資源簡介

8.6.3　平面與平面垂直
第 1 課時　平面與平面垂直的判定定理
—— (教學方式：深化學習課—梯度進階式教學)
[課時目標]
1．理解二面角的有關概念，會作二面角的平面角，能求簡單二面角的平面角的大小．
2．了解面面垂直的定義，掌握面面垂直的判定定理，初步學會用定理證明垂直關系．
1．二面角的有關概念
(1)定義：從一條直線出發的____________所組成的圖形．
(2)相關概念：①這條直線叫做二面角的____，②兩個半平面叫做____________．
(3)畫法：
(4)記法：二面角__________或____________或__________或________．
(5)二面角的平面角：若有：
①O______l；②OA______α，OB______β；
③OA____l，OB____l，則二面角α－l－β的平面角是______．
(6)二面角的范圍：0°≤α≤180°.
(7)直二面角：平面角是直角的二面角．
|微|點|助|解|　
構成二面角的平面角的三要素
“棱上”“面內”“垂直”．即二面角的平面角的頂點必須在棱上，角的兩邊必須分別在兩個半平面內，角的兩邊必須都與棱垂直，這三個條件缺一不可．前兩個要素決定了二面角的平面角大小的唯一性，第三個要素決定了平面角所在的平面與棱垂直．
2．平面與平面垂直
(1)面面垂直的定義
定義 一般地，兩個平面相交，如果它們所成的二面角是________，就說這兩個平面互相垂直
畫法 畫兩個互相垂直的平面時，通常把表示平面的兩個平行四邊形的一組邊畫成垂直．如圖
記作 α⊥β
(2)平面與平面垂直的判定定理
文字語言 圖形語言 符號語言 作用
如果一個平面過另一個平面的______，那么這兩個平面垂直 α⊥β 證面面垂直
|微|點|助|解|　
(1)面面垂直的判定定理可簡述為“線面垂直 面面垂直”．要證明平面與平面垂直，只需轉化為證明直線與平面垂直．
(2)觀察空間圖形時，不能以平面的觀點去看待，平面上畫的兩直線成銳角或鈍角，在空間中可能是垂直的．
1．如圖所示的二面角可記為(　　)
A．α－β－l B．M－l－N
C．l－M－N D．l－β－α
2．已知直線l⊥平面α，則經過l且和α垂直的平面(　　)
A．有一個 B．有兩個
C．有無數個 D．不存在
3．若平面α⊥平面β，平面β⊥平面γ，則(　　)
A．α∥γ B．α⊥γ
C．α與γ相交但不垂直 D．以上都有可能
4．如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，二面角A－BC－A1的平面角等于______．
題型(一)　二面角的概念及其大小計算
[例1]　如圖所示，在△ABC中，AB⊥BC，SA⊥平面ABC，DE垂直平分SC，且分別交AC，SC于點D，E，又SA＝AB，SB＝BC，求二面角E－BD－C的大小．
聽課記錄：
|思|維|建|模|
1．求二面角大小的步驟
簡稱為“一作二證三求”．
2．確定二面角的平面角的方法
(1)定義法：在二面角的棱上找一個特殊點，在兩個半平面內分別過該點作垂直于棱的射線．
(2)垂面法：過棱上一點作棱的垂直平面，該平面與二面角的兩個半平面產生交線，這兩條交線所成的角，即為二面角的平面角．
[針對訓練]
1．在等腰直角三角形ABC中，AB＝BC＝1，M為AC的中點，沿BM把它折成二面角，折后A與C的距離為1，則二面角C－BM－A的大小為(　　)
A．30° B．60°
C．90° D．120°
2．已知正四棱錐(底面為正方形各側面為全等的等腰三角形)的體積為12，底面對角線的長為2，求側面與底面所成的二面角．
題型(二)　平面與平面垂直的判定
[例2]　如圖所示，在四面體ABCS 中，已知∠BSC＝90°，∠BSA＝∠CSA＝60°，又SA＝SB＝SC.
求證：平面ABC⊥平面SBC.
聽課記錄：
[變式拓展]
　本例中，若SA＝SB＝SC＝2，其他條件不變，如何求三棱錐S－ABC的體積呢？
|思|維|建|模|
證明面面垂直常用的方法
(1)定義法：即說明兩個半平面所成的二面角是直二面角；
(2)判定定理法：在其中一個平面內尋找一條直線與另一個平面垂直，即把問題轉化為“線面垂直”；
(3)性質法：兩個平行平面中的一個垂直于第三個平面，則另一個也垂直于此平面．　
[針對訓練]
3.如圖所示，四邊形ABCD是邊長為a的菱形，PC⊥平面ABCD，E是PA的中點，求證：平面BDE⊥平面ABCD.
