資源簡介

第2課時　與球有關(guān)的綜合問題
—— (教學(xué)方式：拓展融通課—習(xí)題講評式教學(xué))
題型(一)　球的截面問題
1．球的截面形狀
(1)當(dāng)截面過球心時，截面的半徑即球的半徑，此時球的截面就是球的大圓；
(2)當(dāng)截面不過球心時，截面的半徑小于球的半徑，此時球的截面就是球的小圓．
2．球的截面的性質(zhì)
(1)球心和截面圓心的連線垂直于截面；
(2)球心到截面的距離d與球的半徑R及截面的半徑r之間滿足關(guān)系式：d＝.
[例1]　平面α截球O的球面所得圓的半徑為1.球心O到平面α的距離為，則此球的體積為(　　)
A.π B．4π
C．4π D．6π
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(1)有關(guān)球的截面問題，常畫出過球心的截面圓，將問題轉(zhuǎn)化為平面中圓的有關(guān)問題解決．
(2)注意一個直角三角形，即由球心距(球心到截面圓心的距離)、截面圓的半徑、球的半徑圍成一個直角三角形，滿足勾股定理．　　
[針對訓(xùn)練]
1．已知過球面上三點A，B，C的截面到球心的距離等于球半徑的倍，且AC＝8，BC＝6，AB＝10，則球的表面積是______，體積是______．
題型(二)　與球有關(guān)的切、接問題
角度(一)　球與正(長)方體的切接問題　
處理與球有關(guān)的相接、相切問題時，關(guān)鍵是根據(jù)“接點”和“切點”作一適當(dāng)?shù)慕孛妫瑢⒖臻g問題轉(zhuǎn)化為平面問題．
(1)球內(nèi)切于正方體，切點為正方體各個面的中心，正方體的棱長等于球的直徑．
(2)球外接于正方體，正方體的頂點均在球面上，正方體的體對角線長等于球的直徑．
[例2]　有三個球，第一個球內(nèi)切于正方體的六個面，第二個球與這個正方體的各條棱相切，第三個球過這個正方體的各個頂點，求這三個球的表面積之比．
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角度(二)　球與其他多面體的切接問題　
特殊多面體的內(nèi)切球或外接球問題，要注意球心的位置與幾何體的關(guān)系．一般情況下，由于球的對稱性，球心總在特殊位置，比如幾何體的中心，對角線的中點等，還需熟記棱長為a的正四面體的外接球的半徑R＝a，內(nèi)切球的半徑r＝.
[例3]　設(shè)三棱柱的側(cè)棱垂直于底面，所有棱長都為a，頂點在一個球面上，則該球的表面積為(　　)
A．πa2　　B.πa2　　C.πa2　 D．5πa2
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角度(三)　球與旋轉(zhuǎn)體的切接問題　
球與圓柱的底面和側(cè)面均相切，則球的直徑等于圓柱的高，也等于圓柱底面圓的直徑．
[例4]　(1)若與球外切的圓臺的上、下底面半徑分別為r，R，則球的表面積為(　　)
A．4π(r＋R)2 B．4πr2R2
C．4πRr D．π(R＋r)2
(2)如圖，在圓柱O1O2內(nèi)有一個球O，該球與圓柱的上、下底面及母線均相切．記圓柱O1O2的體積為V1，球O的體積為V2，則的值是______．
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[針對訓(xùn)練]
2．已知一個圓錐底面半徑為1，母線長為3，則該圓錐內(nèi)切球的表面積為(　　)
A．π B.
C．2π D．3π
3．正四棱錐的頂點都在同一球面上，若該棱錐的高為4，底面邊長為2，則該球的表面積為________．
4．若圓柱內(nèi)接于球，圓柱的底面半徑為3，高為8，則球的表面積為________．
第2課時　與球有關(guān)的綜合問題
[題型(一)]
[例1]　選B　如圖，設(shè)截面圓的圓心為O′，M為截面圓上任一點，則OO′＝，O′M＝1.
∴OM＝＝，即球的半徑為.∴V＝π()3＝4π.
[針對訓(xùn)練]
1．解析：如圖，設(shè)球的半徑為R，球心為O，截面圓心為O1，則OO1＝R.
