資源簡介

8．6.2　直線與平面垂直
第1課時　直線與平面垂直的判定定理
—— (教學方式：深化學習課—梯度進階式教學)
[課時目標]
借助長方體，通過直觀感知，了解空間中直線與平面垂直的判定定理．
1．直線與平面垂直的定義及有關概念
定義 一般地，如果直線l與平面α內的__________直線都垂直，我們就說直線l與平面α互相垂直
記法 __________
有關概念 直線l叫做平面α的______，平面α叫做直線l的______，直線與平面垂直時，它們唯一的公共點P叫做______
圖示
性質 過一點垂直于已知平面的直線有且只有一條
垂線段與點面距 過一點作垂直于已知平面的直線，則該點與______間的線段，叫做這個點到該平面的垂線段，垂線段的______叫做這個點到該平面的距離
|微|點|助|解|　
關于直線與平面垂直的定義的理解
(1)定義中的“任意一條直線”這一詞語，它與“所有直線”是同義語，定義是說這條直線和平面內所有直線垂直．
(2)直線與平面垂直是直線與平面相交的一種特殊形式．
(3)若直線與平面垂直，則直線和平面內的任意一條直線都垂直，即“線面垂直，則線線垂直”，這是我們判定兩條直線垂直時經常使用的一種重要方法．
2．直線與平面垂直的判定定理
文字語言 如果一條直線與一個平面內的____________直線垂直，那么該直線與此平面________
圖形語言
符號語言 l⊥a，l⊥b，a α，b α，__________ l⊥α
|微|點|助|解|　
(1)該定理涉及的元素有“一點三線一面”：①“一點”即兩條直線的交點；②“三線”即平面內兩條相交直線、平面的垂線；③“一面”即兩條相交直線所確定的平面，也是直線的垂面．
(2)該定理中有五大條件：
l⊥a，l⊥b，a α，b α，a∩b＝P，它們缺一不可．
(3)兩個線線垂直：定理中注意直線l與直線a，b都垂直，但要注意直線l與直線a，b的位置關系可能相交，也可能異面，即直線l可能經過交點P，也可能不經過交點P.
(4)“兩條相交直線”是定理中的關鍵，即直線a，b必須是平面α內的兩條相交直線．
3．直線與平面所成的角
(1)直線和平面所成角的有關概念
有關概念 對應圖形
斜線 一條直線l與一個平面α______，但不與這個平面____(圖中______)
斜足 斜線和平面的______
射影 過斜線上斜足以外的一點P向平面α引________，過______和________的直線AO叫做斜線在這個平面內的射影
,
(2)直線與平面所成角的定義
定義 平面的一條斜線和它在平面上的______所成的角，叫做這條直線和這個平面所成的角
規定 一條直線垂直于平面，我們說它們所成的角是______；一條直線和平面平行，或在平面內，我們說它們所成的角是______
范圍 直線與平面所成的角θ的取值范圍是__________
|微|點|助|解|　
理解直線和平面所成角應注意的問題
(1)直線和平面所成的角θ的取值范圍是0°≤θ≤90°，而斜線和平面所成的角θ的取值范圍是0°<θ<90°.
(2)斜線和平面所成的角反映了斜線和平面的位置關系，它是轉化成平面內兩條相交直線所成的角度量的，它是這條斜線和平面內經過斜足的直線所成的一切角中的最小角．
(3)當直線與平面平行或直線在平面內時，直線與平面成0°角；當直線與平面垂直時，直線與平面成90°角．
1．判斷正誤(正確的畫“√”，錯誤的畫“×”)
(1)如果一條直線與一個平面內所有直線都垂直，那么這條直線與這個平面垂直．(　　)
(2)如果兩條平行線中的一條垂直于一個平面，那么另一條也垂直于這個平面．(　　)
2．若三條直線OA，OB，OC兩兩垂直，則直線OA垂直于(　　)
A．平面OAB B．平面OAC
C．平面OBC D．平面ABC
3．一條直線和三角形的兩邊同時垂直，則這條直線和三角形的第三邊的位置關系是(　　)
A．平行 B．垂直
C．相交不垂直 D．不確定
4．在正方體ABCD－A1B1C1D1中，直線AB1與平面ABCD所成的角等于________．
題型(一)　對線面垂直概念的理解
[例1]　(多選)下列命題中，正確的是(　　)
A．若直線l與平面α內的無數條直線垂直，則l⊥α
B．若直線l與平面α內的一條直線垂直，則l⊥α
C．若直線l不垂直于平面α，則α內也可以有無數條直線與l垂直
D．過一點和已知平面垂直的直線有且只有一條
