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2024-2025學(xué)年云南省德宏州高一（下）期末數(shù)學(xué)試卷
一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。
1.已知，則( )
A. B. C. D.
2.已知向量，，且，則( )
A. B. C. D.
3.若，是不相同的直線，，是不重合的平面，則下列命題為真命題的是( )
A. 若，，則 B. 若，，則
C. 若，，則 D. 若，，則
4.在中，點(diǎn)滿足，則( )
A. B.
C. D.
5.在中，內(nèi)角、所對的邊分別是、，且，則是( )
A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等邊三角形 D. 等腰直角三角形
6.在平行六面體中，，取棱的中點(diǎn)，則( )
A. B.
C. D.
7.甲、乙兩隊(duì)進(jìn)行排球決賽．現(xiàn)在的情形是甲隊(duì)只要再贏一局就獲冠軍，乙隊(duì)需要再贏兩局才能得冠軍若兩隊(duì)勝每局的概率相同，則甲隊(duì)獲得冠軍的概率為( )
A. B. C. D.
8.如圖，，是海面上位于東西方向相距海里的兩個(gè)觀測點(diǎn)，現(xiàn)位于點(diǎn)北偏東、點(diǎn)北偏西的點(diǎn)有一艘船發(fā)出求救信號，位于點(diǎn)南偏西且與點(diǎn)相距海里的點(diǎn)的救援船立即前往營救，其航行速度為海里小時(shí)，則該救援船到達(dá)點(diǎn)最快所需時(shí)間為( )
A. 小時(shí) B. 小時(shí) C. 小時(shí) D. 小時(shí)
二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。
9.給定數(shù)，，，，，，，，，，則這組數(shù)據(jù)的( )
A. 中位數(shù)為 B. 方差為 C. 眾數(shù)為 D. 分位數(shù)為
10.從裝有兩個(gè)紅球和三個(gè)黑球的口袋里任取兩個(gè)球，那么不互斥的兩個(gè)事件是( )
A. “至少有一個(gè)黑球”與“都是黑球”
B. “至少有一個(gè)黑球”與“至少有一個(gè)紅球”
C. “恰好有一個(gè)黑球”與“恰好有兩個(gè)黑球”
D. “至少有一個(gè)黑球”與“都是紅球”
11.如圖，在矩形中，，，為中點(diǎn)，現(xiàn)分別沿，將、翻折，使點(diǎn)，重合，記為點(diǎn)，翻折后得到三棱錐，則( )
A. 三棱錐的體積為
B. 直線與直線所成角的余弦值為
C. 直線與平面所成角的正弦值為
D. 三棱錐外接球的半徑為
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。
12.有一批產(chǎn)品，其中一等品件，二等品件，次品件，現(xiàn)用按比例分層隨機(jī)抽樣的方法從這批產(chǎn)品中抽出件進(jìn)行質(zhì)量分析，則抽取的一等品有______件
13.已知圓錐的底面半徑為，側(cè)面展開圖是圓心角為的扇形，則該圓錐的表面積為______．
14.如圖，扇形的弧的中點(diǎn)為，動(dòng)點(diǎn)，分別在線段，上，且若，，則的取值范圍是______．
四、解答題：本題共5小題，共60分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。
15.本小題分
如圖所示，在四棱錐中，四邊形是正方形，點(diǎn)，分別是線段，的中點(diǎn)．
求證：平面；
是線段的中點(diǎn)，證明：平面平面．
16.本小題分
某校高二年組組了一次專題培，從參加考試的學(xué)生中出名學(xué)生，將其成均為整數(shù)分成為，，，，分為組，得到如圖所示的率分布直方圖：
