資源簡介

8．3.1 棱柱、棱錐、棱臺的表面積和體積
—— (教學方式：深化學習課—梯度進階式教學)
[課時目標]
1．知道棱柱、棱錐、棱臺、球的表面積與體積的計算公式，并能利用計算公式解決實際問題．
2．掌握幾何體的側面展開圖，理解側面展開圖與幾何體的表面積之間的關系．
1．棱柱、棱錐、棱臺的表面積
多面體的表面積就是圍成多面體________的面積的和．棱柱、棱錐、棱臺的表面積就是圍成它們的各個面的面積的和．
|微|點|助|解|　
棱柱、棱錐、棱臺的側面積與表面積
(1)將棱柱、棱錐、棱臺的側面展開分別是若干個平行四邊形、若干個三角形、若干個梯形組成的平面圖形，側面展開圖的面積就是棱柱、棱錐、棱臺的側面積．
(2)棱柱、棱錐、棱臺的表面積等于它們的側面積與各自的底面積的和．
2．棱柱、棱錐、棱臺的體積
幾何體 體積 說明
棱柱 V棱柱＝Sh S為棱柱的________，h為棱柱的______
棱錐 V棱錐＝Sh S為棱錐的________，h為棱錐的______
棱臺 V棱臺＝h(S′＋＋S) S′，S分別為棱臺的____________，h為棱臺的____
|微|點|助|解|　
對于棱柱、棱錐、棱臺的體積公式的幾點認識
(1)等底、等高的兩個棱柱的體積相同．
(2)等底、等高的棱柱的體積是棱錐的體積的3倍．
(3)棱柱、棱錐、棱臺的體積公式之間的關系．
V棱柱＝ShV棱臺＝h(S′＋＋S)V棱錐＝Sh.
(4)求棱臺的體積可轉化為求棱錐的體積．根據棱臺的定義進行“補形”，還原為棱錐，采用“大棱錐”減去“小棱錐”的方法求棱臺的體積．
1．正方體的表面積為96，則正方體的體積為(　　)
A．48 B．64
C．16 D．96
2．已知一個三棱錐的每一個面都是邊長為1的正三角形，則此三棱錐的表面積為(　　)
A．4 B.
C．2 D.
3．棱臺的上、下底面面積分別是2,4，高為3，則棱臺的體積等于________．
題型(一)　棱柱、棱錐、棱臺的側面積和表面積
[例1]　(1)已知直四棱柱的高為2，其底面四邊形ABCD水平放置時的斜二測直觀圖為矩形A′B′C′D′，如圖所示．若A′O′＝O′B′＝B′C′＝1，則該直四棱柱的表面積為(　　)
A．20＋4 B．8＋2(＋)
C．20＋8 D．8＋4(＋)
(2)如圖，在正四棱臺ABCD－A1B1C1D1中，AB＝3A1B1＝3，AA1＝，則正四棱臺ABCD－A1B1C1D1的表面積為(　　)
A．28 B．26
C．24 D．16
聽課記錄：
|思|維|建|模|
1．求表面積的基本解題步驟
(1)確定幾何體．分析題中所給幾何體的結構特點，確定幾何體模型．
(2)計算表面積．根據幾何體模型的表面積計算公式，求出相關的表面積．
(3)得出結論．將計算的表面積與題設要求對應即得問題答案．
2．求正棱臺表面積的注意點
求解正棱臺的表面積時注意棱臺的底面邊長、高、斜高、側棱，并注意兩個直角梯形的應用：
(1)高、側棱、上、下底面多邊形的中心與頂點連線所成的直角梯形．
(2)高、斜高、上、下底面邊心距所成的直角梯形．　　
[針對訓練]
1．已知正方體的8個頂點中，有4個為側面是等邊三角形的三棱錐的頂點，則這個三棱錐與正方體的表面積之比為(　　)
A．1∶　 B．1∶　
C．2∶　 D．3∶
2．用油漆涂一個正四棱錐形鐵皮做的冷水塔塔頂(鐵皮的正反面都要涂漆)，其高是1 m，底面的邊長是1.5 m，已知每平方米需用油漆150 g，共需用油漆______kg.(精確到0.1 kg)
題型(二)　棱柱、棱錐、棱臺的體積
[例2]　(1)(多選)已知一個正三棱柱的側面展開圖是一個長為9 cm，寬為6 cm的矩形，則此正三棱柱的體積可以為(　　)
A. cm3 B. cm3
C．6 cm3 D．9 cm3
(2)如圖，四棱臺ABCD－A1B1C1D1的側棱長均相等，四邊形ABCD和四邊形A1B1C1D1都是正方形，A1B1＝2，AB＝4，AA1＝3，則該四棱臺的體積為__________．
聽課記錄：
|思|維|建|模|　求幾何體體積的常用方法
公式法 直接代入公式求解
等積法 例如四面體的任何一個面都可以作為底面，只需選用底面積和高都易求的形式即可
補體法 將幾何體補成易求解的幾何體，如棱錐補成棱柱，三棱柱補成四棱柱等
分割法 將幾何體分割成易求解的幾部分，分別求體積
[針對訓練]
3．一個正四棱錐的側面是正三角形，斜高為，那么這個四棱錐的體積為(　　)
A. B.
C. D.
4.在長方體ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，過A1，C1，B三點的平面截去長方體的一個角后，得到如圖所示的幾何體ABCD－A1C1D1，且這個幾何體的體積為10，則AA1＝________.
