資源簡介

8.2 立體圖形的直觀圖
—— (教學方式：深化學習課—梯度進階式教學)
[課時目標]
1．掌握用斜二測畫法畫水平放置的平面圖形的直觀圖的步驟．
2．會用斜二測畫法畫出簡單空間圖形(球、圓柱、圓錐、棱柱及其簡單組合體)的直觀圖．
1．直觀圖
直觀圖是觀察者站在________觀察一個空間幾何體獲得的圖形．在立體幾何中，立體圖形的直觀圖通常是在____________下得到的平面圖形．
2．畫水平放置的平面圖形的直觀圖的步驟
步驟 畫法要求
建系 在已知圖形中取互相垂直的x軸和y軸，兩軸相交于點O.畫直觀圖時，把它們畫成對應的x′軸與y′軸，兩軸相交于點O′，且使∠x′O′y′＝________(或________)，它們確定的平面表示________
畫線 已知圖形中平行于x軸或y軸的線段，在直觀圖中分別畫成平行于__________的線段
長度規則 已知圖形中平行于x軸的線段，在直觀圖中保持__________，平行于y軸的線段，在直觀圖中長度為原來的________
|微|點|助|解|　
(1)對斜二測畫法中“斜”“二測”的解讀
①“斜”是指在已知圖形的平面xOy內與x軸垂直的線段，在直觀圖中均與x′軸成45°或135°；
②“二測”是指兩種度量形式，即在直觀圖中，平行于x′軸的線段長度不變，平行于y′軸的線段長度變為原來的一半．
(2)斜二測畫法畫圖的關鍵
在原圖中找到決定圖形位置與形狀的點，并在直觀圖中畫出．
3．空間幾何體的直觀圖的畫法
畫軸 與平面圖形的直觀圖畫法相比多了一個____軸，直觀圖中與之對應的是____軸
畫底面 平面__________表示水平平面，平面__________和________表示豎直平面，按照平面圖形的畫法，畫底面的直觀圖
畫側棱 已知圖形中平行于z軸(或在z軸上)的線段，在其直觀圖中________和______都不變
成圖 去掉輔助線，將被遮擋的部分改為______
1．判斷正誤(正確的畫“√”，錯誤的畫“×”)
(1)相等的角，在直觀圖中仍相等．(　　)
(2)長度相等的線段，在直觀圖中長度仍相等．(　　)
(3)若兩條線段平行，則在直觀圖中對應的線段仍平行．(　　)
(4)若兩條線段垂直，則在直觀圖中對應的線段也互相垂直．(　　)
2．若把一個高為10 cm的圓柱的底面畫在平面x′O′y′上，則圓柱的高應畫成(　　)
A．平行于z′軸且大小為10 cm
B．平行于z′軸且大小為5 cm
C．與z′軸成45°且大小為10 cm
D．與z′軸成45°且大小為5 cm
3.如圖所示為一個平面圖形的直觀圖，則它的實際形狀四邊形ABCD為(　　)
A．平行四邊形　 B．梯形　
C．菱形　 D．矩形
題型(一)　畫水平放置的平面圖形的直觀圖
[例1]　畫出水平放置的正五邊形ABCDE的直觀圖．
　　
聽課記錄：
|思|維|建|模|
畫平面圖形的直觀圖的技巧
(1)在畫水平放置的平面圖形的直觀圖時，選取恰當的坐標系是關鍵，一般要使得平面多邊形盡可能多的頂點在坐標軸上，以便于畫點．
(2)畫平面圖形的直觀圖，首先畫與坐標軸平行的線段(平行性不變)，與坐標軸不平行的線段通過與坐標軸平行的線段確定它的兩個端點，然后連接成線段．　　
[針對訓練]
1．畫一個銳角為45°的平行四邊形的直觀圖(尺寸自定)．
題型(二)　畫空間幾何體的直觀圖
[例2]　畫出底面是正方形，側棱均相等的四棱錐的直觀圖.
聽課記錄：
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畫空間圖形的直觀圖的原則
(1)首先在原幾何體上建立空間直角坐標系Oxyz，并且把它們畫成對應的x′軸與y′軸，兩軸交于點O′，且使∠x′O′y′＝45°(或135°)，它們確定的平面表示水平面，再作z′軸與平面x′O′y′垂直．
(2)作空間圖形的直觀圖時平行于x軸、z軸的線段畫成平行于x′軸、z′軸的線段并且長度不變．
(3)平行于y軸的線段畫成平行于y′軸的線段，且線段長度畫成原來的一半．　
[針對訓練]
2．用斜二測畫法畫出正五棱柱的直觀圖．
題型(三)　直觀圖的還原與計算問題
[例3]　(1)如圖，Rt△O′A′B′是一個平面圖形的直觀圖，若O′B′＝，則這個平面圖形的面積是(　　)
A．1 B.
