資源簡介

8.4.1 平面—— (教學方式：深化學習課—梯度進階式教學)
[課時目標]
1．借助日常生活中的實物，在直觀認識空間點、直線、平面的位置關系的基礎上，抽象出空間點、直線、平面的位置關系的定義．
2．了解基本事實1～3和確定平面的推論，掌握平面的畫法及表示方法．
1．平面
(1)畫法
我們常用矩形的直觀圖，即________________表示平面．當平面水平放置時，常把平行四邊形的一邊畫成________；當平面豎直放置時，常把平行四邊形的一邊畫成________．
(2)表示方法
①用希臘字母____________等表示平面，如平面α，平面β，平面γ等，并將它寫在代表平面的平行四邊形的一個______內．
②用代表平面的平行四邊形的________作為這個平面的名稱，如平面ABCD.
③用代表平面的平行四邊形的相對的______表示的大寫字母作為這個平面的名稱，如平面AC或者平面BD.
2．平面的基本性質及作用
(1)基本事實
項目 文字語言 圖形語言 符號語言 作用
基本事實1 過__________的三個點，________一個平面 A，B，C三點不共線 存在唯一的平面α使A，B，C∈α ①確定平面的依據②判定點線共面
基本事實2 如果一條直線上的______在一個平面內，那么這條直線在_________ A∈l，B∈l，且A∈α，B∈α ________ ①確定直線在平面內的依據②判定點在平面內
基本事實3 如果兩個不重合的平面有一個公共點，那么它們有且只有一條過該點的________ P∈α且________ α∩β＝l，且P∈l ①判定兩平面相交的依據②判定點在直線上
(2)平面的基本事實的三個推論
推論 內容 圖形 作用
推論1 經過一條直線和這條直線外一點，_______平面 確定平面的依據
推論2 經過兩條__________，有且只有一個平面
推論3 經過兩條__________，有且只有一個平面
|微|點|助|解|　
準確認識三個基本事實的意義和作用
(1)要注意基本事實1的條件“不在一條直線上的三個點”，事實上，同一直線上的三個點不能確定一個平面．
(2)從集合的角度看，基本事實2可以表述為：如果一條直線上有兩個點屬于一個平面，那么這條直線就是這個平面的真子集．即整條直線在平面內．
(3)基本事實3反映了平面與平面的位置關系——相交，只要“兩平面共有一點”，就有“兩平面共有一條直線”，且點在直線上，直線是唯一的．
1.如圖所示的平行四邊形MNPQ表示的平面不能記為(　　)
A．平面MN 　　　 B．平面NQP
C．平面α 　　　 D．平面MNPQ
2．“直線a經過平面α外一點P”用符號表示為(　　)
A．P∈a，a∥α　　　 B．a∩α＝P
C．P∈a，P α D．P∈a，a α
3．下列圖形中，不一定是平面圖形的是(　　)
A．三角形 B．菱形
C．梯形 D．四條邊相等的四邊形
題型(一)　文字語言、圖形語言、符號語言的相互轉化
[例1]　用符號表示下列語句，并畫出圖形．
(1)平面α與β相交于直線l，直線a與α，β分別相交于點A，B.
(2)點A，B在平面α內，直線a與平面α交于點C，點C不在直線AB上．
聽課記錄：
|思|維|建|模|
三種語言轉換的注意點
(1)用文字語言、符號語言表示一個圖形時，首先仔細觀察圖形有幾個平面、幾條直線且相互之間的位置關系如何，試著用文字語言表示，再用符號語言表示．
(2)要注意符號語言的意義，如點與直線的位置關系只能用“∈”或“ ”，直線與平面的位置關系只能用“ ”或“ ”．
(3)根據符號語言或文字語言畫相應的圖形時，要注意實線和虛線的區別．　　
[針對訓練]
1．如圖所示，用符號語言可表達為(　　)
A．α∩β＝m，n α，m∩n＝A
B．α∩β＝m，n∈α，m∩n＝A
C．α∩β＝m，n α，A m，A n
D．α∩β＝m，n∈α，A∈m，A∈n
2．如果A點在直線a上，而直線a在平面α內，點B在α內，可以用集合語言和符號表示為(　　)
A．A a，a α，B∈α B．A∈a，a α，B∈α
C．A a，a∈α，B α D．A∈a，a∈α，B∈α
題型(二)　點、線共面問題
[例2]　 如圖，已知a α，b α，a∩b＝A，P∈b，PQ∥a，求證：PQ α.
