資源簡介

7.1.2 復數的幾何意義—— (教學方式：深化學習課—梯度進階式教學)
　[課時目標]
1．了解復平面的概念，理解復數、復平面內的點、復平面內的向量之間的對應關系．
2．理解共軛復數的概念，并會求一個復數的共軛復數．
3．掌握用向量的模來表示復數的模的方法，會求復數的模，并能解決相關的問題．
1．復平面
建立直角坐標系來表示復數的平面叫做復平面，x軸叫做實軸，y軸叫做________，實軸上的點都表示實數；除了原點外，虛軸上的點都表示________．
2．復數的幾何意義
(1)復數z＝a＋bi(a，b∈R)復平面內的點________．
(2)復數z＝a＋bi(a，b∈R)平面向量.
|微|點|助|解|　
(1)實軸與復數的對應：實軸上的點都表示實數．
(2)虛軸與復數的對應：除了原點外，虛軸上的點都表示純虛數，原點對應的有序實數對為(0,0)，它所確定的復數是z＝0＋0i＝0，表示的是實數．
3．復數的模
(1)定義：向量的模叫做復數z＝a＋bi(a，b∈R)的____或________．
(2)記法：復數z＝a＋bi的模記作____________________．
(3)公式：|z|＝________＝__________.
(4)模的幾何意義：復數z的模就是復數z＝a＋bi(a，b∈R)所對應的點Z(a，b)到原點(0,0)的距離．
4．共軛復數
(1)定義：當兩個復數的實部________，虛部______________時，這兩個復數叫做互為共軛復數．虛部不等于0的兩個共軛復數也叫做__________．
(2)表示：復數z的共軛復數用 表示，即如果z＝a＋bi(a，b∈R)，那么＝a－bi.
(3)性質：①()＝z.
②實數的共軛復數是它本身，即 ＝z z∈R.
1．已知復數z＝－i，則復平面內對應點Z的坐標為(　　)
A．(0，－1) B．(－1,0)
C．(0,0) D．(－1，－1)
2．已知復數z＝－3i，則復數的模|z|是(　　)
A．5 B. C．6 D.
3．已知復數z＝(m－3)＋(m－1)i的模等于2，則實數m的值為(　　)
A．1或3 B．1
C．3 D．2
4．若復數z＝－2＋i，則復數z的共軛復數 等于(　　)
A．－2＋i B．－2－i
C．2＋i D．2－i
題型(一)　復數與復平面內點的關系
[例1]　實數a取什么值時，復平面內表示復數z＝a2＋a－2＋(a2－3a＋2)i的點：
(1)位于第二象限；
(2)位于實軸上方；
(3)位于直線y＝x上．
聽課記錄：
|思|維|建|模|
利用復數與復平面內點的對應關系解題的步驟
(1)找對應關系：復數的幾何表示法即復數z＝a＋bi(a，b∈R)可以用復平面內的點Z(a，b)來表示，是解決此類問題的根據．
(2)列出方程：此類問題可尋求復數的實部與虛部應滿足的條件，通過解方程(組)或不等式(組)求解．
[提醒]　復數與復平面內的點是一一對應關系，因此復數可以用點來表示．　　
[針對訓練]
1．復數z＝－1－2i(i為虛數單位)在復平面內對應的點位于(　　)
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
2．在復平面內，若表示復數z＝m2－1＋i的點在第四象限，則實數m的取值范圍是(　　)
A．(－∞，－1) 　　 B．(1，＋∞)
C．(－∞，－1)∪(1，＋∞) 　　　D．(－1,1)
題型(二)　復數與復平面內向量的關系
[例2]　(1)在復平面內，復數6＋5i，－2＋3i對應的點分別為A，B.若C為線段AB的中點，則點C對應的復數是(　　)
A．4＋80i B．8＋2i
C．2＋4i D．4＋i
(2)向量對應的復數是5－4i，向量對應的復數是－5＋4i，則＋對應的復數是(　　)
A．－10＋8i B．10－8i
C．0 D．10＋8i
聽課記錄：
|思|維|建|模|　復數與向量的對應和轉化
對應 復數z與向量是一一對應關系
轉化 復數的有關問題轉化為向量問題求解
[針對訓練]
3．在復平面內，把復數3－i對應的向量按順時針方向旋轉，所得向量對應的復數是(　　)
A．2 B．－2i
C.－3i D．3＋i
4．已知O是原點，向量，對應的復數分別為2－3i，－3＋2i，那么向量對應的復數是(　　)
A．－5＋5i B．－5－5i
C．5＋5i D．5－5i
題型(三)　復數的模
[例3]　(1)設(1＋i)x＝1＋yi，其中x，y是實數，則|x＋yi|＝ (　　)
A．1 B.
