資源簡介

8．3.2　圓柱、圓錐、圓臺、球的表面積和體積
第1課時 圓柱、圓錐、圓臺、球的表面積和體積
(教學方式：深化學習課—梯度進階式教學)
[課時目標]
1．了解圓柱、圓錐、圓臺的側面展開圖，掌握圓柱、圓錐、圓臺的表面積和體積的計算公式．
2．能用表面積與體積公式求圓柱、圓錐、圓臺的表面積和體積，且會求組合體的表面積與體積．
1．圓柱、圓錐、圓臺、球的表面積
名稱 公式
圓柱 S圓柱＝__________(r是底面半徑，l是母線長)
圓錐 S圓錐＝______________(r是底面半徑，l是母線長)
圓臺 S圓臺＝____________(r′，r分別是上、下底面半徑，l是母線長)
球 S＝4πR2(R是球的半徑)
|微|點|助|解|　
(1)準確認識圓柱、圓錐、圓臺的展開圖
名稱 側面展開圖 底面 表面積
圓柱 矩形 兩個全等的圓 側面積＋底面積
圓錐 扇形 一個圓
圓臺 扇環 兩個同心圓
,
(2)圓柱、圓錐、圓臺的側面積公式間的關系
S圓柱側＝2πrlS圓臺側＝π(r＋r′)lS圓錐側＝πrl.
2．圓柱、圓錐、圓臺、球的體積
名稱 公式
圓柱 V＝____________(r是底面半徑，h是高)
圓錐 V＝πr2h(r是底面半徑，h是高)
圓臺 V＝πh(r′2＋r′r＋r2)(r′，r分別是上、下底面半徑，h是高)
球 V＝πR3(R是球的半徑)
|微|點|助|解|　
對于圓柱、圓錐、圓臺體積公式的幾點認識
(1)圓柱、圓錐、圓臺的體積公式之間的關系
V圓柱＝πr2hV圓臺＝πh(r′2＋r′r＋r2)V圓錐＝πr2h.
(2)柱體、錐體、臺體的體積公式可統一如下：
V柱體＝Sh；V錐體＝Sh(S為底面積，h為高)；V臺體＝(S′＋＋S)h(S′，S分別為上、下底面面積，h為高)．
1．球的體積是，則此球的表面積是(　　)
A．12π B．16π
C. D.
2．一個高為2的圓柱，底面周長為2π.該圓柱的表面積為________．
3．已知圓錐SO的高為4，體積為4π，則底面半徑r＝________.
題型(一)　圓柱、圓錐、圓臺的側面積、表面積
[例1]　(1)已知一個圓錐的軸截面是等邊三角形，其面積為，則這個圓錐的側面積為______．
(2)圓臺的上、下底面半徑和高的比為1∶4∶4，若母線長為10，則圓臺的表面積為________．
聽課記錄：
|思|維|建|模|
求圓柱、圓錐、圓臺的表面積的基本步驟
(1)得到空間幾何體的平面展開圖．
(2)依次求出各個平面圖形的面積．
(3)將各平面圖形的面積相加．
[提醒]　解決圓柱、圓錐、圓臺的表面積問題，要利用好旋轉體的軸截面及側面展開圖．　　
[針對訓練]
1．已知一個圓柱和圓錐等底等高，且圓錐的軸截面是一個等腰直角三角形，則此圓錐和圓柱的表面積之比為(　　)
A. B.
C. D.
2．如圖，將一個圓柱2n(n∈N＋)等分切割，再將其重新組合成一個與圓柱等底等高的幾何體，n越大，重新組合成的幾何體就越接近一個“長方體”．若新幾何體的表面積比原圓柱的表面積增加了10，則圓柱的側面積為____________．
題型(二)　圓柱、圓錐、圓臺的體積
[例2]　(1)已知圓錐SO的軸截面是一個邊長為2的等邊三角形，則圓錐SO的體積為(　　)
A．2π B.π
C．π D.π
(2)已知圓臺的上、下底面的半徑分別為1,3，其表面積為26π，則該圓臺的體積為(　　)
A. B.
C. D.
聽課記錄：
|思|維|建|模|　圓柱、圓錐、圓臺的體積求法
直接法 根據幾何體的結構特征，確定底面積和高，代入體積公式直接求出
分割法 將幾何體分割成易求解的幾部分，分別求體積
補體法 將幾何體補成易求解的幾何體，先求再去
[針對訓練]
3．(2024·新課標Ⅰ卷)已知圓柱和圓錐的底面半徑相等，側面積相等，且它們的高均為，則圓錐的體積為(　　)
A．2π B．3π
C．6π D．9π
4.