聽課記錄：
|思|維|建|模|　直線與平面垂直定義的“雙向”作用
(1)證明線面垂直
若一條直線與一個平面內任意一條直線都垂直，則該直線與已知平面垂直．即線線垂直 線面垂直．
(2)證明線線垂直
若一條直線與一個平面垂直，則該直線與平面內任意一條直線垂直．即線面垂直 線線垂直．
[針對訓練]
1．設l，m是兩條不同的直線，α是一個平面，則下列命題正確的是(　　)
A．若l⊥m，m α，則l⊥α
B．若l⊥α，l∥m，則m⊥α
C．若l∥α，m α，則l∥m
D．若l∥α，m∥α，則l∥m
題型(二)　求直線與平面所成的角
[例2]　已知在三棱柱ABC－A1B1C1中，各棱長相等，側棱垂直于底面，且點D是側面BB1C1C的中心，則AD與平面BB1C1C所成角的大小是(　　)
A．30° B．45°
C．60° D．90°
聽課記錄：
|思|維|建|模|
求解直線和平面所成角的一般步驟
求直線和平面所成角的關鍵在于找出直線在平面內的射影，基本步驟為
(1)作：即在斜線上選取恰當的點向平面引垂線，準確確定垂足的位置是關鍵；幾何圖形的特征是確定垂足的依據，垂足一般都是一些特殊的點，比如線段的中點、平面圖形的中心、重心、垂心等．
(2)證：即證明所找到的角為直線和平面所成的角．
(3)求：將所求角轉化為垂線段、斜線段與射影所構成的直角三角形中進行計算．　　
[針對訓練]
2．如圖所示，AB是圓柱的母線，BD是圓柱底面圓的直徑，C是底面圓周上一點，且AB＝BC＝2，∠CBD＝45°，求直線BD與平面ACD所成的角．
題型(三)　直線與平面的判定定理的應用
[例3]　如圖，在三棱錐S－ABC中，∠ABC＝90°，D是AC的中點，且SA＝SB＝SC.
(1)求證：SD⊥平面ABC；
(2)若AB＝BC，求證：BD⊥平面SAC.
　　
聽課記錄：
|思|維|建|模|
證線面垂直的方法
(1)線線垂直證明線面垂直：
①定義法不常用，但由線面垂直可得出線線垂直；
②判定定理最常用：要著力尋找平面內的兩條相交直線(有時作輔助線)，結合平面圖形的性質(如勾股定理逆定理、等腰三角形底邊中線等)及一條直線與平行線中一條垂直，也與另一條垂直等結論來論證線線垂直．
(2)平行轉化法(利用推論)：
①a∥b，a⊥α b⊥α；②α∥β，a⊥α a⊥β.　　
[針對訓練]
3.如圖，AB為⊙O的直徑，PA垂直于⊙O所在的平面，M為圓周上任意一點，AN⊥PM，N為垂足．
(1)求證：AN⊥平面PBM；
(2)若AQ⊥PB，垂足為Q，求證：NQ⊥PB.
第1課時　直線與平面垂直的判定定理
課前預知教材
1．任意一條　l⊥α　垂線　垂面　垂足　垂足　長度　2.兩條相交　垂直　a∩b＝P
3．(1)相交　垂直　直線PA　交點　垂線PO　垂足O　斜足A　(2)射影　90°　0°　0°≤θ≤90°
[基礎落實訓練]
1．(1)√　(2)√
2．選C　由線面垂直的判定定理知OA垂直于平面OBC.故選C.
3．選B　一條直線和三角形的兩邊同時垂直，則其垂直三角形所在平面，從而垂直第三邊．故選B.
4．解析：如圖所示，因為正方體ABCD A1B1C1D1中，B1B⊥平面ABCD，所以AB即為AB1在平面ABCD中的射影，∠B1AB即為直線AB1與平面ABCD所成的角．由題意知，∠B1AB＝45°，故所求角為45°.
答案：45°
課堂題點研究
[題型(一)]
[例1]　選CD　當直線l與平面α內的無數條直線垂直時，l與α不一定垂直，所以A不正確；當l與α內的一條直線垂直時，不能保證l與平面α垂直，所以B不正確；當l與α不垂直時，l可能與α內的無數條平行直線垂直，所以C正確；過一點有且只有一條直線垂直于已知平面，所以D正確．
[針對訓練]
1．選B　對于A，直線l⊥m，m并不代表平面α內任意一條直線，所以不能判定線面垂直；對于B，因為l⊥α，則l垂直α內任意一條直線，又l∥m，由異面直線所成角的定義知，m與平面α內任意一條直線所成的角都是90°，即m⊥α，故B正確；對于C，也有可能是l，m異面；對于D，l，m還可能相交或異面．故選B.
[題型(二)]
[例2]　選C　如圖，取BC的中點E，連接DE，AE，AD.依題意知三棱柱ABC A1B1C1為正三棱柱，易得AE⊥平面BB1C1C，故∠ADE為AD與平面BB1C1C所成的角．設各棱長為1，則AE＝，DE＝，從而tan∠ADE＝＝＝，則∠ADE＝60°.