C. D．2
(2)復數z滿足關系式2|z|2－7|z|＋3＝0，則復數在復平面內對應點的軌跡是(　　)
A．兩條直線 B．一條直線和一個圓
C．兩個圓 D．一個圓
聽課記錄：
|思|維|建|模|
(1)復數z＝a＋bi模的計算：|z|＝.
(2)復數模的幾何意義：復數的模的幾何意義是復數所對應的點到原點的距離．
(3)轉化思想：利用模的定義將復數模的條件轉化為其實、虛部滿足的條件，是一種復數問題實數化思想．　　
[針對訓練]
5．已知z1＝5＋3i，z2＝5＋4i，下列選項正確的是(　　)
A．z1>z2 B．z1C．|z1|>|z2| D．|z1|<|z2|
6．設z∈C，則在復平面內3≤|z|≤5所表示的區域的面積是(　　)
A．5π B．9π C．16π D．25π
7．1.2　復數的幾何意義
課前預知教材
1．虛軸　純虛數　2.(1)Z(a，b)　3.(1)模　絕對值　(2)|z|或|a＋bi|　(3)|a＋bi|　　4.(1)相等　互為相反數　共軛虛數
[基礎落實訓練]
1．選A　復數z＝－i的實部為0，虛部為－1，故復平面內對應點Z的坐標為(0，－1)．故選A.
2．選D　|z|＝＝.
3．選A　依題意可得 ＝2，解得m＝1或m＝3，故選A.
4．選B　因為復數z＝－2＋i，所以復數z的共軛復數 ＝－2－i.
?課堂題點研究
　[題型(一)]
[例1]　解：根據復數的幾何意義可知，復平面內表示復數z＝a2＋a－2＋(a2－3a＋2)i的點為Z(a2＋a－2，a2－3a＋2)．
(1)由點Z位于第二象限得
解得－2故滿足條件的實數a的取值范圍為(－2,1)．
(2)由點Z位于實軸上方得a2－3a＋2>0，
解得a>2或a<1，故滿足條件的實數a的取值范圍為(－∞，1)∪(2，＋∞)．
(3)由點Z位于直線y＝x上得a2＋a－2＝a2－3a＋2，解得a＝1.故滿足條件的實數a的值為1.
[針對訓練]
1．選C　z＝－1－2i在復平面內對應的點為(－1，－2)，它位于第三象限．
2．選A　因為表示復數z＝m2－1＋i的點在第四象限，所以解得m<－1.故選A.
　[題型(二)]
[例2]　解析：(1)兩個復數對應的點分別為A(6,5)，B(－2,3)，則C(2,4)．故其對應的復數為2＋4i.
(2)由復數的幾何意義，可得＝(5，－4)，＝(－5,4)，所以＋＝(5，－4)＋(－5,4)＝(0,0)，所以＋對應的復數為0.
答案：(1)C　(2)C
[針對訓練]
3．選B　復數對應的點為(3，－)，對應的向量按順時針方向旋轉，則對應的點為(0，－2)，所得向量對應的復數為－2i.故選B.
4．選D　由復數的幾何意義，得＝(2，－3)，＝(－3,2)，＝－＝(2，－3)－(－3,2)＝(5，－5)，所以對應的復數是5－5i.
