資源簡介

7.2.1 復數的加、減運算及其幾何意義
(教學方式：基本概念課—逐點理清式教學)
[課時目標]
1．結合實數的加、減運算法則，熟練掌握復數代數表示式的加、減運算法則．
2．理解復數加法、減法運算的幾何意義，能夠利用“數形結合”的思想解題．
逐點清(一)　復數加、減法運算
[多維理解]
1．復數加法、減法的運算法則
設z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)是任意兩個復數，則
(1)z1＋z2＝______________.
(2)z1－z2＝______________.
2．復數的加法運算律
對任意z1，z2，z3∈C，有
(1)z1＋z2＝________.
(2)(z1＋z2)＋z3＝____________.
|微|點|助|解|　
對復數的加法、減法運算應注意以下幾點
(1)一種規定：復數代數形式的加法法則是一種規定，減法是加法的逆運算；
特殊情形：當復數的虛部為零時，與實數的加法、減法法則一致．
(2)運算律：實數加法的交換律、結合律在復數中仍成立．實數的移項法則在復數中仍然成立．
(3)運算結果：兩個復數的和(差)是唯一確定的復數．
[微點練明]
1．已知復數z1＝3＋4i，z2＝3－4i，則z1＋z2＝ (　　)
A．8i B．6
C．6＋8i D．6－8i
2．已知復數z＋3i－3＝3－3i，則z＝(　　)
A．0 B．6i
C．6 D．6－6i
3．復數(1－i)－(2＋i)＋3i等于(　　)
A．－1＋i B．1－i
C．i D．－i
4．已知復數z1＝a2－3－i，z2＝－2a＋a2i，若z1＋z2是純虛數，則實數a＝________.
5．設z1＝x＋2i，z2＝3－yi(x，y∈R)，且z1＋z2＝5－6i，則z1－z2＝__________.
逐點清(二)　復數加、減法的幾何意義
[多維理解]
復數加法的幾何意義 復數z1＋z2是以，為鄰邊的平行四邊形的__________所對應的復數
復數減法的幾何意義 復數z1－z2是從向量的______指向向量的______的向量所對應的復數
|微|點|助|解|　
關于復數加、減法的幾何意義的兩點說明
(1)復數的加(減)法可以按照向量的加(減)法來進行．
(2)復數減法的幾何意義也可敘述為連接表示兩個復數對應的向量的有向線段的終點，方向指向表示被減向量的有向線段的終點的向量，就是這兩個復數的差對應的向量．
[微點練明]
1．已知向量對應的復數為2－3i，向量對應的復數為3－4i，則向量對應的復數為______．
2．復平面上有A，B，C三點，點A對應的復數為2＋i，對應的復數為1＋2i，對應的復數為3－i，則點C的坐標為________．
3.如圖，平行四邊形OABC的頂點O，A，C對應復數分別為0,3＋2i，－2＋4i，試求：
(1)所表示的復數，所表示的復數；
(2)對角線所表示的復數；
(3)對角線所表示的復數及的長度．
逐點清(三)　復數加、減運算幾何意義的應用
[典例]　(1)非零復數z1，z2分別對應復平面內的向量，，若|z1＋z2|＝|z1－z2|，則(　　)
A.＝ B．||＝||
C.⊥ D.，共線
(2)如果復數z滿足|z＋i|＋|z－i|＝2，那么|z＋i＋1|的最小值是(　　)
A．1 　　　　　　 B.
C．2 　　　　　　 D.