題型(三)　簡單組合體的表面積和體積
[例3]　某工廠需要制作一個如圖所示的模型，該模型為長方體ABCD－A′B′C′D′挖去一個四棱錐O－EFGH后所得的幾何體，其中O為長方體ABCD－A′B′C′D′的中心，E，F，G，H分別為所在棱的中點，AB＝BC＝8，AA′＝6，那么該模型的表面積為____________．
聽課記錄：
|思|維|建|模|
求組合體的表面積和體積，首先應弄清它的組成，其表面有哪些底面和側面，各個面應該怎樣求，然后再根據公式求出各面的面積，最后再相加或相減．求體積時也要先弄清組成，求出各簡單幾何體的體積，然后再相加或相減．　　
[針對訓練]
5.貫耳瓶流行于宋代，清代亦有仿制，如圖所示的青花折枝花卉紋六方貫耳瓶是清乾隆時期的文物，現收藏于首都博物館，若忽略瓶嘴與貫耳，把該瓶瓶體看作3個幾何體的組合體，上面的幾何體Ⅰ是直棱柱，中間的幾何體Ⅱ是棱臺，下面的幾何體Ⅲ也是棱臺，幾何體Ⅲ的下底面與幾何體Ⅰ的底面是全等的六邊形，幾何體Ⅲ的上底面面積是下底面面積的9倍，若幾何體Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的高之比為3∶3∶5，則幾何體Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的體積之比為(　　)
A．3∶9∶25　　　　　 B．9∶21∶35
C．3∶39∶65 D．9∶39∶65
8．3.1　棱柱、棱錐、棱臺的
表面積和體積
?課前預知教材
1．各個面　2.底面積　高　底面積　高　
上、下底面面積　高
[基礎落實訓練]
1．選B　設正方體的棱長為a，則6a2＝96，∴a＝4.∴其體積V＝a3＝43＝64.故選B.
2．選D　三棱錐的每個面(正三角形)的面積都為，所以此三棱錐的表面積為4×＝.故選D.
3．解析：V臺體＝(2＋4＋)×3＝×3×(6＋2)＝6＋2.
答案：6＋2
?課堂題點研究
　[題型(一)]
[例1]　解析：(1)由直觀圖可得底面四邊形ABCD的平面圖形如圖所示，由A′O′＝O′B′＝B′C′＝1，
得AO＝OB＝1，
C′O′＝＝，所以OC＝2 ，
則S四邊形ABCD＝2×2 ＝4 ，
BC＝＝3，所以直棱柱的底面周長C四邊形ABCD＝2×(2＋3)＝10.又直棱柱的高h＝2，所以棱柱的側面積S側面積＝C四邊形ABCD·h＝20，所以棱柱的表面積S表面積＝S側面積＋2S四邊形ABCD＝20＋8.
(2)
在正四棱臺ABCD A1B1C1D1的側面ABB1A1中，過點A1作A1E⊥AB，垂足為E，則A1E＝
＝ ＝2，
所以側面ABB1A1的面積S＝(AB＋A1B1)·A1E＝×(3＋1)×2＝4，所以正四棱臺ABCD A1B1C1D1的表面積S＝4×4＋12＋32＝26.
答案：(1)C　(2)B
[針對訓練]
1.選B　如圖，棱錐B′ ACD′為適合條件的棱錐，四個面為全等的等邊三角形，設正方體的棱長為1，則B′C＝，
S△B′AC＝，三棱錐的表面積S錐＝4×＝2 .又正方體的表面積S正＝6.因此S錐∶S正＝1∶.
2．解析：如圖，正四棱錐S ABCD表示冷水塔塔頂，O表示底面中心，SO是高，SE是斜高，則SO＝1 m，底面的邊長是1.5 m，在Rt△SOE中，由勾股定理得，SE＝＝1.25(m)，所以S正四棱錐側面＝×1.5×1.25×4＝3.75(m2)．因為鐵皮的正反面都要涂漆，所以共需用油漆3.75×2×150＝1 125(g)，由精確到0.1 kg，實際問題向上取整，可得共需用油漆1.2 kg.
答案：1.2
　[題型(二)]
[例2]　解析：(1)因為正三棱柱的側面展開圖是一個長為9 cm，寬為6 cm的矩形，所以正三棱柱的底面邊長可為3 cm，高為6 cm，則此正三棱柱的體積為V＝×3×3×sin 60°×6＝ cm3；正三棱柱的底面邊長也可為2 cm，高為9 cm，則此正三棱柱的體積為V＝×2×2×sin 60°×9＝9 cm3.