　[題型(三)]
[例3]　解析：(1)因為(1＋i)x＝x＋xi＝1＋yi，所以x＝y＝1，|x＋yi|＝|1＋i|＝＝，故選B.
(2)由2|z|2－7|z|＋3＝0，解得|z|＝或|z|＝3.當|z|＝時，復數在復平面內對應點的軌跡表示以原點為圓心，半徑為的圓．當|z|＝3時，復數在復平面內對應點的軌跡表示以原點為圓心，半徑為3的圓．
答案：(1)B　(2)C
[針對訓練]
5．選D　|z1|＝|5＋3i|＝＝，|z2|＝|5＋4i|＝＝.因為<，所以|z1|<|z2|.
6．選C　滿足條件|z|＝3的復數z在復平面內對應的點的軌跡是以原點為圓心，半徑為3的圓．滿足條件|z|＝5的復數z在復平面內對應的點的軌跡是以原點為圓心，半徑為5的圓，
則在復平面內3≤|z|≤5所表示的區域為圓環，如圖中陰影部分區域所示，在復平面內3≤|z|≤5所表示的區域的面積是π×(52－32)＝16π.故選C.(共52張PPT)
7.1.2
復數的幾何意義
(教學方式：深化學習課——梯度進階式教學)
課時目標
1.了解復平面的概念,理解復數、復平面內的點、復平面內的向量之間的對應關系.
2.理解共軛復數的概念,并會求一個復數的共軛復數.
3.掌握用向量的模來表示復數的模的方法,會求復數的模,并能解決相關的問題.
CONTENTS
目錄
1
2
3
課前預知教材·自主落實基礎
課堂題點研究·遷移應用融通
課時跟蹤檢測
課前預知教材·自主落實基礎
01
1.復平面
建立直角坐標系來表示復數的平面叫做復平面,x軸叫做實軸,y軸叫做_____,實軸上的點都表示實數;除了原點外,虛軸上的點都表示_______.
虛軸
純虛數
2.復數的幾何意義
(1)復數z=a+bi(a,b∈R) 復平面內的點_______.
(2)復數z=a+bi(a,b∈R) 平面向量.
Z(a,b)
|微|點|助|解|
(1)實軸與復數的對應:實軸上的點都表示實數.
(2)虛軸與復數的對應:除了原點外,虛軸上的點都表示純虛數,原點對應的有序實數對為(0,0),它所確定的復數是z=0+0i=0,表示的是實數.
3.復數的模
(1)定義:向量的模叫做復數z=a+bi(a,b∈R)的____或________.
(2)記法:復數z=a+bi的模記作__________.
(3)公式:|z|=______=____________.
(4)模的幾何意義:復數z的模就是復數z=a+bi(a,b∈R)所對應的點Z(a,b)到原點(0,0)的距離.
模
絕對值
|z|或|a+bi|
|a+bi|
4.共軛復數
(1)定義:當兩個復數的實部______,虛部____________時,這兩個復數叫做互為共軛復數.虛部不等于0的兩個共軛復數也叫做_________.
(2)表示:復數z的共軛復數用 表示,即如果z=a+bi(a,b∈R),那么=a-bi.
(3)性質:①=z.
②實數的共軛復數是它本身,即 =z z∈R.
相等
互為相反數
共軛虛數
基礎落實訓練
1.已知復數z=-i,則復平面內對應點Z的坐標為 (　　)
A.(0,-1) B.(-1,0)
C.(0,0) D.(-1,-1)
解析:復數z=-i的實部為0,虛部為-1,故復平面內對應點Z的坐標為(0,-1).故選A.
√
2.已知復數z=-3i,則復數的模|z|是(　　)
A.5 B.
C.6 D.
解析: |z|==.
√
3.已知復數z=(m-3)+(m-1)i的模等于2,則實數m的值為 (　　)
A.1或3 B.1
C.3 D.2
解析:依題意可得 =2,解得m=1或m=3,故選A.
