資源簡介

8．1　基本立體圖形
第1課時　棱柱、棱錐、棱臺的結構特征
—— (教學方式：基本概念課—逐點理清式教學)
[課時目標]
1．利用實物模型、計算機軟件等觀察空間圖形，認識棱柱、棱錐、棱臺的結構特征．
2．能運用棱柱、棱錐、棱臺的結構特征描述現實生活中簡單物體的結構．
逐點清(一)　棱柱的結構特征
[多維理解]
1．空間幾何體的定義
空間中的物體都占據著空間的一部分，如果只考慮這些物體的______和______，而不考慮其他因素，那么由這些物體抽象出來的________就叫做空間幾何體．
2．多面體、旋轉體
多面體 一般地，由若干個______________圍成的幾何體叫做多面體．圍成多面體的各個多邊形叫做多面體的______；兩個面的__________叫做多面體的棱；棱與棱的__________叫做多面體的頂點
旋轉體 一條平面曲線(包括直線)繞它所在平面內的一條__________旋轉所形成的________叫做旋轉面，封閉的旋轉面圍成的__________叫做旋轉體．這條定直線叫做旋轉體的______
3．棱柱的結構特征
定義 一般地，有兩個面__________，其余各面都是________，并且相鄰兩個四邊形的公共邊都________，由這些面所圍成的多面體叫做棱柱
圖示及相關概念 如圖可記作：棱柱ABCDEF－A′B′C′D′E′F′ 底面(底)：兩個互相______的面；側面：其余各面；側棱：相鄰側面的________；頂點：側面與底面的__________
分類 按底面多邊形的邊數分：三棱柱、四棱柱…
4.幾種特殊的棱柱
直棱柱：側棱______于底面的棱柱(如圖①③)；
斜棱柱：側棱不垂直于底面的棱柱(如圖②④)；
正棱柱：底面是__________的直棱柱(如圖③)；
平行六面體：底面是________的四棱柱(如圖④)．
|微|點|助|解|　
(1)棱柱的結構特征包括兩個方面
一是面，二是棱．棱柱的面共有兩種：第一種是底面，上、下共兩個底面而且是平行且全等的；第二種是側面，幾棱柱就有幾個側面，相鄰側面的公共邊即側棱都是平行的．它的棱也有兩種，一種是側棱，另一種就是底面上的邊．
(2)常見的幾種四棱柱之間的轉化關系
四棱柱平行六面體直平行六面體長方體正四棱柱正方體．
[微點練明]
1．下面多面體中，是棱柱的有(　　)
A．1個 B．2個
C．3個 D．4個
2.(多選)滿足如圖所示的幾何體，以下說法正確的是(　　)
A．該幾何體是一個多面體
B．該幾何體有9條棱，5個頂點
C．該幾何體有7個面
D．該幾何體是旋轉體
3．(多選)下列關于棱柱的說法正確的是(　　)
A．所有的面都是平行四邊形
B．兩底面平行，并且各側棱也平行
C．被平面截成的兩部分可以都是棱柱
D．有兩個面互相平行，其余各面都是四邊形的幾何體一定是棱柱
4．如圖所示的三棱柱ABC－A1B1C1，其中E，F，G，H是三棱柱對應邊上的中點，過此四點作截面EFGH，把三棱柱分成兩部分，各部分形成的幾何體是棱柱嗎？如果是，是幾棱柱，并用符號表示；如果不是，請說明理由．
逐點清(二)　棱錐的結構特征
[多維理解]
定義 一般地，有一個面是________，其余各面都是有一個公共頂點的________，由這些面所圍成的多面體叫做棱錐
圖示及相關概念 如圖可記作：棱錐S－ABCD 底面(底)：__________；側面：有公共頂點的各個________；側棱：相鄰側面的________；頂點：各側面的________
分類 按底面多邊形的邊數分：三棱錐、四棱錐…，其中三棱錐又叫________．底面是________，并且頂點與底面中心的連線______于底面的棱錐叫做正棱錐
[微點練明]
1．(多選)下列幾何體中是棱錐的為(　　)
2．若一個正棱錐的各棱長和底面邊長均相等，則該棱錐一定不是(　　)
