資源簡介

第2課時　空間平行關系的綜合問題
—— (教學方式：拓展融通課—習題講評式教學)
題型(一)　平行關系的證明
[例1]　如圖所示，已知正方體ABCD－A1B1C1D1.
(1)求證：平面AB1D1∥平面C1BD；
(2)試找出體對角線A1C與平面AB1D1和平面C1BD的交點E，F，并證明：A1E＝EF＝FC.
聽課記錄：
|思|維|建|模|
1．解決平行關系的綜合問題的策略
(1)在遇到線面平行時，常需作(或找)出過已知直線與已知平面相交的輔助平面，以便運用線面平行的性質．
(2)線線平行、線面平行、面面平行是一個有機的整體，要靈活應用，實現相互聯系、相互轉化．在解決立體幾何中的平行問題時，一般都要用到平行關系的轉化．轉化思想是解決這類問題的最有效的方法．
2．平行關系的相互轉化
常見的平行關系有線線平行、線面平行和面面平行，這三種關系不是孤立的，而是相互聯系、相互轉化的，如圖所示．
[針對訓練]
1.如圖所示，已知點P是 ABCD所在平面外一點，M，N，K分別為AB，PC，PA的中點，平面PBC∩平面PAD＝l.
(1)求證：MN∥平面PAD；
(2)直線PB上是否存在點H，使得平面KNH∥平面ABCD，并加以證明；
(3)求證：l∥BC.
題型(二)　平行關系中的探索性問題
[例2]　在三棱柱ABC－A1B1C1中，D，E分別是棱BC，CC1的中點，在線段AB上是否存在一點M，使直線DE∥平面A1MC？請證明你的結論．
聽課記錄：
|思|維|建|模|
對于結論探究性問題，一般是假設其存在，再進行證明，或先選取中點或找到特殊直線進行驗證，并給出證明．　　
[針對訓練]
2.如圖所示，在四棱錐C－ABED中，四邊形ABED是正方形，點G，F分別是線段EC，BD的中點．
(1)求證：GF∥平面ABC；
(2)線段BC上是否存在一點H，使得平面GFH∥平面ACD？若存在，請找出點H并證明；若不存在，請說明理由．
第2課時　空間平行關系的綜合問題
[題型(一)]
[例1]　解：(1)證明：因為在正方體ABCD A1B1C1D1中，AD綉B1C1，
所以四邊形AB1C1D是平行四邊形，
所以AB1∥C1D.
又C1D 平面C1BD，AB1 平面C1BD，
所以AB1∥平面C1BD.
同理B1D1∥平面C1BD.
又AB1∩B1D1＝B1，AB1 平面AB1D1，B1D1 平面AB1D1，
所以平面AB1D1∥平面C1BD.
(2)如圖，連接A1C1交B1D1于點O1，連接AO1，AO1與A1C交于點E.又AO1 平面AB1D1，所以點E也在平面AB1D1內，則點E就是A1C與平面AB1D1的交點．
同理，連接AC交BD于點O，連接C1O，C1O與A1C交于點F，則點F就是A1C與平面C1BD的交點．
下面證明A1E＝EF＝FC.
因為平面A1C1C∩平面AB1D1＝EO1，平面A1C1C∩平面C1BD＝C1F，
平面AB1D1∥平面C1BD，所以EO1∥C1F.
在△A1C1F中，O1是A1C1的中點，
所以E是A1F的中點，即A1E＝EF.
同理可證EF＝FC.
所以A1E＝EF＝FC.
[針對訓練]
1．解：(1)證明：如圖，取PD的中點F，連接AF，FN，
在△PCD中，易得FN∥DC，FN＝DC.
在 ABCD中，易得AM∥CD，AM＝CD，所以AM∥FN，AM＝FN，
所以四邊形AFNM為平行四邊形，
所以AF∥MN.
又AF 平面PAD，MN 平面PAD，
所以MN∥平面PAD.
(2)存在．當H為PB中點時，平面KNH∥平面ABCD.
證明如下：取PB的中點H，連接KH，NH.
在△PBC中，易得NH∥BC，又NH 平面ABCD，BC 平面ABCD，
所以NH∥平面ABCD，
同理可證KH∥平面ABCD.
又KH 平面KNH，NH 平面KNH，KH∩NH＝H，所以平面KNH∥平面ABCD.
