diǎn)，若均為正數(shù)，則的最小值為（ ）
A． B． C．1 D．
【答案】B
【詳解】因?yàn)椋渣c(diǎn)是的重心，
所以.
因?yàn)椋裕?br/>所以.
又因?yàn)椋匀c(diǎn)共線，所以，即.
因?yàn)榫鶠檎龜?shù)，所以，即，
所以（當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)），
所以的最小值為，
故選：B
【典例3】（2023·陜西·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）等邊外接圓圓心為，半徑為上有點(diǎn)．
(1)若為弧中點(diǎn)，求；
(2)求最大值．
【答案】(1)；
(2)．
【詳解】（1）設(shè)是的中點(diǎn)，則，且三點(diǎn)共線，
若為弧中點(diǎn)，則四點(diǎn)共線，
由于，
所以三角形和三角形是等邊三角形，所以，
所以四邊形是菱形，，
所以，
所以.
（2）因?yàn)椋?br/>所以，，
，
所以當(dāng)同向時(shí)，取得最大值為.
【變式1】（2023上·江西吉安·高三吉安一中校考期中）中，為上一點(diǎn)且滿(mǎn)足，若為上一點(diǎn)，且滿(mǎn)足，為正實(shí)數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．的最小值為 B．的最大值為1
C．的最大值為16 D．的最小值為4
【答案】D
【詳解】AB選項(xiàng)，因?yàn)椋裕?br/>故，
因?yàn)槿c(diǎn)共線，設(shè)，即，
故，
令，故，
為正實(shí)數(shù)，由基本不等式得，解得，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以的最大值為，AB錯(cuò)誤；
CD選項(xiàng)，，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，C錯(cuò)誤，D正確.
故選：D
【變式2】（2023上·山東濟(jì)寧·高三統(tǒng)考期中）在中，點(diǎn)是線段上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且，則的最小值為（ ）．
A． B． C．2 D．8
【答案】C
【詳解】如圖所示：
不妨設(shè)，則，
同理設(shè)，則，
所以
又由題意，
所以，
從而，
當(dāng)時(shí)，由基本不等式可得，
等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng).
綜上所述：的最小值為2.
故選：C.
【變式3】（2023上·四川成都·高三石室中學(xué)校考期中）如圖，在中，，是正三角形，點(diǎn)是的中心，若， 則
【答案】
【詳解】如圖，MC交AB于點(diǎn)E，
， 設(shè)，則，
因?yàn)锳B是的角平分線，所以，
所以， ，
因?yàn)椋c(diǎn)共線，所以，
，
由題干可知，即
所以，

故答案為：.
題型05 運(yùn)用平面向量基本定理解決證明問(wèn)題
【典例1】（2023上·江蘇徐州·高三校考階段練習(xí)）在中，E為AC的中點(diǎn)，D為邊BC上靠近點(diǎn)B的三等分點(diǎn)．
(1)分別用向量，表示向量，；
(2)若點(diǎn)N滿(mǎn)足，證明：B，N，E三點(diǎn)共線．
【答案】(1)，
(2)證明見(jiàn)解析
【詳解】（1）因?yàn)镋為AC的中點(diǎn)，D為邊BC上靠近點(diǎn)B的三等分點(diǎn)，
所以 ，
則，
.
（2）因?yàn)椋裕?br/>則，
所以，即，所以，
又因?yàn)橛泄颤c(diǎn)，
所以，，三點(diǎn)共線.