聽課記錄：
|思|維|建|模|
常見結論
在復平面內，z1，z2對應的點分別為A，B(O，A，B不共線)，z1＋z2對應的點為C，O為坐標原點，則四邊形OACB為平行四邊形；若|z1＋z2|＝|z1－z2|，則四邊形OACB為矩形；若|z1|＝|z2|，則四邊形OACB為菱形；若|z1|＝|z2|且|z1＋z2|＝|z1－z2|，則四邊形OACB為正方形．　　
[針對訓練]
1．已知△ABC的三個頂點所對應的復數分別為z1，z2，z3，復數z滿足|z－z1|＝|z－z2|＝|z－z3|，則z對應的點P是△ABC的(　　)
A．外心 B．內心
C．重心 D．垂心
2．設z∈C，且|z＋1|－|z－i|＝0，則|z＋i|的最小值為(　　)
A．0 B．1
C. D.
7．2.1　復數的加、減運算及其幾何意義
　[逐點清(一)]
[多維理解]　1.(1)(a＋c)＋(b＋d)i
(2)(a－c)＋(b－d)i　
2．(1)z2＋z1　(2)z1＋(z2＋z3)
[微點練明]
1．選B　z1＋z2＝3＋4i＋3－4i＝(3＋3)＋(4－4)i＝6.
2．選D　∵z＋3i－3＝3－3i，∴z＝(3－3i)－(3i－3)＝6－6i.
3．選A　(1－i)－(2＋i)＋3i＝(1－2)＋(－i－i＋3i)＝－1＋i.故選A.
4．解析：由條件知z1＋z2＝a2－2a－3＋(a2－1)i，又z1＋z2是純虛數，
所以解得a＝3.
答案：3
5．解析：因為z1＝x＋2i，z2＝3－yi，z1＋z2＝5－6i，
所以(3＋x)＋(2－y)i＝5－6i，
所以所以
所以z1－z2＝(2＋2i)－(3－8i)＝(2－3)＋[2－(－8)]i＝－1＋10i.
答案：－1＋10i
　[逐點清(二)]
[多維理解]　對角線　終點　終點
[微點練明]
1．解析：＝－＝(3－4i)－(2－3i)＝1－i.
答案：1－i
2．解析：因為對應的復數是1＋2i，對應的復數為3－i，又＝－，所以對應的復數為(3－i)－(1＋2i)＝2－3i.又＝＋，所以點C對應的復數為(2＋i)＋(2－3i)＝4－2i，所以點C的坐標為(4，－2)．
答案：(4，－2)
3．解：(1)∵＝－，∴所表示的復數為－3－2i.
∵＝，∴所表示的復數為－3－2i.
(2)∵＝－，∴所表示的復數為(3＋2i)－(－2＋4i)＝5－2i.
(3)對角線＝＋，它所對應的復數z＝(3＋2i)＋(－2＋4i)＝1＋6i，||＝＝.
　[逐點清(三)]
[典例]　解析：(1)如圖，由向量的加法及減法法則可知，＝＋，＝－.由復數加法及減法的幾何意義可知，|z1＋z2|對應的模，|z1－z2|對應的模．又|z1＋z2|＝|z1－z2|，所以四邊形OACB是矩形，則⊥.
(2)設復數z，－i，i，－1－i在復平面內對應的點分別為Z，Z1，Z2，Z3，因為|z＋i|＋|z－i|＝2，|Z1Z2|＝2，所以點Z的集合為線段Z1Z2.所以Z點在線段Z1Z2上移動，|Z1Z3|min＝1，所以|z＋i＋1|min＝1.
答案：(1)C　(2)A
[針對訓練]
1．選A　由復數模及復數減法運算的幾何意義，結合條件可知復數z的對應點P到△ABC的頂點A，B，C的距離相等，所以P為△ABC的外心．
2．選C　∵由|z＋1|－|z－i|＝0，得|z＋1|＝|z－i|，∴復數z表示以A(－1,0)，B(0,1)為端點的線段的垂直平分線OM，設復數－i對應點C(0，－1)，|z＋i|表示點M到點C(0，－1)的距離．當CM⊥OM時，|z＋i|取到最小值|CM|.又|CM|＝|OC|sin 45°＝，∴|z＋i|的最小值為.(共45張PPT)
7.2.1
復數的加、減運算及其幾何意義
(教學方式:基本概念課—逐點理清式教學)
課時目標
1.結合實數的加、減運算法則,熟練掌握復數代數表示式的加、減運算法則.
2.理解復數加法、減法運算的幾何意義,能夠利用“數形結合”的思想解題.