√
4.若復數z=-2+i,則復數z的共軛復數 等于(　　)
A.-2+i B.-2-i
C.2+i D.2-i
解析:因為復數z=-2+i,所以復數z的共軛復數=-2-i.
√
課堂題點研究·遷移應用融通
02
題型(一)　復數與復平面內點的關系
[例1]　實數a取什么值時,復平面內表示復數z=a2+a-2+(a2-3a+2)i的點:
(1)位于第二象限;
解:根據復數的幾何意義可知,復平面內表示復數z=a2+a-2+(a2-3a+2)i的點為Z(a2+a-2,a2-3a+2).
由點Z位于第二象限得解得-2故滿足條件的實數a的取值范圍為(-2,1).
(2)位于實軸上方;
解:由點Z位于實軸上方得a2-3a+2>0,
解得a>2或a<1,故滿足條件的實數a的取值范圍為(-∞,1)∪(2,+∞).
(3)位于直線y=x上.
解:由點Z位于直線y=x上得a2+a-2=a2-3a+2,解得a=1.故滿足條件的實數a的值為1.
|思|維|建|模|
利用復數與復平面內點的對應關系解題的步驟
(1)找對應關系:復數的幾何表示法即復數z=a+bi(a,b∈R)可以用復平面內的點Z(a,b)來表示,是解決此類問題的根據.
(2)列出方程:此類問題可尋求復數的實部與虛部應滿足的條件,通過解方程(組)或不等式(組)求解.
[提醒]　復數與復平面內的點是一一對應關系,因此復數可以用點來表示.
1.復數z=-1-2i(i為虛數單位)在復平面內對應的點位于 (　　)
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
解析:z=-1-2i在復平面內對應的點為(-1,-2),它位于第三象限.
√
針對訓練
2.在復平面內,若表示復數z=m2-1+i的點在第四象限,則實數m的取值范圍是(　　)
A.(-∞,-1) 　　　B.(1,+∞)
C.(-∞,-1)∪(1,+∞) 　　　D.(-1,1)
解析:因為表示復數z=m2-1+i的點在第四象限,所以
解得m<-1.故選A.
√
題型(二)　復數與復平面內向量的關系
[例2]　(1)在復平面內,復數6+5i,-2+3i對應的點分別為A,B.若C為線段AB的中點,則點C對應的復數是(　　)
A.4+80i B.8+2i
C.2+4i D.4+i
解析:兩個復數對應的點分別為A(6,5),B(-2,3),則C(2,4).故其對應的復數為2+4i.
√
(2)向量對應的復數是5-4i,向量對應的復數是-5+4i,則+對應的復數是(　　)
A.-10+8i B.10-8i
C.0 D.10+8i
解析:由復數的幾何意義,可得=(5,-4),=(-5,4),所以+=
(5,-4)+(-5,4)=(0,0),所以+對應的復數為0.
√
|思|維|建|模|
復數與向量的對應和轉化
對應 復數z與向量是一一對應關系
轉化 復數的有關問題轉化為向量問題求解
3.在復平面內,把復數3-i對應的向量按順時針方向旋轉,所得向量對應的復數是(　　)
A.2 B.-2i
C.-3i D.3+i
解析:復數對應的點為(3,-),對應的向量按順時針方向旋轉,則對應的點為(0,-2),所得向量對應的復數為-2i.故選B.
√
針對訓練
4.已知O是原點,向量,對應的復數分別為2-3i,-3+2i,那么向量對應的復數是(　　)
A.-5+5i B.-5-5i
C.5+5i D.5-5i
解析:由復數的幾何意義,得=(2,-3),=(-3,2),=-=(2,-3)-
(-3,2)=(5,-5),所以對應的復數是5-5i.
√
題型(三)　復數的模
[例3]　(1)設(1+i)x=1+yi,其中x,y是實數,則|x+yi|= (　　)
A.1 B.
C. D.2
解析:因為(1+i)x=x+xi=1+yi,所以x=y=1,|x+yi|=|1+i|==,故選B.