如圖，一個底面半徑為2的圓柱被一平面所截，截得的幾何體的最短和最長母線長分別為2和3，則該幾何體的體積為(　　)
A．5π B．6π
C．20π D．10π
題型(三)　旋轉體組成的組合體的表面積與體積
[例3]　 如圖，在四邊形ABCD中，∠DAB＝90°，∠ADC＝135°，AB＝5，CD＝2，AD＝2，求四邊形ABCD繞AD邊所在的直線旋轉一周所成幾何體的表面積和體積．
　　　
聽課記錄：
|思|維|建|模|
旋轉體組成的組合體的表面積與體積的求法與多面體組成的組合體的表面積與體積的求法一致，主要是將組合體分解為若干個柱、錐、臺、球的基本面，以“分割”“補形”為工具解題．　　
[針對訓練]
5.如圖所示，△ABC中，AC＝3，BC＝4，AB＝5，以AB所在直線為軸，將此三角形旋轉一周，求所得到的旋轉體的表面積．
第1課時　圓柱、圓錐、圓臺、球的
表面積和體積
?課前預知教材
1．2πrl＋2πr2　πrl＋πr2　π(r′2＋r2＋r′l＋rl)　2.πr2h
[基礎落實訓練]
1．選B　設球的半徑為R，則πR3＝，
∴R＝2，∴S球＝4πR2＝16π.
2．解析：由底面周長為2π可得底面半徑為1.S底＝2πr2＝2π，S側＝2πr·h＝4π，所以S表＝S底＋S側＝6π.
答案：6π
3．解析：設底面半徑為r，則πr2×4＝4π，解得r＝，即底面半徑為.
答案：
?課堂題點研究
　[題型(一)]
[例1]　解析：(1)設母線長為l，由題意得l·lsin 60°＝，所以母線長l＝2.又底面半徑為1，所以側面積為π×1×2＝2π.
(2)圓臺的軸截面如圖所示，設上底面半徑為r，下底面半徑為R，則它的母線長為l＝＝＝5r＝10，所以r＝2，R＝8.
故S側＝π(R＋r)l＝π(8＋2)×10＝100π，
S表＝S側＋πr2＋πR2＝100π＋4π＋64π＝168π.
答案：(1)2π　(2)168π
[針對訓練]
1．選A　設圓柱與圓錐的底面半徑為r.因為圓錐的軸截面是一個等腰直角三角形，所以圓錐的高為r，母線長為r.所以圓柱的表面積為2πr2＋2πr·r＝4πr2，圓錐的表面積為·2πr·r＋πr2＝(＋1)πr2.所以圓錐和圓柱的表面積之比為＝.故選A.
2．解析：顯然新幾何體的表面積比原圓柱的表面積多了原圓柱的軸截面面積．設圓柱的底面半徑為r，高為h，則2rh＝10，所以圓柱的側面積為2πrh＝10π.
答案：10π
　[題型(二)]
[例2]　解析：(1)
如圖所示，在圓錐SO中，底面圓半徑為r＝OA＝1，高為h＝＝，所以圓錐SO的體積為V圓錐＝×π×12×＝π.故選D.
(2)設圓臺的母線長為l，高為h，所以π×12＋π×32＋π×(1＋3)l＝26π，解得l＝4，所以h＝＝2.所以該圓臺的體積V＝×(π×12＋π×32＋)×2＝.故選D.
答案：(1)D　(2)D
[針對訓練]
3．選B　設圓柱的底面半徑為r，則圓錐的母線長為 ，因為它們的側面積相等，所以2πr·＝πr·，即2＝，故r2＝9，故圓錐的體積為π×9×＝3π.故選B.
4.
選D　用一個完全相同的幾何體把題中幾何體補成一個圓柱，如圖所示，則圓柱的體積為π×22×5＝20π，故所求幾何體的體積為10π.