第1課時　平面與平面垂直的判定定理
課前預知教材
1．(1)兩個半平面　(2)①棱　②二面角的面
(4)α l β　α AB β　P l Q　P AB Q　
(5)①∈　② 　 　③⊥　⊥　∠AOB
2．(1)直二面角　(2)垂線
[基礎落實訓練]
1．B
2．選C　經過l的任一平面都和α垂直．
3．D
4．解析：根據正方體中的位置關系可知，AB⊥BC，A1B⊥BC，根據二面角平面角定義可知，∠ABA1即為二面角A BC A1的平面角．又AB＝AA1，且AB⊥AA1，所以∠ABA1＝45°.
答案：45°
?課堂題點研究
　[題型(一)]
[例1]　解：因為E為SC的中點，且SB＝BC，
所以BE⊥SC.
又DE⊥SC，BE∩DE＝E，BE，DE 平面BDE，所以SC⊥平面BDE.所以BD⊥SC.
又SA⊥平面ABC，可得SA⊥BD，SC∩SA＝S，SC，SA 平面SAC，所以BD⊥平面SAC.
從而BD⊥AC，BD⊥DE.
所以∠EDC為二面角E BD C的平面角．
設SA＝AB＝1，在△ABC中，
因為AB⊥BC，所以SB＝BC＝，AC＝，所以SC＝2.
在Rt△SAC中，∠DCS＝30°，
所以∠EDC＝60°，即二面角E BD C為60°.
[針對訓練]
1.選C　如圖，由A′B＝BC＝1，∠A′BC＝90°得A′C＝.因為M為A′C的中點，所以MC＝AM＝，且CM⊥BM，AM⊥BM，所以∠CMA為二面角C BM A的平面角．因為AC＝1，MC＝MA＝，所以∠CMA＝90°.
2．解：設正四棱錐為S ABCD，如圖所示，高為h，底面邊長為a，
則2a2＝(2)2，∴a2＝12.
又a2h＝12，∴h＝＝3.
設O為S在底面上的射影，
作OE⊥CD于E，連接SE，可知SE⊥CD，∠SEO為所求二面角的平面角．
∴tan∠SEO＝＝＝＝.
∴∠SEO＝60°.
∴側面與底面所成二面角的大小為60°.
[題型(二)]
[例2]　證明：法一：(利用定義證明)
因為∠BSA＝∠CSA＝60°，SA＝SB＝SC，
所以△ASB和△ASC是等邊三角形，
則有SA＝SB＝SC＝AB＝AC，
令其值為a，則△ABC和△SBC為共底邊BC的等腰三角形．取BC的中點D，如圖所示，
連接AD，SD，則AD⊥BC，SD⊥BC，所以∠ADS為二面角A BC S的平面角．
在Rt△BSC中，因為SB＝SC＝a，
所以SD＝a，BD＝＝a.
在Rt△ABD中，AD＝a.
在△ADS中，因為SD2＋AD2＝SA2，
所以∠ADS＝90°，即二面角A BC S為直二面角，故平面ABC⊥平面SBC.
法二：(利用判定定理)
因為SA＝SB＝SC，且∠BSA＝∠CSA＝60°，
所以SA＝AB＝AC.所以點A在平面SBC上的射影為△SBC的外心．
因為△SBC為等腰直角三角形，所以點A在△SBC上的射影D為斜邊BC的中點．
所以AD⊥平面SBC.又因為AD 平面ABC，所以平面ABC⊥平面SBC.
[變式拓展]
解：由例2可得SD⊥AD.
又因為SD⊥BC，AD∩BC＝D，
所以SD⊥平面ABC，
即SD的長就是頂點S到底面ABC的距離．
因為S△ABC＝×BC×AD＝×2×＝2，SD＝，
所以VS ABC＝×S△ABC×SD＝.
[針對訓練]
3．證明：連接AC，設AC∩BD＝O，
連接OE.
因為O為AC的中點，E為PA的中點，所以EO是△PAC的中位線．所以
EO∥PC.因為PC⊥平面ABCD，所以EO⊥平面ABCD.又因為EO 平面BDE，所以平面BDE⊥平面ABCD.(共65張PPT)
8.6.3
平面與平面垂直
平面與平面垂直的判定定理
(教學方式:深化學習課 —梯度進階式教學)
第1課時
課時目標
1.理解二面角的有關概念,會作二面角的平面角,能求簡單二面角的平面角的大小.
2.了解面面垂直的定義,掌握面面垂直的判定定理,初步學會用定理證明垂直關系.