√
(2)復數z滿足關系式2|z|2-7|z|+3=0,則復數在復平面內對應點的軌跡是 (　)
A.兩條直線 B.一條直線和一個圓
C.兩個圓 D.一個圓
解析:由2|z|2-7|z|+3=0,解得|z|=或|z|=3.當|z|=時,復數在復平面內對應點的軌跡表示以原點為圓心,半徑為的圓.當|z|=3時,復數在復平面內對應點的軌跡表示以原點為圓心,半徑為3的圓.
√
(1)復數z=a+bi模的計算:|z|=.
(2)復數模的幾何意義:復數的模的幾何意義是復數所對應的點到原點的距離.
(3)轉化思想:利用模的定義將復數模的條件轉化為其實、虛部滿足的條件,是一種復數問題實數化思想
|思|維|建|模|
5.已知z1=5+3i,z2=5+4i,下列選項正確的是 (　　)
A.z1>z2 B.z1C.|z1|>|z2| D.|z1|<|z2|
解析:|z1|=|5+3i|==,|z2|=|5+4i|==.
因為<,所以|z1|<|z2|.
√
針對訓練
6.設z∈C,則在復平面內3≤|z|≤5所表示的區域的面積是 (　　)
A.5π B.9π C.16π D.25π
解析:滿足條件|z|=3的復數z在復平面內對應的點的軌跡
是以原點為圓心,半徑為3的圓.滿足條件|z|=5的復數z在
復平面內對應的點的軌跡是以原點為圓心,半徑為5的圓,
則在復平面內3≤|z|≤5所表示的區域為圓環,如圖中陰影部分區域所示,在復平面內3≤|z|≤5所表示的區域的面積是π×(52-32)=16π.故選C.
√
課時跟蹤檢測
03
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2
A級——達標評價
1.(多選)下列命題正確的是(　　)
A.若z是實數,則z=
B.若z=,則z是實數
C.若=-z,則z是純虛數
D.若z是純虛數,則=-z
√
√
√
1
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2.(2024·新課標 Ⅱ 卷)已知z=-1-i,則|z|= (　　)
A.0 B.1
C. D.2
解析:由z=-1-i,得|z|==.
√
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3.設z=-3+2i,則在復平面內 對應的點位于(　　)
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
解析:由已知可得,=-3-2i,故 對應的點為(-3,-2),位于第三象限.
√
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4.在復平面內,O是原點,向量對應的復數為5+3i,與 關于y軸對稱,則點B對應的復數是(　　)
A.5-3i B.-5-3i C.5+3i D.-5+3i
解析:設向量對應的復數為a+bi(a,b∈R),對應復平面的坐標為(a,b).因為向量對應的復數為5+3i,所以對應復平面的坐標為(5,3).因為與關于y軸對稱,所以a=-5,b=3.即向量對應的復數為-5+3i.因為點O為坐標原點,所以點B對應的復數是-5+3i.
√
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5.(多選)已知復數z=1+i(其中i為虛數單位),則以下說法正確的是 (　　)
A.復數z的虛部為i
B.|z|=
C.復數z的共軛復數=1-i
D.復數z在復平面內對應的點在第一象限
√
√
√
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解析:因為復數z=1+i,所以其虛部為1,故A錯誤;|z|==,故B正確;復數z的共軛復數=1-i,故C正確;復數z在復平面內對應的點為(1,1),顯然位于第一象限,故D正確.故選B、C、D.
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6.已知復數z=a2-1+(a+1)i(a∈R)是純虛數,則a=　　,|z|=　　　.
解析:∵復數z=a2-1+(a+1)i是純虛數,
∴解得a=1.∴z=2i.∴|z|=2.
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7.若復數z在復平面內對應的點位于第二象限,且|z|=2,則z=__________
________(寫出一個即可)
解析:設z=a+bi,a,b∈R,因為復數z在復平面內對應的點在第二象限,所以a<0,b>0.又因為|z|=2,所以a2+b2=4.顯然當a=-1,b=時,符合題意.
1+i(答案
不唯一)
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2
8.在復平面內,O是坐標原點,向量對應的復數是-2+i,若點A關于實軸的對稱點為點B,則向量對應的復數的模為　　　.