CONTENTS
目錄
1
2
3
逐點清(一)　復數加、減法運算
逐點清(二)　復數加、減法的幾何意義
逐點清(三)　復數加、減運算幾何意義的應用
4
課時跟蹤檢測
逐點清(一)　復數加、減法運算
01
多維理解
1.復數加法、減法的運算法則
設z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R)是任意兩個復數,則
(1)z1+z2=____________.
(2)z1-z2=___________.
(a+c)+(b+d)i
(a-c)+(b-d)i
2.復數的加法運算律
對任意z1,z2,z3∈C,有
(1)z1+z2=______.
(2)(z1+z2)+z3=_________.
z2+z1
z1+(z2+z3)
|微|點|助|解|
對復數的加法、減法運算應注意以下幾點
(1)一種規定:復數代數形式的加法法則是一種規定,減法是加法的逆運算;
特殊情形:當復數的虛部為零時,與實數的加法、減法法則一致.
(2)運算律:實數加法的交換律、結合律在復數中仍成立.實數的移項法則在復數中仍然成立.
(3)運算結果:兩個復數的和(差)是唯一確定的復數.
1.已知復數z1=3+4i,z2=3-4i,則z1+z2= (　　)
A.8i B.6
C.6+8i D.6-8i
解析:z1+z2=3+4i+3-4i=(3+3)+(4-4)i=6.
√
微點練明
2.已知復數z+3i-3=3-3i,則z= (　　)
A.0 B.6i
C.6 D.6-6i
解析:∵z+3i-3=3-3i,∴z=(3-3i)-(3i-3)=6-6i.
√
3.復數(1-i)-(2+i)+3i等于 (　　)
A.-1+i B.1-i
C.i D.-i
解析: (1-i)-(2+i)+3i=(1-2)+(-i-i+3i)=-1+i.故選A.
√
4.已知復數z1=a2-3-i,z2=-2a+a2i,若z1+z2是純虛數,則實數a=　　　.
解析:由條件知z1+z2=a2-2a-3+(a2-1)i,又z1+z2是純虛數,所以解得a=3.
3
5.設z1=x+2i,z2=3-yi(x,y∈R),且z1+z2=5-6i,則z1-z2=　　　 .
解析:因為z1=x+2i,z2=3-yi,z1+z2=5-6i,
所以(3+x)+(2-y)i=5-6i,
所以所以
所以z1-z2=(2+2i)-(3-8i)=(2-3)+[2-(-8)]i=-1+10i.
-1+10i
逐點清(二)　
復數加、減法的幾何意義
02
多維理解
復數加法的幾何意義 復數z1+z2是以,為鄰邊的平行四邊形的__________所對應的復數
復數減法的幾何意義 復數z1-z2是從向量的_____指向向量的_____的向量所對應的復數
對角線
終點
終點
|微|點|助|解|
關于復數加、減法的幾何意義的兩點說明
(1)復數的加(減)法可以按照向量的加(減)法來進行.
(2)復數減法的幾何意義也可敘述為連接表示兩個復數對應的向量的有向線段的終點,方向指向表示被減向量的有向線段的終點的向量,就是這兩個復數的差對應的向量.
1.已知向量對應的復數為2-3i,向量對應的復數為3-4i,則向量對應的復數為　　　.
解析:=-=(3-4i)-(2-3i)=1-i.
微點練明
1-i
2.復平面上有A,B,C三點,點A對應的復數為2+i,對應的復數為1+2i,
對應的復數為3-i,則點C的坐標為　　　.
解析:因為對應的復數是1+2i,對應的復數為3-i,又=-,所以對應的復數為(3-i)-(1+2i)=2-3i.又=+,所以點C對應的復數為(2+i)+(2-3i)=4-2i,所以點C的坐標為(4,-2).
(4,-2)
3.如圖,平行四邊形OABC的頂點O,A,C對應復數分別為0,3+2i,-2+4i,試求:
(1)所表示的復數,所表示的復數;
解:∵=-,
∴所表示的復數為-3-2i.