C．2 D．4
(2)如圖，梯形A1B1C1D1是一平面圖形ABCD的直觀圖．若A1D1∥O′y′，A1B1∥C1D1，A1B1＝C1D1＝2，A1D1＝O′D1＝1.試畫出原四邊形，并求原圖形的面積．
聽課記錄：
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1．直觀圖的還原技巧
由直觀圖還原為平面圖的關鍵是找與x′軸、y′軸平行的直線或線段，且平行于x′軸的線段還原時長度不變，平行于y′軸的線段還原時放大為直觀圖中相應線段長的2倍，由此確定圖形的各個頂點，順次連接即可．
2．直觀圖與原圖面積之間的關系
若一個平面多邊形的面積為S，其直觀圖的面積為S′，則有S′＝S或S＝2S′.利用這一公式可由原圖形面積求其直觀圖面積或由直觀圖面積求原圖形面積．　　
[針對訓練]
3．已知正三角形ABC的邊長為a，那么△ABC的平面直觀圖△A′B′C′的面積為(　　)
A.a2 B.a2
C.a2 D.a2
8．2　立體圖形的直觀圖
?課前預知教材
1．某一點　平行投影　2.45°　135°　水平面　x′軸或y′軸　原長度不變　一半　3.z　z′　x′O′y′　y′O′z′　x′O′z′　平行性　長度　虛線
[基礎落實訓練]
1．(1)×　(2)×　(3)√　(4)×
2．選A　平行于z軸(或在z軸上)的線段，在直觀圖中的方向和長度都與原來保持一致．
3．選D　因為∠D′A′B′＝45°，由斜二測畫法規則知∠DAB＝90°.又四邊形A′B′C′D′為平行四邊形，所以原四邊形ABCD為矩形．
?課堂題點研究
　[題型(一)]
[例1]　解：畫法：①在圖(1)中作AG⊥x軸于G，作DH⊥x軸于H.
②在圖(2)中畫相應的x′軸與y′軸，兩軸相交于點O′，使∠x′O′y′＝45°.
③在圖(2)中的x′軸上取O′B′＝OB，O′G′＝OG，O′C′＝OC，O′H′＝OH，y′軸上取O′E′＝OE，分別過G′和H′作y′軸的平行線，并在相應的平行線上取G′A′＝GA，H′D′＝HD.
④連接A′B′，A′E′，E′D′，D′C′，并擦去輔助線G′A′，H′D′，x′軸與y′軸，便得到水平放置的正五邊形ABCDE的直觀圖A′B′C′D′E′(如圖(3))．
[針對訓練]
1．解：①畫軸．如圖①，建立平面直角坐標系xOy，再建立坐標系x′O′y′，其中∠x′O′y′＝45°.
②描點．如圖②，在x′軸上截取O′A′＝OA，O′B′＝OB，在y軸上截取O′D′＝OD，過點D′作D′C′∥x′軸，且D′C′＝DC.
③連線．連接B′C′，A′D′.
④成圖．如圖③，四邊形A′B′C′D′即為一個銳角為45°的平行四邊形ABCD的直觀圖．
　[題型(二)]
[例2]　解：畫法：①畫軸．畫Ox軸、Oy軸、Oz軸，∠xOy＝45°(或135°)，∠xOz＝90°，如圖．
②畫底面．以O為中心在xOy平面內，畫出正方形的直觀圖ABCD.
③畫頂點．在Oz軸上截取OP，使OP的長度等于原四棱錐的高．
④成圖．順次連接PA，PB，PC，PD，并擦去輔助線，將被遮住的部分改為虛線，得四棱錐的直觀圖．
[針對訓練]
2．解：畫法：①畫軸．畫x′軸、y′軸和z′軸，使∠x′O′y′＝45°(或135°)，∠x′O′z′＝90°，如圖①所示．
②畫底面．按x′軸、y′軸畫正五邊形的直觀圖ABCDE.
③畫側棱．過點A，B，C，D，E分別作z′軸的平行線，并在這些平行線上分別截取AA′，BB′，CC′，DD′，EE′都相等．
④成圖．順次連接A′，B′，C′，D′，E′，去掉輔助線，將被擋部分改為虛線，如圖②所示．
　[題型(三)]
[例3]　解析：(1)選C　由題圖知，△OAB為直角三角形．
∵O′B′＝，∴A′B′＝，O′A′＝2.
∴在原△OAB中，OB＝，OA＝4，
∴S△OAB＝××4＝2.故選C.
