資源簡介

2024-2025學年河北省保定市 3+1聯考高一下學期 7月期末考試
數學試卷
一、單選題：本題共 8小題，每小題 5分，共 40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。
1.若角 = 2，則它是( )
A.第一象限角 B.第二象限角 C.第三象限角 D.第四象限角
2.已知集合 = { | 3 < < 5}， = { | = 2 , ∈ }，則 ∩ =( )
A. {2,4} B. {0,2,4} C. { 2,0,2,4} D. {0,1,2,3,4}
3.已知命題 ： ≥ 0， 2 = ，命題 ： < 0， 3 + 1 < 0，則( )
A. 和 均為真命題 B. 和 均為真命題
C. 和 均為真命題 D. 和 均為真命題
1, > 0 [ ], ∈
4.已知 ( ) = 0, = 0 , ( ) = [ ] , ∈ ，其中[ ]表示不超過 的最大整數，如[ 3.5] = 4，則 1, < 0 R
( (e)) =( )
A. B. 1 C. 0 D. 1
5.函數 ( ) = 1 ln 的零點所在區間為( )
A. 12 , 1 B. (1,2) C. (2,3) D. (3,4)
6 1.已知點 3, 9 在冪函數 ( ) =
的圖象上，設 = log23 ， = ln2 ， = 5 ，則 ， ， 的大小關
系為( )
A. > > B. > > C. > > D. > >
7 .已知某種蔬菜的保鮮時間 (單位：小時)與儲藏溫度 (單位： )近似滿足函數關系 = + ( , 為常數，
) 5 為自然對數底數 ，若該品種蔬菜在 時的保鮮時間為 216 小時，在 25 時的保鮮時間為 24 小時，則在
15 時，該品種蔬菜的保鮮時間大約為( )
A. 120 小時 B. 96 小時 C. 72 小時 D. 64 小時
8 + .已知函數 ( )的定義域為 ，且對任意實數 ， ，都有 ( ) + ( ) = 2 ( 2 ) ( 2 ).若 (1) = 1，則 (
3
2 ) =( )
A. 3 12 B. 1 C. 2 D. 0
二、多選題：本題共 3小題，共 18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。
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9.小胡同學在學習了《任意角和弧度制》后，對家里的扇形瓷器盤(圖 1)產生了濃厚的興趣，并臨摹出該瓷
器盤的大致形狀，如圖 2 所示，在扇形 中，∠ = 60°， = = 4，則( )
A. ∠ = π6 B.弧
4π
的長為 3
C. 4π扇形 的周長為 3 + 4 D.扇形
8π
的面積為 3
10 3.若實數 ， 滿足( + )2 = 4 + 3 ，則( )
A. ≤ 34 B. ≥ 1 C. | + | ≤ 3 D. | + | ≥ 2
11.已知函數 ( ) = e 2+2 ，則( )
A.當 = 0 時， ( )為偶函數 B. ( )既有最大值又有最小值
C. ( )在( ∞, ]上單調遞增 D. ( )的圖象恒過定點
三、填空題：本題共 3小題，每小題 5分，共 15分。
12 6.已知角 的頂點為坐標原點，始邊為 軸的非負半軸， (1, )為角 終邊上一點，若 sin = 3 ，則
= ．
13.已知7 = 3，log72 = ，則log4948 = . (用 ， 表示)
14.德國數學家高斯用取整符號[]定義了取整運算，對于任意的實數 ，[ ]表示不超過實數 的最大整數，例
如[2.3] = 2，則 sin10° + sin20° + sin30° + + sin2030° = ．
四、解答題：本題共 5小題，共 77分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。
15.(本小題 13 分)
已知全集 = ，集合 = 2 + 2 < 3 ， = 3 < 3 < 6 ．
(1)若 = 3，求 ∪ ；
(2)若“ ∈ ”是“ ∈ ”的充分不必要條件，求 的取值范圍．
16.(本小題 15 分)
已知 tan(π + ) = 2．
(1)若 是第二象限角，求 cos 的值；
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(2) 2sin(π+ )cos( 2π )求 2 2 3π 的值．sin ( ) sin ( 2 )
17.(本小題 15 分)
已知二次函數 ( ) = 2 2 1．
(1)當 取何值時，不等式 ( ) < 0 對一切實數 都成立？
(2)若 ( )在區間( 2,1)內恰有一個零點，求實數 的取值范圍．
18.(本小題 17 分)
2+ 2 +1 +4
已知函數 = 為奇函數．
(1)求 的值；
(2)判斷函數 在 0,2 和 2, + ∞ 上的單調性并證明；
(3)若對任意的 21， 2 ∈ 1,3 ，都有 1 2 ≤ 3 2 ，求 的取值范圍．
19.(本小題 17 分)
現定義了一種新運算“ ”：對于任意實數 ， ，都有 = ( + )( > 0 且 ≠ 1)．
(1)當 = 2 時，計算 4 4；
(2)證明： ， ， ∈ ，都有( ) = ( )；
(3)設 = 2 2 ( 3 + 2 )，若 ( ) = log 2 在區間[ , ](0 < < < )上的值域為
[log , log ]，求實數 的取值范圍．
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參考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12. 2
13. +4 2
14. 84
15.解：(1)由題意知 = 2 + 2 < 3 = 3,1 ，
