資源簡(jiǎn)介

第05講 6.2.4向量的數(shù)量積
課程標(biāo)準(zhǔn) 學(xué)習(xí)目標(biāo)
①了解向量數(shù)量積的物理背景，即物體在力F的作用下產(chǎn)生位移s所做的功。 ②掌握向量數(shù)量積的定義及投影向量。 ③會(huì)計(jì)算平面向量的數(shù)量積。 ④會(huì)利用向量數(shù)量積的有關(guān)運(yùn)算律進(jìn)行計(jì)算或證明。 1.通過(guò)閱讀課本在向量前面知識(shí)學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)上進(jìn)一步了解向量數(shù)量積的物理背景，即物體在力F的作用下產(chǎn)生位移s所做的功； 2.理解和掌握向量數(shù)量積的定義與投影向量的概念與意義； 3.在認(rèn)真學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)上，深刻掌握平面向量數(shù)量積的意義，為后續(xù)學(xué)習(xí)空間向量數(shù)量積打好基礎(chǔ)； 4.平面向量是數(shù)量積運(yùn)算是平面向量運(yùn)算的核心，對(duì)于提升數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，和邏輯推理能力有著十分重要的作用； 5.熟練運(yùn)用會(huì)利用向量數(shù)量積的有關(guān)運(yùn)算律進(jìn)行計(jì)算或證明，以及實(shí)際應(yīng)用有著十分重要的作用.
知識(shí)點(diǎn)01：平面向量數(shù)列積的物理背景
如圖,一個(gè)物體在力F的作用下產(chǎn)生了位移s,且力F與位移s的夾角為，那么力F所做的功.
其中是F在物體位移方向上的分量的數(shù)量,也就是力F在物體位移方向上正投影的數(shù)量.
從物理角度來(lái)看數(shù)量積的意義,有利于理解數(shù)量積的概念,兩個(gè)向量的數(shù)量積可以運(yùn)算,其結(jié)果是一個(gè)數(shù)量.
知識(shí)點(diǎn)02：向量的夾角
(1)定義：已知兩個(gè)非零向量,,是平面上的任意一點(diǎn),作,,則叫做向量與的夾角.
(2)向量的夾角范圍.
(3)特殊情況：
①，與同向；
②，與垂直，記作；
③，與反向.
【即學(xué)即練1】（2023下·甘肅蘭州·高一統(tǒng)考期末）等邊三角形中，與的夾角為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【詳解】解：延長(zhǎng)到，則為與的夾角，所以，與的夾角為．

故選：C．
知識(shí)點(diǎn)03：平面向量數(shù)量積的概念
（1）平面向量數(shù)量積的定義
已知兩個(gè)非零向量與,它們的夾角為,我們把數(shù)量叫做向量與的數(shù)量積(或內(nèi)積).
記作：，即.
規(guī)定：零向量與任一向量的數(shù)量積為0
特別提醒:
（1）“·”是數(shù)量積的運(yùn)算符號(hào),既不能省略不寫(xiě),也不能寫(xiě)成“×”；
(2)數(shù)量積的結(jié)果為數(shù)量,不再是向量；
(3)向量數(shù)量積的正負(fù)由兩個(gè)向量的夾角決定:當(dāng)是銳角時(shí),數(shù)量積為正；當(dāng)是鈍角時(shí),數(shù)量積為負(fù)；當(dāng)是直角時(shí),數(shù)量積等于零.
【即學(xué)即練2】（2023上·陜西漢中·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）在中，，，則 .
【答案】
【詳解】根據(jù)題意易得為等腰直角三角形，
,
則，
故答案為：
（2）投影
如圖,設(shè),是兩個(gè)非零向量,,,作如下變換:過(guò)的起點(diǎn)和終點(diǎn),分別作所在直線的垂線,垂足分別為,,得到,我們稱(chēng)上述變換為向量向向量投影,叫做向量在向量上的投影向量.
特別提醒:
①為向量在上的投影的數(shù)量；
②為向量在上的投影的數(shù)量；
③投影的數(shù)量（）是一個(gè)值，不是向量.
【即學(xué)即練3】（2023下·甘肅天水·高一天水市第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知，，且，則向量在向量上的投影數(shù)量為 .
【答案】
【詳解】因?yàn)?，所以?br/>又因?yàn)?，，所以?br/>所以向量在向量上的投影數(shù)量為，
故答案為：.
知識(shí)點(diǎn)4：平面向量數(shù)量積的性質(zhì)
設(shè),是非零向量,它們的夾角是,是與方向相同的單位向量,則
①.
②.
③當(dāng)與同向時(shí),；
④當(dāng)與反向時(shí),；
⑤ 或；
⑥；
⑦.
知識(shí)點(diǎn)5：向量數(shù)量積的運(yùn)算律
①交換律：
②對(duì)數(shù)乘的結(jié)合律：
③分配律：
④
⑤
題型01 平面向量數(shù)量積有關(guān)的定義及辨析
【典例1】（2022上·河北邯鄲·高二?？计谥校┤艟鶠榉橇阆蛄?，則是與共線的（ ）
A．充分不必要條件
B．必要不充分條件
C．充分必要條件
D．既不充分又不必要條件
【答案】D
【詳解】一方面：由，可得，此時(shí)與共線;
另一方面：由與共線，可得或，此時(shí)有或，
即此時(shí)不一定成立.
結(jié)合以上兩方面有是與共線的充分不必要條件.
故選：A.
【典例2】（多選）（2023上·四川成都·高二成都七中校考期中）下列說(shuō)法正確的是（ ）
A．對(duì)任意向量，都有
B．若且，則
C．對(duì)任意向量，都有
D．對(duì)任意向量，都有
【答案】DD
【詳解】，，
可得，故選項(xiàng)A正確；
由可得，
又，可得或，
故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；
,
所以不一定成立，
故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；
由向量數(shù)量積運(yùn)算的分配律可知選項(xiàng)D正確；
故選：AD.