　[題型(三)]
[例3]　解：作CE垂直于AD的延長線于點E，如圖(1)，將四邊形ABCD繞AD邊所在的直線旋轉一周形成一個被挖去一個圓錐的圓臺，如圖(2)．
由題意得CD＝2，AD＝2，CE＝ED＝2，AB＝5，AE＝4，BC＝5，
所以S＝π·EC·DC＋π(EC＋AB)·BC＋π·AB2＝4π＋35π＋25π＝60π＋4π，V＝π(CE2＋AB2＋CE·AB)·AE－π·CE2·DE＝52π－π＝.
[針對訓練]
5．解：過C點作CD⊥AB于點D.如圖所示，△ABC以AB所在直線為軸旋轉一周，所得到的旋轉體是兩個底面重合
的圓錐，這兩個圓錐的高的和
為AB＝5，底面半徑DC＝＝，故S表＝π·DC·(BC＋AC)＝π.(共64張PPT)
8.3.2
圓柱、圓錐、圓臺、球的
表面積和體積
圓柱、圓錐、圓臺、球的表面積和體積
(教學方式:深化學習課—梯度進階式教學)
第1課時
課時目標
1.了解圓柱、圓錐、圓臺的側面展開圖,掌握圓柱、圓錐、圓臺的表面積和體積的計算公式.
2.能用表面積與體積公式求圓柱、圓錐、圓臺的表面積和體積,且會求組合體的表面積與體積.
CONTENTS
目錄
1
2
3
課前預知教材·自主落實基礎
課堂題點研究·遷移應用融通
課時跟蹤檢測
課前預知教材·自主落實基礎
01
1.圓柱、圓錐、圓臺、球的表面積
名稱 公式
圓柱 S圓柱=__________ (r是底面半徑,l是母線長)
圓錐 S圓錐=________(r是底面半徑,l是母線長)
圓臺 S圓臺=_____________ (r',r分別是上、下底面半徑,l是母線長)
球 S=4πR2(R是球的半徑)
2πrl+2πr2
πrl+πr2
π(r'2+r2+r'l+rl)
|微|點|助|解|
(1)準確認識圓柱、圓錐、圓臺的展開圖
名稱 側面展開圖 底面 表面積
圓柱 矩形 兩個全等的圓 側面積+底面積
圓錐 扇形 一個圓
圓臺 扇環 兩個同心圓
(2)圓柱、圓錐、圓臺的側面積公式間的關系
2.圓柱、圓錐、圓臺、球的體積
名稱 公式
圓柱 V=______ (r是底面半徑,h是高)
圓錐 V=πr2h(r是底面半徑,h是高)
圓臺 V=πh(r'2+r'r+r2)(r',r分別是上、下底面半徑,h是高)
球 V=πR3(R是球的半徑)
πr2h
|微|點|助|解|
對于圓柱、圓錐、圓臺體積公式的幾點認識
(1)圓柱、圓錐、圓臺的體積公式之間的關系
V圓柱=πr2h V圓臺=πh(r'2+r'r+r2) V圓錐=πr2h.
(2)柱體、錐體、臺體的體積公式可統一如下:
V柱體=Sh;V錐體=Sh(S為底面積,h為高);V臺體=(S'++S)h(S',S分別為上、下底面面積,h為高).
基礎落實訓練
1.球的體積是,則此球的表面積是(　　)
A.12π B.16π
C. D.
解析:設球的半徑為R,則πR3=,∴R=2,∴S球=4πR2=16π.
√
2.一個高為2的圓柱,底面周長為2π.該圓柱的表面積為　　　　.
解析:由底面周長為2π可得底面半徑為1.S底=2πr2=2π,S側=2πr·h=4π,所以S表=S底+S側=6π.
6π
3.已知圓錐SO的高為4,體積為4π,則底面半徑r=　　　　.
解析:設底面半徑為r,則πr2×4=4π,解得r=,即底面半徑為.
課堂題點研究·遷移應用融通
02
題型(一)　圓柱、圓錐、圓臺的側面積、表面積
[例1]　(1)已知一個圓錐的軸截面是等邊三角形,其面積為,則這個圓錐的側面積為 .
解析:設母線長為l,由題意得l·lsin 60°=,所以母線長l=2.又底面半徑為1,所以側面積為π×1×2=2π.
2π
(2)圓臺的上、下底面半徑和高的比為1∶4∶4,若母線長為10,則圓臺的表面積為　　　.