　　
聽課記錄：
[變式拓展]
將本例中的兩條平行線改為三條，即求證：和同一條直線相交的三條平行直線一定在同一平面內，符號表示為已知a∥b∥c，l∩a＝A，l∩b＝B，l∩c＝C.求證：a，b，c和l共面．
|思|維|建|模|
證明點、線共面問題的常用方法
(1)先由部分點、線確定一個平面，再證其余的點、線都在這個平面內，即用“納入法”；
(2)先由其中一部分點、線確定一個平面α，其余點、線確定另一個平面β，再證平面α與β重合，即用“同一法”；
(3)假設不共面，結合題設推出矛盾，即用“反證法”．　　
[針對訓練]
3.已知A，B，C，D，E是空間五個點，且線段CE，AC和BD兩兩相交，求證：A，B，C，D，E這五個點在同一平面上．
題型(三)　點共線、線共點問題
[例3]　已知在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E，F分別為D1C1，C1B1的中點，求證：DE，BF，CC1三線交于一點．
聽課記錄：
[變式拓展]
本例條件增加“AC∩BD＝P，A1C1∩EF＝Q，若A1C交平面DBFE于點R，”其他條件不變，求證：P，Q，R三點共線．
|思|維|建|模|
1．證明三點共線的方法
(1)首先找出兩個平面，然后證明這三點都是這兩個平面的公共點，根據基本事實3可知，這些點都在兩個平面的交線上．
(2)選擇其中兩點確定一條直線，然后證明另一點也在此直線上．
2．證明三線共點的步驟
證明三線共點問題可把其中一條作為分別過其余兩條直線的兩個平面的交線，然后再證兩條直線的交點在此直線上．　　
[針對訓練]
4.如圖，在四邊形ABCD中，已知AB∥CD，直線AB，BC，AD，DC分別與平面α相交于點E，G，H，F，求證：E，F，G，H四點必定共線．
8．4.1　平　面
課前預知教材
1．(1)平行四邊形　橫向　豎向
(2)①α、β、γ　角　②四個頂點　③兩個頂點　
2．(1)不在一條直線上　有且只有　兩個點　這個平面內　l α　公共直線　P∈β　
(2)有且只有一個　相交直線　平行直線　
[基礎落實訓練]
1．選A　表示平面不能用一條線段的兩個端點表示，但可以表示為平面MP.故選A.
2．選C　由于點P在平面α外，所以有P α.又直線a經過點P，所以P∈a.故選C.
3．選D　三角形的三個頂點為不共線的三點，因此一定是平面圖形；菱形、梯形分別有兩組、一組對邊平行，故為平面圖形；四邊相等的四邊形可能為空間四邊形．
?課堂題點研究
　[題型(一)]
[例1]　解：(1)用符號表示：α∩β＝l，a∩α＝A，a∩β＝B，如圖．
(2)用符號表示：A∈α，B∈α，a∩α＝C，C AB，如圖．
[針對訓練]
1．選A　如題圖所示，兩個平面α與β相交于直線m，直線n在平面α內，直線m和直線n相交于點A，故用符號語言可表達為α∩β＝m，n α，m∩n＝A.
2．選B　A點在直線a上，而直線a在平面α內，點B在α內，表示為A∈a，a α，B∈α.
　[題型(二)]
[例2]　證明：因為PQ∥a，所以PQ與a確定一個平面β.所以直線a β，點P∈β.
因為P∈b，b α，所以P∈α.又因為a α，P a，所以α與β重合，所以PQ α.
[變式拓展]
證明：
如圖，∵a∥b，
∴a與b確定一個平面α.
∵l∩a＝A，l∩b＝B，∴A∈α，B∈α.
又∵A∈l，B∈l，∴l α.
∵b∥c，∴b與c確定一個平面β，同理l β.
∵平面α與β都包含l和b，且b∩l＝B，
由基本事實1的推論知，經過兩條相交直線有且只有一個平面，∴平面α與平面β重合．∴a，b，c和l共面．
[針對訓練]
3．證明：設CE∩BD＝M，CA∩BD＝N，
∵CA∩CE＝C，
∴CA，CE確定一個平面α.
∵M∈CE，∴M∈α，同理N∈α.
∴直線MN即直線BD α，
∴B∈α，D∈α.
∴A，B，C，D，E這五個點在同一平面上．
　[題型(三)]
[例3]　證明：因為EF∥BD且EF＜BD，所以DE與BF相交，設交點為M，則由M∈DE，DE 平面D1DCC1，得M∈平面D1DCC1.同理，點M∈平面B1BCC1.又平面D1DCC1∩平面B1BCC1＝CC1，所以M∈CC1.所以DE，BF，CC1三線交于一點M.
