資源簡介

8.6.1 直線與直線垂直—— (教學方式：深化學習課—梯度進階式教學)
[課時目標]
1．借助長方體，通過直觀感知，了解空間中直線與直線的垂直關系．
2．理解異面直線所成的角，并掌握兩異面直線所成角的求法．
1．異面直線所成的角
(1)定義：已知兩條異面直線a，b，經過空間任一點O分別作直線a′∥a，b′∥b，我們把直線________所成的角叫做異面直線a與b所成的角(或夾角)．
(2)空間兩條直線所成角α的取值范圍：____________.
|微|點|助|解|　
(1)兩條異面直線所成角的大小，是由這兩條異面直線的相互位置決定的，與點O的位置選取無關．
(2)兩條異面直線所成的角θ∈.
(3)找出兩條異面直線所成的角，要作平行移動(作平行線)，把兩條異面直線所成的角轉化為兩條相交直線所成的角．
2．兩條異面直線垂直
如果兩條異面直線所成的角是______，那么我們就說這兩條異面直線互相垂直．直線a與直線b互相垂直，記作______．
|微|點|助|解|　
兩條直線互相垂直，這兩條直線可能是相交的，也可能是不相交的，即有共面垂直和異面垂直兩種情形．
1．判斷正誤(正確的畫“√”，錯誤的畫“×”)
(1)異面直線所成角的大小與點O的位置有關．即點O位置不同時，這一角的大小也不同．(　　)
(2)異面直線a與b所成的角可以是0°.(　　)
(3)如果兩條平行直線中的一條與某一條直線垂直，那么另一條直線也與這條直線垂直．(　　)
2．若空間三條直線a，b，c滿足a⊥b，b∥c，則直線a與c(　　)
A．一定平行 B．一定垂直
C．一定是異面直線 D．一定相交
3．已知正方體ABCD－EFGH，則AH與FG所成的角是________．
題型(一)　求異面直線所成的角
[例1]　如圖，在三棱錐A－BCD中，AC⊥BD，E在棱AB上，F在棱CD上，并使AE∶EB＝CF∶FD＝m(m＞0)，設α為異面直線EF和AC所成的角，β為異面直線EF和BD所成的角，試求α＋β的值．
聽課記錄：
[變式拓展]
將本例變為： 如圖所示，點A是平面BCD外一點，AD＝BC＝2，E，F分別是AB，CD的中點，且EF＝，求異面直線AD和BC所成的角．
|思|維|建|模|
求異面直線所成的角的一般步驟
(1)找出(或作出)適合題設的角——用平移法，遇題設中有中點，常考慮中位線；若異面直線依附于某幾何體，且直線對異面直線平移有困難時，可利用該幾何體的特殊點，使異面直線轉化為相交直線．
(2)求——轉化為求一個三角形的內角，通過解三角形，求出所找的角．
(3)結論——設由(2)所求得的角的大小為θ.若0°＜θ≤90°，則θ為所求；若90°＜θ＜180°，則180°－θ為所求．　　
[針對訓練]
1.在正方體ABCD－A′B′C′D′中，E，F分別為面A′B′C′D′與面AA′D′D的中心，則EF與CD所成角的度數是__________．
2.在正四棱錐P－ABCD中，AB＝PA＝2，E為PC的中點，求異面直線AP與DE所成角的余弦值．
題型(二)　證明直線與直線垂直
[例2]　如圖，在正三棱柱ABC－A′B′C′中，E為棱AC的中點，AB＝BB′＝2.求證：BE⊥AC′.
聽課記錄：
|思|維|建|模|
證明兩條直線垂直的策略
(1)對于共面垂直的兩條直線的證明，可根據勾股定理證明．
(2)對于異面垂直的兩條直線的證明，可轉化為求兩條異面直線所成的角為90°來證明．　　
[針對訓練]
3．在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E，F分別是A1B1，B1C1的中點，求證：DB1⊥EF.