A．三棱錐 B．四棱錐
C．五棱錐 D．六棱錐
3．(多選)下列說法正確的是(　　)
A．棱錐的各個側面都是三角形
B．四面體的任何一個面都可以作為棱錐的底面
C．棱錐的側棱互相平行
D．有一個面是多邊形，其余各面是三角形的幾何體是棱錐
4．下列說法中，正確的是(　　)
A．頂點在底面上的射影到底面各頂點的距離相等的三棱錐是正棱錐
B．底面是正三角形，各側面是等腰三角形的三棱錐是正三棱錐
C．底面三角形各邊分別與相對的側棱垂直的三棱錐是正三棱錐
D．底面是正三角形，并且側棱都相等的三棱錐是正三棱錐
逐點清(三)　棱臺的結構特征
[多維理解]
定義 用一個____________的平面去截棱錐，底面和截面之間那部分多面體叫做棱臺
圖示及相關概念 如圖可記作：棱臺ABCD－A′B′C′D′ 上底面：原棱錐的______；下底面：原棱錐的______；側面：其余各面；側棱：相鄰側面的公共邊；頂點：側面與上(下)底面的公共頂點
分類 按由幾棱錐截得分：三棱臺、四棱臺…
|微|點|助|解|　
(1)正確認識棱臺的結構特征
①上底面與下底面是互相平行的相似多邊形；
②側面都是梯形；
③側棱延長線必交于一點．
(2)正棱臺
各側面是全等的等腰梯形的棱臺稱為正棱臺．棱臺還可按底面多邊形的邊數進行分類．
(3)棱柱、棱臺、棱錐關系圖
[微點練明]
1．下面四個幾何體中，是棱臺的是(　　)
2．(多選)下列關于棱臺的說法正確的是(　　)
A．所有的側棱所在直線交于一點
B．只有兩個面互相平行
C．上下兩個底面全等
D．所有的側面不存在兩個面互相平行
3.如圖，在三棱臺A′B′C′－ABC中，截去三棱錐A′－ABC，則剩余部分是(　　)
A．三棱錐 B．四棱錐
C．三棱柱 D．三棱臺
4．某簡單多面體共有12條棱，則該多面體可以是(　　)
A．四棱臺 B．五棱錐
C．三棱柱 D．五棱臺
逐點清(四)　空間幾何體的平面展開圖
[典例]　(1)畫出如圖所示的幾何體的平面展開圖(畫出其中一種即可)．
(2)如圖，在長方體ABCD－A1B1C1D1中，AB＝4，BC＝3，BB1＝5，一只螞蟻從點A出發沿表面爬行到點C1，求螞蟻爬行的最短路線長．
聽課記錄：
|思|維|建|模|
1．多面體的展開與折疊
(1)在解題過程中，常常給多面體的頂點標上字母，先把多面體的底面畫出來，然后依次畫出各側面，便可得到其平面展開圖．
(2)由展開圖復原幾何體：若是給出多面體的平面展開圖，來判斷是由哪一個多面體展開的，則可把上述過程逆推．
2．距離最短問題的解題策略
求從幾何體的表面上一點，沿幾何體表面運動到另一點，所走過的最短距離，常將幾何體的側面展開，轉化為求平面上兩點間的最短距離問題．
　　
[針對訓練]
如圖是三個幾何體的側面展開圖，請問各是什么幾何體？
第1課時　棱柱、棱錐、棱臺的結構特征
　[逐點清(一)]
[多維理解]　1.形狀　大小　空間圖形
2．平面多邊形　面　公共邊　公共點　
定直線　曲面　幾何體　軸　3.互相平行　四邊形　互相平行　平行　公共邊　公共頂點
4．垂直　正多邊形　平行四邊形
[微點練明]
1．D　2.AB
3．選BC　A錯誤，棱柱的底面不一定是平行四邊形；B正確，由棱柱的定義易知；C正確，棱柱可以被平行于底面的平面截成兩個棱柱；
D錯誤，棱柱的定義是這樣的：有兩個面互相平行，其余各面都是四邊形，并且每相鄰兩個四邊形的公共邊都互相平行，由這些面圍成的幾何體叫做棱柱，顯然題中漏掉了“并且每相鄰兩個四邊形的公共邊都互相平行”這一條件，因此所圍成的幾何體不一定是棱柱．如圖所示的幾何體就不是棱柱．
4．解：截面上、下的幾何體都滿足：有兩個平面互相平行，其他側面都是平行四邊形，相鄰側面的棱互相平行且相等，這樣的幾何體為棱柱，所以截面以上的幾何體是三棱柱AEF A1HG，截面以下的幾何體是四棱柱BEFC B1HGC1.