(3)證明：因為BC∥AD，AD 平面PAD，BC 平面PAD，所以BC∥平面PAD，
又因為平面PAD∩平面PBC＝l，BC 平面PBC，所以BC∥l.
　[題型(二)]
[例2]　解：存在點M，且點M是AB的中點時，直線DE∥平面A1MC，證明如下．
如圖，取線段AB的中點M，
連接A1M，MC，A1C和AC1.
設O為A1C，AC1的交點，則O為AC1的中點．連接MD，OE，OM，則MD，OE分別為△ABC，△ACC1的中位線，所以MD∥AC且MD＝AC，OE∥AC且OE＝AC.
因此MD∥OE且MD＝OE.
從而四邊形MDEO為平行四邊形，
則DE∥MO.
因為直線DE 平面A1MC，MO 平面A1MC，所以直線DE∥平面A1MC.
即線段AB上存在一點M(線段AB的中點)，使直線DE∥平面A1MC.
[針對訓練]
2．解：(1)證明：由四邊形ABED為正方形可知，連接AE必與BD相交于中點F，
故GF∥AC .∵GF 平面ABC，且AC 平面ABC，
∴GF∥平面ABC.
(2)線段BC上存在一點H滿足題意，且點H是BC的中點．
理由如下：取BC的中點H，連接GH，
由點G，H分別為CE，CB的中點，
得GH∥EB∥AD.
∵GH 平面ACD，AD 平面ACD，
∴GH∥平面ACD.
∵GF∥AC，AC 平面ACD，GF 平面ACD，
∴GF∥平面ACD.
又GF∩GH＝G，GH，GF 平面GFH，
∴平面GFH∥平面ACD.(共49張PPT)
空間平行關系的綜合問題
(教學方式:拓展融通課—習題講評式教學)
第2課時
CONTENTS
目錄
1
2
3
題型(一)　平行關系的證明
題型(二)　平行關系中的探索性問題
課時跟蹤檢測
題型(一)　平行關系的證明
01
[例1]　如圖所示,已知正方體ABCD A1B1C1D1.
(1)求證:平面AB1D1∥平面C1BD;
解:證明:因為在正方體ABCD A1B1C1D1中,AD B1C1,
所以四邊形AB1C1D是平行四邊形,所以AB1∥C1D.
又C1D 平面C1BD,AB1 平面C1BD,
所以AB1∥平面C1BD.
同理B1D1∥平面C1BD.
又AB1∩B1D1=B1,AB1 平面AB1D1,B1D1 平面AB1D1,
所以平面AB1D1∥平面C1BD.
(2)試找出體對角線A1C與平面AB1D1和平面C1BD的交點E,F,并證明:
A1E=EF=FC.
解:如圖,連接A1C1交B1D1于點O1,連接AO1,AO1與A1C交于點E.又AO1 平面AB1D1,所以點E也在平面AB1D1內,則點E就是A1C與平面AB1D1的交點.
同理,連接AC交BD于點O,連接C1O,C1O與A1C交于點F,則點F就是A1C與平面C1BD的交點.
下面證明A1E=EF=FC.
因為平面A1C1C∩平面AB1D1=EO1,平面A1C1C∩平面C1BD=C1F,
平面AB1D1∥平面C1BD,所以EO1∥C1F.
在△A1C1F中,O1是A1C1的中點,
所以E是A1F的中點,即A1E=EF.
同理可證EF=FC.
所以A1E=EF=FC.
|思|維|建|模|
1.解決平行關系的綜合問題的策略
(1)在遇到線面平行時,常需作(或找)出過已知直線與已知平面相交的輔助平面,以便運用線面平行的性質.
(2)線線平行、線面平行、面面平行是一個有機的整體,要靈活應用,實現相互聯系、相互轉化.在解決立體幾何中的平行問題時,一般都要用到平行關系的轉化.轉化思想是解決這類問題的最有效的方法.
2.平行關系的相互轉化
常見的平行關系有線線平行、線面平行和面面平行,這三種關系不是孤立的,而是相互聯系、相互轉化的,如圖所示.
1.如圖所示,已知點P是 ABCD所在平面外一點,M,N,K分別為AB,PC,PA的中點,平面PBC∩平面PAD=l.
針對訓練
(1)求證:MN∥平面PAD;
解:證明:如圖,取PD的中點F,連接AF,FN,
在△PCD中,易得FN∥DC,FN=DC.