題型(三)　異面直線所成角的綜合問題
[例3]　如圖，在空間四邊形ABCD中，AB＝CD＝8，M，N分別是BC，AD的中點．若異面直線AB與CD所成的角為60°，求MN的長．
聽課記錄：
|思|維|建|模|
當已知條件中含有異面直線所成角時，應先作出該角，才能應用此條件，但要注意作出的角不一定是已知異面直線所成角，也可能是已知角的補角，應分情況討論．　　
[針對訓練]
4.如圖，在四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，側面都是矩形，底面四邊形ABCD是菱形，且AB＝BC＝2，∠ABC＝120°，若異面直線A1B和AD1所成的角是90°，則AA1的長度是________．
8．6.1　直線與直線垂直
課前預知教材
1．(1)a′與b′　(2)0°≤α≤90°　2.直角　a⊥b
[基礎落實訓練]
1．(1)×　(2)×　(3)√
2．B
3．解析：連接BG，則BG∥AH，所以∠BGF為異面直線AH與FG所成的角．因為四邊形BCGF為正方形，所以∠BGF＝45°.
答案：45°
?課堂題點研究
　[題型(一)]
[例1]　解：過點F作MF∥BD，交BC于點M，連接ME，
則CM∶MB＝CF∶FD ＝m，
又因為AE∶EB＝CF∶FD＝m，所以CM∶MB＝ AE∶EB，所以EM∥AC，所以α＝∠MEF，β＝∠MFE，
AC與BD所成的角為∠EMF.因為AC⊥BD，所以∠EMF＝90°，所以α＋β＝90°.
[變式拓展]
解：如圖，設G是AC的中點，連接EG，FG.因為E，F分別是AB，CD的中點，所以EG∥BC且EG＝BC＝1，FG∥AD，且FG＝AD＝1，即∠EGF為所求．又EF＝，由勾股定理逆定理可得∠EGF＝90°.
[針對訓練]
1．解析：連接B′D′，則E為B′D′的中點，連接AB′，則EF∥AB′.又CD∥AB，所以∠B′AB為異面直線EF與CD所成的角，即∠B′AB＝45°.
答案：45°
2．解：如圖，連接AC，BD相交于O，連接OE，則O為AC的中點．又E為PC的中點，所以OE∥AP，所以∠DEO為異面直線AP與DE所成的角或其補角．又△PCD 為等邊三角形，且邊長為2，故DE＝.
又OE＝PA＝1，OD＝BD＝，
所以DE2＝OE2＋OD2，即∠EOD＝90°.
所以cos∠DEO＝＝＝.故異面直線AP與DE所成角的余弦值為.
　[題型(二)]
[例2]　證明：如圖，取CC′的中點F，連接EF，BF，
∵E為AC的中點，F為CC′的中點，∴EF∥AC′，
∴∠BEF即為異面直線BE與AC′所成的角，且EF＝AC′.在正三棱柱ABC A′B′C′中，AB＝BB′＝2，
∴AC′＝2，∴EF＝.在等邊△ABC中，
BE＝＝，在Rt△BCF中，
BF＝＝.在△BEF中BE2＋EF2＝BF2，∴BE⊥EF，故BE⊥AC′.
[針對訓練]
3．證明：如圖，連接A1C1，B1D1，并設它們相交于點O，取DD1的中點G，連接OG，A1G，C1G.
則OG∥B1D，EF∥A1C1.
∴∠GOA1為異面直線DB1與EF所成的角或其補角．
∵GA1＝GC1，O為A1C1的中點，
∴GO⊥A1C1.∴異面直線DB1與EF所成的角為90°，即DB1⊥EF.
　[題型(三)]
[例3]　解：如圖所示，取BD的中點E，連接ME，NE.因為M，N分別是BC，AD的中點，所以ME∥CD且ME＝CD＝4，NE∥AB且NE＝AB＝4，從而∠MEN(或其補角)即為AB與CD所成的角．又異面直線AB與CD所成的角為60°，所以∠MEN＝60°或120°.
當∠MEN＝60°時，由余弦定理可知
MN＝＝4.
當∠MEN＝120°時，由余弦定理可知
MN＝
＝4.
[針對訓練]
4．解析：連接CD1，AC.在四棱柱ABCD A1B1C1D1中，A1D1綉BC，所以四邊形A1BCD1是平行四邊形．所以A1B∥CD1.所以∠AD1C(或其補角)為A1B和AD1所成的角．因為異面直線A1B和AD1所成的角為90°，所以∠AD1C＝90°.因為四棱柱ABCD A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，∠ABC＝120°，所以AC＝2sin 60°×2＝6.所以AD1＝AC＝3.所以AA1＝＝ ＝.
答案：(共62張PPT)
8.6.1
直線與直線垂直
(教學方式：深化學習課—梯度進階式教學)
課時目標
1.借助長方體,通過直觀感知,了解空間中直線與直線的垂直關系.
2.理解異面直線所成的角,并掌握兩異面直線所成角的求法.