∵=,∴所表示的復數為-3-2i.
(2)對角線所表示的復數;
解:∵=-,
∴所表示的復數為(3+2i)-(-2+4i)=5-2i.
(3)對角線所表示的復數及的長度.
解:對角線=+,
它所對應的復數z=(3+2i)+(-2+4i)=1+6i,||==.
逐點清(三)　
復數加、減運算幾何意義的應用
03
[典例]　(1)非零復數z1,z2分別對應復平面內的向量,,若|z1+z2|=
|z1-z2|,則(　　)
A.= 　　　B.||=||
C.⊥ 　　　D.,共線
√
解析:如圖,由向量的加法及減法法則可知,=+,=-.由復數加法及減法的幾何意義可知,|z1+z2|對應的模,|z1-z2|對應的模.又|z1+z2|=|z1-z2|,所以四邊形OACB是矩形,則⊥.
(2)如果復數z滿足|z+i|+|z-i|=2,那么|z+i+1|的最小值是 (　　)
A.1 B.
C.2 D.
解析:設復數z,-i,i,-1-i在復平面內對應的點分別為Z,Z1,Z2,Z3,因為|z+i|+
|z-i|=2,|Z1Z2|=2,所以點Z的集合為線段Z1Z2.所以Z點在線段Z1Z2上移動,
|Z1Z3|min=1,所以|z+i+1|min=1.
√
|思|維|建|模|
常見結論
在復平面內,z1,z2對應的點分別為A,B(O,A,B不共線),z1+z2對應的點為C,O為坐標原點,則四邊形OACB為平行四邊形;若|z1+z2|=|z1-z2|,則四邊形OACB為矩形;若|z1|=|z2|,則四邊形OACB為菱形;若|z1|=|z2|且|z1+z2|=|z1-z2|,則四邊形OACB為正方形.
1.已知△ABC的三個頂點所對應的復數分別為z1,z2,z3,復數z滿足|z-z1|=|z-z2|=|z-z3|,則z對應的點P是△ABC的 (　　)
A.外心 B.內心
C.重心 D.垂心
解析:由復數模及復數減法運算的幾何意義,結合條件可知復數z的對應點P到△ABC的頂點A,B,C的距離相等,所以P為△ABC的外心.
√
針對訓練
2.設z∈C,且|z+1|-|z-i|=0,則|z+i|的最小值為 (　　)
A.0 B.1
C. D.
√
解析:∵由|z+1|-|z-i|=0,得|z+1|=|z-i|,∴復數z表示以A(-1,0),B(0,1)為端點的線段的垂直平分線OM,設復數-i對應點C(0,-1),|z+i|表示點M到點C(0,-1)的距離.當CM⊥OM時,|z+i|取到最小值|CM|.又|CM|=|OC|sin 45°=,
∴|z+i|的最小值為.
課時跟蹤檢測
04
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13
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2
1.若復數z滿足z+(3-4i)=1,則z的虛部是 (　　)
A.-2 B.4
C.3 D.-4
解析:z=1-(3-4i)=-2+4i,故選B.
√
1
5
6
7
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14
2
3
4
2.已知z1=2+i,z2=1+2i,則復數z=z2-z1對應的點位于 (　　)
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
解析:z=z2-z1=(1+2i)-(2+i)=-1+i,實部小于零,虛部大于零,故位于第二象限.
√
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
3
4
2
3.已知復數z對應的向量如圖所示,則復數z+1所對應的向
量正確的是 (　　)
√
解析:由題圖可知z=-2+i,所以z+1=-1+i,則復數z+1所對應的向量的坐標為(-1,1),故選A.
1
5
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3
4
2
4.已知復數z滿足z+2i-5=7-i,則|z|= (　　)
A.12 B.3
C.3 D.9
解析:由題意知z=7-i-(2i-5)=12-3i,∴|z|==3.故選C.