(2)如圖，建立平面直角坐標系xOy，在x軸上截取OD＝O′D1＝1；OC＝O′C1＝2.
在過點D與y軸平行的直線上截取DA＝2D1A1＝2.
在過點A與x軸平行的直線上截取AB＝A1B1＝2.
連接BC，便得到了原圖形(如圖)．
由作法可知，原四邊形ABCD是直角梯形，上、下底長度分別為AB＝2，CD＝3，直角腰長度為AD＝2.
所以面積為S＝×2＝5.
[針對訓練]
3．選D　如圖①②所示的分別是實際圖形和直觀圖．
由斜二測畫法可知，A′B′＝AB＝a，O′C′＝OC＝a，在圖②中作C′D′⊥A′B′于點D′，則C′D′＝O′C′＝a.所以S△A′B′C′＝A′B′·C′D′＝×a×a＝a2.(共53張PPT)
8.2
立體圖形的直觀圖
課時目標
1.掌握用斜二測畫法畫水平放置的平面圖形的直觀圖的步驟.
2.會用斜二測畫法畫出簡單空間圖形(球、圓柱、圓錐、棱柱及其簡單組合體)的直觀圖.
CONTENTS
目錄
1
2
3
課前預知教材·自主落實基礎
課堂題點研究·遷移應用融通
課時跟蹤檢測
課前預知教材·自主落實基礎
01
1.直觀圖
直觀圖是觀察者站在_______觀察一個空間幾何體獲得的圖形.在立體幾何中,立體圖形的直觀圖通常是在_________下得到的平面圖形.
2.畫水平放置的平面圖形的直觀圖的步驟
步驟 畫法要求
建系 在已知圖形中取互相垂直的x軸和y軸,兩軸相交于點O.畫直觀圖時,把它們畫成對應的x'軸與y'軸,兩軸相交于點O',且使∠x'O'y'=____
(或______),它們確定的平面表示________
某一點
平行投影
45°
135°
水平面
畫線 已知圖形中平行于x軸或y軸的線段,在直觀圖中分別畫成平行于___________的線段
長度 規則 已知圖形中平行于x軸的線段,在直觀圖中保持___________,平行于y軸的線段,在直觀圖中長度為原來的_____
x'軸或y'軸
原長度不變
一半
續表
|微|點|助|解|
(1)對斜二測畫法中“斜”“二測”的解讀
①“斜”是指在已知圖形的平面xOy內與x軸垂直的線段,在直觀圖中均與x'軸成45°或135°;
②“二測”是指兩種度量形式,即在直觀圖中,平行于x'軸的線段長度不變,平行于y'軸的線段長度變為原來的一半.
(2)斜二測畫法畫圖的關鍵
在原圖中找到決定圖形位置與形狀的點,并在直觀圖中畫出.
3.空間幾何體的直觀圖的畫法
畫軸 與平面圖形的直觀圖畫法相比多了一個___軸,直觀圖中與之對應的是____軸
畫底面 平面_______表示水平平面,平面_______和_______表示豎直平面,按照平面圖形的畫法,畫底面的直觀圖
畫側棱 已知圖形中平行于z軸(或在z軸上)的線段,在其直觀圖中_______和_____都不變
成圖 去掉輔助線,將被遮擋的部分改為______
z
z'
x'O'y'
y'O'z'
x'O'z'
平行性
長度
虛線
基礎落實訓練
1.判斷正誤(正確的畫“√”,錯誤的畫“×”)
(1)相等的角,在直觀圖中仍相等. (　　)
(2)長度相等的線段,在直觀圖中長度仍相等. (　　)
(3)若兩條線段平行,則在直觀圖中對應的線段仍平行. (　　)
(4)若兩條線段垂直,則在直觀圖中對應的線段也互相垂直. (　　)
×
×
√
×
2.若把一個高為10 cm的圓柱的底面畫在平面x'O'y'上,則圓柱的高應畫成 (　　)
A.平行于z'軸且大小為10 cm B.平行于z'軸且大小為5 cm
C.與z'軸成45°且大小為10 cm D.與z'軸成45°且大小為5 cm
解析:平行于z軸(或在z軸上)的線段,在直觀圖中的方向和長度都與原來保持一致.
√
3.如圖所示為一個平面圖形的直觀圖,則它的實際形狀
四邊形ABCD為 (　　)
A.平行四邊形 B.梯形
C.菱形 D.矩形
解析:因為∠D'A'B'=45°,由斜二測畫法規則知∠DAB=90°.又四邊形A'B'C'D'為平行四邊形,所以原四邊形ABCD為矩形.
