資源簡介

7.1.1 數系的擴充和復數的概念
—— (教學方式：基本概念課—逐點理清式教學)
[課時目標]
1．了解復數的概念，能類比有理數擴充到實數系的過程和方法，通過方程的解認識復數．
2．能描述復數代數表示式的結構特征，正確判斷復數的實部、虛部．
3．知道復數集、實數集、虛數集與純虛數集之間的關系．
逐點清(一)　復數的概念及復數集
[多維理解]
1．復數的定義及表示方法
定義 形如a＋bi(a，b∈R)的數叫做復數，其中i叫做__________，滿足i2＝－1
表示方法 復數通常用字母z表示，即z＝a＋bi.其中a叫做復數的______，b叫做復數的______
2．復數集的定義及表示
全體復數構成的集合C＝{a＋bi|a，b∈R}叫做復數集．通常用大寫字母C表示．
|微|點|助|解|　
(1)虛數單位i性質的關注點
i2＝－1的理解：并沒有規定i＝±還是i＝或i＝－，在今后的學習中，我們將知道＝±i但不能說i＝±.
(2)復數集是最大的數集，任何一個數都可以寫成a＋bi(a，b∈R)的形式，其中0＝0＋0i和實數之間能進行加法、乘法運算．
(3)復數的虛部是實數b而非bi.
(4)復數z＝a＋bi只有在a，b∈R時才是復數的代數形式，否則不是．
[微點練明]
1．若復數z的實部和虛部之和為3，則復數z可以是(　　)
A．3－i B．3＋i
C．－1＋4i D．1＋3i
2．已知復數z1＝1＋3i的實部與復數z2＝－1－ai的虛部相等，則實數a等于(　　)
A．－3 B．3
C．－1 D．1
3．以－＋7i的虛部為實部，以i＋5i2的實部為虛部的復數是(　　)
A．7－5i B．－＋i
C．5＋i D.＋i
4．若復數z＝a2－3＋2ai的實部與虛部互為相反數，則實數a的值為________．
逐點清(二)　復數的分類
[多維理解]
1．復數的分類
對于復數a＋bi(a，b∈R)
(1)z為實數 ______；
(2)z為虛數 ______；
(3)z為純虛數 ______________.
2．集合表示
|微|點|助|解|　
(1)兩個復數不一定能比較大小，當兩個復數都是實數時，可以比較大小；兩個虛數或一個虛數與一個實數不能比較大小，即兩個復數除去都是實數外，沒有大小關系．
(2)復數分類問題的求解方法與步驟
①化標準式：解題時一定要先看復數是否為a＋bi(a，b∈R)的形式，以確定實部和虛部．
②定條件：復數的分類問題可以轉化為復數的實部與虛部應該滿足的條件問題，只需把復數化為a＋bi(a，b∈R)的形式，列出實部和虛部滿足的方程(不等式)即可．
③下結論：設所給復數為z＝a＋bi(a，b∈R)，則：z為實數 b＝0；z為虛數 b≠0；z為純虛數 a＝0且b≠0.a＝0是z＝a＋bi(a，b∈R)為純虛數的必要不充分條件．
[微點練明]
1．若復數(a2－3a＋2)＋(a－1)i是純虛數，則實數a的值為(　　)
A．1 B．2
C．－1或－2 D．1或2
2．復數z＝a2－b2＋(a＋|a|)i(a，b∈R)為實數的充要條件是(　　)
A．|a|＝|b| B．a＜0且a＝－b
C．a＞0且a≠b D．a≤0
3．已知z1＝－4a＋1＋(2a2＋3a)i，z2＝2a＋(a2＋a)i，其中a∈R，z1>z2，則a的值為________．
4．當m為何實數時，復數z＝＋(m2－2m－15)i是：(1)虛數；(2)純虛數；(3)實數．
逐點清(三)　復數相等
[多維理解]
在復數集C＝{a＋bi|a，b∈R}中任取兩個數a＋bi，c＋di(a，b，c，d∈R)，我們規定：a＋bi與c＋di相等當且僅當________且________．
|微|點|助|解|　
(1)在兩個復數相等的條件中，注意前提條件是a，b，c，d∈R，即當a，b，c，d∈R時，a＋bi＝c＋di a＝c且b＝d.若忽略前提條件，則結論不能成立．
(2)利用該條件把復數的實部和虛部分離出來，達到“化虛為實”的目的，從而將復數問題轉化為實數問題來求解．
[微點練明]
1．滿足x－3i＝(8x－y)i的實數x，y的值為(　　)
A．x＝0且y＝3 B．x＝0且y＝－3
C．x＝5且y＝3 D．x＝3且y＝0
2．若復數(m－2)＋m(m－2)i＝0，則實數m＝(　　)
A．2 B．3
C．0 D．1
3．復數z1＝a＋|b|i，z2＝c＋|d|i(a，b，c，d∈R)，則z1＝z2的充要條件是____________．
4．關于x的方程3x2－x－1＝(10－x－2x2)i有實根，則實數a的值為________．
7．1.1　數系的擴充和復數的概念
[逐點清(一)]
[多維理解]　1.虛數單位　實部　虛部
[微點練明]
1．C
2．選C　復數z1＝1＋3i的實部為1.復數z2＝－1－ai的虛部為－a，則－a＝1，解得a＝－1.