[變式拓展]
證明：在正方體ABCD A1B1C1D1中，設平面AA1C1C為α，
平面BDEF為β.
因為Q∈A1C1，所以Q∈α.又Q∈EF，所以Q∈β.所以Q是α與β的公共點．
同理，P也是α與β的公共點．所以α∩β＝PQ.
又A1C∩β＝R，所以R∈A1C，R∈α，且R∈β.則R∈PQ，故P，Q，R三點共線．
[針對訓練]
4．證明：因為AB∥CD，所以AB，CD確定一個平面β.又因為AB∩α＝E，AB β，所以E∈α，E∈β，即E為平面α與β的一個公共點．同理可證F，G，H均為平面α與β的公共點，因為若兩個平面有公共點，那么它們有且只有一條通過公共點的公共直線，所以E，F，G，H四點必定共線．(共57張PPT)
8.4.1
平面
（教學方式：深化學習課——梯度進階式教學）
課時目標
1.借助日常生活中的實物,在直觀認識空間點、直線、平面的位置關系的基礎上,抽象出空間點、直線、平面的位置關系的定義.
2.了解基本事實1~3和確定平面的推論,掌握平面的畫法及表示方法.
CONTENTS
目錄
1
2
3
課前預知教材·自主落實基礎
課堂題點研究·遷移應用融通
課時跟蹤檢測
課前預知教材·自主落實基礎
01
1.平面
(1)畫法
我們常用矩形的直觀圖,即____________表示平面.
當平面水平放置時,常把平行四邊形的一邊畫成_____;當平面豎直放置時,常把平行四邊形的一邊畫成______.
平行四邊形
橫向
豎向
(2)表示方法
①用希臘字母_________等表示平面,如平面α,平面β,平面γ等,并將它寫在代表平面的平行四邊形的一個___內.
②用代表平面的平行四邊形的__________作為這個平面的名稱,如平面ABCD.
③用代表平面的平行四邊形的相對的_________表示的大寫字母作為這個平面的名稱,如平面AC或者平面BD.
α、β、γ
角
四個頂點
兩個頂點
2.平面的基本性質及作用
(1)基本事實
項目 文字語言 圖形語言 符號語言 作用
基本事實1 過_______________的三個點,_________ 一個平面 A,B,C三點不共線 存在唯一的平面α使A,B,C∈α ①確定平面的依據
②判定點線共面
不在一條直線上
有且只有
基本事實2 如果一條直線上的_______在一個平面內,那么這條直線在____________ A∈l,B∈l,且A∈α, B∈α _____ ①確定直線在平面內的依據
②判定點在平面內
兩個點
這個平面內
l α
續表
基本事實3 如果兩個不重合的平面有一個公共點,那么它們有且只有一條過該點的__________ P∈α且_____ α∩β=l, 且P∈l ①判定兩平面相交的依據
②判定點在直線上
P∈β
公共直線
續表
(2)平面的基本事實的三個推論
推論 內容 圖形 作用
推論1 經過一條直線和這條直線外一點, _____________平面 確定平面的依據
推論2 經過兩條_________,有且只有一個平面
推論3 經過兩條__________,有且只有一個平面
有且只有一個
相交直線
平行直線
|微|點|助|解|
準確認識三個基本事實的意義和作用
(1)要注意基本事實1的條件“不在一條直線上的三個點”,事實上,同一直線上的三個點不能確定一個平面.
(2)從集合的角度看,基本事實2可以表述為:如果一條直線上有兩個點屬于一個平面,那么這條直線就是這個平面的真子集.即整條直線在平面內.
(3)基本事實3反映了平面與平面的位置關系——相交,只要“兩平面共有一點”,就有“兩平面共有一條直線”,且點在直線上,直線是唯一的.
基礎落實訓練
1.如圖所示的平行四邊形MNPQ表示的平面不能記為 (　　)
A.平面MN 　　　B.平面NQP
C.平面α 　　　D.平面MNPQ
解析:表示平面不能用一條線段的兩個端點表示,但可以表示為平面MP.故選A.
√
2.“直線a經過平面α外一點P”用符號表示為 (　　)
A.P∈a,a∥α B.a∩α=P
C.P∈a,P α D.P∈a,a α
解析:由于點P在平面α外,所以有P α.又直線a經過點P,所以P∈a.故選C.
√
3.下列圖形中,不一定是平面圖形的是 (　　)
A.三角形 B.菱形
C.梯形 D.四條邊相等的四邊形
解析:三角形的三個頂點為不共線的三點,因此一定是平面圖形;菱形、梯形分別有兩組、一組對邊平行,故為平面圖形;四邊相等的四邊形可能為空間四邊形.
