資源簡介

第 2 課時　直線與平面平行的綜合問題
—— (教學方式：拓展融通課—習題講評式教學)
[課時目標]　
1．掌握直線與平面平行的性質定理，明確由線面平行可推出線線平行．
2．在具體圖形中，能利用線面平行的性質定理解決一些簡單的證明問題．
題型(一)　直線與平面平行判定定理的應用
[例1]　如圖，S是平行四邊形ABCD平面外一點，M，N分別是SA，BD上的點，且＝.
求證：MN∥平面SBC .
聽課記錄：
[變式拓展]
　本例中，若M，N分別是SA，BD的中點，證明：MN∥平面SBC.
|思|維|建|模|　用直線與平面平行的判定定理證明線面平行的基本步驟
[針對訓練]
1．已知有公共邊AB的兩個全等的矩形ABCD和ABEF不同在一個平面內，P，Q分別是對角線AE，BD上的點，且AP＝DQ.求證：PQ∥平面CBE.
題型(二)　直線與平面平行的性質定理的應用
[例2]　如圖，用平行于四面體ABCD的一組對棱AB，CD 的平面截此四面體．求證：截面MNPQ 是平行四邊形．
聽課記錄：
|思|維|建|模|
應用線面平行的性質定理解題的步驟
[針對訓練]
2.如圖，四棱錐P－ABCD中，AD∥BC，AD＝BC，點E為PC上一點，F為PB的中點，且AF∥平面BDE.
(1)若平面PAD與平面PBC的交線為l，求證：l∥平面ABCD；
(2)求證：AF∥DE.
題型(三)　與線面平行有關的計算問題
[例3]　如圖，在四棱錐S－ABCD中，底面ABCD是菱形，點E是棱AD的中點，點F在棱SC上，且＝λ，SA∥平面BEF.求實數λ的值．
　
聽課記錄：
|思|維|建|模|
對于與平行有關的計算問題，解題的關鍵是利用線面平行的判定和性質實現平面幾何與立體幾何的轉化，再依據平行關系確定線段的比例關系，然后解決平面圖形的計算問題．　　
[針對訓練]
3.如圖，在四棱臺ABCD－A′B′C′D′中，上、下底面都是菱形，P，Q分別是B′C′，C′D′的中點，若AA′∥平面BPQD，求此棱臺上、下底面的邊長的比值．
第2課時　直線與平面平行的綜合問題
[題型(一)]
[例1]　證明：連接AN并延長交BC于P，連接SP，
因為AD∥BC，所以＝，
又因為＝，所以＝，
所以MN∥SP，又MN 平面SBC，SP 平面SBC，所以MN∥平面SBC.
[變式拓展]
證明：如圖，連接AC，由平行四邊形的性質可知AC必過BD的中點N.在△SAC中，M，N分別為SA，AC的中點，所以MN∥SC，
又因為SC 平面SBC，MN 平面SBC，所以MN∥平面SBC.
[針對訓練]
1．證明：如圖，作PM∥AB交BE于點M，作QN∥AB交BC于點N，連接MN，則PM∥QN，＝，＝.∵EA＝BD，AP＝DQ，∴EP＝BQ.又∵AB＝CD，
∴PM∥QN，PM＝QN.∴四邊形PMNQ是平行四邊形．∴PQ∥MN.又∵PQ 平面CBE，MN 平面CBE，∴PQ∥平面CBE.
　[題型(二)]
[例2]　證明：因為AB∥平面 MNPQ，
平面ABC∩平面 MNPQ＝MN，且 AB 平面 ABC，所以由線面平行的性質定理，得AB∥MN.同理可得PQ∥AB.由基本事實4可得MN∥PQ.同理可得MQ∥NP.
所以截面四邊形MNPQ為平行四邊形．
[針對訓練]
2．證明：(1)∵BC∥AD，AD 平面PAD，BC 平面PAD，∴BC∥平面PAD.∵BC 平面PBC，平面PBC∩平面PAD＝l，∴BC∥l.
