資源簡介

8.4.2 空間點、直線、平面之間的位置關(guān)系
(教學(xué)方式：深化學(xué)習(xí)課—梯度進階式教學(xué))
[課時目標]
1．借助長方體，了解兩條直線、直線與平面、平面與平面之間的位置關(guān)系．
2．能抽象出空間點、直線、平面的位置關(guān)系的定義，會用符號語言與圖形語言表示點、線、面之間的位置關(guān)系．
1．空間中兩直線的位置關(guān)系
(1)異面直線的定義和畫法
①定義：不同在__________平面內(nèi)的兩條直線叫做異面直線．
②畫法：如果直線a，b為異面直線，為了表示它們不共面的特點，作圖時，通常用一個或兩個平面來襯托，如圖甲、乙．
(2)空間兩條直線的位置關(guān)系有三種
2．空間中直線與平面的位置關(guān)系
位置關(guān)系 直線在平面內(nèi) 直線在平面外
直線與平面相交 直線與平面平行
公共點 無數(shù)個 1個 0個
符號語言 a α a∩α＝A a∥α
圖形語言
|微|點|助|解|　
若a α，則平面α內(nèi)的直線與直線a有平行或相交的關(guān)系；若直線a與平面α相交，則平面α內(nèi)的直線與直線a有相交或異面的關(guān)系；若a∥α，則平面α內(nèi)的直線與直線a有平行或異面的關(guān)系．
3．空間中平面與平面的位置關(guān)系
位置關(guān)系 兩個平面平行 兩個平面相交
公共點 __________ 有________個公共點(在一條直線上)
符號語言 __________ α∩β＝l
圖形語言
|微|點|助|解|　
判斷平面與平面的位置關(guān)系的注意點
若α∥β，則其中一個平面內(nèi)的直線與另一個平面平行，其中一個平面內(nèi)的任意一條直線與另一個平面內(nèi)的直線有平行或異面的關(guān)系；若α∩β＝l，則其中一個平面內(nèi)的直線與另一個平面平行或相交或直線在平面內(nèi)，則其中一個平面內(nèi)的直線與另一個平面內(nèi)的直線有平行或相交或異面的關(guān)系．
1．判斷正誤(正確的畫“√”，錯誤的畫“×”)
(1)沒有公共點的兩條直線一定是異面直線．(　　)
(2)兩直線垂直，則這兩條直線一定相交．(　　)
(3)兩直線和第三條直線成等角，則這兩條直線平行．(　　)
2．直線l與平面α有兩個公共點，則(　　)
A．l∈α B．l∥α
C．l與α相交 D．l α
3．三棱臺的一條側(cè)棱所在直線與其對面所在的平面之間的關(guān)系是(　　)
A．相交 B．平行
C．直線在平面內(nèi) D．平行或直線在平面內(nèi)
4．正方體的六個面中相互平行的平面有(　　)
A．2對 B．3對
C．4對 D．5對
題型(一)　直線與直線位置關(guān)系的判斷
[例1]　 (1)如圖所示，點P，Q，R，S分別在正方體的四條棱上，且是所在棱的中點，則直線PQ與RS是異面直線的是(　　)
(2)若a和b是異面直線，b和c是異面直線，則a和c的位置關(guān)系是(　　)
A．平行
B．異面
C．相交
D．平行、相交或異面
聽課記錄：
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1．判斷空間中兩條直線位置關(guān)系的訣竅
(1)建立空間觀念，全面考慮兩條直線平行、相交和異面三種位置關(guān)系．特別關(guān)注異面直線．
(2)重視正方體等常見幾何體模型的應(yīng)用，會舉例說明兩條直線的位置關(guān)系．
2．判定兩條直線是異面直線的方法
(1)定義法：證明兩條直線既不平行又不相交．
(2)重要結(jié)論：連接平面內(nèi)一點與平面外一點的直線，和這個平面內(nèi)不經(jīng)過此點的直線是異面直線．用符號語言可表示為l α，A α，B∈α，B l AB與l是異面直線(如圖)．
[針對訓(xùn)練]
1．(多選)下面是長方體ABCD－A1B1C1D1的幾條棱，其中符合條件“與直線A1D1既不相交也不平行”的是(　　)
A．AB B．B1C1
C．B1B D．CD
2．如圖，在長方體ABCD－A1B1C1D1中，
(1)直線A1B與直線D1C的位置關(guān)系是________；
(2)直線A1B與直線B1C的位置關(guān)系是________；
(3)直線D1D與直線D1C的位置關(guān)系是______；
(4)直線AB與直線B1C的位置關(guān)系是________．
題型(二)　直線與平面位置關(guān)系的判斷