在△ABC中，∵AC2＋BC2＝AB2，∴∠ACB＝90°.
∴O1是AB的中點，即O1A＝5.又OO＋O1A2＝OA2，∴2＋52＝R2.
∴R2＝100，R＝10.∴球的表面積S球＝4πR2＝4π×102＝400π，球的體積V球＝πR3＝π×103＝π.
答案：400π　π
[題型(二)]
[例2]　解：設(shè)正方體的棱長為a，設(shè)三個球的半徑分別為r1，r2，r3.
①正方體的內(nèi)切球球心是正方體的中心，切點是六個面(正方形)的中心，經(jīng)過在一個平面上的四個切點及球心作截面，如圖(1)所示．
所以2r1＝a，r1＝，S1＝4πr＝πa2.
②球與正方體各棱的切點為每條棱的中點，過球心作正方體的對角面得截面，如圖(2)．
所以2r2＝a，r2＝a，所以S2＝4πr＝2πa2.
③正方體的各個頂點都在球面上，過球心作正方體的對角面得截面，如圖(3)所示．
則2r3＝a，∴r3＝a，S3＝4πr＝3πa2.
因此三個球的表面積之比為S1∶S2∶S3＝1∶2∶3.
[例3]　選B　如圖所示，設(shè)O1，O分別為上、下底面的中心，連接OO1，則球心O2為OO1的中點，連接AO并延長交BC于D點，連接AO2.
∵AD＝a，AO＝AD＝a，OO2＝，∴AO＝a2＋a2＝a2.
故該球的表面積S球＝4π×a2＝πa2.
[例4]　解析：(1)如圖，BE＝BO2＝r，AE＝AO1＝R，
又OE⊥AB且BO⊥OA，
∴△AEO∽△OEB.
∴OE2＝AE·BE＝Rr.
∴球的表面積為4πOE2＝4πRr.
(2)設(shè)球O的半徑為r，則圓柱的底面半徑為r，高為2r.所以＝＝.
答案：(1)C　(2)
[針對訓(xùn)練]
2.選C　依題意，作出圓錐與球的軸截面，如圖所示，設(shè)球的半徑為r，易知軸截面三角形邊AB上的高為2，因此＝，解得r＝，所以圓錐內(nèi)切球的表面積為4π×2＝2π，故選C.
3．解析：如圖所示，設(shè)球半徑為R，底面中心為O′且球心為O，
∵正四棱錐P ABCD中AB＝2，∴AO′＝.
∵PO′＝4，
∴在Rt△AOO′中，AO2＝AO′2＋OO′2，
∴R2＝()2＋(4－R)2，解得R＝，
∴該球的表面積為4πR2＝4π×2＝.
答案：
4．解析：如圖，由條件知，O1A＝3，OO1＝4，所以O(shè)A＝5，所以球的表面積為100π.
答案：100π(共51張PPT)
與球有關(guān)的綜合問題
(教學(xué)方式:拓展融通課—習(xí)題講評式教學(xué))
第2課時
CONTENTS
目錄
1
2
3
題型(一)　球的截面問題
題型(二)　與球有關(guān)的切、接問題
課時跟蹤檢測
題型(一)　球的截面問題
01
1.球的截面形狀
(1)當(dāng)截面過球心時,截面的半徑即球的半徑,此時球的截面就是球的大圓;
(2)當(dāng)截面不過球心時,截面的半徑小于球的半徑,此時球的截面就是球的小圓.
2.球的截面的性質(zhì)
(1)球心和截面圓心的連線垂直于截面;
(2)球心到截面的距離d與球的半徑R及截面的半徑r之間滿足關(guān)系式:d=.
[例1]　平面α截球O的球面所得圓的半徑為1.球心O到平面α的距離為,則此球的體積為(　　)
A.π B.4π
C.4π D.6π
√
解析:如圖,設(shè)截面圓的圓心為O',M為截面圓上任一點,則OO'=,O'M=1.
∴OM==,即球的半徑為.
∴V=π()3=4π.
|思|維|建|模|
(1)有關(guān)球的截面問題,常畫出過球心的截面圓,將問題轉(zhuǎn)化為平面中圓的有關(guān)問題解決.