　[逐點清(二)]
[多維理解]　多邊形　三角形　多邊形面　三角形面　公共邊　公共頂點　四面體　正多邊形　垂直
[微點練明]
1．選BCD　根據棱錐的定義，B、C、D中的幾何體是棱錐，A中的幾何體不是棱錐．
2．選D　因為正六邊形的邊長與它的外接圓的半徑相等，所以滿足題意的棱錐一定不是六棱錐．
3．選AB　由棱錐的定義知，棱錐的各個側面都是三角形，故A正確；四面體是由四個三角形所圍成的幾何體，因此四面體的任何一個面都可以作為三棱錐的底面，故B正確；棱錐的側棱交于一點，不平行，故C錯誤；棱錐的側面是有一個公共頂點的三角形，如圖所示的幾何體均滿足條件，但都不是棱錐，故D錯誤．
4．選D　頂點在底面上的射影到底面各頂點的距離相等的三棱錐，這個射影可以是底面三角形的外心，底面不一定是正三角形，A錯誤；
底面是正三角形，各側面是等腰三角形的三棱錐，頂點在底面的射影可能不是底面的中心，如圖，△BCD是正三角形，AD＝CD＝BD，AB＝AC≠AD，它不是正三棱錐，B錯誤；底面三角形各邊分別與相對的側棱垂直的三棱錐，只要頂點在底面的射影是底面三角形的垂心就能滿足對棱垂直，但底面不一定是正三角形，C錯誤；底面是正三角形，并且側棱都相等的三棱錐，側棱相等，頂點在底面的射影是底面中心，是正三棱錐，D正確．
　[逐點清(三)]
[多維理解]　平行于棱錐底面　截面　底面
[微點練明]
1．選C　由棱臺的概念知，側棱延長應交于一點，故選C.
2．選ABD　由棱臺的定義可知，棱臺所有的側棱所在直線交于一點，故A正確；棱臺只有兩個面互相平行，就是上、下底面平行，故B正確；棱臺的上、下兩個底面相似但不全等，故C不正確；棱臺所有的側面不存在兩個面互相平行，故D正確．
3．選B　根據棱錐的結構特征可知剩余部分為四棱錐，故選B.
4．選A　依次畫出四棱臺、五棱錐、三棱柱、五棱臺，如圖所示．由圖可知四棱臺共有12條棱．
　[逐點清(四)]
[典例]　解：(1)平面展開圖如圖所示，
(2)沿長方體的一條棱剪開，有三種剪法：
①如圖(1)，以A1B1為軸展開，AC1＝ ＝＝4.
②如圖(2)，以BC為軸展開，AC1＝ ＝＝3.
③如圖(3)，以BB1為軸展開，AC1＝ ＝.
相比較可得螞蟻爬行的最短路線長為.
[針對訓練]
解：①為五棱柱；②為五棱錐；③為三棱臺．(共65張PPT)
8.1
基本立體圖形
棱柱、棱錐、棱臺的結構特征
(教學方式：基本概念課——逐點理清式教學)
第1課時
課時目標
1.利用實物模型、計算機軟件等觀察空間圖形,認識棱柱、棱錐、棱臺的結構特征.
2.能運用棱柱、棱錐、棱臺的結構特征描述現實生活中簡單物體的結構.
CONTENTS
目錄
1
2
3
逐點清(一)　棱柱的結構特征
逐點清(二)　棱錐的結構特征
逐點清(三)　棱臺的結構特征
4
逐點清(四)　空間幾何體的平面展開圖
5
課時跟蹤檢測
逐點清(一)　棱柱的結構特征
01
多維理解
1.空間幾何體的定義
空間中的物體都占據著空間的一部分,如果只考慮這些物體的_____和_____,而不考慮其他因素,那么由這些物體抽象出來的__________就叫做空間幾何體.
形狀
大小
空間圖形
2.多面體、旋轉體
多面體 一般地,由若干個____________圍成的幾何體叫做多面體.圍成多面體的各個多邊形叫做多面體的____;兩個面的_______叫做多面體的棱;棱與棱的________叫做多面體的頂點
旋轉體 一條平面曲線(包括直線)繞它所在平面內的一條_______旋轉所形成的______叫做旋轉面,封閉的旋轉面圍成的________叫做旋轉體.這條定直線叫做旋轉體的____
平面多邊形
面
公共邊
公共點
定直線
曲面
幾何體
軸
3.棱柱的結構特征
定義 一般地,有兩個面_________,其余各面都是_______,并且相鄰兩個四邊形的公共邊都_________,由這些面所圍成的多面體叫做棱柱
圖示及相關概念 如圖可記作:棱柱ABCDEF A'B'C'D'E'F' 底面(底):兩個互相_____的面;
側面:其余各面;
側棱:相鄰側面的_______;
頂點:側面與底面的_________
分類 按底面多邊形的邊數分:三棱柱、四棱柱…
互相平行
四邊形
互相平行
平行
公共邊
公共頂點
4.幾種特殊的棱柱
直棱柱:側棱______于底面的棱柱(如圖①③);
斜棱柱:側棱不垂直于底面的棱柱(如圖②④);
正棱柱:底面是__________的直棱柱(如圖③);
平行六面體:底面是___________的四棱柱(如圖④).