[針對訓練]
2．解：取AC的中點E，連接BE，DE.
由題意知AB⊥平面BCD，故AB⊥CD.
又BD是底面圓的直徑，
∴∠BCD＝90°，
即CD⊥BC.
∵AB∩BC＝B，AB，BC 平面ABC，
∴CD⊥平面ABC.又∵BE 平面ABC，
∴CD⊥BE.
∵AB＝BC＝2，AB⊥BC，
∴BE⊥AC且BE＝.
又AC∩CD＝C，AC，CD 平面ACD，
∴BE⊥平面ACD.
∴∠BDE即為直線BD與平面ACD所成的角．
又BD＝BC＝2，
∴sin∠BDE＝＝＝.
∴∠BDE＝30°，即直線BD與平面ACD所成的角為30°.
　[題型(三)]
[例3]　證明：(1)∵SA＝SC，D是AC的中點，
∴SD⊥AC.在Rt△ABC中，AD＝BD，
又SA＝SB，∴△ADS≌△BDS.∴SD⊥BD.
又AC∩BD＝D，AC 平面ABC，BD 平面ABC，∴SD⊥平面ABC.
(2)∵AB＝BC，D為AC的中點，
∴BD⊥AC.由(1)知SD⊥BD.
又SD∩AC＝D，SD 平面SAC，AC 平面SAC，∴BD⊥平面SAC.
[針對訓練]
3．證明：(1)∵AB為⊙O的直徑，
∴AM⊥BM.
又PA⊥平面ABM，BM 平面ABM，
∴PA⊥BM.
又∵PA∩AM＝A，PA，AM 平面PAM，
∴BM⊥平面PAM.
又AN 平面PAM，∴BM⊥AN.
又AN⊥PM，且BM∩PM＝M，BM，PM 平面PBM，∴AN⊥平面PBM.
(2)由(1)知AN⊥平面PBM，
PB 平面PBM，∴AN⊥PB.
又∵AQ⊥PB，AN∩AQ＝A，AN，AQ 平面ANQ，∴PB⊥平面ANQ.
又NQ 平面ANQ，∴PB⊥NQ.(共65張PPT)
8.6.2
直線與平面垂直
直線與平面垂直的判定定理
(教學方式：深化學習課——梯度進階式教學)
第1課時
課時目標
借助長方體,通過直觀感知,了解空間中直線與平面垂直的判定定理.
CONTENTS
目錄
1
2
3
課前預知教材·自主落實基礎
課堂題點研究·遷移應用融通
課時跟蹤檢測
課前預知教材·自主落實基礎
01
1.直線與平面垂直的定義及有關概念
定義 一般地,如果直線l與平面α內的__________直線都垂直,我們就說直線l與平面α互相垂直
記法
_____________
有關概念 直線l叫做平面α的______,平面α叫做直線l的______,直線與平面垂直時,它們唯一的公共點P叫做______
任意一條
l⊥α
垂線
垂面
垂足
圖示
性質 過一點垂直于已知平面的直線有且只有一條
垂線段與點面距 過一點作垂直于已知平面的直線,則該點與_____間的線段,叫做這個點到該平面的垂線段,垂線段的_____叫做這個點到該平面的距離
垂足
長度
續表
|微|點|助|解|
關于直線與平面垂直的定義的理解
(1)定義中的“任意一條直線”這一詞語,它與“所有直線”是同義語,定義是說這條直線和平面內所有直線垂直.
(2)直線與平面垂直是直線與平面相交的一種特殊形式.
(3)若直線與平面垂直,則直線和平面內的任意一條直線都垂直,即“線面垂直,則線線垂直”,這是我們判定兩條直線垂直時經常使用的一種重要方法.
2.直線與平面垂直的判定定理
文字語言 如果一條直線與一個平面內的__________直線垂直,那么該直線與此平面_____
圖形語言
符號語言 l⊥a,l⊥b,a α,b α,_________ l⊥α
兩條相交
垂直
a∩b=P
|微|點|助|解|
(1)該定理涉及的元素有“一點三線一面”:①“一點”即兩條直線的交點;②“三線”即平面內兩條相交直線、平面的垂線;③“一面”即兩條相交直線所確定的平面,也是直線的垂面.
(2)該定理中有五大條件:
l⊥a,l⊥b,a α,b α,a∩b=P,它們缺一不可.
(3)兩個線線垂直:定理中注意直線l與直線a,b都垂直,但要注意直線l與直線a,b的位置關系可能相交,也可能異面,即直線l可能經過交點P,也可能不經過交點P.
(4)“兩條相交直線”是定理中的關鍵,即直線a,b必須是平面α內的兩條相交直線.
