資源簡介

2024-2025學年廣西北海市高一下學期期末教學質量檢測數學試卷
一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。
1.已知復數，則( )
A. B. C. D.
2.在中，，，則的外接圓的面積為( )
A. B. C. D.
3.“”是“”的( )
A. 充分不必要條件 B. 必要不充分條件
C. 充要條件 D. 既不充分也不必要條件
4.以周長為的正方形的一邊所在直線為旋轉軸，將該正方形旋轉一周所得圓柱的側面積為( )
A. B. C. D.
5.已知向量，，它們的夾角為，則( )
A. B. C. D.
6.已知，，是不重合的三條直線，，，是不重合的三個平面，則下列說法中錯誤的是( )
A. 若，，則 B. 若，，，則
C. 若，，則 D. 若，，，則
7.素面高足銀杯如圖是唐代時期的一件文物銀杯主體可以近似看作半個球與圓柱的組合體假設內壁光滑，杯壁厚度可忽略，如圖所示已知球的半徑為，銀杯內壁的表面積為，則球的半徑與圓柱的高之比為( )
A. B. C. D.
8.已知均為銳角，，則的最大值為( )
A. B. C. D.
二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。
9.已知復數滿足，則( )
A. B.
C. 的虛部為 D. 在復平面內對應的點位于第一象限
10.已知角，，是的三個內角，下列結論一定成立的有( )
A.
B.
C. 若，則
D. 若，則是直角三角形
11.已知函數的圖象經過點，則下列說法正確的是( )
A. 若的最小正周期為，則
B. 若的圖象關于點中心對稱，則
C. 若在上單調遞增，則的取值范圍是
D. 若方程在上恰有兩個不同的實數解，則的取值范圍是
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。
12.已知，復數，，若為純虛數，則的虛部為 ．
13.設和是兩個不共線的向量，若，，，且，，三點共線，則實數的值等于 ．
14.在三棱錐中，平面，，，，點是空間內的一個點，且，則點到平面的距離的最大值為 ．
四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。
15.本小題分
已知．
求的值
求和的值．
16.本小題分
已知向量，．
若，求的值
若，求向量與夾角的余弦值．
17.本小題分
在中，內角，，的對邊分別為，，，且C.
求角的大小
若，求的面積．
18.本小題分
如圖，某小區有一塊扇形草地，，，為了給小區的小孩有一個游玩的地方，物業要在其中圈出一塊矩形場地作為兒童樂園使用，其中點，在弧上，點，分別在線段，上，且，設
若，求矩形的面積
求矩形的面積的最大值，并求出此時弧的長度．
19.本小題分
如圖，在四棱錐中，四邊形是邊長為的菱形，，，，，點為棱的中點．
求證：
求二面角的余弦值
求直線與平面所成角的正弦值．
參考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.由誘導公式及同角函數的基本關系，
有
有可得；
由，有，
有．
故有，．

16.解：因為，，所以，
又，
所以，解得
因為，
所以解得，，所以，
所以，，即向量與夾角的余弦值為．
17.解：因為，
由正弦定理得，
即，
所以，
又，所以，
所以，所以
由，
可得，
即，
由，，所以，
所以．
18.解：作 ，垂足為 ，交 于 ，
由于四邊形 為矩形，即 ， 關于直線 對稱，
則 ， ，則 ， ，
而 ，故 為等腰直角三角形，則 ，
故 ，
則 ；
因為 ，則 ， ，而 ，
故 為等腰直角三角形，則 ，
故 ，
則矩形 的面積
，
因為 ，所以當 即 時， 取最大值 ，
所以 ，此時弧 的長度為 ．

19.證明：連接交于點，再連接，如圖所示，
在中，，是的中點，所以，
又四邊形是邊長為的菱形，，所以，，，
又，，平面，所以平面，
又平面，所以
解：因為，，，所以，，
所以，又，所以．
取的中點，連接，，如圖所示．
在中，，，，點是的中點，所以，
同理可得，，
所以二面角的平面角為，
在中，，，，
由余弦定理得，
即二面角的余弦值為
解：在中，，，，所以．
由知的面積．
因為點是的中點，
所以，
設點到平面的距離為，
所以，
解得，
又，
設直線與平面所成角為，所以，
所以直線與平面所成角的正弦值為．

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