【變式1】（2023下·上海黃浦·高一上海市敬業(yè)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知平面上有三個(gè)點(diǎn)A，B，C，則命題“A，B，C可以構(gòu)成一個(gè)A為鈍角的鈍角三角形”是“”的（ ）
A．充分非必要條件 B．必要非充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
【答案】D
【詳解】當(dāng)A，B，C可以構(gòu)成一個(gè)A為鈍角的鈍角三角形時(shí)，，
從而命題“A，B，C可以構(gòu)成一個(gè)A為鈍角的鈍角三角形”是“”的充分條件，
當(dāng)三個(gè)點(diǎn)A，B，C共線且時(shí)，滿(mǎn)是，但是A，B，C不能構(gòu)成三角形，
從而命題“A，B，C可以構(gòu)成一個(gè)A為鈍角的鈍角三角形”不是“”的不必要條件.
故選：A
【變式2】（多選）（2023下·四川樂(lè)山·高一期末）已知平面向量，，，則下列說(shuō)法正確的是（ ）
A． B．
C．若，，則 D．，則
【答案】BD
【詳解】對(duì)于A：表示與共線的一個(gè)向量，
表示與共線的一個(gè)向量，故A錯(cuò)誤；
對(duì)于B：，故B正確；
對(duì)于C：因?yàn)?，即?br/>又，所以，
即向量與在向量方向上的投影相同，故C錯(cuò)誤；
對(duì)于D：若，則，
即，
所以，則，故D正確；
故選：BD
題型02 平面向量數(shù)量積的幾何意義
【典例1】（2022下·河南南陽(yáng)·高一?？茧A段練習(xí)）已知是邊長(zhǎng)為2的正三角形，則向量在上的投影數(shù)量是 ．
【答案】
【詳解】向量在上的投影數(shù)量為 ，
故答案為：
【典例2】（2023·山西·?？寄M預(yù)測(cè)）美術(shù)課對(duì)于陶冶人的情操 發(fā)展學(xué)生的藝術(shù)興趣和愛(ài)好 培養(yǎng)學(xué)生的藝術(shù)特長(zhǎng) 提高學(xué)生的審美素養(yǎng)具有積極作用.如圖，這是某學(xué)生關(guān)于“杯子”的聯(lián)想創(chuàng)意圖，它是由一個(gè)正方形和三個(gè)半圓組成的，其中，是正方形的兩個(gè)頂點(diǎn)，是三段圓弧上的動(dòng)點(diǎn)，若，則的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【詳解】如圖，作，垂足分別為，且與左半圓相切，
切點(diǎn)為與右半圓相切，切點(diǎn)為.
，其中為在上的投影，
因?yàn)?，所?
當(dāng)與重合時(shí)，最大，最大值為，
此時(shí)取得最大值，最大值為；
當(dāng)與重合時(shí)，最小，最小值為，
此時(shí)取得最小值，最小值為；
故的取值范圍是，
故選：B
【變式1】（2023下·山東青島·高一統(tǒng)考期中）已知點(diǎn)是邊長(zhǎng)為2的正的內(nèi)部（不包括邊界）的一個(gè)點(diǎn)，則的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【詳解】解：如圖所示：
因?yàn)辄c(diǎn)是邊長(zhǎng)為2的正的內(nèi)部（不包括邊界）的一個(gè)點(diǎn)，
由圖象知：，
所以，
故選；C
題型03 用定義法求向量數(shù)量積
【典例1】（2023上·山西·高二統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）已知等邊三角形的邊長(zhǎng)為1，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【詳解】因?yàn)?，且向量與的夾角為，所以，
故選：C．
【典例2】（2023上·上海楊浦·高三上海市控江中學(xué)?？计谥校┤鐖D所示，兩塊斜邊長(zhǎng)均等于的直角三角板拼在一起，則的值為 .

【答案】
【詳解】根據(jù)題意可知，，；
所以可得
，
即的值為.
故答案為：
【變式1】（2023上·山東濰坊·高三校考期中）已知，則（ ）
A． B．-24 C． D．16
【答案】D
【詳解】解：因?yàn)椋?br/>所以.
故選：.
【變式2】（2023上·浙江·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）已知，，，則 .
【答案】0
【詳解】由題意.
故答案為：0.
題型04 已知數(shù)量積求模
【典例1】（2023·四川涼山·統(tǒng)考一模）已知平面向量，滿(mǎn)足，，則（ ）
A． B． C．3 D．
【答案】C
【詳解】因?yàn)椋?br/>所以，
即.
故選：C
【典例2】（2023上·廣東佛山·高三?？茧A段練習(xí)）已知向量，滿(mǎn)足，，與的夾角為，則 ．
【答案】/
【詳解】由題意得，
故，
故答案為：
【變式1】（2023上·湖北·高二湖北省紅安縣第一中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）已知，，，的夾角為，則（ ）
A．1 B． C．2 D．4
【答案】C
【詳解】因?yàn)?，，，的夾角為，
所以，
解得，
，
故選：C.
【變式2】（2023上·湖北·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知向量，滿(mǎn)足，且，則（ ）
A．1 B．2 C． D．
【答案】D
【詳解】因?yàn)椋裕?br/>因?yàn)?，所以?br/>解得，
.
故選：D
題型05 向量夾角問(wèn)題
【典例1】（2023上·北京海淀·高三北大附中?？茧A段練習(xí)）已知向量，，滿(mǎn)足，且，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【詳解】設(shè)，
因?yàn)?，?br/>可知三點(diǎn)不共線，且既是的重心也是的外心，
所以為等邊三角形，
則，
所以.
故選：C.
【典例2】（2024上·貴州黔東南·高三天柱民族中學(xué)校考階段練習(xí)）已知向量，，，則 .
【答案】
【詳解】由可得，
即，即，
所以，又，
所以.
故答案為：
【典例3】（2023上·北京·高三101中學(xué)校考階段練習(xí)）已知，，，若與的夾角為銳角，則實(shí)數(shù)t的取值范圍是 ．
【答案】
【詳解】因?yàn)榕c的夾角為銳角，又，
所以，
又，，，所以，
解得，又因，
當(dāng)時(shí)，也滿(mǎn)足，此時(shí)不合題意，
當(dāng)與共線同向時(shí)，有，從而得到，解得，
又，所以實(shí)數(shù)t的取值范圍是，
故答案為：.
【變式1】（2024上·江西·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知平面向量、滿(mǎn)足，若，則與的夾角為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【詳解】因?yàn)?，且，所以，即?br/>所以，
設(shè)與的夾角為，則，因?yàn)椋?br/>所以，即與的夾角為.
故選：D
【變式2】（2023·河北邯鄲·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知非零向量滿(mǎn)足，則向量夾角的余弦值為 ．
【答案】
【詳解】因?yàn)榍覟榉橇阆蛄?，設(shè)，則，
又，所以，則，
解得，
設(shè)向量的夾角為，則，
即向量夾角的余弦值為.
