資源簡介

8.5.1 直線與直線平行—— (教學(xué)方式：深化學(xué)習(xí)課—梯度進(jìn)階式教學(xué))
[課時(shí)目標(biāo)]
1．了解基本事實(shí)4及定理(等角定理)．
2．借助長方體，通過直觀感知，了解空間中直線與直線平行的關(guān)系．
3．能利用基本事實(shí)4和定理判定和證明空間兩條直線的位置關(guān)系．
1．基本事實(shí)4
文字語言 平行于同一條直線的兩條直線______
圖形語言
符號語言 直線a，b，c，a∥b，b∥c ________
作用 證明兩條直線平行
|微|點(diǎn)|助|解|　
(1)在同一個(gè)平面內(nèi)沒有公共點(diǎn)的兩條直線叫做平行直線．
(2)兩個(gè)重要結(jié)論：
①過直線外一點(diǎn)，有且只有一條直線與已知直線平行．
②在同一個(gè)平面內(nèi)，如果兩條直線都和第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平行．
(3)基本事實(shí)4表述的性質(zhì)通常叫做平行線的傳遞性．
2．空間等角定理
文字語言 如果空間中兩個(gè)角的兩條邊分別對應(yīng)平行，那么這兩個(gè)角______或______
圖形語言
作用 判斷或證明兩個(gè)角相等或互補(bǔ)
|微|點(diǎn)|助|解|　
對等角定理的兩點(diǎn)認(rèn)識(shí)
(1)等角定理是由平面圖形推廣到空間圖形而得到的，它是基本事實(shí)4的直接應(yīng)用．
(2)當(dāng)這兩個(gè)角的兩邊方向分別相同或相反時(shí)，它們相等，否則它們互補(bǔ)．因此等角定理用來證明兩個(gè)角相等或互補(bǔ)．
1．兩等角的一組對應(yīng)邊平行，則(　　)
A．另一組對應(yīng)邊平行
B．另一組對應(yīng)邊不平行
C．另一組對應(yīng)邊不可能垂直
D．以上都不對
2．已知直線a∥直線b，直線b∥直線c，直線c∥直線d，則a與d的位置關(guān)系是(　　)
A．平行 B．相交
C．異面 D．不確定
3．已知∠BAC＝30°，AB∥A′B′，AC∥A′C′，則∠B′A′C′＝(　　)
A．30° B．150°
C．30°或150° D．大小無法確定
題型(一)　基本事實(shí)4及其應(yīng)用
[例1]　如圖，四邊形ABCD和四邊形ABEF都是梯形，且BC∥AD，且BC＝AD，G，H分別為FA，F(xiàn)D的中點(diǎn)．求證：四邊形BCHG是平行四邊形．
聽課記錄：
[變式拓展]
本例條件增加BE∥FA，且 BE＝FA，試判斷 C，D，F(xiàn)，E四點(diǎn)是否共面？為什么？
|思|維|建|模|
證明空間兩條直線平行的方法
(1)平面幾何法
三角形中位線、平行四邊形的性質(zhì)等．
(2)定義法
用定義證明兩條直線平行，要證明兩個(gè)方面：一是兩條直線在同一平面內(nèi)；二是兩條直線沒有公共點(diǎn)．
(3)基本事實(shí)4
用基本事實(shí)4證明兩條直線平行，只需找到直線b，使得a∥b，同時(shí)b∥c，由基本事實(shí)4即可得到a∥c.　　
[針對訓(xùn)練]
1.如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別為AA1，CC1的中點(diǎn)，求證：四邊形BFD1E是平行四邊形．
題型(二)　等角定理及其應(yīng)用
[例2]　如圖所示，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E，F(xiàn)，G分別是AB，BB1，BC的中點(diǎn)，求證：△EFG∽△C1DA1.