解析:∵向量對應的復數是-2+i,∴A(-2,1).又點A關于實軸的對稱點為點B,∴B(-2,-1).∴向量對應的復數為-2-i,該復數的模為|-2-i|=
=.
1
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2
9.(8分)在復平面內畫出下列復數對應的向量,并求出各復數的模.
z1=1-i;z2=-+i;z3=-2;z4=2+2i.
解:在復平面內分別畫出點Z1(1,-1),Z2,Z3(-2,0),Z4(2,2),
則向量,,,分別為復數z1,z2,z3,z4對應的向量,
1
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2
如圖所示.各復數的模分別為|z1|= =;|z2|==
1;|z3|==2;|z4|==2.
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2
10.(10分)已知復數z=(m2+m-6)+(m2+m-2)i(m∈R)在復平面內所對應的點為A.
(1)若點A在第二象限,求實數m的取值范圍;
解:由解得-31
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(2)求|z|的最小值及此時實數m的值.
解:|z|2=+,
令m2+m-2=t,∵t=-,
∴t∈,則|z|2=2t2-8t+16=2(t-2)2+8,所以當t=2,即m=時,
|z|有最小值2.
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B級——重點培優
11.已知復平面內A,B,C三點所對應的復數為-2-i,1+i,2i,若ABCD為平行四邊形,則||=(　　)
A.13 B.
C.17 D.
√
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解析:A,B,C三點對應的復數分別是-2-i,1+i,2i,則復平面內A,B,C三點對應點的坐標為A(-2,-1),B(1,1),C(0,2).設復平面內點D的坐標為D(x,y),則=(3,2),=(-x,2-y),又ABCD是復平面內的平行四邊形,則=,則解得則D(-3,0),則=(-4,-1),||=
=.
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12.(多選)已知復數z=a+bi(a,b∈R,i為虛數單位),且a+b=1,下列命題正確的是 (　　)
A.z不可能為純虛數
B.若z的共軛復數為 ,且z=,則z是實數
C.若z=|z|,則z是實數
D.|z|可以等于
√
√
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解析:當a=0時,b=1,此時z=i,為純虛數,A錯誤;若z的共軛復數為 ,且z=,則a+bi=a-bi,所以b=0,B正確;由|z|是實數,且z=|z|知,z是實數,C正確;由|z|=得a2+b2=.又a+b=1,即b=1-a,因此8a2-8a+3=0,Δ=64-4×8×3=-32<0,所以方程無實數解,即|z|不可以等于.D錯誤.故選B、C.
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13.復數z1與z2在復平面上對應的向量分別為與,已知z1=+i,⊥,且||=||,則復數z2=　　 .
解析:由題意得=(,1),設=(x,y),由⊥得·=x+y=0,由||=||得x2+y2=4,聯立解得或即=(1,-)或=(-1,),所以z2=1-i或z2=-1+i.
1-i或-1+i
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14.(12分)在復平面內,A,B,C三點對應的復數分別為1,2+i,-1+2i.
(1)求向量,,對應的復數;
解:由復數的幾何意義知,=(1,0),=(2,1),=(-1,2),
所以=-=(1,1),=-=(-2,2),=-=(-3,1).所以,,對應的復數分別為1+i,-2+2i,-3+i.
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(2)判定△ABC的形狀.
解:因為||=,||=2,||=,所以||2+||2=||2,
所以△ABC是以BC為斜邊的直角三角形.
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15.(12分)已知復平面內的點A,B對應的復數分別是z1=sin2θ+i,z2=-cos2θ+
icos 2θ,其中θ∈(0,π).設對應的復數是z.
(1)求復數z;
解:因為點A,B對應的復數分別是
z1=sin2θ+i,z2=-cos2θ+icos 2θ,
所以點A,B的坐標分別是A(sin2θ,1),B(-cos2θ,cos 2θ).
