資源簡介

廣東省深圳市龍華區2025年中考二模數學測試卷
1．（2025·龍華模擬）數學實驗課上，同學們通過下列方式從一個幾何體中得到平面圖形，其中得到的平面圖形是圓形的是（　　）
A． B．
C． D．
2．（2025·龍華模擬）2025年春節聯歡晚會生動展現了重慶的巴渝風情、武漢的楚風漢韻、拉薩的雪域文化、無錫的江南水鄉，為文旅帶來了新熱潮．小華決定從這四個城市中隨機選一個作為暑假旅游目的地，假設小華選擇四個城市的可能性相同，則選擇拉薩的概率是（　?。?br/>A．1 B． C． D．0
3．（2025·龍華模擬）下列運算正確的是（　?。?br/>A． B． C． D．
4．（2025·龍華模擬）如圖，小華爸爸的微信零錢在某日只發生了兩筆交易，那么他當天微信零錢的最終收支情況是（　　）
A．元 B．元 C．元 D．元
5．（2025·龍華模擬）學習小組利用平面鏡的反射原理，將室外光線引入光線不夠充足的室內．如圖，光線與平面鏡成的角射入，經過平面鏡，反射后進入室內．若，則的度數是（　?。?br/>A． B． C． D．
6．（2025·龍華模擬）鋼琴調音時（將琴弦擰緊或放松，使其達到一定的音高），琴弦的振動頻率是琴弦張力的反比例函數．已知當張力時，頻率（即達到標準音高）．若要使頻率升高到（即達到標準音高），應該如何調整張力？（　?。?br/>A．增大至 B．減小至 C．增大至 D．減小至
7．（2025·龍華模擬）深圳作為“無人機之都”，率先構建低空經濟全產業鏈生態．某外賣訂單按照傳統方式配送，其行程為，若采用無人機配送，其行程只需，且配送時間比傳統方式快．已知無人機配送速度是傳統方式配送速度的倍，設傳統方式配送速度為，則可列方程為（　?。?br/>A． B．
C． D．
8．（2025·龍華模擬）如圖，在四個相同的正方形網格中，分別作一個頂點均在格點上的平行四邊形，其中邊上的高最小的是（　　）
A． B．
C． D．
9．（2025·龍華模擬）當時，代數式的值為　 ?。?br/>10．（2025·龍華模擬）若，則　 　
11．（2025·龍華模擬）立一表高八尺，影長六尺；今有一樓，影長四丈五尺．問樓高幾何？（選自《海島算經》）題目大意：直立一根8尺高的標桿，其影子長度為6尺；此時有一棟樓，影長4丈5尺（即45尺），這棟樓有多高？根據題意，可求得這棟樓高　 　尺．
12．（2025·龍華模擬）船在航行過程中，船長常常通過測定角度來確定是否會遇到暗礁．如圖，A，B表示燈塔，暗礁分布在經過A，B兩點的一個圓形區域內，優弧AB上任一點C都是有觸礁危險的臨界點，就是“危險角”．船P與兩個燈塔的夾角為，若，則船P位于安全區域時，的大小可能為　 　°．（寫出一個即可）
13．（2025·龍華模擬）如圖，在菱形中，點E是邊的中點，點F是的中點，的延長線交邊于點H，若，則的值為　 ?。?br/>14．（2025·龍華模擬）（1）計算：；
（2）化簡：
15．（2025·龍華模擬）某學校計劃購買甲、乙兩種科技類科普讀物作為科技節活動獎品，甲類科普讀物的單價比乙類科普讀物的單價高5元，若購買1本甲類科普讀物，2本乙類科普讀物共需80元．
（1）甲類和乙類科普讀物單價分別是多少？
（2）該校計劃共購進100本科普讀物，總費用不超過2800元，甲類科普讀物最多可以買多少本？
16．（2025·龍華模擬）藝術測評主要是為掌握學生藝術素養發展狀況，改進美育教學．某校根據義務教育階段音樂、美術等學科的課程標準，在九年級隨機抽取了若干位同學進行藝術測評與分析，下面是對九（1）班抽測到的10位同學的測評分值的數據分析過程：
【收集與整理】10位同學的測評分值分組統計如下：
分組方式 組別 測評分值
方式一 （按平均分相同分組） Ⅰ組 80，85，85，90，100
Ⅱ組 80，85，90，90，95
方式二 （按分數段分組） 甲組 80，80，85，85，85
乙組 90，90，90，95，100
【描述與分析】
10位同學測評分值的分布情況分組數據統計量分析表
分組方式 組別 中位數 眾數 方差 組內離差平方和
方式一 Ⅰ組 m 85 46 360
Ⅱ組 90 90 26
方式二 甲組 85 85 6 110
乙組 90 n 16