(2)在四棱臺ABCD A1B1C1D1中，Q，R分別是上、下底面對角線的交點，即上、下底面的中心，則RQ為四棱臺的高，過點D1作D1P∥RQ與BD交于點P，則RQ＝PD1，四邊形ABCD和四邊形A1B1C1D1都是正方形，且A1B1＝2，AB＝4，AA1＝3，所以BD＝＝4，B1D1＝＝2，所以PD＝－＝2－＝，DD1＝AA1＝3，所以PD1＝＝4，即四棱臺的高h＝4.又下底面面積S＝2×2＝4，上底面面積S′＝4×4＝16，所以該四棱臺的體積為 V＝(S＋＋S′)h＝×(4＋＋16)×4＝.
答案：(1)BD　(2)
[針對訓練]
3．選B　由題意設正四棱錐的棱長為a，則其斜高為 ＝＝，因此a＝2，所以正四棱錐的高為 ＝.所以這個四棱錐的體積為××22＝.故選B.
4．解析：由題意知VABCD A1C1D1＝VABCD A1B1C1D1－VB A1B1C1＝2×2·AA1－××2×2·AA1＝AA1＝10，∴AA1＝3.
答案：3
　[題型(三)]
[例3]　解析：由題意可得OE＝OF＝OG＝OH＝＝5，HG＝FG＝EF＝EH＝＝4，所以S△OHG＝S△OFG＝S△OEF＝S△OEH＝×4×＝2，故該模型的表面積S＝8×8＋8×6×4＋×4×4×4＋4×2＝288＋8.
答案：288＋8
[針對訓練]
5.選D　設上面的六棱柱的底面面積為S，高為3m，由上到下的三個幾何體體積分別記為V1，V2，V3，則V1＝3mS，V2＝(S＋9S＋)×3m＝13mS，V3＝(S＋9S＋)×5m＝mS，所以V1∶V2∶V3＝3mS∶13mS∶mS＝9∶39∶65.故選D.(共62張PPT)
8.3.1
棱柱、棱錐、棱臺的表面積和體積
(教學方式:深化學習課—梯度進階式教學)
課時目標
1.知道棱柱、棱錐、棱臺、球的表面積與體積的計算公式,并能利用計算公式解決實際問題.
2.掌握幾何體的側面展開圖,理解側面展開圖與幾何體的表面積之間的關系.
CONTENTS
目錄
1
2
3
課前預知教材·自主落實基礎
課堂題點研究·遷移應用融通
課時跟蹤檢測
課前預知教材·自主落實基礎
01
1.棱柱、棱錐、棱臺的表面積
多面體的表面積就是圍成多面體_______的面積的和.棱柱、棱錐、棱臺的表面積就是圍成它們的各個面的面積的和.
各個面
|微|點|助|解|
棱柱、棱錐、棱臺的側面積與表面積
(1)將棱柱、棱錐、棱臺的側面展開分別是若干個平行四邊形、若干個三角形、若干個梯形組成的平面圖形,側面展開圖的面積就是棱柱、棱錐、棱臺的側面積.
(2)棱柱、棱錐、棱臺的表面積等于它們的側面積與各自的底面積的和.
2.棱柱、棱錐、棱臺的體積
幾何體 體積 說明
棱柱 V棱柱=Sh S為棱柱的_______,h為棱柱的___
棱錐 V棱錐=Sh S為棱錐的_______,h為棱錐的____
棱臺 V棱臺=h(S'++S) S',S分別為棱臺的_______________,h為棱臺的___
底面積
高
底面積
高
上、下底面面積
高
對于棱柱、棱錐、棱臺的體積公式的幾點認識
(1)等底、等高的兩個棱柱的體積相同.
(2)等底、等高的棱柱的體積是棱錐的體積的3倍.
(3)棱柱、棱錐、棱臺的體積公式之間的關系.
|微|點|助|解|
V棱柱=Sh V棱臺=h(S'++S) V棱錐=Sh.
(4)求棱臺的體積可轉化為求棱錐的體積.根據棱臺的定義進行“補形”,還原為棱錐,采用“大棱錐”減去“小棱錐”的方法求棱臺的體積.
基礎落實訓練
1.正方體的表面積為96,則正方體的體積為 (　　)
A.48 B.64
C.16 D.96
解析:設正方體的棱長為a,則6a2=96,∴a=4.∴其體積V=a3=43=64.故選B.
√
2.已知一個三棱錐的每一個面都是邊長為1的正三角形,則此三棱錐的表面積為 (　　)
A.4 B.
C.2 D.
解析:三棱錐的每個面(正三角形)的面積都為,所以此三棱錐的表面積為4×=.故選D.
√
3.棱臺的上、下底面面積分別是2,4,高為3,則棱臺的體積等于　　　 .
解析:V臺體=(2+4+)×3=×3×(6+2)=6+2.
6+2
課堂題點研究·遷移應用融通
02
題型(一)　棱柱、棱錐、棱臺的側面積和表面積
[例1]　(1)已知直四棱柱的高為2,其底面四邊形ABCD水平放置時的斜二測直觀圖為矩形A'B'C'D',如圖所示.若A'O'=O'B'=B'C'=1,則該直四棱柱的表面積為(　　)
A.20+4 B.8+2(+)
C.20+8 D.8+4(+)
√
解析:由直觀圖可得底面四邊形ABCD的平面圖形如圖所示,
由A'O'=O'B'=B'C'=1, 得AO=OB=1,
C'O'==,
所以OC=2,則S四邊形ABCD=2×2=4,BC==3,所以直棱柱的底面周長C四邊形ABCD=2×(2+3)=10.