解析:圓臺的軸截面如圖所示,設上底面半徑為r,下底
面半徑為R,則它的母線長為
l===5r=10,所以r=2,R=8.
故S側=π(R+r)l=π(8+2)×10=100π,
S表=S側+πr2+πR2=100π+4π+64π=168π.
168π
|思|維|建|模|
求圓柱、圓錐、圓臺的表面積的基本步驟
(1)得到空間幾何體的平面展開圖.
(2)依次求出各個平面圖形的面積.
(3)將各平面圖形的面積相加.
[提醒]　解決圓柱、圓錐、圓臺的表面積問題,要利用好旋轉體的軸截面及側面展開圖.
1.已知一個圓柱和圓錐等底等高,且圓錐的軸截面是一個等腰直角三角形,則此圓錐和圓柱的表面積之比為 (　　)
A. B.
C. D.
√
針對訓練
解析:設圓柱與圓錐的底面半徑為r.因為圓錐的軸截面是一個等腰直角三角形,所以圓錐的高為r,母線長為r.所以圓柱的表面積為2πr2+
2πr·r=4πr2,圓錐的表面積為·2πr·r+πr2=(+1)πr2.所以圓錐和圓柱的表面積之比為=.故選A.
2.如圖,將一個圓柱2n(n∈N+)等分切割,再將其重新組合成一個與圓柱等底等高的幾何體,n越大,重新組合成的幾何體就越接近一個“長方體”.若新幾何體的表面積比原圓柱的表面積增加了10,則圓柱的側面積為　　　.
解析:顯然新幾何體的表面積比原圓柱的表面積多了原圓柱的軸截面面積.設圓柱的底面半徑為r,高為h,則2rh=10,所以圓柱的側面積為2πrh=10π.
10π
題型(二)　圓柱、圓錐、圓臺的體積
[例2]　(1)已知圓錐SO的軸截面是一個邊長為2的等邊三角形,則圓錐SO的體積為(　　)
A.2π B.π
C.π D.π
√
解析:如圖所示,在圓錐SO中,底面圓半徑為r=OA=1,高為h==,所以圓錐SO的體積為V圓錐=×π×12×=π.故選D.
(2)已知圓臺的上、下底面的半徑分別為1,3,其表面積為26π,則該圓臺的體積為 (　　)
A. B.
C. D.
√
解析:設圓臺的母線長為l,高為h,所以π×12+π×32+π×(1+3)l=26π,解得l=4,所以h==2.所以該圓臺的體積V=×(π×12+π×
32+)×2=.故選D.
|思|維|建|模|
圓柱、圓錐、圓臺的體積求法
直接法 根據幾何體的結構特征,確定底面積和高,代入體積公式直接求出
分割法 將幾何體分割成易求解的幾部分,分別求體積
補體法 將幾何體補成易求解的幾何體,先求再去
3.(2024·新課標Ⅰ卷)已知圓柱和圓錐的底面半徑相等,側面積相等,且它們的高均為,則圓錐的體積為(　　)
A.2π B.3π
C.6π D.9π
√
針對訓練
解析:設圓柱的底面半徑為r,則圓錐的母線長為 ,因為它們的側面積相等,所以2πr·=πr·,即2=,故r2=9,故圓錐的體積為π×9×=3π.故選B.
4.如圖,一個底面半徑為2的圓柱被一平面所截,截得的幾何體的最短和最長母線長分別為2和3,則該幾何體的體積為 (　　)
A.5π B.6π
C.20π D.10π
√
解析:用一個完全相同的幾何體把題中幾何體補成一個圓柱,如圖所示,則圓柱的體積為π×22×5=20π,故所求幾何體的體積為10π.
題型(三)　旋轉體組成的組合體的表面積與體積
[例3]　 如圖,在四邊形ABCD中,∠DAB=90°,∠ADC=135°,AB=5,
CD=2,AD=2,求四邊形ABCD繞AD邊所在的直線旋轉一周所成幾何體的表面積和體積.
解:作CE垂直于AD的延長線于點E,如圖(1),將四邊形ABCD繞AD邊所在的直線旋轉一周形成一個被挖去一個圓錐的圓臺,如圖(2).