聽課記錄：
|思|維|建|模|
(1)根據(jù)空間中相應(yīng)的定理證明角的兩邊分別平行，即先證明線線平行．
(2)根據(jù)角的兩邊的方向判定兩角相等．　　
[針對訓(xùn)練]
2.如圖，在平行六面體ABCD－A1B1C1D1中，M，N，P分別是CC1，B1C1，C1D1的中點(diǎn)．求證：∠NMP＝∠BA1D.
8．5.1　直線與直線平行
前預(yù)知教材
1．平行　a∥b　2.相等　互補(bǔ)
[基礎(chǔ)落實(shí)訓(xùn)練]
1．D
2．選A　∵a∥b，b∥c，∴a∥c.又c∥d，∴a∥d.
3．選C　當(dāng)∠B′A′C′與∠BAC開口方向相同時(shí)，∠B′A′C′＝30°，方向相反時(shí)，∠B′A′C′＝150°.
?課堂題點(diǎn)研究
　[題型(一)]
[例1]　證明：∵G，H分別為FA，F(xiàn)D的中點(diǎn)，∴GH∥AD，GH＝AD，
又BC∥AD，BC＝AD，
∴GH∥BC，GH＝BC，
∴四邊形BCHG是平行四邊形．
[變式拓展]
解：
C，D，F(xiàn)，E四點(diǎn)共面．理由如下：
連接C，E，∵BE∥FA，BE＝FA，G為FA中點(diǎn)，
∴BE∥FG，BE＝FG，
∴四邊形BEFG為平行四邊形，
∴EF∥BG，EF＝BG，
由例題知，CH∥BG，CH＝BG，
∴CH∥EF，CH＝EF，
∴四邊形CEFH為平行四邊形，∴CE∥FH，即CE∥FD，∴C，D，E，F(xiàn)四點(diǎn)共面．
[針對訓(xùn)練]
1．證明：如圖所示，取BB1的中點(diǎn)G，連接GC1，GE.
因?yàn)镕為CC1的中點(diǎn)，
所以BG∥FC1，且BG＝FC1.
所以四邊形BFC1G是平行四邊形．
所以BF∥GC1，BF＝GC1.
又因?yàn)镋G∥A1B1，EG＝A1B1，A1B1∥C1D1，A1B1＝C1D1，
所以EG∥C1D1，EG＝C1D1.
所以四邊形EGC1D1是平行四邊形．
所以ED1∥GC1，ED1＝GC1.所以BF∥ED1，BF＝ED1.
所以四邊形BFD1E是平行四邊形．
[題型(二)]
[例2]　證明：如圖，連接B1C.因?yàn)镚，F(xiàn)分別為BC，BB1的中點(diǎn)，所以GF∥B1C.
又ABCD A1B1C1D1為正方體，
所以CD∥AB，A1B1∥AB.
所以CD∥A1B1.
所以四邊形A1B1CD為平行四邊形，所以A1D∥B1C.
又B1C∥FG，所以A1D∥FG.
同理可證A1C1∥EG，DC1∥EF.
又∠DA1C1與∠EGF，∠A1DC1與∠EFG，∠DC1A1與∠GEF的兩條邊分別對應(yīng)平行且方向相同，所以∠DA1C1＝∠EGF，∠A1DC1＝∠EFG，∠DC1A1＝∠GEF.
所以△EFG∽△C1DA1.
[針對訓(xùn)練]
2．證明：如圖，連接CB1，CD1.∵CD綉A1B1，∴四邊形A1B1CD是平行四邊形，
∴A1D∥B1C.∵M(jìn)，N分別是CC1，B1C1的中點(diǎn)，
∴MN∥B1C.∴MN∥A1D.∵BC綉A1D1.
∴四邊形A1BCD1是平行四邊形．∴A1B∥CD1.∵M(jìn)，P分別是CC1，C1D1的中點(diǎn)，
∴MP∥CD1.∴MP∥A1B.∴∠NMP和∠BA1D的兩邊分別平行且方向都相反．
∴∠NMP＝∠BA1D.(共53張PPT)
8.5.1
直線與直線平行
（教學(xué)方式：深化學(xué)習(xí)課——梯度進(jìn)階式教學(xué)）
課時(shí)目標(biāo)
1.了解基本事實(shí)4及定理(等角定理).