√
1
5
6
7
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3
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2
5.若z1=2+2i,z2=5+ai(a∈R),且z1+z2所對應的點在實軸上,則a的值為 (　　)
A.2 B.-2
C.1 D.-1
解析:z1+z2=2+2i+5+ai=(2+5)+(2+a)i=7+(2+a)i.∵z1+z2所對應的點在實軸上,∴2+a=0,∴a=-2.
√
1
5
6
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3
4
2
6.已知復平面上三點A,B,C分別對應復數1,2i,5+2i,則由A,B,C所構成的三角形是 (　　)
A.直角三角形 B.等腰三角形
C.銳角三角形 D.鈍角三角形
解析:∵|AB|=|2i-1|=,|AC|=|4+2i|=,|BC|=5,∴|BC|2=|AB|2+|AC|2.故選A.
√
1
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3
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2
7.復數z1=1+icos θ,z2=sin θ-i,則|z1-z2|的最大值為 (　　)
A.3-2 B.-1
C.3+2 D.+1
解析:∵|z1-z2|=|(1-sin θ)+(cos θ+1)i|==
=,
∴|z1-z2|max==+1.
√
1
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3
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2
8.(多選)設復數z1=2-i,z2=2i(i為虛數單位),則下列結論正確的為 (　　)
A.z2是純虛數
B.z1-z2對應的點位于第二象限
C.|z1+z2|=3
D.=2+i
√
√
1
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14
3
4
2
解析:z2=2i,其實部為零,虛部不為零,是純虛數,A正確;z1-z2=2-3i,其在復平面上對應的點為(2,-3),在第四象限,B錯誤;z1+z2=2+i,則|z1+z2|=
=,C錯誤;z1=2-i,則=2+i,D正確.故選A、D.
1
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3
4
2
9.已知復數z滿足|z+i|=|z-i|,則|z+1+2i|的最小值為 (　　)
A.1 B.2
C. D.
解析:設復數z在復平面內對應的點為Z,因為復數z滿足|z+i|=|z-i|,所以由復數的幾何意義可知,點Z到點(0,-1)和(0,1)的距離相等,所以在復平面內點Z的軌跡為x軸.又|z+1+2i|表示點Z到點(-1,-2)的距離,所以問題轉化為x軸上的動點Z到定點(-1,-2)距離的最小值,所以|z+1+2i|的最小值為2.
√
1
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13
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3
4
2
10.若z1=2-i,z2=-+2i,z1,z2在復平面上所對應的點為Z1,Z2,則這兩點之間的距離為　　 　.
解析:||==.
1
5
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14
3
4
2
11.已知復數z=a-i(a∈R),若z+=8,則復數z=　　　.
解析:由題意,得z=a-i(a∈R),=a+i,
所以a-i+a+i=8,解得a=4,故z=4-i.
4-i
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
3
4
2
12.已知z1=(3x+y)+(y-4x)i,z2=(4y-2x)-(5x+3y)i(x,y∈R).若z=z1-z2,且z=13-2i,則z1=　　　　,z2=　　　　.
解析:z=z1-z2=[(3x+y)+(y-4x)i]-[(4y-2x)-(5x+3y)i]=(5x-3y)+(x+4y)i,又z=13-2i,所以解得所以z1=(3×2-1)+(-1-4×2)i=5-9i,z2=(-4-2×2)-(5×2-3×1)i=-8-7i.
5-9i　
-8-7i
1
5
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8
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3
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2
13.在平行四邊形OABC中,各頂點對應的復數分別為zO=0,zA=2+i,zB=-2a+3i,zC=-b+ai(a,b∈R),則a-b=　　　　.
解析:因為+=,所以2+i+(-b+ai)=-2a+3i,所以解得故a-b=-4.
-4
1
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6
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9
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13
14
3
4
2
14.(15分)已知A(1,2),B(a,1),C(2,3),D(-1,b)(a,b∈R)是復平面上的四個點,且向量,對應的復數分別為z1,z2.
(1)若z1+z2=1+i,求z1,z2;
解:∵=(a,1)-(1,2)=(a-1,-1),=(-1,b)-(2,3)=(-3,b-3),
∴z1=(a-1)-i,z2=-3+(b-3)i.