又直棱柱的高h=2,所以棱柱的側面積S側面積=C四邊形ABCD·h=20,所以棱柱的表面積S表面積=S側面積+2S四邊形ABCD=20+8.
(2)如圖,在正四棱臺ABCD A1B1C1D1中,AB=3A1B1=3,AA1=,則正四棱臺ABCD A1B1C1D1的表面積為(　　)
A.28 B.26
C.24 D.16
√
解析:在正四棱臺ABCD A1B1C1D1的側面ABB1A1中,過點A1作A1E⊥AB,垂足為E,則A1E===2,
所以側面ABB1A1的面積S側面ABB1A1=(AB+A1B1)·A1E=×(3+1)×2=4,所以正四棱臺ABCD A1B1C1D1的表面積S=4×4+12+32=26.
|思|維|建|模|
1.求表面積的基本解題步驟
(1)確定幾何體.分析題中所給幾何體的結構特點,確定幾何體模型.
(2)計算表面積.根據幾何體模型的表面積計算公式,求出相關的表面積.
(3)得出結論.將計算的表面積與題設要求對應即得問題答案.
2.求正棱臺表面積的注意點
求解正棱臺的表面積時注意棱臺的底面邊長、高、斜高、側棱,并注意兩個直角梯形的應用:
(1)高、側棱、上、下底面多邊形的中心與頂點連線所成的直角梯形.
(2)高、斜高、上、下底面邊心距所成的直角梯形.
1.已知正方體的8個頂點中,有4個為側面是等邊三角形的三棱錐的頂點,則這個三棱錐與正方體的表面積之比為 (　　)
A.1∶ B.1∶
C.2∶ D.3∶
√
針對訓練
解析:如圖,棱錐B' ACD'為適合條件的棱錐,四個面為全等的等邊三角形,設正方體的棱長為1,則B'C=,S△B'AC=,
三棱錐的表面積S錐=4×=2 .
又正方體的表面積S正=6.
因此S錐∶S正=1∶.
2.用油漆涂一個正四棱錐形鐵皮做的冷水塔塔頂(鐵皮的正反面都要涂漆),其高是1 m,底面的邊長是1.5 m,已知每平方米需用油漆150 g,共需用油漆　　　kg.(精確到0.1 kg)
解析:如圖,正四棱錐S ABCD表示冷水塔塔頂,O表示底面中心,SO是高,SE是斜高,則SO=1 m,底面的邊長是1.5 m,在Rt△SOE中,
1.2
由勾股定理得,SE==1.25(m),所以S正四棱錐側面=×1.5×
1.25×4=3.75(m2).因為鐵皮的正反面都要涂漆,所以共需用油漆3.75×2×150=1 125(g),由精確到0.1 kg,實際問題向上取整,可得共需用油漆1.2 kg.
題型(二)　棱柱、棱錐、棱臺的體積
[例2]　(1)(多選)已知一個正三棱柱的側面展開圖是一個長為9 cm,寬為6 cm的矩形,則此正三棱柱的體積可以為(　　)
A. cm3 B. cm3
C.6 cm3 D.9 cm3
√
√
解析:因為正三棱柱的側面展開圖是一個長為9 cm,寬為6 cm的矩形,所以正三棱柱的底面邊長可為3 cm,高為6 cm,則此正三棱柱的體積為V=×3×3×sin 60°×6= cm3;正三棱柱的底面邊長也可為2 cm,高為9 cm,則此正三棱柱的體積為V=×2×2×sin 60°×9=9 cm3.
(2)如圖,四棱臺ABCD A1B1C1D1的側棱長均相等,四邊形ABCD和四邊形A1B1C1D1都是正方形,A1B1=2,AB=4,AA1=3,則該四棱臺的體積為　　　.
解析:在四棱臺ABCD A1B1C1D1中,Q,R分別是上、下底面對角線的交點,即上、下底面的中心,則RQ為四棱臺的高,過點D1作D1P∥RQ與BD交于點P,則RQ=PD1,四邊形ABCD和四邊形A1B1C1D1都是正方形,且A1B1=2,AB=4,AA1=3,所以BD==4,B1D1==2,
所以PD=-=2-=,DD1=AA1=3,所以PD1==4,
即四棱臺的高h=4.又下底面面積S=2×2=4,上底面面積S'=4×4=16,所以該四棱臺的體積為 V=(S++S')h=×(4++16)×4=.
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求幾何體體積的常用方法
公式法 直接代入公式求解
等積法 例如四面體的任何一個面都可以作為底面,只需選用底面積和高都易求的形式即可
補體法 將幾何體補成易求解的幾何體,如棱錐補成棱柱,三棱柱補成四棱柱等
分割法 將幾何體分割成易求解的幾部分,分別求體積
3.一個正四棱錐的側面是正三角形,斜高為,那么這個四棱錐的體積為(　　)
A. B.
C. D.
√
針對訓練
解析:由題意設正四棱錐的棱長為a,則其斜高為==,因此a=2,所以正四棱錐的高為=.所以這個四棱錐的體積為××22=.故選B.