√
課堂題點研究·遷移應用融通
02
題型(一)　文字語言、圖形語言、符號語言的相互轉化
[例1]　用符號表示下列語句,并畫出圖形.
(1)平面α與β相交于直線l,直線a與α,β分別相交于點A,B.
解:用符號表示:α∩β=l,a∩α=A,a∩β=B,如圖.
(2)點A,B在平面α內,直線a與平面α交于點C,點C不在直線AB上.
解:用符號表示:A∈α,B∈α,a∩α=C,C AB,如圖.
|思|維|建|模|
三種語言轉換的注意點
(1)用文字語言、符號語言表示一個圖形時,首先仔細觀察圖形有幾個平面、幾條直線且相互之間的位置關系如何,試著用文字語言表示,再用符號語言表示.
(2)要注意符號語言的意義,如點與直線的位置關系只能用“∈”或“ ”,直線與平面的位置關系只能用“ ”或“ ”.
(3)根據符號語言或文字語言畫相應的圖形時,要注意實線和虛線的區別.
1.如圖所示,用符號語言可表達為 (　　)
A.α∩β=m,n α,m∩n=A B.α∩β=m,n∈α,m∩n=A
C.α∩β=m,n α,A m,A nq D.α∩β=m,n∈α,A∈m,A∈n
解析:如題圖所示,兩個平面α與β相交于直線m,直線n在平面α內,直線m和直線n相交于點A,故用符號語言可表達為α∩β=m,n α,m∩n=A.
√
針對訓練
2.如果A點在直線a上,而直線a在平面α內,點B在α內,可以用集合語言和符號表示為 (　　)
A.A a,a α,B∈α B.A∈a,a α,B∈α
C.A a,a∈α,B α D.A∈a,a∈α,B∈α
解析: A點在直線a上,而直線a在平面α內,點B在α內,表示為A∈a,a α,
B∈α.
√
題型(二)　點、線共面問題
[例2]　 如圖,已知a α,b α,a∩b=A,P∈b,PQ∥a,求證:PQ α.
證明:因為PQ∥a,所以PQ與a確定一個平面β.所以直線a β,點P∈β.因為P∈b,b α,所以P∈α.
又因為a α,P a,所以α與β重合,所以PQ α.
將本例中的兩條平行線改為三條,即求證:和同一條直線相交的三條平行直線一定在同一平面內,符號表示為已知a∥b∥c,l∩a=A,l∩b=B,
l∩c=C.求證:a,b,c和l共面.
證明:如圖,∵a∥b,
∴a與b確定一個平面α.
∵l∩a=A,l∩b=B,∴A∈α,B∈α.
變式拓展
又∵A∈l,B∈l,∴l α.
∵b∥c,∴b與c確定一個平面β,同理l β.
∵平面α與β都包含l和b,且b∩l=B,
由基本事實1的推論知,經過兩條相交直線有且只有一個平面,∴平面α與平面β重合.
∴a,b,c和l共面.
證明點、線共面問題的常用方法
(1)先由部分點、線確定一個平面,再證其余的點、線都在這個平面內,即用“納入法”;
(2)先由其中一部分點、線確定一個平面α,其余點、線確定另一個平面β,再證平面α與β重合,即用“同一法”;
(3)假設不共面,結合題設推出矛盾,即用“反證法”.
|思|維|建|模|
3.已知A,B,C,D,E是空間五個點,且線段CE,AC和BD兩兩相交,求證:A,B,
C,D,E這五個點在同一平面上.
針對訓練
證明:設CE∩BD=M,CA∩BD=N,
∵CA∩CE=C,∴CA,CE確定一個平面α.
∵M∈CE,∴M∈α,同理N∈α.
∴直線MN即直線BD α,
∴B∈α,D∈α.∴A,B,C,D,E這五個點在同一平面上.
題型(三)　點共線、線共點問題
[例3]　已知在正方體ABCD A1B1C1D1中,E,F分別為D1C1,C1B1的中點,求證:DE,BF,CC1三線交于一點.
證明:因為EF∥BD且EF為M,則由M∈DE,DE 平面D1DCC1,得M∈平面D1DCC1.
同理,點M∈平面B1BCC1.又平面D1DCC1∩平面B1BCC1=
CC1,所以M∈CC1.所以DE,BF,CC1三線交于一點M.
本例條件增加“AC∩BD=P,A1C1∩EF=Q,若A1C交平面DBFE于點R,”其他條件不變,求證:P,Q,R三點共線.