【典例2】（2023下·河北保定·高一校聯(lián)考期中）已知，如圖，在中，點(diǎn)滿(mǎn)足，是線段上一點(diǎn)，，點(diǎn)為的中點(diǎn)，且三點(diǎn)共線．

(1)求的最小值．
(2)若點(diǎn)滿(mǎn)足，證明：．
【答案】(1)4
(2)證明見(jiàn)解析
【詳解】（1）由題可知，
因?yàn)辄c(diǎn)為的中點(diǎn)，所以
，
因?yàn)槿c(diǎn)共線，所以，
，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立．
所以的最小值為4.
（2）
由，則，即，
，
所以，又三點(diǎn)不共線，所以．
【變式1】（2023下·福建漳州·高一統(tǒng)考期末）如圖，在中，，點(diǎn)是的中點(diǎn)，設(shè)，

(1)用表示；
(2)如果，有什么位置關(guān)系？用向量方法證明你的結(jié)論.
【答案】(1)，
(2)，證明見(jiàn)解析
【詳解】（1）解：因?yàn)椋裕?br/>因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，
可得
（2）解：.
因?yàn)椋?br/>則
以，所以.
【變式2】（2023下·河南南陽(yáng)·高一社旗縣第一高級(jí)中學(xué)校聯(lián)考期末）如圖，在中，．

(1)用，表示，；
(2)若點(diǎn)滿(mǎn)足，證明：，，三點(diǎn)共線．
【答案】(1)，
(2)證明見(jiàn)解析
【詳解】（1）因?yàn)椋?br/>，
.
（2）由，
可得，
所以，，即，
所以，，三點(diǎn)共線.
A夯實(shí)基礎(chǔ) B能力提升 C綜合素養(yǎng)
A夯實(shí)基礎(chǔ)
一、單選題
1．（2023下·江西萍鄉(xiāng)·高一統(tǒng)考期中）在中，，，若，為線段的中點(diǎn)，則（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根據(jù)平面向量的線性運(yùn)算結(jié)合圖形的性質(zhì)計(jì)算即可.
【詳解】
如圖所示，可知，
所以.
故選：A
2．（2023·江蘇·高一專(zhuān)題練習(xí)）已知向量與不共線，且，，，若，，三點(diǎn)共線，則（　　）
A． B．2 C．1 D．
【答案】C
【分析】依題意可得，設(shè)，根據(jù)平面向量基本定理得到方程組，即可得解.
【詳解】∵向量與不共線，∴向量與可以作為平面內(nèi)的一組基底，
∵，，三點(diǎn)共線，∴，設(shè)，即，
則，∴.
故選C.
3．（2023下·陜西榆林·高二校聯(lián)考期中）已知是平面內(nèi)不共線的兩個(gè)向量，且，，若，則實(shí)數(shù)（ ）
A． B． C．6 D．
【答案】D
【分析】根據(jù)向量平行的相關(guān)知識(shí)，結(jié)合平面向量基本定理即可求解.
【詳解】由，得，
所以，
則，解得.
故選：D
4．（2023下·安徽馬鞍山·高一馬鞍山市紅星中學(xué)校考階段練習(xí)）在△OAB中，P為線段AB上的一點(diǎn)，，且，則（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根據(jù)向量的線性運(yùn)算即可求解.
【詳解】,
所以 ，
故選：A
5．（2023上·貴州六盤(pán)水·高二統(tǒng)考期中）已知等邊三角形ABC的邊長(zhǎng)為2，D，E分別是BC，AC的中點(diǎn)，則（ ）
A． B． C． D．0
【答案】D
【分析】將，設(shè)為基底，表示出，，運(yùn)用數(shù)量積定義解決問(wèn)題.
【詳解】解：
.
故答案選：A.