3．選A　設所求復數為z＝a＋bi(a，b∈R)，由題意知復數－＋7i的虛部為7，所以a＝7.復數i＋5i2＝－5＋i的實部為－5，所以b＝－5，故z＝7－5i.
4．解析：由條件知a2－3＋2a＝0，
∴a＝1或a＝－3.
答案：1或－3
　[逐點清(二)]
[多維理解]　1.(1)b＝0　(2)b≠0
(3)a＝0且b≠0
[微點練明]
1．選B　由得a＝2，故選B.
2．選D　復數z為實數的充要條件是a＋|a|＝0，故a≤0.
3．解析：由z1>z2，得
即解得a＝0.
答案：0
4．解：(1)當
即m≠5且m≠－3時，z是虛數．
(2)當
即m＝3或m＝－2時，z是純虛數．
(3)當即m＝5時，z是實數．
　[逐點清(三)]
[多維理解]　a＝c　b＝d
[微點練明]
1．選A　依題意得解得故選A.
2．選A　因為復數(m－2)＋m(m－2)i＝0，則有解得m＝2.
3．解析：由復數相等定義可得，z1＝z2等價于a＝c且|b|＝|d|，所以z1＝z2的充要條件為a＝c且b2＝d2.
答案：a＝c且b2＝d2
4．解析：設方程的實數根為x＝m，
則3m2－m－1＝(10－m－2m2)i，
∴
解得a＝11或a＝－.
答案：11或－(共48張PPT)
7.1.1
數系的擴充和復數的概念
（教學方式：基本概念課——逐點理清式教學)
課時目標
1.了解復數的概念,能類比有理數擴充到實數系的過程和方法,通過方程的解認識復數.
2.能描述復數代數表示式的結構特征,正確判斷復數的實部、虛部.
3.知道復數集、實數集、虛數集與純虛數集之間的關系.
CONTENTS
目錄
1
2
3
逐點清(一)　復數的概念及復數集
逐點清(二)　復數的分類
逐點清(三)　復數相等
4
課時跟蹤檢測
逐點清(一)　復數的概念及復數集
01
多維理解
1.復數的定義及表示方法
定義 形如a+bi(a,b∈R)的數叫做復數,其中i叫做_________,滿足i2=-1
表示 方法 復數通常用字母z表示,即z=a+bi.其中a叫做復數的______,b叫做復數的______
虛數單位
實部
虛部
2.復數集的定義及表示
全體復數構成的集合C={a+bi|a,b∈R}叫做復數集.通常用大寫字母C表示.
|微|點|助|解|
(1)虛數單位i性質的關注點
i2=-1的理解:并沒有規定i=±還是i=或i=-,在今后的學習中,我們將知道=±i但不能說i=±.
(2)復數集是最大的數集,任何一個數都可以寫成a+bi(a,b∈R)的形式,其中0=0+0i和實數之間能進行加法、乘法運算.
(3)復數的虛部是實數b而非bi.
(4)復數z=a+bi只有在a,b∈R時才是復數的代數形式,否則不是.
1.若復數z的實部和虛部之和為3,則復數z可以是 (　　)
A.3-i B.3+i
C.-1+4i D.1+3i
√
微點練明
2.已知復數z1=1+3i的實部與復數z2=-1-ai的虛部相等,則實數a等于 (　　)
A.-3 B.3
C.-1 D.1
解析:復數z1=1+3i的實部為1.復數z2=-1-ai的虛部為-a,則-a=1,解得a=-1.
√
3.以-+7i的虛部為實部,以i+5i2的實部為虛部的復數是(　　)
A.7-5i B.-+i
C.5+i D.+i
解析:設所求復數為z=a+bi(a,b∈R),由題意知復數-+7i的虛部為7,所以a=7.復數i+5i2=-5+i的實部為-5,所以b=-5,故z=7-5i.
