資源簡介

階段質量評價(二)　復　數
(時間：120分鐘　滿分：150分)
一、單項選擇題(本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題所給的四個選項中，只有一項是符合題目要求的)
1.2＝(　　)
A．2－i B．2＋i
C．－2i D．2i
2．若(z＋i)i＝4－7i，則復數z的虛部為(　　)
A．－5 B．5
C．7 D．－7
3．以－＋2i的虛部為實部，以i＋2i2的實部為虛部的新復數是(　　)
A．2－2i B．－＋i
C．2＋i D.＋i
4．復數z＝(i為虛數單位)在復平面內對應的點位于(　　)
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
5．已知復數z1，z2是關于x的方程x2－2x＋3＝0的兩根，則z1z2的值為(　　)
A．－3 B．－2
C．2 D．3
6.如圖，在復平面內，復數z1，z2對應的向量分別是，，則＝(　　)
A.－i 　　　　 B.＋i
C．－－i 　　　　 D．－＋i
7．定義復數的一種運算z1*z2＝(等式右邊為普通運算)，若復數z＝a＋bi，為z的共軛復數，且正實數a，b滿足a＋b＝3，則z*的最小值為(　　)
A. B.
C. D.
8．瑞士數學家歐拉于1748年提出了著名的歐拉公式：eix＝cos x＋isin x，其中e是自然對數的底數，i是虛數單位，該公式將指數函數的定義域擴大到復數，建立了三角函數與指數函數的關聯，在復變函數論中占有非常重要的地位，被推舉為“數學中的天橋”．依據歐拉公式，下列選項正確的是(　　)
A．ei的虛部為i
B．復數ei在復平面內對應的點位于第二象限
C．sin x＝
D．若z1＝ei，z2＝eθi在復平面內分別對應點Z1，Z2，則△OZ1Z2面積的最大值為
二、多項選擇題(本大題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得 6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分)
9．已知復數z＝，則下列結論正確的是(　　)
A．z對應的點位于第一象限
B.的虛部為2
C．|z|＝
D．z＝5
10．下列有關復數z的敘述正確的是(　　)
A．若z＝i3，則＝i
B．若z＝1＋，則z的虛部為－i
C．若z＝a＋ai(a∈R)，則z不可能為純虛數
D．若復數z滿足∈R，則z∈R
11．對任意z1，z2，z∈C，下列結論成立的是(　　)
A．當m，n∈N*時，有zmzn＝zm＋n
B．當z1，z2∈C時，若z＋z＝0，則z1＝0且z2＝0
C．互為共軛復數的兩個復數的模相等，且||2＝|z|2＝z·
D．z1＝z2的充要條件是|z1|＝|z2|
三、填空題(本大題共3小題，每小題5分，共15分．把答案填在題中的橫線上)
12．已知復數＝－1＋2i，則的虛部為________.
13.在復平面內，O為原點，向量＝(a，b)，對應復數為a＋bi(a∈R，b∈R)，將繞O點沿逆時針方向旋轉，且將向量的模變為原來的倍，得向量，此時向量對應的復數為(a＋bi)·(1＋i)＝a－b＋(a＋b)i.現有一平行四邊形ABCD，如圖，A(1,1)，B(3,2)，|AD|＝|AB|，∠BAD＝45°，則D點直角坐標為________.
14．18世紀末期，挪威測量學家威塞爾首次利用坐標平面上的點來表示復數，使復數及其運算具有了幾何意義，例如，|z|＝|OZ|，也即復數z的模的幾何意義為z對應的點Z到原點的距離．在復平面內，復數z0＝3i(i是虛數單位)，其對應的點為Z0，Z為曲線|z|＝2上的動點，則Z0與Z之間的最小距離為________.
四、解答題(本大題共5小題，共77分．解答應寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟)
15．(13分)已知復數z＝(m2＋2m)＋(m2－2m－3)i，m∈R(i為虛數單位)．
(1)當m＝1時，求復數的值；
(2)若復數z在復平面內對應的點位于第二象限，求m的取值范圍.
16．(15分)已知復數z1＝1＋3i，z2＝2＋2i，i為虛數單位．
(1)求z1－z2及|z1＋|；
(2)若z＝，求z的共軛復數.
17．(15分)已知復數z1＝i－a，z2＝1－i，其中a是實數．
(1)若z＝－2i，求實數a的值；
(2)若是純虛數，求＋2＋3＋…＋2 022.
18．(17分)已知復數z＝a＋bi，其中a，b為實數且a≠0.
(1)若z(z＋)＝2＋4i，求z；
(2)若ω＝z－為純虛數，且1≤|ω|≤2，求|b|的取值范圍.
19．(17分)設z＋1為關于x的方程x2＋mx＋n＝0(m，n∈R)的虛根，i為虛數單位．
(1)當復數z＝－1＋i時，求m，n的值；
(2)若n＝1，在復平面內，設復數z所對應的點為P，復數2＋4i所對應的點為Q，試求||的取值范圍.
階段質量評價(二)
1．選D　2＝2＝(1＋i)2＝2i.故選D.
2．選A　依題意，z＝－i＝－4i－7－i＝－7－5i，故z的虛部為－5.故選A.
3．選A　設所求新復數z＝a＋bi(a，b∈R)，由題意知，復數－＋2i的虛部為2；復數i＋2i2＝i＋2×(－1)＝－2＋i的實部為－2，則所求的z＝2－2i.故選A.
4．選C　z＝＝＝＝＝－－i，即z對應的點為位于第三象限．故選C.