(2)注意一個直角三角形,即由球心距(球心到截面圓心的距離)、截面圓的半徑、球的半徑圍成一個直角三角形,滿足勾股定理.
1.已知過球面上三點A,B,C的截面到球心的距離等于球半徑的倍,且AC=8,BC=6,AB=10,則球的表面積是　　　,體積是　　　.
解析:如圖,設(shè)球的半徑為R,球心為O,截面圓心為O1,則OO1=R.
針對訓(xùn)練
400π　
π
在△ABC中,∵AC2+BC2=AB2,∴∠ACB=90°.∴O1是AB的中點,即O1A=5.又O+O1A2=OA2,∴+52=R2.∴R2=100,R=10.∴球的表面積S球=4πR2=4π×102=400π,球的體積V球=πR3=π×103=π.
題型(二)　與球有關(guān)的切、接問題
02
角度(一)　球與正(長)方體的切接問題 　
處理與球有關(guān)的相接、相切問題時,關(guān)鍵是根據(jù)“接點”和“切點”作一適當(dāng)?shù)慕孛?將空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題.
(1)球內(nèi)切于正方體,切點為正方體各個面的中心,正方體的棱長等于球的直徑.
(2)球外接于正方體,正方體的頂點均在球面上,正方體的體對角線長等于球的直徑.
[例2]　有三個球,第一個球內(nèi)切于正方體的六個面,第二個球與這個正方體的各條棱相切,第三個球過這個正方體的各個頂點,求這三個球的表面積之比.
解:設(shè)正方體的棱長為a,設(shè)三個球的半徑分別為r1,r2,r3.
①正方體的內(nèi)切球球心是正方體的中心,切點是六個面
(正方形)的中心,經(jīng)過在一個平面上的四個切點及球心
作截面,如圖(1)所示.
所以2r1=a,r1=,S1=4π=πa2.
②球與正方體各棱的切點為每條棱的中點,過球心作正方體的對角面得截面,如圖(2).
所以2r2=a,r2=a,所以S2=4π=2πa2.
③正方體的各個頂點都在球面上,過球心作正方體的對角面得截面,如圖(3)所示.
則2r3=a,∴r3=a,S3=4π=3πa2.
因此三個球的表面積之比為S1∶S2∶S3=1∶2∶3.
角度(二)　球與其他多面體的切接問題 　
特殊多面體的內(nèi)切球或外接球問題,要注意球心的位置與幾何體的關(guān)系.一般情況下,由于球的對稱性,球心總在特殊位置,比如幾何體的中心,對角線的中點等,還需熟記棱長為a的正四面體的外接球的半徑R=a,內(nèi)切球的半徑r=.
[例3]　設(shè)三棱柱的側(cè)棱垂直于底面,所有棱長都為a,頂點在一個球面上,則該球的表面積為 (　　)
A.πa2 B.πa2
C.πa2 D.5πa2
√
解析:如圖所示,設(shè)O1,O分別為上、下底面的中心,連接OO1,則球心O2為OO1的中點,連接AO并延長交BC于D點,連接AO2.
∵AD=a,AO=AD=a,OO2=,∴A=a2+a2=a2.
故該球的表面積S球=4π×a2=πa2.
角度(三)　球與旋轉(zhuǎn)體的切接問題 　
　　球與圓柱的底面和側(cè)面均相切,則球的直徑等于圓柱的高,也等于圓柱底面圓的直徑.
[例4]　(1)若與球外切的圓臺的上、下底面半徑分別為r,R,則球的表面積為 (　　)
A.4π(r+R)2 B.4πr2R2
C.4πRr D.π(R+r)2
解析:如圖,BE=BO2=r,
AE=AO1=R,
又OE⊥AB且BO⊥OA,
√
∴△AEO∽△OEB.
∴OE2=AE·BE=Rr.
∴球的表面積為4πOE2=4πRr.
(2)如圖,在圓柱O1O2內(nèi)有一個球O,該球與圓柱的上、下底面及母線均相切.記圓柱O1O2的體積為V1,球O的體積為V2,則的值是　　　　.
解析:設(shè)球O的半徑為r,則圓柱的底面半徑為r,高為2r.所以==.
2.已知一個圓錐底面半徑為1,母線長為3,則該圓錐內(nèi)切球的表面積為 (　　)
A.π B.