[例2]　(多選)下列命題中，正確的命題是(　　)
A．如果直線a和平面α滿足a∥α，那么a與平面α內(nèi)的任何一條直線平行
B．如果直線a，b滿足a∥α，b∥α，則a∥b
C．如果直線a，b和平面α滿足a∥b，a∥α，b α，那么b∥α
D．如果平面α的同側(cè)有兩點A，B到平面α的距離相等，則AB∥α
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直線與平面位置關(guān)系的判斷
(1)空間直線與平面位置關(guān)系的分類是解決問題的突破口，這類判斷問題，常用分類討論的方法解決．另外，借助模型(如正方體、長方體等)也是解決這類問題的有效方法．
(2)要證明直線在平面內(nèi)，只要證明直線上兩點在平面內(nèi)；要證明直線與平面相交，只需說明直線與平面只有一個公共點；要證明直線與平面平行，則必須說明直線與平面沒有公共點．　　
[針對訓(xùn)練]
3．(多選)若a，b表示直線，α表示平面，則以下命題為假命題的是(　　)
A．若a∥b，b α，則a∥α
B．若a α，則a與α有無數(shù)個公共點
C．若a∥b，b∥α，則a∥α
D．若a∥α，b α，則a∥b或a與b異面
4．如圖，在長方體ABCD－A1B1C1D1中，指出B1C，BD1與各面的位置關(guān)系．
題型(三)　平面與平面位置關(guān)系的判斷
[例3]　如果在兩個平面內(nèi)分別有一條直線，這兩條直線互相平行，那么兩個平面的位置關(guān)系一定是(　　)
A．平行 B．相交
C．平行或相交 D．不能確定
聽課記錄：
[變式拓展]
　本例若將條件“這兩條直線互相平行”改為“這兩條直線是異面直線”，則兩個平面的位置關(guān)系如何？
|思|維|建|模|
1．平面與平面的位置關(guān)系的判斷方法
(1)平面與平面相交的判斷，主要是以基本事實3為依據(jù)找出一個交點．
(2)平面與平面平行的判斷，主要是說明兩個平面沒有公共點．
2．常見的平面和平面平行的模型
(1)棱柱、棱臺、圓柱、圓臺的上、下底面平行．
(2)長方體的六個面中，三組相對面平行．　　
[針對訓(xùn)練]
5．(多選)以下四個命題中，正確的命題有(　　)
A．在平面α內(nèi)有兩條直線和平面β平行，那么這兩個平面平行
B．在平面α內(nèi)有無數(shù)條直線和平面β平行，那么這兩個平面平行
C．平面α內(nèi)△ABC的三個頂點在平面β的同一側(cè)且到平面β的距離相等且不為0，那么這兩個平面平行
D．平面α內(nèi)有無數(shù)個點到平面β的距離相等且不為0，那么這兩個平面平行或相交
6.如圖，三棱柱ABC－A1B1C1中，平面ABC與其余的面之間有什么位置關(guān)系？
8．4.2　空間點、直線、平面之間的位置關(guān)系
課前預(yù)知教材
1．(1)①任何一個　(2)一個　沒有　任何一個
3．沒有公共點　無數(shù)　α∥β
[基礎(chǔ)落實訓(xùn)練]
1．(1)×　(2)×　(3)×
2．選D　根據(jù)基本事實2可知，l α.
3．選A　延長各側(cè)棱可恢復(fù)成棱錐的形狀，所以三棱臺的一條側(cè)棱所在直線與其對面所在的平面相交．故選A.
4．選B　正方體有6個面，有三組對面，這三組對面都相互平行．
?課堂題點研究
　[題型(一)]
[例1]　解析：(1)A、B中，PQ∥RS，D中，PQ和RS相交．故選C.
(2)可借助長方體來判斷．如圖，在長方體ABCD A′B′C′D′中，A′D′所在直線為a，AB所在直線為b，已知a和b是異面直線，b和c是異面直線，則c可以是長方體ABCD A′B′C′D′中的B′C′，CC′，DD′.故a和c可以平行、相交或異面．
答案：(1)C　(2)D
[針對訓(xùn)練]
1.選ACD　如圖所示，由題意知與直線A1D1既不相交也不平行，則直線AB，直線B1B，直線CD均與直線A1D1異面，而直線B1C1與直線A1D1平行，所以B不正確， A、C、D正確．
2．(1)平行　(2)異面　(3)相交　(4)異面
　[題型(二)]
[例2]　選CD　如圖，在正方體ABCD A′B′C′D′中，AA′∥平面BCC′B′，BC 平面BCC′B′，但AA′不平行于BC，故命題A不正確；AA′∥平面BCC′B′，A′D′∥平面BCC′B′，但AA′與A′D′相交，所以B不正確；C中，假設(shè)b與α相交，因為a∥b，所以a與α相交，這與a∥α矛盾，故b∥α，即C正確；D顯然正確，故選C、D.