CONTENTS
目錄
1
2
3
課前預知教材·自主落實基礎
課堂題點研究·遷移應用融通
課時跟蹤檢測
課前預知教材·自主落實基礎
01
1.二面角的有關概念
(1)定義:從一條直線出發的____________所組成的圖形.
(2)相關概念:①這條直線叫做二面角的___,②兩個半平面叫做___________.
(3)畫法:
兩個半平面
棱
二面角的面
(4)記法:二面角_______或_________或_______或_________.
(5)二面角的平面角:若有:
①O__l;②OA___α,OB__β;③OA___l,OB___l,則二面角α l β的平面角是_______.
(6)二面角的范圍:0°≤α≤180°.
(7)直二面角:平面角是直角的二面角.
α l β
α AB β
P l Q
P AB Q
∈


⊥
⊥
∠AOB
|微|點|助|解|
構成二面角的平面角的三要素
　　“棱上”“面內”“垂直”.即二面角的平面角的頂點必須在棱上,角的兩邊必須分別在兩個半平面內,角的兩邊必須都與棱垂直,這三個條件缺一不可.前兩個要素決定了二面角的平面角大小的唯一性,第三個要素決定了平面角所在的平面與棱垂直.
2.平面與平面垂直
(1)面面垂直的定義
定義 一般地,兩個平面相交,如果它們所成的二面角是__________,就說這兩個平面互相垂直
畫法 畫兩個互相垂直的平面時,通常把表示平面的兩個平行四邊形的一組邊畫成垂直.如圖
記作 α⊥β
直二面角
(2)平面與平面垂直的判定定理
文字語言 圖形語言 符號語言 作用
如果一個平面過另一個平面的_____,那么這兩個平面垂直 α⊥β 證面面垂直
垂線
|微|點|助|解|
(1)面面垂直的判定定理可簡述為“線面垂直 面面垂直”.要證明平面與平面垂直,只需轉化為證明直線與平面垂直.
(2)觀察空間圖形時,不能以平面的觀點去看待,平面上畫的兩直線成銳角或鈍角,在空間中可能是垂直的.
基礎落實訓練
1.如圖所示的二面角可記為 (　　)
A.α β l B.M l N
C.l M N D.l β α
√
2.已知直線l⊥平面α,則經過l且和α垂直的平面 (　　)
A.有一個 B.有兩個
C.有無數個 D.不存在
解析:經過l的任一平面都和α垂直.
√
3.若平面α⊥平面β,平面β⊥平面γ,則 (　　)
A.α∥γ 　B.α⊥γ
C.α與γ相交但不垂直 　D.以上都有可能
√
4.如圖,在正方體ABCD A1B1C1D1中,二面角A BC A1的平面角等于　 .
解析:根據正方體中的位置關系可知,AB⊥BC,A1B⊥BC,根據二面角平面角定義可知,∠ABA1即為二面角A BC A1的平面角.又AB=AA1,且AB⊥AA1,所以∠ABA1=45°.
45°
課堂題點研究·遷移應用融通
02
題型(一)　二面角的概念及其大小計算
[例1]　如圖所示,在△ABC中,AB⊥BC,SA⊥平面ABC,DE垂直平分SC,且分別交AC,SC于點D,E,又SA=AB,SB=BC,求二面角E BD C的大小.
解:因為E為SC的中點,且SB=BC,
所以BE⊥SC.
又DE⊥SC,BE∩DE=E,BE,DE 平面BDE,所以SC⊥平面BDE.所以BD⊥SC.
又SA⊥平面ABC,可得SA⊥BD,SC∩SA=S,SC,SA 平面SAC,所以BD⊥平面SAC.
從而BD⊥AC,BD⊥DE.
所以∠EDC為二面角E BD C的平面角.
設SA=AB=1,在△ABC中,
因為AB⊥BC,所以SB=BC=,AC=,所以SC=2.
在Rt△SAC中,∠DCS=30°,
所以∠EDC=60°,即二面角E BD C為60°.
|思|維|建|模|
1.求二面角大小的步驟
簡稱為“一作二證三求”.
2.確定二面角的平面角的方法
(1)定義法:在二面角的棱上找一個特殊點,在兩個半平面內分別過該點作垂直于棱的射線.
(2)垂面法:過棱上一點作棱的垂直平面,該平面與二面角的兩個半平面產生交線,這兩條交線所成的角,即為二面角的平面角.
1.在等腰直角三角形ABC中,AB=BC=1,M為AC的中點,沿BM把它折成二面角,折后A與C的距離為1,則二面角C BM A的大小為 (　　)
A.30° B.60°
C.90° D.120°
√
針對訓練
解析:如圖,由A'B=BC=1,∠A'BC=90°得A'C=.因為M為A'C的中點,所以MC=AM=,且CM⊥BM,AM⊥BM,所以∠CMA為二面角C BM A的平面角.因為AC=1,MC=MA=,所以∠CMA=90°.