CONTENTS
目錄
1
2
3
課前預知教材·自主落實基礎
課堂題點研究·遷移應用融通
課時跟蹤檢測
課前預知教材·自主落實基礎
01
1.異面直線所成的角
(1)定義:已知兩條異面直線a,b,經過空間任一點O分別作直線a'∥a,
b'∥b,我們把直線______所成的角叫做異面直線a與b所成的角(或夾角).
(2)空間兩條直線所成角α的取值范圍:_____________.
a'與b'
0°≤α≤90°
|微|點|助|解|
(1)兩條異面直線所成角的大小,是由這兩條異面直線的相互位置決定的,與點O的位置選取無關.
(2)兩條異面直線所成的角θ∈.
(3)找出兩條異面直線所成的角,要作平行移動(作平行線),把兩條異面直線所成的角轉化為兩條相交直線所成的角.
2.兩條異面直線垂直
如果兩條異面直線所成的角是______,那么我們就說這兩條異面直線互相垂直.直線a與直線b互相垂直,記作_______.
直角
a⊥b
兩條直線互相垂直,這兩條直線可能是相交的,也可能是不相交的,即有共面垂直和異面垂直兩種情形.
|微|點|助|解|
基礎落實訓練
1.判斷正誤(正確的畫“√”,錯誤的畫“×”)
(1)異面直線所成角的大小與點O的位置有關.即點O位置不同時,這一角的大小也不同. (　　)
(2)異面直線a與b所成的角可以是0°. (　　)
(3)如果兩條平行直線中的一條與某一條直線垂直,那么另一條直線也與這條直線垂直. (　　)
×
×
√
2.若空間三條直線a,b,c滿足a⊥b,b∥c,則直線a與c (　　)
A.一定平行 B.一定垂直
C.一定是異面直線 D.一定相交
√
3.已知正方體ABCD EFGH,則AH與FG所成的角是　　　　.
解析:連接BG,則BG∥AH,所以∠BGF為異面直線AH與FG所成的角.因為四邊形BCGF為正方形,所以∠BGF=45°.
45°
課堂題點研究·遷移應用融通
02
題型(一)　求異面直線所成的角
[例1]　如圖,在三棱錐A BCD中,AC⊥BD,E在棱AB上,F在棱CD上,并使AE∶EB=CF∶FD=m(m>0),設α為異面直線EF和AC所成的角,β為異面直線EF和BD所成的角,試求α+β的值.
解:過點F作MF∥BD,交BC于點M,連接ME,
則CM∶MB=CF∶FD =m,
又因為AE∶EB=CF∶FD=m,
所以CM∶MB= AE∶EB,所以EM∥AC,
所以α=∠MEF,β=∠MFE,
AC與BD所成的角為∠EMF.
因為AC⊥BD,所以∠EMF=90°,所以α+β=90°.
將本例變為: 如圖所示,點A是平面BCD外一點,AD=BC=2,E,F分別是AB,CD的中點,且EF=,求異面直線AD和BC所成的角.
變式拓展
解:如圖,設G是AC的中點,連接EG,FG.
因為E,F分別是AB,CD的中點,
所以EG∥BC且EG=BC=1,FG∥AD,
且FG=AD=1,即∠EGF為所求.又EF=,
由勾股定理逆定理可得∠EGF=90°.
|思|維|建|模|
求異面直線所成的角的一般步驟
(1)找出(或作出)適合題設的角——用平移法,遇題設中有中點,常考慮中位線;若異面直線依附于某幾何體,且直線對異面直線平移有困難時,可利用該幾何體的特殊點,使異面直線轉化為相交直線.
(2)求——轉化為求一個三角形的內角,通過解三角形,求出所找的角.
(3)結論——設由(2)所求得的角的大小為θ.若0°<θ≤90°,則θ為所求;若90°<θ<180°,則180°-θ為所求
1.在正方體ABCD A'B'C'D'中,E,F分別為面A'B'C'D'與面AA'D'D的中心,則EF與CD所成角的度數是　　　　.
針對訓練
45°
解析:連接B'D',則E為B'D'
的中點,連接AB',則EF∥AB'.
又CD∥AB,所以∠B'AB為異面直線EF與CD所成的角,即∠B'AB=45°.
2.在正四棱錐P ABCD中,AB=PA=2,E為PC的中點,求異面直線AP與DE所成角的余弦值.
