資源簡介

第01講 6.1平面向量的概念
課程標(biāo)準(zhǔn) 學(xué)習(xí)目標(biāo)
①能結(jié)合物理中的力、位移、速度等具體背景認(rèn)識(shí)向量，掌握向量與數(shù)量的區(qū)別。 ②會(huì)用有向線段、字母表示向量，了解有向線段與向量的聯(lián)系與區(qū)別。 ③理解零向量、單位向量、平行向量、共線向量、相等向量及向量的模等概念，會(huì)辨識(shí)圖形中這些相關(guān)的概念。 1.通過閱讀課本，查閱資料，并能結(jié)合物理中的力、位移、速度等具體背景認(rèn)識(shí)向量，掌握向量與數(shù)量的區(qū)別與聯(lián)系； 2.認(rèn)真閱讀課本，在讀書過程中學(xué)會(huì)用有向線段、字母表示向量，了解有向線段與向量的聯(lián)系與區(qū)別； 3.在認(rèn)真學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)上，理解零向量、單位向量、平行向量、共線向量、相等向量及向量的模等概念，會(huì)辨識(shí)圖形中這些相關(guān)的概念．學(xué)會(huì)向量的表示方法；
知識(shí)點(diǎn)01：向量的概念
（1）向量
在數(shù)學(xué)中,我們把既有大小又有方向的量叫做向量.
①我們所學(xué)的向量是自由向量,即只有大小和方向,而無特定的位置,這樣的向量可以作任意平移.
②向量與向量之間不能比較大小.
【即學(xué)即練1】（2023上·黑龍江·高二統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）下列量中是向量的為（ ）
A．頻率 B．拉力 C．體積 D．距離
【答案】B
【詳解】顯然頻率、體積、距離，它們只有大小，不是向量，而拉力既有大小，又有方向，所以拉力是向量.
故選：B
（2）數(shù)量
只有大小沒有方向的量稱為數(shù)量,如年齡、身高、長度、面積體積、質(zhì)量等
（3）向量與數(shù)量的區(qū)別
①向量與數(shù)量的區(qū)別:向量有方向,而數(shù)量沒有方向；數(shù)量與數(shù)量之間可以比較大小,而向量與向量之間不能比較大小
②向量與矢量:數(shù)學(xué)中的向量是從物理中的矢量(如位移、力、加速度、速度等)中抽象出來的,但在這里我們僅考慮它的大小及方向；而物理中的這些量,既同時(shí)具備大小和方向這兩個(gè)屬性,還具有其他屬性(如“力”就是由大小方向、作用點(diǎn)所決定的).
知識(shí)點(diǎn)02：向量的幾何表示
(1)有向線段
具有方向的線段叫做有向線段
①有向線段:具有方向的線段叫做有向線段,其方向是由起點(diǎn)指向終點(diǎn).以為起點(diǎn)、為終點(diǎn)的有向線段記作(如圖所示),線段的長度也叫做有向線段的長度,記作. 表示有向線段時(shí),起點(diǎn)一定要寫在終點(diǎn)的前面,上面標(biāo)上箭頭.
②有向線段的三個(gè)要素:起點(diǎn)、方向、長度.知道了有向線段的起點(diǎn)、方向、長度,它的終點(diǎn)就唯一確定了.
（2）向量的表示
①幾何表示:向量可以用有向線段表示,有向線段的長度表示向量的大小,有向線段的方向表示向量的方向.
②字母表示:向量可以用字母,,,…表示
（3）向量的模
向量的大小稱為向量的長度(或稱模),記作.
（4）兩種特殊的向量
零向量:長度為0的向量叫做零向量,記作.
單位向量:長度等于1個(gè)單位長度的向量,叫做單位向量
①若用有向線段表示零向量,則其終點(diǎn)與起點(diǎn)重合.
②要注意0與的區(qū)別與聯(lián)系:0是一個(gè)實(shí)數(shù),是一個(gè)向量,且有；書寫時(shí)表示零向量,一定不能漏掉0上的箭頭.
③單位向量有無數(shù)個(gè),它們大小相等,但方向不一定相同.
④在平面內(nèi),將表示所有單位向量的有向線段的起點(diǎn)平移到同一點(diǎn),則它們的終點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)半徑為1的圓.
【即學(xué)即練2】（2023下·新疆·高一校考期中）下列說法正確的是（ ）
A．向量的模是一個(gè)正實(shí)數(shù) B．零向量沒有方向
C．單位向量的模等于1個(gè)單位長度 D．零向量就是實(shí)數(shù)0
【答案】C
【詳解】對于A，零向量的模等于零，故A錯(cuò)誤；
對于B，零向量有方向，其方向是任意的，故B錯(cuò)誤；
對于C，根據(jù)單位向量的定義可C知正確；
對于D，零向量有大小還有方向，而實(shí)數(shù)只有大小沒有方向，故D錯(cuò)誤.
故選：C.
知識(shí)點(diǎn)03：相等向量與共線向量
(1)平行向量
方向相同或相反的非零向量叫做平行向量.向量與平行,記作.規(guī)定:零向量與任意向量平行,即對于任意向量,都有.
(2)相等向量
長度相等且方向相同的向量叫做相等向量.
向量與相等,記作.兩個(gè)向量相等必須具備的條件是長度相等,方向相同因?yàn)橄蛄客耆伤姆较蚝湍４_定,故任意兩個(gè)相等的非零向量,都可用同一條有向線段來表示,并且與有向線段的起點(diǎn)無關(guān).
（3）共線向量
任一組平行向量都可以平移到同一條直線上,因此,平行向量也叫做共線.
共線向量所在直線平行或重合,如果兩個(gè)向量所在的直線平行或重合,則這兩個(gè)向量是共線向量.
【即學(xué)即練3】（2022下·遼寧大連·高一校考階段練習(xí)）下列命題正確的是（ ）
A．若，則 B．若，則
C．若，則 D．若，則
【答案】D
【詳解】模為零的向量是零向量，所以A項(xiàng)正確；
時(shí)，只說明向的長度相等，無法確定方向，
所以B，C均錯(cuò)；
時(shí)，只說明方向相同或相反，沒有長度關(guān)系，
不能確定相等，所以D錯(cuò).
故選：A.
題型01 向量的有關(guān)概念
【典例1】（2023·全國·高一專題練習(xí)）下列說法正確的個(gè)數(shù)是（ ）
（1）溫度、速度、位移、功這些物理量是向量；
（2）零向量沒有方向；
（3）向量的模一定是正數(shù)；
（4）非零向量的單位向量是唯一的．
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】D
【詳解】對于（1），溫度與功沒有方向，不是向量，故（1）錯(cuò)誤，
對于（2），零向量的方向是任意的，故（2）錯(cuò)誤，
對于（3），零向量的模可能為0，不一點(diǎn)是正數(shù)，故（3）錯(cuò)誤，
對于（4），非零向量的單位向量的方向有兩個(gè)，故（4）錯(cuò)誤，
故選：A．
【典例2】（2023上·安徽阜陽·高二校考階段練習(xí)）下列命題中錯(cuò)誤的有（ ）
A．平行向量就是共線向量
B．相反向量就是長度相等且方向相反的向量
C．同向，且，則
D．兩個(gè)向量平行是這兩個(gè)向量相等的必要不充分條件
【答案】C
【詳解】根據(jù)向量的概念，可知A、B正確；
對于C項(xiàng)，向量不能比較大小，故C錯(cuò)誤；
對于D項(xiàng)，根據(jù)平行向量以及相等向量的概念，可知D正確.
故選：C.
【變式1】（2023下·新疆烏魯木齊·高一校考期中）下列命題：①方向不同的兩個(gè)向量不可能是共線向量；②長度相等、方向相同的向量是相等向量；③平行且模相等的兩個(gè)向量是相等向量；④若，則.其中正確命題的個(gè)數(shù)是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【詳解】對于①，由共線向量的定義可知：方向相反的兩個(gè)向量也是共線向量，故①錯(cuò)誤；
對于②，長度相等，方向相同的向量是相等向量，故②正確；
對于③，平行向量的方向相同或相反，不一定方向相同，所以不一定相等，故③錯(cuò)誤；
對于④，若，可能只是方向不相同，但模長相等，故④錯(cuò)誤.
故選：A
【變式2】（2023上·廣東湛江·高二校考開學(xué)考試）下列命題正確的個(gè)數(shù)是（ ）
（1）向量就是有向線段；（2）零向量是沒有方向的向量；
（3）零向量的方向是任意的；（4）零向量的長度為0．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【詳解】（1）向量可以用有向線段表示，但不能把兩者等同，故錯(cuò)誤；
（2）根據(jù)對零向量的規(guī)定零向量是有方向的，是任意的，故錯(cuò)誤；
（3）根據(jù)對零向量的規(guī)定，零向量的方向是任意的，故正確；
（4）根據(jù)對零向量的規(guī)定，零向量的大小為0，所以零向量的長度為0，故正確．
故選：B
題型02 向量的幾何表示
【典例1】（2023·全國·高一隨堂練習(xí)）選擇適當(dāng)?shù)谋壤撸糜邢蚓€段表示下列向量．
(1)終點(diǎn)A在起點(diǎn)O正東方向3m處；
(2)終點(diǎn)B在起點(diǎn)O正西方向3m處；
(3)終點(diǎn)C在起點(diǎn)O東北方向4m處；
(4)終點(diǎn)D在起點(diǎn)O西南方向2m處．
【答案】(1)答案見解析；
(2)答案見解析；
(3)答案見解析；
(4)答案見解析．
【詳解】（1）從向東作長度為3m的有向線段：