證明:在正方體ABCD A1B1C1D1中,設平面AA1C1C為α,
平面BDEF為β.
因為Q∈A1C1,所以Q∈α.又Q∈EF,所以Q∈β.所以Q是
α與β的公共點.同理,P也是α與β的公共點.所以α∩β=PQ.
又A1C∩β=R,所以R∈A1C,R∈α,且R∈β.則R∈PQ,故P,Q,R三點共線.
變式拓展
1.證明三點共線的方法
(1)首先找出兩個平面,然后證明這三點都是這兩個平面的公共點,根據基本事實3可知,這些點都在兩個平面的交線上.
(2)選擇其中兩點確定一條直線,然后證明另一點也在此直線上.
2.證明三線共點的步驟
證明三線共點問題可把其中一條作為分別過其余兩條直線的兩個平面的交線,然后再證兩條直線的交點在此直線上.
|思|維|建|模|
4.如圖,在四邊形ABCD中,已知AB∥CD,直線AB,BC,AD,DC分別與平面α相交于點E,G,H,F,求證:E,F,G,H四點必定共線.
變式拓展
證明:因為AB∥CD,所以AB,CD確定一個平面β.又因為AB∩α=E,AB β,所以E∈α,E∈β,即E為平面α與β的一個公共點.同理可證F,G,H均為平面α與β的公共點,因為若兩個平面有公共點,那么它們有且只有一條通過公共點的公共直線,所以E,F,G,H四點必定共線.
課時跟蹤檢測
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A級——達標評價
1.(多選)已知α,β為平面,A,B,M,N為點,a為直線,則下列推理正確的是(　　)
A.A∈a,A∈β,B∈a,B∈β a β
B.M∈α,M∈β,N∈α,N∈β α∩β=MN
C.A∈α,A∈β α∩β=A
D.A,B,M∈α,A,B,M∈β,且A,B,M不共線 α,β重合
√
√
√
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解析:由基本事實2知A正確;由基本事實3知B正確;由基本事實1知D正確;對于C,因為A∈α,A∈β,所以A∈α∩β.由基本事實3可知α∩β為經過A的一條直線而不是A,且α∩β=A的寫法錯誤.故選A、B、D.
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2.(多選)下面四個命題不正確的是 (　　)
A.三個不同的點確定一個平面
B.一條直線和一個點確定一個平面
C.空間兩兩相交的三條直線確定一個平面
D.兩條平行直線確定一個平面
√
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解析:對于A,三個不共線的點確定一個平面,故錯誤;對于B,一條直線和直線外一個點確定一個平面,故錯誤;對于C,空間兩兩相交的三條直線,且不能交于同一點,確定一個平面,故錯誤;對于D,兩條平行直線確定一個平面,正確.故選A、B、C.
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3.一條直線和直線外的三點所確定的平面有 (　　)
A.1個或3個 B.1個或4個
C.1個、3個或4個 D.1個、2個或4個
解析:若三點在同一條直線上,且與已知直線平行或相交,由推論2和推論3知,均確定1個平面;若三點中有兩點的連線和已知直線平行時可確定3個平面;若三點不共線,且該直線在由該三點確定的平面外,則可確定4個平面,故選C.
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4.如果空間四點A,B,C,D不共面,那么下列判斷正確的是 (　　)
A.A,B,C,D四點中必有三點共線
B.A,B,C,D四點中不存在三點共線
C.直線AB與CD相交
D.直線AB與CD平行
解析:兩條平行直線、兩條相交直線、直線及直線外一點都分別確定一個平面.
√
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5.如圖,α∩β=l,A∈α,C∈β,C l,直線AD∩l=D,過A,B,C三點確定的平面為γ,則平面γ,β的交線必過 (　　)
A.點A B.點B
C.點C,但不過點D D.點C和點D
解析: A,B,C確定的平面γ與直線BD和點C確定的平面重合,故C,D∈γ,且C,D∈β,故C,D在γ和β的交線上.
√
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6.如圖,在正方體ABCD A1B1C1D1中,試根據圖形填空:
(1)平面AB1∩平面A1C1=　　　　.
解析:平面AB1與平面A1C1相交,交線為A1B1.
A1B1
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(2)平面A1C1CA∩平面AC=　　　　.
解析:平面A1C1CA與平面AC相交,交線為AC.
(3)平面A1C1CA∩平面D1B1BD=　　　　.
解析:平面A1C1CA與平面D1B1BD相交,交線為OO1.
(4)平面A1C1,平面B1C,平面AB1的公共點為　　　　.
解析:平面A1C1,平面B1C,平面AB1三平面交于一點B1.