3.直線與平面所成的角
(1)直線和平面所成角的有關概念
有關概念 對應圖形
斜線 一條直線l與一個平面α_____,但不與這個平面______ (圖中________)
斜足 斜線和平面的______
射影 過斜線上斜足以外的一點P向平面α引_________,過_______和________的直線AO叫做斜線在這個平面內的射影
相交
垂直
直線PA
交點
垂線PO
垂足O
斜足A
(2)直線與平面所成角的定義
定義 平面的一條斜線和它在平面上的______所成的角,叫做這條直線和這個平面所成的角
規定 一條直線垂直于平面,我們說它們所成的角是_____;一條直線和平面平行,或在平面內,我們說它們所成的角是___
范圍 直線與平面所成的角θ的取值范圍是______________
射影
90°
0°
0°≤θ≤90°
|微|點|助|解|
理解直線和平面所成角應注意的問題
(1)直線和平面所成的角θ的取值范圍是0°≤θ≤90°,而斜線和平面所成的角θ的取值范圍是0°<θ<90°.
(2)斜線和平面所成的角反映了斜線和平面的位置關系,它是轉化成平面內兩條相交直線所成的角度量的,它是這條斜線和平面內經過斜足的直線所成的一切角中的最小角.
(3)當直線與平面平行或直線在平面內時,直線與平面成0°角;當直線與平面垂直時,直線與平面成90°角.
基礎落實訓練
1.判斷正誤(正確的畫“√”,錯誤的畫“×”)
(1)如果一條直線與一個平面內所有直線都垂直,那么這條直線與這個平面垂直. (　　)
(2)如果兩條平行線中的一條垂直于一個平面,那么另一條也垂直于這個平面. (　　)
√
√
2.若三條直線OA,OB,OC兩兩垂直,則直線OA垂直于 (　　)
A.平面OAB B.平面OAC
C.平面OBC D.平面ABC
解析:由線面垂直的判定定理知OA垂直于平面OBC.故選C.
√
3.一條直線和三角形的兩邊同時垂直,則這條直線和三角形的第三邊的位置關系是 (　　)
A.平行 B.垂直
C.相交不垂直 D.不確定
解析:一條直線和三角形的兩邊同時垂直,則其垂直三角形所在平面,從而垂直第三邊.故選B.
√
4.在正方體ABCD A1B1C1D1中,直線AB1與平面ABCD所成的角等于　 .
解析:如圖所示,因為正方體ABCD A1B1C1D1中,B1B⊥平面ABCD,所以AB即為AB1在平面ABCD中的射影,∠B1AB即為直線AB1與平面ABCD所成的角.由題意知,∠B1AB=45°,故所求角為45°.
45°
課堂題點研究·遷移應用融通
02
題型(一)　對線面垂直概念的理解
[例1]　(多選)下列命題中,正確的是(　　)
A.若直線l與平面α內的無數條直線垂直,則l⊥α
B.若直線l與平面α內的一條直線垂直,則l⊥α
C.若直線l不垂直于平面α,則α內也可以有無數條直線與l垂直
D.過一點和已知平面垂直的直線有且只有一條
√
√
解析:當直線l與平面α內的無數條直線垂直時,l與α不一定垂直,所以A不正確;當l與α內的一條直線垂直時,不能保證l與平面α垂直,所以B不正確;當l與α不垂直時,l可能與α內的無數條平行直線垂直,所以C正確;過一點有且只有一條直線垂直于已知平面,所以D正確.
|思|維|建|模|　
(1)證明線面垂直
若一條直線與一個平面內任意一條直線都垂直,則該直線與已知平面垂直.即線線垂直 線面垂直.
(2)證明線線垂直
若一條直線與一個平面垂直,則該直線與平面內任意一條直線垂直.即線面垂直 線線垂直.
直線與平面垂直定義的“雙向”作用
1.設l,m是兩條不同的直線,α是一個平面,則下列命題正確的是 (　　)
A.若l⊥m,m α,則l⊥α
B.若l⊥α,l∥m,則m⊥α
C.若l∥α,m α,則l∥m
D.若l∥α,m∥α,則l∥m
√
針對訓練
解析:對于A,直線l⊥m,m并不代表平面α內任意一條直線,所以不能判定線面垂直;對于B,因為l⊥α,則l垂直α內任意一條直線,又l∥m,由異面直線所成角的定義知,m與平面α內任意一條直線所成的角都是90°,即m⊥α,故B正確;對于C,也有可能是l,m異面;對于D,l,m還可能相交或異面.故選B.
題型(二)　求直線與平面所成的角
[例2]　已知在三棱柱ABC A1B1C1中,各棱長相等,側棱垂直于底面,且點D是側面BB1C1C的中心,則AD與平面BB1C1C所成角的大小是(　　)
A.30°　　　 B.45°　　　
C.60°　　　 D.90°
√
解析:如圖,取BC的中點E,連接DE,AE,AD.依題意知三棱柱ABC A1B1C1為正三棱柱,易得AE⊥平面BB1C1C,故∠ADE為AD與平面BB1C1C所成的角.設各棱長為1,則AE=,DE=,從而tan∠ADE===,則∠ADE=60°.
|思|維|建|模|　
求解直線和平面所成角的一般步驟
　　求直線和平面所成角的關鍵在于找出直線在平面內的射影,基本步驟為
(1)作:即在斜線上選取恰當的點向平面引垂線,準確確定垂足的位置是關鍵;幾何圖形的特征是確定垂足的依據,垂足一般都是一些特殊的點,比如線段的中點、平面圖形的中心、重心、垂心等.