（2）從向西作長度為3m的有向線段：

（3）從點(diǎn)起向北偏東方向作長度為4m的有向線段：

（4）從點(diǎn)起向南偏西方向作長度為2m的有向線段：

【典例2】（2023下·山東菏澤·高一山東省東明縣第一中學(xué)校考階段練習(xí)）對下面圖形的表示恰當(dāng)?shù)氖牵? ）．

A． B． C． D．
【答案】C
【詳解】圖像有起點(diǎn)有終點(diǎn)，有箭頭有方向，可知其代表的是向量.
故選：C.
【變式1】（2023·全國·高一假期作業(yè)）已知向量如圖所示，下列說法不正確的是（ ）
A．也可以用表示 B．方向是由M指向N C．起點(diǎn)是M D．終點(diǎn)是M
【答案】D
【詳解】由向量的幾何表示知，A、B、C正確，D不正確．故選D．
【變式2】（2023下·新疆·高一校考期中）已知向量如下圖所示，下列說法不正確的是（ ）
A．向量可以用表示 B．向量的方向由指向
C．向量的起點(diǎn)是 D．向量的終點(diǎn)是
【答案】D
【詳解】由圖可知，向量可以用表示，故A正確；向量的方向由指向，故B正確；
向量的起點(diǎn)是，故C正確；向量的終點(diǎn)是，故D不正確.
故選：D
題型03 向量的模
【典例1】（2023下·山東菏澤·高一山東省東明縣第一中學(xué)校考階段練習(xí)）如果一架飛機(jī)向西飛行，再向南飛行，記飛機(jī)飛行的路程為，位移為，則（ ）．
A． B． C． D．與不能比較大小
【答案】D
【詳解】由題意，作圖如下：
則該飛機(jī)由先飛到，再飛到，則，，，
則飛機(jī)飛行的路程為，，
所以.
故選：A.
【典例2】（2022·高一課時(shí)練習(xí)）如圖，已知是單位向量，求出圖中向量，，，的模.
【答案】
【詳解】因?yàn)槭菃挝幌蛄浚詧D中小正方形的邊長為；
所以，
由勾股定理可知，，.
【變式1】（2023下·安徽合肥·高一合肥一中校考階段練習(xí)）在如圖所示的半圓中，AB為直徑，點(diǎn)O為圓心，C為半圓上一點(diǎn)，且，，則等于（ ）
A．1 B． C． D．2
【答案】D
【詳解】如圖，連接AC，
由，得.
因?yàn)闉榘雸A上的點(diǎn)，所以，
所以．
故選：A.
【變式2】（2023·全國·高一隨堂練習(xí)）如圖，某船從點(diǎn)O出發(fā)沿北偏東30°的方向行駛至點(diǎn)A處，求該船航行向量的長度（單位：n mile）．