6．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）如圖，在圓中，若弦，弦，則的值是（ ）

A． B． C． D．
【答案】D
【分析】過(guò)點(diǎn)作，交于點(diǎn)，連接，則為的中點(diǎn)，，由，又，即可得出，進(jìn)而求出結(jié)果.
【詳解】
如圖所示，過(guò)點(diǎn)作，交于點(diǎn)，連接，
則為的中點(diǎn)，，
所以，
又，
則
.
故選：D
7．（2023上·江蘇南通·高三江蘇省如東高級(jí)中學(xué)校考期中）已知，是兩個(gè)不共線的向量，，，，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根據(jù)題意，設(shè)，由待定系數(shù)法代入計(jì)算，即可得到結(jié)果.
【詳解】因?yàn)椋莾蓚€(gè)不共線的向量，設(shè)，
則，
即，解得，
所以.
故選：C
8．（2023上·廣東東莞·高二校考期中）在等邊中，已知點(diǎn)，滿(mǎn)足，，與交于點(diǎn)，則在上的投影向量為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】首先利用平面向量基本定理的推理，以向量為基底表示向量，再根據(jù)投影向量公式，即可求解.
【詳解】如圖，，
，
則，得，，
即,
則在上的投影向量為，
，
所以在上的投影向量為.
故選：C
二、多選題
9．（2023上·重慶沙坪壩·高三重慶南開(kāi)中學(xué)校考階段練習(xí)）已知非零向量，下列命題正確的是（ ）
A．若，則
B．與向量共線的單位向量是
C．“”是“與的夾角是銳角”的充分不必要條件
D．若是平面的一組基底，則也能作為該平面的一組基底
【答案】DD
【分析】利用向量共線定理判斷A；求出與向量共線的單位向量判斷B；舉例說(shuō)明判斷C；利用平面的一個(gè)基底的意義判斷D.
【詳解】對(duì)于A，非零向量，由，得存在非零實(shí)數(shù)，使得，則，即，A正確；
對(duì)于B，與共線的單位向量是，B錯(cuò)誤；
對(duì)于C，當(dāng)與同向共線時(shí)，滿(mǎn)足，而與的夾角為0，不是銳角，C錯(cuò)誤；
對(duì)于D，是平面的一組基底，則不共線，假設(shè)向量共線，
則存在實(shí)數(shù)，使得，即，顯然不同時(shí)為0，
于是共線，與不共線矛盾，即假設(shè)是錯(cuò)的，因此向量不共線，D正確.
故選：AD
10．（2023下·福建漳州·高一校聯(lián)考期中）如圖，在四邊形中，，點(diǎn)滿(mǎn)足，是的中點(diǎn).設(shè)，，則下列等式正確的是（ ）

A． B．
C． D．
【答案】BC
【分析】根據(jù)向量線性運(yùn)算依次判斷各個(gè)選項(xiàng)即可.
【詳解】對(duì)于A，，A錯(cuò)誤；
對(duì)于B，，B正確；
對(duì)于C，，C正確；
對(duì)于D，由B知：，D錯(cuò)誤.
故選：BC.
三、填空題
11．（2023上·四川南充·高三四川省南部中學(xué)校考階段練習(xí)）在平行四邊形 中， 點(diǎn)E滿(mǎn)足且， 則實(shí)數(shù) ．
【答案】4
【分析】根據(jù)平面向量的線性運(yùn)算結(jié)合平面向量基本定理分析可得結(jié)果.
【詳解】由題意可得：
,
故答案為：4.
12．（2023上·天津紅橋·高三統(tǒng)考期中）如圖，在中，，且，點(diǎn)滿(mǎn)足，則 .

【答案】
【分析】先利用基底法求出，再利用數(shù)量積的運(yùn)算法則即可得解.
【詳解】因?yàn)椋裕?br/>因?yàn)椋?，
所以，
則.
故答案為：.
四、解答題
13．（2023上·四川成都·高二校考開(kāi)學(xué)考試）在中，已知在線段上，且，設(shè)．
(1)用向量表示；
(2)若，求．
【答案】(1)
(2)
【詳解】（1）因?yàn)椋裕?br/>由題得；
（2）由已知得，
．
14．（2023下·河北邯鄲·高一統(tǒng)考期中）如圖1，小明同學(xué)發(fā)現(xiàn)家里的地板是正六邊形木質(zhì)地板組合而成的，便臨摹出了家里地板的部分圖形，其平面圖如圖2所示，其中O為正六邊形ABCDEF的中心.