2.已知正四棱錐(底面為正方形各側面為全等的等腰三角形)的體積為12,底面對角線的長為2,求側面與底面所成的二面角.
解:設正四棱錐為S ABCD,如圖所示,高為h,底面邊長為a,
則2a2=(2)2,∴a2=12.
又a2h=12,∴h==3.
設O為S在底面上的射影,
作OE⊥CD于E,連接SE,可知SE⊥CD,∠SEO為所求二面角的平面角.
∴tan∠SEO====.
∴∠SEO=60°.
∴側面與底面所成二面角的大小為60°.
題型(二)　平面與平面垂直的判定
[例2]　如圖所示,在四面體ABCS 中,已知∠BSC=90°,∠BSA=∠CSA
=60°,又SA=SB=SC.
求證:平面ABC⊥平面SBC.
證明:法一:(利用定義證明)
因為∠BSA=∠CSA=60°,SA=SB=SC,
所以△ASB和△ASC是等邊三角形,
則有SA=SB=SC=AB=AC,
令其值為a,則△ABC和△SBC為共底邊BC的等腰三角形.
取BC的中點D,如圖所示,
連接AD,SD,
則AD⊥BC,SD⊥BC,所以∠ADS為二面角A BC S的平面角.
在Rt△BSC中,因為SB=SC=a,
所以SD=a,BD==a.
在Rt△ABD中,AD=a.
在△ADS中,因為SD2+AD2=SA2,所以∠ADS=90°,
即二面角A BC S為直二面角,故平面ABC⊥平面SBC.
法二:(利用判定定理)
因為SA=SB=SC,且∠BSA=∠CSA=60°,
所以SA=AB=AC.
所以點A在平面SBC上的射影為△SBC的外心.
因為△SBC為等腰直角三角形,
所以點A在△SBC上的射影D為斜邊BC的中點.
所以AD⊥平面SBC.又因為AD 平面ABC,
所以平面ABC⊥平面SBC.
本例中,若SA=SB=SC=2,其他條件不變,如何求三棱錐S ABC的體積呢
解:由例2可得SD⊥AD.
又因為SD⊥BC,AD∩BC=D, 所以SD⊥平面ABC,
即SD的長就是頂點S到底面ABC的距離.
因為S△ABC=×BC×AD=×2×=2,SD=,
所以VS ABC=×S△ABC×SD=.
變式拓展
證明面面垂直常用的方法
(1)定義法:即說明兩個半平面所成的二面角是直二面角;
(2)判定定理法:在其中一個平面內尋找一條直線與另一個平面垂直,即把問題轉化為“線面垂直”;
(3)性質法:兩個平行平面中的一個垂直于第三個平面,則另一個也垂直于此平面.
|思|維|建|模|
3.如圖所示,四邊形ABCD是邊長為a的菱形,PC⊥平面ABCD,E是PA的中點,求證:平面BDE⊥平面ABCD.
針對訓練
證明:連接AC,設AC∩BD=O, 連接OE.
因為O為AC的中點,E為PA的中點,所以EO是△PAC的中位線.所以EO∥PC.因為PC⊥平面ABCD,所以EO⊥平面ABCD.又因為EO 平面BDE,所以平面BDE⊥平面ABCD.
課時跟蹤檢測
03
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A級——達標評價
1.經過平面α外一點和平面α內一點與平面α垂直的平面有(　　)
A.0個 B.1個
C.無數個 D.1個或無數個
解析:當兩點連線與平面α垂直時,可作無數個垂面,否則,只有1個.故選D.
√
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2.對于直線m,n和平面α,β,能得出α⊥β的一個條件是 (　　)
A.m⊥n,m∥α,n∥β B.m⊥n,α∩β=m,n α
C.m∥n,n⊥β,m α D.m∥n,m⊥α,n⊥β
解析:∵n⊥β,m∥n,∴m⊥β.又m α,由面面垂直的判定定理,∴α⊥β.
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3.自二面角內任意一點分別向兩個面引垂線,則兩垂線所成的角與二面角的平面角的關系是 (　　)
A.相等 B.互補
C.互余 D.無法確定
解析:如圖,BD,CD為AB,AC所在平面與α,β的交線,則
∠BDC為二面角α l β的平面角.且∠ABD=∠ACD=90°,
所以∠A+∠BDC=180°.