解:如圖,連接AC,BD相交于O,連接OE,則O為AC的中點.又E為PC的中點,所以OE∥AP,所以∠DEO為異面直線AP與DE所成的角或其補角.又△PCD 為等邊三角形,且邊長為2,故DE=.
又OE=PA=1,OD=BD=,
所以DE2=OE2+OD2,即∠EOD=90°.
所以cos∠DEO===.
故異面直線AP與DE所成角的余弦值為.
題型(二)　證明直線與直線垂直
[例2]　如圖,在正三棱柱ABC A'B'C'中,E為棱AC的中點,AB=BB'=2.求證:BE⊥AC'.
證明:如圖,取CC'的中點F,連接EF,BF,
∵E為AC的中點,F為CC'的中點,∴EF∥AC',
∴∠BEF即為異面直線BE與AC'所成的角,
且EF=AC'.在正三棱柱ABC A'B'C'中,AB=BB'=2,
∴AC'=2,∴EF=.在等邊△ABC中,
BE==,
在Rt△BCF中,BF==.
在△BEF中BE2+EF2=BF2,
∴BE⊥EF,故BE⊥AC'.
證明兩條直線垂直的策略
(1)對于共面垂直的兩條直線的證明,可根據勾股定理證明.
(2)對于異面垂直的兩條直線的證明,可轉化為求兩條異面直線所成的角為90°來證明.
|思|維|建|模|
3.在正方體ABCD A1B1C1D1中,E,F分別是A1B1,B1C1的中點,求證:
DB1⊥EF.
證明:如圖,連接A1C1,B1D1,并設它們相交于點O,取DD1的中點G,連接OG,A1G,C1G.
針對訓練
則OG∥B1D,EF∥A1C1.
∴∠GOA1為異面直線DB1與EF所成的角或其補角.
∵GA1=GC1,O為A1C1的中點,∴GO⊥A1C1.
∴異面直線DB1與EF所成的角為90°,即DB1⊥EF.
題型(三)　異面直線所成角的綜合問題
[例3]　如圖,在空間四邊形ABCD中,AB=CD=8,M,N分別是BC,AD的中點.若異面直線AB與CD所成的角為60°,求MN的長.
解:如圖所示,取BD的中點E,連接ME,NE.因為M,N分別是BC,AD的中點,所以ME∥CD且ME=CD=4,
NE∥AB且NE=AB=4,從而∠MEN(或其補角)即為AB與CD所成的角.
又異面直線AB與CD所成的角為60°,所以∠MEN=60°或120°.當∠MEN=60°時,由余弦定理可知
MN= =4.
當∠MEN=120°時,由余弦定理可知
MN= =4.
當已知條件中含有異面直線所成角時,應先作出該角,才能應用此條件,但要注意作出的角不一定是已知異面直線所成角,也可能是已知角的補角,應分情況討論.
|思|維|建|模|
4.如圖,在四棱柱ABCD A1B1C1D1中,側面都是矩形,底面四邊形ABCD是菱形,且AB=BC=2,∠ABC=120°,若異面直線A1B和AD1所成的角是90°,則AA1的長度是　　　.
針對訓練
解析:連接CD1,AC.在四棱柱ABCD A1B1C1D1中,A1D1 BC,所
以四邊形A1BCD1是平行四邊形.所以A1B∥CD1.所以∠AD1C
(或其補角)為A1B和AD1所成的角.因為異面直線A1B和AD1所
成的角為90°,所以∠AD1C=90°.因為四棱柱ABCD A1B1C1D1中,AB=BC=2,∠ABC=120°,所以AC=2sin 60°×2=6.所以AD1=AC=3.所以AA1== =.
課時跟蹤檢測
03
1
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
2
A級——達標評價
1.在正方體ABCD A1B1C1D1中,與直線AA1垂直的棱有(　　)
A.2條 B.4條
C.6條 D.8條
解析:在正方體AC1中,與AA1垂直的棱為A1B1,B1C1,C1D1,D1A1,AB,BC,
CD,DA,共8條.故選D.
√
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
2
3
4
2.已知空間三條直線l,m,n,若l與m垂直,l與n垂直,則 (　　)
A.m與n異面
B.m與n相交
C.m與n平行
D.m與n平行、相交、異面均有可能
解析:∵m⊥l,n⊥l,∴m與n既可以相交,也可以異面,還可以平行.