2.借助長方體,通過直觀感知,了解空間中直線與直線平行的關(guān)系.
3.能利用基本事實(shí)4和定理判定和證明空間兩條直線的位置關(guān)系.
CONTENTS
目錄
1
2
3
課前預(yù)知教材·自主落實(shí)基礎(chǔ)
課堂題點(diǎn)研究·遷移應(yīng)用融通
課時(shí)跟蹤檢測
課前預(yù)知教材·自主落實(shí)基礎(chǔ)
01
1.基本事實(shí)4
文字語言 平行于同一條直線的兩條直線_____
圖形語言
符號語言 直線a,b,c,a∥b,b∥c ______
作用 證明兩條直線平行
平行
a∥b
|微|點(diǎn)|助|解|
(1)在同一個(gè)平面內(nèi)沒有公共點(diǎn)的兩條直線叫做平行直線.
(2)兩個(gè)重要結(jié)論:
①過直線外一點(diǎn),有且只有一條直線與已知直線平行.
②在同一個(gè)平面內(nèi),如果兩條直線都和第三條直線平行,那么這兩條直線也互相平行.
(3)基本事實(shí)4表述的性質(zhì)通常叫做平行線的傳遞性.
2.空間等角定理
文字語言 如果空間中兩個(gè)角的兩條邊分別對應(yīng)平行,那么這兩個(gè)角______或_____
圖形語言
作用 判斷或證明兩個(gè)角相等或互補(bǔ)
相等
互補(bǔ)
|微|點(diǎn)|助|解|
對等角定理的兩點(diǎn)認(rèn)識(shí)
(1)等角定理是由平面圖形推廣到空間圖形而得到的,它是基本事實(shí)4的直接應(yīng)用.
(2)當(dāng)這兩個(gè)角的兩邊方向分別相同或相反時(shí),它們相等,否則它們互補(bǔ).因此等角定理用來證明兩個(gè)角相等或互補(bǔ).
基礎(chǔ)落實(shí)訓(xùn)練
1.兩等角的一組對應(yīng)邊平行,則 (　　)
A.另一組對應(yīng)邊平行
B.另一組對應(yīng)邊不平行
C.另一組對應(yīng)邊不可能垂直
D.以上都不對
√
2.已知直線a∥直線b,直線b∥直線c,直線c∥直線d,則a與d的位置關(guān)系是 (　　)
A.平行 B.相交
C.異面 D.不確定
解析: ∵a∥b,b∥c,∴a∥c.又c∥d,∴a∥d.
√
3.已知∠BAC=30°,AB∥A'B',AC∥A'C',則∠B'A'C'= (　　)
A.30° B.150°
C.30°或150° D.大小無法確定
解析:當(dāng)∠B'A'C'與∠BAC開口方向相同時(shí),∠B'A'C'=30°,方向相反時(shí),∠B'A'C'=150°.
√
課堂題點(diǎn)研究·遷移應(yīng)用融通
02
題型(一)　基本事實(shí)4及其應(yīng)用
[例1]　如圖,四邊形ABCD和四邊形ABEF都是梯形,且BC∥AD,且BC=AD,G,H分別為FA,FD的中點(diǎn).求證:四邊形BCHG是平行四邊形.
證明: ∵G,H分別為FA,FD的中點(diǎn),
∴GH∥AD,GH=AD,
又BC∥AD,BC=AD,
∴GH∥BC,GH=BC,
∴四邊形BCHG是平行四邊形.