求分?jǐn)?shù)值不低于分的人數(shù)；
計(jì)這次考試的平均數(shù)和中位數(shù)保留兩位小數(shù)；
已知分?jǐn)?shù)在內(nèi)的男性與女性的比為：，為提高他們的成績，現(xiàn)從分?jǐn)?shù)在的人中隨機(jī)抽取人進(jìn)行補(bǔ)課，求這人中只有一位男性的概率．
17.本小題分
猜燈謎又稱打燈謎，是我國從古代就開始流傳的元宵節(jié)特色活動(dòng)．在一次元宵節(jié)猜燈謎活動(dòng)中，共有道燈謎，三位同學(xué)獨(dú)立競猜，甲同學(xué)猜對了道，乙同學(xué)猜對了道，丙同學(xué)猜對了道．假設(shè)每道燈謎被猜對的可能性都相等．
任選一道燈謎，求甲，乙兩位同學(xué)恰有一個(gè)人猜對的概率；
任選一道燈謎，若甲，乙，丙三個(gè)人中至少有一個(gè)人猜對的概率為，求的值．
18.本小題分
在中，角，，的對邊分別是，，，向量，向量，且滿足．
求角的大小；
若外接圓的半徑是，求當(dāng)函數(shù)取最大值時(shí)的周長．
19.本小題分
如圖，是的直徑，，點(diǎn)是上的動(dòng)點(diǎn)，平面，過點(diǎn)作，過點(diǎn)作，連接．
求證：；
求證：平面平面；
當(dāng)為弧的中點(diǎn)時(shí)，直線與平面所成角為，求四棱錐的體積．
參考答案
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15.證明：在四棱錐中，四邊形是正方形，點(diǎn)，分別是線段，的中點(diǎn)，
連接必與相交于中點(diǎn)，
，
面，平面，
面，得證；
由點(diǎn)，分別為，中點(diǎn)，可得：，
面，平面，
平面，
又由可知平面，
且，，平面，
平面平面，得證．
16.解：由頻率分布直方圖可知滿意度分?jǐn)?shù)不低于分的人數(shù)為：
人，
所以分?jǐn)?shù)不低于分的人數(shù)為人．
平均分：．
中位數(shù)：，．
的樣本內(nèi)共有學(xué)生人，名男性，名女性，
設(shè)三名男性分別表示為，，，四名女性分別表示為，，，，
則從名學(xué)生中隨機(jī)抽取名的所有可能結(jié)果為：
，，，，，，，，
，，，，，，，
，，共種．
設(shè)事件為“抽取人中只有一位男性”，則中所含的結(jié)果為：
，，，，，，，，，，共種．
事件發(fā)生的概率為．
17.解：設(shè)“任選一道燈謎甲猜對”，“任選一道燈謎乙猜對”，“任選一道燈謎丙猜對”，
則，，，
故，，，
所以任選一道燈謎，求，乙兩位同學(xué)恰有一個(gè)人猜對的概率為．
設(shè)“甲，乙，丙三個(gè)人中至少有一個(gè)人猜對”，
則，
解得，
即的值為．
18.解：向量，向量，
由已知，得，
再根據(jù)正弦定理有，，
即．
由余弦定理得，，，
因?yàn)椋?br/>所以．
由知．
因?yàn)椋?br/>所以．
因此當(dāng)時(shí)，有最大值．
此時(shí)，
．
故的周長是．
19.證明：因?yàn)槠矫妫矫妫?br/>所以，
又因?yàn)槭堑闹睆剑c(diǎn)是上的動(dòng)點(diǎn)，可得，
因?yàn)椋?br/>所以平面，平面，
所以；
證明：過點(diǎn)作，過點(diǎn)作，
由可得，
所以平面，
而平面，所以，
，
所以平面，
而平面，
所以平面平面；
解：由可得平面，
則直線與平面所成角為，可得，
可得，
因?yàn)楫?dāng)為弧的中點(diǎn)時(shí)，，
可得，
可得到平面的距離為，
因?yàn)椋詾榈闹悬c(diǎn)，所以為的中位線，
所以，且，
由可得四邊形為直角梯形，，
，
所以．
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