【答案】2 n mile．
【詳解】由題意，
所以向量的長度為2 n mile．
題型04 零向量與單位向量
【典例1】（2022下·高一校考課時(shí)練習(xí)）下列說法正確的是（ ）
A．零向量沒有大小，沒有方向
B．零向量是唯一沒有方向的向量
C．零向量的長度為0
D．任意兩個(gè)單位向量方向相同
【答案】C
【詳解】零向量有大小，有方向，其長度為0，方向不確定，任意兩個(gè)單位向量長度相同，方向無法判斷.
故選：C.
【典例2】（2022下·湖北鄂州·高一校聯(lián)考期中）下列關(guān)于零向量的說法正確的是（ ）
A．零向量沒有大小 B．零向量沒有方向
C．兩個(gè)反方向向量之和為零向量 D．零向量與任何向量都共線
【答案】D
【詳解】根據(jù)零向量的概念可得零向量的長度為零，方向任意，故A、B錯(cuò)誤；
兩個(gè)反方向向量之和不一定為零向量，只有相反向量之和才是零向量，C錯(cuò)誤；
零向量與任意向量共線，D正確．
故選：D.
【變式1】（2022·全國·高一假期作業(yè)）下列說法正確的個(gè)數(shù)為（ ）
①面積、壓強(qiáng)、速度、位移這些物理量都是向量
②零向量沒有方向
③向量的模一定是正數(shù)
④非零向量的單位向量是唯一的
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】D
【詳解】①錯(cuò)誤，只有速度，位移是向量．
②錯(cuò)誤，零向量有方向，它的方向是任意的．
③錯(cuò)誤，
④錯(cuò)誤，非零向量的單位向量有兩個(gè)，一個(gè)與同向，一個(gè)與反向．
故選：A.
【變式2】（2020下·高一課時(shí)練習(xí)）下列命題中正確的個(gè)數(shù)是
①向量就是有向線段 ②零向量是沒有方向的向量
③零向量的方向是任意的 ④任何向量的模都是正實(shí)數(shù)
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】B
【詳解】有向線段只是向量的一種表示形式，但不能把兩者等同起來，故①錯(cuò)；
零向量有方向，其方向是任意的，故②錯(cuò)，③正確；
零向量的模等于0，故④錯(cuò).
故選：B.
題型05 相等向量
【典例1】（2023上·廣東湛江·高二湛江二十一中校考期中）下列命題正確的是（ ）
A．零向量沒有方向 B．若，則
C．若，，則 D．若，，則
【答案】C
【詳解】對于A項(xiàng)：零向量的方向是任意的并不是沒有方向，故A項(xiàng)錯(cuò)誤；
對于B項(xiàng)：因?yàn)橄蛄康哪Ｏ嗟龋蛄坎灰欢ㄏ嗟龋蔅項(xiàng)錯(cuò)誤；
對于C項(xiàng)：因?yàn)椋钥傻茫海蔆項(xiàng)正確；
對于D項(xiàng)：若，則不共線的，也有，，故D項(xiàng)錯(cuò)誤.
故選：C.
【典例2】（2023下·山東濱州·高一統(tǒng)考期中）下列說法正確的是（ ）
A．單位向量都相等
B．若，則
C．若，則
D．若，則
【答案】C
【詳解】對于A，單位向量的模長都相等，但方向不一定相同，所以選項(xiàng)A錯(cuò)誤；
對于B，若，說明兩個(gè)向量的模長相等，但方向不一定相同或相反，所以兩向量不一定共線，所以選項(xiàng)B錯(cuò)誤；
對于C，向量的相等條件為方向相同且模長相等，所以，則，所以選項(xiàng)C正確；
對于D，此時(shí)若，但兩向量的方向不同，滿足，但與選項(xiàng)D題干矛盾，所以選項(xiàng)D錯(cuò)誤.
故選：C.
【變式1】（2023下·新疆烏魯木齊·高一校考期中）如圖，在正六邊形中，點(diǎn)為其中點(diǎn)，則下列判斷錯(cuò)誤的是（ ）

A． B．
C． D．
【答案】D
【詳解】對于A，由正六邊形的性質(zhì)可得四邊形為平行四邊形，故，故A正確.
對于B，因?yàn)椋剩蔅正確.
對于C，由正六邊形的性質(zhì)可得，故，故C正確.
對于D，因?yàn)榻挥冢什怀闪ⅲ蔇錯(cuò)誤，
故選：D.
【變式2】（多選）（2023下·陜西咸陽·高一校考期中）下列命題中，錯(cuò)誤的是（ ）
A．若，則與方向相同或相反
B．若，，則
C．若，，則
D．若兩個(gè)單位向量互相平行，則這兩個(gè)單位向量相等
【答案】DBD
【詳解】對于A選項(xiàng)，因?yàn)椋簦瑒t零向量的方向任意，A錯(cuò)；
對于B選項(xiàng)，取，則，，但、不一定平行，B錯(cuò)；
對于C選項(xiàng)，，，則，C對；
對于D選項(xiàng)，若兩個(gè)單位向量互相平行，則這兩個(gè)單位向量相等或相反，D錯(cuò).
故選：ABD.
題型06 共線向量
【典例1】（多選）（2023上·高二課時(shí)練習(xí)）(多選)下列命題的判斷正確的是（ ）
A．若向量與向量共線，則A，B，C，D四點(diǎn)在一條直線上
B．若A，B，C，D四點(diǎn)在一條直線上，則向量與向量共線
C．若A，B，C，D四點(diǎn)不在一條直線上，則向量與向量不共線
D．若向量與向量共線，則A，B，C三點(diǎn)在一條直線上
【答案】BD
【詳解】對于A，平行四邊形中，，滿足向量與共線，而四點(diǎn)不共線，A錯(cuò)誤；
對于B，四點(diǎn)在一條直線上，則向量與方向相同或相反，即向量與共線，B正確；
對于C，平行四邊形中，滿足四點(diǎn)不共線，有，即向量與共線，C錯(cuò)誤；
對于D，向量與共線，而向量與有公共點(diǎn)，因此三點(diǎn)在一條直線上，D正確.
故選：BD
【典例2】（2023·全國·高一課堂例題）已知O為正六邊形的中心，在圖所標(biāo)出的向量中：