在 ABCD中,易得AM∥CD,AM=CD,
所以AM∥FN,AM=FN,
所以四邊形AFNM為平行四邊形,所以AF∥MN.又AF 平面PAD,MN 平面PAD,
所以MN∥平面PAD.
(2)直線PB上是否存在點H,使得平面KNH∥平面ABCD,并加以證明;
解:存在.當H為PB中點時,平面KNH∥平面ABCD.
證明如下:取PB的中點H,連接KH,NH.
在△PBC中,易得NH∥BC,又NH 平面ABCD,BC 平面ABCD,
所以NH∥平面ABCD,
同理可證KH∥平面ABCD.
又KH 平面KNH,NH 平面KNH,KH∩NH=H,
所以平面KNH∥平面ABCD.
(3)求證:l∥BC.
解:證明:因為BC∥AD,AD 平面PAD,BC 平面PAD,所以BC∥平面PAD,
又因為平面PAD∩平面PBC=l,BC 平面PBC,所以BC∥l.
題型(二)　
平行關系中的探索性問題
02
[例2]　在三棱柱ABC A1B1C1中,D,E分別是棱BC,CC1的中點,在線段AB上是否存在一點M,使直線DE∥平面A1MC 請證明你的結論.
解:存在點M,且點M是AB的中點時,直線DE∥平面
A1MC,證明如下.
如圖,取線段AB的中點M,連接A1M,MC,A1C和AC1.
設O為A1C,AC1的交點,則O為AC1的中點.連接MD,
OE,OM,則MD,OE分別為△ABC,△ACC1的中位線,所以MD∥AC且MD=AC,OE∥AC且OE=AC.
因此MD∥OE且MD=OE.
從而四邊形MDEO為平行四邊形,則DE∥MO.
因為直線DE 平面A1MC,MO 平面A1MC,所以直線DE∥平面A1MC.
即線段AB上存在一點M(線段AB的中點),使直線DE∥平面A1MC.
|思|維|建|模|
對于結論探究性問題,一般是假設其存在,再進行證明,或先選取中點或找到特殊直線進行驗證,并給出證明.
2.如圖所示,在四棱錐C ABED中,四邊形ABED是正方形,點G,F分別是線段EC,BD的中點.
(1)求證:GF∥平面ABC;
針對訓練
解:證明:由四邊形ABED為正方形可知,連接AE必與BD相交于中點F,
故GF∥AC .∵GF 平面ABC,且AC 平面ABC,∴GF∥平面ABC.
(2)線段BC上是否存在一點H,使得平面GFH∥平面ACD 若存在,請找出點H并證明;若不存在,請說明理由.
解:線段BC上存在一點H滿足題意,且點H是BC的中點.
理由如下:取BC的中點H,連接GH,
由點G,H分別為CE,CB的中點,
得GH∥EB∥AD.
∵GH 平面ACD,AD 平面ACD,
∴GH∥平面ACD.
∵GF∥AC,AC 平面ACD,GF 平面ACD,
∴GF∥平面ACD.
又GF∩GH=G,GH,GF 平面GFH,
∴平面GFH∥平面ACD.
課時跟蹤檢測
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1.在正方體ABCD A1B1C1D1中,點P在平面A1B1C1D1內,經過點P和棱BC將木塊鋸開,鋸開的面必須平整,共有N種鋸法,則N為 (　　)
A.0 B.1
C.2 D.無數
√
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解析:因為鋸開的面必須平整,故過P的直線l需和BC共面,此面即為平面PBC.因為BC∥B1C1,而BC 平面A1B1C1D1,B1C1 平面A1B1C1D1,故BC∥平面A1B1C1D1.而BC 平面PBC,平面A1B1C1D1∩平面PBC=l,故BC∥l,故l∥B1C1.故l唯一即鋸法唯一.
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2.如圖所示,A是平面BCD外一點,E,F,G分別是BD,DC,CA的中點,設過這三點的平面為α,則在圖中的6條直線AB,AC,AD,BC,CD,DB中,與平面α平行的直線有 (　　)
A.0條 B.1條
C.2條 D.3條
√
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解析:顯然AB,AC,DB,DC四條直線均與平面α相交.在△BCD中由已知得EF∥BC,又EF α,BC α,所以BC∥α.同理,AD∥α,所以在題圖中的6條直線中,與平面α平行的直線有2條.