4.在長方體ABCD A1B1C1D1中,AB=BC=2,過A1,C1,B三點的平面截去長方體的一個角后,得到如圖所示的幾何體ABCD A1C1D1,且這個幾何體的體積為10,則AA1=　　.
解析:由題意知=-
=2×2·AA1-××2×2·AA1=AA1=10,∴AA1=3.
3
題型(三)　簡單組合體的表面積和體積
[例3]　某工廠需要制作一個如圖所示的模型,該模型為長方體ABCD A'B'C'D'挖去一個四棱錐O EFGH后所得的幾何體,其中O為長方體ABCD A'B'C'D'的中心,E,F,G,H分別為所在棱的中點,AB=BC=8,
AA'=6,那么該模型的表面積為　　　　 .
288+8
解析:由題意可得OE=OF=OG=OH==5,
HG=FG=EF=EH==4,
所以S△OHG=S△OFG=S△OEF=S△OEH=×4×=2,故該模型的表面積S=8×8+8×6×4+×4×4×4+4×2=288+8.
求組合體的表面積和體積,首先應弄清它的組成,其表面有哪些底面和側面,各個面應該怎樣求,然后再根據公式求出各面的面積,最后再相加或相減.求體積時也要先弄清組成,求出各簡單幾何體的體積,然后再相加或相減.
|思|維|建|模|
5.貫耳瓶流行于宋代,清代亦有仿制,如圖所示的青花折枝花
卉紋六方貫耳瓶是清乾隆時期的文物,現收藏于首都博物館,
若忽略瓶嘴與貫耳,把該瓶瓶體看作3個幾何體的組合體,上
面的幾何體Ⅰ是直棱柱,中間的幾何體Ⅱ是棱臺,下面的幾何
體Ⅲ也是棱臺,幾何體Ⅲ的下底面與幾何體Ⅰ的底面是全等的六邊形,幾何體Ⅲ的上底面面積是下底面面積的9倍,若幾何體Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ的高之比為3∶3∶5,則幾何體Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ的體積之比為 (　　)
針對訓練
A.3∶9∶25　 B.9∶21∶35
C.3∶39∶65 D.9∶39∶65
解析:設上面的六棱柱的底面面積為S,高為3m,由上到下的三個幾何體體積分別記為V1,V2,V3,則V1=3mS,V2=(S+9S+)
×3m=13mS,V3=(S+9S+)×5m=mS,所以V1∶V2∶V3=3mS∶13mS∶mS=9∶39∶65.故選D.
√
課時跟蹤檢測
03
1
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4
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6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
2
A級——達標評價
1.若六棱柱的底面是邊長為3的正六邊形,側面為矩形,側棱長為4,則其側面積等于(　　)
A.12 B.48
C.64 D.72
解析:該六棱柱的6個側面是全等的矩形,則S側=6×(3×4)=72.故選D.
√
1
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2
3
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2.棱臺的上、下底面面積分別為2,4,高為3,則棱臺的體積為 (　　)
A.6+2 B.6+6
C.12+2 D.12+6
解析:棱臺的上、下底面面積分別為S1,S2,則S1=2,S2=4,所以V=(S1++S2)h=×(2++4)×3=6+2.故選A.
√
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2
3.設正四棱柱的一條體對角線長為3,它的四個側面與兩個底面的面積之和是16,則它的體積是 (　　)
A.4 B.8 C. D.4或
解析:設正四棱柱的底面邊長為a,高為h,則2a2+h2=9　①,2a2+4ah=16,即a2+2ah=8　②,①-②得,(a-h)2=1,即a-h=1或a-h=-1.當a-h=1,即a=h+1時,解得a=2,h=1,體積V=a2h=4;當a-h=-1,即a=h-1時,解得a=,h=,體積V=a2h=.
√
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3
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4.(多選)已知正三棱錐底面邊長為3,側棱長為2,則下列敘述正確的是(　　)
A.正三棱錐的高為3 B.正三棱錐的斜高為
C.正三棱錐的體積為 D.正三棱錐的側面積為
√
√
√
1
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解析:如圖所示,設E為等邊△ADC的中心,F為CD的中點,
連接PF,EF,PE,則PE為正三棱錐的高,PF為斜高.
又PF==,EF=×3×=,故PE==3,
故A、B正確;正三棱錐的體積為×3××3×3=,側面積為3××3×=,故C錯誤,D正確.
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5.我國有著豐富悠久的“印章文化”,古時候的印章一般用貴重的金屬或玉石制成,是過去官員或私人簽署文件時代表身份的信物.圖1是明清時期的一個金屬印章擺件,除去頂部的環以后可以看作是一個正四棱柱和一個正四棱錐組成的幾何體,如圖2,已知正四棱柱和正四棱錐的高相等,且正四棱錐的底面邊長為4,側棱長為2,則該幾何體的體積是(　　)
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A.32 B.
C. D.64
解析:因為正四棱錐的底面邊長為4,所以底面的對角線長為4,設正四棱柱和正四棱錐的高為h,因為正四棱錐的側棱長為2,所以h2+(2)2
=(2)2,解得h=2,故該幾何體的體積為4×4×2+×4×4×2=.故選C.