∵BC 平面ABCD，l 平面ABCD，
∴l∥平面ABCD.
(2)連接AC，FC，設AC∩BD＝O，FC∩BE＝M，連接OM，
∵AF∥平面BDE，AF 平面AFC，平面AFC∩平面BDE＝OM，∴AF∥OM.
∵AD∥BC，AD＝BC，∴＝＝.∴＝＝.
∴點M是△PBC的重心．∴點E是PC的中點．∴＝＝.
∴OM∥DE.∴AF∥DE.
　[題型(三)]
[例3]　解：如圖，連接AC交BE于點G，連接FG，則平面SAC∩平面BEF＝FG.
∵SA∥平面BEF，SA 平面SAC，平面SAC∩平面EFB＝FG，∴SA∥FG.∴＝.
∵AE∥BC，∴△GEA∽△GBC.
∴＝＝.∴＝＝，
即SF＝SC，∴λ＝.
[針對訓練]
3．解：如圖，連接AC交BD于O，連接A′C′交PQ于M，連接OM，在梯形ACC′A′中，O是AC的中點，M是A′C′的一個四等分點，易證A′C′∥AC.
又∵AA′∥平面BPQD，平面ACC′A′∩平面BPQD＝MO，∴AA′∥OM.
∴四邊形AOMA′是平行四邊形．
∴A′M＝AO.
又∵A′M＝A′C′，AO＝AC，＝，∴＝，即棱臺上、下底面的邊長的比值是.(共46張PPT)
直線與平面平行的綜合問題
(教學方式：拓展融通課——習題講評式教學)
第2課時
課時目標
1.掌握直線與平面平行的性質定理,明確由線面平行可推出線線平行.
2.在具體圖形中,能利用線面平行的性質定理解決一些簡單的證明問題.
CONTENTS
目錄
1
2
3
題型(一)　直線與平面平行判定定理的應用
題型(二)　直線與平面平行的性質定理的應用
題型(三)　與線面平行有關的計算問題
4
課時跟蹤檢測
題型(一)　
直線與平面平行判定定理的應用
01
[例1]　如圖,S是平行四邊形ABCD平面外一點,M,N分別是SA,BD上的點,且=.
求證:MN∥平面SBC .
證明:連接AN并延長交BC于P,連接SP,
因為AD∥BC,所以=,
又因為=,所以=,所以MN∥SP,
又MN 平面SBC,SP 平面SBC,所以MN∥平面SBC.
本例中,若M,N分別是SA,BD的中點,證明:MN∥平面SBC.
證明:如圖,連接AC,由平行四邊形的性質可知AC必過BD的中點N.
在△SAC中,M,N分別為SA,AC的中點,所以MN∥SC,
又因為SC 平面SBC,MN 平面SBC,所以MN∥平面SBC.
變式拓展
|思|維|建|模|
用直線與平面平行的判定定理證明線面平行的基本步驟
1.已知有公共邊AB的兩個全等的矩形ABCD和ABEF不同在一個平面內,P,Q分別是對角線AE,BD上的點,且AP=DQ.求證:PQ∥平面CBE.
證明:如圖,作PM∥AB交BE于點M,作QN∥AB交BC
于點N,連接MN,
則PM∥QN,=,=.∵EA=BD,AP=DQ,
∴EP=BQ.又∵AB=CD,∴PM∥QN,PM=QN.∴四邊形PMNQ是平行四邊形.∴PQ∥MN.又∵PQ 平面CBE,MN 平面CBE,∴PQ∥平面CBE.
針對訓練
題型(二)　
直線與平面平行的性質定理的應用
02
[例2]　如圖,用平行于四面體ABCD的一組對棱AB,CD 的平面截此四面體.求證:截面MNPQ 是平行四邊形.