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3.如圖,在三棱錐P ABC中,點D,E分別為棱PB,BC的中點,點G為CD,PE的交點,若點F在線段AC上,且滿足AD∥平面PEF,則的值為(　　)
A.1 B.2 C. D.
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解析:由于AD∥平面PEF,AD 平面ACD,平面ACD∩平面PEF=FG,
根據線面平行的性質定理可知AD∥FG.
因為點D,E分別為棱PB,BC的中點,點G為CD,PE的交點,
所以G是三角形PBC的重心.
所以==.故選C.
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4.(多選)如圖是四棱錐的平面展開圖,其中四邊形ABCD為正方形,E,F,G,
H分別為PA,PD,PC,PB的中點,在此幾何體中,給出下面四個結論,其中正確的是 (　　)
A.平面EFGH∥平面ABCD
B.BC∥平面PAD
C.AB∥平面PCD
D.平面PAD∥平面PAB
√
√
√
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解析:把平面展開圖還原為四棱錐如圖所示, 則EH∥AB,
因為AB 平面ABCD,EH 平面ABCD,所以EH∥平面
ABCD.同理可證EF∥平面ABCD.因為EH∩EF=E,EH,
EF 平面EFGH,所以平面EFGH∥平面ABCD,故A正確;平面PAD,平面PBC,平面PAB,平面PCD均是四棱錐的四個側面,它們兩兩相交.因為AB∥CD,CD 平面PCD,AB 平面PCD,所以AB∥平面PCD.同理,BC∥平面PAD,平面PAD∩平面PAB=PA,故B、C正確,D錯誤.
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5.已知側棱和底面垂直的三棱柱ABC A1B1C1的所有棱長均為3,D為側棱CC1的中點,M為側棱AA1上一點,且A1M=1,N為B1C1上一點,且MN∥平面ABD,則NB1的長為 (　　)
A.1 B.2
C. D.
√
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解析:如圖,取BB1上一點F,B1F=1,延長DC1至點E,使DE=2.
連接EF,EF∩B1C1=N.連接ME,
∵BF∥DE,BF=DE,∴四邊形FBDE是平行四邊形.
∴EF∥BD,EF 平面ABD.∴EF∥平面ABD.∵MF∥AB,
同理MF∥平面ABD,且MF∩EF=F,∴平面MEF∥平面ABD.MN 平面MEF,∴MN∥平面ABD.∵EC1=DE-DC1=,△B1FN∽△C1EN,∴==.又B1C1=3,∴NB1=2.
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6.已知直線l與平面α,β,γ依次交于點A,B,C,直線m與平面α,β,γ依次交于點D,E,F,若α∥β∥γ,AB=EF=3,BC=4,則DE=　　.
解析:如圖,連接CD交平面β于點G,連接EG,BG,AD,CF,設l與CD確定的平面為α1,因為α∩α1=AD,β∩α1=BG,且α∥β,所以AD∥BG,
所以=.同理可得,GE∥CF,=.
所以=,所以DE===.
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7.在△ABC中,AB=5,AC=7,∠A=60°,G是重心,過G的平面α與BC平行,
AB∩α=M,AC∩α=N,則MN=　　　　.
解析:如圖所示,若D為BC的中點,又G是重心,則
AG=AD.由題意BC∥α,BC 平面ABC,平面ABC
∩α=MN,故BC∥MN.所以==.又BC==,解得MN=.
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8.如圖,在長方體ABCD A1B1C1D1中,過BB1的中點E作一個與平面ACB1平行的平面交AB于點M,交BC于點N,則=　　　.
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解析:∵平面MNE∥平面ACB1,平面MNE∩平面ABB1A1=EM,平面ACB1∩平面ABB1A1=B1A,平面MNE∩平面CBB1C1=EN,平面ACB1∩平面CBB1C1=B1C,∴由兩個平面平行的性質定理可得EN∥B1C,
EM∥B1A.∴=,=.又∵E為BB1的中點,∴M,N分別為BA,BC的中點.∴MN=AC,即=.
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9.在三棱錐A BCD中,AB=CD=2,過BC的中點E的截面與AB,CD都平行,則截面的周長為　　　　.
解析:設CA,AD,DB的中點分別為F,G,H,連接EF,FG,GH,HE.根據三角形中位線定理,可得EF∥AB,FG∥CD,GH∥AB,HE∥CD,
EF=AB=1,FG=CD=1,所以EF∥GH,FG∥HE.因此四邊形EFGH是平行四邊形.因為EF∥AB,EF 平面EFGH,AB 平面EFGH,所以AB∥平面EFGH.同理CD∥平面EFGH.因此平行四邊形EFGH的周長為2(1+1)=4.