垂直
正多邊形
平行四邊形
|微|點|助|解|
(1)棱柱的結構特征包括兩個方面
一是面,二是棱.棱柱的面共有兩種:第一種是底面,上、下共兩個底面而且是平行且全等的;第二種是側面,幾棱柱就有幾個側面,相鄰側面的公共邊即側棱都是平行的.它的棱也有兩種,一種是側棱,另一種就是底面上的邊.
(2)常見的幾種四棱柱之間的轉化關系
1.下面多面體中,是棱柱的有 (　　)
A.1個 B.2個
C.3個 D.4個
√
微點練明
2.(多選)滿足如圖所示的幾何體,以下說法正確的是 (　　)
A.該幾何體是一個多面體
B.該幾何體有9條棱,5個頂點
C.該幾何體有7個面
D.該幾何體是旋轉體
√
√
3.(多選)下列關于棱柱的說法正確的是 (　　)
A.所有的面都是平行四邊形
B.兩底面平行,并且各側棱也平行
C.被平面截成的兩部分可以都是棱柱
D.有兩個面互相平行,其余各面都是四邊形的幾何體一定是棱柱
√
√
解析: A錯誤,棱柱的底面不一定是平行四邊形;B正確,
由棱柱的定義易知;C正確,棱柱可以被平行于底面的
平面截成兩個棱柱;D錯誤,棱柱的定義是這樣的:有兩
個面互相平行,其余各面都是四邊形,并且每相鄰兩個四邊形的公共邊都互相平行,由這些面圍成的幾何體叫做棱柱,顯然題中漏掉了“并且每相鄰兩個四邊形的公共邊都互相平行”這一條件,因此所圍成的幾何體不一定是棱柱.如圖所示的幾何體就不是棱柱.
4.如圖所示的三棱柱ABC A1B1C1,其中E,F,G,H是三棱柱對應邊上的中點,過此四點作截面EFGH,把三棱柱分成兩部分,各部分形成的幾何體是棱柱嗎 如果是,是幾棱柱,并用符號表示;如果不是,請說明理由.
解:截面上、下的幾何體都滿足:有兩個平面互相平行,其他側面都是平行四邊形,相鄰側面的棱互相平行且相等,這樣的幾何體為棱柱,所以截面以上的幾何體是三棱柱AEF A1HG,截面以下的幾何體是四棱柱BEFC B1HGC1.
逐點清(二)　棱錐的結構特征
02
多維理解
定義 一般地,有一個面是______,其余各面都是有一個公共頂點的_______,由這些面所圍成的多面體叫做棱錐
圖示及相關概念 如圖可記作:棱錐S ABCD 底面(底):__________;
側面:有公共頂點的各個__________;
側棱:相鄰側面的_______;
頂點:各側面的__________
多邊形
三角形
多邊形面
三角形面
公共邊
公共頂點
分類 按底面多邊形的邊數分:三棱錐、四棱錐…,其中三棱錐又叫_______.底面是_________,并且頂點與底面中心的連線_____于底面的棱錐叫做正棱錐
四面體
正多邊形
垂直
續表
1. (多選)下列幾何體中是棱錐的為 (　　)
解析:根據棱錐的定義,B、C、D中的幾何體是棱錐,A中的幾何體不是棱錐.
√
微點練明
√
√
2.若一個正棱錐的各棱長和底面邊長均相等,則該棱錐一定不是 (　　)
A.三棱錐 B.四棱錐
C.五棱錐 D.六棱錐
解析:因為正六邊形的邊長與它的外接圓的半徑相等,所以滿足題意的棱錐一定不是六棱錐.
√
3. (多選)下列說法正確的是 (　　)
A.棱錐的各個側面都是三角形
B.四面體的任何一個面都可以作為棱錐的底面
C.棱錐的側棱互相平行
D.有一個面是多邊形,其余各面是三角形的幾何體是棱錐
√
√
解析:由棱錐的定義知,棱錐的各個側面都是三角形,故A正確;四面體是由四個三角形所圍成的幾何體,因此四面體的任何一個面都可以作為三棱錐的底面,故B正確;棱錐的側棱交于一點,不平行,故C錯誤;棱錐的側面是有一個公共頂點的三角形,如圖所示的幾何體均滿足條件,但都不是棱錐,故D錯誤.