[針對訓(xùn)練]
3.選AC　可借助正方體來判斷．如圖，在正方體ABCD A1B1C1D1中，A1B1∥AB，AB 平面ABB1A1，A1B1 平面ABB1A1，故A錯誤；易知B正確；AB∥CD，CD∥平面ABB1A1，AB 平面ABB1A1，故C錯誤；因為a∥α，所以a與α無公共點，又b在α內(nèi)，所以a與b無公共點，所以a∥b或a與b異面，故D正確．
4．解：①B1C 平面BCC1B1，B1C∥平面ADD1A1，B1C與其余4個面相交．
②BD1與6個面都相交．
　[題型(三)]
[例3]　選C　逆向考慮畫兩平行面，看是否能在此兩面內(nèi)畫兩條平行線．同樣畫兩相交面，看是否能在此兩面內(nèi)畫兩條平行線，再作出選擇(如圖所示)．
[變式拓展]
解：如圖①②，a α，b β，a，b異面．由圖知這兩個平面可能平行，也可能相交．
[針對訓(xùn)練]
5．選CD　當(dāng)兩個平面相交時，一個平面內(nèi)有無數(shù)條直線平行于它們的交線，即平行另一個平面，所以A、B錯誤．可判斷C、D正確．
6．解：∵幾何體ABC A1B1C1為三棱柱，∴平面ABC與平面A1B1C1平行．∵平面ABC與平面ABB1A1有公共直線AB，∴平面ABC與平面ABB1A1相交．同理可得平面ABC與平面ACC1A1及平面BCC1B1均相交．(共60張PPT)
8.4.2
空間點、直線、平面之間的位置關(guān)系
（教學(xué)方式：深化學(xué)習(xí)課——梯度進階式教學(xué)）
課時目標
1.借助長方體,了解兩條直線、直線與平面、平面與平面之間的位置關(guān)系.
2.能抽象出空間點、直線、平面的位置關(guān)系的定義,會用符號語言與圖形語言表示點、線、面之間的位置關(guān)系.
CONTENTS
目錄
1
2
3
課前預(yù)知教材·自主落實基礎(chǔ)
課堂題點研究·遷移應(yīng)用融通
課時跟蹤檢測
課前預(yù)知教材·自主落實基礎(chǔ)
01
1.空間中兩直線的位置關(guān)系
(1)異面直線的定義和畫法
①定義:不同在_________平面內(nèi)的兩條直線叫做異面直線.
②畫法:如果直線a,b為異面直線,為了表示它們不共面的特點,作圖時,通常用一個或兩個平面來襯托,如圖甲、乙.
任何一個
(2)空間兩條直線的位置關(guān)系有三種
2.空間中直線與平面的位置關(guān)系
位置關(guān)系 直線在平面內(nèi) 直線在平面外
直線與平面相交 直線與平面平行
公共點 無數(shù)個 1個 0個
符號語言 a α a∩α=A a∥α
圖形語言
|微|點|助|解|
　　若a α,則平面α內(nèi)的直線與直線a有平行或相交的關(guān)系;若直線a與平面α相交,則平面α內(nèi)的直線與直線a有相交或異面的關(guān)系;若a∥α,則平面α內(nèi)的直線與直線a有平行或異面的關(guān)系.
3.空間中平面與平面的位置關(guān)系
位置關(guān)系 兩個平面平行 兩個平面相交
公共點 ______________________________ 有_____個公共點(在一條直線上)
符號語言 ____________ α∩β=l
圖形語言
沒有公共點
無數(shù)
α∥β
|微|點|助|解|
判斷平面與平面的位置關(guān)系的注意點
　　若α∥β,則其中一個平面內(nèi)的直線與另一個平面平行,其中一個平面內(nèi)的任意一條直線與另一個平面內(nèi)的直線有平行或異面的關(guān)系;若α∩β=l,則其中一個平面內(nèi)的直線與另一個平面平行或相交或直線在平面內(nèi),則其中一個平面內(nèi)的直線與另一個平面內(nèi)的直線有平行或相交或異面的關(guān)系.