√
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6.一個長方體的三個面的面積分別為,,,則這個長方體的體積為　　　　.
解析:設長方體的長、寬、高分別為x,y,z,則xy=,yz=,xz=,
∴(xyz)2=6.∴V=xyz=.
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7.正三棱柱ABC A1B1C1的底面邊長為2,側棱長為,D為BC的中點,則三棱錐A B1DC1的體積為　　.
解析:∵正三棱柱ABC A1B1C1的底面邊長為2,側棱長為,D為BC的中點,∴S△B1DC1=×2×=,三棱錐A B1DC1的高就是底面正三角形的高,故三棱錐A B1DC1的體積為××=1.
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8.如圖,一個棱長為4的正方體被挖去一個高為4的正四棱柱后得到圖中的幾何體,若該幾何體的體積為60,則該幾何體的表面積為　　　.
解析:設正四棱柱的底面邊長為m,則4(42-m2)=60,解得m=1,則該幾何體的表面積為42×4+(42-12)×2+4×1×4=110.
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9.(10分)現有一個底面是菱形的直四棱柱,它的體對角線長為9和15,高是5,求該直四棱柱的側面積、表面積.
解:如圖,設底面對角線AC=a,BD=b,交點為O,
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體對角線A1C=15,B1D=9,∴a2+52=152,b2+52=92,∴a2=200,b2=56.∵該直四棱柱的底面是菱形,∴AB2=+===64,∴AB=8.
∴直四棱柱的側面積S側=4×8×5=160,底面積S底=AC·BD=20,表面積S表=160+2×20=160+40.故該直四棱柱的側面積為160,表面積為160+40.
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10.(10分)如圖,正六棱錐被過棱錐高PO的中點O'且平
行于底面的平面所截,得到正六棱臺OO'和較小的棱
錐PO'.
(1)求大棱錐、小棱錐、棱臺的側面積之比;
解:由題意知S小棱錐側∶S大棱錐側=1∶4,
所以S大棱錐側∶S小棱錐側∶S棱臺側=4∶1∶3.
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(2)若大棱錐PO的側棱長為12 cm,小棱錐的底面邊長為4 cm,求截得的棱臺的側面積和表面積.
解:如圖所示,∵小棱錐的底面邊長為4 cm,∴大棱錐
的底面邊長為8 cm.又PA=12 cm,∴A1A=6 cm.又梯
形ABB1A1的高h'==4(cm),
∴S棱臺側=6××4=144(cm2),S棱臺表=S棱臺側+S上底+S下底=144+24+96=(144+120)cm2.
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B級——重點培優
11.南水北調工程緩解了北方一些地區水資源短缺問題,其中一部分水蓄入某水庫.已知該水庫水位為海拔148.5 m時,相應水面的面積為140.0 km2;水位為海拔157.5 m時,相應水面的面積為180.0 km2.將該水庫在這兩個水位間的形狀看作一個棱臺,則該水庫水位從海拔148.5 m上升到157.5 m時,增加的水量約為(≈2.65)(　　)
A.1.0×109 m3 B.1.2×109 m3
C.1.4×109 m3 D.1.6×109 m3
√
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解析:如圖,由已知得該棱臺的高為157.5-148.5=9(m),所以該棱臺的體積
V=×9×(140++180)×106=60×(16+3)×106≈60×(16+3×2.65)×106=1.437×109≈1.4×109(m3).故選C.
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12.(2024·天津高考)一個五面體ABC DEF.已知AD∥BE∥CF,且兩兩之間距離為1,AD=1,BE=2,CF=3,則該五面體的體積為 (　　)
A. B.+
C. D.-
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解析:因為AD,BE,CF兩兩平行,且兩兩之間距離為1,則該五面體可以分成一個側棱長為1的三棱柱和一個底面為梯形的四棱錐,其中三棱柱的體積等于棱長均為1的直三棱柱的體積,四棱錐的高為,底面是上底為1、下底為2、高為1的梯形,故該五面體的體積V=×1××1+××
=,故選C.
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13.在邊長為1的正方體ABCD A1B1C1D1中,取其四個頂點作為一個三棱錐的頂點,使該三棱錐的體積為,則該三棱錐的名稱可以是________
_____________________.
三棱錐
C1 A1BD(答案不唯一)
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解析:∵正方體ABCD A1B1C1D1的棱長為1,
∴正方體的體積為1×1×1=1,
又====
××1×1×1=,
∴三棱錐C1 A1BD的體積為1-4×=,所以該三棱錐的名稱可以是三棱錐C1 A1BD.
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14.在正三棱柱ABC-A1B1C1中,D為棱AA1的中點,若△BC1D是面積為6的直角三角形,則此三棱柱的體積為　　　.
解析:設AC=a,CC1=b,則BD=C1D=,BC1=.因為△BC1D是面積為6的直角三角形,所以解得所以此三棱柱的體積V=×8×4=8.