故答案為：
【變式3】（2023上·北京懷柔·高三北京市懷柔區(qū)第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知平面向量，滿(mǎn)足，與的夾角為，若與的夾角為鈍角，則一個(gè)滿(mǎn)足條件的的值可以為 ．
【答案】（答案不唯一，只要滿(mǎn)足即可）
【詳解】因?yàn)?，與的夾角為，
所以，
因?yàn)榕c的夾角為鈍角，
所以且這兩個(gè)向量不共線，
，解得，
當(dāng)時(shí)，
存在唯一實(shí)數(shù)，使得，
所以，所以，
又不共線，所以，
綜上所述，，
所以滿(mǎn)足條件的的值可以為.
故答案為：.（答案不唯一，只要滿(mǎn)足即可）
題型06 向量垂直關(guān)系
【典例1】（2024上·浙江·高三舟山中學(xué)校聯(lián)考開(kāi)學(xué)考試）已知向量，，，，與的夾角為120°，若，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【詳解】因?yàn)椋c的夾角為，所以.
由，
得，
解得.
故選:C.
【典例2】（2023下·河南省直轄縣級(jí)單位·高一河南省濟(jì)源第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知，，與的夾角是.
(1)計(jì)算；
(2)當(dāng)k為何值時(shí)，？
【答案】(1)
(2)
【詳解】（1），，與的夾角是，
則，
即有；
（2）由
可得，即，
即，解得.則當(dāng)k為時(shí)，；、
綜上，（1），（2）.
【變式1】（2023上·河南·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知平面向量為單位向量，且，則在方向上的投影向量的坐標(biāo)為 .
【答案】
【詳解】由題意可知，，
因?yàn)椋?br/>所以，解得，
則則在方向上的投影向量的坐標(biāo)為，
故答案為：
【變式2】（2023上·云南昆明·高三昆明一中?？茧A段練習(xí)）已知是非零向量，，，在方向上的投影向量為，則 ．
【答案】
【詳解】已知是非零向量，，
由，有，可得，
在方向上的投影向量為，則有，得，
由，所以．
故答案為：
題型07 已知模求數(shù)量積
【典例1】（2022上·陜西安康·高二?？计谀┰O(shè)向量，滿(mǎn)足，，則（ ）
A．1 B．2 C．3 D．5
【答案】D
【詳解】由，得，
由，得，兩式相減得，
所以.
故選：A
【典例2】（2023上·云南曲靖·高三曲靖一中校考階段練習(xí)）已知向量、滿(mǎn)足，，且與夾角的余弦值為，則（ ）
A． B． C． D．12
【答案】D
【詳解】依題意，，
所以.
故選：A
【變式1】（2023上·安徽·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知向量滿(mǎn)足，且，則的值為（ ）
A．2 B． C．1 D．
【答案】B
【詳解】因?yàn)?br/>所以，即，
則
，
.
故選：B．
【變式2】（2023上·安徽·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）設(shè)向量和滿(mǎn)足，，則的值為 .
【答案】2
【詳解】因?yàn)椋?br/>所以，，
所以.
故答案為：2
題型08 已知模求參數(shù)
【典例1】（2023·四川成都·石室中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）已知平面向量，，的夾角為，，則實(shí)數(shù)（ ）
A． B．1 C． D．
【答案】D
【詳解】因?yàn)?，所以?br/>即，解得.
故選：A.
【典例2】（2022·福建·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知，，且關(guān)于的方程有實(shí)根，則與的夾角的取值范圍是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【詳解】因?yàn)殛P(guān)于的方程有實(shí)根，
所以，
所以，，
所以，
即與的夾角的取值范圍是.
故選：B.
【變式1】（2023下·廣東揭陽(yáng)·高一校聯(lián)考期中）已知向量，若與的夾角為；若與的夾角為鈍角，則取值范圍為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【詳解】與的夾角為鈍角，
，
又與的夾角為，
所以，即，解得，
又與不共線，所以，
所以取值范圍為.
故選：D
【變式2】（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知平面向量滿(mǎn)足，則實(shí)數(shù)的值為 ．
【答案】1或
【詳解】將兩邊平方，得，
得，即，解得或．
故答案為：或.
題型09 向量的投影
【典例1】（2023上·陜西西安·高二高新一中?？茧A段練習(xí)）已知向量不共線，滿(mǎn)足，則在方向上的投影向量為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【詳解】因?yàn)椋?br/>所以，即，得，
則在方向上的投影向量為.
故選：D
【典例2】（2023上·江蘇無(wú)錫·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知向量，在方向上的投影向量為，則 .
【答案】
【詳解】因?yàn)樵诜较蛏系耐队跋蛄繛?，?br/>所以，即，所以.
故答案為：.
【典例3】（2023上·河北滄州·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知的外接圓圓心為，且，則向量在向量上的投影向量為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【詳解】因?yàn)椋?br/>所以外接圓圓心為的中點(diǎn)，即為外接圓的直徑，如圖，
又，所以為等邊三角形，
則，故，
所以向量在向量上的投影向量為
．
故選：B．
【變式1】（2023上·浙江·高二校聯(lián)考期中）已知向量與單位向量的夾角為，且，則在方向上的投影向量為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【詳解】在方向上的投影向量為，
故選：D.
【變式2】（2023上·江蘇淮安·高三校聯(lián)考期中）若向量，滿(mǎn)足，，且在上的投影向量為，則 .
【答案】3
【詳解】在上的投影向量為，因?yàn)?，所以?br/>所以，
故答案為：3.
【變式3】（2023·貴州六盤(pán)水·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知是相互垂直的單位向量.若向量，，則向量在向量上的投影向量為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【詳解】因?yàn)槭窍嗷ゴ怪钡膯挝幌蛄浚?br/>所以，.
又，，所以，
所以，
又，
所以向量在向量上的投影向量為.
故選：B
題型10 利用平面向量數(shù)量積求最值
【典例1】（2023上·陜西榆林·高三榆林市第一中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）已知非零向量，滿(mǎn)足，且，則的最小值為（ ）
A．2 B． C． D．1
【答案】B
【詳解】因?yàn)椋?br/>所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立.