　本例條件增加BE∥FA,且 BE=FA,試判斷 C,D,F,E四點(diǎn)是否共面 為什么
解: C,D,F,E四點(diǎn)共面.理由如下:
連接C,E,∵BE∥FA,BE=FA,G為FA中點(diǎn),
∴BE∥FG,BE=FG,∴四邊形BEFG為平行四邊形,
變式拓展
∴EF∥BG,EF=BG,
由例題知,CH∥BG,CH=BG,
∴CH∥EF,CH=EF,
∴四邊形CEFH為平行四邊形,
∴CE∥FH,即CE∥FD,
∴C,D,E,F四點(diǎn)共面.
|思|維|建|模|
證明空間兩條直線平行的方法
(1)平面幾何法
三角形中位線、平行四邊形的性質(zhì)等.
(2)定義法
用定義證明兩條直線平行,要證明兩個(gè)方面:一是兩條直線在同一平面內(nèi);二是兩條直線沒有公共點(diǎn).
(3)基本事實(shí)4
用基本事實(shí)4證明兩條直線平行,只需找到直線b,使得a∥b,同時(shí)b∥c,由基本事實(shí)4即可得到a∥c.
1.如圖,在正方體ABCD A1B1C1D1中,E,F分別為AA1,CC1的中點(diǎn),求證:四邊形BFD1E是平行四邊形.
針對訓(xùn)練
證明:如圖所示,取BB1的中點(diǎn)G,連接GC1,GE.
因?yàn)镕為CC1的中點(diǎn),
所以BG∥FC1,且BG=FC1.
所以四邊形BFC1G是平行四邊形.
所以BF∥GC1,BF=GC1.
又因?yàn)镋G∥A1B1,EG=A1B1,A1B1∥C1D1,A1B1=C1D1,
所以EG∥C1D1,EG=C1D1.
所以四邊形EGC1D1是平行四邊形.
所以ED1∥GC1,ED1=GC1.所以BF∥ED1,BF=ED1.
所以四邊形BFD1E是平行四邊形.
題型(二)　等角定理及其應(yīng)用
[例2]　如圖所示,在正方體ABCD A1B1C1D1中,E,F,G分別是AB,BB1,BC的中點(diǎn),求證:△EFG∽△C1DA1.
證明:如圖,連接B1C.因?yàn)镚,F分別為BC,BB1的中點(diǎn),所以GF∥B1C.
又ABCD A1B1C1D1為正方體,
所以CD∥AB,A1B1∥AB.
所以CD∥A1B1.
所以四邊形A1B1CD為平行四邊形,所以A1D∥B1C.
又B1C∥FG,所以A1D∥FG.
同理可證A1C1∥EG,DC1∥EF.
又∠DA1C1與∠EGF,∠A1DC1與∠EFG,∠DC1A1與∠GEF的兩條邊分別對應(yīng)平行且方向相同,所以∠DA1C1=∠EGF,∠A1DC1=∠EFG,∠DC1A1=∠GEF.
所以△EFG∽△C1DA1.
|思|維|建|模|
(1)根據(jù)空間中相應(yīng)的定理證明角的兩邊分別平行,即先證明線線平行.
(2)根據(jù)角的兩邊的方向判定兩角相等.
2.如圖,在平行六面體ABCD A1B1C1D1中,M,N,P分別是CC1,B1C1,C1D1的中點(diǎn).求證:∠NMP=∠BA1D.
針對訓(xùn)練
課時(shí)跟蹤檢測
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A級——達(dá)標(biāo)評價(jià)
1.若兩個(gè)三角形不在同一平面內(nèi),它們的邊兩兩對應(yīng)平行,那么這兩個(gè)三角形(　　)
A.全等 B.相似
C.僅有一個(gè)角相等 D.全等或相似
解析:由等角定理知,這兩個(gè)三角形的三個(gè)角分別對應(yīng)相等.故選D.
√
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2.在三棱錐P ABC中,PB⊥BC,E,D,F分別是AB,PA,AC的中點(diǎn),則∠DEF等于 (　　)
A.30° B.45°
C.60° D.90°
解析:由題意可知DE∥PB,EF∥BC,所以∠DEF=∠PBC=90°.