√
4.若復數z=a2-3+2ai的實部與虛部互為相反數,則實數a的值為　　　.
解析:由條件知a2-3+2a=0,
∴a=1或a=-3.
1或-3
逐點清(二)　復數的分類
02
多維理解
1.復數的分類
對于復數a+bi(a,b∈R)
(1)z為實數 _____;
(2)z為虛數 _____;
(3)z為純虛數 ___________.
b=0
b≠0
a=0且b≠0
2.集合表示
|微|點|助|解|
(1)兩個復數不一定能比較大小,當兩個復數都是實數時,可以比較大小;兩個虛數或一個虛數與一個實數不能比較大小,即兩個復數除去都是實數外,沒有大小關系.
(2)復數分類問題的求解方法與步驟
①化標準式:解題時一定要先看復數是否為a+bi(a,b∈R)的形式,以確定實部和虛部.
②定條件:復數的分類問題可以轉化為復數的實部與虛部應該滿足的條件問題,只需把復數化為a+bi(a,b∈R)的形式,列出實部和虛部滿足的方程(不等式)即可.
③下結論:設所給復數為z=a+bi(a,b∈R),則:z為實數 b=0;z為虛數 b≠0;z為純虛數 a=0且b≠0.a=0是z=a+bi(a,b∈R)為純虛數的必要不充分條件.
1.若復數(a2-3a+2)+(a-1)i是純虛數,則實數a的值為 (　　)
A.1 B.2
C.-1或-2 D.1或2
解析:由得a=2,故選B.
√
微點練明
2.復數z=a2-b2+(a+|a|)i(a,b∈R)為實數的充要條件是 (　　)
A.|a|=|b| B.a<0且a=-b
C.a>0且a≠b D.a≤0
解析:復數z為實數的充要條件是a+|a|=0,故a≤0.
√
3.已知z1=-4a+1+(2a2+3a)i,z2=2a+(a2+a)i,其中a∈R,z1>z2,則a的值
為　 .
解析:由z1>z2,得即解得a=0.
0
4.當m為何實數時,復數z=+(m2-2m-15)i是:(1)虛數;
解:當
即m≠5且m≠-3時,z是虛數.
(2)純虛數;
解:當
即m=3或m=-2時,z是純虛數.
(3)實數.
解:當即m=5時,z是實數.
逐點清(三)　復數相等
03
多維理解
在復數集C={a+bi|a,b∈R}中任取兩個數a+bi,c+di(a,b,c,d∈R),我們規定:a+bi與c+di相等當且僅當______且_____.
a=c
b=d
|微|點|助|解|
(1)在兩個復數相等的條件中,注意前提條件是a,b,c,d∈R,即當a,b,c,d∈R時,a+bi=c+di a=c且b=d.若忽略前提條件,則結論不能成立.
(2)利用該條件把復數的實部和虛部分離出來,達到“化虛為實”的目的,從而將復數問題轉化為實數問題來求解.
1.滿足x-3i=(8x-y)i的實數x,y的值為 (　　)
A.x=0且y=3 B.x=0且y=-3
C.x=5且y=3 D.x=3且y=0
解析:依題意得解得故選A.
√
微點練明
2.若復數(m-2)+m(m-2)i=0,則實數m= (　　)
A.2 B.3
C.0 D.1
解析:因為復數(m-2)+m(m-2)i=0,則有解得m=2.
√
3.復數z1=a+|b|i,z2=c+|d|i(a,b,c,d∈R),則z1=z2的充要條件是　　 　　.
解析:由復數相等定義可得,z1=z2等價于a=c且|b|=|d|,所以z1=z2的充要條件為a=c且b2=d2.
a=c且b2=d2
4.關于x的方程3x2-x-1=(10-x-2x2)i有實根,則實數a的值為　　 　.
解析:設方程的實數根為x=m,則3m2-m-1=(10-m-2m2)i,
∴
解得a=11或a=-.
11或-
課時跟蹤檢測
04
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3
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14
2
1.以3i-的虛部為實部,以3i2+i的實部為虛部的復數是(　　)
A.3-3i B.3+i
C.-+i D.+i
解析:3i-的虛部為3,3i2+i=-3+i的實部為-3,故選A.
√
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2.下列說法正確的是 (　　)
A.2+i大于2-i
B.若z1=z2,則z1,z2一定都是實數
C.若復數z滿足-1D.若z1>z2,則z1-z2不一定大于零
√
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解析:虛數不能比較大小,故A錯誤;兩個虛數的實部和虛部相等,則這兩個虛數相等,故B錯誤;若復數z滿足-1z2,則z1-z2一定大于零,故D錯誤.