說明：組內離差平方和表達了各小組內數據的離散程度．它的值越小，說明這種分組方式中同組成員之間的水平越接近．
根據以上信息，解答下面問題：
（1）扇形統計圖中“100分”對應的圓心角度數為______°；
（2）_______，_______．
【判斷與決策】
（3）為深入推進小組學習，促進同學間的互幫互助、共同進步，請你根據以上信息，選擇一種利于開展小組學習的分組方式，并說明你這樣選擇的理由．
17．（2025·龍華模擬）已知直線與相切于點D．
（1）如圖1，是的直徑，延長與直線交于點A，過點B作，垂足為C，交于點F，連接．若，在不增加新的點的前提下，請提出一個問題： ，并進行解答或證明．（使用部分條件，且求解正解酌情給分；使用全部條件，且求解正確得滿分）
（2）如圖2，點P是圓上一點，請用尺規在直線上求作一點Q，使得與相切（不寫作法，保留作圖痕跡）．
18．（2025·龍華模擬）根據以下信息，探索完成任務．
如何設計窗戶限位器位置
信息1 問題背景 平開窗是生活中常見的一種窗戶，安裝平開窗需要一種滑撐支架，如圖是這種平開窗的實物展示圖．
信息2 數學抽象 把上述實物圖抽象成如右示意圖．已知滑撐支架的滑動軌道AB固定在窗框底邊，EF固定在窗頁底邊，點B，C，D三點固定在同一直線上．當窗戶關閉時，點E與點A重合，DE和DB均落在AB上；當點O向點B滑動時，四邊形OCDE始終為平行四邊形，其中，，．
信息3 安全規范 窗戶打開一定角度后，OC與AB形成一個角．出于安全考慮，部分公共場合的平開窗有開啟角度限制要求：平開窗的開啟角度應該控制在30°以內（即）．
問題解決
任務1 求解關鍵數量 滑撐支架中CD的長度為__________cm，滑動軌道AB的長度是__________cm．
任務2 確定安裝方案 為符合安全規范要求，某公共場合的平開窗需在滑動軌道AB上安裝一個限位器P，控制平開窗的開啟角度，當點O滑動到點P時，則限位器P應裝在離點A多遠的位置？（結果保留根號）
19．（2025·龍華模擬）如圖，已知二次函數的圖象與x軸交于點O，A．
（1）線段的長度為________；
（2）將函數的圖象沿x軸正方向平移個單位得到函數的圖象，平移后點O，A的對應點為B，C．當點A在點B的左邊時，函數，的圖象交于點P，若，求點P的坐標；
（3）在（2）的條件下，過的圖象頂點作軸的平行線，將直線向下平移，當直線與函數，的圖象有四個不同的交點時，假設這四個交點的橫坐標從左往右依次為，，，，請判斷．是否存在最大值？若存在，求出這個最大值；若不存在，說明理由．
20．（2025·龍華模擬）綜合與實踐
【發現問題】在進行綜合與實踐活動時，學習小組發現生活中常用的紙是一個長與寬的比為的矩形．
【定義】若一個四邊形為矩形，且長與寬的比為，則這個四邊形為類矩形．
【提出問題】如何用不同形狀的紙折一個類矩形
【分析并解決問題】
（1）學習小組利用一張紙對折一次，使與重合，折疊過程如圖1所示，其中，，求證：四邊形是類矩形；
（2）學習小組利用一張正方形紙片折疊2次，展開后得折痕，，再將其沿折疊，使得點B與點E重合，折疊過程如圖2所示．求證：四邊形是類矩形；
【拓展】
（3）如圖3，四邊形紙片中，垂直平分，，，點E，F，G，H分別是邊上的點，將四邊形紙片沿折疊，使得點B的對應點落在上，再沿折疊，使得點C，D的對應點分別落在上，若四邊形是類矩形，請直接寫出的值．
答案解析部分
1．【答案】C
【知識點】截一個幾何體；簡單幾何體的三視圖；中心投影
【解析】【解答】解：A、圓錐側面展開圖是扇形，故選項A錯誤；
B、圓柱俯視圖是長方形， 故選項B錯誤；
C、球體的截面是圓， 故選項C正確；
D、正方體的投影是正方形， 故選項D錯誤；
故選：C ．
【分析】根據立體圖形的特點，確定截面，三視圖的特點即可求解．
2．【答案】C
【知識點】概率公式
【解析】【解答】解：∵共有四個城市，且小華選擇四個城市的可能性相同，∴選擇拉薩的概率是．
故選：C．
【分析】直接利用概率公式：概率=所求情況數與總情況數之比．求解即可．
3．【答案】A
【知識點】同底數冪的乘法；同底數冪的除法；完全平方公式及運用；積的乘方運算
【解析】【解答】解：A、，故選項A正確；
B、，故選項B錯誤；
C、，故選項C錯誤；