C.2π D.3π
√
針對訓(xùn)練
解析:依題意,作出圓錐與球的軸截面,如圖所示,設(shè)球的半徑為r,易知軸截面三角形邊AB上的高為2,因此=,
解得r=,所以圓錐內(nèi)切球的表面積為4π×=2π,故選C.
3.正四棱錐的頂點都在同一球面上,若該棱錐的高為4,底面邊長為2,則該球的表面積為　　　　.
解析:如圖所示,設(shè)球半徑為R,底面中心為O'且球心為O,
∵正四棱錐P ABCD中AB=2,∴AO'=.∵PO'=4,
∴在Rt△AOO'中,AO2=AO'2+OO'2,
∴R2=()2+(4-R)2,解得R=,
∴該球的表面積為4πR2=4π×=.
4.若圓柱內(nèi)接于球,圓柱的底面半徑為3,高為8,則球的表面積為　　　.
解析:如圖,由條件知,O1A=3,OO1=4,所以O(shè)A=5,所以球的表面積為100π.
100π
課時跟蹤檢測
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A級——達標(biāo)評價
1.將直徑為2的半圓繞直徑所在的直線旋轉(zhuǎn)半周而形成的曲面所圍成的幾何體的表面積為(　　)
A.2π B.3π
C.4π D.6π
解析:由題意知,該幾何體為半球,表面積為大圓面積加上半個球面面積,則S=π×12+×4×π×12=3π.
√
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2.一個長、寬、高分別為80 cm、60 cm、100 cm的長方體形狀的水槽裝有適量的水,現(xiàn)放入一個直徑為40 cm的木球(水沒有溢出).如果木球正好一半在水中,一半在水上,那么水槽中的水面升高了 (　　)
A. cm B. cm
C. cm D. cm
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解析:直徑為40 cm的木球,一半在水中,一半在水上,可得木球在水中的體積V=×πR3= cm3.∵木球在水中的體積等于水槽上升的體積,水槽上升的體積為Sh,∴水槽上升的高度h==.故選B.
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3.用與球心距離為的平面去截球,截面面積為π,則球的體積為(　　)
A. B.
C.8π D.
解析:設(shè)截面半徑為r,球的半徑為R,截面與球心距離為d=.由題意得,截面面積S=πr2=π,解得r=1.因為R2=r2+d2=1+3=4,所以R=2.所以球的體積V=πR3=.故選A.
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4.已知長方體的長、寬、高分別為1,1,2,并且其頂點都在球O的球面上,則球O的體積是 (　　)
A.π B.π
C.2π D.6π
解析:長方體的體對角線即為外接球的直徑,故外接球的半徑r==,故外接球的體積為=π=π.故選B.
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5.如圖是某燈具廠生產(chǎn)的一批不倒翁型臺燈外形,它由一個圓錐和一個半球組合而成,圓錐的高是0.4 m,底面直徑和球的直徑都是0.6 m,現(xiàn)對這個臺燈表面涂膠,如果每平方米需要涂200克,則共需涂膠(精確到個位數(shù)) (　　)
A.176克 B.207克
C.239克 D.270克
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解析:由已知得圓錐的母線長l==0.5,所以臺燈表面積為S=πrl+2πr2=π×0.3×0.5+2π×0.32=0.33π.需要涂膠的重量為0.33π×200=66π≈66×3.14=207.24≈207(克),故選B.
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6.將一個棱長為6的正方體鐵塊磨制成一個球體零件,求可能制作的最大零件的體積為　　　　.
解析:正方體的棱長為6,要使制作成球體零件的體積最大,則球內(nèi)切于正方體,則球的直徑為6,半徑為3.∴可能制作的最大零件的體積為V=π×33=36π.
36π
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7.(2023·全國甲卷)在正方體ABCD A1B1C1D1中,E,F分別為AB,C1D1的中點.以EF為直徑的球的球面與該正方體的棱共有　　　　個公共點.
解析:如圖,線段EF過正方體的中心,所以以EF為直徑的球的球心即正方體的中心,球的半徑為.而正方體的中心到每一條棱的距離均為,所以以EF為直徑的球與每一條棱均相切.所以共有12個公共點.