(1)用，表示，；
(2)若，求.
【答案】(1)，
(2)-2
【詳解】（1）解：如圖，

連接OB，OF，由正六邊形性質(zhì)，得四邊形ABOF為平行四邊形，
所以.
，
.
（2）由正六邊形性質(zhì)，得.
因?yàn)椋?br/>所以，
.
B能力提升
1．（2023上·寧夏銀川·高三銀川唐徠回民中學(xué)校考期中）在中，D為上一點(diǎn)，若（，），當(dāng)取得最小值時(shí)，三角形與三角形的面積比值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由三點(diǎn)共線的，結(jié)合基本不等式可得時(shí)，取得最小值，結(jié)合圖形即可求與三角形的面積比.
【詳解】由D為上一點(diǎn)，則，則
，
當(dāng)且僅當(dāng)且，即，時(shí)等號(hào)成立，取得最小值.
則，則根據(jù)平面向量基本定理知，為靠近的三等分點(diǎn)，
則，則.
故選：B
2．（2023上·廣東湛江·高二統(tǒng)考期中）已知點(diǎn)為的重心，分別為，邊上一點(diǎn)，，，三點(diǎn)共線，為的中點(diǎn)，若，則的最小值為（ ）
A． B．7 C． D．6
【答案】D
【分析】重心為三條中線的交點(diǎn)，把中線分成了，即，由三點(diǎn)共線定理可知，所以，.得.再利用基本不等式解決最值問(wèn)題即可.
【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)為的重心，所以，則.
因?yàn)槿c(diǎn)共線，，
所以，.
所以.
所以，
當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)，等號(hào)成立，故的最小值為6.
故選：D
3．（2023下·甘肅臨夏·高一統(tǒng)考期末）在中，是邊上一點(diǎn)，且，點(diǎn)為的延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，寫(xiě)出使得成立的，的一組數(shù)據(jù)為 ．