4.下列說法中,正確的是 (　　)
A.頂點在底面上的射影到底面各頂點的距離相等的三棱錐是正棱錐
B.底面是正三角形,各側面是等腰三角形的三棱錐是正三棱錐
C.底面三角形各邊分別與相對的側棱垂直的三棱錐是正三棱錐
D.底面是正三角形,并且側棱都相等的三棱錐是正三棱錐
√
解析:頂點在底面上的射影到底面各頂點的距離相等
的三棱錐,這個射影可以是底面三角形的外心,底面不
一定是正三角形,A錯誤;底面是正三角形,各側面是等
腰三角形的三棱錐,頂點在底面的射影可能不是底面的中心,如圖,△BCD是正三角形,AD=CD=BD,AB=AC≠AD,它不是正三棱錐,B錯誤;底面三角形各邊分別與相對的側棱垂直的三棱錐,只要頂點在底面的射影是底面三角形的垂心就能滿足對棱垂直,但底面不一定是正三角形,C錯誤;底面是正三角形,并且側棱都相等的三棱錐,側棱相等,頂點在底面的射影是底面中心,是正三棱錐,D正確.
逐點清(三)　棱臺的結構特征
03
多維理解
定義 用一個________________的平面去截棱錐,底面和截面之間那部分多面體叫做棱臺
圖示及相關概念 如圖可記作:棱臺ABCD A'B'C'D' 上底面:原棱錐的_____;
下底面:原棱錐的_____;
側面:其余各面;
側棱:相鄰側面的公共邊;
頂點:側面與上(下)底面的公共頂點
分類 按由幾棱錐截得分:三棱臺、四棱臺…
平行于棱錐底面
截面
底面
|微|點|助|解|
(1)正確認識棱臺的結構特征
①上底面與下底面是互相平行的相似多邊形;
②側面都是梯形;
③側棱延長線必交于一點.
(2)正棱臺
各側面是全等的等腰梯形的棱臺稱為正棱臺.棱臺還可按底面多邊形的邊數進行分類.
(3)棱柱、棱臺、棱錐關系圖
1.下面四個幾何體中,是棱臺的是 (　　)
√
微點練明
解析:由棱臺的概念知,側棱延長應交于一點,故選C.
2.(多選)下列關于棱臺的說法正確的是 (　　)
A.所有的側棱所在直線交于一點
B.只有兩個面互相平行
C.上下兩個底面全等
D.所有的側面不存在兩個面互相平行
√
√
√
解析:由棱臺的定義可知,棱臺所有的側棱所在直線交于一點,故A正確;棱臺只有兩個面互相平行,就是上、下底面平行,故B正確;棱臺的上、下兩個底面相似但不全等,故C不正確;棱臺所有的側面不存在兩個面互相平行,故D正確.
3.如圖,在三棱臺A'B'C' ABC中,截去三棱錐A' ABC,則剩余部分是 (　　)
A.三棱錐 B.四棱錐
C.三棱柱 D.三棱臺
解析:根據棱錐的結構特征可知剩余部分為四棱錐,故選B.
√
4.某簡單多面體共有12條棱,則該多面體可以是 (　　)
A.四棱臺 B.五棱錐
C.三棱柱 D.五棱臺
解析:依次畫出四棱臺、五棱錐、三棱柱、五棱臺,如圖所示.由圖可知四棱臺共有12條棱.
√
逐點清(四)　
空間幾何體的平面展開圖
04
[典例]　(1)畫出如圖所示的幾何體的平面展開圖(畫出其中一種即可).
解:平面展開圖如圖所示,
(2)如圖,在長方體ABCD A1B1C1D1中,AB=4,BC=3,BB1=5,一只螞蟻從點A出發沿表面爬行到點C1,求螞蟻爬行的最短路線長.
解:沿長方體的一條棱剪開,有三種剪法:
①如圖(1),以A1B1為軸展開,AC1= ==4.
②如圖(2),以BC為軸展開,AC1= ==3.
③如圖(3),以BB1為軸展開,AC1= =.
相比較可得螞蟻爬行的最短路線長為.
1.多面體的展開與折疊
(1)在解題過程中,常常給多面體的頂點標上字母,先把多面體的底面畫出來,然后依次畫出各側面,便可得到其平面展開圖.
(2)由展開圖復原幾何體:若是給出多面體的平面展開圖,來判斷是由哪一個多面體展開的,則可把上述過程逆推.
|思|維|建|模|
2.距離最短問題的解題策略
求從幾何體的表面上一點,沿幾何體表面運動到另一點,所走過的最短距離,常將幾何體的側面展開,轉化為求平面上兩點間的最短距離問題.