D、，故選項D錯誤；
故選：A．
【分析】根據同底數冪的乘除法，積的乘方，冪的乘方，完全平方公式的法則，逐一進行判斷即可．
4．【答案】B
【知識點】有理數的加法實際應用
【解析】【解答】解：由題意得（元），
∴他當天微信零錢的最終收支情況是元．
故選：B．
【分析】根據題意列出算式，進行有理數的加法運算即可．
5．【答案】D
【知識點】平行線的性質
【解析】【解答】解：如圖所示，
反射定律可知，，
∵，
，
∴，即，
故選：D．
【分析】由反射定律可知，，再由平行線的性質得∠，再由，即可求得的度數．
6．【答案】D
【知識點】反比例函數的實際應用
【解析】【解答】解：設與之間的函數關系式為為常數，且，
將代入，得，解得，
∴與之間的函數關系式為，
當時，得，解得，
∴應該將張力減小至．
故選：D．
【分析】先設出反比例函數表達式，根據已知條件求得k，進而得到反比例函數，再將目標頻率代入函數求出對應的張力，最后與初始張力比較得出調整方式．
7．【答案】B
【知識點】列分式方程
【解析】【解答】解：設傳統方式配送速度為，則采用無人機配送的速度是，
根據題意可得，，
故選：B．
【分析】設傳統方式配送速度為，則采用無人機配送的速度是，根據題意列出方程即可．
8．【答案】A
【知識點】實數的大小比較；勾股定理；平行四邊形的性質；正方形的性質；幾何圖形的面積計算-割補法
【解析】【解答】解：A、平行四邊形的面積為：，
邊上的高為：；
B、平行四邊形的面積為：，
邊上的高為：；
C、正方形，邊上的高為，
D、菱形的面積為：，
邊上的高為：．
∵，
故選：A．
【分析】先求出正方形、菱形、平行四邊形的面積，進而分別求出邊上的高，再比較大小即可．
9．【答案】5
【知識點】求代數式的值-直接代入求值
【解析】【解答】解：當時，代數式，
故答案為：．
【分析】直接將代入計算即可．
10．【答案】
【知識點】因式分解-平方差公式
【解析】【解答】解：，易知或
∴，
故答案為：．
【分析】利用平方差公式即可求得m，n的值，進而可求得mn的值.
11．【答案】60
【知識點】平行投影
【解析】【解答】解：設樓高為 x 尺，
∴
解得：x=60
故答案為：60
【分析】設樓高為 x 尺，根據題意建立方程，解方程即可求出答案.
12．【答案】54
【知識點】三角形外角的概念及性質；圓周角定理
【解析】【解答】解：設與相交于點D，
∵是的一個外角，
∴，
∵，
∴，
∴α的大小可能為，
故答案為：54（答案不唯一）．
【分析】設與相交于點D，先利用三角形的外角性質可得，然后利用同弧所對的圓周角相等可得，從而可得，寫出其中一個符合條件的 即可．
13．【答案】
【知識點】菱形的性質；相似三角形的判定；三角形的中位線定理；直角三角形斜邊上的中線；相似三角形的性質-對應邊
【解析】【解答】解：如圖所示，延長交的延長線于點，延長交于點，
∵，點是邊的中點，，
∵點是的中點，，
令，則，
∵四邊形為菱形，
，
，
又∵，
，
，
，
，
，
，
同理，
，
，
，
，
∴是的中線，
，
．
故答案為：．
【分析】根據直角三角形斜邊中線的性質可知，再由點F是的中點可得到，令，則，利用菱形的性質和平行線的性質可得，進而根據全等三角形的判定定理可證得，即可得到，，再證得，得到，利用，得到，即可得到BF和FH，進而可求得的值即可 ．
14．【答案】解：（1）原式
（2）原式．
【知識點】分式的混合運算；零指數冪；負整數指數冪；求特殊角的三角函數值
【解析】【分析】（1）根據零指數冪、負指數冪、算術平方根和銳角正切值的運算法則先化簡，再進行加減運算即可；
（2）先計算括號內，除法變乘法，約分化簡即可求解．
15．【答案】（1）解：設甲類科普讀物的單價為元，則乙類科普讀物的單價為元
依題意得
解得
則
答：甲類科普讀物的單價為30元，乙類科普讀物的單價為25元．
（2）解：設購進甲類科普讀物本
依題意得30m+25(100-m)≤2800
解得m≤60
答：甲類科普讀物最多可以買60本．
【知識點】一元一次不等式的應用；一元一次方程的實際應用-銷售問題
【解析】【分析】（1）設甲類科普讀物的單價為元，則乙類科普讀物的單價為元，根據題意建立方程，解方程即可求出答案.