故選：B
【典例2】（2023上·福建莆田·高三莆田第十中學(xué)?？计谥校┤鐖D，在等腰直角三角形中，斜邊，為線段上的動(dòng)點(diǎn)（包含端點(diǎn)），為的中點(diǎn)．將線段繞著點(diǎn)旋轉(zhuǎn)得到線段，則的最小值為（　 ）
A． B． C． D．
【答案】C
【詳解】連接,
則
,
當(dāng)時(shí)，最小，可求得，
結(jié)合，得的最小值為，
故選：
【典例3】（2023上·天津·高三校聯(lián)考期中）折扇又名“撒扇”、“紙扇”，是一種用竹木或象牙做扇骨，韌紙或綾絹?zhàn)錾让娴哪苷郫B的扇子，如圖1．其展開(kāi)幾何圖是如圖2的扇形，其中，，，點(diǎn)在上（包含端點(diǎn)），則的取值范圍是 ．
【答案】
【詳解】設(shè)是的中點(diǎn)，連接，
由于，所以三角形和三角形是等邊三角形，
則四邊形是菱形，則，
，
由于，所以，
所以，
所以的取值范圍是
故答案為：
【典例4】（2023·上海崇明·統(tǒng)考一模）已知不平行的兩個(gè)向量滿(mǎn)足，．若對(duì)任意的，都有成立，則的最小值等于 ．
【答案】
【詳解】依題意，設(shè)與的夾角為，，
因?yàn)?，，所以，即?br/>則，所以，
因?yàn)閷?duì)任意的，都有成立，
所以，即，即對(duì)于恒成立，
故，又，解得，
綜上，，則的最小值為.
故答案為：.
【變式1】（2023下·寧夏石嘴山·高一石嘴山市第三中學(xué)?？计谀┮阎蛄繚M(mǎn)足，在方向上的投影向量為，則的最小值為
【答案】2
【詳解】由題意得，即，
由于，設(shè)之間的夾角為，
即，
故，
則，當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，
故最小值為2.
故答案為：2
【變式2】（2023上·江蘇揚(yáng)州·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）已知在中，，，，為線段上任意一點(diǎn)，則的取值范圍是 ．
【答案】
【詳解】設(shè)，，則，
故
，
因?yàn)?，所以?br/>故，.
故答案為：
【變式3】（2023上·北京順義·高三校考階段練習(xí)）已知向量，，，與的夾角為，則 ，當(dāng)?shù)闹底钚r(shí)，實(shí)數(shù)x的值為 ．
【答案】
【詳解】由向量，滿(mǎn)足，，且與的夾角為，可得，
則，
又由，
根據(jù)二次函數(shù)性質(zhì)，可得當(dāng)時(shí)，取得最小值.
故答案為：；.
【變式4】（2023上·福建·高三校聯(lián)考期中）如圖，AB是圓O的一條直徑，且．C，D是圓O上的任意兩點(diǎn)，．點(diǎn)P在線段CD上，則的取值范圍是（ ）

A． B． C． D．
【答案】D
【詳解】由題意知，連接，為的中點(diǎn)，則，，
所以，
又，
所以圓心O到直線CD的距離為，
又點(diǎn)P在線段CD上，所以，則，
所以，即的取值范圍為.
故選：D.

A夯實(shí)基礎(chǔ) B能力提升 C綜合素養(yǎng)
A夯實(shí)基礎(chǔ)
一、單選題
1．（2023上·河北廊坊·高三河北省文安縣第一中學(xué)校聯(lián)考期中）已知單位向量滿(mǎn)足，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【詳解】因?yàn)椋?br/>所以．
故選：C
2．（2023上·廣東東莞·高二東莞市東華高級(jí)中學(xué)?？计谥校┮阎臻g向量，滿(mǎn)足，，，則的值為（ ）
A．1 B． C．2 D．4
【答案】C
【詳解】因?yàn)?，，?br/>所以，
所以.
故選：C
3．（2023上·陜西榆林·高三?？计谥校┤羝矫嫦蛄?，滿(mǎn)足，，且，則向量與夾角的大小是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【詳解】設(shè)向量與的夾角是，
則．
又因?yàn)?，所以?br/>故選：A．
4．（2023上·江西·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知為單位向量，向量與向量的夾角為，則向量在向量上的投影向量為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【詳解】由題意知，所以向量在向量上的投影向量為:
.
故選:B.
5．（2023·安徽·校聯(lián)考一模）在三角形中，，，，則（ ）
A．10 B．12 C． D．
【答案】D
【詳解】記，則，，
，
．
故選：A.
6．（2023上·河南·高三安陽(yáng)縣高級(jí)中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）已知非零向量滿(mǎn)足，且，則的夾角為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【詳解】由已知可得，即，
又因?yàn)?，所以?br/>所以?shī)A角為.
故選：C
7．（2024·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）設(shè)點(diǎn)，，在上，若，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【詳解】令，
因?yàn)椋?br/>所以，即，
所以，解得，
又，所以，所以，
同理可得，
是等邊三角形，所以，
故選：C
8．（2023·江西景德鎮(zhèn)·統(tǒng)考一模）人們把蜂房譽(yù)為自然界最奇異的建筑，蜂房是由許許多多的正六棱柱組成，一個(gè)挨著一個(gè)，緊密地排列，沒(méi)有一點(diǎn)空隙.人們一直疑問(wèn)，蜜蜂為什么不讓其巢室呈三角形、正方形或其他形狀呢？雖然蜂窩是一個(gè)三維體建筑，但每一個(gè)蜂巢都是六面柱體，而蜂蠟墻的總面積僅與蜂巢的截面有關(guān).由此引出一個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題，即尋找面積最大、周長(zhǎng)最小的平面圖形.1943年，匈牙利數(shù)學(xué)家陶斯（Laszlo Fejes Toth）證明了，在所有首尾相連的正多邊形中，正六邊形的周長(zhǎng)是最小的.1999年，黑爾斯證明了周邊是曲線時(shí)，無(wú)論曲線是向外凸還是向內(nèi)凹，由正六邊形組成的圖形周長(zhǎng)都是最小的.如圖是一個(gè)邊長(zhǎng)為2的正六邊形ABCDEF，則（ ）
A．4 B． C． D．
【答案】D
【詳解】因?yàn)槭沁呴L(zhǎng)為的正六邊形，所以，，，
則.