由題意得CD=2,AD=2,CE=ED=2,AB=5,AE=4,BC=5,所以S=π·EC·DC+π(EC+AB)·BC+π·AB2=4π+35π+25π=60π+4π,
V=π(CE2+AB2+CE·AB)·AE-π·CE2·DE=52π-π=.
旋轉體組成的組合體的表面積與體積的求法與多面體組成的組合體的表面積與體積的求法一致,主要是將組合體分解為若干個柱、錐、臺、球的基本面,以“分割”“補形”為工具解題.
|思|維|建|模|
5.如圖所示,△ABC中,AC=3,BC=4,AB=5,以AB所在直線為軸,將此三角形旋轉一周,求所得到的旋轉體的表面積.
針對訓練
解:過C點作CD⊥AB于點D.如圖所示,△ABC以AB所在直線為軸旋轉一周,所得到的旋轉體是兩個底面重合的圓錐,這兩個圓錐的高的和為AB=5,底面半徑DC==,故S表=π·DC·(BC+AC)=π.
課時跟蹤檢測
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A級——達標評價
1.已知圓柱的軸截面為矩形,其底邊長(圓柱底面圓直徑)是側邊長的2倍,若軸截面的面積為S,則圓柱的表面積為(　　)
A.πS B.2πS
C.2πS D.4πS
解析:設圓柱的底面圓半徑為r,則圓柱母線長l=r.由軸截面的面積為S,得2r2=S.所以圓柱的表面積為2πr2+2πrl=4πr2=2πS.故選B.
√
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2.一個圓錐的軸截面是邊長為2的正三角形,則它的體積為 (　　)
A.π B.π
C.2π D.3π
解析:因為圓錐的軸截面是邊長為2的正三角形,所以圓錐的
底面半徑為1,且圓錐的高SO==,故體積為π×12
×=π.
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3.如圖所示的糧倉可以看成圓柱體與圓錐體的組合體,設圓錐部分的高為0.5米,圓柱部分的高為2米,底面圓的半徑為1米,則該組合體體積為 (　　)
A.立方米 B.2π立方米
C.立方米 D.立方米
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解析:圓柱體積為π×12×2=2π,圓錐體積為×π×12×0.5=,所以該組合體的體積為2π+=.故選D.
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4.已知圓臺的體積為152π,兩底面圓的半徑分別為4和6,則圓臺的高為 (　　)
A.6 B.2
C.4 D.5
解析:設圓臺的高為h,且上、下兩底面面積分別為S1=π×42=16π,
S2=π×62=36π,根據圓臺體積公式可得(S1+S2+)h=
(16π+36π+)h=152π,解得h=6.故選A.
√
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5.如圖1是一個組合體的直觀圖,它的下部分是一個圓臺,上部分是一個圓柱,圖2是該組合體的軸截面,則它的表面積是 (　　)
A.64π B.77π
C.80π D.84π
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解析:圓柱的上底面面積為4π,圓柱的側面積為4π×5=20π,圓臺的下底面面積為25π.圓臺的母線長為=5,所以圓臺的側面積為π(2+5)×5=35π,則該組合體的表面積為4π+20π+25π+35π=84π.故選D.
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6.若將兩個半徑為1的小鐵球熔化后鑄成一個大球,則這個大球的半徑R為　　　　.
解析: V小球=×π×13=π,V大球=πR3,依題意得πR3=π×2=π,
∴R3=2,∴R=.
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7.已知圓臺的上底面半徑為2,下底面半徑為6,若該圓臺的側面積為72π,則其母線長為　　　　.
解析:設圓臺的母線長為l,則該圓臺的側面積為S側=π×(2+6)×l=72π,則l=9,所以圓臺的母線長為9.
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8.現有橡皮泥制作的底面半徑為5,高為4的圓錐和底面半徑為2,高為8的圓柱各一個.若將它們重新制作成總體積與高均保持不變,但底面半徑相同的新的圓錐和圓柱各一個,則新的底面半徑為　　　　.
解析:設新的底面半徑為r,則有×πr2×4+πr2×8=×π×52×4+π×
22×8,解得r=.
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9.(10分)如圖所示的幾何體,上面是圓柱,其底面直徑為6 cm,高為3 cm,下面是正六棱柱,其底面邊長為4 cm,高為2 cm,現從中間挖去一個直徑為2 cm的圓柱,求此幾何體的體積.