證明:因為AB∥平面 MNPQ,
平面ABC∩平面 MNPQ=MN,且 AB 平面 ABC,所以由線面平行的性質定理,得AB∥MN.同理可得PQ∥AB.由基本事實4可得MN∥PQ.同理可得MQ∥NP.
所以截面四邊形MNPQ為平行四邊形.
|思|維|建|模|
應用線面平行的性質定理解題的步驟
2.如圖,四棱錐P ABCD中,AD∥BC,AD=BC,點E為PC上一點,F為PB的中點,且AF∥平面BDE.

(1)若平面PAD與平面PBC的交線為l,求證:l∥平面ABCD;
針對訓練
證明: ∵BC∥AD,AD 平面PAD,BC 平面PAD,∴BC∥平面PAD.∵BC 平面PBC,平面PBC∩平面PAD=l,∴BC∥l.
∵BC 平面ABCD,l 平面ABCD,∴l∥平面ABCD.
(2)求證:AF∥DE.
證明:連接AC,FC,設AC∩BD=O,FC∩BE=M,連接OM,
∵AF∥平面BDE,AF 平面AFC,平面AFC∩平面BDE=OM,
∴AF∥OM.∵AD∥BC,AD=BC,
∴==.∴==.
∴點M是△PBC的重心.
∴點E是PC的中點.
∴==.
∴OM∥DE.∴AF∥DE.
題型(三)　
與線面平行有關的計算問題
03
[例3]　如圖,在四棱錐S ABCD中,底面ABCD是菱形,點E是棱AD的中點,點F在棱SC上,且=λ,SA∥平面BEF.求實數λ的值.
解:如圖,連接AC交BE于點G,連接FG,則平面SAC∩平面BEF=FG.
∵SA∥平面BEF,SA 平面SAC,平面SAC∩平面EFB=FG,∴SA∥FG.∴=.
∵AE∥BC,∴△GEA∽△GBC.∴==.
∴==,即SF=SC,∴λ=.
|思|維|建|模|　
對于與平行有關的計算問題,解題的關鍵是利用線面平行的判定和性質實現平面幾何與立體幾何的轉化,再依據平行關系確定線段的比例關系,然后解決平面圖形的計算問題.
3.如圖,在四棱臺ABCD A'B'C'D'中,上、下底面都是菱形,P,Q分別是B'C',
C'D'的中點,若AA'∥平面BPQD,求此棱臺上、下底面的邊長的比值.
針對訓練
解:如圖,連接AC交BD于O,連接A'C'交PQ
于M,連接OM,在梯形ACC'A'中,O是AC的中點,M是A'C'的一個四等分點,易證A'C'∥AC.
又∵AA'∥平面BPQD,平面ACC'A'∩平面BPQD=MO,
∴AA'∥OM.∴四邊形AOMA'是平行四邊形.∴A'M=AO.
又∵A'M=A'C',AO=AC,=,
∴=,即棱臺上、下底面的邊長的比值是.
課時跟蹤檢測
04
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1.已知正方體ABCD A1B1C1D1的棱長為1,點P是面AA1D1D的中心,點Q是面A1B1C1D1的對角線B1D1上一點,且PQ∥平面AA1B1B,則線段PQ的長為 (　　)
A. B.
C.1 D.
√
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解析:如圖,連接AD1,AB1.
∵PQ∥平面AA1B1B,平面AB1D1∩平面AA1B1B=AB1,PQ 平面AB1D1,
∴PQ∥AB1.∴PQ=AB1==.故選A.