(1)試找出與共線的向量；
(2)確定與相等的向量；
(3)與相等嗎？
【答案】(1)和；
(2)；
(3)不相等.
【詳解】（1）由O為正六邊形的中心，得與共線的向量有和.
（2）由于與長度相等且方向相同，所以.
（3）顯然，且，但與的方向相反，所以這兩個(gè)向量不相等.
【變式1】（多選）（2023下·貴州遵義·高一校考階段練習(xí)）下列說法錯(cuò)誤的是（ ）
A．有向線段與表示同一向量
B．兩個(gè)有公共終點(diǎn)的向量是平行向量
C．零向量與單位向量是平行向量
D．單位向量都相等
【答案】DBD
【詳解】對A, 有向線段與表示相反向量，不是同一向量，A錯(cuò)誤；
對B，兩個(gè)有公共終點(diǎn)的向量不一定是平行向量，B錯(cuò)誤；
對C，我們規(guī)定：零向量與任意向量是平行向量，C正確；
對D，單位向量僅是模長相等，方向不確定，D錯(cuò)誤；
故選:ABD.
【變式2】（多選）（2023下·四川遂寧·高一射洪中學(xué)校考階段練習(xí)）下列命題中錯(cuò)誤的有（ ）
A．起點(diǎn)相同的單位向量，終點(diǎn)必相同；
B．已知向量，則四邊形ABCD為平行四邊形；
C．若，則；
D．若，則
【答案】DC
【詳解】單位向量的方向不確定，所以起點(diǎn)相同的，終點(diǎn)不一定相同，A選項(xiàng)錯(cuò)誤；
四邊形ABCD中，，則且，四邊形ABCD為平行四邊形，B選項(xiàng)正確；
當(dāng)時(shí)，滿足，但不能得到，C選項(xiàng)錯(cuò)誤；
由向量相等的條件可知，若，則，D選項(xiàng)正確.
故選：AC
第01講 6.1平面向量的概念
A夯實(shí)基礎(chǔ) B能力提升
A夯實(shí)基礎(chǔ)
一、單選題
1．（2023下·新疆·高一校考期末）下列說法正確的是（ ）
A．身高是一個(gè)向量
B．溫度有零上溫度和零下溫度之分，故溫度是向量
C．有向線段由方向和長度兩個(gè)要素確定
D．有向線段和有向線段的長度相等
【答案】D
【分析】根據(jù)向量的定義及性質(zhì)判斷各項(xiàng)的正誤即可.
【詳解】A：由向量即有大小（模長）又有方向的量，顯然身高不是向量，故A錯(cuò)；
B：溫度有零上溫度和零下溫度，顯然溫度可以比較大小，但無方向，故B錯(cuò)；
C：有向線段有起點(diǎn)、方向、長度三要素確定，故C錯(cuò)；
D：有向線段和有向線段的長度相等，故D對.
故選：D
2．（2023下·河南商丘·高一校考階段練習(xí)）若向量與向量不相等，則與一定（　　）
A．不共線 B．長度不相等
C．不都是單位向量 D．不都是零向量
【答案】D
【分析】向量相等為長度和方向都相同，所以若向量與向量不相等，則說明向量與向量的方向和長度至少有一個(gè)不同，分析選項(xiàng)可得結(jié)果.
【詳解】若向量與向量不相等，則說明向量與向量的方向和長度至少有一個(gè)不同，
所以與有可能共線，有可能長度相等，也有可能都是單位向量，
所以A，B，C都是錯(cuò)誤的，
但是與一定不都是零向量．
故選：D.
3．（2023下·河南濮陽·高一濮陽一高校考階段練習(xí)）判斷下列命題：①兩個(gè)有共同起點(diǎn)而且相等的非零向量，其終點(diǎn)必相同；②若，則與的方向相同或相反；③若，且，則.其中，正確的命題個(gè)數(shù)為（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】B
【分析】根據(jù)平面向量的基本概念一一判定即可.
【詳解】相等向量即方向相同大小相等，故兩個(gè)相同向量同起點(diǎn)比同終點(diǎn)，即①正確；
零向量方向是任意的，且與任意向量都平行，所以當(dāng)，若，而是非零向量，
則不滿足兩向量方向相同或相反，即②錯(cuò)誤；
同理若，且時(shí)，，是非零向量，也得不到，即③錯(cuò)誤.
綜上正確的是1個(gè).
故選：B
4．（2018·高一課時(shí)練習(xí)）如圖，在四邊形ABCD中，若，則圖中相等的向量是（ ）

A．與 B．與 C．與 D．與
【答案】C
【分析】由條件可得四邊形ABCD是平行四邊形，然后逐一判斷即可.
【詳解】因?yàn)椋运倪呅蜛BCD是平行四邊形，
所以，，，，故ABD錯(cuò)誤，C正確.
故選：C.
5．（2022·高一課時(shí)練習(xí)）給出下列四個(gè)命題：①若，則；②若，則或；③若，則；④若，則. 其中的正確命題有（ ）
A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)
【答案】D
【分析】根據(jù)向量的概念及零向量，平行向量的概念進(jìn)行判斷.
【詳解】對于①，前一個(gè)零是實(shí)數(shù)，后一個(gè)應(yīng)是零向量，故①錯(cuò)誤；
對于②，兩個(gè)向量的模相等，只能說明它們的長度相等，它們的方向并不確定，故②錯(cuò)誤；
對于③，兩個(gè)向量平行，它們的方向相同或相反，模未必相等，③錯(cuò)誤；
對于④，若，則，④正確.
故選：A.
6．（2022·高一課時(shí)練習(xí)）已知向量是兩個(gè)非零向量，分別是與同方向的單位向量，則以下各式正確的是（ ）
A． B．或
C． D．與的長度相等
【答案】D
【分析】利用已知條件，結(jié)合方向相同的向量、單位向量的意義判斷作答.
【詳解】依題意，，顯然向量的關(guān)系不確定，
而與同方向，與同方向，因此與關(guān)系不確定，A，B，C都錯(cuò)誤，
又都是單位向量，所以與的長度相等，D正確.
故選：D
7．（2023下·山東菏澤·高一山東省鄄城縣第一中學(xué)校考階段練習(xí)）下列說法錯(cuò)誤的是（ ）
A．任一非零向量都可以平行移動(dòng) B．是單位向量，則
C． D．若，則
【答案】D
【分析】根據(jù)題意，由向量的定義以及相關(guān)概念對選項(xiàng)逐一判斷，即可得到結(jié)果.
【詳解】因?yàn)榉橇阆蛄渴亲杂上蛄浚梢宰杂善揭埔苿?dòng)，故A正確；
由單位向量對于可知，，故B正確；
因?yàn)椋裕蔆正確；
因?yàn)閮蓚€(gè)向量不能比較大小，故D錯(cuò)誤；
故選：D
8．（2023下·新疆·高一兵團(tuán)第三師第一中學(xué)校考階段練習(xí)）關(guān)于向量，，下列命題中，正確的是（ ）
A．若，則 B．若，則
C．若，則 D．若，，則
【答案】B
【分析】根據(jù)向量相等的定義、共線向量的定義和性質(zhì)依次判斷各個(gè)選項(xiàng)即可.
【詳解】對于A，當(dāng)時(shí)，方向可能不同，未必成立，A錯(cuò)誤；
對于B，若，則反向，，B正確；
對于C，只能說明長度的大小關(guān)系，但還有方向，無法比較大小，C錯(cuò)誤；
對于D，當(dāng)時(shí)，，，此時(shí)未必共線，D錯(cuò)誤.
故選：B.
二、多選題
9．（2023下·四川瀘州·高一瀘縣五中校考階段練習(xí)）下面關(guān)于向量的說法正確的是（ ）
A．單位向量：模為的向量
B．零向量：模為的向量
C．平行共線向量：方向相同的向量
D．相等向量：模相等，方向相同的向量
【答案】DBD
【分析】由單位向量、零向量、相等向量、共線向量的概念可知.
【詳解】C項(xiàng)，方向相反的向量也是共線向量，故錯(cuò)誤；
ABD項(xiàng)，由單位向量、零向量、相等向量概念可知，正確.
故選：ABD.
10．（2023下·四川眉山·高一校考期中）若都是非零向量，且，則（ ）
A．方向相同 B．方向相反 C． D．
【答案】DC
【分析】根據(jù)相等向量的概念判斷各選項(xiàng)即可.
【詳解】由相等向量的概念可知，由都是非零向量，且，
則方向相同，長度相等，故AC正確，B錯(cuò)誤；
而，故D錯(cuò)誤.
故選：AC.
三、填空題
11．（2023·全國·高三專題練習(xí)）在如圖所示的向量中（小正方形的邊長為1），找出存在下列關(guān)系的向量：