(2)證:即證明所找到的角為直線和平面所成的角.
(3)求:將所求角轉化為垂線段、斜線段與射影所構成的直角三角形中進行計算.
2.如圖所示,AB是圓柱的母線,BD是圓柱底面圓的直徑,C是底面圓周上一點,且AB=BC=2,∠CBD=45°,求直線BD與平面ACD所成的角.
針對訓練
解:取AC的中點E,連接BE,DE.
由題意知AB⊥平面BCD,
故AB⊥CD.
又BD是底面圓的直徑,
∴∠BCD=90°,即CD⊥BC.
∵AB∩BC=B,AB,BC 平面ABC,
∴CD⊥平面ABC.又∵BE 平面ABC,
∴CD⊥BE.
∵AB=BC=2,AB⊥BC,∴BE⊥AC且BE=.
又AC∩CD=C,AC,CD 平面ACD,
∴BE⊥平面ACD.
∴∠BDE即為直線BD與平面ACD所成的角.
又BD=BC=2,
∴sin∠BDE===.
∴∠BDE=30°,即直線BD與平面ACD所成的角為30°.
題型(三)　直線與平面的判定定理的應用
[例3]　如圖,在三棱錐S ABC中,∠ABC=90°,D是AC的中點,且SA=
SB=SC.
(1)求證:SD⊥平面ABC;
證明:∵SA=SC,D是AC的中點,
∴SD⊥AC.在Rt△ABC中,AD=BD,
又SA=SB,∴△ADS≌△BDS.∴SD⊥BD.
又AC∩BD=D,AC 平面ABC,BD 平面ABC,∴SD⊥平面ABC.
(2)若AB=BC,求證:BD⊥平面SAC.
證明:∵AB=BC,D為AC的中點,
∴BD⊥AC.由(1)知SD⊥BD.
又SD∩AC=D,SD 平面SAC,AC 平面SAC,∴BD⊥平面SAC.
|思|維|建|模|　
證線面垂直的方法
(1)線線垂直證明線面垂直:
①定義法不常用,但由線面垂直可得出線線垂直;
②判定定理最常用:要著力尋找平面內的兩條相交直線(有時作輔助線),結合平面圖形的性質(如勾股定理逆定理、等腰三角形底邊中線等)及一條直線與平行線中一條垂直,也與另一條垂直等結論來論證線線垂直.
(2)平行轉化法(利用推論):
①a∥b,a⊥α b⊥α;②α∥β,a⊥α a⊥β.
3.如圖,AB為☉O的直徑,PA垂直于☉O所在的平面,M為圓周上任意一點,AN⊥PM,N為垂足.
(1)求證:AN⊥平面PBM;
針對訓練
證明:∵AB為☉O的直徑,∴AM⊥BM.
又PA⊥平面ABM,BM 平面ABM,∴PA⊥BM.
又∵PA∩AM=A,PA,AM 平面PAM,
∴BM⊥平面PAM.
又AN 平面PAM,∴BM⊥AN.
又AN⊥PM,且BM∩PM=M,BM,PM 平面PBM,∴AN⊥平面PBM.
(2)若AQ⊥PB,垂足為Q,求證:NQ⊥PB.
證明:由(1)知AN⊥平面PBM,
PB 平面PBM,∴AN⊥PB.
又∵AQ⊥PB,AN∩AQ=A,AN,AQ 平面ANQ,∴PB⊥平面ANQ.
又NQ 平面ANQ,∴PB⊥NQ.
課時跟蹤檢測
03
1
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
2
A級——達標評價
1.正方體ABCD A1B1C1D1中與AD1垂直的平面是(　　)
A.平面DD1C1C B.平面A1DB
C.平面A1B1C1D1 D.平面A1DB1
解析: ∵AD1⊥A1D,AD1⊥A1B1,A1D∩A1B1=A1,A1D,A1B1 平面A1DB1,
∴AD1⊥平面A1DB1.故選D.
√
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
2
3
4
2.直線l與平面α所成的角為70°,直線l∥m,則m與α所成的角等于 (　　)
A.20° B.70°
C.90° D.110°
解析:∵l∥m,∴直線l與平面α所成的角等于m與α所成的角.又直線l與平面α所成的角為70°,∴m與α所成的角為70°.故選B.