AC　
OO1　
B1
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7.設平面α與平面β相交于l,直線a α,直線b β,a∩b=M,則M　　l.
解析:因為a∩b=M,a α,b β,所以M∈α,M∈β.又因為α∩β=l,所以M∈l.
∈
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8.三條平行直線最多能確定的平面的個數為　　　.
解析:當三條平行直線在一個平面內時,可以確定1個平面;當三條平行直線不在同一個平面上時,可以確定3個平面.綜上最多可確定3個平面.
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9.(8分)用符號語言表示下列語句,并畫出圖形.
(1)三個平面α,β,γ相交于一點P,且平面α與平面β相交于PA,平面α與平面γ相交于PB,平面β與平面γ相交于PC.
解:符號語言表示:
α∩β∩γ=P,α∩β=PA,α∩γ=PB,β∩γ=PC,
圖形表示如圖(1).
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(2)平面ABD與平面BDC相交于BD,平面ABC與平面ADC相交于AC.
解:符號語言表示:平面ABD∩平面BDC=BD,平面ABC∩平面ADC=AC,圖形表示如圖(2).
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10.(10分)如圖,D,E分別是△ABC的邊AC,BC上的點,平面
α經過D,E兩點.
(1)求作直線AB與平面α的交點P;
解:延長AB交平面α于點P,如圖所示.
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(2)求證:D,E,P三點共線.
解:證明:平面ABC∩平面α=DE,P∈AB,AB 平面ABC,
所以P∈平面ABC.
又P∈α,所以點P在平面α與平面ABC的交線DE上,
即P∈DE.
故D,E,P三點共線.
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B級——重點培優
11.如圖所示,在四面體中,若直線EF和GH相交,則它們的交點一定(　　)
A.在直線DB上
B.在直線AB上
C.在直線CB上
D.都不對
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解析:直線EF和GH相交,設交點為M,因為EF 平面ABD,HG 平面CBD,所以M∈平面ABD,且M∈平面CBD.因為平面ABD∩平面BCD=BD,所以M∈BD,所以EF與GH的交點在直線BD上.
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12.(多選)如圖,正方體ABCD A1B1C1D1中,若E,F,G分別為棱BC,CC1,B1C1的中點,O1,O2分別是四邊形ADD1A1,A1B1C1D1的中心,則 (　　)
A.A,C,O1,D1四點共面
B.D,E,G,F四點共面
C.A,E,F,D1四點共面
D.G,E,O1,O2四點共面
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解析:因為正方體ABCD A1B1C1D1中,E,F,G分別為棱BC,CC1,B1C1的中點,O1,O2分別為四邊形ADD1A1,A1B1C1D1的中心,所以O1是AD1的中點,所以O1在平面ACD1內,故A正確;因為E,G,F在平面BCC1B1內,D不在平面BCC1B1內,所以D,E,G,F四點不共面,故B錯誤;由已知可知EF∥AD1,所以A,E,F,D1四點共面,故C正確;連接GO2并延長(圖略),交A1D1于H,則H為A1D1的中點,連接HO1,則HO1∥GE,所以G,E,O1,O2四點共面,D正確.
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13.空間三條直線,如果其中一條直線和其他兩條直線都相交,那么這三條直線能確定的平面個數是　　　 .
解析:如圖,在正方體ABCD A1B1C1D1中,①AA1∩AB=A,
AA1∩A1B1=A1,則直線AB,A1B1與AA1可以確定一個平面
(平面ABB1A1).②AA1∩AB=A,AA1∩A1D1=A1,此時直線
AB,AA1與A1D1可以確定兩個平面(平面ABB1A1和平面ADD1A1).③三條直線AB,AD,AA1交于一點,此時它們可以確定三個平面(平面ABCD,平面ABB1A1和平面ADD1A1).
1、2或3
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14.(10分)如圖,△ABC與△A1B1C1不全等,且A1B1∥AB,B1C1∥BC,C1A1∥CA.
求證:AA1,BB1,CC1交于一點.
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證明:如圖所示,因為A1B1∥AB,所以A1B1
與AB確定一個平面,記為平面α.
同理,將B1C1與BC所確定的平面記為平面β,
C1A1與CA所確定的平面記為平面γ.
易知β∩γ=C1C.
又△ABC與△A1B1C1不全等,
所以AA1與BB1相交,設交點為P,P∈AA1,P∈BB1.
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而AA1 γ,BB1 β,所以P∈γ,P∈β,
所以P在平面β與平面γ的交線上.
又β∩γ=C1C,所以P∈C1C,
所以AA1,BB1,CC1交于一點.