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3.如圖,把一張長方形的紙對折兩次,然后打開,得到三條折痕a,b,c,則下列結(jié)論正確的是 (　　)
A.a∥b∥c
B.a∥b,且a與c相交
C.b∥c,且a與c相交
D.a,b,c兩兩相交
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解析:因?yàn)殚L方形的對邊都是互相平行的,連續(xù)左右對折兩次后,長方形上得到三條折痕a,b,c,這三條折痕中每兩條折痕又互相平行,所以三條折痕互相平行,故選A.
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4.在三棱臺(tái)A1B1C1 ABC中,G,H分別是AB,AC的中點(diǎn),則GH與B1C1 (　　)
A.相交 B.異面
C.平行 D.垂直
解析:如圖所示,因?yàn)镚,H分別是AB,AC的中點(diǎn),所以GH∥BC.又由三棱臺(tái)的性質(zhì)得BC∥B1C1,所以GH∥B1C1.
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5.若∠AOB=∠A1O1B1,且OA∥O1A1,射線OA與O1A1方向相同,則下列結(jié)論正確的是 (　　)
A.OB∥O1B1且方向相同
B.OB∥O1B1,方向可能不同
C.OB與O1B1不平行
D.OB與O1B1不一定平行
√
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解析:當(dāng)∠AOB=∠A1O1B1,且OA∥O1A1,OA與O1A1的方向相同時(shí),OB與O1B1不一定平行,如圖所示,故選D.
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6.在長方體ABCD A'B'C'D'中,與AD平行的棱有　 　　(填寫所有符合條件的棱).
解析:長方體具有三組互相平行的棱,并且每一組棱都有四條,由圖可知與AD平行的棱還有A'D',B'C',BC.
A'D',B'C',BC
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7.在四棱錐P ABCD中,E,F,G,H分別是PA,PC,AB,BC的中點(diǎn),若EF=2,則GH=　　　　.
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8.空間兩個(gè)角∠ABC和∠A'B'C',若AB∥A'B',BC∥B'C',∠ABC=40°,則∠A'B'C'的大小是　　 　 .
解析:空間兩個(gè)角∠ABC和∠A'B'C',因?yàn)锳B∥A'B',BC∥B'C'且∠ABC
=40°,則∠A'B'C'=40°或∠A'B'C'=180°-40°=140°.
40°或140°
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9.(8分)如圖,在正方體ABCD A1B1C1D1中,E,F,G分別是棱CC1,BB1,DD1的中點(diǎn).求證:
(1)GB∥D1F;
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證明:因?yàn)檎襟wABCD A1B1C1D1中,F,G分別是棱BB1,DD1的中點(diǎn),
所以D1G=BF,且D1G∥BF.
所以四邊形D1GBF是平行四邊形.
所以GB∥D1F.
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(2)∠BGC=∠FD1E.
證明:因?yàn)檎襟wABCD A1B1C1D1中,E,G分別是棱CC1,DD1的中點(diǎn),
所以D1G=CE,且D1G∥CE.
所以四邊形D1GCE是平行四邊形.
所以GC∥ED1.
由(1)知GB∥D1F,
由圖形可知∠BGC,∠FD1E均為銳角,所以∠BGC=∠FD1E.
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10.(10分)如圖,在長方體ABCD A1B1C1D1中,平面A1C1內(nèi)有一點(diǎn)P,經(jīng)過點(diǎn)P作棱BC的平行線,應(yīng)該怎樣畫 并說明理由.
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解:如圖,在平面A1C1內(nèi)過點(diǎn)P作直線EF∥B1C1,交A1B1于點(diǎn)E,交C1D1于點(diǎn)F,則直線EF即為所求.
理由如下:
因?yàn)镋F∥B1C1,BC∥B1C1,
所以EF∥BC.