5．選D　法一：由x2－2x＋3＝0，得z1＝1＋i，z2＝1－i，所以z1z2＝(1＋i)·(1－i)＝3；
法二：方程x2－2x＋3＝0，由根與系數的關系可得z1z2＝＝3.故選D.
6．選C　由題圖知，z1＝1－2i，z2＝1＋i，
所以＝＝＝＝－－i，故選C.
7．選B　z*＝＝＝＝.
∵ab≤2＝，∴－ab≥－.
∴z*≥ ＝＝，
當且僅當a＝b＝時，等號成立．
8．選D　ei＝cos＋isin ＝i，其虛部為1，A錯誤；ei＝cos＋isin ＝＋i，復數ei在復平面內對應的點位于第一象限，B錯誤；＝
＝＝isin x，C錯誤；z1＝ei＝cos＋isin ＝＋i，z2＝eθi＝cos θ＋isin θ，
|OZ1|＝＝1，
|OZ2|＝＝1，因此△OZ1Z2的面積為|OZ1||OZ2|sin＝sin，所以△OZ1Z2面積的最大值為，D正確．
9．選ACD　z＝＝＝＝1＋2i，z對應的點(1,2)位于第一象限，A正確；＝1－2i的虛部為－2，B錯誤；|z|＝＝，C正確；z＝(1＋2i)(1－2i)＝1＋4＝5，D正確．故選A、C、D.
10．選ACD　z＝i3＝－i，所以＝i，A正確；z＝1＋＝1－i，虛部是－1，B錯誤；z＝a＋ai(a∈R)，若a＝0，則z＝0是實數，若a≠0，則z＝a＋ai是虛數，不是純虛數，C正確；設z＝a＋bi(a，b∈R)，因為＝＝－i，由∈R得b＝0，則z∈R，D正確．故選A、C、D.
11．選AC　由復數乘法的運算律知A正確；取z1＝1，z2＝i，滿足z＋z＝0，但z1＝0且z2＝0不成立，B錯誤；由復數的模及共軛復數的概念知結論成立，C正確；由z1＝z2能推出|z1|＝|z2|，但|z1|＝|z2|推不出z1＝z2，因此z1＝z2的必要不充分條件是|z1|＝|z2|，D錯誤．
12．解析：由題意，得z＝＝＝3＋4i，則＝3－4i，所以的虛部為－4.
答案：－4
13．解析：易得＝(2,1)，故對應的復數為2－1＋(2＋1)i，即＝(1,3)，＝＋＝(2,4)．
答案：(2,4)
14．解析：由題意知，Z為曲線|z|＝2上的動點，即為以O為圓心，半徑為2的圓周上的點，Z0對應的點為(0,3)，如圖所示，則當Z＝(0,2)時有最小距離為3－2＝1.
答案：1
15．解：(1)當m＝1時，z＝3－4i，
∴＝＝－－i.
(2)∵復數z在復平面內對應的點位于第二象限，
∴解得－2∴m的取值范圍是(－2，－1)．
16．解：(1)∵z1＝1＋3i，z2＝2＋2i，∴＝2－2i，z1－z2＝(1＋3i)－(2＋2i)＝－1＋i，
|z1＋|＝|1＋3i＋2－2i|＝|3＋i|＝＝.
(2)∵z＝＝＝＝＝＝1＋i，
∴＝1－i.
17．解：(1)復數z1＝i－a，則z＝(－a＋i)2＝(a2－1)－2ai＝－2i，又a是實數，
因此解得a＝1，所以實數a的值是1.
(2)復數z1＝i－a，z2＝1－i，a∈R，
則＝＝
＝＝＋i，
因為是純虛數，所以
解得a＝－1，因此＝i，又i1＝i，i2＝－1，i3＝－i，i4＝1，
則n∈N*，i4n－3＝i，i4n－2＝－1，i4n－1＝－i，i4n＝1，即有n∈N*，i4n－3＋i4n－2＋i4n－1＋i4n＝0，
所以＋2＋3＋…＋2 022＝505(i＋i2＋i3＋i4)＋i＋i2＝－1＋i.
18．解：(1)∵z＝a＋bi，∴＝a－bi，∴z(z＋)＝2a(a＋bi)＝2a2＋2abi＝2＋4i.
∴解得或
∴z＝1＋2i或z＝－1－2i.
(2)∵ω＝a＋bi－＝a＋bi－＝a＋bi－＝＋i為純虛數，
∴又a≠0，∴a2＋b2＝2，
則2b≠0，即b≠0，
∴ω＝2bi.∴|ω|＝2|b|∈[1,2]，解得≤|b|≤1.即|b|的取值范圍為.
19．解：(1)當z＝－1＋i時，z＋1＝i，
可得方程x2＋mx＋n＝0的兩根分別為i，－i，則解得m＝0，n＝1.
(2)當n＝1時，方程為x2＋mx＋1＝0.設z＝a＋bi(a，b∈R)，則z＋1＝a＋1＋bi，()＝a＋1－bi，可得a＋1＋bi，a＋1－bi為方程x2＋mx＋1＝0的兩根，所以(a＋1＋bi)·(a＋1－bi)＝(a＋1)2＋b2＝1.
設a＝－1＋cos θ，b＝sin θ，θ∈[0,2π)，
由復數的幾何意義可知，P(－1＋cos θ，sin θ)，Q(2,4)，
則||＝＝＝，
其中tan φ＝，φ∈.
因為sin(θ＋φ)∈[－1,1]，可得||∈[4,6]，
所以||的取值范圍為[4,6]．

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