（2）設購進甲類科普讀物本，根據題意建立不等式，解不等式即可求出答案.
16．【答案】解：（1）36；（2）85；90；
（3）我會選擇方式二進行分組．因為兩種分組方式的中位數與眾數都相同，但方式二的組內離差平方和更小，說明分組方式二下的同組成員之間的水平更接近，有利于開展同級別水平訓練的理解和合作，促進同學間的互幫互助，共同進步．
【知識點】扇形統計圖；中位數；眾數；按組內離差平方和最小的原則進行數據分類
【解析】【解答】解：（1）扇形統計圖中“100分”對應的圓心角度數為，
故答案為：36；
（2）方式一中Ⅰ組數據從小到大排列，中間數為85，則中位數，
方式二種乙組數據中出現次數最多的是90，則眾數，
故答案為：85、90；
【分析】（1）直接用360°乘以對應比例即可求出扇形統計圖中“100分”對應的圓心角度數；
（2）根據眾數、中位數定義求解即可；
（3）可根據組內離差平方和的意義求解即可.
17．【答案】（1）解：提出問題：圓O的半徑是多少 ∵，，，由勾股定理可得，∵直線與圓相切于點O，∴，∵，，∴，又∵，∴∴，設半徑為，則，，∴，解得，∴圓O的半徑為.
（2）解：如圖所示，直線即為所求．
【知識點】切線的性質；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性質-對應邊；尺規作圖-過圓外一點作圓的切線
【解析】【分析】（1）問題：求的半徑；根據勾股定理可求得AB，進而利用相似三角形的判定和性質可知，構建方程求解即可求得圓O的半徑；
（2）連接，，作的角平分線交直線l于點Q，作直線即可．
（1）解：提出問題：圓O的半徑是多少
解：連接，
∵直線與圓相切于點O，
∴，
∵，，，
∴根據勾股定理可得，
∵，，
∴，
又∵，
∴．
∴，
設半徑為則，，
∴，
解得；
（2）解：如圖，直線即為所求．
18．【答案】解：任務1：8；41；
任務2：解：如圖所示，過點C作交于點H，
依題意得，
∵四邊形為平行四邊形，
∴
∵，
∴，．
又∵，，
由勾股定理可得．
∴
∴．
∴限位器P應裝在離點A遠的位置．
【知識點】平行四邊形的性質；解直角三角形—其他類型
【解析】【解答】解：任務1：∵四邊形始終為平行四邊形，
∵當窗戶關閉時，點與點重合，和均落在上，
，
故答案為：8，41；
【分析】（1）根據平行四邊形的性質可得進而利用即可求得AB的長度；
（2）作，根據平行四邊形的性質可知CO，進而在中，求出，從而得到長，再求得AB，即可得到結果．
19．【答案】（1）4
（2）解：∵平移前后圖像均是軸對稱圖形，∴整體為軸對稱圖形，對稱軸經過點P．
∵，，∴．
∵點P在的圖像上
∴
∴．
（3）解：存在，最大值為12．
當直線位于點P上方時，根據平移的性質可得，．
∵，∴，，
∴，．
∴．
當直線位于點P下方時，
根據平移的性質可得，
∴．
綜上．
所以存在最大值12．
【知識點】二次函數圖象與坐標軸的交點問題；二次函數與一次函數的綜合應用；二次函數圖象的平移變換；分類討論
【解析】【解答】解：（1）令得，或4，
，
，
故答案為：4；
【分析】（1）把y=0代入 二次函數 中求得對應的x值，即可求出點坐標；
（2）由軸對稱圖形可得平移后圖象為軸對稱圖形，且對稱軸經過點，根據已知條件可知點P的橫坐標，代入二次函數 ，即可求得對應的縱坐標，進而寫出點P的坐標即可；
（3）分直線在點上方和下方兩種情況進行討論即可.