√
課堂題點研究·遷移應用融通
02
題型(一)　畫水平放置的平面圖形的直觀圖
[例1]　畫出水平放置的正五邊形ABCDE的直觀圖.
解:畫法:①在圖(1)中作AG⊥x軸于G,作DH⊥x軸于H.
②在圖(2)中畫相應的x'軸與y'軸,兩軸相交于點O',使∠x'O'y'=45°.
③在圖(2)中的x'軸上取O'B'=OB,O'G'=OG,O'C'=OC,O'H'=OH,y'軸上取O'E'=OE,分別過G'和H'作y'軸的平行線,并在相應的平行線上取G'A'=GA,H'D'=HD.
④連接A'B',A'E',E'D',D'C',并擦去輔助線G'A',H'D',x'軸與y'軸,便得到水平放置的正五邊形ABCDE的直觀圖A'B'C'D'E'(如圖(3)).
|思|維|建|模|
畫平面圖形的直觀圖的技巧
(1)在畫水平放置的平面圖形的直觀圖時,選取恰當的坐標系是關鍵,一般要使得平面多邊形盡可能多的頂點在坐標軸上,以便于畫點.
(2)畫平面圖形的直觀圖,首先畫與坐標軸平行的線段(平行性不變),與坐標軸不平行的線段通過與坐標軸平行的線段確定它的兩個端點,然后連接成線段
1.畫一個銳角為45°的平行四邊形的直觀圖(尺寸自定).
解:①畫軸.如圖①,建立平面直角坐標系xOy,再建立坐標系x'O'y',其中∠x'O'y'=45°.
②描點.如圖②,在x'軸上截取O'A'=OA,O'B'=OB,在y軸上截取O'D'=OD,過點D'作D'C'∥x'軸,且D'C'=DC.
③連線.連接B'C',A'D'.
針對訓練
④成圖.如圖③,四邊形A'B'C'D'即為一個銳角為45°的平行四邊形ABCD的直觀圖.
題型(二)　畫空間幾何體的直觀圖
[例2]　畫出底面是正方形,側棱均相等的四棱錐的直觀圖.
解:畫法:①畫軸.畫Ox軸、Oy軸、Oz軸,∠xOy=45°(或135°),
∠xOz=90°,如圖.
②畫底面.以O為中心在xOy平面內,畫出正方形的直觀圖ABCD.
③畫頂點.在Oz軸上截取OP,使OP的長度等于原四棱錐的高.
④成圖.順次連接PA,PB,PC,PD,并擦去輔助線,將被遮住的部分改為虛線,得四棱錐的直觀圖.
|思|維|建|模|
畫空間圖形的直觀圖的原則
(1)首先在原幾何體上建立空間直角坐標系Oxyz,并且把它們畫成對應的x'軸與y'軸,兩軸交于點O',且使∠x'O'y'=45°(或135°),它們確定的平面表示水平面,再作z'軸與平面x'O'y'垂直.
(2)作空間圖形的直觀圖時平行于x軸、z軸的線段畫成平行于x'軸、z'軸的線段并且長度不變.
(3)平行于y軸的線段畫成平行于y'軸的線段,且線段長度畫成原來的一半.
2.用斜二測畫法畫出正五棱柱的直觀圖.
解:畫法:①畫軸.畫x'軸、y'軸和z'軸,使∠x'O'y'=45°(或135°),
∠x'O'z'=90°,如圖①所示.
②畫底面.按x'軸、y'軸畫正五邊形的直觀圖ABCDE.
③畫側棱.過點A,B,C,D,E分別作z'軸的平行線,并在這些平行線上分別截取AA',BB',CC',DD',EE'都相等.
針對訓練
④成圖.順次連接A',B',C',D',E',去掉輔助線,將被擋部分改為虛線,如圖②所示.
題型(三)　直觀圖的還原與計算問題
[例3]　(1)如圖,Rt△O'A'B'是一個平面圖形的直觀圖,若O'B'=,則這個平面圖形的面積是(　　)
A.1 B.
C.2 D.4
√
解析:由題圖知,△OAB為直角三角形.
∵O'B'=,∴A'B'=,O'A'=2.
∴在原△OAB中,OB=,OA=4,
∴S△OAB=××4=2.故選C.
(2)如圖,梯形A1B1C1D1是一平面圖形ABCD的直觀圖.若A1D1∥O'y',
A1B1∥C1D1,A1B1=C1D1=2,A1D1=O'D1=1.試畫出原四邊形,并求原圖形的面積.
解析:如圖,建立平面直角坐標系xOy,在x軸上截取OD=O'D1=1;
OC=O'C1=2.