①共線向量： ；
②方向相反的向量： ；
③模相等的向量： .
【答案】 與，與 與，與
【分析】觀察圖形，利用共線向量、方向相反向量、模相等的向量的意義判斷作答.
【詳解】觀察圖形，，因此與是共線向量，并且方向相反；與是共線向量，并且方向相反，
顯然，因此的模相等.
故答案為：與，與；與，與；
12．（2023下·海南儋州·高一校考階段練習(xí)）下列各量中，向量有： ．（填寫序號(hào)）
①濃度；②年齡；③風(fēng)力；④面積；⑤位移；⑥加速度．
【答案】③⑤⑥
【分析】根據(jù)向量的概念判斷即可.
【詳解】向量是有大小有方向的量，故符合的有：風(fēng)力，位移，加速度.
故答案為：③⑤⑥.
四、問答題
13．（2023·全國·高一課堂例題）在圖中的方格紙中有一個(gè)向量，分別以圖中的格點(diǎn)為起點(diǎn)和終點(diǎn)作向量，其中與相等的向量有多少個(gè)？與長度相等的共線向量有多少個(gè)（除外）？

【答案】7個(gè)，個(gè).
【分析】根據(jù)給定條件，利用相等向量的定義，確定給定圖形中的向量起點(diǎn)即可判斷作答.
【詳解】當(dāng)向量的起點(diǎn)C是圖中所圈的格點(diǎn)時(shí)，可以作出與相等的向量，
這樣的格點(diǎn)共有8個(gè)，除去點(diǎn)A外，還有7個(gè)，所以共有7個(gè)向量與相等；
與長度相等的共線向量（除外），有與相等的向量，還有與方向相反且長度相等的向量，
所以與長度相等的共線向量共有（個(gè)）.

14．（2023下·高一課時(shí)練習(xí)）如圖所示，的三邊均不相等，E，F(xiàn)，D分別是AC，AB，BC的中點(diǎn)，在以A，B，C，D，E，F(xiàn)為起點(diǎn)或終點(diǎn)的所有有向線段表示的向量中：