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解: ∵V六棱柱=×42×6×2=48(cm3),V圓柱=π·32×3=27π(cm3),V挖去圓柱=π·12×(3+2)=5π(cm3),∴此幾何體的體積V=V六棱柱+V圓柱-V挖去圓柱=(48+22π)(cm3).
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10.(10分)如圖,在底面半徑為2,母線長為4的圓錐中內接一個高為的圓柱,求圓柱的表面積.
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解:如圖,設圓錐的底面半徑為R,圓柱的底面半徑為r,表面積為S.
則R=OC=2,AC=4,AO==2.易知△AEB∽△AOC,所以=,即=,所以r=1,S底=2πr2=2π,S側=2πr·h=2π.所以S=S底+S側=2π+
2π=(2+2)π.
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B級——重點培優
11.母線長為6的圓錐的側面展開圖的圓心角等于π,則該圓錐的體積為(　　)
A.32π B.
C.32π D.96π
√
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解析:由題意得,側面展開圖的弧長為6×π=8π.設圓錐底面圓的半徑為r,則8π=2πr,解得r=4.所以圓錐高h==2.所以體積為×π×
42×2=.故選B.
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12.(多選)如圖所示的圓錐的底面半徑為3,高為4,且AB=BC,則 (　　)
A.三棱錐S ABC的體積為12
B.該圓錐的體積為12π
C.該圓錐的表面積為14π
D.該圓錐的母線長為5
√
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解析:由題意可得△ABC是等腰直角三角形,由AC=6可得AB=BC=
AC=3,∴S△ABC=9,即VS ABC=×4×9=12,故A正確;由圓錐體積公式可得V=π×32×4=12π,故B正確;由勾股定理及圓錐性質可得其母線SA==5,故D正確;由圓錐的表面積公式可得S=π×3×(5+3)=24π,故C錯誤.故選A、B、D.
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13.一個圓錐形容器和一個圓柱形容器,它們的軸截面尺寸如圖所示,兩容器內所盛液體的體積正好相等,且液面高度h正好相同,則h=　　　.
a
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解析:設圓錐形容器的液面的半徑為R,則液體的體積為πR2h,圓柱形容器內的液體體積為πh.根據題意,有πR2h=πh,解得R=a.再根據圓錐形容器的軸截面與內盛液體軸截面是相似三角形,得=,所以h=a.
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14.把底面半徑為8 cm的圓錐放倒在一平面上,使圓錐在此平面內繞圓錐頂點S滾動,當這個圓錐在平面內轉回原位置時,圓錐本身滾動了2.5周,則圓錐的母線長為　　　cm,表面積等于　　　cm2.
20　
224π
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解析:設圓錐的母線長為l,如圖,以S為圓心,SA為半徑的圓的面積S=πl2.又圓錐的側面積S圓錐側=πrl=8πl.根據圓錐在平面內轉到原位置時,圓錐本身滾動了2.5周,∴πl2=2.5×8πl.∴l=20 cm.圓錐的表面積S=S圓錐側+S底=π×8×20+π×82=224π(cm2).
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15.(16分)某部門建造了一個圓錐形倉庫用于貯藏食鹽(供融化高速公路上的積雪之用),已建的倉庫的底面直徑為12 m,高為4 m,該部門計劃再建一個更大的圓錐形倉庫,以存放更多食鹽.現有兩種方案:方案一是新建的圓錐形倉庫的底面直徑比原來增加4 m(高不變);方案二是新建的圓錐形倉庫的高度增加4 m(底面直徑不變).
(1)分別計算按這兩種方案所新建的圓錐形倉庫的體積;
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解:若按方案一,新建的圓錐形倉庫的底面直徑變成16 m,高不變,則新建的圓錐形倉庫的體積V1=×π××4=(m3);
若按方案二,新建的圓錐形倉庫的高變成8 m,底面直徑不變,則新建的圓錐形倉庫的體積V2=×π××8=96π(m3).
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(2)分別計算按這兩種方案所新建的圓錐形倉庫的側面積;
解:若按方案一,新建的圓錐形倉庫的底面直徑變成16 m,高不變,則圓錐的母線長l1==4(m),新建的圓錐形倉庫的側面積S1=π××4=32π(m2);
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若按方案二,新建的圓錐形倉庫的高變成8 m,底面直徑不變,則圓錐的母線長l2==10(m),
新建的圓錐形倉庫的側面積S2=π××10=60π(m2).