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10.(15分)如圖,在四棱錐P ABCD中,底面ABCD是菱形,N,M,Q分別為PB,PD,PC的中點.
(1)求證:QN∥平面PAD;
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解:證明:∵底面ABCD是菱形,N,Q分別為PB,PC的中點,
∴QN∥BC,BC∥AD.∴QN∥AD.∵QN 平面PAD,AD 平面PAD,
∴QN∥平面PAD.
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(2)記平面CMN與底面ABCD的交線為l,試判斷直線l與平面PBD的位置關系,并證明.
解:直線l與平面PBD平行,證明如下:
∵M,N分別為PD,PB的中點,
∴MN∥BD.∵BD 平面ABCD,MN 平面ABCD,∴MN∥平面ABCD.
∵平面CMN與底面ABCD的交線為l,∴由線面平行的性質得MN∥l.
∵MN∥BD,∴BD∥l.∵C∈l,C 平面PBD,且BD 平面PBD,l 平面PBD,
∴l∥平面PBD.
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11.(15分)在棱長為2的正方體ABCD A1B1C1D1中,M,N,Q,S分別是AB,
BC,C1D1,D1A1的中點.
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(1)求證:MN∥QS;
解:證明:連接SQ,MN,AC,A1C1.如圖,正方體中AA1∥CC1,AA1=CC1,四邊形ACC1A1為平行四邊形,則有AC∥A1C1.∵M,N,Q,S分別是AB,BC,C1D1,D1A1的中點,∴MN∥AC,SQ∥A1C1,∴MN∥SQ.
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(2)記MNQS確定的平面為α,作出平面α被該正方體所截的多邊形截面,寫出作法步驟.并說明理由,然后計算截面面積;
解:取AA1,CC1的中點E,F,連接S,Q,F,N,M,E,如圖,
則正六邊形SQFNME為平面α被該正方體所截的
多邊形截面,MN= =,
∴S正六邊形SQFNME=6××××sin 60°=3.
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(3)求證:平面ACD1∥平面α.
解:證明:∵MN∥AC,AC 平面α,MN 平面α,∴AC∥平面α.
∵S,E分別為A1D1,AA1的中點,∴SE∥AD1.∵SE 平面α,AD1 平面α,∴AD1∥平面α.
又∵AD1∩AC=A,AC 平面ACD1,AD1 平面ACD1,
∴平面ACD1∥平面α.
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12.(15分)如圖,在四棱柱ABCD A1B1C1D1中,點M是線段B1D1上的一個動點,E,F分別是BC,CM的中點.
(1)求證:EF ∥平面BDD1B1;
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證明:在四棱柱ABCD A1B1C1D1中,連接BM.如圖,因為E,F分別是BC,CM的中點,
所以EF∥BM.
又EF 平面BDD1B1,BM 平面BDD1B1,
所以EF∥平面BDD1B1.
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(2)設G為棱CD的中點,求證:平面GEF∥ 平面BDD1B1.
解:取CD的中點G,連接EG,FG.如圖,E是BC的中點,
得EG∥BD.又EG 平面BDD1B1,BD 平面BDD1B1,
得EG∥平面BDD1B1.由(1)知EF∥平面BDD1B1,
EF∩EG=E,且EF,EG 平面GEF,所以平面GEF∥
平面BDD1B1.所以當G是DC的中點時,平面GEF∥平面BDD1B1.課時跟蹤檢測(三十四)　空間平行關系的綜合問題
(滿分90分，選填小題每題5分)
1.在正方體ABCD－A1B1C1D1中，點P在平面A1B1C1D1內，經過點P和棱BC將木塊鋸開，鋸開的面必須平整，共有N種鋸法，則N為(　　)
A．0 B．1
C．2 D．無數
2.如圖所示，A是平面BCD外一點，E，F，G分別是BD，DC，CA的中點，設過這三點的平面為α，則在圖中的6條直線AB，AC，AD，BC，CD，DB中，與平面α平行的直線有(　　)
A．0條 B．1條
C．2條 D．3條
3.如圖，在三棱錐P－ABC中，點D，E分別為棱PB，BC的中點，點G為CD，PE的交點，若點F在線段AC上，且滿足AD∥平面PEF，則的值為(　　)