【答案】（答案不唯一）
【分析】根據(jù)向量的線性運(yùn)算表示出，再結(jié)合向量的共線即可求得答案.
【詳解】由題意知，而，
故,
則，
又點(diǎn)為的延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，故,
故答案為：；
2．（2023·陜西·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）等邊外接圓圓心為，半徑為上有點(diǎn)．
(1)若為弧中點(diǎn)，求；
(2)求最大值．
【答案】(1)；
(2)．
【詳解】（1）設(shè)是的中點(diǎn)，則，且三點(diǎn)共線，
若為弧中點(diǎn)，則四點(diǎn)共線，
由于，
所以三角形和三角形是等邊三角形，所以，
所以四邊形是菱形，，
所以，
所以.
（2）因?yàn)椋?br/>所以，，
，
所以當(dāng)同向時(shí)，取得最大值為.
3．（2023上·天津靜海·高三靜海一中校考階段練習(xí)）（1）在四邊形ABCD中，，，，且，若M，N是線段BC上的動(dòng)點(diǎn)，且，求的最小值；
（2） 在中，，，點(diǎn)為的中點(diǎn)，點(diǎn)為的中點(diǎn)，若，求的最大值；
【答案】（1）
（2）
【詳解】（1）由題意知，
得，于是.
取的中點(diǎn)，連接DE，如圖所示，
根據(jù)極化恒等式有，
因此要求的最小值，就是要求的最小值，
當(dāng)時(shí)，最小，此時(shí)過(guò)點(diǎn)A作BC的垂線AF，垂足為，如圖所示，
則.
所以的最小值為；
（2）設(shè)，
因?yàn)椋瑒t，
由圖可得，，
所以，
即，即.
因?yàn)辄c(diǎn)為的中點(diǎn)，
所以，
于是.
記，
則
，
在中，由余弦定理得，，
于是，
由和基本不等式，，
故，當(dāng)且僅當(dāng)取得等號(hào)，
則時(shí)，有最大值；
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21世紀(jì)教育網(wǎng)(www.21cnjy.com)第06講 6.3.1平面向量基本定理
課程標(biāo)準(zhǔn) 學(xué)習(xí)目標(biāo)
①理解平面向量基本定理及其意義，了解向量基底的含義。 ②掌握平面向量基本定理，會(huì)用基底表示平面向量。 ③會(huì)應(yīng)用平面向量基本定理解決有關(guān)平面向量的綜合問(wèn)題。 ④能用坐標(biāo)表示平面向量的數(shù)量積，會(huì)表示兩個(gè)平面向量的夾角。 ⑤能用坐標(biāo)表示平面向量共線、垂直的條件。 1.在課本知識(shí)學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)上，加上初中階段對(duì)數(shù)軸的理解，以及物理知識(shí)中里的分解的知識(shí)，進(jìn)一步理解平面向量基本定理及其意義，了解向量基底的含義； 2.掌握平面向量基本定理，不僅僅局限在直角坐標(biāo)系，更應(yīng)該學(xué)會(huì)用基底表示平面向量； 3.在掌握基礎(chǔ)知識(shí)的基礎(chǔ)上，學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)致用，會(huì)應(yīng)用平面向量基本定理解決有關(guān)平面向量的綜合問(wèn)題；
知識(shí)點(diǎn)01：平面向量基本定理
（1）平面向量基本定理
如果,是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，那么對(duì)于這一平面內(nèi)的任一向量,有且只有一對(duì)實(shí)數(shù),,使.
若,不共線,我們把,叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一個(gè)基底.
（2）對(duì)平面向量基本定理的理解
(1)這個(gè)定理告訴我們,平面內(nèi)任意兩個(gè)不共線向量都可以作為基底,一旦選定一組基底,則平面內(nèi)的任一向量都可用該組基底唯一表示.
(2)對(duì)于確定的基底,,同一向量的分解式是唯一的,不同向量的分解式是不同的.
(3)同一個(gè)非零向量在不同的基底下分解式是不同的,零向量的分解式是唯一的,即,且.
(4)這個(gè)定理可推廣為:平面內(nèi)任意三個(gè)不共線的向量中,任何一個(gè)向量都可表示例示為其余兩個(gè)向量的線性組合,且形式唯一.
知識(shí)點(diǎn)02：平面向量基本定理的有關(guān)結(jié)論
（1）設(shè),是平面內(nèi)一組基底，若，當(dāng)時(shí)，與共線；當(dāng)時(shí)，與共線；當(dāng)時(shí)，，同樣的時(shí)，.
（2）設(shè)是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線的向量，若，則.
題型01 基底的概念及辨析
【典例1】（2023下·高一課時(shí)練習(xí)）已知向量，不共線，則下列向量不可以作為一組基底的是（ ）
A．和 B．和
C．和 D．和
【典例2】（多選）（2023下·安徽阜陽(yáng)·高一校考階段練習(xí)）設(shè)是平面內(nèi)兩個(gè)不共線的向量，則以下可作為該平面內(nèi)一組基底的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【變式1】（2022下·重慶北碚·高一西南大學(xué)附中校考階段練習(xí)）設(shè)是兩個(gè)不平行的向量，則下列四組向量中，不能組成平面向量的一個(gè)基底的是（ ）
A．和 B．和
C．和 D．和
【變式2】（多選）（2022下·廣西北海·高一統(tǒng)考期末）如圖所示，設(shè)是平行四邊形的兩條對(duì)角線的交點(diǎn)，給出下列向量組，其中可作為該平面內(nèi)所有向量的基底的是（ ）
A．與 B．與 C．與 D．與
題型02 用基底表示向量
【典例1】（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）在中，點(diǎn)D，E分別是，的中點(diǎn)，記，，則（ ）
A． B． C． D．
【典例2】（2023·湖南·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）在中，D是邊AB上一點(diǎn)，且，點(diǎn)E是CD的中點(diǎn).設(shè)，，則（ ）
A． B． C． D．
【典例3】（2023下·河北石家莊·高一校考期中）已知平行四邊形中，，若，則（ ）
A． B． C．2 D．
【變式1】（2023上·重慶·高三重慶八中校考階段練習(xí)）在中，為邊上的中線，，則（ ）
A． B．
C． D．
【變式2】（2023上·河北保定·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）如圖，在平行四邊形中，是的中點(diǎn)，和相交于點(diǎn)． 記 ，，則（ ）