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4.如圖所示,在△ABC中,AD⊥BC,△ABD的面積是△ACD的面積的2倍,沿AD將△ABD翻折,使翻折后BC⊥平面ACD,此時二面角B AD C的大小為 (　　)
A.30° B.45°
C.60° D.90°
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解析:由已知BD=2CD,翻折后,在Rt△BCD中,∠BDC=60°,而AD⊥BD,
CD⊥AD,故∠BDC是二面角B AD C的平面角,其大小為60°.故選C.
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5.(多選)在正四面體P ABC中,D,E,F分別是AB,BC,CA的中點,下面四個結論成立的是 (　　)
A.BC∥平面PDF
B.DF⊥平面PAE
C.平面PDF⊥平面ABC
D.平面PAE⊥平面ABC
√
√
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解析:如圖所示,∵BC∥DF,BC 平面PDF,DF 平面
PDF,∴BC∥平面PDF, ∴A正確.由BC⊥PE,BC⊥AE,
PE∩AE=E,得BC⊥平面PAE,∴DF⊥平面PAE,∴B正
確.∴平面ABC⊥平面PAE(BC⊥平面PAE),∴D正確.若
平面PDF⊥平面ABC,設DF∩AE=O,連接PO,易知PO⊥平面ABC,即點P在平面ABC的射影為點O,而在正四面體P ABC中,點P在平面ABC的射影為正三角形ABC的中心,矛盾,∴C錯誤.
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6.如圖,二面角α l β的大小是60°,線段AB α,B∈l,AB與l所成的角為30°,則AB與平面β所成的角的正弦值是　　　　.
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解析:如圖,作AO⊥β于O,AC⊥l于C,連接OB,OC,則OC⊥l.設AB與β所成的角為θ,則∠ABO=θ.由圖得sin θ==·=sin 30°·sin 60°=.
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7.如圖,已知AB⊥平面BCD,BC⊥CD,則圖中互相垂直的平面共有　　對.
解析:∵AB⊥平面BCD,AB 平面ABC,AB 平面ABD,∴平面ABC⊥平面BCD,平面ABD⊥平面BCD.∵BC⊥CD,∴DC⊥平面ABC.又DC 平面ADC,∴平面ADC⊥平面ABC,∴共有3對互相垂直的平面.
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8.在四面體A BCD中,AB=BC=CD=AD,∠BAD=∠BCD=90°,A BD C
為直二面角,E是CD的中點,則∠AED=　　 .
解析:如圖,設AB=BC=CD=AD=a,取BD中點F,連接AF,CF.
由題意可得,AF=CF=a,∠AFC=90°.在Rt△AFC中,可
得AC=a,∴△ACD為正三角形.∵E是CD的中,∴AE⊥CD,∴∠AED=90°.
90°
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9.(8分)如圖,在直角三角形ABC中,AB=BC,D為AC的中點,以BD為折痕將△ABD折起,使點A到達點P的位置,且PB⊥CD.求證:平面PBD⊥平面BCD.
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證明:∵在直角三角形ABC中,AB=BC,D為AC的中點,
∴BD⊥CD,又∵PB⊥CD,BD∩PB=B,
∴CD⊥平面PBD.∵CD 平面BCD.
∴平面PBD⊥平面BCD.
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10.(10分)如圖,AC⊥平面BCD,BD⊥CD,AC=AD,求平面 ABD 與平面 BCD 所成的二面角的大小.
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解:因為AC⊥平面 BCD,BD 平面 BCD,
所以BD⊥AC.
又因為BD⊥CD,AC∩CD=C,AC,CD 平面ACD,所以BD⊥平面 ACD.
因為AD 平面 ACD,所以AD⊥BD.
所以∠ADC即為平面 ABD 與平面 BCD 所成二面角的平面角.
在Rt△ACD中,AC=AD,所以∠ADC=30°.
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B級——重點培優
11.將兩個相同的正棱錐的底面重疊組成的幾何體稱為“正雙棱錐”.如圖,在正雙三棱錐P ABC Q中,PA,PB,PC兩兩互相垂直,則二面角P AB Q的余弦值為(　　)
A.- B.-
C.- D.-
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解析:取AB中點D,連接PD,QD,PQ,交平面ABC于點O,連接
OD,由正棱錐性質及對稱性易知O為△ABC的中心,且PD
⊥AB,DQ⊥AB,故∠PDQ為二面角P AB Q的平面角,設正
三棱錐側棱長為2,易得AB=2,PD=DQ=,OD=AB=,則PQ=2PO
=2=,在△PDQ中,由余弦定理得cos∠PDQ==-.故選D.
