資源簡介

第2課時　圓柱、圓錐、圓臺、球的結構特征
—— (教學方式：基本概念課—逐點理清式教學)
[課時目標]
1．理解圓柱、圓錐、圓臺、球的定義．　2.掌握圓柱、圓錐、圓臺、球的結構特征．
3．能運用圓柱、圓錐、圓臺、球特征描述現實生活中簡單物體的結構．
逐點清(一)　圓柱的結構特征
[多維理解]
圓柱的定義及相關概念 圖形及表示
定義 以________所在直線為旋轉軸，其余三邊旋轉一周形成的面所圍成的旋轉體叫做圓柱 圖中的圓柱記作______
相關概念 軸：________叫做圓柱的軸；底面：________的邊旋轉而成的圓面；側面：________的邊旋轉而成的曲面；母線：無論旋轉到什么位置，____________都叫做圓柱側面的母線；柱體：棱柱和圓柱統稱為柱體
|微|點|助|解|　
圓柱的結構特征
(1)圓柱有無數條母線，它們平行且相等．
(2)平行于底面的截面是與底面大小相同的圓．
(3)過軸的截面(軸截面)都是全等的矩形．
(4)過任意兩條母線的截面是矩形．
[微點練明]
1．給出下列命題：①圓柱的底面是圓；②經過圓柱任意兩條母線的截面是一個矩形；③連接圓柱上、下底面圓周上兩點的線段是圓柱的母線；④圓柱的任意兩條母線互相平行．其中真命題的個數是(　　)
A．1 B．2
C．3 D．4
2．(多選)下列關于圓柱的說法正確的是(　　)
A．圓柱的所有母線長都相等
B．用平行于圓柱底面的平面截圓柱，截面是與底面全等的圓面
C．用一個不平行于圓柱底面的平面截圓柱，截面是一個圓面
D．一個矩形以其對邊中點的連線為旋轉軸，旋轉180°所形成的幾何體是圓柱
3．若圓柱的母線長為10，則其高為________．
逐點清(二)　圓錐、圓臺、球的結構特征
[多維理解]
1．圓錐的結構特征
圓錐的定義及相關概念 圖形及表示
定義 以直角三角形的________所在直線為旋轉軸，其余兩邊旋轉一周形成的面所圍成的旋轉體叫做圓錐 圖中的圓錐記作________
相關概念 軸：旋轉軸叫做圓錐的軸；底面：垂直于軸的邊旋轉而成的圓面；側面：直角三角形的斜邊旋轉而成的曲面；母線：無論旋轉到什么位置，不垂直于軸的邊都叫做圓錐側面的母線；錐體：棱錐和圓錐統稱為錐體
2．圓臺的結構特征
圓臺的定義及相關概念 圖形及表示
定義 用____________的平面去截圓錐，___________之間的部分叫做圓臺 圖中的圓臺記作__________
相關概念 軸：圓錐的軸；底面：圓錐的底面和截面；側面：圓錐的側面在底面與截面之間的部分；母線：圓錐的母線在底面與截面之間的部分；臺體：棱臺和圓臺統稱為臺體
3．球的結構特征
球的定義及相關概念 圖形及表示
定義 ______________所在直線為旋轉軸，旋轉一周形成的曲面叫做球面，球面所圍成的旋轉體叫做球體，簡稱球 圖中的球記作______
相關概念 球心：半圓的______叫做球的球心；半徑：連接______和球面上任意一點的______叫做球的半徑；直徑：連接球面上______并且經過球心的________叫做球的直徑
|微|點|助|解|　
(1)以直角三角形斜邊所在的直線為軸旋轉成的曲面圍成的旋轉體不是圓錐．
(2)圓臺也可以看作是等腰梯形以其底邊的垂直平分線為軸，各邊旋轉半周形成的曲面所圍成的幾何體．
(3)球與球面是完全不同的概念，球是指球面所圍成的空間，而球面只指球的表面部分．
[微點練明]
1．下列給出的圖形中，繞給出的軸旋轉一周(如圖所示)，能形成圓臺的是(　　)