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8.若一個四面體的四個面中,有兩個面都是直角邊長為1的等腰直角三角形,另兩個面都是直角邊長分別為1和的直角三角形,則該四面體的外接球的表面積為　　　　.
解析:滿足題意的四面體為如圖所示的正方體中的三棱錐V ABC,
VA=AB=BC=1,VB=AC=.其外接球即為該正方體的
外接球,故其半徑為R=.
所以該四面體外接球的表面積為4π×=3π.
3π
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9.(15分)某組合體的直觀圖如圖所示,它的中間為圓柱形,左、右兩端均為半球形,若圖中r=1,l=3,試求該組合體的表面積和體積.
解:該組合體的表面積S=4πr2+2πrl=4π×12+2π×1×3=10π,該組合體的體積V=πr3+πr2l=π×13+π×12×3=.
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10.(15分)在高一年級一次社會實踐活動中,一組學(xué)生的任務(wù)
是用數(shù)控機床把一個半徑為2的鋁合金球加工成一個工件,
這個工件是具有公共底面圓的兩個圓錐形(如圖),且這兩個
圓錐的頂點和底面圓周都在這個球面上,已知圓錐底面面積是這個球面面積的.
(1)求此次加工工件的利用率(加工成品工件的體積與球的體積之比);
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解:設(shè)球半徑為R,圓錐底面半徑為r.
∵πr2=×4πR2,∴r=R=.
如圖,設(shè)較大圓錐與較小圓錐的高分別為h1,h2,
則V工件=V1+V2=πr2(h1+h2)=π()2×4=4π,加工工件的利用率==.
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(2)求工件的表面積.
解:由題意知,OC=R=2,O1C=r=.
∴OO1==1.
∴BO1=h1=3,AO1=h2=1.
得大、小圓錐的母線長為l1=2,l2=2,大、小圓錐的側(cè)面積之和為S=S1+S2=πr(l1+l2)=π×(2+2)=2(3+)π.
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B級——重點培優(yōu)
11.在三棱錐P ABC中,PA,AB,AC兩兩垂直,AP=3,BC=6,則三棱錐外接球的表面積為(　　)
A.57π B.63π
C.45π D.84π
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解析:由于PA,AB,AC兩兩垂直,故可得該三棱錐為長方體的一部分,因為外接球半徑為長方體體對角線的一半,所以R===.故S=4πR2=45π,故選C.
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12.長方體ABCD A1B1C1D1中,棱AD=1,且其外接球的體積為36π,則此長方體體積的最大值為 (　　)
A. B.
C.8 D.4
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解析:設(shè)AB=a,AA1=b,長方體外接球半徑為R,∵長方體外接球體積為36π,∴πR3=36π,
解得R=3.∴R==3,解得a2+b2=35.
∴長方體體積V=ab≤=(當(dāng)且僅當(dāng)a=b時取等號).
∴長方體體積的最大值為.故選B.
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13.魏晉時期數(shù)學(xué)家劉徽在他的著作《九章算術(shù)注》中,稱一個正方體內(nèi)兩個互相垂直的內(nèi)切圓柱所圍成的幾何體為“牟合方蓋”.劉徽通過計算得知正方體的內(nèi)切球的體積與“牟合方蓋”的體積之比應(yīng)為π∶4.若正方體的棱長為2,則“牟合方蓋”的體積為 (　　)
A.16 B.16
C. D.
√
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解析:若正方體的棱長為2,則其內(nèi)切球的半徑r=1,∴正方體的內(nèi)切球的體積V球=π×13=π.又已知=,∴V牟合方蓋=×π=.故選C.
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14.如圖,圓臺O1O2中,O1O2=,其外接球的球心O在線段O1O2上,上、下底面的半徑分別為r1=1,r2=,則圓臺外接球的表面積為　　　　.
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解析:設(shè)外接球半徑為R,則+=,解得R2=.所以圓臺外接球的表面積為4πR2=.
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15.球的一個內(nèi)接圓錐滿足:球心到該圓錐底面的距離是球半徑的一半,則該圓錐的體積和此球體積的比值為　　　　.
解析: ①當(dāng)圓錐頂點與底面在球心兩側(cè)時,如圖所示,設(shè)球半徑為r,則球心到該圓錐底面的距離是,于是圓錐的底面半徑為=,高為.