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(3)哪個方案更經濟些 為什么
解:由(1)(2)知,V1(滿分100分，A級選填小題每題5分，B級選填小題每題6分)
A級——達標評價
1．已知圓柱的軸截面為矩形，其底邊長(圓柱底面圓直徑)是側邊長的2倍，若軸截面的面積為S，則圓柱的表面積為(　　)
A.πS B．2πS
C．2πS D．4πS
2．一個圓錐的軸截面是邊長為2的正三角形，則它的體積為(　　)
A.π B.π
C．2π D．3π
3．如圖所示的糧倉可以看成圓柱體與圓錐體的組合體，設圓錐部分的高為0.5米，圓柱部分的高為2米，底面圓的半徑為1米，則該組合體體積為(　　)
A.立方米 B．2π立方米
C.立方米 D.立方米
4．已知圓臺的體積為152π，兩底面圓的半徑分別為4和6，則圓臺的高為(　　)
A．6 B．2
C．4 D．5
5．如圖1是一個組合體的直觀圖，它的下部分是一個圓臺，上部分是一個圓柱，圖2是該組合體的軸截面，則它的表面積是(　　)
A．64π B．77π
C．80π D．84π
6．若將兩個半徑為1的小鐵球熔化后鑄成一個大球，則這個大球的半徑R為__________.
7．已知圓臺的上底面半徑為2，下底面半徑為6，若該圓臺的側面積為72π，則其母線長為________.
8．現有橡皮泥制作的底面半徑為5，高為4的圓錐和底面半徑為2，高為8的圓柱各一個．若將它們重新制作成總體積與高均保持不變，但底面半徑相同的新的圓錐和圓柱各一個，則新的底面半徑為________.
9.
(10分)如圖所示的幾何體，上面是圓柱，其底面直徑為6 cm，高為3 cm，下面是正六棱柱，其底面邊長為4 cm，高為2 cm，現從中間挖去一個直徑為2 cm的圓柱，求此幾何體的體積.
10.(10分)如圖，在底面半徑為2，母線長為4的圓錐中內接一個高為的圓柱，求圓柱的表面積.
B級——重點培優
11．母線長為6的圓錐的側面展開圖的圓心角等于π，則該圓錐的體積為(　　)
A．32π B.
C．32π D．96π
12．(多選)如圖所示的圓錐的底面半徑為3，高為4，且AB＝BC，則(　　)
A．三棱錐S－ABC的體積為12
B．該圓錐的體積為12π
C．該圓錐的表面積為14π
D．該圓錐的母線長為5
13．一個圓錐形容器和一個圓柱形容器，它們的軸截面尺寸如圖所示，兩容器內所盛液體的體積正好相等，且液面高度h正好相同，則h＝________.
14．把底面半徑為8 cm的圓錐放倒在一平面上，使圓錐在此平面內繞圓錐頂點S滾動，當這個圓錐在平面內轉回原位置時，圓錐本身滾動了2.5周，則圓錐的母線長為______cm，表面積等于______cm2.
15．(16分)某部門建造了一個圓錐形倉庫用于貯藏食鹽(供融化高速公路上的積雪之用)，已建的倉庫的底面直徑為12 m，高為4 m，該部門計劃再建一個更大的圓錐形倉庫，以存放更多食鹽．現有兩種方案：方案一是新建的圓錐形倉庫的底面直徑比原來增加4 m(高不變)；方案二是新建的圓錐形倉庫的高度增加4 m(底面直徑不變).
(1)分別計算按這兩種方案所新建的圓錐形倉庫的體積；
(2)分別計算按這兩種方案所新建的圓錐形倉庫的側面積；
(3)哪個方案更經濟些？為什么？
課時跟蹤檢測(二十六)
1．選B　設圓柱的底面圓半徑為r，則圓柱母線長l＝r.由軸截面的面積為S，得2r2＝S.所以圓柱的表面積為2πr2＋2πrl＝4πr2＝2πS.故選B.
2.選B　因為圓錐的軸截面是邊長為2的正三角形，所以圓錐的底面半徑為1，且圓錐的高SO＝＝，故體積為π×12×＝π.