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B級——重點(diǎn)培優(yōu)
11.(多選)已知在正方體ABCD A1B1C1D1中(如圖),l 平面A1B1C1D1,且l與B1C1不平行,則下列說法可能成立的是(　　)
A.l與AD平行 B.l與AD相交
C.l與AC平行 D.l與BD平行
√
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解析:假設(shè)l∥AD,則由AD∥BC∥B1C1,知l∥B1C1,這與l與B1C1不平行矛盾,∴l(xiāng)與AD不平行.又l在上底面中,AD在下底面中,故l與AD無公共點(diǎn),故l與AD不相交.C、D可能成立.
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12.已知在空間四邊形ABCD中,M,N分別是AB,CD的中點(diǎn),且AC=4,BD=6,則 (　　)
A.1C.1≤MN≤5 D.2解析:取AD的中點(diǎn)H,連接MH,NH,則MH∥BD,且MH=BD,NH∥AC,且NH=AC,且M,N,H三點(diǎn)構(gòu)成三角形,由三角形中三邊關(guān)系,可得MH-NH√
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13.(多選)如圖,棱長為a的正方體ABCD A1B1C1D1中,E
為AA1上的一點(diǎn)且A1E=2EA,設(shè)過點(diǎn)D1,C,E的平面與平
面ABB1A1的交線為EF,則下列結(jié)論正確的為 (　　)
A.EF∥D1C B.EF=a
C.CF=a D.三棱錐A EFC的體積為a3
√
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解析:如圖,設(shè)BF=2FA,連接EF,A1B,CF,AC.因?yàn)锳1E=2EA,所以EF∥A1B.
又易知A1B∥D1C,所以EF∥D1C.故EF=A1B=a,CF==
a,VA EFC=VE AFC=×a××a×a=a3.故選A、D.
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14.(10分)在梯形ABCD中,AB∥CD,E,F分別為BC和AD的中點(diǎn),將平面DCEF沿EF翻折起來,使CD到C'D'的位置,G,H分別為AD'和BC'的中點(diǎn).
求證:四邊形EFGH為平行四邊形.
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證明: ∵在梯形ABCD中,AB∥CD,E,F分別為BC,AD的中點(diǎn),
∴EF∥AB且EF=(AB+CD).
又C'D'∥EF,EF∥AB,∴C'D'∥AB.
∵G,H分別為AD',BC'的中點(diǎn),
∴GH∥AB且GH=(AB+C'D')=(AB+CD).
∴GH EF.∴四邊形EFGH為平行四邊形.
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15.(14分)如圖,A是△BCD所在平面外一點(diǎn),M,N分別是△ABC和△ACD的重心,已知BD=6.
(1)判斷MN與BD的位置關(guān)系,并說明理由;
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解: MN∥BD.
理由如下:連接AM,AN并延長分別與BC,CD交于點(diǎn)
E,F,
由重心的定義知E,F分別為BC,CD的中點(diǎn),連接EF,
則EF∥BD,且EF=BD.
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又∵點(diǎn)M為△ABC的重心,點(diǎn)N為△ACD的重心,
∴AM∶ME=AN∶NF=2∶1.
∴MN∥EF,且MN=EF,故MN∥BD.
(2)求MN的長.
