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2024-2025學年河南省商丘市百師聯(lián)盟高二（下）期末數(shù)學試卷
一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。
1.已知集合，，則( )
A. B. C. D.
2.已知，則的值為( )
A. B. C. D.
3.命題“，”的否定是( )
A. ， B.
C. ， D.
4.某初級中學對本校八年級的名男生進行米跑步體能測試，據(jù)統(tǒng)計，名男生跑完米所用的時間分鐘服從正態(tài)分布，若，則這名男生跑完米所用的時間不少于分鐘的人數(shù)大約為( )
A. B. C. D.
5.若，，，則( )
A. B. C. D.
6.的展開式中所有有理項的系數(shù)和為( )
A. B. C. D.
7.函數(shù)的圖象如圖所示，則( )
A. ，， B. ，，
C. ，， D. ，，
8.已知函數(shù)的定義域為，，，將的圖象繞原點旋轉(zhuǎn)后所得圖象與原圖象重合，若，則( )
A. B. C. D.
二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。
9.下列函數(shù)中，在區(qū)間上單調(diào)遞增的是( )
A. B. C. D.
10.下列說法正確的是( )
A. ，
B. 若，都是非零實數(shù)，且，則
C. 若，則的最小值為
D. 若，滿足，則的最大值為
11.蘇格蘭數(shù)學家約翰納皮爾發(fā)現(xiàn)并證明了當且時根據(jù)約翰納皮爾的這個發(fā)現(xiàn)以及我們所學的數(shù)學知識，關(guān)于函數(shù)，下列說法正確的是( )
A. 有且只有一個極值點
B. 的最小值為
C. 的單調(diào)遞減區(qū)間是
D. 存在兩個不相等的正實數(shù)，，使
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。
12.若函數(shù)，且的圖象過定點，則點的坐標是______．
13.身高不相等的人站成一排照相，要求最高的人排在中間，按身高向兩側(cè)遞減，則共有______種不同的排法．
14.若，則在“函數(shù)的定義域為”的條件下，“函數(shù)為奇函數(shù)”的概率為______．
四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。
15.本小題分
已知集合．
用區(qū)間表示集合；
若，，求，的取值范圍．
16.本小題分
某興趣小組研究發(fā)現(xiàn)晝夜溫差變化的大小與患感冒人數(shù)之間具有較強的線性相關(guān)關(guān)系，該興趣小組在惠民醫(yī)院抄錄了年月份每月日的晝夜溫差情況以及附近的居民因患感冒到惠民醫(yī)院就診的人數(shù)，得到如下數(shù)據(jù)：
日期 月日 月日 月日 月日
晝夜溫差
因患感冒就診人數(shù)人
求因患感冒到惠民醫(yī)院就診的人數(shù)關(guān)于晝夜溫差的線性回歸方程；
如果月日晝夜溫差是時，試預(yù)測因患感冒到惠民醫(yī)院就診的人數(shù)精確到整數(shù)．
附：線性回歸直線中，．
17.本小題分
已知函數(shù)，．
判斷的奇偶性；
若函數(shù)在和處取得極值，且關(guān)于的方程有個不同的實根，求實數(shù)的取值范圍．
18.本小題分
六一兒童節(jié)，某商場為了刺激消費提升營業(yè)額，推出了消費者憑當天在該商場的消費單據(jù)參加抽獎的活動，獎品是款不同造型的玩具摩托車與款不同造型的玩具跑車每款車的數(shù)量都充足，主辦方將大小相同的個乒乓球上分別標注，，，，，，，，其中標注數(shù)字，，，的乒乓球分別代表款不同造型的摩托車，，，，的乒乓球分別代表款不同造型的跑車，并將這個乒乓球放在一個不透明箱子內(nèi)活動規(guī)定：兒童節(jié)當天在該商場消費滿元的消費者可從摸獎箱內(nèi)摸出個乒乓球，然后再放回箱內(nèi)；消費滿元可先從摸獎箱內(nèi)摸出個乒乓球，放回后再從中摸出個乒乓球，然后再放回箱內(nèi)；消費滿元可先從摸獎箱內(nèi)摸出個乒乓球，放回后再從中摸出個乒乓球，放回后再從中摸出個乒乓球，然后再放回箱內(nèi)；，依此類推，消費者根據(jù)自己摸出的乒乓球標注的數(shù)字即可獲得相應(yīng)的獎品．