A． B．
C． D．
【變式3】（2023上·山西朔州·高三校考開(kāi)學(xué)考試）如圖，在中，設(shè)，，，，則（ ）

A． B．
C． D．
題型03 用平面向量基本定理求參數(shù)
【典例1】（2023上·天津南開(kāi)·高三南開(kāi)中學(xué)校考階段練習(xí)）是由3個(gè)全等的三角形與中間一個(gè)小等邊三角形拼成的一個(gè)較大的等邊三角形，若，，且，則（ ）.
A． B． C． D．
【典例2】（2023上·河北滄州·高三校聯(lián)考期中）如圖，與的面積之比為2，點(diǎn)P是區(qū)域內(nèi)任意一點(diǎn)（含邊界），且，則的取值范圍是（ ）

A． B． C． D．
【典例3】（2023下·河南省直轄縣級(jí)單位·高一濟(jì)源市第四中學(xué)校考階段練習(xí)）在中，D是的中點(diǎn)，E在邊上，，與交于點(diǎn)O，
(1)設(shè)，求的值；
(2)若，求的值．
【變式1】（2023·廣東汕頭·校考一模）在平行四邊形中，為的重心，滿(mǎn)足，則（ ）
A． B． C．0 D．
【變式2】（2023上·遼寧大連·高三大連八中校考期中）在三角形ABC中，點(diǎn)D是AB邊上的四等分點(diǎn)且，AC邊上存在點(diǎn)E滿(mǎn)足，直線CD和直線BE交于點(diǎn)F，若，則的值為（ ）

A．2 B．3 C．4 D．5
【變式3】（2023下·新疆喀什·高一統(tǒng)考期末）已知中，D為的中點(diǎn)，，若，則 .
題型04 平面向量基本定理的綜合應(yīng)用
【典例1】（2023上·北京·高三101中學(xué)校考階段練習(xí)）如圖，在中，M，N分別為AB，AC邊上的中點(diǎn)，P是線段MN上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不含端點(diǎn)），CP與AB交于點(diǎn)D，BP與AC交于點(diǎn)E，，，則的最小值為（ ）

A．2 B．4 C．6 D．8
【典例2】（2023上·陜西安康·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知是所在平面內(nèi)一點(diǎn)，若均為正數(shù)，則的最小值為（ ）
A． B． C．1 D．
【典例3】（2023·陜西·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）等邊外接圓圓心為，半徑為上有點(diǎn)．
(1)若為弧中點(diǎn)，求；
(2)求最大值．
【變式1】（2023上·江西吉安·高三吉安一中校考期中）中，為上一點(diǎn)且滿(mǎn)足，若為上一點(diǎn)，且滿(mǎn)足，為正實(shí)數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．的最小值為 B．的最大值為1
C．的最大值為16 D．的最小值為4
【變式2】（2023上·山東濟(jì)寧·高三統(tǒng)考期中）在中，點(diǎn)是線段上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且，則的最小值為（ ）．
A． B． C．2 D．8
【變式3】（2023上·四川成都·高三石室中學(xué)校考期中）如圖，在中，，是正三角形，點(diǎn)是的中心，若， 則
題型05 運(yùn)用平面向量基本定理解決證明問(wèn)題
【典例1】（2023上·江蘇徐州·高三校考階段練習(xí)）在中，E為AC的中點(diǎn)，D為邊BC上靠近點(diǎn)B的三等分點(diǎn)．
(1)分別用向量，表示向量，；
(2)若點(diǎn)N滿(mǎn)足，證明：B，N，E三點(diǎn)共線．
【典例2】（2023下·河北保定·高一校聯(lián)考期中）已知，如圖，在中，點(diǎn)滿(mǎn)足，是線段上一點(diǎn)，，點(diǎn)為的中點(diǎn)，且三點(diǎn)共線．

(1)求的最小值．
(2)若點(diǎn)滿(mǎn)足，證明：．
【變式1】（2023下·福建漳州·高一統(tǒng)考期末）如圖，在中，，點(diǎn)是的中點(diǎn)，設(shè)，

(1)用表示；
(2)如果，有什么位置關(guān)系？用向量方法證明你的結(jié)論.
【變式2】（2023下·河南南陽(yáng)·高一社旗縣第一高級(jí)中學(xué)校聯(lián)考期末）如圖，在中，．