√
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
3
4
2
3.從平面外一點向平面引一條垂線和三條斜線,斜足分別為A,B,C,如果這些斜線與平面成等角,有如下結論:
①△ABC是正三角形;②垂足是△ABC的內心;③垂足是△ABC的外心;④垂足是△ABC的垂心.
其中正確結論的個數是(　　)
A.1 B.2
C.3 D.4
√
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
3
4
2
解析:設平面ABC外一點P及其在該平面內的投影為O,則PO⊥平面ABC.由已知可得△PAO,△PBO,△PCO全等,所以OA=OB=OC,所以O為△ABC的外心,只有③正確.
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
3
4
2
4.如圖,α∩β=l,點A,C∈α,點B∈β,且BA⊥α,BC⊥β,那么直線l與直線AC的關系是 (　　)
A.異面 B.平行
C.垂直 D.不確定
解析:∵BA⊥α,α∩β=l,∴l α.∴BA⊥l.同理BC⊥l.又BA∩BC=B,BA,
BC 平面ABC,∴l⊥平面ABC.∵AC 平面ABC,∴l⊥AC.故選C.
√
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
3
4
2
5.如圖,在三棱柱ABC A1B1C1中,∠BAC=90°,BC1⊥AC,且AC=BC,則直線B1C1與平面ABC1所成的角為(　　)
A.30° B.45°
C.60° D.90°
√
1
5
6
7
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解析:∵∠BAC=90°,AC=BC,∴∠CBA=30°.∵BC1⊥AC,
AB⊥AC,BC1∩AB=B,BC1 平面ABC1,AB 平面ABC1,∴AC⊥平面ABC1.∴∠CBA就是BC與平面ABC1所成的角,即BC與平面ABC1所成的角為30°.∵棱柱中B1C1∥BC,∴B1C1與平面ABC1所成的角為30°.
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6.如圖,在四棱錐P ABCD中,底面ABCD為矩形,PA⊥平面ABCD,則圖中共有直角三角形的個數為　　　　.
解析:∵PA⊥平面ABCD,∴PA⊥BC.又BC⊥AB,∴BC⊥平面PAB.
∴BC⊥PB.同理得CD⊥PD.故共有4個直角三角形.
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7.如圖,AB是☉O的直徑,PA⊥☉O所在的平面,C是圓上一
點,且∠ABC=30°,PA=AB,則直線PC與平面ABC所成角
的正切值為　　　　.
解析:因為PA⊥平面ABC,所以AC為斜線PC在平面ABC上的射影,所以∠PCA即為PC與平面ABC所成的角.在△ABC中,AC=AB=PA,所以tan∠PCA==2.
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8.在三棱錐V ABC中,當三條側棱VA,VB,VC之間滿足條件__________
__________________________________________時,有VC⊥AB.(注:填上你認為正確的一種條件即可)
解析:只要VC⊥平面VAB,即有VC⊥AB.故只要VC⊥VA,VC⊥VB即可.
VC⊥VA,
VC⊥VB(答案不唯一,只要能保證VC⊥AB即可)
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9.(10分)如圖,在四棱錐P ABCD中,底面ABCD是矩形,PA⊥平面ABCD,
AP=AB=2,BC=2,E,F分別是AD,PC的中點.證明:PC⊥平面BEF.
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證明:如圖,連接PE,EC,在Rt△PAE和Rt△CDE中,PA=AB=CD,AE=DE,
所以PE=CE,即△PEC是等腰三角形.
又F是PC的中點,所以EF⊥PC.
又BP= =2=BC,
F是PC的中點,所以BF⊥PC.
又BF∩EF=F,BF,EF 平面BEF,
所以PC⊥平面BEF.
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10.(12分)如圖,PA⊥正方形ABCD所在平面,經過A且垂直于PC的平面分別交PB,PC,PD于E,F,G,求證:AE⊥PB.
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證明:因為PA⊥平面ABCD,所以PA⊥BC.
又四邊形ABCD是正方形,所以AB⊥BC.
因為AB∩PA=A,AB,PA 平面PAB,所以BC⊥平面PAB.
因為AE 平面PAB,所以BC⊥AE.
由PC⊥平面AEFG,得PC⊥AE.
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因為PC∩BC=C,PC,BC 平面PBC,
所以AE⊥平面PBC.
因為PB 平面PBC,所以AE⊥PB.
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B級——重點培優
11.把正方形ABCD沿對角線AC折起,當以A,B,C,D四點為頂點棱錐體積最大時,直線BD和平面ABC所成的角的大小為(　　)
A.90° B.60°
C.45° D.30°
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解析:如圖,當DO⊥平面ABC時,三棱錐D ABC的體積最大.∴∠DBO為直線BD和平面ABC所成的角,∵在Rt△DOB中,OD=OB,∴直線BD和平面ABC所成的角為45°.