故選：A
二、多選題
9．（2023上·四川成都·高二成都七中?？计谥校┫铝姓f(shuō)法正確的是（ ）
A．對(duì)任意向量，都有
B．若且，則
C．對(duì)任意向量，都有
D．對(duì)任意向量，都有
【答案】DD
【詳解】，，
可得，故選項(xiàng)A正確；
由可得，
又，可得或，
故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；
,
所以不一定成立，
故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；
由向量數(shù)量積運(yùn)算的分配律可知選項(xiàng)D正確；
故選：AD.
10．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（ ）
A．在等腰直角三角形ABC中，若A為直角，則的夾角為45°.
B．由可得或.
C．向量在向量上的投影向量是一個(gè)向量，而向量在向量上的投影是一個(gè)數(shù)量.
D．對(duì)于非零向量，， “”是“與的夾角為銳角”的充分不必要條件．
【答案】DBD
【詳解】A選項(xiàng)，角B為45°，的夾角為B的補(bǔ)角，為135°，故A錯(cuò)誤；
B選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，故B錯(cuò)誤；
C選項(xiàng)，“投影向量”是向量，“投影”是數(shù)量，故C正確；
D選項(xiàng)，當(dāng)向量同向時(shí)，，與的夾角為銳角不成立；當(dāng)與的夾角為銳角時(shí)，.所以“”是“與的夾角為銳角”的必要不充分條件，故D錯(cuò)誤；
故選：ABD.
三、填空題
11．（2023上·北京海淀·高三中關(guān)村中學(xué)校考階段練習(xí)）已知向量滿(mǎn)足與的夾角為，則 ，若，則實(shí)數(shù) ．
【答案】 3 3
【詳解】因?yàn)榕c的夾角為，
所以；
因?yàn)?，所以，即?br/>故，得
故答案為：；
12．（2023上·重慶·高三西南大學(xué)附中?？计谥校┮阎蛄浚?，，，與的夾角為，則的值最小時(shí)，實(shí)數(shù)的值為 .
【答案】/0.2
【詳解】，
由于，
故當(dāng)時(shí)，此時(shí)取最小值，
故答案為：
四、解答題
13．（2023下·江蘇鎮(zhèn)江·高一校聯(lián)考階段練習(xí)）已知在中，N是邊AB的中點(diǎn)，且，設(shè)AM與CN交于點(diǎn)P.記，.

(1)用，表示向量，；
(2)若，，求的余弦值.
【答案】(1)，；
(2)
【詳解】（1），
；
（2）因?yàn)?，所以?br/>因?yàn)?，?br/>所以，
把代入式，得，
.
14．（2023上·天津河西·高三統(tǒng)考期中）如圖，中，是的中點(diǎn)，與交于點(diǎn).

(1)用表示；
(2)設(shè)，求的值；
(3)若，求的最大值.
【答案】(1)
(2)
(3).
【詳解】（1）.
（2）因?yàn)槿c(diǎn)共線，所以，解得.
（3），由（1）可知，
所以，得，
則，
所以
所以的最大值為.
B能力提升
1．（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知單位向量，的夾角為，向量，，，向量，的夾角的余弦值為，則（ ）
A．1 B． C．2 D．
【答案】C
【分析】由題意，得，
所以，
．
而，
所以．
整理，得，解得或（舍去）．
故選：C．
2．（2023上·山東淄博·高三統(tǒng)考期中）已知O為的外心，且．若向量在向量上的投影向量為，則的值為（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】D
【詳解】，
，即，
又O為的外心，則,
,
則
即，且O為斜邊的中點(diǎn)，過(guò)作的垂線，垂足為，
向量在向量上的投影向量為，
，
.
故選：D.
3．（2023上·上海·高三上海市大同中學(xué)校考期中）已知A，B是平面內(nèi)兩個(gè)定點(diǎn)，且，點(diǎn)集.若M，，則向量、夾角的余弦值的取值范圍是 ．
【答案】
【詳解】因?yàn)?，點(diǎn)集，
當(dāng)時(shí)，過(guò)作于,延長(zhǎng)于,使得,
則可知點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng).

因?yàn)?，根?jù)數(shù)量積的幾何含義可知，在上的投影為3，即，
又因?yàn)镸，，則為線段上的兩個(gè)點(diǎn)，
所以、夾角最小為，最大為的二倍，
所以、夾角為，則最大為1，最小為
所以范圍為.
故答案為：
4．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知，，與的夾角為60°．若與的夾角為銳角，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
【答案】
【詳解】由題意知，，
∵與的夾角為銳角，∴且，不共線，
假設(shè)，共線，則存在實(shí)數(shù)，使得，
由題知，，不共線，∴，∴，
∴若，不共線，則．
，即，∴，
即，得．
綜上，且，
∴的取值范圍為．
C綜合素養(yǎng)
1．（2023上·安徽·高三校聯(lián)考期中）已知在中，，分別為邊，上的點(diǎn)，，，且，則的最小值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【詳解】設(shè)，，則，，
設(shè)，，其中，，
則，，
因?yàn)椋?br/>所以，
即，
因?yàn)椋裕矗?br/>所以
，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，
所以.
故選：A.
2．（2023上·貴州貴陽(yáng)·高二貴陽(yáng)一中校考階段練習(xí)）設(shè)平面向量，，其中為單位向量，且滿(mǎn)足，則的最小值為 .
【答案】
【詳解】因?yàn)椋?，即，可?
故答案為：8
4．（2023上·北京·高三101中學(xué)校考階段練習(xí)）已知為等邊三角形，且邊長(zhǎng)為2，則 ；若，，則的最大值為 .
【答案】
【詳解】因?yàn)闉榈冗吶切危裕裕?br/>因?yàn)?，所以為中點(diǎn)，所以
，
設(shè)，則，
所以，
又，
所以當(dāng)時(shí)有最大值.
故答案為：；.
5．（2023下·福建龍巖·高一校聯(lián)考期中）已知在中，，，，.
(1)求的取值范圍；
(2)若線段BE上一點(diǎn)D滿(mǎn)足，求的最小值.
【答案】(1)
(2)
【詳解】（1）因?yàn)樵谥?，，，，?br/>所以，
當(dāng)時(shí)，則取得最小值為，當(dāng)時(shí)，則取得最大值，
所以，所以的取值范圍為；
（2）因?yàn)榍?，?br/>所以，又，所以，
因?yàn)锽、E、D三點(diǎn)共線，所以，所以，
所以，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)等號(hào)成立，
所以的最小值為.