√
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
3
4
2
3.設P是直線l外一定點,過點P且與l成30°角的異面直線 (　　)
A.有無數條 B.有兩條
C.至多有兩條 D.有一條
解析:如圖所示,過點P作直線l'∥l,以l'為軸,與l'成30°角的圓錐面的所有母線都與l成30°角,除去兩條與l共面的母線,其余都符合要求.
√
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
3
4
2
4.如圖所示,在等邊三角形ABC中,D,E,F分別為各邊中點,G,H,I,J分別為AF,AD,BE,DE的中點.將△ABC沿DE,EF,DF折成三棱錐后,GH與IJ所成角的度數為 (　　)
A.90° B.60°
C.45° D.0°
√
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
3
4
2
解析:將三角形折成三棱錐.如圖所示,GH與IJ為異面直線.在三棱錐A DEF中,IJ∥AD,GH∥DF,所以∠ADF即為所求,因此GH與IJ所成的角為60°.
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
3
4
2
5.在正方體ABCD A1B1C1D1中,O是A1C1的中點,則異面直線AO與BC1的夾角為 (　　)
A.30° B.45°
C.60° D.90°
√
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
3
4
2
解析:連接AD1,D1O.因為正方體ABCD A1B1C1D1中,AB∥C1D1,AB=C1D1,所以四邊形ABC1D1是平行四邊形.則AD1∥BC1.所以∠D1AO或其補角是異面直線AO與BC1的夾角.不妨設正方體ABCD A1B1C1D1的棱長為2,則AD1=2,D1O=,AO==.因為A=D1O2+AO2,即D1O⊥AO,則0°<∠D1AO<90°,所以sin∠D1AO==,即∠D1AO=30°.
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
3
4
2
6.如圖,在正方體ABCD A1B1C1D1中,與AD1異面且與AD1所成的角為90°的面對角線(面對角線是指正方體各個面上的對角線)共有___條.
解析:與AD1異面的面對角線分別為A1C1,B1C,BD,BA1,C1D,其中只有B1C和AD1所成的角為90°.
1
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
3
4
2
7.已知∠ABC=120°,異面直線MN,PQ.其中MN∥AB,PQ∥BC,則異面直線MN與PQ所成的角為　　　　.
解析:結合等角定理及異面直線所成角的范圍可知,異面直線MN與PQ所成的角為60°.
60°
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
3
4
2
8.在正三棱柱ABC A1B1C1中,若AB=BB1,則AB1與BC1所成角的大小是　　　.
解析:設BB1=1,如圖,延長CC1至C2,使C1C2=CC1=1,連接
B1C2,則B1C2∥BC1,所以∠AB1C2為AB1與BC1所成的角
(或其補角).連接AC2,因為AB1=,B1C2=,AC2=,所
以A=A+B1,則∠AB1C2=90°.
90°
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
3
4
2
9.(10分)如圖,在三棱柱ABC A1B1C1中,AA1與AC,AB所成的角均為60°,
∠BAC=90°,且AB=AC=AA1,求異面直線A1B與AC1所成角的余弦值.
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
3
4
2
解:如圖所示,把三棱柱補為四棱柱ABDC A1B1D1C1,
連接BD1,A1D1,AD,由四棱柱的性質知BD1∥AC1,則
∠A1BD1或其補角就是異面直線A1B與AC1所成的角.
設AB=a,∵AA1與AC,AB所成的角均為60°,且AB=
AC=AA1,
∴A1B=a,BD1=AC1=2AA1·cos 30°=a.
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
3
4
2
又∠BAC=90°,∴在矩形ABDC中,
AD=a,∴A1D1=a,
∴A1+A1B2=B,∴∠BA1D1=90°.
∴在Rt△BA1D1中,cos∠A1BD1===.
故異面直線A1B與AC1所成角的余弦值為.
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
3
4
2
10.(10分)如圖所示,在空間四邊形ABCD中,AD=BC=2,E,F分別是AB,CD的中點.若EF=.
求證:AD⊥BC.
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
3
4
2
證明:取BD的中點H,連接EH,FH.
因為E是AB的中點,且AD=2,
所以EH∥AD,EH=1.
同理FH∥BC,FH=1.
所以∠EHF(或其補角)是異面直線AD,BC所成的角.
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
3
4
2
又因為EF=,所以EH2+FH2=EF2.
所以△EFH是等腰直角三角形,EF是斜邊.
所以∠EHF=90°,即AD,BC所成的角是90°.
故AD⊥BC.