基礎(chǔ)落實訓(xùn)練
1.判斷正誤(正確的畫“√”,錯誤的畫“×”)
(1)沒有公共點的兩條直線一定是異面直線. (　　)
(2)兩直線垂直,則這兩條直線一定相交. (　　)
(3)兩直線和第三條直線成等角,則這兩條直線平行. (　　)
×
×
×
2.直線l與平面α有兩個公共點,則 (　　)
A.l∈α B.l∥α
C.l與α相交 D.l α
解析:根據(jù)基本事實2可知,l α.
√
3.三棱臺的一條側(cè)棱所在直線與其對面所在的平面之間的關(guān)系是 (　　)
A.相交 B.平行
C.直線在平面內(nèi) D.平行或直線在平面內(nèi)
解析:延長各側(cè)棱可恢復(fù)成棱錐的形狀,所以三棱臺的一條側(cè)棱所在直線與其對面所在的平面相交.故選A.
√
4.正方體的六個面中相互平行的平面有 (　　)
A.2對 B.3對
C.4對 D.5對
解析:正方體有6個面,有三組對面,這三組對面都相互平行.
√
課堂題點研究·遷移應(yīng)用融通
02
題型(一)　直線與直線位置關(guān)系的判斷
[例1]　 (1)如圖所示,點P,Q,R,S分別在正方體的四條棱上,且是所在棱的中點,則直線PQ與RS是異面直線的是(　　)
√
解析: A、B中,PQ∥RS,D中,PQ和RS相交.故選C.
(2)若a和b是異面直線,b和c是異面直線,則a和c的位置關(guān)系是 (　　)
A.平行 B.異面
C.相交 D.平行、相交或異面
√
解析:可借助長方體來判斷.如圖,在長方體ABCD A'B'C'D'中,A'D'所在直線為a,AB所在直線為b,已知a和b是異面直線,b和c是異面直線,則c可以是長方體ABCD A'B'C'D'中的B'C',CC',DD'.故a和c可以平行、相交或異面.
|思|維|建|模|
1.判斷空間中兩條直線位置關(guān)系的訣竅
(1)建立空間觀念,全面考慮兩條直線平行、相交和異面三種位置關(guān)系.特別關(guān)注異面直線.
(2)重視正方體等常見幾何體模型的應(yīng)用,會舉例說明兩條直線的位置關(guān)系.
2.判定兩條直線是異面直線的方法
(1)定義法:證明兩條直線既不平行又不相交.
(2)重要結(jié)論:連接平面內(nèi)一點與平面外一點的直線,和這個平面內(nèi)不經(jīng)過此點的直線是異面直線.用符號語言可表示為l α,A α,B∈α,B l AB與l是異面直線(如圖).
1.(多選)下面是長方體ABCD A1B1C1D1的幾條棱,其中符合條件“與直線A1D1既不相交也不平行”的是 (　　)
A.AB B.B1C1
C.B1B D.CD
√
微點練明
√
√
解析:如圖所示,由題意知與直線A1D1既不相交也不平行,則直線AB,直線B1B,直線CD均與直線A1D1異面,而直線B1C1與直線A1D1平行,所以B不正確, A、C、D正確.
2.如圖,在長方體ABCD A1B1C1D1中,
(1)直線A1B與直線D1C的位置關(guān)系是　　　　;
(2)直線A1B與直線B1C的位置關(guān)系是　　　　;
(3)直線D1D與直線D1C的位置關(guān)系是　　　;
(4)直線AB與直線B1C的位置關(guān)系是　　　　.
平行　
異面　
相交　
異面
題型(二)　直線與平面位置關(guān)系的判斷
[例2]　(多選)下列命題中,正確的命題是(　　)
A.如果直線a和平面α滿足a∥α,那么a與平面α內(nèi)的任何一條直線平行
B.如果直線a,b滿足a∥α,b∥α,則a∥b
C.如果直線a,b和平面α滿足a∥b,a∥α,b α,那么b∥α
D.如果平面α的同側(cè)有兩點A,B到平面α的距離相等,則AB∥α
√
√
解析:如圖,在正方體ABCD A'B'C'D'中,AA'∥平面BCC'B',BC 平面BCC'B',但AA'不平行于BC,故命題A不正確;AA'∥平面BCC'B',A'D'∥平面BCC'B',但AA'與A'D'相交,所以B不正確;C中,假設(shè)b與α相交,因為a∥b,所以a與α相交,這與a∥α矛盾,故b∥α,即C正確;D顯然正確,故選C、D.
|思|維|建|模|
直線與平面位置關(guān)系的判斷
(1)空間直線與平面位置關(guān)系的分類是解決問題的突破口,這類判斷問題,常用分類討論的方法解決.另外,借助模型(如正方體、長方體等)也是解決這類問題的有效方法.