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12.如圖,設平面α∩平面β=PQ,EG⊥平面α,FH⊥平面α,垂足分別為G,H.為使PQ⊥GH,則需增加的一個條件是 (　　)
A.EF⊥平面α B.EF⊥平面β
C.PQ⊥GE D.PQ⊥FH
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解析:因為EG⊥平面α,PQ 平面α,所以EG⊥PQ.若EF⊥平面β,則由PQ 平面β,得EF⊥PQ.又EG與EF為相交直線,所以PQ⊥平面EFHG,所以PQ⊥GH,故選B.
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13.(10分)如圖,點C在圓錐PO的底面圓O上,AB是直徑,AB=8,∠BAC=30°,圓錐的母線與底面所成的角為60°,求點A到平面PBC的距離.
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解:因為AB是直徑,則AC⊥BC,且AB=8,∠BAC=30°,可得AC=4,BC=4,又因為PO⊥底面圓O,圓錐的母線與底面所成的角為∠PAO=60°,可知△PAB為等邊三角形,所以圓錐的母線PA=8,PO=4,設點A到平面PBC的距離為h,利用等體積法VP ABC=VA PBC,即×4××4×4=×h×
×4×,解得h=,即點A到平面PBC的距離為.
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14.(16分)如圖所示,四邊形ABCD是正方形,DE⊥平面ABCD,DE=DA=2.
(1)求證:AC⊥平面BDE;
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解:證明:∵四邊形ABCD是正方形,
∴AC⊥BD.
∵DE⊥平面ABCD,AC 平面ABCD,∴AC⊥DE,
∵BD 平面BED,DE 平面BED,BD∩DE=D,
∴AC⊥平面BDE.
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(2)求AE與平面BDE所成角的大小.
解:設AC∩BD=O,連接EO.如圖所示,
∵AC⊥平面BDE,
∴EO是直線AE在平面BDE上的射影.
∴∠AEO即為AE與平面BDE所成的角.
在Rt△EAD中,EA= =2,AO=,
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∴在Rt△EOA中,sin∠AEO==.
∵0°≤∠AEO≤90°,
∴∠AEO=30°,即AE與平面BDE所成的角為30°.課時跟蹤檢測(三十六)　直線與平面垂直的判定定理
(滿分100分，A級選填小題每題5分，B級選填小題每題6分)
A級——達標評價
1．正方體ABCD－A1B1C1D1中與AD1垂直的平面是(　　)
A．平面DD1C1C B．平面A1DB
C．平面A1B1C1D1 D．平面A1DB1
2．直線l與平面α所成的角為70°，直線l∥m，則m與α所成的角等于(　　)
A．20° B．70°
C．90° D．110°
3．從平面外一點向平面引一條垂線和三條斜線，斜足分別為A，B，C，如果這些斜線與平面成等角，有如下結論：
①△ABC是正三角形；②垂足是△ABC的內心；③垂足是△ABC的外心；④垂足是△ABC的垂心．
其中正確結論的個數是(　　)
A．1 B．2
C．3 D．4
4.如圖，α∩β＝l，點A，C∈α，點B∈β，且BA⊥α，BC⊥β，那么直線l與直線AC的關系是(　　)
A．異面 B．平行
C．垂直 D．不確定
5．如圖，在三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BAC＝90°，BC1⊥AC，且AC＝BC，則直線B1C1與平面ABC1所成的角為(　　)
A．30° B．45°
C．60° D．90°
6.如圖，在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD為矩形，PA⊥平面ABCD，則圖中共有直角三角形的個數為________.
7.如圖，AB是⊙O的直徑，PA⊥⊙O所在的平面，C是圓上一點，且∠ABC＝30°，PA＝AB，則直線PC與平面ABC所成角的正切值為________.
8．在三棱錐V－ABC中，當三條側棱VA，VB，VC之間滿足條件________時，有VC⊥AB.(注：填上你認為正確的一種條件即可)
9．(10分)如圖，在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，AP＝AB＝2，BC＝2，E，F分別是AD，PC的中點．證明：PC⊥平面BEF.
10．(12分)如圖，PA⊥正方形ABCD所在平面，經過A且垂直于PC的平面分別交PB，PC，PD于E，F，G，
求證：AE⊥PB.
B級——重點培優
11．把正方形ABCD沿對角線AC折起，當以A，B，C，D四點為頂點棱錐體積最大時，直線BD和平面ABC所成的角的大小為(　　)
A．90° B．60°
C．45° D．30°
12.如圖，設平面α∩平面β＝PQ，EG⊥平面α，FH⊥平面α，垂足分別為G，H.為使PQ⊥GH，則需增加的一個條件是(　　)
A．EF⊥平面α B．EF⊥平面β
C．PQ⊥GE D．PQ⊥FH
13．(10分)如圖，點C在圓錐PO的底面圓O上，AB是直徑，AB＝8，∠BAC＝30°，圓錐的母線與底面所成的角為60°，求點A到平面PBC的距離.
14．(16分)如圖所示，四邊形ABCD是正方形，DE⊥平面ABCD，DE＝DA＝2.