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
3
4
2
B級——重點培優
11.(多選)如圖,在正四棱柱ABCD A1B1C1D1中,E,F分別是AB1,BC1的中點,則下列結論成立的是(　　)
A.EF與BB1垂直
B.EF與BD垂直
C.EF與CD異面
D.EF與A1C1異面
√
√
√
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
3
4
2
解析:如圖所示,連接A1B,易知點E為A1B的中點,由三角形中位線定理可得EF∥A1C1,所以EF,A1C1確定一個平面.顯然EF與CD異面.因為A1C1
⊥AA1,AA1∥BB1,所以A1C1⊥BB1.又EF∥A1C1,所以EF⊥BB1.連接B1D1,則A1C1⊥B1D1.易知BD∥B1D1,所以A1C1⊥BD.又知EF∥A1C1,所以EF⊥BD.故只有選項D中的結論不成立.
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
3
4
2
12.在正三棱柱ABC A1B1C1中,所有棱長均為2,點M,N分別為AB,BC的中點,則異面直線A1M與B1N所成角的余弦值為 (　　)
A. B.
C. D.
√
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
3
4
2
解析:如圖,延長MB到P,使得BP=MB.因為M是AB的中點,則MP=AB.又MP∥A1B1,所以四邊形A1B1PM是平行四邊形,A1M∥B1P.所以異面直線A1M與B1N所成的角是 ∠PB1N (或其補角).
又N是BC的中點,所以BP=BN=1,
NP=
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
3
4
2
==.
因為三棱柱是正三棱柱,所以B1P=B1N==.故cos∠PB1N===.
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
3
4
2
13.在直三棱柱ABC A'B'C'中,AC=BC=AA',∠ACB=120°,E為BB'的中點,異面直線CE與C'A所成角的余弦值是 (　　)
A.- B.
C.- D.
√
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
3
4
2
解析:如圖所示,直三棱柱ABC A'B'C'向上方補形為直三棱柱ABC A″B″C″,其中A',B',C'分別為各棱的中點,取B'B″的中點D',可知CE∥C'D',異面直線CE與C'A所成的角即為C'D'與C'A所成的角.設CB=2,則C'D'=,C'A=2,AD'=,
cos∠AC'D'==-,故異面直線CE與C'A所成角的余弦值為.
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
3
4
2
14.當動點P在正方體ABCD A1B1C1D1的棱DC上運動時,異面直線D1P與BC1所成角的取值范圍是　　　　.
解析:設正方體棱長為1,DP=x,則x∈[0,1],連接AD1,AP(圖略).由AD1∥BC1可知,∠AD1P(或其補角)即為異面直線D1P與BC1所成的角.在△AD1P中,
AD1=,AP=D1P=,故cos∠AD1P=.又∵x∈[0,1],
∴cos∠AD1P=∈.又∠AD1P∈(0,π),∴∠AD1P∈.
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
3
4
2
15.(16分)如圖,已知點P在圓柱OO1的底面☉O上,AA1⊥AB,BP⊥A1P,
AB,A1B1分別為☉O,☉O1的直徑,且AB∥A1B1.若圓柱OO1的體積V=12π,OA=2,∠AOP=120°,回答下列問題:
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
3
4
2
(1)求三棱錐A1 APB的體積;
解:由題意得V=π·OA2·AA1=4π·AA1=12π,解得AA1=3.
由OA=2,∠AOP=120°,得∠BAP=30°,BP=2,AP=2.
∴S△PAB=×2×2=2.∴三棱錐A1 APB的體積=S△PAB·AA1=×2×3=2.
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
3
4
2
(2)在線段AP上是否存在一點M,使異面直線OM與A1B所成的角的余弦值為 若存在,請指出點M的位置,并證明;若不存在,請說明理由.
解:當點M為AP的中點時,異面直線OM與A1B所成的角的余弦值為.
證明如下:
∵O,M分別為AB,AP的中點,∴OM∥BP.
