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2024-2025學年安徽省宣城市高一下學期期末調研測試數學試題
一、單選題：本題共7小題，每小題5分，共35分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。
1.復數的虛部為( )
A. B. C. D.
2.向量，，則“”是“”的( )
A. 充分不必要條件 B. 必要不充分條件
C. 充要條件 D. 既不充分也不必要條件
3.二進制是以為基數代表系統的二進制，通常用和表示二進制化為十進制的計算公式如下：若從二進制數，，，，，中任選一個，則二進制數所對應的十進制數大于的概率為( )
A. B. C. D.
4.已知非零向量，滿足，，，則在上的投影向量為( )
A. B. C. D.
5.一艘海輪從處出發，以每小時海里的速度沿南偏東方向直線航行，分鐘后到達處在處有一座燈塔，海輪在處觀察燈塔，其方向是南偏東，在處觀察燈塔，其方向是北偏東，那么，兩點間的距離是( )
A. 海里 B. 海里 C. 海里 D. 海里
6.一圓臺的上、下底面半徑分別是和，它的側面展開圖扇環的圓心角為，下列說法不正確的是( )
A. 圓臺的母線長是 B. 圓臺的高是
C. 圓臺的表面積是 D. 圓臺的體積是
7.在中，內角，，的對邊分別為，，，已知，若角的平分線的長為，則的最小值為( )
A. B. C. D.
二、多選題：本題共4小題，共24分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。
8.若，是兩條不同的直線，，是兩個不同的平面，則下列命題錯誤的是( )
A. 若，，則
B. 若，，，則
C. 若，，則
D. 若，，，，則
9.先后拋擲質地均勻的硬幣兩次，下列說法正確的是( )
A. 樣本空間中一共含有個樣本點
B. 事件“兩次正面向上”發生的概率是
C. 事件“至少一次正面向上”與事件“至少一次反面向上”是互斥事件
D. 事件“至少一次正面向上”與事件“兩次反面向上”是對立事件
10.在中，內角，，的對邊分別為，，，下列說法正確的是( )
A. 若，，，則只有一解
B. 若，則為鈍角三角形
C. 若的外心為，，，則
D. 若，則的形狀是直角三角形
11.如圖，在邊長為的正方形中，，分別是的，中點，是的中點，現在沿，及把這個正方形折成一個空間圖形，使，，三點重合，重合后的點記為，下列結論正確的是( )
A.
B. 三棱錐的外接球的體積為
C. 點到平面的距離為
D. 二面角的余弦值為
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。
12.已知一組從小到大排列的數據為，，，，，，，，，，若其第百分位數等于其極差，則 ．
13.已知一個水平放置的平面圖形由斜二測畫法得到的直觀圖是邊長為的菱形，且，則原平面圖形的周長為 ．
14.已知復數，，為虛數單位若，復數，在復平面內對應的向量分別為，，存在使得等式成立，則實數的取值范圍為 ．
四、解答題：本題共5小題，共76分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。
15.本小題分
已知的內角，，的對邊分別為，，，且的周長為．
求角
若外接圓的面積為，求面積的最大值．
16.本小題分
如圖，在正三棱柱中，，，點為的中點．
求點到平面的距離
在棱上是否存在點，使得平面若存在，求出的值若不存在，請說明理由．
17.本小題分
為普及消防安全知識，某校開展了“消防知識競賽”活動，共有名學生參加此次競賽活動，現從參加該競賽學生中隨機抽取了名，統計他們的成績，其中成績不低于分的學生被評為“消防達人”，將數據整理后繪制成如圖所示的頻率分布直方圖．
估計參加這次競賽的學生成績的平均數和中位數結果保留小數點后一位
若在抽取的名學生中，利用分層隨機抽樣的方法從成績不低于分的學生中隨機抽取人，再從人中選擇人作為學生代表，求被選中的人均為消防達人的概率
已知組的方差為，組的方差為，試估計參加此次競賽的學生不低于分的成績方差每個分組區間內平均數取區間中點，結果保留小數點后一位．
18.本小題分
在直角梯形中，已知，，，，，動點、分別在線段和上，和交于點，且，，．
當時，求的值
當時，求的值
求的取值范圍．
19.本小題分
如圖，四邊形是邊長為的正方形，，平面平面，平面平面．
求證：平面
求二面角的余弦值
點在正方形內包括邊界，若平面平面，且，求點的軌跡長度．
參考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：因為的周長為，
可得，
由正弦定理，可得，即，
整理得，
又由余弦定理，可得，
因為，
所以；
設的外接圖半徑為，所以，所以，
由正弦定理得，故，
又，即，，
，，當且僅當時取等號，
故面積的最大值為．
16.解：因為三棱柱是正三棱柱，
所以平面，
因為平面，
所以，
又因為是的中點，所以，
因為，，平面，
所以平面，
又平面，
所以，
點為的中點，
所以，，
所以，
，
設點到平面的距離為，
則，
所以，解得，
所以點到平面的距離為．
由可知平面，
平面，則平面平面，
在中作邊上的高，的延長線交于點，即有，
平面平面，平面，
平面，于是點即為所要找的點，
在和中，，即，
∽，因此，
即有，于是，，．
17.解：平均數為，
由頻率分布直方圖可知，成績在內的頻率為，
成績在內的頻率為，
成績在內的頻率為，
成績在內的頻率為，
所以成績在分以下的學生所占的比例為，
成績在分以下的學生所占的比例為，
所以成績的中位數一定在內，即，
因此估計參加這次競賽的學生成績的中位數為；
因為，
，
，
所以從成績在，，內的學生中分別抽取了人，人，人，
其中有人為消防達人，設為，，，有人不是消防達人，設為，，，
則從人中選擇人作為學生代表，
有，，，，，，，，，，，，，，共種，
其中人均為航天達人為，，共種，
所以被選中的人均為消防達人的概率為；
內的頻率為，
內的頻率為，
內的平均數為，內的平均數為，
內的平均數為，
又組的方差為，組的方差為，
所以這次競賽的學生不低于分的成績方差為：
．
18.解：
，
當時，
，
．
當時，，
設，，
得，
．
，不共線，
解得，即．
因為，
，
所以，
，
由題意知，，
所以，當時，取到最小值，
當時，取到最大值．
故的取值范圍是．

19.證明：四邊形是邊長為的正方形，，
平面平面，平面平面，平面，
平面，又平面，，
平面平面，平面平面，面，
平面，又平面，，
，，平面，
平面
解：過點作交于點，連接，
平面，，又，平面，
，是二面角的平面角，
在中，，，，
由得，
在中，，
，
二面角的余弦值為；
解：如圖，以為直徑在平面上作一個半圓，
在該半圓周上任取點，連接、、，則，
又由知平面，而平面，
，又，，平面，
平面，又平面，
平面平面，故點的運動軌跡在該半圓周上，
設中點為，
，所以，
根據扇形的弧長公式得點的運動軌跡長度為．

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