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15.(14分)如圖,在直角梯形ABDC中,AB∥CD,AB>CD,S是直角梯形ABDC所在平面外一點,畫出平面SBD和平面SAC的交線.
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解:很明顯,點S是平面SBD和平面SAC的一個公共點,即點S在交線上.
由于AB>CD,則分別延長AC和BD交于點E,如圖所示,
∵E∈AC,AC 平面SAC,
∴E∈平面SAC.
同理,可證E∈平面SBD.
∴點E在平面SBD和平面SAC的交線上,則連接SE,直線SE就是平面SBD和平面SAC的交線.課時跟蹤檢測(二十八)　平面
(滿分100分，A級選填小題每題5分，B級選填小題每題6分)
A級——達標評價
1．(多選)已知α，β為平面，A，B，M，N為點，a為直線，則下列推理正確的是(　　)
A．A∈a，A∈β，B∈a，B∈β a β
B．M∈α，M∈β，N∈α，N∈β α∩β＝MN
C．A∈α，A∈β α∩β＝A
D．A，B，M∈α，A，B，M∈β，且A，B，M不共線 α，β重合
2．(多選)下面四個命題不正確的是(　　)
A．三個不同的點確定一個平面
B．一條直線和一個點確定一個平面
C．空間兩兩相交的三條直線確定一個平面
D．兩條平行直線確定一個平面
3．一條直線和直線外的三點所確定的平面有(　　)
A．1個或3個 B．1個或4個
C．1個、3個或4個 D．1個、2個或4個
4．如果空間四點A，B，C，D不共面，那么下列判斷正確的是(　　)
A．A，B，C，D四點中必有三點共線
B．A，B，C，D四點中不存在三點共線
C．直線AB與CD相交
D．直線AB與CD平行
5.如圖，α∩β＝l，A∈α，C∈β，C l，直線AD∩l＝D，過A，B，C三點確定的平面為γ，則平面γ，β的交線必過(　　)
A．點A B．點B
C．點C，但不過點D D．點C和點D
6.如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，試根據圖形填空：
(1)平面AB1∩平面A1C1＝________.
(2)平面A1C1CA∩平面AC＝________.
(3)平面A1C1CA∩平面D1B1BD＝________.
(4)平面A1C1，平面B1C，平面AB1的公共點為________.
7．設平面α與平面β相交于l，直線a α，直線b β，a∩b＝M，則M________l.
8．三條平行直線最多能確定的平面的個數為______.
9．(8分)用符號語言表示下列語句，并畫出圖形．
(1)三個平面α，β，γ相交于一點P，且平面α與平面β相交于PA，平面α與平面γ相交于PB，平面β與平面γ相交于PC.
(2)平面ABD與平面BDC相交于BD，平面ABC與平面ADC相交于AC.
10．(10分)如圖，D，E分別是△ABC的邊AC，BC上的點，平面α經過D，E兩點.
(1)求作直線AB與平面α的交點P；
(2)求證：D，E，P三點共線．
B級——重點培優
11．如圖所示，在四面體中，若直線EF和GH相交，則它們的
交點一定(　　)
A．在直線DB上
B．在直線AB上
C．在直線CB上
D．都不對
12．(多選)如圖，正方體ABCD－A1B1C1D1中，若E，F，G分別為棱BC，CC1，B1C1的中點，O1，O2分別是四邊形ADD1A1，A1B1C1D1的中心，則(　　)
A．A，C，O1，D1四點共面
B．D，E，G，F四點共面
C．A，E，F，D1四點共面
D．G，E，O1，O2四點共面
13．空間三條直線，如果其中一條直線和其他兩條直線都相交，那么這三條直線能確定的平面個數是________.
14.(10分)如圖，△ABC與△A1B1C1不全等，且A1B1∥AB，B1C1∥BC，C1A1∥CA.
求證：AA1，BB1，CC1交于一點．
15.(14分)如圖，在直角梯形ABDC中，AB∥CD，AB>CD，S是直角梯形ABDC所在平面外一點，畫出平面SBD和平面SAC的交線.
課時跟蹤檢測(二十八)
1．選ABD　由基本事實2知A正確；由基本事實3知B正確；由基本事實1知D正確；對于C，因為A∈α，A∈β，所以A∈α∩β.由基本事實3可知α∩β為經過A的一條直線而不是A，且α∩β＝A的寫法錯誤．故選A、B、D.