若小明的家長當天在該商場消費恰好滿元，求這位家長能獲得款相同造型摩托車與款不同造型跑車的概率；
若本次活動小明家獲得的獎品是臺不同造型的摩托車和臺不同造型的跑車，小英家也獲得臺不同造型的摩托車和臺不同造型的跑車．
從他們兩家獲得的這臺車中隨機抽取臺，如果抽出的臺車中有臺摩托車，求的分布列和數(shù)學期望；
若小明和小英將他們家本次活動獲得的獎品每次各取一件進行交換，第一次交換的獎品也可以參加第二次交換，求兩次交換后小明家仍有臺摩托車和臺跑車的概率．
19.本小題分
“洛必達法則”是研究微積分時經(jīng)常用到的一個重要定理，洛必達法則之一的內(nèi)容是：若函數(shù)，的導數(shù)，都存在，且，如果是常數(shù)時，或，或，且是常數(shù)，則時．
已知函數(shù)，．
證明：時曲線在點處的切線與曲線也相切；
若函數(shù)有兩個零點，，函數(shù)有兩個零點，
指出，，，的大致范圍不必說明理由，并求出的取值范圍；
試探究與的大小關(guān)系．
參考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15由，得，
即，且，
解得或，
所以，；
因為，所以，
不等式可化為．
當時，不等式化為，
解得，不滿足，舍去，
當時，因為但，不滿足，舍去，
當時，解得或，
因為，所以
解得，
所以的取值范圍為，的取值范圍為．
16.根據(jù)題意可知，，
，
，
，
，
所求線性回歸方程為；
時，，
因此如果月日晝夜溫差是時，預(yù)測因患感冒到惠民醫(yī)院就診的人數(shù)大約為．
17.解：因為，所以圖像的對稱軸為直線，
所以時，圖像的對稱軸為軸，此時為偶函數(shù)；
時，，，則，且，
所以為非奇非偶函數(shù)．
由題意知，所以，
因為在和處取得極值，
所以解得，
所以，的定義域為，．
令，得，或；
令，得，
所以在及上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
所以，，
又當時，；
當時，，
要使有個不同的實數(shù)根，當且僅當，
故實數(shù)的取值范圍為．
18.記“小明的家長得到臺相同造型摩托車與臺不同造型跑車”為事件，
則；
易知的所有可能取值為，，，，
所以，
則的分布列為：
故；
兩次交換后小明家仍有臺摩托車和臺跑車，包括種情況：
第一次交換后小明家是臺摩托車臺跑車，
此時概率；
第一次交換后小明家是臺摩托車臺跑車，
此時概率；
第一次交換后小明家是臺摩托車臺跑車，
此時概率，
則兩次交換后小明家仍有臺摩托車和臺跑車的概率．
19.證明：時，，，
，，
又，，
所以曲線在點處的切線方程是，即．
因為，，
所以曲線在點處的切線方程是，即．
所以時曲線在點處的切線與曲線也相切．
，．
由，得；，得，
令，則與的零點相同，與的零點相同，
又，
時，，單調(diào)遞減；時，，單調(diào)遞增；
時，，單調(diào)遞減，時，，單調(diào)遞增；
所以和在上都是減函數(shù)，在上都是增函數(shù)，
所以時，，時，，
因為有兩個零點，即有兩個零點，
所以，且解得．
當時，，，
又時，
根據(jù)洛必達法則可知，時，，
所以時，
所以時，在區(qū)間和上各有一個零點，
所以，
因此，若函數(shù)，各有兩個零點，的取值范圍是．
令，
則與的零點相同，與的零點相同，
在區(qū)間上是增函數(shù)，
，
，
令，則，
時，單調(diào)遞增；時，，單調(diào)遞減；
所以時，
于是時等號僅當時成立，
所以在上是增函數(shù)．
所以時，，，即時，；
時，，，即時；
由知，，
所以，
又，，
所以，
又在區(qū)間上是增函數(shù)，且，，
所以同理可證，
于是．
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