1
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2
3.復數z=+(a2-1)i(a∈R)是實數,則實數a的值為(　　)
A.1或-1 B.1
C.-1 D.0或-1
解析:因為復數z=+(a2-1)i是實數,且a為實數,則解得a=-1.故選C.
√
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2
4.若x+(y-2)i=3y-(x-2)i(x,y∈R),則x-yi= (　　)
A.3-i B.i-3
C.10 D.
解析:因為x+(y-2)i=3y-(x-2)i,所以解得故選A.
√
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5.設集合A={實數},B={純虛數},C={復數},若全集S=C,則下列結論正確的是 (　　)
A.A∪B=C B.A=B
C.A∩( SB)= D.( SA)∪( SB)=C
解析:集合A,B,C的關系如圖所示,可知只有( SA)∪( SB)=C正確.故選D.
√
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6.若(x+y)i=x-1(x,y∈R),則2x+y的值為 (　　)
A. B.2
C.0 D.1
解析:由復數相等的充要條件知,解得∴x+y=0.
∴2x+y=20=1.故選D.
√
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7.設a,b∈R,i是虛數單位,則“ab=0”是“復數a+bi為純虛數”的 (　　)
A.充分不必要條件
B.必要不充分條件
C.充要條件
D.既不充分也不必要條件
√
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解析:若ab=0,則a=0或b=0;當b=0時,a+bi為實數,此時復數a+bi不是純虛數,充分性不成立;若復數a+bi為純虛數,則a=0且b≠0,此時ab=0,必要性成立.所以“ab=0”是“復數a+bi為純虛數”的必要不充分條件.
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8.若復數a2-a-2+(|a-1|-1)i(a∈R)不是純虛數,則 (　　)
A.a=-1 B.a≠-1且a≠2
C.a≠-1 D.a≠2
解析:復數a2-a-2+(|a-1|-1)i(a∈R)不是純虛數,則有a2-a-2≠0或|a-1|-1=0,解得a≠-1.
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9.(多選)已知復數z=sin θ-icos 2θ(0<θ<2π)的實部與虛部互為相反數,則θ的值可以為 (　　)
A. B.
C. D.
√
√
√
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解析:由條件知,sin θ=cos 2θ,
∴2sin2θ+sin θ-1=0,解得sin θ=-1或sin θ=.
∵0<θ<2π,∴θ=,θ=或θ=.故選A、C、D.
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10.已知復數z=a2+(2a+3)i(a∈R)的實部大于虛部,則實數a的取值范圍是　　　 　.
解析:由已知可得a2>2a+3,即a2-2a-3>0,解得a>3或a<-1.所以實數a的取值范圍是{a|a>3或a<-1}.
{a|a>3或a<-1}
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11.若(m2-1)+(m2-2m)i>1,則實數m的值為　　.
解析:由題意得解得m=2.
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12.已知集合P={5,(m2-2m)+(m2+m-2)i},Q={4i,5},若P∩Q=P∪Q,則實數m=　　.
解析:由題意知P=Q,所以(m2-2m)+(m2+m-2)i=4i,所以解得m=2.
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13.(10分)已知M={1,(m2-2m)+(m2+m-2)i},P={-1,1,4i},若M∪P=P,求實數m的值.
解:∵M∪P=P,∴M P.由(m2-2m)+(m2+m-2)i=-1,
得解得m=1;
由(m2-2m)+(m2+m-2)i=4i,得
解得m=2.綜上可知,m=1或m=2.
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14.(10分)已知復數z1=4-m2+(m-2)i,z2=λ+sin θ+(cos θ-2)i,其中i是虛數單位,m,λ,θ∈R.
(1)若z1為純虛數,求m的值;
解:由z1為純虛數,則解得m=-2.
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(2)若z1=z2,求λ的取值范圍.
解:由z1=z2,得∴λ=4-cos2θ-sin θ=+.∵-1≤sin θ≤1,∴當sin θ=時,λmin=,當sin θ=-1時,λmax=+=5.∴實數λ的取值范圍是.課時跟蹤檢測(十八)　數系的擴充和復數的概念
(滿分80分，選填小題每題5分)
1．以3i－的虛部為實部，以3i2＋i的實部為虛部的復數是(　　)
A．3－3i B．3＋i
C．－＋i D.＋i
2．下列說法正確的是(　　)
A．2＋i大于2－i
B．若z1＝z2，則z1，z2一定都是實數
C．若復數z滿足－1D．若z1>z2，則z1－z2不一定大于零
3．復數z＝＋(a2－1)i(a∈R)是實數，則實數a的值為(　　)
A．1或－1 B．1
C．－1 D．0或－1
4．若x＋(y－2)i＝3y－(x－2)i(x，y∈R)，則x－yi＝(　　)
A．3－i B．i－3
C．10 D.