或
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該圓錐的體積為×π××=πr3,
球的體積為πr3,
∴該圓錐的體積和此球體積的比值為=.
②同理,當(dāng)圓錐頂點與底面在球心同側(cè)時,該圓錐的體積和此球體積的比值為.課時跟蹤檢測(二十七)　與球有關(guān)的綜合問題
(滿分100分，A級選填小題每題5分，B級選填小題每題6分)
A級——達標(biāo)評價
1．將直徑為2的半圓繞直徑所在的直線旋轉(zhuǎn)半周而形成的曲面所圍成的幾何體的表面積為(　　)
A．2π B．3π
C．4π D．6π
2．一個長、寬、高分別為80 cm、60 cm、100 cm的長方體形狀的水槽裝有適量的水，現(xiàn)放入一個直徑為40 cm的木球(水沒有溢出)．如果木球正好一半在水中，一半在水上，那么水槽中的水面升高了(　　)
A. cm B. cm
C. cm D. cm
3．用與球心距離為的平面去截球，截面面積為π，則球的體積為(　　)
A. B.
C．8π D.
4．已知長方體的長、寬、高分別為1,1,2，并且其頂點都在球O的球面上，則球O的體積是(　　)
A.π B.π
C．2π D．6π
5.如圖是某燈具廠生產(chǎn)的一批不倒翁型臺燈外形，它由一個圓錐和一個半球組合而成，圓錐的高是0.4 m，底面直徑和球的直徑都是0.6 m，現(xiàn)對這個臺燈表面涂膠，如果每平方米需要涂200克，則共需涂膠(精確到個位數(shù))(　　)
A．176克 B．207克
C．239克 D．270克
6．將一個棱長為6的正方體鐵塊磨制成一個球體零件，求可能制作的最大零件的體積為________.
7．(2023·全國甲卷)在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別為AB，C1D1的中點．以EF為直徑的球的球面與該正方體的棱共有________個公共點.
8．若一個四面體的四個面中，有兩個面都是直角邊長為1的等腰直角三角形，另兩個面都是直角邊長分別為1和的直角三角形，則該四面體的外接球的表面積為__________.
9．(15分)某組合體的直觀圖如圖所示，它的中間為圓柱形，左、右兩端均為半球形，若圖中r＝1，l＝3，試求該組合體的表面積和體積.
10.(15分)在高一年級一次社會實踐活動中，一組學(xué)生的任務(wù)是用數(shù)控機床把一個半徑為2的鋁合金球加工成一個工件，這個工件是具有公共底面圓的兩個圓錐形(如圖)，且這兩個圓錐的頂點和底面圓周都在這個球面上，已知圓錐底面面積是這個球面面積的.
(1)求此次加工工件的利用率(加工成品工件的體積與球的體積之比)；
(2)求工件的表面積．
B級——重點培優(yōu)
11．在三棱錐P－ABC中，PA，AB，AC兩兩垂直，AP＝3，BC＝6，則三棱錐外接球的表面積為(　　)
A．57π B．63π
C．45π D．84π
12．長方體ABCD－A1B1C1D1中，棱AD＝1，且其外接球的體積為36π，則此長方體體積的最大值為(　　)
A. B.
C．8 D．4
13．魏晉時期數(shù)學(xué)家劉徽在他的著作《九章算術(shù)注》中，稱一個正方體內(nèi)兩個互相垂直的內(nèi)切圓柱所圍成的幾何體為“牟合方蓋”．劉徽通過計算得知正方體的內(nèi)切球的體積與“牟合方蓋”的體積之比應(yīng)為π∶4.若正方體的棱長為2，則“牟合方蓋”的體積為(　　)
A．16 B．16
C. D.
14.如圖，圓臺O1O2中，O1O2＝，其外接球的球心O在線段O1O2上，上、下底面的半徑分別為r1＝1，r2＝，則圓臺外接球的表面積為________.
15．球的一個內(nèi)接圓錐滿足：球心到該圓錐底面的距離是球半徑的一半，則該圓錐的體積和此球體積的比值為________.
課時跟蹤檢測(二十七)
1．選B　由題意知，該幾何體為半球，表面積為大圓面積加上半個球面面積，則S＝π×12＋×4×π×12＝3π.