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12.(多選)如圖,在正方體ABCD A1B1C1D1中,P為線段A1B上的動點(不含端點),則下列結論正確的是 (　　)
A.平面CBP⊥平面BB1P
B.DC1⊥PC
C.三棱錐C1 D1PC的體積為定值
D.∠APD1的取值范圍是
√
√
√
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解析:連接PB1(圖略),∵CB⊥平面BB1P,CB 平面CBP,∴平面CBP⊥平面BB1P,故A正確;連接DC1,CD1(圖略),由DC1⊥對角面BCD1A1,可得DC1⊥PC,故B正確;連接C1P(圖略),=,底面積為定值,高BC為定值,因此體積為定值,故C正確;連接AD1,設正方體的棱長為1,BP=x(01
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易知A1D1⊥A1P,則在Rt△D1A1P中,A1P=-x(0A1P2=1+(-x)2=x2-2x+3,由余弦定理得cos∠APD1=
==,當x=時,∠APD1為直角,當cos∠APD1<0,此時∠APD1為鈍角,故D錯誤.
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13.米斗是稱量糧食的量器,是古代官倉、糧棧、米行及地主家里必備的用具.如圖為一倒正四棱臺型米斗,高為40 cm.已知該正四棱臺的所有頂點都在一個半徑為50 cm的球O的球面上,且一個底面的中心與球O的球心重合,則該正四棱臺的側棱與底面所成角的正弦值為 (　 )
A. B.
C. D.
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解析:由題意,作出正四棱臺的對角面,如圖,AD為正四棱臺上底面正方形對角線,BC為正四棱臺下底面正方形對角線,O為外接球球心,且為線段BC的中點,則OD=OA=OB=OC=50,過點D作DE⊥BC,垂足為E,則∠DCE即為所求角.因為OD=50,DE=40,所以OE=30,所以EC=20,所以DC=20,所以正四棱臺的側棱與底面所成角的正弦值為.故選D.
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14.(12分)如圖,在四棱錐P ABCD中,四邊形ABCD為平行四邊形,AC,BD相交于點O,點E為PC的中點,OP=OC,PA⊥PD.
求證:(1)直線PA∥平面BDE;
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證明:如圖,連接OE,因為O為平行四邊形ABCD對角線的交點,
所以O為AC的中點.
又E為PC的中點,
所以OE∥PA.
因為OE 平面BDE,
PA 平面BDE,所以直線PA∥平面BDE.
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(2)平面BDE⊥平面PCD.
證明:因為OE∥PA,PA⊥PD,所以OE⊥PD.
因為OP=OC,E為PC的中點,所以OE⊥PC.
又PD 平面PCD,PC 平面PCD,PC∩PD=P,
所以OE⊥平面PCD.
因為OE 平面BDE,所以平面BDE⊥平面PCD.
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15.(12分)如圖,把等腰直角三角形ABC沿斜邊AB所在直線旋轉至△ABD
的位置,使CD=AC.
(1)求證:平面ABD⊥平面ABC;
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解:證明:如圖,取AB的中點O,連接OD,OC.
∵△ABD是等腰直角三角形,
∴DO⊥AB,且DO=AD.
同理得CO⊥AB,且CO=AC.
∵AD=AC,∴DO=CO=AC.
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∵CD=AC,∴DO2+CO2=CD2.
∴△CDO為等腰直角三角形,DO⊥CO.
又AB∩CO=O,∴DO⊥平面ABC.
又DO 平面ABD,∴平面ABD⊥平面ABC.
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(2)求二面角C BD A的余弦值
解:取BD的中點E,連接CE,OE.
易知△BCD為等邊三角形,∴CE⊥BD.
又△BOD為等腰直角三角形,∴OE⊥BD.
∴∠OEC為二面角C BD A的平面角.
由(1)易證得CO⊥平面ABD,∴CO⊥OE.
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∴△COE為直角三角形.
設BC=1,則CE=,OE=,
∴cos∠OEC==,
即二面角C BD A的余弦值為.課時跟蹤檢測(三十八)　平面與平面垂直的判定定理
(滿分100分，A級選填小題每題5分，B級選填小題每題6分)
A級——達標評價
1．經過平面α外一點和平面α內一點與平面α垂直的平面有(　　)
A．0個 B．1個
C．無數個 D．1個或無數個
2．對于直線m，n和平面α，β，能得出α⊥β的一個條件是(　　)
A．m⊥n，m∥α，n∥β B．m⊥n，α∩β＝m，n α
C．m∥n，n⊥β，m α D．m∥n，m⊥α，n⊥β
3．自二面角內任意一點分別向兩個面引垂線，則兩垂線所成的角與二面角的平面角的關系是(　　)
A．相等 B．互補
C．互余 D．無法確定
4．如圖所示，在△ABC中，AD⊥BC，△ABD的面積是△ACD的面積的2倍，沿AD將△ABD翻折，使翻折后BC⊥平面ACD，此時二面角B－AD－C的大小為(　　)
A．30° B．45°
C．60° D．90°
5．(多選)在正四面體P－ABC中，D，E，F分別是AB，BC，CA的中點，下面四個結論成立的是(　　)
A．BC∥平面PDF
B．DF⊥平面PAE
C．平面PDF⊥平面ABC
D．平面PAE⊥平面ABC
6.如圖，二面角α－l－β的大小是60°，線段AB α，B∈l，AB與l所成的角為30°，則AB與平面β所成的角的正弦值是________.