如圖是三個幾何體的側面展開圖,請問各是什么幾何體
針對訓練
解: ①為五棱柱;②為五棱錐;③為三棱臺.
課時跟蹤檢測
05
1
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
2
1.有兩個面平行的多面體不可能是 (　　)
A.棱柱 B.棱錐
C.棱臺 D.以上都錯
解析:棱柱、棱臺的上、下底面是平行的,而棱錐的任意兩面均不平行.
√
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
2
3
4
2.如圖,將裝有水的長方體水槽固定底面一邊后傾斜一個小角度,則傾斜后水槽中的水形成的幾何體是 (　　)
A.棱柱 B.棱臺
C.棱柱與棱錐的組合體 D.不能確定
√
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
2
3
4
解析:長方體水槽固定底面一邊后傾斜,水槽中的水形成的幾何體始終有兩個互相平行的平面,而其余各面都是四邊形,并且每相鄰兩個四邊形的公共邊互相平行,這符合棱柱的定義.
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
3
4
2
3.(多選) 關于空間幾何體的結構特征,下列說法正確的是 (　　)
A.棱柱的側棱長都相等
B.四棱錐有五個頂點
C.三棱臺的上、下底面是相似三角形
D.有的棱臺的側棱長都相等
解析:根據棱錐頂點的定義可知,四棱錐只有一個頂點,故B不正確.
√
√
√
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
3
4
2
4.若棱臺上、下底面的對應邊之比為1∶2,則上、下底面的面積之比是 (　　)
A.1∶2 B.1∶4
C.2∶1 D.4∶1
解析:由棱臺的概念知,上、下兩底面是相似的多邊形,故它們的面積之比等于對應邊長之比的平方,故為1∶4.
√
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
3
4
2
5.四棱柱成為長方體的一個必要不充分條件是 (　　)
A.底面是矩形 B.側面是正方形
C.底面是菱形 D.側面與底面都是矩形
√
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
3
4
2
解析:長方體的底面是矩形,而底面是矩形的四棱柱不一定是長方體(側棱不垂直于底面),則“底面是矩形”是“四棱柱成為長方體”的一個必要不充分條件,A是;長方體的側面是矩形,不一定是正方形,即“側面是正方形”不是四棱柱成為長方體的必要條件,B不是;長方體的底面是矩形,不能推出底面是菱形,即“底面是菱形”不是四棱柱成為長方體的必要條件,C不是;長方體的側面與底面都是矩形,反之側面與底面都是矩形的四棱柱是長方體,因此“側面與底面都是矩形”是“四棱柱成為長方體”的充要條件,D不是.
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
3
4
2
6.下列圖形經過折疊不能圍成一個棱柱的是 (　　)
解析:選項A、D經過折疊可以圍成四棱柱,選項C經過折疊可以圍成三棱柱,選項B經過折疊后有四個側面,而上、下底面為五邊形,故不能圍成棱柱.
√
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
3
4
2
7.三棱錐又稱四面體,則在四面體ABCD中,可以當作棱錐底面的三角形有 (　　)
A.1個 B.2個
C.3個 D.4個
解析:在四面體ABCD中,任何一個面(三角形)都可以當作三棱錐的底面,所以在四面體ABCD中,可以當作三棱錐底面的三角形有4個.
√
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
3
4
2
8.正多面體各個面都是全等的正多邊形,其中,面數最少的是正四面體,面數最多的是正二十面體,它們被稱為柏拉圖多面體.如圖,正二十面體是由20個等邊三角形所組成的正多面體.已知多面體滿足:頂點數-棱數+面數=2,則正二十面體的頂點的個數為 (　　)
A.30 B.20
C.12 D.10
√
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
3
4
2
解析:因為每個面都是三角形,每個面對應3條棱,且每1條棱被2個三角形共用,即1個面對應條棱,所以共有×20=30條棱.所以由頂點數-棱數+面數=2,得頂點數=棱數+2-面數=30+2-20=12.
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
3
4
2
9.用一個平面去截一個三棱錐,截面形狀是 (　　)
A.四邊形 B.三角形
C.三角形或四邊形 D.不可能為四邊形
解析:按如圖①所示用一個平面去截三棱錐,截面是三角形;按如圖②所示用一個平面去截三棱錐,截面是四邊形.