（1）解：令得，或4，
，
，
故答案為：4；
（2）解：∵平移前后圖像均是軸對稱圖形，
∴整體為軸對稱圖形，對稱軸經過點P．
∵，，∴．
∵點P在的圖像上∴
∴．
（3）存在，最大值為12．
當直線位于點P上方時，根據平移的性質可得，．
∵，∴，，
∴，．
∴．
當直線位于點P下方時，
根據平移的性質可得，
∴．
綜上．
所以存在最大值12．
20．【答案】解：（1）證明：如圖1，由折疊得：，，
∵，四邊形是矩形，，，
∴，
∵，
∴四邊形是矩形，
∴四邊形是類矩形；
（2）證明：如圖2，由折疊得：，
∵四邊形是正方形，
∴，，
∴，
∴四邊形是矩形，
如圖3，設，，則，
由折疊得：，，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴四邊形是類矩形；
（3）設與交于點O，
∵垂直平分，
∴，
∵四邊形紙片沿折疊，使得點B的對應點落在上，
∴，
同理得：，，
∵四邊形是類矩形，
∴或，
①如圖4，當時，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
②如圖5，當時，，
由①同理得：，
∴，即，
∴，
∵，
∴，即，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
綜上，的長為或．
【知識點】矩形的性質；翻折變換（折疊問題）；四邊形的綜合
【解析】【分析】（1）先證明，再證明四邊形是矩形，即可證得四邊形是類矩形；
（2）如圖2，由折疊得：，先證明四邊形是矩形，如圖3，設，，則，根據折疊的性質和等腰直角三角形的性質表示的長，即可求得，從而證得四邊形是類矩形；
（3）設與交于點O，分兩種情況：或，①如圖4，當時，，根據，，列比例式即可得結論；②如圖5，當時，，同理可得結論．
1 / 1廣東省深圳市龍華區2025年中考二模數學測試卷
1．（2025·龍華模擬）數學實驗課上，同學們通過下列方式從一個幾何體中得到平面圖形，其中得到的平面圖形是圓形的是（　?。?br/>A． B．
C． D．
【答案】C
【知識點】截一個幾何體；簡單幾何體的三視圖；中心投影
【解析】【解答】解：A、圓錐側面展開圖是扇形，故選項A錯誤；
B、圓柱俯視圖是長方形， 故選項B錯誤；
C、球體的截面是圓， 故選項C正確；
D、正方體的投影是正方形， 故選項D錯誤；
故選：C ．
【分析】根據立體圖形的特點，確定截面，三視圖的特點即可求解．
2．（2025·龍華模擬）2025年春節聯歡晚會生動展現了重慶的巴渝風情、武漢的楚風漢韻、拉薩的雪域文化、無錫的江南水鄉，為文旅帶來了新熱潮．小華決定從這四個城市中隨機選一個作為暑假旅游目的地，假設小華選擇四個城市的可能性相同，則選擇拉薩的概率是（　?。?br/>A．1 B． C． D．0
【答案】C
【知識點】概率公式
【解析】【解答】解：∵共有四個城市，且小華選擇四個城市的可能性相同，∴選擇拉薩的概率是．
故選：C．
【分析】直接利用概率公式：概率=所求情況數與總情況數之比．求解即可．
3．（2025·龍華模擬）下列運算正確的是（　?。?br/>A． B． C． D．
【答案】A
【知識點】同底數冪的乘法；同底數冪的除法；完全平方公式及運用；積的乘方運算
【解析】【解答】解：A、，故選項A正確；
B、，故選項B錯誤；
C、，故選項C錯誤；
D、，故選項D錯誤；
故選：A．
【分析】根據同底數冪的乘除法，積的乘方，冪的乘方，完全平方公式的法則，逐一進行判斷即可．
4．（2025·龍華模擬）如圖，小華爸爸的微信零錢在某日只發生了兩筆交易，那么他當天微信零錢的最終收支情況是（　?。?br/>A．元 B．元 C．元 D．元