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21世紀(jì)教育網(wǎng)(www.21cnjy.com)第05講 6.2.4向量的數(shù)量積
課程標(biāo)準(zhǔn) 學(xué)習(xí)目標(biāo)
①了解向量數(shù)量積的物理背景，即物體在力F的作用下產(chǎn)生位移s所做的功。 ②掌握向量數(shù)量積的定義及投影向量。 ③會(huì)計(jì)算平面向量的數(shù)量積。 ④會(huì)利用向量數(shù)量積的有關(guān)運(yùn)算律進(jìn)行計(jì)算或證明。 1.通過(guò)閱讀課本在向量前面知識(shí)學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)上進(jìn)一步了解向量數(shù)量積的物理背景，即物體在力F的作用下產(chǎn)生位移s所做的功； 2.理解和掌握向量數(shù)量積的定義與投影向量的概念與意義； 3.在認(rèn)真學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)上，深刻掌握平面向量數(shù)量積的意義，為后續(xù)學(xué)習(xí)空間向量數(shù)量積打好基礎(chǔ)； 4.平面向量是數(shù)量積運(yùn)算是平面向量運(yùn)算的核心，對(duì)于提升數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，和邏輯推理能力有著十分重要的作用； 5.熟練運(yùn)用會(huì)利用向量數(shù)量積的有關(guān)運(yùn)算律進(jìn)行計(jì)算或證明，以及實(shí)際應(yīng)用有著十分重要的作用.
知識(shí)點(diǎn)01：平面向量數(shù)列積的物理背景
如圖,一個(gè)物體在力F的作用下產(chǎn)生了位移s,且力F與位移s的夾角為，那么力F所做的功.
其中是F在物體位移方向上的分量的數(shù)量,也就是力F在物體位移方向上正投影的數(shù)量.
從物理角度來(lái)看數(shù)量積的意義,有利于理解數(shù)量積的概念,兩個(gè)向量的數(shù)量積可以運(yùn)算,其結(jié)果是一個(gè)數(shù)量.
知識(shí)點(diǎn)02：向量的夾角
(1)定義：已知兩個(gè)非零向量,,是平面上的任意一點(diǎn),作,,則叫做向量與的夾角.
(2)向量的夾角范圍.
(3)特殊情況：
①，與同向；
②，與垂直，記作；
③，與反向.
【即學(xué)即練1】（2023下·甘肅蘭州·高一統(tǒng)考期末）等邊三角形中，與的夾角為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【詳解】解：延長(zhǎng)到，則為與的夾角，所以，與的夾角為．

故選：C．
知識(shí)點(diǎn)03：平面向量數(shù)量積的概念
（1）平面向量數(shù)量積的定義
已知兩個(gè)非零向量與,它們的夾角為,我們把數(shù)量叫做向量與的數(shù)量積(或內(nèi)積).
記作：，即.
規(guī)定：零向量與任一向量的數(shù)量積為0
特別提醒:
（1）“·”是數(shù)量積的運(yùn)算符號(hào),既不能省略不寫(xiě),也不能寫(xiě)成“×”；
(2)數(shù)量積的結(jié)果為數(shù)量,不再是向量；
(3)向量數(shù)量積的正負(fù)由兩個(gè)向量的夾角決定:當(dāng)是銳角時(shí),數(shù)量積為正；當(dāng)是鈍角時(shí),數(shù)量積為負(fù)；當(dāng)是直角時(shí),數(shù)量積等于零.
【即學(xué)即練2】（2023上·陜西漢中·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）在中，，，則 .
【答案】
【詳解】根據(jù)題意易得為等腰直角三角形，
,
則，
故答案為：
（2）投影
如圖,設(shè),是兩個(gè)非零向量,,,作如下變換:過(guò)的起點(diǎn)和終點(diǎn),分別作所在直線的垂線,垂足分別為,,得到,我們稱(chēng)上述變換為向量向向量投影,叫做向量在向量上的投影向量.
特別提醒:
①為向量在上的投影的數(shù)量；
②為向量在上的投影的數(shù)量；
③投影的數(shù)量（）是一個(gè)值，不是向量.
【即學(xué)即練3】（2023下·甘肅天水·高一天水市第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知，，且，則向量在向量上的投影數(shù)量為 .
【答案】
【詳解】因?yàn)椋裕?br/>又因?yàn)?，，所以?br/>所以向量在向量上的投影數(shù)量為，
故答案為：.
知識(shí)點(diǎn)4：平面向量數(shù)量積的性質(zhì)
設(shè),是非零向量,它們的夾角是,是與方向相同的單位向量,則
①.
②.
③當(dāng)與同向時(shí),；
④當(dāng)與反向時(shí),；
⑤ 或；
⑥；
⑦.
知識(shí)點(diǎn)5：向量數(shù)量積的運(yùn)算律
①交換律：
②對(duì)數(shù)乘的結(jié)合律：
③分配律：
④
⑤
題型01 平面向量數(shù)量積有關(guān)的定義及辨析
【典例1】（2022上·河北邯鄲·高二校考期中）若均為非零向量，則是與共線的（ ）
A．充分不必要條件
B．必要不充分條件
C．充分必要條件
D．既不充分又不必要條件
【典例2】（多選）（2023上·四川成都·高二成都七中?？计谥校┫铝姓f(shuō)法正確的是（ ）
A．對(duì)任意向量，都有
B．若且，則
C．對(duì)任意向量，都有
D．對(duì)任意向量，都有
【變式1】（2023下·上海黃浦·高一上海市敬業(yè)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知平面上有三個(gè)點(diǎn)A，B，C，則命題“A，B，C可以構(gòu)成一個(gè)A為鈍角的鈍角三角形”是“”的（ ）
A．充分非必要條件 B．必要非充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
【變式2】（多選）（2023下·四川樂(lè)山·高一期末）已知平面向量，，，則下列說(shuō)法正確的是（ ）
A． B．
C．若，，則 D．，則
題型02 平面向量數(shù)量積的幾何意義
【典例1】（2022下·河南南陽(yáng)·高一?？茧A段練習(xí)）已知是邊長(zhǎng)為2的正三角形，則向量在上的投影數(shù)量是 ．
【典例2】（2023·山西·?？寄M預(yù)測(cè)）美術(shù)課對(duì)于陶冶人的情操 發(fā)展學(xué)生的藝術(shù)興趣和愛(ài)好 培養(yǎng)學(xué)生的藝術(shù)特長(zhǎng) 提高學(xué)生的審美素養(yǎng)具有積極作用.如圖，這是某學(xué)生關(guān)于“杯子”的聯(lián)想創(chuàng)意圖，它是由一個(gè)正方形和三個(gè)半圓組成的，其中，是正方形的兩個(gè)頂點(diǎn)，是三段圓弧上的動(dòng)點(diǎn)，若，則的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
【變式1】（2023下·山東青島·高一統(tǒng)考期中）已知點(diǎn)是邊長(zhǎng)為2的正的內(nèi)部（不包括邊界）的一個(gè)點(diǎn)，則的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
題型03 用定義法求向量數(shù)量積
【典例1】（2023上·山西·高二統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）已知等邊三角形的邊長(zhǎng)為1，則（ ）
A． B． C． D．
【典例2】（2023上·上海楊浦·高三上海市控江中學(xué)校考期中）如圖所示，兩塊斜邊長(zhǎng)均等于的直角三角板拼在一起，則的值為 .