2．(多選)下列命題正確的是(　　)
A．圓柱、圓錐、圓臺的底面都是圓面
B．正四棱錐的側面都是正三角形
C．用平行于圓錐底面的平面截圓錐，截面與底面之間的部分是圓臺
D．以直角梯形垂直于底邊的腰所在的直線為旋轉軸，另一腰和兩底邊旋轉一周所圍成的幾何體是圓臺
3．以下命題正確的是(　　)
A．直角三角形繞其一邊所在直線旋轉得到的旋轉體是圓錐
B．夾在圓柱的兩個平行截面間的幾何體還是圓柱
C．圓錐截去一個小圓錐后剩余部分是圓臺
D．棱錐截去一個小棱錐后剩余部分是棱臺
4．下列說法正確的是(　　)
A．到定點的距離等于定長的點的集合是球
B．球面上不同的三點可能在同一條直線上
C．經過球面上不同的兩點只能作一個大圓
D．球心與截面圓心(截面不過球心)的連線垂直于該截面
逐點清(三)　簡單組合體
1．簡單組合體的定義
由_________組合而成的幾何體叫做簡單組合體．
2．簡單組合體的構成形式
一種是由簡單幾何體______而成；另一種是由簡單幾何體____________一部分而成．
[例1]　如圖①②所示的圖形繞虛線旋轉一周后形成的立體圖形分別是由哪些簡單幾何體組成的？
　
聽課記錄：
|思|維|建|模|
判斷旋轉體結構特征的方法
(1)判斷旋轉體形狀的關鍵是軸的確定，看是由平面圖形繞哪條直線旋轉所得．
(2)在旋轉過程中觀察平面圖形的各邊所形成的軌跡，應利用空間想象能力，或親自動手做出平面圖形的模型來分析旋轉體的形狀．　　
[針對訓練]
1．描述下列幾何體的結構特征．
逐點清(四)　旋轉體的有關計算
[例2]　如圖，用一個平行于圓錐SO底面的平面截這個圓錐，截得圓臺上、下底面的面積之比為1∶16，截去的圓錐的母線長是4 cm，求圓臺O′O的母線長．
聽課記錄：
[變式拓展]
1．把本例的條件換為“圓臺兩底面半徑分別是2 cm和5 cm，母線長是3 cm”，則它的軸截面的面積是________．
2．把本例的條件換為“一圓錐的母線長為6，底面半徑為3，把該圓錐截一圓臺，截得圓臺的母線長為4”，則圓臺的另一底面半徑為________．
|思|維|建|模|
(1)用平行于底面的平面去截柱、錐、臺等幾何體，注意抓住截面的性質(與底面全等或相似)，同時結合旋轉體中的經過旋轉軸的截面(軸截面)的性質，利用相似三角形中的相似比，構造相關幾何變量的方程(組)而得解．
(2)利用球的截面，將立體問題轉化為平面問題是解決球的有關問題的關鍵．　
[針對訓練]
2．已知球的兩個平行截面的面積分別為5π和8π，它們位于球心的同一側，且距離為1，那么這個球的半徑是(　　)
A．4 B．3
C．2 D．0.5
第2課時　圓柱、圓錐、圓臺、球的結構特征
[逐點清(一)]
[多維理解]　矩形的一邊　旋轉軸　垂直于軸　平行于軸　平行于軸的邊　圓柱O′O
[微點練明]
1．選C　圓柱的底面是圓，故①正確；圓柱任意兩條母線的截面是矩形，故②正確；連接圓柱上、下底面圓周上兩點的線段，必須是平行圓柱軸的才是母線，故③錯誤；圓柱的母線是相互平行的，故④正確．綜上所述，正確的命題個數是3，故選C.
2．選ABD　圓柱的所有母線長都等于圓柱的高，且都相等，故A正確；用平行于圓柱底面的平面截圓柱，由圓柱的性質可知截面是與底面全等的圓面，故B正確；用一個不平行于圓柱底面的平面截圓柱，截面是橢圓面或橢圓面的一部分，故C錯誤；一個矩形以其對邊中點的連線為旋轉軸，旋轉180°所形成的幾何體是圓柱，故D正確．
3．解析：圓柱的母線長與高相等，則其高等于10.