解:由(1)知,MN=EF=BD=2.課時(shí)跟蹤檢測(三十)　直線與直線平行
(滿分100分，A級選填小題每題5分，B級選填小題每題6分)
A級——達(dá)標(biāo)評價(jià)
1．若兩個(gè)三角形不在同一平面內(nèi)，它們的邊兩兩對應(yīng)平行，那么這兩個(gè)三角形(　　)
A．全等 B．相似
C．僅有一個(gè)角相等 D．全等或相似
2．在三棱錐P－ABC中，PB⊥BC，E，D，F(xiàn)分別是AB，PA，AC的中點(diǎn)，則∠DEF等于(　　)
A．30° B．45°
C．60° D．90°
3．如圖，把一張長方形的紙對折兩次，然后打開，得到三條折痕a，b，c，則下列結(jié)論正確的是(　　)
A．a(chǎn)∥b∥c
B．a(chǎn)∥b，且a與c相交
C．b∥c，且a與c相交
D．a(chǎn)，b，c兩兩相交
4．在三棱臺(tái)A1B1C1－ABC中，G，H分別是AB，AC的中點(diǎn)，則GH與B1C1(　　)
A．相交 B．異面
C．平行 D．垂直
5．若∠AOB＝∠A1O1B1，且OA∥O1A1，射線OA與O1A1方向相同，則下列結(jié)論正確的是(　　)
A．OB∥O1B1且方向相同
B．OB∥O1B1，方向可能不同
C．OB與O1B1不平行
D．OB與O1B1不一定平行
6．在長方體ABCD－A′B′C′D′中，與AD平行的棱有________(填寫所有符合條件的棱).
7．在四棱錐P－ABCD中，E，F(xiàn)，G，H分別是PA，PC，AB，BC的中點(diǎn)，若EF＝2，則GH＝________.
8．空間兩個(gè)角∠ABC和∠A′B′C′，若AB∥A′B′，BC∥B′C′，∠ABC＝40°，則∠A′B′C′的大小是________.
9．(8分)如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E，F(xiàn)，G分別是棱CC1，BB1，DD1的中點(diǎn)．求證：
(1)GB∥D1F；
(2)∠BGC＝∠FD1E.
10.(10分)如圖，在長方體ABCD－A1B1C1D1中，平面A1C1內(nèi)有一點(diǎn)P，經(jīng)過點(diǎn)P作棱BC的平行線，應(yīng)該怎樣畫？并說明理由．
B級——重點(diǎn)培優(yōu)
11.(多選)已知在正方體ABCD－A1B1C1D1中(如圖)，l 平面A1B1C1D1，且l與B1C1不平行，則下列說法可能成立的是(　　)
A．l與AD平行 B．l與AD相交
C．l與AC平行 D．l與BD平行
12．已知在空間四邊形ABCD中，M，N分別是AB，CD的中點(diǎn)，且AC＝4，BD＝6，則(　　)
A．1＜MN＜5 B．2＜MN＜10
C．1≤MN≤5 D．2＜MN＜5
13.(多選)如圖，棱長為a的正方體ABCD－A1B1C1D1中，E為AA1上的一點(diǎn)且A1E＝2EA，設(shè)過點(diǎn)D1，C，E的平面與平面ABB1A1的交線為EF，則下列結(jié)論正確的為(　　)
A．EF∥D1C
B．EF＝a
C．CF＝a
D．三棱錐A－EFC的體積為a3
14．(10分)在梯形ABCD中，AB∥CD，E，F(xiàn)分別為BC和AD的中點(diǎn)，將平面DCEF沿EF翻折起來，使CD到C′D′的位置，G，H分別為AD′和BC′的中點(diǎn)．
求證：四邊形EFGH為平行四邊形.
15．(14分)如圖，A是△BCD所在平面外一點(diǎn)，M，N分別是△ABC和△ACD的重心，已知BD＝6.
(1)判斷MN與BD的位置關(guān)系，并說明理由；
(2)求MN的長.
課時(shí)跟蹤檢測(三十)
1．選D　由等角定理知，這兩個(gè)三角形的三個(gè)角分別對應(yīng)相等．故選D.
2．選D　由題意可知DE∥PB，EF∥BC，所以∠DEF＝∠PBC＝90°.
3．選A　因?yàn)殚L方形的對邊都是互相平行的，連續(xù)左右對折兩次后，長方形上得到三條折痕a，b，c，這三條折痕中每兩條折痕又互相平行，所以三條折痕互相平行，故選A.