∴z1+z2=(a-4)+(b-4)i.又z1+z2=1+i,
1
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3
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2
∴解得
∴z1=4-i,z2=-3+2i.
1
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3
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(2)若|z1+z2|=2,z1-z2為實數,求a,b的值.
解:由(1)得z1+z2=(a-4)+(b-4)i,z1-z2=(a+2)+(2-b)i.∵|z1+z2|=2,z1-z2為實數,
∴解得課時跟蹤檢測(十九)　復數的幾何意義
(滿分100分，A級選填小題每題5分，B級選填小題每題6分)
A級——達標評價
1．(多選)下列命題正確的是(　　)
A．若z是實數，則z＝
B．若z＝，則z是實數
C．若＝－z，則z是純虛數
D．若z是純虛數，則＝－z
2．(2024·新課標Ⅱ卷)已知z＝－1－i，則|z|＝(　　)
A．0 B．1
C. D．2
3．設z＝－3＋2i，則在復平面內 對應的點位于(　　)
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
4．在復平面內，O是原點，向量對應的復數為5＋3i， 與 關于y軸對稱，則點B對應的復數是(　　)
A．5－3i B．－5－3i
C．5＋3i D．－5＋3i
5．(多選)已知復數z＝1＋i(其中i為虛數單位)，則以下說法正確的是(　　)
A．復數z的虛部為i
B．|z|＝
C．復數z的共軛復數＝1－i
D．復數z在復平面內對應的點在第一象限
6．已知復數z＝a2－1＋(a＋1)i(a∈R)是純虛數，則a＝________，|z|＝________.
7．若復數z在復平面內對應的點位于第二象限，且|z|＝2，則z＝________.(寫出一個即可)
8．在復平面內，O是坐標原點，向量對應的復數是－2＋i，若點A關于實軸的對稱點為點B，則向量對應的復數的模為________.
9．(8分)在復平面內畫出下列復數對應的向量，并求出各復數的模．
z1＝1－i；z2＝－＋i；z3＝－2；z4＝2＋2i.
10．(10分)已知復數z＝(m2＋m－6)＋(m2＋m－2)i(m∈R)在復平面內所對應的點為A.
(1)若點A在第二象限，求實數m的取值范圍；
(2)求|z|的最小值及此時實數m的值.
B級——重點培優
11．已知復平面內A，B，C三點所對應的復數為－2－i，1＋i，2i，若ABCD為平行四邊形，則||＝(　　)
A．13 B.
C．17 D.
12．(多選)已知復數z＝a＋bi(a，b∈R，i為虛數單位)，且a＋b＝1，下列命題正確的是(　　)
A．z不可能為純虛數
B．若z的共軛復數為 ，且z＝，則z是實數
C．若z＝|z|，則z是實數
D．|z|可以等于
13．復數z1與z2在復平面上對應的向量分別為與，已知z1＝＋i，⊥，且||＝||，則復數z2＝________.
14．(12分)在復平面內，A，B，C三點對應的復數分別為1，2＋i，－1＋2i.
(1)求向量，， 對應的復數；
(2)判定△ABC的形狀.
15．(12分)已知復平面內的點A，B對應的復數分別是z1＝sin2θ＋i，z2＝－cos2θ＋icos 2θ，其中θ∈(0，π)．設對應的復數是z.
(1)求復數z；
(2)若復數z對應的點P在直線y＝x上，求θ的值.
課時跟蹤檢測(十九)
1．ABD
2．選C　由z＝－1－i，
得|z|＝＝.
3．選C　由已知可得，＝－3－2i，故 對應的點為(－3，－2)，位于第三象限．
4．選D　設向量對應的復數為a＋bi(a，b∈R)，對應復平面的坐標為(a，b)．因為向量對應的復數為5＋3i，所以對應復平面的坐標為(5,3)．因為與關于y軸對稱，所以a＝－5，b＝3.即向量對應的復數為－5＋3i.因為點O為坐標原點，所以點B對應的復數是－5＋3i.