答案：10
　[逐點清(二)]
[多維理解]　1.一條直角邊　圓錐SO　
2．平行于圓錐底面　底面與截面　圓臺O′O
3．半圓以它的直徑　圓心　球心　線段　
兩點　線段　球O
[微點練明]
1．選A　根據定義，A中圖形形成的是圓臺，B中圖形形成的是球，C中圖形形成的是圓柱，D中圖形形成的是圓錐．
2．ACD
3．選C　直角三角形的斜邊為軸旋轉一周所得的旋轉體不是圓錐，故A錯誤；因為當兩平行的截面與圓柱的底面不平行時，截得的幾何體的兩個平行的底面有可能是橢圓，另外當截面平行于圓柱的高線時，截得的幾何體也不是圓柱，故B錯誤；圓錐截去一個小圓錐后剩余部分是圓臺，故C正確；當截面不平行于底面時，棱錐截去一個小棱錐后剩余部分不是棱臺，故D錯誤．
4．選D　球是球體的簡稱，球體的外表面稱之為球面，球面是一個曲面，是空心的，而球是幾何體，是實心的，到定點的距離等于定長的點的集合是球面，不是球體，故A錯誤；球面上不同的三點一定不共線，故B錯誤；過球的直徑可以作無數個大圓，故C錯誤，球心與截面圓心(截面不過球心)的連線必垂直于該截面，故D正確．
　[逐點清(三)]
1．簡單幾何體　2.拼接　截去或挖去
[例1]　解：旋轉后的圖形如圖所示．其中圖①是由一個圓柱O1O2和兩個圓臺O2O3，O3O4組成的；圖②是由一個圓錐O5O4，一個圓柱O3O4及一個圓臺O1O3中挖去圓錐O2O1組成的．
[針對訓練]
1．解：圖(1)所示的幾何體是由兩個圓臺拼接而成的組合體；
圖(2)所示的幾何體是由一個圓臺挖去一個圓錐得到的組合體；
圖(3)所示的幾何體是在一個圓柱中間挖去一個三棱柱后得到的組合體．
　[逐點清(四)]
[例2]　解：設圓臺的母線長為l cm，由截得的圓臺上、下底面面積之比為1∶16，可設截得的圓臺的上、下底面的半徑分別為r,4r，過軸SO作截面，如圖所示．
則△SO′A′∽△SOA，SA′＝4 cm.
所以＝，所以＝，即＝，
解得l＝12(cm)，即圓臺的母線長為12 cm.
[變式拓展]
1．解析：
作軸截面，如圖，過A作AM⊥BC于M，則BM＝5－2＝3(cm)，AM＝＝9(cm)，
所以S四邊形ABCD＝＝63(cm2)．
答案：63 cm2
2．解析：作軸截面，如圖，則＝＝，所以r＝1.
答案：1
[針對訓練]
2.選B　如圖所示，∵兩個平行截面的面積分別為5π，8π，∴兩個截面圓的半徑分別為r1＝，r2＝2.∵球心到兩個截面的距離d1＝，d2＝，
∴d1－d2＝－＝1.
∴R2＝9.∴R＝3.(共63張PPT)
圓柱、圓錐、圓臺、球的結構特征
(教學方式：基本概念課——逐點理清式教學)
第2課時
課時目標
1.理解圓柱、圓錐、圓臺、球的定義.　
2.掌握圓柱、圓錐、圓臺、球的結構特征.
3.能運用圓柱、圓錐、圓臺、球特征描述現實生活中簡單物體的結構.
CONTENTS
目錄
1
2
3
逐點清(一)　圓柱的結構特征
逐點清(二)　圓錐、圓臺、球的結構特征
逐點清(三)　簡單組合體
4
逐點清(四)　旋轉體的有關計算
5
課時跟蹤檢測
逐點清(一)　圓柱的結構特征
01
多維理解
圓柱的定義及相關概念
定義 以_____________所在直線為旋轉軸,其余三邊旋轉一周形成的面所圍成的旋轉體叫做圓柱
相關概念 軸:_______叫做圓柱的軸;
底面:_________的邊旋轉而成的圓面;
側面:_________的邊旋轉而成的曲面;
母線:無論旋轉到什么位置,____________ 都叫做圓柱側面的母線;
柱體:棱柱和圓柱統稱為柱體
矩形的一邊
旋轉軸
垂直于軸
平行于軸
平行于軸的邊
圖形及表示
圖中的圓柱記作___________
圓柱O'O
|微|點|助|解|
圓柱的結構特征
(1)圓柱有無數條母線,它們平行且相等.
(2)平行于底面的截面是與底面大小相同的圓.
(3)過軸的截面(軸截面)都是全等的矩形.
(4)過任意兩條母線的截面是矩形.
1.給出下列命題:①圓柱的底面是圓;②經過圓柱任意兩條母線的截面是一個矩形;③連接圓柱上、下底面圓周上兩點的線段是圓柱的母線;④圓柱的任意兩條母線互相平行.其中真命題的個數是 (　　)
A.1 B.2
C.3 D.4
√
微點練明
解析:圓柱的底面是圓,故①正確;圓柱任意兩條母線的截面是矩形,故②正確;連接圓柱上、下底面圓周上兩點的線段,必須是平行圓柱軸的才是母線,故③錯誤;圓柱的母線是相互平行的,故④正確.綜上所述,正確的命題個數是3,故選C.