(1)寫出與相反的向量；
(2)寫出與的模相等的向量；
(3)寫出與相等的向量.
【答案】(1)，，
(2)，，，，
(3)，
【分析】（1）根據(jù)已知可推得，且.結(jié)合圖象，即可得出答案；
（2）根據(jù)已知，結(jié)合（1）的結(jié)論以及圖象，即可得出答案；
（3）根據(jù)（1）（2），結(jié)合圖象，即可得出答案.
【詳解】（1）因?yàn)镋，F(xiàn)，D分別是AC，AB，BC的中點(diǎn)，
所以，，且.
所以，與相反的向量為，，.
（2）因?yàn)榈娜吘幌嗟龋?br/>又，
所以，與的模相等的向量為，，，，.
（3）由（1）（2）可知，與相等的向量為，.
B能力提升
1．（2023下·福建龍巖·高一福建省連城縣第一中學(xué)校考階段練習(xí)）下列說法錯(cuò)誤的是（ ）
A．
B．、是單位向量，則
C．若，則
D．任一非零向量都可以平行移動(dòng)
【答案】C
【詳解】對于A項(xiàng)，因?yàn)椋裕蔄項(xiàng)正確；
對于B項(xiàng)，由單位向量的定義知，，故B項(xiàng)正確；
對于C項(xiàng)，兩個(gè)向量不能比較大小，故C項(xiàng)錯(cuò)誤；
對于D項(xiàng)，因?yàn)榉橇阆蛄渴亲杂上蛄浚梢宰杂善叫幸苿?dòng)，故D項(xiàng)正確.
故選：C.
2．（2023下·湖南長沙·高一長沙一中校考階段練習(xí)）下列命題：①若，則；
②若，，則；
③的充要條件是且；
④若，，則；
⑤若、、、是不共線的四點(diǎn)，則是四邊形為平行四邊形的充要條件.其中，真命題的個(gè)數(shù)是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【詳解】對于①，因?yàn)椋⒌姆较虿淮_定，則、不一定相等，①錯(cuò)；
對于②，若，，則，②對；
對于③，且或，
所以，所以，“且”是“”的必要不充分條件，③錯(cuò)；
對于④，取，則、不一定共線，④錯(cuò)；
對于⑤，若、、、是不共線的四點(diǎn)，
當(dāng)時(shí)，則且，此時(shí)，四邊形為平行四邊形，
當(dāng)四邊形為平行四邊形時(shí)，由相等向量的定義可知，
所以，若、、、是不共線的四點(diǎn)，則是四邊形為平行四邊形的充要條件，⑤對.
故選：A.
3．（2021上·四川廣安·高三四川省鄰水縣第二中學(xué)校考階段練習(xí)）若都為非零向量，則“”是“與共線”的（ ）
A．充要條件 B．充分不必要條件
C．必要不充分條件 D．既不充分也不必要條件
【答案】B
【詳解】由分別表示方向上的單位向量，
當(dāng)，即共線，充分性成立；
當(dāng)與共線，若同向共線時(shí)，不成立，必要性不成立.
“”是“與共線”的充分不必要條件.
故選：B
4．（2021下·上海浦東新·高一上海市進(jìn)才中學(xué)校考期中）下列關(guān)于向量的命題，序號(hào)正確的是 .
①零向量平行于任意向量；
②對于非零向量，若，則；
③對于非零向量，若，則；
④對于非零向量，若，則與所在直線一定重合.
【答案】①③
【詳解】因?yàn)榱阆蛄颗c任一向量平行，所以①正確；
對于非零向量，若，則和是平行向量，而平行向量是方向相同或相反的非零向量，
故不一定等于，故②錯(cuò)誤；
對于非零向量，若，則與是相等向量或相反向量，故，故③正確；
對于非零向量，若，則和是平行向量，也是共線向量，但與所在直線不一定重合.
故選：①③
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21世紀(jì)教育網(wǎng)(www.21cnjy.com)第01講 6.1平面向量的概念
課程標(biāo)準(zhǔn) 學(xué)習(xí)目標(biāo)
①能結(jié)合物理中的力、位移、速度等具體背景認(rèn)識(shí)向量，掌握向量與數(shù)量的區(qū)別。 ②會(huì)用有向線段、字母表示向量，了解有向線段與向量的聯(lián)系與區(qū)別。 ③理解零向量、單位向量、平行向量、共線向量、相等向量及向量的模等概念，會(huì)辨識(shí)圖形中這些相關(guān)的概念。 1.通過閱讀課本，查閱資料，并能結(jié)合物理中的力、位移、速度等具體背景認(rèn)識(shí)向量，掌握向量與數(shù)量的區(qū)別與聯(lián)系； 2.認(rèn)真閱讀課本，在讀書過程中學(xué)會(huì)用有向線段、字母表示向量，了解有向線段與向量的聯(lián)系與區(qū)別； 3.在認(rèn)真學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)上，理解零向量、單位向量、平行向量、共線向量、相等向量及向量的模等概念，會(huì)辨識(shí)圖形中這些相關(guān)的概念．學(xué)會(huì)向量的表示方法；
知識(shí)點(diǎn)01：向量的概念
（1）向量
在數(shù)學(xué)中,我們把既有大小又有方向的量叫做向量.
①我們所學(xué)的向量是自由向量,即只有大小和方向,而無特定的位置,這樣的向量可以作任意平移.
②向量與向量之間不能比較大小.
【即學(xué)即練1】（2023上·黑龍江·高二統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）下列量中是向量的為（ ）
A．頻率 B．拉力 C．體積 D．距離
【答案】B
【詳解】顯然頻率、體積、距離，它們只有大小，不是向量，而拉力既有大小，又有方向，所以拉力是向量.
故選：B
（2）數(shù)量
只有大小沒有方向的量稱為數(shù)量,如年齡、身高、長度、面積體積、質(zhì)量等
（3）向量與數(shù)量的區(qū)別
①向量與數(shù)量的區(qū)別:向量有方向,而數(shù)量沒有方向；數(shù)量與數(shù)量之間可以比較大小,而向量與向量之間不能比較大小
②向量與矢量:數(shù)學(xué)中的向量是從物理中的矢量(如位移、力、加速度、速度等)中抽象出來的,但在這里我們僅考慮它的大小及方向；而物理中的這些量,既同時(shí)具備大小和方向這兩個(gè)屬性,還具有其他屬性(如“力”就是由大小方向、作用點(diǎn)所決定的).
知識(shí)點(diǎn)02：向量的幾何表示
(1)有向線段
具有方向的線段叫做有向線段
①有向線段:具有方向的線段叫做有向線段,其方向是由起點(diǎn)指向終點(diǎn).以為起點(diǎn)、為終點(diǎn)的有向線段記作(如圖所示),線段的長度也叫做有向線段的長度,記作. 表示有向線段時(shí),起點(diǎn)一定要寫在終點(diǎn)的前面,上面標(biāo)上箭頭.
②有向線段的三個(gè)要素:起點(diǎn)、方向、長度.知道了有向線段的起點(diǎn)、方向、長度,它的終點(diǎn)就唯一確定了.
（2）向量的表示
①幾何表示:向量可以用有向線段表示,有向線段的長度表示向量的大小,有向線段的方向表示向量的方向.
②字母表示:向量可以用字母,,,…表示
（3）向量的模
向量的大小稱為向量的長度(或稱模),記作.
（4）兩種特殊的向量
零向量:長度為0的向量叫做零向量,記作.
單位向量:長度等于1個(gè)單位長度的向量,叫做單位向量
①若用有向線段表示零向量,則其終點(diǎn)與起點(diǎn)重合.
②要注意0與的區(qū)別與聯(lián)系:0是一個(gè)實(shí)數(shù),是一個(gè)向量,且有；書寫時(shí)表示零向量,一定不能漏掉0上的箭頭.
③單位向量有無數(shù)個(gè),它們大小相等,但方向不一定相同.
④在平面內(nèi),將表示所有單位向量的有向線段的起點(diǎn)平移到同一點(diǎn),則它們的終點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)半徑為1的圓.
【即學(xué)即練2】（2023下·新疆·高一校考期中）下列說法正確的是（ ）
A．向量的模是一個(gè)正實(shí)數(shù) B．零向量沒有方向
C．單位向量的模等于1個(gè)單位長度 D．零向量就是實(shí)數(shù)0
【答案】C
【詳解】對于A，零向量的模等于零，故A錯(cuò)誤；
對于B，零向量有方向，其方向是任意的，故B錯(cuò)誤；
對于C，根據(jù)單位向量的定義可C知正確；
對于D，零向量有大小還有方向，而實(shí)數(shù)只有大小沒有方向，故D錯(cuò)誤.
故選：C.
知識(shí)點(diǎn)03：相等向量與共線向量
(1)平行向量
方向相同或相反的非零向量叫做平行向量.向量與平行,記作.規(guī)定:零向量與任意向量平行,即對于任意向量,都有.
(2)相等向量
長度相等且方向相同的向量叫做相等向量.
向量與相等,記作.兩個(gè)向量相等必須具備的條件是長度相等,方向相同因?yàn)橄蛄客耆伤姆较蚝湍４_定,故任意兩個(gè)相等的非零向量,都可用同一條有向線段來表示,并且與有向線段的起點(diǎn)無關(guān).
（3）共線向量
任一組平行向量都可以平移到同一條直線上,因此,平行向量也叫做共線.
共線向量所在直線平行或重合,如果兩個(gè)向量所在的直線平行或重合,則這兩個(gè)向量是共線向量.
【即學(xué)即練3】（2022下·遼寧大連·高一校考階段練習(xí)）下列命題正確的是（ ）
A．若，則 B．若，則
C．若，則 D．若，則
【答案】D
【詳解】模為零的向量是零向量，所以A項(xiàng)正確；
時(shí)，只說明向的長度相等，無法確定方向，
所以B，C均錯(cuò)；
時(shí)，只說明方向相同或相反，沒有長度關(guān)系，
不能確定相等，所以D錯(cuò).
故選：A.
題型01 向量的有關(guān)概念
【典例1】（2023·全國·高一專題練習(xí)）下列說法正確的個(gè)數(shù)是（ ）
（1）溫度、速度、位移、功這些物理量是向量；
（2）零向量沒有方向；
（3）向量的模一定是正數(shù)；
（4）非零向量的單位向量是唯一的．
A．0 B．1 C．2 D．3
【典例2】（2023上·安徽阜陽·高二校考階段練習(xí)）下列命題中錯(cuò)誤的有（ ）
A．平行向量就是共線向量
B．相反向量就是長度相等且方向相反的向量
C．同向，且，則
D．兩個(gè)向量平行是這兩個(gè)向量相等的必要不充分條件
【變式1】（2023下·新疆烏魯木齊·高一校考期中）下列命題：①方向不同的兩個(gè)向量不可能是共線向量；②長度相等、方向相同的向量是相等向量；③平行且模相等的兩個(gè)向量是相等向量；④若，則.其中正確命題的個(gè)數(shù)是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【變式2】（2023上·廣東湛江·高二校考開學(xué)考試）下列命題正確的個(gè)數(shù)是（ ）
（1）向量就是有向線段；（2）零向量是沒有方向的向量；
（3）零向量的方向是任意的；（4）零向量的長度為0．
A．1 B．2 C．3 D．4
題型02 向量的幾何表示
【典例1】（2023·全國·高一隨堂練習(xí)）選擇適當(dāng)?shù)谋壤撸糜邢蚓€段表示下列向量．
(1)終點(diǎn)A在起點(diǎn)O正東方向3m處；
(2)終點(diǎn)B在起點(diǎn)O正西方向3m處；
(3)終點(diǎn)C在起點(diǎn)O東北方向4m處；
(4)終點(diǎn)D在起點(diǎn)O西南方向2m處．