(2)要證明直線在平面內(nèi),只要證明直線上兩點在平面內(nèi);要證明直線與平面相交,只需說明直線與平面只有一個公共點;要證明直線與平面平行,則必須說明直線與平面沒有公共點.
3.(多選)若a,b表示直線,α表示平面,則以下命題為假命題的是 (　　)
A.若a∥b,b α,則a∥α
B.若a α,則a與α有無數(shù)個公共點
C.若a∥b,b∥α,則a∥α
D.若a∥α,b α,則a∥b或a與b異面
針對訓(xùn)練
√
√
解析:可借助正方體來判斷.如圖,在正方體ABCD A1B1C1D1中,
A1B1∥AB,AB 平面ABB1A1,A1B1 平面ABB1A1,故A錯誤;易知B正確;AB∥CD,CD∥平面ABB1A1,AB 平面ABB1A1,故C錯誤;因為a∥α,所以a與α無公共點,又b在α內(nèi),所以a與b無公共點,所以a∥b或a與b異面,故D正確.
4.如圖,在長方體ABCD A1B1C1D1中,指出B1C,BD1與各面的位置關(guān)系.
解: ①B1C 平面BCC1B1,B1C∥平面ADD1A1,B1C與其余4個面相交.
②BD1與6個面都相交.
題型(三)　平面與平面位置關(guān)系的判斷
[例3]　如果在兩個平面內(nèi)分別有一條直線,這兩條直線互相平行,那么兩個平面的位置關(guān)系一定是(　　)
A.平行 B.相交
C.平行或相交 D.不能確定
√
解析:逆向考慮畫兩平行面,看是否能在此兩面內(nèi)畫兩條平行線.同樣畫兩相交面,看是否能在此兩面內(nèi)畫兩條平行線,再作出選擇(如圖所示).
[變式拓展]
　本例若將條件“這兩條直線互相平行”改為“這兩條直線是異面直線”,則兩個平面的位置關(guān)系如何
解:如圖①②,a α,b β,a,b異面.由圖知這兩個平面可能平行,也可能相交.
|思|維|建|模|
1.平面與平面的位置關(guān)系的判斷方法
(1)平面與平面相交的判斷,主要是以基本事實3為依據(jù)找出一個交點.
(2)平面與平面平行的判斷,主要是說明兩個平面沒有公共點.
2.常見的平面和平面平行的模型
(1)棱柱、棱臺、圓柱、圓臺的上、下底面平行.
(2)長方體的六個面中,三組相對面平行.
5.(多選)以下四個命題中,正確的命題有 (　　)
A.在平面α內(nèi)有兩條直線和平面β平行,那么這兩個平面平行
B.在平面α內(nèi)有無數(shù)條直線和平面β平行,那么這兩個平面平行
C.平面α內(nèi)△ABC的三個頂點在平面β的同一側(cè)且到平面β的距離相等且不為0,那么這兩個平面平行
D.平面α內(nèi)有無數(shù)個點到平面β的距離相等且不為0,那么這兩個平面平行或相交
針對訓(xùn)練
√
√
解析:當(dāng)兩個平面相交時,一個平面內(nèi)有無數(shù)條直線平行于它們的交線,即平行另一個平面,所以A、B錯誤.可判斷C、D正確.
6.如圖,三棱柱ABC A1B1C1中,平面ABC與其余的面之間有什么位置關(guān)系
解: ∵幾何體ABC A1B1C1為三棱柱,∴平面ABC與平面A1B1C1平行.∵平面ABC與平面ABB1A1有公共直線AB,∴平面ABC與平面ABB1A1相交.同理可得平面ABC與平面ACC1A1及平面BCC1B1均相交.
課時跟蹤檢測
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A級——達標評價
1.若a∩α=A,則a與平面α內(nèi)的直線b的位置關(guān)系是(　　)
A.平行 B.相交
C.異面 D.相交或異面
解析:若b過點A,則a與b相交,若b不過點A,則a與b異面.
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2.圓柱的兩個底面的位置關(guān)系是 (　　)
A.相交 B.平行
C.平行或異面 D.相交或異面
解析:圓柱的兩個底面無公共點,則它們平行.故選B.
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3.(多選)下列說法不正確的是 (　　)
A.若直線l上有無數(shù)個點不在平面α內(nèi),則l∥α
B.若直線l與平面α平行,則l與平面α內(nèi)的任意一條直線都平行
C.如果兩條平行直線中的一條與一個平面平行,那么另一條也與這個平面平行
D.若直線l與平面α平行,則l與平面α內(nèi)的任意一條直線都沒有公共點
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解析:如圖,借助長方體模型來判斷說法是否正確.A不正確,相交時也符合;B不正確,圖中,A'B與平面DCC'D'平行,但它與CD不平行;C不正確,另一條直線有可能在平面內(nèi),如AB∥CD,AB與平面DCC'D'平行,但直線CD在平面DCC'D'內(nèi);D正確,l與平面α平行,則l與平面α無公共點,l與平面α內(nèi)所有直線都沒有公共點.故選A、B、C.