【答案】B
【知識點】有理數的加法實際應用
【解析】【解答】解：由題意得（元），
∴他當天微信零錢的最終收支情況是元．
故選：B．
【分析】根據題意列出算式，進行有理數的加法運算即可．
5．（2025·龍華模擬）學習小組利用平面鏡的反射原理，將室外光線引入光線不夠充足的室內．如圖，光線與平面鏡成的角射入，經過平面鏡，反射后進入室內．若，則的度數是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知識點】平行線的性質
【解析】【解答】解：如圖所示，
反射定律可知，，
∵，
，
∴，即，
故選：D．
【分析】由反射定律可知，，再由平行線的性質得∠，再由，即可求得的度數．
6．（2025·龍華模擬）鋼琴調音時（將琴弦擰緊或放松，使其達到一定的音高），琴弦的振動頻率是琴弦張力的反比例函數．已知當張力時，頻率（即達到標準音高）．若要使頻率升高到（即達到標準音高），應該如何調整張力？（　?。?br/>A．增大至 B．減小至 C．增大至 D．減小至
【答案】D
【知識點】反比例函數的實際應用
【解析】【解答】解：設與之間的函數關系式為為常數，且，
將代入，得，解得，
∴與之間的函數關系式為，
當時，得，解得，
∴應該將張力減小至．
故選：D．
【分析】先設出反比例函數表達式，根據已知條件求得k，進而得到反比例函數，再將目標頻率代入函數求出對應的張力，最后與初始張力比較得出調整方式．
7．（2025·龍華模擬）深圳作為“無人機之都”，率先構建低空經濟全產業鏈生態．某外賣訂單按照傳統方式配送，其行程為，若采用無人機配送，其行程只需，且配送時間比傳統方式快．已知無人機配送速度是傳統方式配送速度的倍，設傳統方式配送速度為，則可列方程為（　?。?br/>A． B．
C． D．
【答案】B
【知識點】列分式方程
【解析】【解答】解：設傳統方式配送速度為，則采用無人機配送的速度是，
根據題意可得，，
故選：B．
【分析】設傳統方式配送速度為，則采用無人機配送的速度是，根據題意列出方程即可．
8．（2025·龍華模擬）如圖，在四個相同的正方形網格中，分別作一個頂點均在格點上的平行四邊形，其中邊上的高最小的是（　?。?br/>A． B．
C． D．
【答案】A
【知識點】實數的大小比較；勾股定理；平行四邊形的性質；正方形的性質；幾何圖形的面積計算-割補法
【解析】【解答】解：A、平行四邊形的面積為：，
邊上的高為：；
B、平行四邊形的面積為：，
邊上的高為：；
C、正方形，邊上的高為，
D、菱形的面積為：，
邊上的高為：．
∵，
故選：A．
【分析】先求出正方形、菱形、平行四邊形的面積，進而分別求出邊上的高，再比較大小即可．
9．（2025·龍華模擬）當時，代數式的值為　 ?。?br/>【答案】5
【知識點】求代數式的值-直接代入求值
【解析】【解答】解：當時，代數式，
故答案為：．
【分析】直接將代入計算即可．
10．（2025·龍華模擬）若，則　 　
【答案】
【知識點】因式分解-平方差公式
【解析】【解答】解：，易知或
∴，
故答案為：．
【分析】利用平方差公式即可求得m，n的值，進而可求得mn的值.
11．（2025·龍華模擬）立一表高八尺，影長六尺；今有一樓，影長四丈五尺．問樓高幾何？（選自《海島算經》）題目大意：直立一根8尺高的標桿，其影子長度為6尺；此時有一棟樓，影長4丈5尺（即45尺），這棟樓有多高？根據題意，可求得這棟樓高　 　尺．
【答案】60
【知識點】平行投影
【解析】【解答】解：設樓高為 x 尺，
∴
解得：x=60
故答案為：60
【分析】設樓高為 x 尺，根據題意建立方程，解方程即可求出答案.