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2.如圖,P為平行四邊形ABCD所在平面外一點,過BC的平面與平面PAD交于EF,E在線段PD上且異于P,D,則四邊形EFBC是 (　　)
A.空間四邊形 B.矩形
C.梯形 D.平行四邊形
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解析:因為BC∥AD,AD 平面PAD,BC 平面PAD,所以BC∥平面PAD.因為BC 平面EFBC,平面EFBC∩平面PAD=EF,所以BC∥EF.因為BC=AD,EF1
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3.(多選)如圖,在三棱錐A BCD中,E,F分別為AB,AD的中點,過EF的平面截三棱錐得到的截面為EFHG,則下列結論一定成立的是 (　　)
A.EF∥GH
B.BD∥GH
C.GH∥平面ABD
D.AC∥平面EFHG
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√
√
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解析:因為E,F分別為AB,AD的中點,所以EF是△ABD的中位線,所以EF∥BD.又因為EF 平面BCD,BD 平面BCD,所以EF∥平面BCD.因為過EF的平面截三棱錐得到的截面為EFHG,平面EFHG∩平面BCD=GH,所以EF∥GH.所以GH∥BD,故A、B一定成立;因為GH∥BD,BD 平面ABD,GH 平面ABD,所以GH∥平面ABD,故C一定成立;因為GH的位置不確定,所以AC與平面EFHG有可能相交,所以D不一定成立.
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4.(多選)如圖,在平行六面體ABCD A1B1C1D1中,點M,P,Q分別為棱AB,
CD,BC的中點,若平行六面體的各棱長均相等,則以下說法正確的是 (　　)
A.A1M∥D1P B.A1M∥B1Q
C.A1M∥平面DCC1D1 D.A1M∥平面D1PQB1
√
√
√
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解析:連接MP(圖略),因為M,P分別為棱AB,CD的中點,所以MP∥AD且MP=AD.因為ABCD A1B1C1D1為平行六面體,所以AD∥A1D1且AD=A1D1.所以MP=A1D1且MP∥A1D1.故四邊形MA1D1P為平行四邊形,A1M∥PD1,故A正確;因為D1P 平面DCC1D1,A1M 平面DCC1D1,所以A1M∥平面DCC1D1.同理A1M∥平面D1PQB1,故C、D正確;因為A1M與平面ADD1A1相交,且平面ADD1A1∥平面BCC1B1,所以A1M與平面BCC1B1相交.又因為B1Q 平面BCC1B1,所以A1M與B1Q互不平行.故B錯誤.
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5.如圖,四棱錐S ABCD的所有的棱長都等于2,E是SA的中點,過C,D,E三點的平面與SB交于點F,則四邊形DEFC的周長為 (　　)
A.2+ B.3+
C.3+2 D.2+2
解析:由AB=BC=CD=DA=2,得AB∥CD,即AB∥平面DCFE.∵平面SAB∩平面DCFE=EF,∴AB∥EF.∵E是SA的中點,∴EF=1,DE=CF=.
∴四邊形DEFC的周長為3+2.
√
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6.如圖,在空間四面體A BCD中,E,F分別在邊AD,CD上,且滿足=,則直線EF與平面ABC的位置關系是　　　　.
解析: ∵空間四面體A BCD中,E,F分別是AD,CD上的點,且=,∴EF∥AC.∵EF 平面ABC,AC 平面ABC,∴EF∥平面ABC.
平行
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7.如圖所示的正方體的棱長為4,E,F分別為A1D1,AA1的中點,過C1,E,F的截面的周長為　　　 　.
解析:由EF∥平面BCC1B1可知平面BCC1B1與平面EFC1的交線為BC1,平面EFC1與平面ABB1A1的交線為BF,所以截面周長為EF+FB+BC1+
C1E=4+6.
4+6
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8.如圖,四邊形ABCD是梯形,AB∥CD,且AB∥平面α,AD,BC與平面α分別交于點M,N,且點M是AD的中點,AB=4,CD=6,則MN=　　　　.
解析:因為AB∥平面α,AB 平面ABCD,平面ABCD∩平面α=MN,所以AB∥MN.又點M是AD的中點,所以MN是梯形ABCD的中位線,故MN=5.
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9.(12分)在直三棱柱ABC A1B1C1中,D為AA1的中點,點P在側棱CC1上運動,若A1P∥平面BCD,試判斷點P的位置.