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4.在正方體AC1中,E,F分別是線段BC,CD1的中點,則直線A1B與直線EF的位置關(guān)系是 (　　)
A.相交 B.異面
C.平行 D.垂直
解析:如圖所示,直線A1B與直線外一點E確定的平面為
A1BCD1,EF 平面A1BCD1,且兩直線不平行,故兩直線
相交.
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5.過直線l外兩點可以作l的平行線條數(shù)為 (　　)
A.1 B.2
C.3 D.0或1
解析:以如圖所示的長方體ABCD A1B1C1D1為例.令A(yù)1B1
所在直線為直線l,過l外的兩點A,B可以作一條直線與l平
行,過l外的兩點B,C不能作直線與l平行,故選D.
√
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6.若點A∈α,B α,C α,則平面ABC與平面α的位置關(guān)系是　　　.
解析: ∵點A∈α,B α,C α,∴平面ABC與平面α有公共點,且不重合,
∴平面ABC與平面α的位置關(guān)系是相交.
相交
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7.平面α∩β=c,直線a∥α,a與β相交,則a與c的位置關(guān)系是　　　.
解析:因為a∥α,c α,所以a與c無公共點,不相交.若a∥c,則直線a∥β或a β.這與“a與β相交”矛盾,所以a與c異面.
異面
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8.若a,b是兩條異面直線,且a∥平面α,則b與α的位置關(guān)系是___________
__________.
解析: b與α有如下情況.
所以b與平面α有三種情況.
b α,b∥α或
b與α相交
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9.(8分)如圖是一個正方體的展開圖,如果將它還原成正方體,那么AB,CD,
EF,GH這四條線段所在直線是異面直線的有幾對 分別是哪幾對
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解:還原的正方體如圖所示,根據(jù)異面直線的判定方法知共有三對,分別為AB與CD,AB與GH,EF與GH.
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10.(10分)三個平面α,β,γ,如果α∥β,γ∩α=a,γ∩β=b,且直線c β,c∥b.
(1)判斷c與α的位置關(guān)系,并說明理由;
解: c∥α.因為α∥β,所以α與β沒有公共點.
又c β,所以c與α無公共點,則c∥α.
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(2)判斷c與a的位置關(guān)系,并說明理由.
解: c∥a.因為α∥β,所以α與β沒有公共點.
又γ∩α=a,γ∩β=b,則a α,b β,且a,b γ,
所以a,b沒有公共點.
由于a,b都在平面γ內(nèi),因此a∥b,
又c∥b,所以c∥a.
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B級——重點培優(yōu)
11.(多選)下列說法不正確的是(　　)
A.平面α與平面β,γ都相交,則這三個平面有2條或3條交線
B.兩個平面平行,各任取兩平面的一條直線,它們不相交
C.直線a不平行于平面α,則a不平行于α內(nèi)任何一條直線
D.如果α∥β,a∥α,那么a∥β
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解析: A錯誤,平面α與平面β,γ都相交,則這三個平面有可能有2條或3條交線,還有可能只有1條交線;B正確,兩平行平面無公共點,任取的直線也無公共點,即不相交;C錯誤,直線a不平行于平面α,則a有可能在平面α內(nèi),此時可以與平面內(nèi)無數(shù)條直線平行;D錯誤,如果α∥β,a∥α,那么a∥β或a β.
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12.已知平面α∥平面β,若P,Q是α,β之間的兩個點,則 (　　)
A.過P,Q的平面一定與α,β都相交
B.過P,Q有且僅有一個平面與α,β都平行
C.過P,Q的平面不一定與α,β都平行
D.過P,Q可作無數(shù)個平面與α,β都平行
√
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解析:當(dāng)過P,Q的直線與平面α,β相交時,過P,Q的平面一定與平面α,β都相交,排除選項B、D,當(dāng)過P,Q的直線與平面α,β平行時,過點P,Q可作唯一的一個平面與α,β都平行,排除選項A.
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13.如圖,正方體的底面與正四面體的底面在同一平面α上,且AB∥CD,則直線EF與正方體的六個面所在的平面相交的平面?zhèn)€數(shù)為　　　.