【典例2】（2023下·山東菏澤·高一山東省東明縣第一中學(xué)校考階段練習(xí)）對下面圖形的表示恰當(dāng)?shù)氖牵? ）．

A． B． C． D．
【變式1】（2023·全國·高一假期作業(yè)）已知向量如圖所示，下列說法不正確的是（ ）
A．也可以用表示 B．方向是由M指向N C．起點(diǎn)是M D．終點(diǎn)是M
【變式2】（2023下·新疆·高一校考期中）已知向量如下圖所示，下列說法不正確的是（ ）
A．向量可以用表示 B．向量的方向由指向
C．向量的起點(diǎn)是 D．向量的終點(diǎn)是
題型03 向量的模
【典例1】（2023下·山東菏澤·高一山東省東明縣第一中學(xué)校考階段練習(xí)）如果一架飛機(jī)向西飛行，再向南飛行，記飛機(jī)飛行的路程為，位移為，則（ ）．
A． B． C． D．與不能比較大小
【典例2】（2022·高一課時(shí)練習(xí)）如圖，已知是單位向量，求出圖中向量，，，的模.
【變式1】（2023下·安徽合肥·高一合肥一中校考階段練習(xí)）在如圖所示的半圓中，AB為直徑，點(diǎn)O為圓心，C為半圓上一點(diǎn)，且，，則等于（ ）
A．1 B． C． D．2
【變式2】（2023·全國·高一隨堂練習(xí)）如圖，某船從點(diǎn)O出發(fā)沿北偏東30°的方向行駛至點(diǎn)A處，求該船航行向量的長度（單位：n mile）．

題型04 零向量與單位向量
【典例1】（2022下·高一校考課時(shí)練習(xí)）下列說法正確的是（ ）
A．零向量沒有大小，沒有方向
B．零向量是唯一沒有方向的向量
C．零向量的長度為0
D．任意兩個(gè)單位向量方向相同
【典例2】（2022下·湖北鄂州·高一校聯(lián)考期中）下列關(guān)于零向量的說法正確的是（ ）
A．零向量沒有大小 B．零向量沒有方向
C．兩個(gè)反方向向量之和為零向量 D．零向量與任何向量都共線
【變式1】（2022·全國·高一假期作業(yè)）下列說法正確的個(gè)數(shù)為（ ）
①面積、壓強(qiáng)、速度、位移這些物理量都是向量
②零向量沒有方向
③向量的模一定是正數(shù)
④非零向量的單位向量是唯一的
A．0 B．1 C．2 D．3
【變式2】（2020下·高一課時(shí)練習(xí)）下列命題中正確的個(gè)數(shù)是
①向量就是有向線段 ②零向量是沒有方向的向量
③零向量的方向是任意的 ④任何向量的模都是正實(shí)數(shù)
A．0 B．1 C．2 D．3
題型05 相等向量
【典例1】（2023上·廣東湛江·高二湛江二十一中校考期中）下列命題正確的是（ ）
A．零向量沒有方向 B．若，則
C．若，，則 D．若，，則
【典例2】（2023下·山東濱州·高一統(tǒng)考期中）下列說法正確的是（ ）
A．單位向量都相等
B．若，則
C．若，則
D．若，則
【變式1】（2023下·新疆烏魯木齊·高一校考期中）如圖，在正六邊形中，點(diǎn)為其中點(diǎn)，則下列判斷錯(cuò)誤的是（ ）