7.如圖，已知AB⊥平面BCD，BC⊥CD，則圖中互相垂直的平面共有________對.
8．在四面體A－BCD中，AB＝BC＝CD＝AD，∠BAD＝∠BCD＝90°，A－BD－C為直二面角，E是CD的中點，則∠AED＝__________.
9．(8分)如圖，在直角三角形ABC中，AB＝BC，D為AC的中點，以BD為折痕將△ABD折起，使點A到達點P的位置，且PB⊥CD.求證：平面PBD⊥平面BCD.
10．(10分)如圖，AC⊥平面BCD，BD⊥CD，AC＝AD，求平面 ABD 與平面 BCD 所成的二面角的大小.
B級——重點培優
11.將兩個相同的正棱錐的底面重疊組成的幾何體稱為“正雙棱錐”．如圖，在正雙三棱錐P－ABC－Q中，PA，PB，PC兩兩互相垂直，則二面角P－AB－Q的余弦值為(　　)
A．－ B．－
C．－ D．－
12．(多選)如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，P為線段A1B上的動點(不含端點)，則下列結論正確的是(　　)
A．平面CBP⊥平面BB1P
B．DC1⊥PC
C．三棱錐C1－D1PC的體積為定值
D．∠APD1的取值范圍是
13．米斗是稱量糧食的量器，是古代官倉、糧棧、米行及地主家里必備的用具．如圖為一倒正四棱臺型米斗，高為40 cm.已知該正四棱臺的所有頂點都在一個半徑為50 cm的球O的球面上，且一個底面的中心與球O的球心重合，則該正四棱臺的側棱與底面所成角的正弦值為(　 )
A. B.
C. D.
14．(12分)如圖，在四棱錐P－ABCD中，四邊形ABCD為平行四邊形，AC，BD相交于點O，點E為PC的中點，OP＝OC，PA⊥PD.
求證：(1)直線PA∥平面BDE；
(2)平面BDE⊥平面PCD.
15．(12分)如圖，把等腰直角三角形ABC沿斜邊AB所在直線旋轉至△ABD的位置，使CD＝AC.
(1)求證：平面ABD⊥平面ABC；
(2)求二面角C－BD－A的余弦值.
課時跟蹤檢測(三十八)
1．選D　當兩點連線與平面α垂直時，可作無數個垂面，否則，只有1個．故選D.
2．選C　∵n⊥β，m∥n，∴m⊥β.又m α，由面面垂直的判定定理，∴α⊥β.
3.選B　如圖，BD，CD為AB，AC所在平面與α，β的交線，則∠BDC為二面角α l β的平面角．且∠ABD＝∠ACD＝90°，所以∠A＋∠BDC＝180°.
4．選C　由已知BD＝2CD，翻折后，在Rt△BCD中，∠BDC＝60°，而AD⊥BD，CD⊥AD，故∠BDC是二面角B AD C的平面角，其大小為60°.故選C.
5.選ABD　如圖所示，
∵BC∥DF，BC 平面PDF，DF 平面PDF，
∴BC∥平面PDF，
∴A正確．由BC⊥PE，BC⊥AE，PE∩AE＝E，得BC⊥平面PAE，∴DF⊥平面PAE，
∴B正確．∴平面ABC⊥平面PAE(BC⊥平面PAE)，∴D正確．若平面PDF⊥平面ABC，設DF∩AE＝O，連接PO，易知PO⊥平面ABC，即點P在平面ABC的射影為點O，而在正四面體P ABC中，點P在平面ABC的射影為正三角形ABC的中心，矛盾，∴C錯誤．
6．解析：如圖，作AO⊥β于O，AC⊥l于C，連接OB，OC，則OC⊥l.設AB與β所成的角為θ，則∠ABO＝θ.由圖得sin θ＝＝·＝sin 30°·sin 60°＝.
答案：
7．解析：∵AB⊥平面BCD，AB 平面ABC，AB 平面ABD，∴平面ABC⊥平面BCD，平面ABD⊥平面BCD.∵BC⊥CD，∴DC⊥平面ABC.又DC 平面ADC，∴平面ADC⊥平面ABC，∴共有3對互相垂直的平面．
答案：3
8．解析：如圖，設AB＝BC＝CD＝AD＝a，取BD中點F，連接AF，CF.由題意可得，AF＝CF＝a，∠AFC＝90°.在Rt△AFC中，可得AC＝a，∴△ACD為正三角形．∵E是CD的中點，∴AE⊥CD，∴∠AED＝90°.