在過點D與y軸平行的直線上截取DA=2D1A1=2.
在過點A與x軸平行的直線上截取AB=A1B1=2.
連接BC,便得到了原圖形(如圖).
由作法可知,原四邊形ABCD是直角梯形,上、下底長度分別為AB=2,CD=3,直角腰長度為AD=2.
所以面積為S=×2=5.
1.直觀圖的還原技巧
由直觀圖還原為平面圖的關鍵是找與x'軸、y'軸平行的直線或線段,且平行于x'軸的線段還原時長度不變,平行于y'軸的線段還原時放大為直觀圖中相應線段長的2倍,由此確定圖形的各個頂點,順次連接即可.
2.直觀圖與原圖面積之間的關系
若一個平面多邊形的面積為S,其直觀圖的面積為S',則有S'=S或S=2S'.利用這一公式可由原圖形面積求其直觀圖面積或由直觀圖面積求原圖形面積.
|思|維|建|模|
3.已知正三角形ABC的邊長為a,那么△ABC的平面直觀圖△A'B'C'的面積為 (　　)
A.a2 B.a2
C.a2 D.a2
√
針對訓練
解析:如圖①②所示的分別是實際圖形和直觀圖.由斜二測畫法可知,
A'B'=AB=a,O'C'=OC=a,在圖②中作C'D'⊥A'B'于點D',則C'D'=O'C'=a.所以S△A'B'C'=A'B'·C'D'=×a×a=a2.
課時跟蹤檢測
03
1
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
2
A級——達標評價
1.根據斜二測畫法的規則畫直觀圖時,把Ox,Oy,Oz軸畫成對應的O'x',O'y',O'z',則∠x'O'y'與∠x'O'z'的度數分別為(　　)
A.90°,90° B.45°,90°
C.135°,90° D.45°或135°,90°
解析:根據斜二測畫法的規則,∠x'O'y'的度數應為45°或135°,∠x'O'z'指的是畫立體圖形時的橫軸與縱軸的夾角,所以度數為90°.故選D.
√
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4
2.水平放置的△ABC,有一邊在水平線上,用斜二測畫法作出的直觀圖是正三角形A'B'C',則△ABC是 (　　)
A.銳角三角形 B.直角三角形
C.鈍角三角形 D.任意三角形
解析:將△A'B'C'還原,由斜二測畫法知,△ABC為鈍角三角形.
√
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3.如圖所示的是水平放置的三角形的直觀圖,D'是△A'B'C'中B'C'邊的中點,且A'D'平行于y'軸,那么A'B',A'D',A'C'三條線段對應原圖形中線段AB,AD,AC中 (　　)
A.最長的是AB,最短的是AC
B.最長的是AC,最短的是AB
C.最長的是AB,最短的是AD
D.最長的是AD,最短的是AC
√
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解析:因為A'D'∥y'軸,所以在△ABC中,AD⊥BC.又因為D'是B'C'的中點,所以D是BC的中點,所以AB=AC>AD.故選C.
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4.一個建筑物上部為四棱錐,下部為長方體,且四棱錐的底面與長方體的上底面尺寸一樣,已知長方體的長、寬、高分別為20 cm,5 cm,10 cm,四棱錐的高為8 cm,若按5∶1的比例畫出它的直觀圖,那么直觀圖中,長方體的長、寬、高和棱錐的高可分別為 (　　)
A.4 cm,1 cm,2 cm,1.6 cm B.4 cm,0.5 cm,2 cm,0.8 cm
C.4 cm,0.5 cm,2 cm,1.6 cm D.4 cm,0.5 cm,1 cm,0.8 cm
√
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解析:原圖形中平行于x軸、z軸的線段在直觀圖中分別平行于x'軸、z'軸,且長度不變;原圖形中平行于y軸的線段在直觀圖中平行于y'軸,且長度變為原來的一半.
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2
5.用斜二測畫法得到一個水平放置的平面圖形,其直觀圖是一個底角為45°,腰長為,上底長為1,下底長為3的等腰梯形,那么原平面圖形的最長邊長為(　　)
A.2 B.2
C.2 D.3
√
1
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解析:如圖(1)所示,直觀圖O'A'B'C'是一個底角為45°,腰長為,上底長為1,下底長為3的等腰梯形,把直觀圖還原成平面圖形OABC,則這個平面圖形OABC是直角梯形,根據斜二測畫法規則,可得OC=2,OA=3,BC=1,所以原平面圖形OABC的最長邊長為AB==2.
1
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8
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13
14
3
4
2
6.如圖,在直觀圖中,四邊形O'A'B'C'為菱形且邊長為2 cm,則在坐標系xOy中原四邊形OABC為　　　(填形狀),面積為　　 cm2.
