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2024-2025學年湖南省株洲四中高一（下）期末數學試卷
一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。
1.已知復數滿足，則( )
A. B. C. D.
2.若平面向量兩兩的夾角相等，且，則( )
A. B. C. 或 D. 或
3.已知是在上單調遞增的奇函數，則函數在上的圖象可能為( )
A. B.
C. D.
4.圓錐的底面圓半徑，側面的平面展開圖的面積為，則此圓錐的體積為( )
A. B. C. D.
5.已知某中學共有學生名，其中男生有人，現按性別采用分層隨機抽樣的方法抽取人，抽取的樣本中男生身高的平均數和方差分別為和，女生身高的平均數和方差分別為和，則估計該校學生身高的總體方差是( )
A. B. C. D.
6.如圖，，兩地相距，甲欲駕車從地去地，由于山體滑坡造成道路堵塞，甲沿著與方向成角的方向前行，中途到達點，再沿與方向成角的方向繼續前行到達終點，則這樣的駕車路程比原來的路程約多了參考數據：，，( )
A. B.
C. D.
7.已知中，、、分別為角、、所在的對邊，且，，，則的面積為( )
A. B. C. D.
8.設角、滿足，則的最小值為( )
A. B. C. D.
二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。
9.已知復數滿足，則下列結論正確的是( )
A. 在復平面內對應的點可能是 B.
C. 的實部與虛部之積小于等于 D. 復數，則的最大值為
10.以下結論正確的是( )
A. “事件，互斥”是“事件，對立”的充分不必要條件．
B. 擲兩枚質地均勻的骰子，設“第一次出現奇數點”，“第二次出現偶數點”，則與相互獨立
C. 假設，，且與相互獨立，則
D. 若，，則事件，相互獨立與事件，互斥不能同時成立
11.在平面四邊形中，，將該四邊形沿著對角線折疊，得到空間四邊形，為棱的中點，則( )
A. 異面直線，所成的角是 B. 平面
C. 平面平面 D.
三、填空題：本題共3小題，共15分。
12.已知平面向量，，若，則______．
13.某中學舉辦電腦知識競賽，滿分為分，分以上為優秀，現將高一兩個班參賽學生的成績進行整理后分成五組：第一組，第二組，第三組，第四組，第五組，其中第一、三、四、五小組的頻率分別為，，，，而第二小組的頻數是，則參賽的人數為______，成績優秀的經驗概率是______．
14.已知為等邊三角形，點是的重心過點的直線與線段交于點，與線段交于點設，，則 ______．
四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。
15.本小題分
已知函數，且．
Ⅰ求的值和函數的最小正周期；
Ⅱ求不等式的解集；
Ⅲ在中，，，為邊上的中線，設，，請直接寫出的值和的長．
16.本小題分
如圖，四棱錐為正四棱錐，底面是邊長為的正方形，四棱錐的高為，點在棱上，且．
若點在棱上，是否存在實數滿足，使得平面？若存在，請求出實數的值；若不存在，請說明理由．
在第問的條件下，當平面時，求三棱錐的體積．
17.本小題分
高一年級疫情期間舉行全體學生的數學競賽，成績最高分為分，隨機抽取名學生進行了數據分析，將他們的分數分成以下幾組：第一組，第二組，第三組，第四組，第五組，得到頻率分布直方圖，如圖所示．
試估計這次競賽成績的眾數和平均數；
已知名學生落在第二組的平均成績是，方差為，落在第三組的平均成績為，方差為，求兩組學生成績的總平均數和總方差；
已知年級在第二組和第五組兩個小組按等比例分層抽樣的方法，隨機抽取名學生進行座談，之后從這人中隨機抽取人作為學生代表，求這兩名學生代表都來自第五組的概率．
18.本小題分
如圖，菱形的邊長為，，將沿折起至如圖，且點為的中點．
證明：平面平面；
若，求平面與平面夾角的余弦值．
19.本小題分
如圖，在正四面體中，棱長為，為中點．
求證：平面．
已知為棱上一點不含端點，，為線段上一動點，為截面上一動點．
若存在，使得平面，求范圍．
(ⅱ)設的最小值為關于的函數，求值域．
參考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.Ⅰ
，
因為，所以，即，
所以，
所以函數的最小正周期為．
Ⅱ由，得，，
所以，，
所以不等式的解集為，．
Ⅲ因為，所以，
由題意知，，
所以，
所以，即，
設，，，
在中，由余弦定理得，，
即，
在中，由余弦定理得，，
即，
得，，
在，由余弦定理得，，
所以，
整理得，
所以，即，
解得或舍負，
所以，解得負值已舍，
故BC．
16.存在實數滿足，使得平面．
證明如下：如圖，
取上一點，滿足，連接，，，
因為，所以．
因為平面，平面，所以平面，
因為底面是正方形，且，所以且，
所以四邊形為平行四邊形，所以，
因為平面，平面，所以平面，
又因為，平面，平面，
所以平面平面．
又因為平面，所以平面；
已知，因為平面，所以，
又因為正四棱錐的高為，底面邊長為，所以．
17.解：由圖可得，眾數為，
平均數為；
由圖可得，第二組的人數為人，第三組的人數為，
故，
；
由題，第二組和第五組的人數比為：：，
故在第二組和第五組分別抽人和人．
記第二組中的人為，第五組中的人分別為，，，
則這人中隨機抽取人作為學生代表，所有可能的情況有：
，，，，，共種情況，
其中這兩名學生代表都來自第五組的有：，，種情況．
設“從這人中隨機抽取人作為學生代表，這兩名學生代表都來自第五組”的事件為，
則．
18.證明：連接，交于點，連接，，
在菱形中，，，且既是的中點，也是的中點，
又，是等邊三角形，
顯然，，
又，，平面，
平面，
平面，
，
在折疊過程中，始終有，又是的中點，
，又，、平面，
平面，
平面，
平面平面；
在邊長為的菱形中，，，
以為原點，，所在直線分別為，軸，作平面，建立如圖所示的空間直角坐標系，
則，，，
，，，
設，，
，解得，
又折疊過程中，，
，
解得，
，，，
由知平面，
平面的一個法向量為，
平面的法向量為，
則，
取，則，，，
設平面與平面夾角為，
則．
平面與平面夾角的余弦值為．
19.證明：在正四面體中，，為等邊三角形，
為中點，，，
，，平面，
平面．
如圖，延長交于，在截面上，
則在線段上，
平面與平面為同一平面，
平面，，平面，
，又在線段上，．
將平面沿展開，并延長，交于點，
，
當，，，
平面，
當，即平面，取得最小值，
此時，，，
，，
，
，，
，
令，由題意得，
可得，
，則，
則，解得，
則，，
代入可得：
，
記，，
，令，
，則，
則，，
由題意得對勾函數在上單調遞增，
則，
，
，
的值域為
第2頁，共2頁

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