2.(多選)下列關于圓柱的說法正確的是 (　　)
A.圓柱的所有母線長都相等
B.用平行于圓柱底面的平面截圓柱,截面是與底面全等的圓面
C.用一個不平行于圓柱底面的平面截圓柱,截面是一個圓面
D.一個矩形以其對邊中點的連線為旋轉軸,旋轉180°所形成的幾何體是圓柱
√
√
√
解析:圓柱的所有母線長都等于圓柱的高,且都相等,故A正確;用平行于圓柱底面的平面截圓柱,由圓柱的性質可知截面是與底面全等的圓面,故B正確;用一個不平行于圓柱底面的平面截圓柱,截面是橢圓面或橢圓面的一部分,故C錯誤;一個矩形以其對邊中點的連線為旋轉軸,旋轉180°所形成的幾何體是圓柱,故D正確.
3.若圓柱的母線長為10,則其高為　　　　.
解析:圓柱的母線長與高相等,則其高等于10.
10
逐點清(二)　
圓錐、圓臺、球的結構特征
02
多維理解
1.圓錐的結構特征
圓錐的定義及相關概念
定義 以直角三角形的____________所在直線為旋轉軸,其余兩邊旋轉一周形成的面所圍成的旋轉體叫做圓錐
相關概念 軸:旋轉軸叫做圓錐的軸;
底面:垂直于軸的邊旋轉而成的圓面;
側面:直角三角形的斜邊旋轉而成的曲面;
母線:無論旋轉到什么位置,不垂直于軸的邊都叫做圓錐側面的母線;
錐體:棱錐和圓錐統稱為錐體
一條直角邊
圖形及表示
圖中的圓錐記作________
圓錐SO
2.圓臺的結構特征
圓臺的定義及相關概念 圖形及表示
定義 用_______________的平面去截圓錐,___________ 之間的部分叫做圓臺
圖中的圓臺記作_________
相關概念 軸:圓錐的軸; 底面:圓錐的底面和截面; 側面:圓錐的側面在底面與截面之間的部分; 母線:圓錐的母線在底面與截面之間的部分; 臺體:棱臺和圓臺統稱為臺體
平行于圓錐底面
底面與截面
圓臺O'O
3.球的結構特征
球的定義及相關概念 圖形及表示
定義 ________________所在直線為旋轉軸,旋轉一周形成的曲面叫做球面,球面所圍成的旋轉體叫做球體,簡稱球
圖中的球記作_____
相關概念 球心:半圓的______叫做球的球心; 半徑:連接____和球面上任意一點的____叫做球的半徑; 直徑:連接球面上______并且經過球心的_____叫做球的直徑
半圓以它的直徑
圓心
球心
線段
兩點
線段
球O
|微|點|助|解|
(1)以直角三角形斜邊所在的直線為軸旋轉成的曲面圍成的旋轉體不是圓錐.
(2)圓臺也可以看作是等腰梯形以其底邊的垂直平分線為軸,各邊旋轉半周形成的曲面所圍成的幾何體.
(3)球與球面是完全不同的概念,球是指球面所圍成的空間,而球面只指球的表面部分.
1.下列給出的圖形中,繞給出的軸旋轉一周(如圖所示),能形成圓臺的是 (　　)
解析:根據定義,A中圖形形成的是圓臺,B中圖形形成的是球,C中圖形形成的是圓柱,D中圖形形成的是圓錐.
√
微點練明
2.(多選)下列命題正確的是 (　　)
A.圓柱、圓錐、圓臺的底面都是圓面
B.正四棱錐的側面都是正三角形
C.用平行于圓錐底面的平面截圓錐,截面與底面之間的部分是圓臺
D.以直角梯形垂直于底邊的腰所在的直線為旋轉軸,另一腰和兩底邊旋轉一周所圍成的幾何體是圓臺
√
√
√
3.以下命題正確的是 (　　)
A.直角三角形繞其一邊所在直線旋轉得到的旋轉體是圓錐
B.夾在圓柱的兩個平行截面間的幾何體還是圓柱
C.圓錐截去一個小圓錐后剩余部分是圓臺
D.棱錐截去一個小棱錐后剩余部分是棱臺
√
解析:直角三角形的斜邊為軸旋轉一周所得的旋轉體不是圓錐,故A錯誤;因為當兩平行的截面與圓柱的底面不平行時,截得的幾何體的兩個平行的底面有可能是橢圓,另外當截面平行于圓柱的高線時,截得的幾何體也不是圓柱,故B錯誤;圓錐截去一個小圓錐后剩余部分是圓臺,故C正確;當截面不平行于底面時,棱錐截去一個小棱錐后剩余部分不是棱臺,故D錯誤.
4.下列說法正確的是 (　　)
A.到定點的距離等于定長的點的集合是球
B.球面上不同的三點可能在同一條直線上
C.經過球面上不同的兩點只能作一個大圓
D.球心與截面圓心(截面不過球心)的連線垂直于該截面
√
解析:球是球體的簡稱,球體的外表面稱之為球面,球面是一個曲面,是空心的,而球是幾何體,是實心的,到定點的距離等于定長的點的集合是球面,不是球體,故A錯誤;球面上不同的三點一定不共線,故B錯誤;過球的直徑可以作無數個大圓,故C錯誤,球心與截面圓心(截面不過球心)的連線必垂直于該截面,故D正確.
