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2024-2025學年遼寧省沈陽市五校協作體高二（下）期末數學試卷
一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。
1.已知集合，，則( )
A. B. C. D.
2.某班有名同學，一次數學考試滿分分的成績服從正態分布，若，則本班在分以上的人數約為( )
A. B. C. D.
3.已知與之間具有相關關系，并測得如下一組數據，與之間的經驗回歸方程為，則的值為( )
A. B. C. D.
4.在公差不為的等差數列中，若是與的等差中項，則的最小值為( )
A. B. C. D.
5.已知是減函數，則函數的大致圖象為( )
A. B.
C. D.
6.已知點在冪函數的圖象上，設，，，則( )
A. B. C. D.
7.已知數列滿足，某同學將其前項中某一項正負號寫錯，得其前項和為，則寫錯之前這個數為( )
A. B. C. D.
8.已知函數，有且只有一個負整數，使成立，則的取值范圍是( )
A. B. C. D.
二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。
9.設數列的前項和為，若，則下列說法正確的是( )
A. 為等比數列 B.
C. 既有最大值也有最小值 D.
10.已知函數，下列說法正確的是( )
A.
B. 當且僅當時，方程有兩個不等的實根
C. 對區間上任意兩個實數，都有
D. 設，只有一個極值點，則實數的范圍為
11.已知甲口袋中裝有個紅球，個白球，乙口袋中裝有個紅球，個白球，這些球只有顏色不同先從甲口袋中隨機取出個球放入乙口袋，再從乙口袋中隨機取出個球記從甲口袋中取出的球是紅球、白球分別為事件、，從乙口袋中取出的球是紅球為事件，則下列結論正確的是( )
A. B. C. D.
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。
12.“”是“”的______條件．
13.設函數在上的導函數為，在上的導函數為，若在上恒成立，則稱函數在上為“凸函數”，已知在上為“凸函數”，則實數的取值范圍是______．
14.在維空間中，以單位長度為邊長的“立方體”的頂點坐標可表示為維坐標，其中，，定義：在維空間中的兩點與的曼哈頓距離為，若在維空間“立方體”中任取兩個不同的頂點，記隨機變量為所取兩點間的曼哈頓距離，則 ______．
四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。
15.本小題分
已知命題：，不等式恒成立；命題：，使成立．
若命題為真命題，求實數的取值范圍；
若命題，中恰有一個為真命題，求實數的取值范圍．
16.本小題分
錢學森、華羅庚、李四光、袁隆平、鐘南山分別是我國著名的物理學家、數學家、古生物學家、農學家、呼吸病學專家，他們在各自不同的領域為我國作出了卓越貢獻為調查中學生對這些著名科學家的了解程度，某調查小組隨機抽取了某市的名中學生，請他們列舉這些科學家的成就，把能列舉這些科學家成就不少于項的稱為“比較了解”，少于項的稱為“不太了解”調查結果如表：
項 項 項 項 項 項 項以上
男生人
女生人
完成如下列聯表，并判斷是否有的把握認為“中學生對這些科學家的了解程度與性別有關”
比較了解 不太了解 合計
男生
女生
合計
在抽取的名中學生中，按照性別采用分層抽樣的方法抽取一個人的樣本，從這個樣本中隨機抽取人，記為這人中女生的人數，求的分布列和數學期望．
附：
，．
17.本小題分
已知等差數列的前項和為，且，．
求數列的通項公式；
記數列的前項和為，若對恒成立，求的取值范圍．
18.本小題分
已知函數．
當時，求曲線在點處的切線方程；
若，求的值；
當時，證明：有個零點．
19.本小題分
甲口袋中裝有個黑球和個白球，乙口袋中裝有個黑球和個白球設從甲、乙兩個口袋中各任取一個球交換放入另一個口袋為一次操作，經過次這樣的操作，記甲口袋中黑球個數為．
Ⅰ寫出的分布列并計算；
Ⅱ某人重復進行了次操作，記，，求該數列的前項和的最大值；
Ⅲ定性分析當交換次數趨向于無窮時，趨向的值簡要說明你的理由
參考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.充分不必要
13.
14.
15.解：命題：，不等式恒成立；
若為真命題，則，
解得，所以的取值范圍是．
命題：，使成立．
當為真命題時：，
解得或，所以的取值范圍是．
當命題，中恰有一個為真命題時，
為真命題，為假命題，即，
所以的取值范圍是．
為假命題，為真命題，即，
所以的取值范圍是．
綜上，的取值范圍是．
16.解：依題意填寫的列聯表如下：
比較了解 不太了解 合計
男生
女生
合計
，
沒有的把握認為“中學生對這些科學家的了解程度與性別有關”．
抽取的女生人數為人，男生人數為人．
所以的可能取值為，，，，，
則，，
，，
，
因此的分布列為：
數學期望為．
17.解：設等差數列的公差為，
又，，
則，
則，
則；
由可得：，
則，
又對恒成立，
則對恒成立，
即對恒成立，
又當時，取最小值，
即，
即的取值范圍為．
18.當時，，則，
，，
曲線在點處的切線方程為，
即．
函數的定義域為，且，
當時，，在上單調遞減，
又，當時，，不符合題意；
當時，由，得，由，得，
在上單調遞減，在上單調遞增，
，
，則其等價于，即．
令，則，
當時，，單調遞增，
當時，，單調遞減，
，因恒成立，故．
證明：，．
令，得，
令，則與有相同的零點，
且．
令，，則，
當時，，在區間上單調遞增，
又，，，使得，
當時，，即；
當時，，即，
在單調遞減，在單調遞增，
的最小值為．
由，得，即，
令，，則，則在單調遞增．
，，則，
，從而，，
的最小值．
，當趨近于時，趨近于；
當趨近于時，趨近于，且，
有個零點，故有個零點．
19.Ⅰ由題意可知，的取值為，，，
則，，，
所以的分布列為：
所以；
Ⅱ顯然最快出現為，之后最緊湊的是隔一次出現，
所以的最大值為；
Ⅲ當交換次數趨向于無窮時，趨向的值為，
可以這樣理解，甲盒子的黑球濃度為，乙盒子的黑球濃度為，當它們經過無窮多次交換后，即經過充分的均勻，則兩盒的黑球濃度到達平均，
則甲盒子的黑球個數．
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