【變式1】（2023上·山東濰坊·高三?？计谥校┮阎?，則（ ）
A． B．-24 C． D．16
【變式2】（2023上·浙江·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）已知，，，則 .
題型04 已知數(shù)量積求模
【典例1】（2023·四川涼山·統(tǒng)考一模）已知平面向量，滿(mǎn)足，，則（ ）
A． B． C．3 D．
【典例2】（2023上·廣東佛山·高三?？茧A段練習(xí)）已知向量，滿(mǎn)足，，與的夾角為，則 ．
【變式1】（2023上·湖北·高二湖北省紅安縣第一中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）已知，，，的夾角為，則（ ）
A．1 B． C．2 D．4
【變式2】（2023上·湖北·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知向量，滿(mǎn)足，且，則（ ）
A．1 B．2 C． D．
題型05 向量夾角問(wèn)題
【典例1】（2023上·北京海淀·高三北大附中?？茧A段練習(xí)）已知向量，，滿(mǎn)足，且，則（ ）
A． B． C． D．
【典例2】（2024上·貴州黔東南·高三天柱民族中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知向量，，，則 .
【典例3】（2023上·北京·高三101中學(xué)校考階段練習(xí)）已知，，，若與的夾角為銳角，則實(shí)數(shù)t的取值范圍是 ．
【變式1】（2024上·江西·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知平面向量、滿(mǎn)足，若，則與的夾角為（ ）
A． B． C． D．
【變式2】（2023·河北邯鄲·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知非零向量滿(mǎn)足，則向量夾角的余弦值為 ．
【變式3】（2023上·北京懷柔·高三北京市懷柔區(qū)第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知平面向量，滿(mǎn)足，與的夾角為，若與的夾角為鈍角，則一個(gè)滿(mǎn)足條件的的值可以為 ．
題型06 向量垂直關(guān)系
【典例1】（2024上·浙江·高三舟山中學(xué)校聯(lián)考開(kāi)學(xué)考試）已知向量，，，，與的夾角為120°，若，則（ ）
A． B． C． D．
【典例2】（2023下·河南省直轄縣級(jí)單位·高一河南省濟(jì)源第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知，，與的夾角是.
(1)計(jì)算；
(2)當(dāng)k為何值時(shí)，？
【變式1】（2023上·河南·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知平面向量為單位向量，且，則在方向上的投影向量的坐標(biāo)為 .
【變式2】（2023上·云南昆明·高三昆明一中?？茧A段練習(xí)）已知是非零向量，，，在方向上的投影向量為，則 ．
題型07 已知模求數(shù)量積
【典例1】（2022上·陜西安康·高二校考期末）設(shè)向量，滿(mǎn)足，，則（ ）
A．1 B．2 C．3 D．5
【典例2】（2023上·云南曲靖·高三曲靖一中?？茧A段練習(xí)）已知向量、滿(mǎn)足，，且與夾角的余弦值為，則（ ）
A． B． C． D．12
【變式1】（2023上·安徽·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知向量滿(mǎn)足，且，則的值為（ ）
A．2 B． C．1 D．
【變式2】（2023上·安徽·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）設(shè)向量和滿(mǎn)足，，則的值為 .
題型08 已知模求參數(shù)
【典例1】（2023·四川成都·石室中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）已知平面向量，，的夾角為，，則實(shí)數(shù)（ ）
A． B．1 C． D．
【典例2】（2022·福建·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知，，且關(guān)于的方程有實(shí)根，則與的夾角的取值范圍是（　　）
A． B．
C． D．
【變式1】（2023下·廣東揭陽(yáng)·高一校聯(lián)考期中）已知向量，若與的夾角為；若與的夾角為鈍角，則取值范圍為（ ）
A． B．
C． D．
【變式2】（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知平面向量滿(mǎn)足，則實(shí)數(shù)的值為 ．
題型09 向量的投影
【典例1】（2023上·陜西西安·高二高新一中校考階段練習(xí)）已知向量不共線，滿(mǎn)足，則在方向上的投影向量為（ ）
A． B． C． D．
【典例2】（2023上·江蘇無(wú)錫·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知向量，在方向上的投影向量為，則 .
【典例3】（2023上·河北滄州·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知的外接圓圓心為，且，則向量在向量上的投影向量為（ ）
A． B． C． D．
【變式1】（2023上·浙江·高二校聯(lián)考期中）已知向量與單位向量的夾角為，且，則在方向上的投影向量為（ ）
A． B． C． D．
【變式2】（2023上·江蘇淮安·高三校聯(lián)考期中）若向量，滿(mǎn)足，，且在上的投影向量為，則 .