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
3
4
2
∴∠A1BP就是異面直線OM與A1B所成的角.∵AA1=3,AB=4,AA1⊥AB,
∴A1B=5.又BP⊥A1P,∴cos∠A1BP==.∴當點M為AP的中點時,異面直線OM與A1B所成的角的余弦值為.課時跟蹤檢測(三十五)　直線與直線垂直
(滿分100分，A級選填小題每題5分，B級選填小題每題6分)
A級——達標評價
1．在正方體ABCD－A1B1C1D1中，與直線AA1垂直的棱有(　　)
A．2條 B．4條
C．6條 D．8條
2．已知空間三條直線l，m，n，若l與m垂直，l與n垂直，則(　　)
A．m與n異面
B．m與n相交
C．m與n平行
D．m與n平行、相交、異面均有可能
3．設P是直線l外一定點，過點P且與l成30°角的異面直線(　　)
A．有無數條 B．有兩條
C．至多有兩條 D．有一條
4.如圖所示，在等邊三角形ABC中，D，E，F分別為各邊中點，G，H，I，J分別為AF，AD，BE，DE的中點．將△ABC沿DE，EF，DF折成三棱錐后，GH與IJ所成角的度數為(　　)
A．90° B．60°
C．45° D．0°
5．在正方體ABCD－A1B1C1D1中，O是A1C1的中點，則異面直線AO與BC1的夾角為(　　)
A．30° B．45°
C．60° D．90°
6.如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，與AD1異面且與AD1所成的角為90°的面對角線(面對角線是指正方體各個面上的對角線)共有________條.
7．已知∠ABC＝120°，異面直線MN，PQ.其中MN∥AB，PQ∥BC，則異面直線MN與PQ所成的角為________.
8．在正三棱柱ABC－A1B1C1中，若AB＝BB1，則AB1與BC1所成角的大小是________.
9.(10分)如圖，在三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1與AC，AB所成的角均為60°，∠BAC＝90°，且AB＝AC＝AA1，求異面直線A1B與AC1所成角的余弦值.
10.(10分)如圖所示，在空間四邊形ABCD中，AD＝BC＝2，E，F分別是AB，CD的中點．若EF＝.
求證：AD⊥BC.
B級——重點培優
11.(多選)如圖，在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，E，F分別是AB1，BC1的中點，則下列結論成立的是(　　)
A．EF與BB1垂直
B．EF與BD垂直
C．EF與CD異面
D．EF與A1C1異面
12．在正三棱柱ABC－A1B1C1中，所有棱長均為2，點M，N分別為AB，BC的中點，則異面直線A1M與B1N所成角的余弦值為(　　)
A. B.
C. D.
13.在直三棱柱ABC－A′B′C′中，AC＝BC＝AA′，∠ACB＝120°，E為BB′的中點，異面直線CE與C′A所成角的余弦值是(　　)
A．－ B.
C．－ D.
14．當動點P在正方體ABCD－A1B1C1D1的棱DC上運動時，異面直線D1P與BC1所成角的取值范圍是________.
15.(16分)如圖，已知點P在圓柱OO1的底面⊙O上，AA1⊥AB，BP⊥A1P，AB，A1B1分別為⊙O，⊙O1的直徑，且AB∥A1B1.若圓柱OO1的體積V＝12π，OA＝2，∠AOP＝120°，回答下列問題：
(1)求三棱錐A1－APB的體積；
(2)在線段AP上是否存在一點M，使異面直線OM與A1B所成的角的余弦值為？若存在，請指出點M的位置，并證明；若不存在，請說明理由.
課時跟蹤檢測(三十五)
1．選D　在正方體AC1中，與AA1垂直的棱為A1B1，B1C1，C1D1，D1A1，AB，BC，CD，DA，共8條．故選D.
2．選D　∵m⊥l，n⊥l，∴m與n既可以相交，也可以異面，還可以平行．
3.選A　如圖所示，過點P作直線l′∥l，以l′為軸，與l′成30°角的圓錐面的所有母線都與l成30°角，除去兩條與l共面的母線，其余都符合要求．
4.選B　將三角形折成三棱錐．如圖所示，GH與IJ為異面直線．在三棱錐A DEF中，IJ∥AD，GH∥DF，所以∠ADF即為所求，因此GH與IJ所成的角為60°.
5.選A　連接AD1，D1O.因為正方體ABCD A1B1C1D1中，AB∥C1D1，AB＝C1D1，所以四邊形ABC1D1是平行四邊形．則AD1∥BC1.所以∠D1AO或其補角是異面直線AO與BC1的夾角．不妨設正方體ABCD A1B1C1D1的棱長為2，則AD1＝2，D1O＝，AO＝＝.因為AD＝D1O2＋AO2，即D1O⊥AO，則0°<∠D1AO<90°，所以sin∠D1AO＝＝，即∠D1AO＝30°.
6．解析：與AD1異面的面對角線分別為A1C1，B1C，BD，BA1，C1D，其中只有B1C和AD1所成的角為90°.
答案：1
7．解析：結合等角定理及異面直線所成角的范圍可知，異面直線MN與PQ所成的角為60°.