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解:當點P是CC1的中點時,滿足A1P∥平面BCD,證明如下.
取CC1的中點P,連接A1P.∵在直三棱柱ABC A1B1C1中,D為AA1中點,
∴A1D PC,則四邊形A1DCP是平行四邊形.∴A1P∥CD.又A1P 平面BCD,CD 平面BCD,∴A1P∥平面BCD.故當點P是CC1的中點時,A1P∥平面BCD.
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10.(15分)如圖,四棱錐P ABCD的底面ABCD為平行四邊形,F,G分別為PB,AD的中點.
(1)證明:AF∥平面PCG;
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解:證明:取PC中點H,連接GH,FH.
在△PBC中,F為PB的中點,∴FH BC.
∵G為AD的中點,∴AG BC.∴AG∥FH,
且AG=FH,即四邊形AGHF為平行四邊形,∴AF∥GH.
∵GH 平面PCG,AF 平面PCG,∴AF∥平面PCG.
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(2)在線段BD上是否存在一點N,使得FN∥平面PCG,并給出必要的證明.
解:設BD∩CG=O,取OB的中點K,連接FK,則在△POB
中,∵F,K分別是PB,OB的中點,∴FK∥OP.∵OP 平面
PCG,FK 平面PCG,∴FK∥平面PCG.
∵△DOG與△BOC相似,且相似比為1∶2,∴BO=2DO
=2KB.∴K為BD的三等分點.∴N在K點位置時FN∥平面PCG,即點N在線段BD靠近B端的三等分點時符合題意.
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11.(16分)如圖,正四棱錐P ABCD的側棱長和底面邊長均為13,M為側棱PA上的點,且PM∶MA=5∶8.在線段BD上是否存在一點N,使直線MN∥平面PBC 如果存在,求出BN∶ND的值;如果不存在,請說明理由.
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解:存在,BN∶ND=5∶8.理由如下.
假設存在,連接AN并延長,交BC于E,連接PE.
因為MN∥平面PBC,MN 平面APE,
平面APE∩平面PBC=PE,所以MN∥PE,則==.
因為正方形ABCD中,AD∥BC,所以==.假設成立.
此時BN∶ND=5∶8.
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12.(17分)在通用技術課上,老師給同學們提供了一個如圖所示的木質正四棱錐模型P ABCD.點E在棱PB上,滿足=,點F在棱PC上,滿足=,要求同學們按照以下方案進行切割:
(1)試在棱PC上確定一點G,使得EF∥平面ABG;
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解:由已知得,點E在棱PB上,滿足=,點F在棱PC上,
滿足=, 所以取PC上靠近C的四等分點為G,
則必有==.
根據三角形相似,必有BG∥EF.又BG 平面ABG,
EF 平面ABG,所以EF∥平面ABG.
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(2)過點A,E,F的平面α交PD于點H,沿平面α將四棱錐模型切割成兩部分,在實施過程中為了方便切割,需先在模型中確定H點的位置,請求出的值.
解:延長FE,CB交于點M,連接MA并延長,與CD的延長線交于點N,連接FN,交PD于點H.由(1)可得FG=2CG=CP.由EF∥BG,可得MB=2BC.由AD BC可得ND=DC.在△PCD中,取=,連接FK,則=.
又=,得=,得=.課時跟蹤檢測(三十二)　直線與平面平行的綜合問題
(滿分100分，選填小題每題5分)
1．已知正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長為1，點P是面AA1D1D的中心，點Q是面A1B1C1D1的對角線B1D1上一點，且PQ∥平面AA1B1B，則線段PQ的長為(　　)
A. B.
C．1 D.