【變式3】（2023·貴州六盤(pán)水·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知是相互垂直的單位向量.若向量，，則向量在向量上的投影向量為（ ）
A． B．
C． D．
題型10 利用平面向量數(shù)量積求最值
【典例1】（2023上·陜西榆林·高三榆林市第一中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）已知非零向量，滿(mǎn)足，且，則的最小值為（ ）
A．2 B． C． D．1
【典例2】（2023上·福建莆田·高三莆田第十中學(xué)校考期中）如圖，在等腰直角三角形中，斜邊，為線段上的動(dòng)點(diǎn)（包含端點(diǎn)），為的中點(diǎn)．將線段繞著點(diǎn)旋轉(zhuǎn)得到線段，則的最小值為（　 ）
A． B． C． D．
【典例3】（2023上·天津·高三校聯(lián)考期中）折扇又名“撒扇”、“紙扇”，是一種用竹木或象牙做扇骨，韌紙或綾絹?zhàn)錾让娴哪苷郫B的扇子，如圖1．其展開(kāi)幾何圖是如圖2的扇形，其中，，，點(diǎn)在上（包含端點(diǎn)），則的取值范圍是 ．
【典例4】（2023·上海崇明·統(tǒng)考一模）已知不平行的兩個(gè)向量滿(mǎn)足，．若對(duì)任意的，都有成立，則的最小值等于 ．
【變式1】（2023下·寧夏石嘴山·高一石嘴山市第三中學(xué)校考期末）已知向量滿(mǎn)足，在方向上的投影向量為，則的最小值為
【變式2】（2023上·江蘇揚(yáng)州·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）已知在中，，，，為線段上任意一點(diǎn)，則的取值范圍是 ．
【變式3】（2023上·北京順義·高三?？茧A段練習(xí)）已知向量，，，與的夾角為，則 ，當(dāng)?shù)闹底钚r(shí)，實(shí)數(shù)x的值為 ．
【變式4】（2023上·福建·高三校聯(lián)考期中）如圖，AB是圓O的一條直徑，且．C，D是圓O上的任意兩點(diǎn)，．點(diǎn)P在線段CD上，則的取值范圍是（ ）

A． B． C． D．
A夯實(shí)基礎(chǔ) B能力提升 C綜合素養(yǎng)
A夯實(shí)基礎(chǔ)
一、單選題
1．（2023上·河北廊坊·高三河北省文安縣第一中學(xué)校聯(lián)考期中）已知單位向量滿(mǎn)足，則（ ）
A． B． C． D．
2．（2023上·廣東東莞·高二東莞市東華高級(jí)中學(xué)校考期中）已知空間向量，滿(mǎn)足，，，則的值為（ ）
A．1 B． C．2 D．4
3．（2023上·陜西榆林·高三校考期中）若平面向量，滿(mǎn)足，，且，則向量與夾角的大小是（ ）
A． B． C． D．
4．（2023上·江西·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知為單位向量，向量與向量的夾角為，則向量在向量上的投影向量為（ ）
A． B． C． D．
5．（2023·安徽·校聯(lián)考一模）在三角形中，，，，則（ ）
A．10 B．12 C． D．
6．（2023上·河南·高三安陽(yáng)縣高級(jí)中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）已知非零向量滿(mǎn)足，且，則的夾角為（ ）
A． B． C． D．
7．（2024·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）設(shè)點(diǎn)，，在上，若，則（ ）
A． B． C． D．
8．（2023·江西景德鎮(zhèn)·統(tǒng)考一模）人們把蜂房譽(yù)為自然界最奇異的建筑，蜂房是由許許多多的正六棱柱組成，一個(gè)挨著一個(gè)，緊密地排列，沒(méi)有一點(diǎn)空隙.人們一直疑問(wèn)，蜜蜂為什么不讓其巢室呈三角形、正方形或其他形狀呢？雖然蜂窩是一個(gè)三維體建筑，但每一個(gè)蜂巢都是六面柱體，而蜂蠟墻的總面積僅與蜂巢的截面有關(guān).由此引出一個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題，即尋找面積最大、周長(zhǎng)最小的平面圖形.1943年，匈牙利數(shù)學(xué)家陶斯（Laszlo Fejes Toth）證明了，在所有首尾相連的正多邊形中，正六邊形的周長(zhǎng)是最小的.1999年，黑爾斯證明了周邊是曲線時(shí)，無(wú)論曲線是向外凸還是向內(nèi)凹，由正六邊形組成的圖形周長(zhǎng)都是最小的.如圖是一個(gè)邊長(zhǎng)為2的正六邊形ABCDEF，則（ ）
A．4 B． C． D．
二、多選題
9．（2023上·四川成都·高二成都七中?？计谥校┫铝姓f(shuō)法正確的是（ ）
A．對(duì)任意向量，都有
B．若且，則
C．對(duì)任意向量，都有
D．對(duì)任意向量，都有
10．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（ ）
A．在等腰直角三角形ABC中，若A為直角，則的夾角為45°.
(2)設(shè)，求的值；
(3)若，求的最大值.
B能力提升
1．（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知單位向量，的夾角為，向量，，，向量，的夾角的余弦值為，則（ ）
A．1 B． C．2 D．
2．（2023上·山東淄博·高三統(tǒng)考期中）已知O為的外心，且．若向量在向量上的投影向量為，則的值為（ ）
A．1 B． C． D．
3．（2023上·上海·高三上海市大同中學(xué)?？计谥校┮阎狝，B是平面內(nèi)兩個(gè)定點(diǎn)，且，點(diǎn)集.若M，，則向量、夾角的余弦值的取值范圍是 ．
4．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知，，與的夾角為60°．若與的夾角為銳角，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
C綜合素養(yǎng)
1．（2023上·安徽·高三校聯(lián)考期中）已知在中，，分別為邊，上的點(diǎn)，，，且，則的最小值為（ ）
A． B． C． D．
2．（2023上·貴州貴陽(yáng)·高二貴陽(yáng)一中校考階段練習(xí)）設(shè)平面向量，，其中為單位向量，且滿(mǎn)足，則的最小值為 .
3．（2023上·北京·高三北京市第一六六中學(xué)校考期中）窗花是貼在窗紙或窗戶(hù)玻璃上的剪紙，是中國(guó)古老的傳統(tǒng)民間藝術(shù)．圖1是一張由卷曲紋和回紋構(gòu)成的正六邊形剪紙窗花．圖2中正六邊形的邊長(zhǎng)為4，圓的圓心為該正六邊形的中心，圓的半徑為2，圓的直徑，點(diǎn)在正六邊形的邊上運(yùn)動(dòng)，則的最小值為

4．（2023上·北京·高三101中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知為等邊三角形，且邊長(zhǎng)為2，則 ；若，，則的最大值為 .
5．（2023下·福建龍巖·高一校聯(lián)考期中）已知在中，，，，.
(1)求的取值范圍；
(2)若線段BE上一點(diǎn)D滿(mǎn)足，求的最小值.
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