4.選C　如圖所示，因?yàn)镚，H分別是AB，AC的中點(diǎn)，所以GH∥BC.又由三棱臺(tái)的性質(zhì)得BC∥B1C1，所以GH∥B1C1.
5．選D　當(dāng)∠AOB＝∠A1O1B1，且OA∥O1A1，OA與O1A1的方向相同時(shí)，OB與O1B1不一定平行，如圖所示，故選D.
6．解析：長方體具有三組互相平行的棱，并且每一組棱都有四條，由圖可知與AD平行的棱還有A′D′，B′C′，BC.
答案：A′D′，B′C′，BC
7．解析：由題意知EF綉AC，GH綉AC，故EF綉GH，故GH＝2.
答案：2
8．解析：空間兩個(gè)角∠ABC和∠A′B′C′，因?yàn)锳B∥A′B′，BC∥B′C′且∠ABC＝40°，則∠A′B′C′＝40°或∠A′B′C′＝180°－40°＝140°.
答案：40°或140°
9．證明：(1)因?yàn)檎襟wABCD A1B1C1D1中，F(xiàn)，G分別是棱BB1，DD1的中點(diǎn)，
所以D1G＝BF，且D1G∥BF.
所以四邊形D1GBF是平行四邊形．
所以GB∥D1F.
(2)因?yàn)檎襟wABCD A1B1C1D1中，E，G分別是棱CC1，DD1的中點(diǎn)，
所以D1G＝CE，且D1G∥CE.
所以四邊形D1GCE是平行四邊形．
所以GC∥ED1.
由(1)知GB∥D1F，
由圖形可知∠BGC，∠FD1E均為銳角，
所以∠BGC＝∠FD1E.
10．解：如圖，在平面A1C1內(nèi)過點(diǎn)P作直線EF∥B1C1，交A1B1于點(diǎn)E，交C1D1于點(diǎn)F，則直線EF即為所求．
理由如下：
因?yàn)镋F∥B1C1，
BC∥B1C1，所以EF∥BC.
11．選CD　假設(shè)l∥AD，則由AD∥BC∥B1C1，知l∥B1C1，這與l與B1C1不平行矛盾，∴l(xiāng)與AD不平行．又l在上底面中，AD在下底面中，故l與AD無公共點(diǎn)，故l與AD不相交．C、D可能成立．
12．選A　取AD的中點(diǎn)H，連接MH，NH，則MH∥BD，且MH＝BD，NH∥AC，且NH＝AC，且M，N，H三點(diǎn)構(gòu)成三角形，由三角形中三邊關(guān)系，可得MH－NH13.選AD　如圖，設(shè)BF＝2FA，連接EF，A1B，CF，AC.因?yàn)锳1E＝2EA，所以EF∥A1B.又易知A1B∥D1C，所以EF∥D1C.故EF＝A1B＝a，CF＝＝a，VA EFC＝VE AFC＝×a××a×a＝a3.故選A、D.
14．證明：∵在梯形ABCD中，AB∥CD，E，F(xiàn)分別為BC，AD的中點(diǎn)，
∴EF∥AB且EF＝(AB＋CD)．
又C′D′∥EF，EF∥AB，∴C′D′∥AB.
∵G，H分別為AD′，BC′的中點(diǎn)，∴GH∥AB且GH＝(AB＋C′D′)＝(AB＋CD)．
∴GH綉EF.∴四邊形EFGH為平行四邊形．
15．解：(1)MN∥BD.理由如下：連接AM，AN并延長分別與BC，CD交于點(diǎn)E，F(xiàn)，
由重心的定義知E，F(xiàn)分別為BC，CD的中點(diǎn)，連接EF，則EF∥BD，且EF＝BD.又∵點(diǎn)M為△ABC的重心，點(diǎn)N為△ACD的重心，
∴AM∶ME＝AN∶NF＝2∶1.
∴MN∥EF，且MN＝EF，故MN∥BD.
(2)由(1)知，MN＝EF＝BD＝2.

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