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解析:取CD的中點為G,連接EG,FG(圖略),由題意知平面EFG與正方體的左、右側(cè)面所在平面平行,從而EF與正方體的左、右側(cè)面所在的平面平行,與正方體的前、后側(cè)面及上、下底面所在平面相交.故直線EF與正方體的六個面所在的平面相交的平面?zhèn)€數(shù)為4.
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14.(10分)在正方體ABCD A1B1C1D1中,E,F分別為B1C1,A1D1的中點.求證:平面ABB1A1與平面CDFE相交.
證明:如圖所示,在正方體ABCD A1B1C1D1中,E為B1C1的中點,所以EC與B1B不平行,則延長CE與BB1必相交于一點H.所以H∈EC,H∈B1B.又知B1B 平面ABB1A1,CE 平面CDFE,
所以H∈平面ABB1A1,H∈平面CDFE,
故平面ABB1A1與平面CDFE相交.
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15.(14分)如圖,已知平面α和β相交于直線l,點A,點B∈α,點C∈β,且A l,
B l,C l,直線AB與l不平行,那么平面ABC與平面β的交線與l有什么關(guān)系 證明你的結(jié)論.
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解:平面ABC與平面β的交線與l相交.
證明如下:∵AB與l不平行,且AB α,l α,
∴AB與l是相交直線.
設(shè)AB∩l=P,則點P∈AB,點P∈l.
又∵AB 平面ABC,l β,
∴P∈平面ABC且P∈平面β,
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即點P是平面ABC與平面β的一個公共點.
而點C也是平面ABC與平面β的一個公共點,
又∵P,C不重合,∴直線PC就是平面ABC與平面β的交線.
即平面ABC∩平面β=直線PC,而直線PC∩l=P,∴平面ABC與平面β的交線與l相交.課時跟蹤檢測(二十九)　空間點、直線、平面之間的位置關(guān)系
(滿分100分，A級選填小題每題5分，B級選填小題每題6分)
A級——達標評價
1．若a∩α＝A，則a與平面α內(nèi)的直線b的位置關(guān)系是(　　)
A．平行 B．相交
C．異面 D．相交或異面
2．圓柱的兩個底面的位置關(guān)系是(　　)
A．相交 B．平行
C．平行或異面 D．相交或異面
3．(多選)下列說法不正確的是(　　)
A．若直線l上有無數(shù)個點不在平面α內(nèi)，則l∥α
B．若直線l與平面α平行，則l與平面α內(nèi)的任意一條直線都平行
C．如果兩條平行直線中的一條與一個平面平行，那么另一條也與這個平面平行
D．若直線l與平面α平行，則l與平面α內(nèi)的任意一條直線都沒有公共點
4．在正方體AC1中，E，F(xiàn)分別是線段BC，CD1的中點，則直線A1B與直線EF的位置關(guān)系是(　　)
A．相交 B．異面
C．平行 D．垂直
5．過直線l外兩點可以作l的平行線條數(shù)為(　　)
A．1 B．2
C．3 D．0或1
6．若點A∈α，B α，C α，則平面ABC與平面α的位置關(guān)系是________.
7．平面α∩β＝c，直線a∥α，a與β相交，則a與c的位置關(guān)系是________.
8．若a，b是兩條異面直線，且a∥平面α，則b與α的位置關(guān)系是________.
9.(8分)如圖是一個正方體的展開圖，如果將它還原成正方體，那么AB，CD，EF，GH這四條線段所在直線是異面直線的有幾對？分別是哪幾對？
10．(10分)三個平面α，β，γ，如果α∥β，γ∩α＝a，γ∩β＝b，且直線c β，c∥b.
(1)判斷c與α的位置關(guān)系，并說明理由；
(2)判斷c與a的位置關(guān)系，并說明理由．
B級——重點培優(yōu)
11．(多選)下列說法不正確的是(　　)
A．平面α與平面β，γ都相交，則這三個平面有2條或3條交線
B．兩個平面平行，各任取兩平面的一條直線，它們不相交
C．直線a不平行于平面α，則a不平行于α內(nèi)任何一條直線
D．如果α∥β，a∥α，那么a∥β
12．已知平面α∥平面β，若P，Q是α，β之間的兩個點，則(　　)
A．過P，Q的平面一定與α，β都相交
B．過P，Q有且僅有一個平面與α，β都平行
C．過P，Q的平面不一定與α，β都平行
D．過P，Q可作無數(shù)個平面與α，β都平行
13．如圖，正方體的底面與正四面體的底面在同一平面α上，且AB∥CD，則直線EF與正方體的六個面所在的平面相交的平面?zhèn)€數(shù)為________.