解析:由題意,結合斜二測畫法可知,四邊形OABC為矩形,其中OA=2 cm,
OC=4 cm,所以四邊形OABC的面積S=2×4=8(cm2).
矩形
8
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
3
4
2
7.如圖所示,一個水平放置的正方形ABCD,它在直角坐標系xOy中,點B的坐標為(2, 2),則在用斜二測畫法畫出的正方形的直觀圖A'B'C'D'中,頂點B'到x'軸的距離為　　　.
解析:正方形的直觀圖A'B'C'D'如圖所示,因為O'A'=B'C'=1,
∠B'C'x'=45°,所以頂點B'到x'軸的距離為1×sin 45°=.
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8.有一個長為5 cm,寬為4 cm的矩形,則其直觀圖的面積為　 cm2.
解析:該矩形的面積為S=5×4=20(cm2),由平面圖形的面積與直觀圖的面積間的關系,可得直觀圖的面積為S'=S=5(cm2).
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9.(12分)已知一個正四棱臺的上底面邊長為2,下底面邊長為6,高為4,用斜二測畫法畫出此正四棱臺的直觀圖.
解:①畫軸.如圖①,畫x軸、y軸、z軸,三軸相交于點O,使∠xOy=45°,
∠xOz=90°.
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②畫下底面.以O為中點,在x軸上取線段EF,使得EF=6;在y軸上取線段GH,使得GH=3;再過G,H分別作AB∥EF,CD∥EF,且使得AB的中點為G,CD的中點為H;連接AD,BC,這樣就得到了正四棱臺的下底面ABCD的直觀圖.
③畫上底面.在z軸上截取線段OO1=4,過O1作O1x'∥Ox,O1y'∥Oy,使∠x'O1y'=45°,建立坐標系x'O1y'.在x'O1y'中仿照②的步驟畫出上底面A1B1C1D1的直觀圖.
④連接AA1,BB1,CC1,DD1,擦去輔助線,將被遮擋的部分改為虛線,得到的圖形就是所求的正四棱臺的直觀圖(如圖②).
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B級——重點培優
10.已知兩個圓錐,底面重合在一起,其中一個圓錐頂點到底面的距離為2 cm,另一個圓錐頂點到底面的距離為3 cm,則其直觀圖中這兩個頂點之間的距離為(　　)
A.2 cm B.3 cm C.2.5 cm D.5 cm
解析:圓錐頂點到底面的距離即圓錐的高,故兩頂點間距離為2+3=5(cm),在直觀圖中與z軸平行線段長度不變,仍為5 cm.故選D.
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11.(多選)用斜二測畫法畫水平放置的平面圖形的直觀圖時,下述結論正確的是 (　　)
A.梯形的直觀圖仍舊是梯形
B.若△ABC的直觀圖是邊長為2的等邊三角形,那么△ABC的面積為
C.△ABC的直觀圖如圖所示,A'B'在x'軸上,且A'B'=2,B'C'與x'軸垂直,且B'C'=,則△ABC的面積為4
D.菱形的直觀圖可以是正方形
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解析:由于斜二測畫法平行關系不變,故梯形的直觀圖仍舊是梯形,故A正確;直觀圖面積為×4=,根據直觀圖與原圖面積關系可得=S,解得S=2,故B錯誤;直觀圖中S△A'B'C'=×2×=,則△ABC的面積S==4,故C正確;由于平行于y軸的線段長度減半,故菱形的直觀圖一定是鄰邊不等的平行四邊形,故D錯誤.故選A、C.
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12.如圖所示,△A'O'B'表示水平放置的△AOB的直觀圖,點B'在x'軸上,A'O'與x'軸垂直,且A'O'=2,則△AOB的邊OB上的高為　　　　.
解析:設△AOB的邊OB上的高為h,由直觀圖中邊O'B'與原圖形中邊OB的長度相等,及S原圖=2S直觀圖,得OB×h=2××A'O'×O'B',則h=4.故△AOB的邊OB上的高為4.
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13.(15分)如圖所示,△A'B'C'是水平放置的平面圖形的斜二測直觀圖,將其還原成平面圖形.
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解:(1)畫出平面直角坐標系xOy,在x軸的正方向上取OA=
O'A',即CA=C'A';
(2)過B'作B'D'∥y'軸,交x'軸于點D',如圖①所示;
(3)在OA上取OD=O'D',過D作DB∥y軸,且使DB=2D'B',
連接AB,BC,得△ABC.
則△ABC即為△A'B'C'對應的平面圖形,如圖②所示.