(1)求證：AC⊥平面BDE；
(2)求AE與平面BDE所成角的大小．
課時跟蹤檢測(三十六)
1．選D　∵AD1⊥A1D，AD1⊥A1B1，A1D∩A1B1＝A1，A1D，A1B1 平面A1DB1，
∴AD1⊥平面A1DB1.故選D.
2．選B　∵l∥m，∴直線l與平面α所成的角等于m與α所成的角．又直線l與平面α所成的角為70°，∴m與α所成的角為70°.故選B.
3．選A　設平面ABC外一點P及其在該平面內的投影為O，則PO⊥平面ABC.由已知可得△PAO，△PBO，△PCO全等，所以OA＝OB＝OC，所以O為△ABC的外心，只有③正確．
4．選C　∵BA⊥α，α∩β＝l，∴l α.∴BA⊥l.同理BC⊥l.又BA∩BC＝B，BA，BC 平面ABC，∴l⊥平面ABC.∵AC 平面ABC，
∴l⊥AC.故選C.
5．選A　∵∠BAC＝90°，AC＝BC，
∴∠CBA＝30°.∵BC1⊥AC，AB⊥AC，BC1∩AB＝B，BC1 平面ABC1，AB 平面ABC1，∴AC⊥平面ABC1.∴∠CBA就是BC與平面ABC1所成的角，即BC與平面ABC1所成的角為30°.∵棱柱中B1C1∥BC，∴B1C1與平面ABC1所成的角為30°.
6．解析：∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥BC.
又BC⊥AB，∴BC⊥平面PAB.∴BC⊥PB.
同理得CD⊥PD.故共有4個直角三角形．
答案：4
7．解析：因為PA⊥平面ABC，所以AC為斜線PC在平面ABC上的射影，所以∠PCA即為PC與平面ABC所成的角．在△ABC中，AC＝AB＝PA，所以tan∠PCA＝＝2.
答案：2
8．解析：只要VC⊥平面VAB，即有VC⊥AB.故只要VC⊥VA，VC⊥VB即可．
答案：VC⊥VA，VC⊥VB(答案不唯一，只要能保證VC⊥AB即可)
9．證明：如圖，連接PE，EC，在Rt△PAE和Rt△CDE中，PA＝AB＝CD，AE＝DE，
所以PE＝CE，即△PEC是等腰三角形．
又F是PC的中點，所以EF⊥PC.
又BP＝ ＝2＝BC，
F是PC的中點，所以BF⊥PC.
又BF∩EF＝F，BF，EF 平面BEF，
所以PC⊥平面BEF.
10．證明：因為PA⊥平面ABCD，
所以PA⊥BC.
又四邊形ABCD是正方形，所以AB⊥BC.
因為AB∩PA＝A，AB，PA 平面PAB，所以BC⊥平面PAB.
因為AE 平面PAB，所以BC⊥AE.
由PC⊥平面AEFG，得PC⊥AE.
因為PC∩BC＝C，PC，BC 平面PBC，
所以AE⊥平面PBC.
因為PB 平面PBC，所以AE⊥PB.
11.選C　如圖，當DO⊥平面ABC時，三棱錐D ABC的體積最大．∴∠DBO為直線BD和平面ABC所成的角，∵在Rt△DOB中，OD＝OB，∴直線BD和平面ABC所成的角為45°.
12．選B　因為EG⊥平面α，PQ 平面α，所以EG⊥PQ.若EF⊥平面β，則由PQ 平面β，得EF⊥PQ.又EG與EF為相交直線，所以PQ⊥平面EFHG，所以PQ⊥GH，故選B.
13．解：因為AB是直徑，則AC⊥BC，且AB＝8，∠BAC＝30°，可得AC＝4，BC＝4，又因為PO⊥底面圓O，圓錐的母線與底面所成的角為∠PAO＝60°，可知△PAB為等邊三角形，所以圓錐的母線PA＝8，PO＝4，設點A到平面PBC的距離為h，利用等體積法VP ABC＝VA PBC，即×4××4×4＝×h××4× ，解得h＝，即點A到平面PBC的距離為.
14．解：(1)證明：∵四邊形ABCD是正方形，
∴AC⊥BD.
∵DE⊥平面ABCD，AC 平面ABCD，
∴AC⊥DE，
∵BD 平面BED，DE 平面BED，BD∩DE＝D，∴AC⊥平面BDE.
(2)設AC∩BD＝O，連接EO.如圖所示，
∵AC⊥平面BDE，
∴EO是直線AE在平面BDE上的射影．
∴∠AEO即為AE與平面BDE所成的角．
在Rt△EAD中，EA＝ ＝2，AO＝，
∴在Rt△EOA中，sin∠AEO＝＝.
∵0°≤∠AEO≤90°，∴∠AEO＝30°，
即AE與平面BDE所成的角為30°.

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