答案：90°
9．證明：∵在直角三角形ABC中，AB＝BC，D為AC的中點，
∴BD⊥CD，又∵PB⊥CD，BD∩PB＝B，
∴CD⊥平面PBD.∵CD 平面BCD.
∴平面PBD⊥平面BCD.
10．解：因為AC⊥平面 BCD，BD 平面 BCD，所以BD⊥AC.
又因為BD⊥CD，AC∩CD＝C，AC，CD 平面ACD，所以BD⊥平面 ACD.
因為AD 平面 ACD，所以AD⊥BD.
所以∠ADC即為平面 ABD 與平面 BCD 所成二面角的平面角．在Rt△ACD中，AC＝AD，所以∠ADC＝30°.
11.選D　取AB中點D，連接PD，QD，PQ，交平面ABC于點O，連接OD，由正棱錐性質及對稱性易知O為△ABC的中心，且PD⊥AB，DQ⊥AB，故∠PDQ為二面角P AB Q的平面角，設正三棱錐側棱長為2，易得AB＝2，PD＝DQ＝，OD＝AB＝，則PQ＝2PO＝2＝，在△PDQ中，由余弦定理得cos∠PDQ＝＝－.故選D.
12．選ABC　連接PB1(圖略)，∵CB⊥平面BB1P，CB 平面CBP，∴平面CBP⊥平面BB1P，故A正確；連接DC1，CD1(圖略)，由DC1⊥對角面BCD1A1，可得DC1⊥PC，故B正確；連接C1P(圖略)，V三棱錐C1 D1PC＝V三棱錐P C1D1C，底面積S△C1D1C為定值，高BC為定值，因此體積為定值，故C正確；連接AD1，設正方體的棱長為1，BP＝x(0＜x＜)，在△APB中，∠ABP＝，由余弦定理得AP2＝AB2＋BP2－2AB·BP·cos＝x2＋1－x.易知A1D1⊥A1P，則在Rt△D1A1P中，A1P＝－x(0＜x＜)，D1P2＝A1D＋A1P2＝1＋(－x)2＝x2－2x＋3，由余弦定理得cos∠APD1＝＝＝，當x＝時，∠APD1為直角，當＜x＜時，cos∠APD1＜0，此時∠APD1為鈍角，故D錯誤．
13．選D　由題意，作出正四棱臺的對角面，如圖，AD為正四棱臺上底面正方形對角線，BC為正四棱臺下底面正方形對角線，O為外接球球心，且為線段BC的中點，則OD＝OA＝OB＝OC＝50，過點D作DE⊥BC，垂足為E，則∠DCE即為所求角．因為OD＝50，DE＝40，所以OE＝30，所以EC＝20，所以DC＝20，所以正四棱臺的側棱與底面所成角的正弦值為.故選D.
14．證明：(1)如圖，連接OE，因為O為平行四邊形ABCD對角線的交點，
所以O為AC的中點．
又E為PC的中點，所以OE∥PA.
因為OE 平面BDE，
PA 平面BDE，所以直線PA∥平面BDE.
(2)因為OE∥PA，PA⊥PD，所以OE⊥PD.
因為OP＝OC，E為PC的中點，所以OE⊥PC.
又PD 平面PCD，PC 平面PCD，PC∩PD＝P，所以OE⊥平面PCD.
因為OE 平面BDE，所以平面BDE⊥平面PCD.
15．解：(1)證明：如圖，取AB的中點O，連接OD，OC.
∵△ABD是等腰直角三角形，
∴DO⊥AB，且DO＝AD.
同理得CO⊥AB，且CO＝AC.
∵AD＝AC，∴DO＝CO＝AC.
∵CD＝AC，∴DO2＋CO2＝CD2.
∴△CDO為等腰直角三角形，DO⊥CO.
又AB∩CO＝O，∴DO⊥平面ABC.
又DO 平面ABD，∴平面ABD⊥平面ABC.
(2)取BD的中點E，連接CE，OE.
易知△BCD為等邊三角形，∴CE⊥BD.
又△BOD為等腰直角三角形，∴OE⊥BD.
∴∠OEC為二面角C BD A的平面角．
由(1)易證得CO⊥平面ABD，∴CO⊥OE.
∴△COE為直角三角形．
設BC＝1，則CE＝，OE＝，
∴cos∠OEC＝＝，
即二面角C BD A的余弦值為.

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