2．選ABC　對于A，三個不共線的點確定一個平面，故錯誤；對于B，一條直線和直線外一個點確定一個平面，故錯誤；對于C，空間兩兩相交的三條直線，且不能交于同一點，確定一個平面，故錯誤；對于D，兩條平行直線確定一個平面，正確．故選A、B、C.
3．選C　若三點在同一條直線上，且與已知直線平行或相交，由推論2和推論3知，均確定1個平面；若三點中有兩點的連線和已知直線平行時可確定3個平面；若三點不共線，且該直線在由該三點確定的平面外，則可確定4個平面，故選C.
4．選B　兩條平行直線、兩條相交直線、直線及直線外一點都分別確定一個平面．
5．選D　A，B，C確定的平面γ與直線BD和點C確定的平面重合，故C，D∈γ，且C，D∈β，故C，D在γ和β的交線上．
6．解析：(1)平面AB1與平面A1C1相交，交線為A1B1.
(2)平面A1C1CA與平面AC相交，交線為AC.
(3)平面A1C1CA與平面D1B1BD相交，交線為OO1.
(4)平面A1C1，平面B1C，平面AB1三平面交于一點B1.
答案：(1)A1B1　(2)AC　(3)OO1　(4)B1
7．解析：因為a∩b＝M，a α，b β，所以M∈α，M∈β.又因為α∩β＝l，所以M∈l.
答案：∈
8．解析：當三條平行直線在一個平面內時，可以確定1個平面；當三條平行直線不在同一個平面上時，可以確定3個平面．綜上最多可確定3個平面．
答案：3
9．解：(1)符號語言表示：
α∩β∩γ＝P，α∩β＝PA，α∩γ＝PB，β∩γ＝PC，
圖形表示如圖(1)．
(2)符號語言表示：平面ABD∩平面BDC＝BD，平面ABC∩平面ADC＝AC，圖形表示如圖(2)．
10．解：(1)延長AB交平面α于點P，如圖所示．
(2)證明：平面ABC∩平面α＝DE，P∈AB，AB 平面ABC，
所以P∈平面ABC.
又P∈α，所以點P在平面α與平面ABC的交線DE上，
即P∈DE.故D，E，P三點共線．
11．選A　直線EF和GH相交，設交點為M，因為EF 平面ABD，HG 平面CBD，所以M∈平面ABD，且M∈平面CBD.因為平面ABD∩平面BCD＝BD，所以M∈BD，所以EF與GH的交點在直線BD上．
12．選ACD　因為正方體ABCD A1B1C1D1中，E，F，G分別為棱BC，CC1，B1C1的中點，O1，O2分別為四邊形ADD1A1，A1B1C1D1的中心，所以O1是AD1的中點，所以O1在平面ACD1內，故A正確；因為E，G，F在平面BCC1B1內，D不在平面BCC1B1內，所以D，E，G，F四點不共面，故B錯誤；由已知可知EF∥AD1，所以A，E，F，D1四點共面，故C正確；連接GO2并延長(圖略)，交A1D1于H，則H為A1D1的中點，連接HO1，則HO1∥GE，所以G，E，O1，O2四點共面，D正確．
13．解析：如圖，在正方體ABCD A1B1C1D1中，①AA1∩AB＝A，AA1∩A1B1＝A1，則直線AB，A1B1與AA1可以確定一個平面(平面ABB1A1)．②AA1∩AB＝A，AA1∩A1D1＝A1，此時直線AB，AA1與A1D1可以確定兩個平面(平面ABB1A1和平面ADD1A1)．③三條直線AB，AD，AA1交于一點，此時它們可以確定三個平面(平面ABCD，平面ABB1A1和平面ADD1A1)．
答案：1、2或3
14．證明：如圖所示，因為A1B1∥AB，所以A1B1
與AB確定一個平面，記為平面α.
同理，將B1C1與BC所確定的平面記為平面β，C1A1與CA所確定的平面記為平面γ.
易知β∩γ＝C1C.
又△ABC與△A1B1C1不全等，
所以AA1與BB1相交，設交點為P，P∈AA1，P∈BB1.
而AA1 γ，BB1 β，所以P∈γ，P∈β，
所以P在平面β與平面γ的交線上．
又β∩γ＝C1C，所以P∈C1C，
所以AA1，BB1，CC1交于一點．
15．解：很明顯，點S是平面SBD和平面SAC的一個公共點，即點S在交線上．
由于AB>CD，則分別延長AC和BD交于點E，如圖所示，
∵E∈AC，AC 平面SAC，∴E∈平面SAC.
同理，可證E∈平面SBD.
∴點E在平面SBD和平面SAC的交線上，則連接SE，直線SE就是平面SBD和平面SAC的交線．

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