3．選D　圓柱體積為π×12×2＝2π，圓錐體積為×π×12×0.5＝，所以該組合體的體積為2π＋＝.故選D.
4．選A　設圓臺的高為h，且上、下兩底面面積分別為S1＝π×42＝16π，S2＝π×62＝36π，根據圓臺體積公式可得(S1＋S2＋)h＝(16π＋36π＋)h＝152π，解得h＝6.故選A.
5．選D　圓柱的上底面面積為4π，圓柱的側面積為4π×5＝20π，圓臺的下底面面積為25π.圓臺的母線長為＝5，所以圓臺的側面積為π(2＋5)×5＝35π，則該組合體的表面積為4π＋20π＋25π＋35π＝84π.故選D.
6．解析：V小球＝×π×13＝π，
V大球＝πR3，依題意得πR3＝π×2＝π，∴R3＝2，∴R＝.
答案：
7．解析：設圓臺的母線長為l，則該圓臺的側面積為S側＝π×(2＋6)×l＝72π，則l＝9，所以圓臺的母線長為9.
答案：9
8．解析：設新的底面半徑為r，則有×πr2×4＋πr2×8＝×π×52×4＋π×22×8，解得r＝.
答案：
9．解：∵V六棱柱＝×42×6×2＝48(cm3)，V圓柱＝π·32×3＝27π(cm3)，V挖去圓柱＝π·12×(3＋2)＝5π(cm3)，
∴此幾何體的體積V＝V六棱柱＋V圓柱－V挖去圓柱＝(48＋22π)(cm3)．
10．解：如圖，設圓錐的底面半徑為R，圓柱的底面半徑為r，表面積為S.則R＝OC＝2，AC＝4，AO＝＝2.易知△AEB∽△AOC，所以＝，即＝，所以r＝1，S底＝2πr2＝2π，S側＝2πr·h＝2π.
所以S＝S底＋S側＝2π＋2π＝(2＋2)π.
11.選B　由題意得，側面展開圖的弧長為6×π＝8π.設圓錐底面圓的半徑為r，則8π＝2πr，解得r＝4.所以圓錐高h＝＝2.所以體積為×π×42×2＝.故選B.
12．選ABD　由題意可得△ABC是等腰直角三角形，由AC＝6可得AB＝BC＝AC＝3，∴S△ABC＝9，即VS ABC＝×4×9＝12，故A正確；由圓錐體積公式可得V＝π×32×4＝12π，故B正確；由勾股定理及圓錐性質可得其母線SA＝＝5，故D正確；由圓錐的表面積公式可得S＝π×3×(5＋3)＝24π，故C錯誤．故選A、B、D.
13．解析：設圓錐形容器的液面的半徑為R，則液體的體積為πR2h，圓柱形容器內的液體體積為π2h.根據題意，有πR2h＝π2h，解得R＝a.再根據圓錐形容器的軸截面與內盛液體軸截面是相似三角形，得＝，所以h＝a.
答案：a
14．解析：設圓錐的母線長為l，如圖，以S為圓心，SA為半徑的圓的面積S＝πl2.又圓錐的側面積S圓錐側＝πrl＝8πl.根據圓錐在平面內轉到原位置時，圓錐本身滾動了2.5周，∴πl2＝2.5×8πl.∴l＝20 cm.圓錐的表面積S＝S圓錐側＋S底＝π×8×20＋π×82＝224π(cm2)．
答案：20　224π
15．解：(1)若按方案一，新建的圓錐形倉庫的底面直徑變成16 m，高不變，則新建的圓錐形倉庫的體積V1＝×π×2×4＝(m3)；
若按方案二，新建的圓錐形倉庫的高變成8 m，底面直徑不變，則新建的圓錐形倉庫的體積V2＝×π×2×8＝96π(m3)．
(2)若按方案一，新建的圓錐形倉庫的底面直徑變成16 m，高不變，則圓錐的母線長l1＝＝4(m)，新建的圓錐形倉庫的側面積S1＝π××4＝32π(m2)；
若按方案二，新建的圓錐形倉庫的高變成8 m，底面直徑不變，則圓錐的母線長l2＝＝10(m)，
新建的圓錐形倉庫的側面積S2＝π××10＝60π(m2)．
(3)由(1)(2)知，V1

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