A．1 B．2
C. D.
4.(多選)如圖是四棱錐的平面展開圖，其中四邊形ABCD為正方形，E，F，G，H分別為PA，PD，PC，PB的中點，在此幾何體中，給出下面四個結論，其中正確的是(　　)
A．平面EFGH∥平面ABCD
B．BC∥平面PAD
C．AB∥平面PCD
D．平面PAD∥平面PAB
5．已知側棱和底面垂直的三棱柱ABC－A1B1C1的所有棱長均為3，D為側棱CC1的中點，M為側棱AA1上一點，且A1M＝1，N為B1C1上一點，且MN∥平面ABD，則NB1的長為(　　)
A．1 B．2
C. D.
6．已知直線l與平面α，β，γ依次交于點A，B，C，直線m與平面α，β，γ依次交于點D，E，F，若α∥β∥γ，AB＝EF＝3，BC＝4，則DE＝__________.
7．在△ABC中，AB＝5，AC＝7，∠A＝60°，G是重心，過G的平面α與BC平行，AB∩α＝M，AC∩α＝N，則MN＝________.
8.如圖，在長方體ABCD－A1B1C1D1中，過BB1的中點E作一個與平面ACB1平行的平面交AB于點M，交BC于點N，則＝______.
9．在三棱錐A－BCD中，AB＝CD＝2，過BC的中點E的截面與AB，CD都平行，則截面的周長為________.
10．(15分)如圖，在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD是菱形，N，M，Q分別為PB，PD，PC的中點．
(1)求證：QN∥平面PAD；
(2)記平面CMN與底面ABCD的交線為l，試判斷直線l與平面PBD的位置關系，并證明．
11.(15分)在棱長為2的正方體ABCD－A1B1C1D1中，M，N，Q，S分別是AB，BC，C1D1，D1A1的中點．
(1)求證：MN∥QS；
(2)記MNQS確定的平面為α，作出平面α被該正方體所截的多邊形截面，寫出作法步驟．并說明理由，然后計算截面面積；
(3)求證：平面ACD1∥平面α.
12.
(15分)如圖，在四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，點M是線段B1D1上的一個動點，E，F分別是BC，CM的中點．
(1)求證：EF ∥平面BDD1B1；
(2)設G為棱CD的中點，求證：平面GEF∥ 平面BDD1B1.
課時跟蹤檢測(三十四)
1．選B　因為鋸開的面必須平整，故過P的直線l需和BC共面，此面即為平面PBC.因為BC∥B1C1，而BC 平面A1B1C1D1，B1C1 平面A1B1C1D1，故BC∥平面A1B1C1D1.而BC 平面PBC，平面A1B1C1D1∩平面PBC＝l，故BC∥l，故l∥B1C1.故l唯一即鋸法唯一．
2．選C　顯然AB，AC，DB，DC四條直線均與平面α相交．在△BCD中由已知得EF∥BC，又EF α，BC α，所以BC∥α.同理，AD∥α，所以在題圖中的6條直線中，與平面α平行的直線有2條．
3．選C　由于AD∥平面PEF，AD 平面ACD，平面ACD∩平面PEF＝FG，
根據線面平行的性質定理可知AD∥FG.
因為點D，E分別為棱PB，BC的中點，點G為CD，PE的交點，
所以G是三角形PBC的重心．所以＝＝.故選C.
4.選ABC　把平面展開圖還原為四棱錐如圖所示，
則EH∥AB，因為AB 平面ABCD，EH 平面ABCD，所以EH∥平面ABCD.同理可證EF∥平面ABCD.因為EH∩EF＝E，EH，EF 平面EFGH，所以平面EFGH∥平面ABCD，故A正確；平面PAD，平面PBC，平面PAB，平面PCD均是四棱錐的四個側面，它們兩兩相交．因為AB∥CD，CD 平面PCD，AB 平面PCD，所以AB∥平面PCD.同理，BC∥平面PAD，平面PAD∩平面PAB＝PA，故B、C正確，D錯誤．
5.選B　如圖，取BB1上一點F，B1F＝1，延長DC1至點E，使DE＝2.連接EF，EF∩B1C1＝N.連接ME, ∵BF∥DE，BF＝DE，∴四邊形FBDE是平行四邊形．∴EF∥BD，EF 平面ABD.∴EF∥平面ABD.∵MF∥AB，同理MF∥平面ABD，且MF∩EF＝F，∴平面MEF∥平面ABD.MN 平面MEF，∴MN∥平面ABD.∵EC1＝DE－DC1＝，△B1FN∽△C1EN，∴＝＝.又B1C1＝3，∴NB1＝2.