√
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
3
4
2
10.(多選)某人用如圖所示的紙片沿折痕折后粘成一個四棱錐形的“走馬燈”,正方形做燈底,且有一個三角形面上寫上了“年”字,當燈旋轉時,正好看到“新年快樂”的字樣,則在①②③處應依次寫上 (　　)
A.樂、新、快 B.快、新、樂
C.新、快、樂 D.樂、快、新
√
√
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
3
4
2
解析:由題意知,圖中四個三角形為四棱錐的側面.由四棱錐的結構特征,正好看到“新年快樂”的字樣的順序可以是①年②③,②年①③,即①②③處可依次寫上新、快、樂或快、新、樂.
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
3
4
2
11.一個棱柱有10個頂點,所有的側棱長的和為60 cm,則每條側棱長為_____cm.
解析: n棱柱有2n個頂點,于是知此棱柱為五棱柱,共有5條側棱.又每條側棱長都相等,且和為60 cm,所以每條側棱長為12 cm.
12
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
3
4
2
12.一個正方體的六個面上分別標有字母A,B,C,D,E,F,如圖是此正方體的兩種不同放置,則與D面相對的面上的字母是　　　.
解析:由此正方體的兩種不同放置可知,與C相對的是F,因此D與B相對.
B
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
3
4
2
13.如圖,M是棱長為2 cm的正方體ABCD A1B1C1D1的棱CC1的中點,沿正方體表面從點A到點M的最短路程是　　　cm.
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
3
4
2
解析:若以BC為軸展開,則A,M兩點連成的線段所在的直角三角形的兩直角邊的長度分別為2 cm,3 cm,故兩點之間的距離是 cm.若以BB1為軸展開,則A,M兩點連成的線段所在的直角三角形的兩直角邊的長度分別為1 cm,4 cm,故兩點之間的距離是 cm.故沿正方體表面從點A到點M的最短路程是 cm.
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
3
4
2
14.(15分)如圖,在邊長為2a的正方形ABCD中,E,F分別為AB,BC的中點,沿圖中虛線將3個三角形折起,使點A,B,C重合,重合后記為點P.
(1)折起后形成的幾何體是什么幾何體
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
3
4
2
解:如圖,折起后的幾何體是三棱錐.
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
3
4
2
(2)這個幾何體共有幾個面,每個面的三角形有何特點
解:這個幾何體共有4個面,其中△DEF為等腰三角形,△PEF為等腰直角三角形,△DPE和△DPF均為直角三角形.
(3)每個面的三角形面積為多少
解: S△PEF=a2,S△DPF=S△DPE=×2a×a=a2,S△DEF=S正方形ABCD-S△PEF-S△DPF-S△DPE=(2a)2-a2-a2-a2=a2.??課時跟蹤檢測(二十二)　棱柱、棱錐、棱臺的結構特征
(滿分80分，選填小題每題5分)
1．有兩個面平行的多面體不可能是(　　)
A．棱柱 B．棱錐
C．棱臺 D．以上都錯
2．如圖，將裝有水的長方體水槽固定底面一邊后傾斜一個小角度，則傾斜后水槽中的水形成的幾何體是(　　)
A．棱柱
B．棱臺
C．棱柱與棱錐的組合體
D．不能確定
3．(多選) 關于空間幾何體的結構特征，下列說法正確的是(　　)
A．棱柱的側棱長都相等
B．四棱錐有五個頂點
C．三棱臺的上、下底面是相似三角形
D．有的棱臺的側棱長都相等
4．若棱臺上、下底面的對應邊之比為1∶2，則上、下底面的面積之比是(　　)
A．1∶2 B．1∶4
C．2∶1 D．4∶1
5．四棱柱成為長方體的一個必要不充分條件是(　　)
A．底面是矩形 B．側面是正方形
C．底面是菱形 D．側面與底面都是矩形
6．下列圖形經過折疊不能圍成一個棱柱的是(　　)
7．三棱錐又稱四面體，則在四面體ABCD中，可以當作棱錐底面的三角形有(　　)
A．1個 B．2個
C．3個 D．4個
8.正多面體各個面都是全等的正多邊形，其中，面數最少的是正四面體，面數最多的是正二十面體，它們被稱為柏拉圖多面體．如圖，正二十面體是由20個等邊三角形所組成的正多面體．已知多面體滿足：頂點數－棱數＋面數＝2，則正二十面體的頂點的個數為(　　)
A．30 B．20
C．12 D．10
9．用一個平面去截一個三棱錐，截面形狀是(　　)
A．四邊形 B．三角形
C．三角形或四邊形 D．不可能為四邊形
10．(多選)某人用如圖所示的紙片沿折痕折后粘成一個四棱錐形的“走馬燈”，正方形做燈底，且有一個三角形面上寫上了“年”字，當燈旋轉時，正好看到“新年快樂”的字樣，則在①②③處應依次寫上(　　)
A．樂、新、快 B．快、新、樂
C．新、快、樂 D．樂、快、新
11．一個棱柱有10個頂點，所有的側棱長的和為60 cm，則每條側棱長為________ cm.