2.如圖，P為平行四邊形ABCD所在平面外一點，過BC的平面與平面PAD交于EF，E在線段PD上且異于P，D，則四邊形EFBC是(　　)
A．空間四邊形 B．矩形
C．梯形 D．平行四邊形
3．(多選)如圖，在三棱錐A－BCD中，E，F分別為AB，AD的中點，過EF的平面截三棱錐得到的截面為EFHG，則下列結論一定成立的是(　　)
A．EF∥GH
B．BD∥GH
C．GH∥平面ABD
D．AC∥平面EFHG
4.(多選)如圖，在平行六面體ABCD－A1B1C1D1中，點M，P，Q分別為棱AB，CD，BC的中點，若平行六面體的各棱長均相等，則以下說法正確的是(　　)
A．A1M∥D1P
B．A1M∥B1Q
C．A1M∥平面DCC1D1
D．A1M∥平面D1PQB1
5.如圖，四棱錐S－ABCD的所有的棱長都等于2，E是SA的中點，過C，D，E三點的平面與SB交于點F，則四邊形DEFC的周長為(　　)
A．2＋ B．3＋
C．3＋2 D．2＋2
6.如圖，在空間四面體A－BCD中，E，F分別在邊AD，CD上，且滿足＝，則直線EF與平面ABC的位置關系是________.
7.如圖所示的正方體的棱長為4，E，F分別為A1D1，AA1的中點，過C1，E，F的截面的周長為__________.
8.如圖，四邊形ABCD是梯形，AB∥CD，且AB∥平面α，AD，BC與平面α分別交于點M，N，且點M是AD的中點，AB＝4，CD＝6，則MN＝________.
9.(12分)在直三棱柱ABC－A1B1C1中，D為AA1的中點，點P在側棱CC1上運動，若A1P∥平面BCD，試判斷點P的位置.
10.(15分)如圖，四棱錐P－ABCD的底面ABCD為平行四邊形，F，G分別為PB，AD的中點．
(1)證明：AF∥平面PCG；
(2)在線段BD上是否存在一點N，使得FN∥平面PCG，并給出必要的證明.
11.(16分)如圖，正四棱錐P－ABCD的側棱長和底面邊長均為13，M為側棱PA上的點，且PM∶MA＝5∶8.在線段BD上是否存在一點N，使直線MN∥平面PBC？如果存在，求出BN∶ND的值；如果不存在，請說明理由.
12.
(17分)在通用技術課上，老師給同學們提供了一個如圖所示的木質正四棱錐模型P－ABCD.點E在棱PB上，滿足＝，點F在棱PC上，滿足＝，要求同學們按照以下方案進行切割：
(1)試在棱PC上確定一點G，使得EF∥平面ABG；
(2)過點A，E，F的平面α交PD于點H，沿平面α將四棱錐模型切割成兩部分，在實施過程中為了方便切割，需先在模型中確定H點的位置，請求出的值．
課時跟蹤檢測(三十二)
1.選A　如圖，連接AD1，AB1.∵PQ∥平面AA1B1B，平面AB1D1∩平面AA1B1B＝AB1，PQ 平面AB1D1，∴PQ∥AB1.∴PQ＝AB1＝＝.故選A.
2．選C　因為BC∥AD，AD 平面PAD，BC 平面PAD，所以BC∥平面PAD.因為BC 平面EFBC，平面EFBC∩平面PAD＝EF，所以BC∥EF.因為BC＝AD，EF3．選ABC　因為E，F分別為AB，AD的中點，所以EF是△ABD的中位線，所以EF∥BD.又因為EF 平面BCD，BD 平面BCD，所以EF∥平面BCD.因為過EF的平面截三棱錐得到的截面為EFHG，平面EFHG∩平面BCD＝GH，所以EF∥GH.所以GH∥BD，故A、B一定成立；因為GH∥BD，BD 平面ABD，GH 平面ABD，所以GH∥平面ABD，故C一定成立；因為GH的位置不確定，所以AC與平面EFHG有可能相交，所以D不一定成立．
4．選ACD　連接MP(圖略)，因為M，P分別為棱AB，CD的中點，所以MP∥AD且MP＝AD.因為ABCD A1B1C1D1為平行六面體，所以AD∥A1D1且AD＝A1D1.所以MP＝A1D1且MP∥A1D1.故四邊形MA1D1P為平行四邊形，A1M∥PD1，故A正確；因為D1P 平面DCC1D1，A1M 平面DCC1D1，所以A1M∥平面DCC1D1.同理A1M∥平面D1PQB1，故C、D正確；因為A1M與平面ADD1A1相交，且平面ADD1A1∥平面BCC1B1，所以A1M與平面BCC1B1相交．又因為B1Q 平面BCC1B1，所以A1M與B1Q互不平行．故B錯誤．
5．選C　由AB＝BC＝CD＝DA＝2，得AB∥CD，即AB∥平面DCFE.∵平面SAB∩平面DCFE＝EF，∴AB∥EF.∵E是SA的中點，∴EF＝1，DE＝CF＝.∴四邊形DEFC的周長為3＋2.