5．設集合A＝{實數}，B＝{純虛數}，C＝{復數}，若全集S＝C，則下列結論正確的是(　　)
A．A∪B＝C B．A＝B
C．A∩( SB)＝ D．( SA)∪( SB)＝C
6．若(x＋y)i＝x－1(x，y∈R)，則2x＋y的值為(　　)
A. B．2
C．0 D．1
7．設a，b∈R，i是虛數單位，則“ab＝0”是“復數a＋bi為純虛數”的(　　)
A．充分不必要條件
B．必要不充分條件
C．充要條件
D．既不充分也不必要條件
8．若復數a2－a－2＋(|a－1|－1)i(a∈R)不是純虛數，則(　　)
A．a＝－1 B．a≠－1且a≠2
C．a≠－1 D．a≠2
9．(多選)已知復數z＝sin θ－icos 2θ(0<θ<2π)的實部與虛部互為相反數，則θ的值可以為(　　)
A. B.
C. D.
10．已知復數z＝a2＋(2a＋3)i(a∈R)的實部大于虛部，則實數a的取值范圍是________.
11．若(m2－1)＋(m2－2m)i＞1，則實數m的值為________.
12．已知集合P＝{5，(m2－2m)＋(m2＋m－2)i}，Q＝{4i,5}，若P∩Q＝P∪Q，則實數m＝_______.
13．(10分)已知M＝{1，(m2－2m)＋(m2＋m－2)i}，P＝{－1,1，4i}，若M∪P＝P，求實數m的值.
14．(10分)已知復數z1＝4－m2＋(m－2)i，z2＝λ＋sin θ＋(cos θ－2)i，其中i是虛數單位，m，λ，θ∈R.
(1)若z1為純虛數，求m的值；
(2)若z1＝z2，求λ的取值范圍.
課時跟蹤檢測(十八)
1．選A　3i－的虛部為3,3i2＋i＝－3＋i的實部為－3，故選A.
2．選C　虛數不能比較大小，故A錯誤；兩個虛數的實部和虛部相等，則這兩個虛數相等，故B錯誤；若復數z滿足－1z2，則z1－z2一定大于零，故D錯誤．
3．選C　因為復數z＝＋(a2－1)i是實數，且a為實數，則解得a＝－1.故選C.
4．選A　因為x＋(y－2)i＝3y－(x－2)i，所以解得故選A.
5.選D　集合A，B，C的關系如圖所示，可知只有( SA)∪( SB)＝C正確．故選D.
6．選D　由復數相等的充要條件知，解得
∴x＋y＝0.∴2x＋y＝20＝1.故選D.
7．選B　若ab＝0，則a＝0或b＝0；當b＝0時，a＋bi為實數，此時復數a＋bi不是純虛數，充分性不成立；若復數a＋bi為純虛數，則a＝0且b≠0，此時ab＝0，必要性成立．所以“ab＝0”是“復數a＋bi為純虛數”的必要不充分條件．
8．選C　復數a2－a－2＋(|a－1|－1)i(a∈R)不是純虛數，則有a2－a－2≠0或|a－1|－1＝0，解得a≠－1.
9．選ACD　由條件知，sin θ＝cos 2θ，
∴2sin2θ＋sin θ－1＝0，解得sin θ＝－1或sin θ＝.∵0<θ<2π，∴θ＝，θ＝或θ＝.故選A、C、D.
10．解析：由已知可得a2>2a＋3，即a2－2a－3>0，解得a>3或a<－1.所以實數a的取值范圍是{a|a>3或a<－1}．
答案：{a|a>3或a<－1}
11．解析：由題意得解得m＝2.
答案：2
12．解析：由題意知P＝Q，所以(m2－2m)＋(m2＋m－2)i＝4i，所以解得m＝2.
答案：2
13．解：∵M∪P＝P，∴M P.
由(m2－2m)＋(m2＋m－2)i＝－1，
得解得m＝1；
由(m2－2m)＋(m2＋m－2)i＝4i，
得
解得m＝2.綜上可知，m＝1或m＝2.
14．解：(1)由z1為純虛數，則解得m＝－2.
(2)由z1＝z2，得
∴λ＝4－cos2θ－sin θ＝2＋.∵－1≤sin θ≤1，∴當sin θ＝時，λmin＝，當sin θ＝－1時，λmax＝＋＝5.
∴實數λ的取值范圍是.

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