逐點清(三)　簡單組合體
03
1.簡單組合體的定義
由____________組合而成的幾何體叫做簡單組合體.
2.簡單組合體的構成形式
一種是由簡單幾何體_____而成;另一種是由簡單幾何體___________一部分而成.
簡單幾何體
拼接
截去或挖去
[例1]　如圖①②所示的圖形繞虛線旋轉一周后形成的立體圖形分別是由哪些簡單幾何體組成的
解:旋轉后的圖形如圖所示.其中圖①是由一個圓柱O1O2和兩個圓臺O2O3,O3O4組成的;圖②是由一個圓錐O5O4,一個圓柱O3O4及一個圓臺O1O3中挖去圓錐O2O1組成的.
|思|維|建|模|
判斷旋轉體結構特征的方法
(1)判斷旋轉體形狀的關鍵是軸的確定,看是由平面圖形繞哪條直線旋轉所得.
(2)在旋轉過程中觀察平面圖形的各邊所形成的軌跡,應利用空間想象能力,或親自動手做出平面圖形的模型來分析旋轉體的形狀.
1.描述下列幾何體的結構特征.
針對訓練
解:圖(1)所示的幾何體是由兩個圓臺拼接而成的組合體;
圖(2)所示的幾何體是由一個圓臺挖去一個圓錐得到的組合體;
圖(3)所示的幾何體是在一個圓柱中間挖去一個三棱柱后得到的組合體.
逐點清(四)　旋轉體的有關計算
04
[例2]　如圖,用一個平行于圓錐SO底面的平面截這個圓錐,截得圓臺上、下底面的面積之比為1∶16,截去的圓錐的母線長是4 cm,求圓臺O'O的母線長.
解:設圓臺的母線長為l cm,由截得的圓臺上、下底面面積之比為1∶16,可設截得的圓臺的上、下底面的半徑分別為r,4r,過軸SO作截面,如圖所示.
則△SO'A'∽△SOA,SA'=4 cm.
所以=,所以=,即=,
解得l=12(cm),即圓臺的母線長為12 cm.
1.把本例的條件換為“圓臺兩底面半徑分別是2 cm和5 cm,母線長是3 cm”,則它的軸截面的面積是　　　　.
解析:作軸截面,如圖,過A作AM⊥BC于M,
則BM=5-2=3(cm),AM==9(cm),
所以S四邊形ABCD==63(cm2).
變式拓展
63 cm2
2.把本例的條件換為“一圓錐的母線長為6,底面半徑為3,把該圓錐截一圓臺,截得圓臺的母線長為4”,則圓臺的另一底面半徑為　　　　.
解析:作軸截面,如圖,
則==,
所以r=1.
1
|思|維|建|模|
(1)用平行于底面的平面去截柱、錐、臺等幾何體,注意抓住截面的性質(與底面全等或相似),同時結合旋轉體中的經過旋轉軸的截面(軸截面)的性質,利用相似三角形中的相似比,構造相關幾何變量的方程(組)而得解.
(2)利用球的截面,將立體問題轉化為平面問題是解決球的有關問題的關鍵.
2.已知球的兩個平行截面的面積分別為5π和8π,它們位于球心的同一側,且距離為1,那么這個球的半徑是 (　　)
A.4 B.3
C.2 D.0.5
√
針對訓練
解析:如圖所示,∵兩個平行截面的面積分別為5π, 8π,
∴兩個截面圓的半徑分別為r1=,r2=2.
∵球心到兩個截面的距離d1=,d2=,
∴d1-d2=-=1.
∴R2=9.∴R=3.
課時跟蹤檢測
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2
1.如圖所示的圖形中有 (　　)
A.圓柱、圓錐、圓臺和球 B.圓柱、球和圓錐
C.球、圓柱和圓臺 D.棱柱、棱錐、圓錐和球
解析:根據題中圖形可知,(1)是球,(2)是圓柱,(3)是圓錐,(4)不是圓臺,故選B.
√
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2.下列幾何體的軸截面一定是圓面的是 (　　)
A.圓柱 B.圓錐
C.球 D.圓臺
解析:圓柱的軸截面為矩形;圓錐的軸截面為等腰三角形;球的軸截面是圓面;圓臺的軸截面是等腰梯形.故選C.