所以=(-cos2θ,cos 2θ)-(sin2θ,1)=(-cos2θ-sin2θ,cos 2θ-1)=(-1,-2sin2θ),
所以對應的復數z=-1+(-2sin2θ)i.
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(2)若復數z對應的點P在直線y=x上,求θ的值.
解:由(1)知點P的坐標是(-1,-2sin2θ),
代入y=x,得-2sin2θ=-,即sin2θ=,
所以sin θ=±.又因為θ∈(0,π),
所以sin θ=,所以θ=或θ=.課時跟蹤檢測(十九)　復數的幾何意義
(滿分100分，A級選填小題每題5分，B級選填小題每題6分)
A級——達標評價
1．(多選)下列命題正確的是(　　)
A．若z是實數，則z＝
B．若z＝，則z是實數
C．若＝－z，則z是純虛數
D．若z是純虛數，則＝－z
2．(2024·新課標Ⅱ卷)已知z＝－1－i，則|z|＝(　　)
A．0 B．1
C. D．2
3．設z＝－3＋2i，則在復平面內 對應的點位于(　　)
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
4．在復平面內，O是原點，向量對應的復數為5＋3i， 與 關于y軸對稱，則點B對應的復數是(　　)
A．5－3i B．－5－3i
C．5＋3i D．－5＋3i
5．(多選)已知復數z＝1＋i(其中i為虛數單位)，則以下說法正確的是(　　)
A．復數z的虛部為i
B．|z|＝
C．復數z的共軛復數＝1－i
D．復數z在復平面內對應的點在第一象限
6．已知復數z＝a2－1＋(a＋1)i(a∈R)是純虛數，則a＝________，|z|＝________.
7．若復數z在復平面內對應的點位于第二象限，且|z|＝2，則z＝________.(寫出一個即可)
8．在復平面內，O是坐標原點，向量對應的復數是－2＋i，若點A關于實軸的對稱點為點B，則向量對應的復數的模為________.
9．(8分)在復平面內畫出下列復數對應的向量，并求出各復數的模．
z1＝1－i；z2＝－＋i；z3＝－2；z4＝2＋2i.
10．(10分)已知復數z＝(m2＋m－6)＋(m2＋m－2)i(m∈R)在復平面內所對應的點為A.
(1)若點A在第二象限，求實數m的取值范圍；
(2)求|z|的最小值及此時實數m的值.
B級——重點培優
11．已知復平面內A，B，C三點所對應的復數為－2－i，1＋i，2i，若ABCD為平行四邊形，則||＝(　　)
A．13 B.
C．17 D.
12．(多選)已知復數z＝a＋bi(a，b∈R，i為虛數單位)，且a＋b＝1，下列命題正確的是(　　)
A．z不可能為純虛數
B．若z的共軛復數為 ，且z＝，則z是實數
C．若z＝|z|，則z是實數
D．|z|可以等于
13．復數z1與z2在復平面上對應的向量分別為與，已知z1＝＋i，⊥，且||＝||，則復數z2＝________.
14．(12分)在復平面內，A，B，C三點對應的復數分別為1，2＋i，－1＋2i.
(1)求向量，， 對應的復數；
(2)判定△ABC的形狀.
15．(12分)已知復平面內的點A，B對應的復數分別是z1＝sin2θ＋i，z2＝－cos2θ＋icos 2θ，其中θ∈(0，π)．設對應的復數是z.
(1)求復數z；
(2)若復數z對應的點P在直線y＝x上，求θ的值.
課時跟蹤檢測(十九)
1．ABD
2．選C　由z＝－1－i，
得|z|＝＝.
3．選C　由已知可得，＝－3－2i，故 對應的點為(－3，－2)，位于第三象限．
4．選D　設向量對應的復數為a＋bi(a，b∈R)，對應復平面的坐標為(a，b)．因為向量對應的復數為5＋3i，所以對應復平面的坐標為(5,3)．因為與關于y軸對稱，所以a＝－5，b＝3.即向量對應的復數為－5＋3i.因為點O為坐標原點，所以點B對應的復數是－5＋3i.