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14.(15分)如圖所示,圖形是從斜二測畫法下的棱長為a的空心正方體ABCD A1B1C1D1的直觀圖中分離出來的.
(1)求直觀圖中△A1C1D1的面積;
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解:由題意可知,A1D1=,D1C1=a,∠A1D1C1=135°,
所以=A1D1·D1C1·sin∠A1D1C1=××a×=a2.
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(2)如果用圖示中這樣一個裝置來盛水,那么盛滿水后,水的形狀可以抽象出一個什么幾何體
解:水的形狀可以抽象出一個三棱錐,如圖所示.課時跟蹤檢測(二十四)　立體圖形的直觀圖
(滿分100分，A級選填小題每題5分，B級選填小題每題6分)
A級——達標評價
1．根據斜二測畫法的規則畫直觀圖時，把Ox，Oy，Oz軸畫成對應的O′x′，O′y′，O′z′，則∠x′O′y′與∠x′O′z′的度數分別為(　　)
A．90°，90° B．45°，90°
C．135°，90° D．45°或135°，90°
2．水平放置的△ABC，有一邊在水平線上，用斜二測畫法作出的直觀圖是正三角形A′B′C′，則△ABC是(　　)
A．銳角三角形 B．直角三角形
C．鈍角三角形 D．任意三角形
3.如圖所示的是水平放置的三角形的直觀圖，D′是△A′B′C′中B′C′邊的中點，且A′D′平行于y′軸，那么A′B′，A′D′，A′C′三條線段對應原圖形中線段AB，AD，AC中(　　)
A．最長的是AB，最短的是AC
B．最長的是AC，最短的是AB
C．最長的是AB，最短的是AD
D．最長的是AD，最短的是AC
4．一個建筑物上部為四棱錐，下部為長方體，且四棱錐的底面與長方體的上底面尺寸一樣，已知長方體的長、寬、高分別為20 cm,5 cm,10 cm，四棱錐的高為8 cm，若按5∶1的比例畫出它的直觀圖，那么直觀圖中，長方體的長、寬、高和棱錐的高可分別為(　　)
A．4 cm,1 cm,2 cm,1.6 cm
B．4 cm,0.5 cm,2 cm,0.8 cm
C．4 cm,0.5 cm,2 cm,1.6 cm
D．4 cm,0.5 cm,1 cm,0.8 cm
5．用斜二測畫法得到一個水平放置的平面圖形，其直觀圖是一個底角為45°，腰長為，上底長為1，下底長為3的等腰梯形，那么原平面圖形的最長邊長為(　　)
A．2 B．2
C．2 D．3
6.如圖，在直觀圖中，四邊形O′A′B′C′為菱形且邊長為2 cm，則在坐標系xOy中原四邊形OABC為________(填形狀)，面積為________ cm2.
7.如圖所示，一個水平放置的正方形ABCD，它在直角坐標系xOy中，點B的坐標為(2, 2)，則在用斜二測畫法畫出的正方形的直觀圖A′B′C′D′中，頂點B′到x′軸的距離為________.
8．有一個長為5 cm，寬為4 cm的矩形，則其直觀圖的面積為________ cm2.
9．(12分)已知一個正四棱臺的上底面邊長為2，下底面邊長為6，高為4，用斜二測畫法畫出此正四棱臺的直觀圖.
B級——重點培優
10．已知兩個圓錐，底面重合在一起，其中一個圓錐頂點到底面的距離為2 cm，另一個圓錐頂點到底面的距離為3 cm，則其直觀圖中這兩個頂點之間的距離為(　　)
A．2 cm B．3 cm
C．2.5 cm D．5 cm
11．(多選)用斜二測畫法畫水平放置的平面圖形的直觀圖時，下述結論正確的是(　　)
A．梯形的直觀圖仍舊是梯形
B．若△ABC的直觀圖是邊長為2的等邊三角形，那么△ABC的面積為
C．△ABC的直觀圖如圖所示，A′B′在x′軸上，且A′B′＝2，B′C′與x′軸垂直，且B′C′＝，則△ABC的面積為4
D．菱形的直觀圖可以是正方形
12.如圖所示，△A′O′B′表示水平放置的△AOB的直觀圖，點B′在x′軸上，A′O′與x′軸垂直，且A′O′＝2，則△AOB的邊OB上的高為________.
13.(15分)如圖所示，△A′B′C′是水平放置的平面圖形的斜二測直觀圖，將其還原成平面圖形．
14.
(15分)如圖所示，圖形是從斜二測畫法下的棱長為a的空心正方體ABCD－A1B1C1D1的直觀圖中分離出來的.