= { 3 < 3 < 6} = 33 < <
+6
3 ，
若 = 3，則 = 0,3 ，所以 = ( ∞,0] ∪ [3, + ∞)，
所以 ∪ = ∞,1 ∪ 3, + ∞ ．
(2)因為“ ∈ ”是“ ∈ ”的充分不必要條件，所以 是 的真子集，
+6 3因為 3 3 = 3 > 0，所以 =
3 < < +63 3 ≠ ，
3 ≥ 3
所以 3 +6 且等號不同時成立，解得 6 ≤ ≤ 3，
3 ≤ 1
則 的取值范圍是 6, 3 ．
16.解：(1)依題意，tan = tan(π + ) = 2，由 是第二象限角，得 sin > 0, cos < 0，
sin = 2cos 2 5 5 5
又 sin2 + cos2 = 1，解得 sin = 5 , cos = 5 ，所以 cos = 5 ．
(2) 2sin(π+ )cos( 2π ) 2sin cos 2tan 2×( 2) 4
sin2
= = = = ．
( ) sin2(3π ) sin2 cos2 tan2 1 4 1 32
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17.解：(1)因為 ( )為二次函數，所以 ≠ 0，
又因為不等式 ( ) < 0 對一切實數 都成立，
< 0
所以 Δ = 4 + 4 < 0，解得 < 1．
(2)當 ( )在 R 上僅有一個零點時，由 = 4 + 4 = 0，解得 = 1，
2
此時零點為 2 = 1，符合題意；
當 ( )在 上有兩個零點時， = 4 + 4 > 0，即 > 1 且 ≠ 0，
①當 ( 2) = 0 3 3時， = 4，則由 ( ) =
2
4 2 1 = 0
2
解得另一個零點為 3，符合題意；
②當 (1) = 0 時， = 3，則由 ( ) = 3 2 2 1 = 0 1解得另一個零點為 3，符合題意；
③當 ( 2) (1) ≠ 0 時，由零點存在定理，則 ( 2) (1) < 0，即(4 + 3)( 3) < 0，解得 ∈ 34 , 0 ∪
(0,3).
綜上， ( )在區間( 2,1)內恰有一個零點時，實數 的取值范圍為{ 1} ∪ 34 , 0 ∪ (0,3].
18.解：(1)由 為奇函數，定義域為 ∞,0 ∪ 0, + ∞ ，可得 1 = 1 ，
即 1 2 + 1 + 4 = 1+ 2 + 1 + 4 ，解得 = 12，
4
此時 = + ，又 =
4
=
1
，滿足 為奇函數，所以 = 2；
(2)函數 在 0,2 上單調遞減，在 2, + ∞ 上單調遞增，證明如下：
1, 2 ∈ 0, + ∞ ，且 1 < 2，
有 1 2 = +
4
1 2
4
= 1 +
4 2 1 = 1 2 1 2 42 ，
1 2 1 2 1 2
當 2 ≤ 1 < 2時， 1 2 > 4, 1 2 < 0，所以 1 2 < 0，則 1 < 2 ，
所以 在 2, + ∞ 上單調遞增；
當 0 < 1 < 2 ≤ 2 時，0 < 1 2 < 4, 1 2 < 0，所以 1 2 > 0，則 1 > 2 ，
所以 在 0,2 上單調遞減；
(3)若對任意的 1, 2 ∈ 1,3 ，都有 1 2 ≤ 3 2 2 ，
只需 ( ) 2max ( )min ≤ 3 2 ，
由(2)可知 在 1,2 上單調遞減，在 2,3 上單調遞增，
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( ) = 2 = 4 1 = 1 + 4 = 5, 3 = 3 + 4 = 13所以 min ，又 3 3，
所以 ( )max = 1 = 5，
所以 5 4 ≤ 3 2 2 1，解得 ≥ 1 或 ≤ 3，
1故 的取值范圍是 ∞, 3 ∪ 1, + ∞ ．
19.解：(1)當 = 2 時，4 4 = 42(2 + 24) = 232 = log225 = 5；
(2) ( ) = ( + ) = ( ( 證明：因為 + ) + ) = ( + + )，
( ) = [ ( + )] = ( + ( + ) ) = ( + + )，
所以( ) = ( )；
(3)由新運算可知， ( ) = 2 = ( + ) 2 = + 2 2 = = ( 2
3 + 2 2)，
所以 ( ) = ( 2 3 + 2 2)，
令 ( ) = 2 3 + 2 2 = ( )( 2 ) 3 ，開口向上，對稱軸為 = 2，
令 ( ) > 0，得 < 或 > 2 ，
又因為 > 0 且 ≠ 1，
則 ( )在(0, )上單調遞減，
又因為 ( )在[ , ]上的值域為[log , log ]，
所以log < log ( < )，
所以 = log 在[ , ]上為單調遞減函數，
則 0 < < 1，
所以 ( )在[ , ]上單調遞減，
( ) = 2 2
則 ( ) = ，即
3 + 2 =
2 2 ， 3 + 2 =
整理得， 2 2 3 ( ) = ( )，
所以 + 3 = 1，
將 = 3 1 代入 2 3 + 2 2 = ，
得 2 (3 1) + 2 2 3 + 1 = 0，
同理得， 2 (3 1) + 2 2 3 + 1 = 0．
所以 ， 是函數 ( ) = 2 (3 1) + 2 2 3 + 1 在(0, )上的兩個不同的零點，
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1
(0) = 2 2 3 + 1 > 0 < 2或 > 1
( ) = 2 + 1 > 0 < 1
則 0 < 3 1 < ，即
2 ，
1
2 < < 1
= (3 1)2 4(2 2 3 + 1) > 0 3
< 3 2 3或 > 3+ 2 3
解得 2 3 3 < < 12．
1
故實數 的取值范圍為(2 3 3, 2 )．
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