答案：60°
8．解析：設BB1＝1，如圖，延長CC1至C2，使C1C2＝CC1＝1，連接B1C2，則B1C2∥BC1，所以∠AB1C2為AB1與BC1所成的角(或其補角)．連接AC2，因為AB1＝，B1C2＝，AC2＝，所以AC＝AB＋B1C，則∠AB1C2＝90°.
答案：90°
9．解：如圖所示，把三棱柱補為四棱柱ABDC A1B1D1C1，
連接BD1，A1D1，AD，
由四棱柱的性質知BD1∥AC1，則∠A1BD1或其補角就是異面直線A1B與AC1所成的角．
設AB＝a，∵AA1與AC，AB所成的角均為60°，且AB＝AC＝AA1，
∴A1B＝a，BD1＝AC1＝2AA1·cos 30°＝a.
又∠BAC＝90°，∴在矩形ABDC中，
AD＝a，∴A1D1＝a，
∴A1D＋A1B2＝BD，∴∠BA1D1＝90°.
∴在Rt△BA1D1中，cos∠A1BD1＝＝＝.故異面直線A1B與AC1所成角的余弦值為.
10．證明：取BD的中點H，連接EH，FH.
因為E是AB的中點，且AD＝2，
所以EH∥AD，EH＝1.同理FH∥BC，FH＝1.
所以∠EHF(或其補角)是異面直線AD，BC所成的角．
又因為EF＝，所以EH2＋FH2＝EF2.
所以△EFH是等腰直角三角形，EF是斜邊．
所以∠EHF＝90°，即AD，BC所成的角是90°.
故AD⊥BC.
11.選ABC　如圖所示，連接A1B，易知點E為A1B的中點，由三角形中位線定理可得EF∥A1C1，所以EF，A1C1確定一個平面．顯然EF與CD異面．因為A1C1⊥AA1，AA1∥BB1，所以A1C1⊥BB1.又EF∥A1C1，所以EF⊥BB1.連接B1D1，則A1C1⊥B1D1.易知BD∥B1D1，所以A1C1⊥BD.又知EF∥A1C1，所以EF⊥BD.故只有選項D中的結論不成立．
12.選D　如圖，延長MB到P，使得BP＝MB.因為M是AB的中點，則MP＝AB.又MP∥A1B1，所以四邊形A1B1PM是平行四邊形，A1M∥B1P.所以異面直線A1M與B1N所成的角是 ∠PB1N (或其補角)．
又N是BC的中點，所以BP＝BN＝1，
NP＝
＝＝.
因為三棱柱是正三棱柱，所以B1P＝B1N＝＝.故cos∠PB1N＝＝＝.
13.選B　如圖所示，直三棱柱ABC A′B′C′向上方補形為直三棱柱ABC A″B″C″，其中A′，B′，C′分別為各棱的中點，取B′B″的中點D′，可知CE∥C′D′，異面直線CE與C′A所成的角即為C′D′與C′A所成的角．設CB＝2，則C′D′＝，C′A＝2，AD′＝，cos∠AC′D′＝＝－，故異面直線CE與C′A所成角的余弦值為.
14．解析：設正方體棱長為1，DP＝x，則x∈[0,1]，連接AD1，AP(圖略)．由AD1∥BC1可知，∠AD1P(或其補角)即為異面直線D1P與BC1所成的角．在△AD1P中，AD1＝，AP＝D1P＝，故cos∠AD1P＝.又∵x∈[0,1]，∴cos∠AD1P＝∈.又∠AD1P∈(0，π)，∴∠AD1P∈.
答案：
15．解：(1)由題意得V＝π·OA2·AA1＝4π·AA1＝12π，解得AA1＝3.
由OA＝2，∠AOP＝120°，得∠BAP＝30°，BP＝2，AP＝2.∴S△PAB＝×2×2＝2.∴三棱錐A1 APB的體積VA1 APB＝S△PAB·AA1＝×2×3＝2.
(2)當點M為AP的中點時，異面直線OM與A1B所成的角的余弦值為.證明如下：
∵O，M分別為AB，AP的中點，∴OM∥BP.∴∠A1BP就是異面直線OM與A1B所成的角．∵AA1＝3，AB＝4，AA1⊥AB，∴A1B＝5.又BP⊥A1P，∴cos∠A1BP＝＝.∴當點M為AP的中點時，異面直線OM與A1B所成的角的余弦值為.

展開更多......

收起↑