12．一個正方體的六個面上分別標有字母A，B，C，D，E，F，如圖是此正方體的兩種不同放置，則與D面相對的面上的字母是________.
13.如圖，M是棱長為2 cm的正方體ABCD－A1B1C1D1的棱CC1的中點，沿正方體表面從點A到點M的最短路程是________cm.
14.(15分)如圖，在邊長為2a的正方形ABCD中，E，F分別為AB，BC的中點，沿圖中虛線將3個三角形折起，使點A，B，C重合，重合后記為點P.
(1)折起后形成的幾何體是什么幾何體？
(2)這個幾何體共有幾個面，每個面的三角形有何特點？
(3)每個面的三角形面積為多少？
課時跟蹤檢測(二十二)
1．選B　棱柱、棱臺的上、下底面是平行的，而棱錐的任意兩面均不平行．
2．選A　長方體水槽固定底面一邊后傾斜，水槽中的水形成的幾何體始終有兩個互相平行的平面，而其余各面都是四邊形，并且每相鄰兩個四邊形的公共邊互相平行，這符合棱柱的定義．
3．選ACD　根據棱錐頂點的定義可知，四棱錐只有一個頂點，故B不正確．
4．選B　由棱臺的概念知，上、下兩底面是相似的多邊形，故它們的面積之比等于對應邊長之比的平方，故為1∶4.
5．選A　長方體的底面是矩形，而底面是矩形的四棱柱不一定是長方體(側棱不垂直于底面)，則“底面是矩形”是“四棱柱成為長方體”的一個必要不充分條件，A是；長方體的側面是矩形，不一定是正方形，即“側面是正方形”不是四棱柱成為長方體的必要條件，B不是；長方體的底面是矩形，不能推出底面是菱形，即“底面是菱形”不是四棱柱成為長方體的必要條件，C不是；長方體的側面與底面都是矩形，反之側面與底面都是矩形的四棱柱是長方體，因此“側面與底面都是矩形”是“四棱柱成為長方體”的充要條件，D不是．
6．選B　選項A、D經過折疊可以圍成四棱柱，選項C經過折疊可以圍成三棱柱，選項B經過折疊后有四個側面，而上、下底面為五邊形，故不能圍成棱柱．
7．選D　在四面體ABCD中，任何一個面(三角形)都可以當作三棱錐的底面，所以在四面體ABCD中，可以當作三棱錐底面的三角形有4個．
8．選C　因為每個面都是三角形，每個面對應3條棱，且每1條棱被2個三角形共用，即1個面對應條棱，所以共有×20＝30條棱．所以由頂點數－棱數＋面數＝2，得頂點數＝棱數＋2－面數＝30＋2－20＝12.
9．選C　按如圖①所示用一個平面去截三棱錐，截面是三角形；按如圖②所示用一個平面去截三棱錐，截面是四邊形．
10．選BC　由題意知，圖中四個三角形為四棱錐的側面．由四棱錐的結構特征，正好看到“新年快樂”的字樣的順序可以是①年②③，②年①③，即①②③處可依次寫上新、快、樂或快、新、樂．
11．解析：n棱柱有2n個頂點，于是知此棱柱為五棱柱，共有5條側棱．又每條側棱長都相等，且和為60 cm，所以每條側棱長為12 cm.
答案：12
12．解析：由此正方體的兩種不同放置可知，與C相對的是F，因此D與B相對．
答案：B
13．解析：若以BC為軸展開，則A，M兩點連成的線段所在的直角三角形的兩直角邊的長度分別為2 cm，3 cm，故兩點之間的距離是 cm.若以BB1為軸展開，則A，M兩點連成的線段所在的直角三角形的兩直角邊的長度分別為1 cm，4 cm，故兩點之間的距離是 cm.故沿正方體表面從點A到點M的最短路程是 cm.
答案：
14．解：(1)如圖，折起后的幾何體是三棱錐．
(2)這個幾何體共有4個面，其中△DEF為等腰三角形，△PEF為等腰直角三角形，△DPE和△DPF均為直角三角形．
(3)S△PEF＝a2，S△DPF＝S△DPE＝×2a×a＝a2，S△DEF＝S正方形ABCD－S△PEF－S△DPF－S△DPE＝(2a)2－a2－a2－a2＝a2.

展開更多......

收起↑