√
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3.有下列四個說法,其中正確的是 (　　)
A.圓柱的母線與軸垂直
B.圓錐的母線長等于底面圓直徑
C.圓臺的母線與軸平行
D.球的直徑必過球心
解析:圓柱的母線與軸平行;圓錐的母線長大于底面圓的半徑,不一定等于底面圓直徑;圓臺的母線延長線與軸相交;球的直徑必過球心.故選D.
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4.如圖,某工廠生產的一種機器零件原胚是一個中空的圓臺,中空部分呈圓柱形狀,且圓柱底面圓心與圓臺底面圓心重合,該零件原胚可由下面圖形繞對稱軸(直線l)旋轉而成,這個圖形是 (　　)
√
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解析:由題意知,零件原胚的中空部分呈圓柱形狀,而圓柱形狀由矩形旋轉形成,圓臺由梯形旋轉形成,分析四個選項,A項,旋轉后得到圓臺;C項,旋轉后得到圓臺;D項,旋轉后得到球體中挖去一個小球.故選B.
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5.用一張長為8,寬為4的矩形硬紙卷成圓柱的側面,則相應圓柱的底面半徑是 (　　)
A.2 B.2π
C.或 D.或
解析:設底面半徑為r,若矩形的長8恰好為卷成圓柱底面的周長,則2πr=8,所以r=;同理,若矩形的寬4恰好為卷成圓柱底面的周長,則2πr=4,所以r=.故選C.
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6.(多選)對如圖的組合體的結構特征有以下幾種說法,其中說法正確的是 (　　)
A.由一個長方體割去一個四棱柱所構成
B.由一個長方體與兩個四棱柱組合而成
C.由一個長方體挖去一個四棱臺所構成
D.由一個長方體與兩個四棱臺組合而成
√
√
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解析:如圖,該組合體可由一個長方體割去一個四棱柱所構成,也可以由一個長方體與兩個四棱柱組合而成.故選A、B.
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7.我國古代數學名著中有云:“今有木長二丈四尺,圍之五尺.葛生其下,纏木兩周,上與木齊,問葛長幾何 ”其意思為:“圓木長2丈4尺,圓周為5尺,葛藤從圓木的底部開始向上生長,繞圓木兩周,剛好頂部與圓木平齊,問葛藤最少長多少尺 ”(注:1丈等于10尺)(　　)
A.29尺 B.24尺
C.26尺 D.30尺
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解析:由題意,圓木的側面展開圖如圖所示,AB=5,AD=24.E,F分別為AD,BC的中點,則葛藤最少長為AF+EC,即2=26(尺).
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8.上、下底面面積分別為36π和49π,母線長為5的圓臺,其兩底面之間的距離為 (　　)
A.4 B.3
C.2 D.2
解析:設圓臺的母線長為l,高為h,上、下兩底面圓的半徑分別為r,R,它們滿足關系式l2=h2+(R-r)2,由題意知l=5,R=7,r=6,求得h=2,即兩底面之間的距離為2.
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9.作一個圓柱的內接正三棱柱,又作這個三棱柱的內切圓柱,那么這兩個圓柱底面的半徑之比為 (　　)
A.2∶1 B.3∶1
C.∶1 D.2∶
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解析:如圖所示,兩圓半徑分別為OA,OF,在Rt△AOF中,∠OAF=,
∠AFO=,故=.故選A.
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10.將一個等腰梯形繞著它的較長的底邊所在直線旋轉一周,所得的幾何體包括 (　　)
A.一個圓臺、兩個圓錐 B.一個圓臺、一個圓柱
C.兩個圓臺、一個圓柱 D.一個圓柱、兩個圓錐
解析:設等腰梯形ABCD,較長的底邊為CD,則繞著底邊
CD旋轉一周可得一個圓柱和兩個圓錐,軸截面如圖.故
選D.
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11.若圓錐的高與底面半徑相等,母線長等于5,則底面半徑等于　　.
解析:如圖,設圓錐SO的高為h,底面半徑為r,母線長為l,則h=r,l=5.又l2=h2+r2,則l2=2r2,即(5)2=2r2,解得r=5.
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12.某地球儀上北緯30°緯線圈的長度為12π cm,
如圖所示,則該地球儀的半徑是　　　cm.
解析:如圖所示,由題意知,北緯30°所在小圓的周長為12π cm,則該小圓的半徑r=6 cm,其中∠ABO=30°,所以該地球儀的半徑R==4 cm.
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13.(10分)指出圖中的幾何體是由哪些簡單幾何體組成的.