6．解析：如圖，連接CD交平面β于點G，連接EG，BG，AD，CF，設l與CD確定的平面為α1，因為α∩α1＝AD，β∩α1＝BG，且α∥β，所以AD∥BG，所以＝.同理可得，GE∥CF，＝.所以＝，
所以DE＝＝＝.
答案：
7．解析：如圖所示，若D為BC的中點，又G是重心，則AG＝AD.由題意BC∥α，BC 平面ABC，平面ABC∩α＝MN，故BC∥MN.所以＝＝.
又BC＝＝，解得MN＝.
答案：
8．解析：∵平面MNE∥平面ACB1，平面MNE∩平面ABB1A1＝EM，平面ACB1∩平面ABB1A1＝B1A，平面MNE∩平面CBB1C1＝EN，平面ACB1∩平面CBB1C1＝B1C，∴由兩個平面平行的性質定理可得EN∥B1C，EM∥B1A.∴＝，＝.又∵E為BB1的中點，∴M，N分別為BA，BC的中點．∴MN＝AC，即＝.
答案：
9．解析：設CA，AD，DB的中點分別為F，G，H，連接EF，FG，GH，HE.根據三角形中位線定理，可得EF∥AB，FG∥CD，GH∥AB，HE∥CD，EF＝AB＝1，FG＝CD＝1，所以EF∥GH，FG∥HE.因此四邊形EFGH是平行四邊形．因為EF∥AB，EF 平面EFGH，AB 平面EFGH，所以AB∥平面EFGH.同理CD∥平面EFGH.因此平行四邊形EFGH的周長為2(1＋1)＝4.
答案：4
10．解：(1)證明：∵底面ABCD是菱形，N，Q分別為PB，PC的中點，
∴QN∥BC，BC∥AD.∴QN∥AD.
∵QN 平面PAD，AD 平面PAD，
∴QN∥平面PAD.
(2)直線l與平面PBD平行，證明如下：
∵M，N分別為PD，PB的中點，
∴MN∥BD.∵BD 平面ABCD，MN 平面ABCD，∴MN∥平面ABCD.
∵平面CMN與底面ABCD的交線為l，
∴由線面平行的性質得MN∥l.
∵MN∥BD，∴BD∥l.∵C∈l，C 平面PBD，且BD 平面PBD，l 平面PBD，
∴l∥平面PBD.
11．解：(1)證明：連接SQ，MN，AC，A1C1.如圖，正方體中AA1∥CC1，AA1＝CC1，四邊形ACC1A1為平行四邊形，則有AC∥A1C1.∵M，N，Q，S分別是AB，BC，C1D1，D1A1的中點，
∴MN∥AC，SQ∥A1C1，∴MN∥SQ.
(2)取AA1，CC1的中點E，F，連接S，Q，F，N，M，E，如圖，
則正六邊形SQFNME為平面α被該正方體所截的多邊形截面，MN＝ ＝，
∴S正六邊形SQFNME＝6××××sin 60°＝3.
(3)證明：∵MN∥AC，AC 平面α，MN 平面α，∴AC∥平面α.
∵S，E分別為A1D1，AA1的中點，
∴SE∥AD1.∵SE 平面α，AD1 平面α，∴AD1∥平面α.
又∵AD1∩AC＝A，AC 平面ACD1，AD1 平面ACD1，∴平面ACD1∥平面α.
12．證明：(1)在四棱柱ABCD A1B1C1D1中，連接BM.如圖，
因為E，F分別是BC，CM的中點，
所以EF∥BM.
又EF 平面BDD1B1，BM 平面BDD1B1，
所以EF∥平面BDD1B1.
(2)取CD的中點G，連接EG，FG.如圖，
E是BC的中點，
得EG∥BD.又EG 平面BDD1B1，BD 平面BDD1B1，得EG∥平面BDD1B1.由(1)知EF∥平面BDD1B1，
EF∩EG＝E，且EF，EG 平面GEF，所以平面GEF∥平面BDD1B1.
所以當G是DC的中點時，平面GEF∥平面BDD1B1.

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