6．解析：∵空間四面體A BCD中，E，F分別是AD，CD上的點，且＝，∴EF∥AC.∵EF 平面ABC，AC 平面ABC，∴EF∥平面ABC.
答案：平行
7．解析：由EF∥平面BCC1B1可知平面BCC1B1與平面EFC1的交線為BC1，平面EFC1與平面ABB1A1的交線為BF，所以截面周長為EF＋FB＋BC1＋C1E＝4＋6.
答案：4＋6
8．解析：因為AB∥平面α，AB 平面ABCD，平面ABCD∩平面α＝MN，所以AB∥MN.又點M是AD的中點，所以MN是梯形ABCD的中位線，故MN＝5.
答案：5
9．解：當點P是CC1的中點時，滿足A1P∥平面BCD，證明如下．
取CC1的中點P，連接A1P.∵在直三棱柱ABC A1B1C1中，D為AA1中點，∴A1D綉PC，則四邊形A1DCP是平行四邊形．∴A1P∥CD.又A1P 平面BCD，CD 平面BCD，∴A1P∥平面BCD.
故當點P是CC1的中點時，A1P∥平面BCD.
10．解：(1)證明：取PC中點H，連接GH，FH.
在△PBC中，F為PB的中點，∴FH綉BC.
∵G為AD的中點，
∴AG綉BC.
∴AG∥FH，且AG＝FH，即四邊形AGHF為平行四邊形，∴AF∥GH.
∵GH 平面PCG，AF 平面PCG，
∴AF∥平面PCG.
(2)設BD∩CG＝O，取OB的中點K，連接FK，則在△POB中，
∵F，K分別是PB，OB的中點，∴FK∥OP.∵OP 平面PCG，FK 平面PCG，∴FK∥平面PCG.
∵△DOG與△BOC相似，且相似比為1∶2，∴BO＝2DO＝2KB.∴K為BD的三等分點．
∴N在K點位置時FN∥平面PCG，即點N在線段BD靠近B端的三等分點時符合題意．
11．解：存在，BN∶ND＝5∶8.理由如下．
假設存在，連接AN并延長，交BC于E，連接PE.
因為MN∥平面PBC，MN 平面APE，平面APE∩平面PBC＝PE，所以MN∥PE，
則＝＝.
因為正方形ABCD中，AD∥BC，所以＝＝.假設成立．
此時BN∶ND＝5∶8.
12．解：(1)由已知得，點E在棱PB上，滿足＝，點F在棱PC上，滿足＝，
所以取PC上靠近C的四等分點為G，則必有＝＝.
根據三角形相似，必有BG∥EF.又BG 平面ABG，EF 平面ABG，所以EF∥平面ABG.
(2)延長FE，CB交于點M，連接MA并延長，與CD的延長線交于點N，連接FN，交PD于點H.由(1)可得FG＝2CG＝CP.由EF∥BG，可得MB＝2BC.由AD綉BC可得ND＝DC.在△PCD中，取＝，連接FK，則＝.
又＝，得＝，得＝.

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