(1)求直觀圖中△A1C1D1的面積；
(2)如果用圖示中這樣一個裝置來盛水，那么盛滿水后，水的形狀可以抽象出一個什么幾何體？
課時跟蹤檢測(二十四)
1．選D　根據斜二測畫法的規則，∠x′O′y′的度數應為45°或135°，∠x′O′z′指的是畫立體圖形時的橫軸與縱軸的夾角，所以度數為90°.故選D.
2．選C　將△A′B′C′還原，由斜二測畫法知，△ABC為鈍角三角形．
3．選C　因為A′D′∥y′軸，所以在△ABC中，AD⊥BC.又因為D′是B′C′的中點，所以D是BC的中點，所以AB＝AC>AD.故選C.
4．選C　原圖形中平行于x軸、z軸的線段在直觀圖中分別平行于x′軸、z′軸，且長度不變；原圖形中平行于y軸的線段在直觀圖中平行于y′軸，且長度變為原來的一半．
5．選B　如圖(1)所示，直觀圖O′A′B′C′是一個底角為45°，腰長為，上底長為1，下底長為3的等腰梯形，把直觀圖還原成平面圖形OABC，則這個平面圖形OABC是直角梯形，根據斜二測畫法規則，可得OC＝2，OA＝3，BC＝1，所以原平面圖形OABC的最長邊長為AB＝＝2.
6．解析：由題意，結合斜二測畫法可知，四邊形OABC為矩形，其中OA＝2 cm，OC＝4 cm，所以四邊形OABC的面積S＝2×4＝8(cm2)．
答案：矩形　8
7．解析：正方形的直觀圖A′B′C′D′如圖所示，因為O′A′＝B′C′＝1，∠B′C′x′＝45°，所以頂點B′到x′軸的距離為1×sin 45°＝.
答案：
8．解析：該矩形的面積為S＝5×4＝20(cm2)，由平面圖形的面積與直觀圖的面積間的關系，可得直觀圖的面積為S′＝S＝5(cm2)．
答案：5
9．解：①畫軸．如圖①，畫x軸、y軸、z軸，三軸相交于點O，使∠xOy＝45°，∠xOz＝90°.
②畫下底面．以O為中點，在x軸上取線段EF，使得EF＝6；在y軸上取線段GH，使得GH＝3；再過G，H分別作AB∥EF，CD∥EF，且使得AB的中點為G，CD的中點為H；連接AD，BC，這樣就得到了正四棱臺的下底面ABCD的直觀圖．
③畫上底面．在z軸上截取線段OO1＝4，過O1作O1x′∥Ox，O1y′∥Oy，使∠x′O1y′＝45°，建立坐標系x′O1y′.在x′O1y′中仿照②的步驟畫出上底面A1B1C1D1的直觀圖．
④連接AA1，BB1，CC1，DD1，擦去輔助線，將被遮擋的部分改為虛線，得到的圖形就是所求的正四棱臺的直觀圖(如圖②)．
10．選D　圓錐頂點到底面的距離即圓錐的高，故兩頂點間距離為2＋3＝5(cm)，在直觀圖中與z軸平行線段長度不變，仍為5 cm.故選D.
11．選AC　由于斜二測畫法平行關系不變，故梯形的直觀圖仍舊是梯形，故A正確；直觀圖面積為×4＝，根據直觀圖與原圖面積關系可得＝S，解得S＝2，故B錯誤；直觀圖中S△A′B′C′＝×2×＝，則△ABC的面積S＝＝4，故C正確；由于平行于y軸的線段長度減半，故菱形的直觀圖一定是鄰邊不等的平行四邊形，故D錯誤．故選A、C.
12．解析：設△AOB的邊OB上的高為h，由直觀圖中邊O′B′與原圖形中邊OB的長度相等，及S原圖＝2S直觀圖，得OB×h＝2××A′O′×O′B′，則h＝4.故△AOB的邊OB上的高為4.
答案：4
13．解：(1)畫出平面直角坐標系xOy，在x軸的正方向上取OA＝O′A′，即CA＝C′A′；
(2)過B′作B′D′∥y′軸，交x′軸于點D′，如圖①所示；
(3)在OA上取OD＝O′D′，過D作DB∥y軸，且使DB＝2D′B′，連接AB，BC，得△ABC.
則△ABC即為△A′B′C′對應的平面圖形，如圖②所示．
　　　　
14．解：(1)由題意可知，A1D1＝，D1C1＝a，∠A1D1C1＝135°，所以S△A1C1D1＝A1D1·
D1C1·sin∠A1D1C1＝××a×＝a2.
(2)水的形狀可以抽象出一個三棱錐，如圖所示．

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