得分
14．(10分)在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別為B1C1，A1D1的中點．求證：平面ABB1A1與平面CDFE相交.
15．(14分)如圖，已知平面α和β相交于直線l，點A，點B∈α，點C∈β，且A l，B l，C l，直線AB與l不平行，那么平面ABC與平面β的交線與l有什么關(guān)系？證明你的結(jié)論.
課時跟蹤檢測(二十九)
1．選D　若b過點A，則a與b相交，若b不過點A，則a與b異面．
2．選B　圓柱的兩個底面無公共點，則它們平行．故選B.
3.選ABC　如圖，借助長方體模型來判斷說法是否正確．A不正確，相交時也符合；B不正確，圖中，A′B與平面DCC′D′平行，但它與CD不平行；C不正確，另一條直線有可能在平面內(nèi)，如AB∥CD，AB與平面DCC′D′平行，但直線CD在平面DCC′D′內(nèi)；D正確，l與平面α平行，則l與平面α無公共點，l與平面α內(nèi)所有直線都沒有公共點．故選A、B、C.
4.選A　如圖所示，直線A1B與直線外一點E確定的平面為A1BCD1，EF 平面A1BCD1，且兩直線不平行，故兩直線相交．
5.選D　以如圖所示的長方體ABCD A1B1C1D1為例．令A(yù)1B1所在直線為直線l，過l外的兩點A，B可以作一條直線與l平行，過l外的兩點B，C不能作直線與l平行，故選D.
6．解析：∵點A∈α，B α，C α，∴平面ABC與平面α有公共點，且不重合，∴平面ABC與平面α的位置關(guān)系是相交．
答案：相交
7．解析：因為a∥α，c α，所以a與c無公共點，不相交．若a∥c，則直線a∥β或a β.這與“a與β相交”矛盾，所以a與c異面．
答案：異面
8．解析：b與α有如下情況．
所以b與平面α有三種情況．
答案：b α，b∥α或b與α相交
9．解：還原的正方體如圖所示，根據(jù)異面直線的判定方法知共有三對，分別為AB與CD，AB與GH，EF與GH.
10．解：(1)c∥α.因為α∥β，所以α與β沒有公共點．
又c β，所以c與α無公共點，則c∥α.
(2)c∥a.因為α∥β，所以α與β沒有公共點．
又γ∩α＝a，γ∩β＝b，則a α，b β，且a，b γ，所以a，b沒有公共點．
由于a，b都在平面γ內(nèi)，因此a∥b，
又c∥b，所以c∥a.
11．選ACD　A錯誤，平面α與平面β，γ都相交，則這三個平面有可能有2條或3條交線，還有可能只有1條交線；B正確，兩平行平面無公共點，任取的直線也無公共點，即不相交；C錯誤，直線a不平行于平面α，則a有可能在平面α內(nèi)，此時可以與平面內(nèi)無數(shù)條直線平行；D錯誤，如果α∥β，a∥α，那么a∥β或a β.
12．選C　當(dāng)過P，Q的直線與平面α，β相交時，過P，Q的平面一定與平面α，β都相交，排除選項B、D，當(dāng)過P，Q的直線與平面α，β平行時，過點P，Q可作唯一的一個平面與α，β都平行，排除選項A.
13．解析：取CD的中點為G，連接EG，F(xiàn)G(圖略)，由題意知平面EFG與正方體的左、右側(cè)面所在平面平行，從而EF與正方體的左、右側(cè)面所在的平面平行，與正方體的前、后側(cè)面及上、下底面所在平面相交．故直線EF與正方體的六個面所在的平面相交的平面?zhèn)€數(shù)為4.
答案：4
14．證明：如圖所示，在正方體ABCD A1B1C1D1中，E為B1C1的中點，所以EC與B1B不平行，則延長CE與BB1必相交于一點H.所以H∈EC，H∈B1B.又知B1B 平面ABB1A1，CE 平面CDFE，
所以H∈平面ABB1A1，H∈平面CDFE，
故平面ABB1A1與平面CDFE相交．
15．解：平面ABC與平面β的交線與l相交．
證明如下：∵AB與l不平行，且AB α，l α，
∴AB與l是相交直線．
設(shè)AB∩l＝P，則點P∈AB，點P∈l.
又∵AB 平面ABC，l β，
∴P∈平面ABC且P∈平面β，
即點P是平面ABC與平面β的一個公共點．
而點C也是平面ABC與平面β的一個公共點，
又∵P，C不重合，∴直線PC就是平面ABC與平面β的交線．
即平面ABC∩平面β＝直線PC，而直線PC∩l＝P，∴平面ABC與平面β的交線與l相交．

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