A． B．
C． D．
【變式2】（多選）（2023下·陜西咸陽·高一校考期中）下列命題中，錯(cuò)誤的是（ ）
A．若，則與方向相同或相反
B．若，，則
C．若，，則
D．若兩個(gè)單位向量互相平行，則這兩個(gè)單位向量相等
題型06 共線向量
【典例1】（多選）（2023上·高二課時(shí)練習(xí)）(多選)下列命題的判斷正確的是（ ）
A．若向量與向量共線，則A，B，C，D四點(diǎn)在一條直線上
B．若A，B，C，D四點(diǎn)在一條直線上，則向量與向量共線
C．若A，B，C，D四點(diǎn)不在一條直線上，則向量與向量不共線
D．若向量與向量共線，則A，B，C三點(diǎn)在一條直線上
【典例2】（2023·全國·高一課堂例題）已知O為正六邊形的中心，在圖所標(biāo)出的向量中：

(1)試找出與共線的向量；
(2)確定與相等的向量；
(3)與相等嗎？
【變式1】（多選）（2023下·貴州遵義·高一校考階段練習(xí)）下列說法錯(cuò)誤的是（ ）
A．有向線段與表示同一向量
B．兩個(gè)有公共終點(diǎn)的向量是平行向量
C．零向量與單位向量是平行向量
D．單位向量都相等
【變式2】（多選）（2023下·四川遂寧·高一射洪中學(xué)校考階段練習(xí)）下列命題中錯(cuò)誤的有（ ）
A．起點(diǎn)相同的單位向量，終點(diǎn)必相同；
B．已知向量，則四邊形ABCD為平行四邊形；
C．若，則；
D．若，則
第01講 6.1平面向量的概念
A夯實(shí)基礎(chǔ) B能力提升
A夯實(shí)基礎(chǔ)
一、單選題
1．（2023下·新疆·高一校考期末）下列說法正確的是（ ）
A．身高是一個(gè)向量
B．溫度有零上溫度和零下溫度之分，故溫度是向量
C．有向線段由方向和長度兩個(gè)要素確定
D．有向線段和有向線段的長度相等
2．（2023下·河南商丘·高一校考階段練習(xí)）若向量與向量不相等，則與一定（　　）
A．不共線 B．長度不相等
C．不都是單位向量 D．不都是零向量
3．（2023下·河南濮陽·高一濮陽一高校考階段練習(xí)）判斷下列命題：①兩個(gè)有共同起點(diǎn)而且相等的非零向量，其終點(diǎn)必相同；②若，則與的方向相同或相反；③若，且，則.其中，正確的命題個(gè)數(shù)為（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
4．（2018·高一課時(shí)練習(xí)）如圖，在四邊形ABCD中，若，則圖中相等的向量是（ ）

A．與 B．與 C．與 D．與
5．（2022·高一課時(shí)練習(xí)）給出下列四個(gè)命題：①若，則；②若，則或；③若，則；④若，則. 其中的正確命題有（ ）
A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)
6．（2022·高一課時(shí)練習(xí)）已知向量是兩個(gè)非零向量，分別是與同方向的單位向量，則以下各式正確的是（ ）
A． B．或
C． D．與的長度相等
7．（2023下·山東菏澤·高一山東省鄄城縣第一中學(xué)校考階段練習(xí)）下列說法錯(cuò)誤的是（ ）
A．任一非零向量都可以平行移動(dòng) B．是單位向量，則
C． D．若，則
8．（2023下·新疆·高一兵團(tuán)第三師第一中學(xué)校考階段練習(xí)）關(guān)于向量，，下列命題中，正確的是（ ）
A．若，則 B．若，則
C．若，則 D．若，，則
二、多選題
9．（2023下·四川瀘州·高一瀘縣五中校考階段練習(xí)）下面關(guān)于向量的說法正確的是（ ）
A．單位向量：模為的向量
B．零向量：模為的向量
C．平行共線向量：方向相同的向量
D．相等向量：模相等，方向相同的向量
10．（2023下·四川眉山·高一校考期中）若都是非零向量，且，則（ ）
A．方向相同 B．方向相反 C． D．
三、填空題
11．（2023·全國·高三專題練習(xí)）在如圖所示的向量中（小正方形的邊長為1），找出存在下列關(guān)系的向量：

①共線向量： ；
②方向相反的向量： ；
③模相等的向量： .
12．（2023下·海南儋州·高一校考階段練習(xí)）下列各量中，向量有： ．（填寫序號(hào)）
①濃度；②年齡；③風(fēng)力；④面積；⑤位移；⑥加速度．
四、問答題
13．（2023·全國·高一課堂例題）在圖中的方格紙中有一個(gè)向量，分別以圖中的格點(diǎn)為起點(diǎn)和終點(diǎn)作向量，其中與相等的向量有多少個(gè)？與長度相等的共線向量有多少個(gè)（除外）？

14．（2023下·高一課時(shí)練習(xí)）如圖所示，的三邊均不相等，E，F(xiàn)，D分別是AC，AB，BC的中點(diǎn)，在以A，B，C，D，E，F(xiàn)為起點(diǎn)或終點(diǎn)的所有有向線段表示的向量中：
(1)寫出與相反的向量；
(2)寫出與的模相等的向量；
(3)寫出與相等的向量.
B能力提升
1．（2023下·福建龍巖·高一福建省連城縣第一中學(xué)校考階段練習(xí)）下列說法錯(cuò)誤的是（ ）
A．
B．、是單位向量，則
C．若，則
D．任一非零向量都可以平行移動(dòng)
2．（2023下·湖南長沙·高一長沙一中校考階段練習(xí)）下列命題：①若，則；
②若，，則；
③的充要條件是且；
④若，，則；
⑤若、、、是不共線的四點(diǎn)，則是四邊形為平行四邊形的充要條件.其中，真命題的個(gè)數(shù)是（ ）
A． B． C． D．
3．（2021上·四川廣安·高三四川省鄰水縣第二中學(xué)校考階段練習(xí)）若都為非零向量，則“”是“與共線”的（ ）
A．充要條件 B．充分不必要條件
C．必要不充分條件 D．既不充分也不必要條件
4．（2021下·上海浦東新·高一上海市進(jìn)才中學(xué)校考期中）下列關(guān)于向量的命題，序號(hào)正確的是 .
①零向量平行于任意向量；
②對于非零向量，若，則；
③對于非零向量，若，則；
④對于非零向量，若，則與所在直線一定重合.
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