2．選B　直徑為40 cm的木球，一半在水中，一半在水上，可得木球在水中的體積V＝×πR3＝ cm3.∵木球在水中的體積等于水槽上升的體積，水槽上升的體積為Sh，∴水槽上升的高度h＝＝.故選B.
3．選A　設(shè)截面半徑為r，球的半徑為R，截面與球心距離為d＝.由題意得，截面面積S＝πr2＝π，解得r＝1.因為R2＝r2＋d2＝1＋3＝4，所以R＝2.所以球的體積V＝πR3＝.故選A.
4．選B　長方體的體對角線即為外接球的直徑，故外接球的半徑r＝＝，故外接球的體積為＝π＝π.故選B.
5．選B　由已知得圓錐的母線長l＝＝0.5，所以臺燈表面積為S＝πrl＋2πr2＝π×0.3×0.5＋2π×0.32＝0.33π.需要涂膠的重量為0.33π×200＝66π≈66×3.14＝207.24≈207(克)，故選B.
6．解析：正方體的棱長為6，要使制作成球體零件的體積最大，則球內(nèi)切于正方體，則球的直徑為6，半徑為3.∴可能制作的最大零件的體積為V＝π×33＝36π.
答案：36π
7．解析：如圖，線段EF過正方體的中心，所以以EF為直徑的球的球心即正方體的中心，球的半徑為.而正方體的中心到每一條棱的距離均為，所以以EF為直徑的球與每一條棱均相切．所以共有12個公共點．
答案：12
8．解析：滿足題意的四面體為如圖所示的正方體中的三棱錐V ABC，
VA＝AB＝BC＝1，VB＝AC＝.其外接球即為該正方體的外接球，故其半徑為R＝.所以該四面體外接球的表面積為4π×2＝3π.
答案：3π
9．解：該組合體的表面積S＝4πr2＋2πrl＝4π×12＋2π×1×3＝10π，該組合體的體積V＝πr3＋πr2l＝π×13＋π×12×3＝.
10．解：(1)設(shè)球半徑為R，圓錐底面半徑為r.
∵πr2＝×4πR2，∴r＝R＝.
如圖，設(shè)較大圓錐與較小圓錐的高分別為h1，h2，
則V工件＝V1＋V2＝πr2·(h1＋h2)＝π()2×4＝4π，加工工件的利用率＝＝.
(2)由題意知，OC＝R＝2，O1C＝r＝.
∴OO1＝＝1.
∴BO1＝h1＝3，AO1＝h2＝1.
得大、小圓錐的母線長為l1＝2，l2＝2，大、小圓錐的側(cè)面積之和為S＝S1＋S2＝πr(l1＋l2)＝π×(2＋2)＝2(3＋)π.
11．選C　由于PA，AB，AC兩兩垂直，故可得該三棱錐為長方體的一部分，因為外接球半徑為長方體體對角線的一半，所以R＝＝＝.故S＝4πR2＝45π，故選C.
12.選B　設(shè)AB＝a，AA1＝b，長方體外接球半徑為R，∵長方體外接球體積為36π，∴πR3＝36π，解得R＝3.
∴R＝
＝3，
解得a2＋b2＝35.∴長方體體積V＝ab≤＝(當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時取等號)．
∴長方體體積的最大值為.故選B.
13．選C　若正方體的棱長為2，則其內(nèi)切球的半徑r＝1，∴正方體的內(nèi)切球的體積V球＝π×13＝π.又已知＝，
∴V牟合方蓋＝×π＝.故選C.
14．解析：設(shè)外接球半徑為R，則＋＝，解得R2＝.所以圓臺外接球的表面積為4πR2＝.
答案：
15．解析：①當(dāng)圓錐頂點與底面在球心兩側(cè)時，如圖所示，設(shè)球半徑為r，則球心到該圓錐底面的距離是，于是圓錐的底面半徑為＝，高為.該圓錐的體積為×π×2×＝πr3，球的體積為πr3，∴該圓錐的體積和此球體積的比值為＝.
②同理，當(dāng)圓錐頂點與底面在球心同側(cè)時，該圓錐的體積和此球體積的比值為.
答案：或

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