5．選BCD　因為復數z＝1＋i，所以其虛部為1，故A錯誤；|z|＝＝，故B正確；復數z的共軛復數＝1－i，故C正確；復數z在復平面內對應的點為(1,1)，顯然位于第一象限，故D正確．故選B、C、D.
6．解析：∵復數z＝a2－1＋(a＋1)i是純虛數，∴解得a＝1.∴z＝2i.
∴|z|＝2.
答案：1　2
7．解析：設z＝a＋bi，a，b∈R，因為復數z在復平面內對應的點在第二象限，所以a<0，b>0.又因為|z|＝2，所以a2＋b2＝4.顯然當a＝－1，b＝時，符合題意．
答案：－1＋i(答案不唯一)
8．解析：∵向量對應的復數是－2＋i，
∴A(－2,1)．又點A關于實軸的對稱點為點B，∴B(－2，－1)．∴向量對應的復數為－2－i，該復數的模為|－2－i|＝＝.
答案：
9．解：在復平面內分別畫出點Z1(1，－1)，
Z2，Z3(－2,0)，Z4(2,2)，則向量，，
，分別為復數z1，z2，z3，z4對應的向量，如圖所示．各復數的模分別為
|z1|＝ ＝；|z2|＝＝1；
|z3|＝＝2；|z4|＝＝2.
10．解：(1)由解得－3(2)|z|2＝(m2＋m－6)2＋(m2＋m－2)2，
令m2＋m－2＝t，∵t＝2－，
∴t∈，則|z|2＝2t2－8t＋16＝2(t－2)2＋8，所以當t＝2，即m＝時，|z|有最小值2.
11．選D　A，B，C三點對應的復數分別是－2－i，1＋i,2i，則復平面內A，B，C三點對應點的坐標為A(－2，－1)，B(1,1)，C(0,2)．設復平面內點D的坐標為D(x，y)，則＝(3,2)，＝(－x,2－y)，又ABCD是復平面內的平行四邊形，則＝，則解得則D(－3,0)，則＝(－4，－1)，||＝＝.
12．選BC　當a＝0時，b＝1，此時z＝i，為純虛數，A錯誤；若z的共軛復數為 ，且z＝，則a＋bi＝a－bi，所以b＝0，B正確；由|z|是實數，且z＝|z|知，z是實數，C正確；由|z|＝得a2＋b2＝.又a＋b＝1，即b＝1－a，因此8a2－8a＋3＝0，Δ＝64－4×8×3＝－32<0，所以方程無實數解，即|z|不可以等于.D錯誤．故選B、C.
13．解析：由題意得＝(，1)，設＝(x，y)，由⊥得·＝x＋y＝0，由||＝||得x2＋y2＝4，聯立解得或即＝(1，－)或＝(－1，)，所以z2＝1－i或z2＝－1＋i.
答案：1－i或－1＋i
14．解：(1)由復數的幾何意義知，＝(1,0)，＝(2,1)，＝(－1,2)，
所以＝－＝(1,1)，＝－＝(－2,2)，＝－＝(－3,1)．所以，， 對應的復數分別為1＋i，－2＋2i，－3＋i.
(2)因為||＝，||＝2，||＝，所以||2＋||2＝||2，所以△ABC是以BC為斜邊的直角三角形．
15．解：(1)因為點A，B對應的復數分別是
z1＝sin2θ＋i，z2＝－cos2θ＋icos 2θ，
所以點A，B的坐標分別是A(sin2θ，1)，B(－cos2θ，cos 2θ)．
所以＝(－cos2θ，cos 2θ)－(sin2θ，1)＝(－cos2θ－sin2θ，cos 2θ－1)＝(－1，－2sin2θ)，
所以對應的復數z＝－1＋(－2sin2θ)i.
(2)由(1)知點P的坐標是(－1，－2sin2θ)，代入y＝x，得－2sin2θ＝－，即sin2θ＝，所以sin θ＝±.
又因為θ∈(0，π)，所以sin θ＝，所以θ＝或θ＝.

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