(1)用，表示，；
(2)若點(diǎn)滿(mǎn)足，證明：，，三點(diǎn)共線．
A夯實(shí)基礎(chǔ) B能力提升 C綜合素養(yǎng)
A夯實(shí)基礎(chǔ)
一、單選題
1．（2023下·江西萍鄉(xiāng)·高一統(tǒng)考期中）在中，，，若，為線段的中點(diǎn)，則（ ）
A． B．
C． D．
2．（2023·江蘇·高一專(zhuān)題練習(xí)）已知向量與不共線，且，，，若，，三點(diǎn)共線，則（　　）
A． B．2 C．1 D．
3．（2023下·陜西榆林·高二校聯(lián)考期中）已知是平面內(nèi)不共線的兩個(gè)向量，且，，若，則實(shí)數(shù)（ ）
A． B． C．6 D．
4．（2023下·安徽馬鞍山·高一馬鞍山市紅星中學(xué)校考階段練習(xí)）在△OAB中，P為線段AB上的一點(diǎn)，，且，則（ ）
A． B．
C． D．
5．（2023上·貴州六盤(pán)水·高二統(tǒng)考期中）已知等邊三角形ABC的邊長(zhǎng)為2，D，E分別是BC，AC的中點(diǎn)，則（ ）
A． B． C． D．0
6．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）如圖，在圓中，若弦，弦，則的值是（ ）
三、填空題
11．（2023上·四川南充·高三四川省南部中學(xué)校考階段練習(xí)）在平行四邊形 中， 點(diǎn)E滿(mǎn)足且， 則實(shí)數(shù) ．
12．（2023上·天津紅橋·高三統(tǒng)考期中）如圖，在中，，且，點(diǎn)滿(mǎn)足，則 .

四、解答題
13．（2023上·四川成都·高二校考開(kāi)學(xué)考試）在中，已知在線段上，且，設(shè)．
(1)用向量表示；
(2)若，求．
14．（2023下·河北邯鄲·高一統(tǒng)考期中）如圖1，小明同學(xué)發(fā)現(xiàn)家里的地板是正六邊形木質(zhì)地板組合而成的，便臨摹出了家里地板的部分圖形，其平面圖如圖2所示，其中O為正六邊形ABCDEF的中心.

(1)用，表示，；
(2)若，求.
B能力提升
1．（2023上·寧夏銀川·高三銀川唐徠回民中學(xué)校考期中）在中，D為上一點(diǎn)，若（，），當(dāng)取得最小值時(shí)，三角形與三角形的面積比值為（ ）
A． B． C． D．
2．（2023上·廣東湛江·高二統(tǒng)考期中）已知點(diǎn)為的重心，分別為，邊上一點(diǎn)，，，三點(diǎn)共線，為的中點(diǎn)，若，則的最小值為（ ）
A． B．7 C． D．6
3．（2023下·甘肅臨夏·高一統(tǒng)考期末）在中，是邊上一點(diǎn)，且，點(diǎn)為的延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，寫(xiě)出使得成立的，的一組數(shù)據(jù)為 ．

C綜合素養(yǎng)
1．（2023上·天津南開(kāi)·高三南開(kāi)中學(xué)校考階段練習(xí)）如圖，在中，，，CD與BE交于點(diǎn)P，，，，則的值為 ；過(guò)點(diǎn)P的直線l交AB，AC于點(diǎn)M，N，設(shè)，（，），則的最小值為 .
2．（2023·陜西·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）等邊外接圓圓心為，半徑為上有點(diǎn)．
(1)若為弧中點(diǎn)，求；
(2)求最大值．
3．（2023上·天津靜海·高三靜海一中校考階段練習(xí)）（1）在四邊形ABCD中，，，，且，若M，N是線段BC上的動(dòng)點(diǎn)，且，求的最小值；
（2） 在中，，，點(diǎn)為的中點(diǎn)，點(diǎn)為的中點(diǎn)，若，求的最大值；
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