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2024-2025學年河南省新鄉市高二（下）期末數學試卷
一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。
1.已知復數，則( )
A. B. C. D.
2.已知集合，若，則( )
A. B. C. D.
3.若，則( )
A. B. C. D.
4.已知定義在上的偶函數滿足，則( )
A. B. C. D.
5.記為等比數列的前項和若，則( )
A. B. C. D.
6.若數據，，和數據，，的平均數均為，方差均為，則數據，，，，，的方差為( )
A. B. C. D.
7.若，則( )
A. B. C. D.
8.已知雙曲線：的右焦點為，左頂點為，過作的一條漸近線的垂線，垂足為若，則的離心率為( )
A. B. C. D.
二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。
9.將函數的圖象向右平移個單位長度，得到函數的圖象，則( )
A. 的最小正周期為 B. 是偶函數
C. 的圖象關于直線軸對稱 D. 在上單調遞增
10.已知連續型隨機變量服從正態分布，記函數，且的圖象關于點對稱，若存在實數，使得，，則( )
參考數據：若，則，
A. B.
C. D.
11.已知為坐標原點，點在曲線：上，則下列結論正確的是( )
A. 曲線關于軸對稱 B.
C. D. 的最大值為
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。
12.若曲線與直線相切，則______．
13.我國古代數學家趙爽為了證明勾股定理，創制了一幅“勾股圓方圖”，后人稱其為“趙爽弦圖”如圖，邊長為的正方形由四個全等的直角三角形與一個小正方形拼成，且為的中點，則 ______．
14.如圖，在四面體中，，，，平面平面，則四面體外接球的表面積為______．
四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。
15.本小題分
已知拋物線：的焦點為，為上一點，且．
求；
若點在橢圓上，且直線與橢圓相切，求橢圓的標準方程．
16.本小題分
的內角，，的對邊分別為，，，已知，．
若，求；
若為鈍角三角形，求面積的取值范圍．
17.本小題分
在一次闖關游戲中，某一關有，，三道題將這三道題按一定順序排好后如第一道題為題，第二道題為題，第三道題為題，玩家開始答題若第一道題答對，則通過本關，停止答題，若沒有答對，則答第二道題；若第二道題答對，則通過本關，停止答題，若沒有答對，則答第三道題；若第三道題答對，則通過本關，若沒有答對，則沒有通過本關假設每名玩家答對，，三道題的概率分別為，，每次答題正確與否相互獨立．
求玩家通過這一關的概率．
規定：答對題積分，答對題積分，答對題積分現有兩種題序可供選擇：第一道題為題，第二道題為題，第三道題為題；第一道題為題，第二道題為題，第三道題為題為了在本關中得到更多的積分，應該選擇哪種題序？
18.本小題分
如圖，直四棱柱的底面是菱形，，，為銳角，，，分別是，，的中點．
證明：平面．
求二面角的余弦值的最大值．
19.本小題分
證明：當時，．
若，求的取值范圍．
參考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.因為為上一點，且，
所以，
解得；
由得，
所以直線的斜率，
則直線的方程為，
聯立，消去并整理得，
此時，化簡得，
因為點在橢圓上，
所以，
聯立，
解得，．
則橢圓的標準方程為．
16.因為，所以，即A.
因為，，所以，及，所以．
因為，，
所以由余弦定理得：，
所以；
因為，，所以．
由正弦定理得：
，
因為為鈍角三角形，所以或，
即或，所以，
所以，
所以．
所以面積的取值范圍是．
17.設通關概率為，未通關概率為：
則，
那么，，
故玩家通過這一關的概率為；
計算兩種答題順序的期望積分：
順序：
答對題：，答錯答對：，答錯、答對：
期望總積分：，
順序：
答對：，答錯答對：，答錯、答對：，
期望總積分：，
比較結果大小：
故應選擇題序．
18.證明：連接，，，設，連接．
在中，，分別是，的中點，
所以．
在中，，分別是，的中點，
所以，則．
因為平面，平面，
所以平面．
過點作交于點．
以為坐標原點，所在直線為軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，
則，．
設，且，則，．
設，
則，
即，
則．
設平面的法向量為，
則，則，所以，
可取．
易得平面的一個法向量為．
．
令，，
則，
當且僅當，即時，等號成立，
所以．
故二面角的余弦值的最大值為．
19.證明：令，那么導函數．
令，那么導函數．
由于，，，因此，在上單調遞減．
又，，
因此存在，使得，當時，，當時，，
因此函數在上單調遞減，在上單調遞增，
由于，因此當時，，得證．
由于，，
因此當時，，
解得，
因此當時，不符合題意，下面證明當時符合題意．
．
由于，因此當時，．
令，，那么導函數．
根據第一問得，當時，導函數．
當時，，，因此導函數，
因此函數在上單調遞增，在上單調遞減，
所以，即得證．
綜上，的取值范圍為．
第2頁，共2頁

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