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15.(16分)某個實心零部件的直觀圖如圖所示,其下部是上、下底面均是正方形,側面是全等的等腰梯形的四棱臺ABCD A1B1C1D1,上部是一個底面與四棱臺的上底面重合,側面是全等的矩形的四棱柱ABCD A2B2C2D2.現需要對該零部件表面進行防腐處理,已知AB=10 cm,
A1B1=20 cm,AA2=30 cm,AA1=13 cm,每平方厘米的加工處理費為0.2元,則需加工處理費多少元
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解:因為四棱柱ABCD A2B2C2D2的底面是正方形,側面是全等的矩形,所以該零部件上部的表面積S1=+S四個側面矩形=(A2B2)2
+4AB·AA2=102+4×10×30=1 300(cm2).又四棱臺ABCD A1B1C1D1的上、下底面均是正方形,側面是全等的等腰梯形,所以該零部件下部的表面積S2=+S四個側面梯形=(A1B1)2+4××(AB+A1B1)×h等腰梯形=202+4××(10+20)× =1 120(cm2).
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于是該實心零部件的表面積S=S1+S2=1 300+1 120=2 420(cm2).又0.2S=0.2×2 420=484(元),故所需加工處理費為484元.課時跟蹤檢測(二十五)　棱柱、棱錐、棱臺的表面積和體積
(滿分100分，A級選填小題每題5分，B級選填小題每題6分)
A級——達標評價
1．若六棱柱的底面是邊長為3的正六邊形，側面為矩形，側棱長為4，則其側面積等于(　　)
A．12 B．48
C．64 D．72
2．棱臺的上、下底面面積分別為2,4，高為3，則棱臺的體積為(　　)
A．6＋2 B．6＋6
C．12＋2 D．12＋6
3．設正四棱柱的一條體對角線長為3，它的四個側面與兩個底面的面積之和是16，則它的體積是(　　)
A．4 B．8
C. D．4或
4．(多選)已知正三棱錐底面邊長為3，側棱長為2，則下列敘述正確的是(　　)
A．正三棱錐的高為3
B．正三棱錐的斜高為
C．正三棱錐的體積為
D．正三棱錐的側面積為
5．我國有著豐富悠久的“印章文化”，古時候的印章一般用貴重的金屬或玉石制成，是過去官員或私人簽署文件
時代表身份的信物．圖1是明清時期的一個金屬印章擺件，除去頂部的環以后可以看作是一個正四棱柱和一個正四棱錐組成的幾何體，如圖2，已知正四棱柱和正四棱錐的高相等，且正四棱錐的底面邊長為4，側棱長為2，則該幾何體的體積是(　　)
A．32 B.
C. D．64
6．一個長方體的三個面的面積分別為，，，則這個長方體的體積為________.
7．正三棱柱ABC－A1B1C1的底面邊長為2，側棱長為，D為BC的中點，則三棱錐A－B1DC1的體積為________.
8.如圖，一個棱長為4的正方體被挖去一個高為4的正四棱柱后得到圖中的幾何體，若該幾何體的體積為60，則該幾何體的表面積為________.
9．(10分)現有一個底面是菱形的直四棱柱，它的體對角線長為9和15，高是5，求該直四棱柱的側面積、表面積.
10.(10分)如圖，正六棱錐被過棱錐高PO的中點O′且平行于底面的平面所截，得到正六棱臺OO′和較小的棱錐PO′.
(1)求大棱錐、小棱錐、棱臺的側面積之比；
(2)若大棱錐PO的側棱長為12 cm，小棱錐的底面邊長為4 cm，求截得的棱臺的側面積和表面積.
B級——重點培優
11．南水北調工程緩解了北方一些地區水資源短缺問題，其中一部分水蓄入某水庫．已知該水庫水位為海拔148.5 m時，相應水面的面積為140.0 km2；水位為海拔157.5 m時，相應水面的面積為180.0 km2.將該水庫在這兩個水位間的形狀看作一個棱臺，則該水庫水位從海拔148.5 m上升到157.5 m時，增加的水量約為(≈2.65)(　　)
A．1.0×109 m3 B．1.2×109 m3
C．1.4×109 m3 D．1.6×109 m3
12.(2024·天津高考)一個五面體ABC－DEF.已知AD∥BE∥CF，且兩兩之間距離為1，AD＝1，BE＝2，CF＝3，則該五面體的體積為(　　)
A. B.＋
C. D.－
13．在邊長為1的正方體ABCD－A1B1C1D1中，取其四個頂點作為一個三棱錐的頂點，使該三棱錐的體積為，則該三棱錐的名稱可以是__________.
14．在正三棱柱ABC?A1B1C1中，D為棱AA1的中點，若△BC1D是面積為6的直角三角形，則此三棱柱的體積為________.
15.(16分)某個實心零部件的直觀圖如圖所示，其下部是上、下底面均是正方形，側面是全等的等腰梯形的四棱臺ABCD －A1B1C1D1，上部是一個底面與四棱臺的上底面重合，側面是全等的矩形的四棱柱ABCD －A2B2C2D2.現需要對該零部件表面進行防腐處理，已知AB＝10 cm，A1B1＝20 cm，AA2＝30 cm，AA1＝13 cm，每平方厘米的加工處理費為0.2元，則需加工處理費多少元？
課時跟蹤檢測(二十五)
1．選D　該六棱柱的6個側面是全等的矩形，則S側＝6×(3×4)＝72.故選D.