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解:第一個組合體由一個四棱柱,一個長方體,一個四棱臺,四棱臺上方挖去一個長方體的組合體;第二個組合體是大圓柱中間挖去一個小圓柱與另一圓柱同樣挖去小圓柱垂直嵌進去,在圓柱外面一個四棱柱與一個三棱柱貼在圓柱側面(一個面變成了曲面),四棱柱的兩個角刨圓成圓柱側面(可認為是兩個四分之一的圓柱與一個小四棱柱的組合體),中間還挖去兩個小圓柱.
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14.(15分)已知圓錐的底面半徑為r,高為h,且正方體ABCD A1B1C1D1內接于圓錐(即正方體一個面上的四個頂點在圓錐側面上),求這個正方體的棱長.
解:如圖所示,過內接正方體的一組對棱作圓錐的軸截面,設圓錐內接正方體的棱長為x,則在軸截面中,
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正方體的對角面A1ACC1的一組鄰邊的長分別為x和x.
∵△VA1C1∽△VMN,∴=.
∴x=.
即圓錐內接正方體的棱長為.
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15.(15分)如圖所示,圓臺的上、下底面半徑分別為5 cm,10 cm,母線長AB=20 cm,從圓臺母線AB的中點M拉一條繩子繞圓臺側面轉到點A,求:
(1)繩子的最短長度;
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解:如圖所示,將側面展開,繩子的最短長度為側面展開圖中AM的長度,
設OB=l,∠AOA'=θ,
則θ·l=2π×5,θ·(l+20)=2π×10,
解得θ=,l=20 cm.
∴OA=40 cm,OM=30 cm.
∴AM==50(cm).
即繩子的最短長度為50(cm).
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(2)在繩子最短時,上底圓周上的點到繩子的最短距離.
解:如圖所示,作OQ⊥AM于點Q,交弧BB'于點P,則PQ即為所求的最短距離.
∵OA·OM=AM·OQ,∴OQ=24(cm).
故PQ=OQ-OP=24-20=4(cm),即上底圓周上的點到繩子的最短距離為4 cm.課時跟蹤檢測(二十三)　圓柱、圓錐、圓臺、球的結構特征
(滿分100分，選填小題每題5分)
1．如圖所示的圖形中有(　　)
A．圓柱、圓錐、圓臺和球
B．圓柱、球和圓錐
C．球、圓柱和圓臺
D．棱柱、棱錐、圓錐和球
2．下列幾何體的軸截面一定是圓面的是(　　)
A．圓柱 B．圓錐
C．球 D．圓臺
3．有下列四個說法，其中正確的是(　　)
A．圓柱的母線與軸垂直
B．圓錐的母線長等于底面圓直徑
C．圓臺的母線與軸平行
D．球的直徑必過球心
4.如圖，某工廠生產的一種機器零件原胚是一個中空的圓臺，中空部分呈圓柱形狀，且圓柱底面圓心與圓臺底面圓心重合，該零件原胚可由下面圖形繞對稱軸(直線l)旋轉而成，這個圖形是(　　)
5．用一張長為8，寬為4的矩形硬紙卷成圓柱的側面，則相應圓柱的底面半徑是(　　)
A．2 B．2π
C.或 D.或
6.(多選)對如圖的組合體的結構特征有以下幾種說法，其中說法正確的是(　　)
A．由一個長方體割去一個四棱柱所構成
B．由一個長方體與兩個四棱柱組合而成
C．由一個長方體挖去一個四棱臺所構成
D．由一個長方體與兩個四棱臺組合而成
7．我國古代數學名著中有云：“今有木長二丈四尺，圍之五尺．葛生其下，纏木兩周，上與木齊，問葛長幾何？”其意思為：“圓木長2丈4尺，圓周為5尺，葛藤從圓木的底部開始向上生長，繞圓木兩周，剛好頂部與圓木平齊，問葛藤最少長多少尺？”(注：1丈等于10尺)(　　)
A．29尺 B．24尺
C．26尺 D．30尺
8．上、下底面面積分別為36π和49π，母線長為5的圓臺，其兩底面之間的距離為(　　)
A．4 B．3
C．2 D．2
9．作一個圓柱的內接正三棱柱，又作這個三棱柱的內切圓柱，那么這兩個圓柱底面的半徑之比為(　　)
A．2∶1 B．3∶1
C.∶1 D．2∶
10．將一個等腰梯形繞著它的較長的底邊所在直線旋轉一周，所得的幾何體包括(　　)
A．一個圓臺、兩個圓錐 B．一個圓臺、一個圓柱
C．兩個圓臺、一個圓柱 D．一個圓柱、兩個圓錐
11．若圓錐的高與底面半徑相等，母線長等于5，則底面半徑等于________.
12．某地球儀上北緯30°緯線圈的長度為12π cm，如圖所示，則該地球儀的半徑是________cm.
13．(10分)指出圖中的幾何體是由哪些簡單幾何體組成的.