5．選BCD　因為復數z＝1＋i，所以其虛部為1，故A錯誤；|z|＝＝，故B正確；復數z的共軛復數＝1－i，故C正確；復數z在復平面內對應的點為(1,1)，顯然位于第一象限，故D正確．故選B、C、D.
6．解析：∵復數z＝a2－1＋(a＋1)i是純虛數，∴解得a＝1.∴z＝2i.
∴|z|＝2.
答案：1　2
7．解析：設z＝a＋bi，a，b∈R，因為復數z在復平面內對應的點在第二象限，所以a<0，b>0.又因為|z|＝2，所以a2＋b2＝4.顯然當a＝－1，b＝時，符合題意．
答案：－1＋i(答案不唯一)
8．解析：∵向量對應的復數是－2＋i，
∴A(－2,1)．又點A關于實軸的對稱點為點B，∴B(－2，－1)．∴向量對應的復數為－2－i，該復數的模為|－2－i|＝＝.
答案：
9．解：在復平面內分別畫出點Z1(1，－1)，
Z2，Z3(－2,0)，Z4(2,2)，則向量，，
，分別為復數z1，z2，z3，z4對應的向量，如圖所示．各復數的模分別為
|z1|＝ ＝；|z2|＝＝1；
|z3|＝＝2；|z4|＝＝2.
10．解：(1)由解得－3(2)|z|2＝(m2＋m－6)2＋(m2＋m－2)2，
令m2＋m－2＝t，∵t＝2－，
∴t∈，則|z|2＝2t2－8t＋16＝2(t－2)2＋8，所以當t＝2，即m＝時，|z|有最小值2.
11．選D　A，B，C三點對應的復數分別是－2－i，1＋i,2i，則復平面內A，B，C三點對應點的坐標為A(－2，－1)，B(1,1)，C(0,2)．設復平面內點D的坐標為D(x，y)，則＝(3,2)，＝(－x,2－y)，又ABCD是復平面內的平行四邊形，則＝，則解得則D(－3,0)，則＝(－4，－1)，||＝＝.
12．選BC　當a＝0時，b＝1，此時z＝i，為純虛數，A錯誤；若z的共軛復數為 ，且z＝，則a＋bi＝a－bi，所以b＝0，B正確；由|z|是實數，且z＝|z|知，z是實數，C正確；由|z|＝得a2＋b2＝.又a＋b＝1，即b＝1－a，因此8a2－8a＋3＝0，Δ＝64－4×8×3＝－32<0，所以方程無實數解，即|z|不可以等于.D錯誤．故選B、C.
13．解析：由題意得＝(，1)，設＝(x，y)，由⊥得·＝x＋y＝0，由||＝||得x2＋y2＝4，聯立解得或即＝(1，－)或＝(－1，)，所以z2＝1－i或z2＝－1＋i.
答案：1－i或－1＋i
14．解：(1)由復數的幾何意義知，＝(1,0)，＝(2,1)，＝(－1,2)，
所以＝－＝(1,1)，＝－＝(－2,2)，＝－＝(－3,1)．所以，， 對應的復數分別為1＋i，－2＋2i，－3＋i.
(2)因為||＝，||＝2，||＝，所以||2＋||2＝||2，所以△ABC是以BC為斜邊的直角三角形．
15．解：(1)因為點A，B對應的復數分別是
z1＝sin2θ＋i，z2＝－cos2θ＋icos 2θ，
所以點A，B的坐標分別是A(sin2θ，1)，B(－cos2θ，cos 2θ)．
所以＝(－cos2θ，cos 2θ)－(sin2θ，1)＝(－cos2θ－sin2θ，cos 2θ－1)＝(－1，－2sin2θ)，
所以對應的復數z＝－1＋(－2sin2θ)i.
(2)由(1)知點P的坐標是(－1，－2sin2θ)，代入y＝x，得－2sin2θ＝－，即sin2θ＝，所以sin θ＝±.
又因為θ∈(0，π)，所以sin θ＝，所以θ＝或θ＝.

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