2．選A　設棱臺的上、下底面面積分別為S1，S2，則S1＝2，S2＝4，所以V＝(S1＋＋S2)h＝×(2＋＋4)×3＝6＋2.故選A.
3．選D　設正四棱柱的底面邊長為a，高為h，則2a2＋h2＝9　①，2a2＋4ah＝16，即a2＋2ah＝8　②，①－②得，(a－h)2＝1，即a－h＝1或a－h＝－1.當a－h＝1，即a＝h＋1時，解得a＝2，h＝1，體積V＝a2h＝4；當a－h＝－1，即a＝h－1時，解得a＝，h＝，體積V＝a2h＝.
4.選ABD　如圖所示，設E為等邊△ADC的中心，F為CD的中點，連接PF，EF，PE，則PE為正三棱錐的高，PF為斜高．
又PF＝＝，EF＝×3×＝，故PE＝＝3，故A、B正確；正三棱錐的體積為×3××3×3＝，側面積為3××3×＝，故C錯誤，D正確．
5．選C　因為正四棱錐的底面邊長為4，所以底面的對角線長為4，設正四棱柱和正四棱錐的高為h，因為正四棱錐的側棱長為2，所以h2＋(2)2＝(2)2，解得h＝2，故該幾何體的體積為4×4×2＋×4×4×2＝.故選C.
6．解析：設長方體的長、寬、高分別為x，y，z，則xy＝，yz＝，xz＝，∴(xyz)2＝6.∴V＝xyz＝.
答案：
7．解析：∵正三棱柱ABC A1B1C1的底面邊長為2，側棱長為，D為BC的中點，
∴S＝×2×＝，三棱錐A B1DC1的高就是底面正三角形的高，故三棱錐A B1DC1的體積為××＝1.
答案：1
8．解析：設正四棱柱的底面邊長為m，則4(42－m2)＝60，解得m＝1，則該幾何體的表面積為42×4＋(42－12)×2＋4×1×4＝110.
答案：110
9．解：如圖，設底面對角線AC＝a，BD＝b，交點為O，體對角線A1C＝15，B1D＝9，∴a2＋52＝152，b2＋52＝92，
∴a2＝200，b2＝56.∵該直四棱柱的底面是菱形，∴AB2＝2＋2＝＝＝64，∴AB＝8.∴直四棱柱的側面積S側＝4×8×5＝160，底面積S底＝AC·BD＝20，表面積S表＝160＋2×20＝160＋40.故該直四棱柱的側面積為160，表面積為160＋40.
10．解：(1)由題意知S小棱錐側∶S大棱錐側＝1∶4，所以S大棱錐側∶S小棱錐側∶S棱臺側＝4∶1∶3.
(2)如圖所示，∵小棱錐的底面邊長為4 cm，∴大棱錐的底面邊長為8 cm.又PA＝12 cm，∴A1A＝6 cm.又梯形ABB1A1的高h′＝＝4(cm)，
∴S棱臺側＝6××4＝144(cm2)，S棱臺表＝S棱臺側＋S上底＋S下底＝144＋24＋96＝(144＋120)cm2.
11.選C　如圖，由已知得該棱臺的高為157.5－148.5＝9(m)，所以該棱臺的體積V＝×9×(140＋＋180)×106＝60×(16＋3)×106≈60×(16＋3×2.65)×106＝1.437×109≈1.4×109(m3)．故選C.
12．選C　因為AD，BE，CF兩兩平行，且兩兩之間距離為1，則該五面體可以分成一個側棱長為1的三棱柱和一個底面為梯形的四棱錐，其中三棱柱的體積等于棱長均為1的直三棱柱的體積，四棱錐的高為，底面是上底為1、下底為2、高為1的梯形，故該五面體的體積V＝×1××1＋××＝，故選C.
13．解析：∵正方體ABCD A1B1C1D1的棱長為1，∴正方體的體積為1×1×1＝1，又VA A1BD＝VC C1BD＝VB1 A1BC1＝VD1 A1DC1＝××1×1×1＝，∴三棱錐C1 A1BD的體積為1－4×＝，所以該三棱錐的名稱可以是三棱錐C1 A1BD.
答案：三棱錐C1 A1BD(答案不唯一)
14．解析：設AC＝a，CC1＝b，則BD＝C1D＝，BC1＝.因為△BC1D是面積為6的直角三角形，所以解得所以此三棱柱的體積V＝×8×4＝8.
答案：8
15．解：因為四棱柱ABCD A2B2C2D2的底面是正方形，側面是全等的矩形，所以該零部件上部的表面積S1＝S正方形A2B2C2D2＋S四個側面矩形＝(A2B2)2＋4AB·AA2＝102＋4×10×30＝1 300(cm2)．又四棱臺ABCD A1B1C1D1的上、下底面均是正方形，側面是全等的等腰梯形，所以該零部件下部的表面積S2＝S正方形A1B1C1D1＋S四個側面梯形＝(A1B1)2＋4××(AB＋A1B1)×h等腰梯形＝202＋4××(10＋20)× ＝1 120(cm2)．于是該實心零部件的表面積S＝S1＋S2＝1 300＋1 120＝2 420(cm2)．又0.2S＝0.2×2 420＝484(元)，故所需加工處理費為484元．

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