14．(15分)已知圓錐的底面半徑為r，高為h，且正方體ABCD－A1B1C1D1內接于圓錐(即正方體一個面上的四個頂點在圓錐側面上)，求這個正方體的棱長.
15.(15分)如圖所示，圓臺的上、下底面半徑分別為5 cm,10 cm，母線長AB＝20 cm，從圓臺母線AB的中點M拉一條繩子繞圓臺側面轉到點A，求：
(1)繩子的最短長度；
(2)在繩子最短時，上底圓周上的點到繩子的最短距離．
課時跟蹤檢測(二十三)
1．選B　根據題中圖形可知，(1)是球，(2)是圓柱，(3)是圓錐，(4)不是圓臺，故選B.
2．選C　圓柱的軸截面為矩形；圓錐的軸截面為等腰三角形；球的軸截面是圓面；圓臺的軸截面是等腰梯形．故選C.
3．選D　圓柱的母線與軸平行；圓錐的母線長大于底面圓的半徑，不一定等于底面圓直徑；圓臺的母線延長線與軸相交；球的直徑必過球心．故選D.
4．選B　由題意知，零件原胚的中空部分呈圓柱形狀，而圓柱形狀由矩形旋轉形成，圓臺由梯形旋轉形成，分析四個選項，A項，旋轉后得到圓臺；C項，旋轉后得到圓臺；D項，旋轉后得到球體中挖去一個小球．故選B.
5．選C　設底面半徑為r，若矩形的長8恰好為卷成圓柱底面的周長，則2πr＝8，所以r＝；同理，若矩形的寬4恰好為卷成圓柱底面的周長，則2πr＝4，所以r＝.故選C.
6．選AB　如圖，該組合體可由一個長方體割去一個四棱柱所構成，也可以由一個長方體與兩個四棱柱組合而成．故選A、B.
7．選C　由題意，圓木的側面展開圖如圖所示，AB＝5，AD＝24.E，F分別為AD，BC的中點，則葛藤最少長為AF＋EC，
即2＝26(尺)．
8．選D　設圓臺的母線長為l，高為h，上、下兩底面圓的半徑分別為r，R，它們滿足關系式l2＝h2＋(R－r)2，由題意知l＝5，R＝7，r＝6，求得h＝2，即兩底面之間的距離為2.
9.選A　如圖所示，兩圓半徑分別為OA，OF，在Rt△AOF中，∠OAF＝，∠AFO＝，故＝.故選A.
10.選D　設等腰梯形ABCD，較長的底邊為CD，則繞著底邊CD旋轉一周可得一個圓柱和兩個圓錐，軸截面如圖．故選D.
11．解析：如圖，設圓錐SO的高為h，底面半徑為r，母線長為l，則h＝r，l＝5.又l2＝h2＋r2，則l2＝2r2，即(5)2＝2r2，解得r＝5.
答案：5
12．解析：如圖所示，由題意知，北緯30°所在小圓的周長為12π cm，則該小圓的半徑r＝6 cm，其中∠ABO＝30°，所以該地球儀的半徑R＝＝4 cm.
答案：4
13．解：第一個組合體由一個四棱柱，一個長方體，一個四棱臺，四棱臺上方挖去一個長方體的組合體；第二個組合體是大圓柱中間挖去一個小圓柱與另一圓柱同樣挖去小圓柱垂直嵌進去，在圓柱外面一個四棱柱與一個三棱柱貼在圓柱側面(一個面變成了曲面)，四棱柱的兩個角刨圓成圓柱側面(可認為是兩個四分之一的圓柱與一個小四棱柱的組合體)，中間還挖去兩個小圓柱．
14．解：如圖所示，過內接正方體的一組對棱作圓錐的軸截面，設圓錐內接正方體的棱長為x，則在軸截面中，正方體的對角面A1ACC1的一組鄰邊的長分別為x和x.
∵△VA1C1∽△VMN，∴＝.
∴x＝.
即圓錐內接正方體的棱長為.
15．解：(1)如圖所示，將側面展開，繩子的最短長度為側面展開圖中AM的長度，
設OB＝l，∠AOA′＝θ，
則θ·l＝2π×5，θ·(l＋20)＝2π×10，
解得θ＝，l＝20 cm.
∴OA＝40 cm，OM＝30 cm.
∴AM＝＝50(cm)．
即繩子的最短長度為50(cm)．
(2)如圖所示，作OQ⊥AM于點Q，交弧BB′于點P，則PQ即為所求的最短距離．
∵OA·OM＝AM·OQ，∴OQ＝24(cm)．
故PQ＝OQ－OP＝24－20＝4(cm)，即上底圓周上的點到繩子的最短距離為4 cm.

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