12．（2025·龍華模擬）船在航行過程中，船長常常通過測定角度來確定是否會遇到暗礁．如圖，A，B表示燈塔，暗礁分布在經過A，B兩點的一個圓形區域內，優弧AB上任一點C都是有觸礁危險的臨界點，就是“危險角”．船P與兩個燈塔的夾角為，若，則船P位于安全區域時，的大小可能為　 　°．（寫出一個即可）
【答案】54
【知識點】三角形外角的概念及性質；圓周角定理
【解析】【解答】解：設與相交于點D，
∵是的一個外角，
∴，
∵，
∴，
∴α的大小可能為，
故答案為：54（答案不唯一）．
【分析】設與相交于點D，先利用三角形的外角性質可得，然后利用同弧所對的圓周角相等可得，從而可得，寫出其中一個符合條件的 即可．
13．（2025·龍華模擬）如圖，在菱形中，點E是邊的中點，點F是的中點，的延長線交邊于點H，若，則的值為　 　．
【答案】
【知識點】菱形的性質；相似三角形的判定；三角形的中位線定理；直角三角形斜邊上的中線；相似三角形的性質-對應邊
【解析】【解答】解：如圖所示，延長交的延長線于點，延長交于點，
∵，點是邊的中點，，
∵點是的中點，，
令，則，
∵四邊形為菱形，
，
，
又∵，
，
，
，
，
，
，
同理，
，
，
，
，
∴是的中線，
，
．
故答案為：．
【分析】根據直角三角形斜邊中線的性質可知，再由點F是的中點可得到，令，則，利用菱形的性質和平行線的性質可得，進而根據全等三角形的判定定理可證得，即可得到，，再證得，得到，利用，得到，即可得到BF和FH，進而可求得的值即可 ．
14．（2025·龍華模擬）（1）計算：；
（2）化簡：
【答案】解：（1）原式
（2）原式．
【知識點】分式的混合運算；零指數冪；負整數指數冪；求特殊角的三角函數值
【解析】【分析】（1）根據零指數冪、負指數冪、算術平方根和銳角正切值的運算法則先化簡，再進行加減運算即可；
（2）先計算括號內，除法變乘法，約分化簡即可求解．
15．（2025·龍華模擬）某學校計劃購買甲、乙兩種科技類科普讀物作為科技節活動獎品，甲類科普讀物的單價比乙類科普讀物的單價高5元，若購買1本甲類科普讀物，2本乙類科普讀物共需80元．
（1）甲類和乙類科普讀物單價分別是多少？
（2）該校計劃共購進100本科普讀物，總費用不超過2800元，甲類科普讀物最多可以買多少本？
【答案】（1）解：設甲類科普讀物的單價為元，則乙類科普讀物的單價為元
依題意得
解得
則
答：甲類科普讀物的單價為30元，乙類科普讀物的單價為25元．
（2）解：設購進甲類科普讀物本
依題意得30m+25(100-m)≤2800
解得m≤60
答：甲類科普讀物最多可以買60本．
【知識點】一元一次不等式的應用；一元一次方程的實際應用-銷售問題
【解析】【分析】（1）設甲類科普讀物的單價為元，則乙類科普讀物的單價為元，根據題意建立方程，解方程即可求出答案.
（2）設購進甲類科普讀物本，根據題意建立不等式，解不等式即可求出答案.
16．（2025·龍華模擬）藝術測評主要是為掌握學生藝術素養發展狀況，改進美育教學．某校根據義務教育階段音樂、美術等學科的課程標準，在九年級隨機抽取了若干位同學進行藝術測評與分析，下面是對九（1）班抽測到的10位同學的測評分值的數據分析過程：
【收集與整理】10位同學的測評分值分組統計如下：
分組方式 組別 測評分值
方式一 （按平均分相同分組） Ⅰ組 80，85，85，90，100
Ⅱ組 80，85，90，90，95
方式二 （按分數段分組） 甲組 80，80，85，85，85
乙組 90，90，90，95，100
【描述與分析】
10位同學測評分值的分布情況分組數據統計量分析表
分組方式 組別 中位數 眾數 方差 組內離差平方和
方式一 Ⅰ組 m 85 46 360
Ⅱ組 90 90 26
方式二 甲組 85 85 6 110
乙組 90 n 16
說明：組內離差平方和表達了各小組內數據的離散程度．它的值越小，說明這種分組方式中同組成員之間的水平越接近．
根據以上信息，解答下面問題：
（1）扇形統計圖中“100分”對應的圓心角度數為______°；
（2）_______，_______．
【判斷與決策】
（3）為深入推進小組學習，促進同學間的互幫互助、共同進步，請你根據以上信息，選擇一種利于開展小組學習的分組方式，并說明你這樣選擇的理由．
【答案】解：（1）36；（2）85；90；
（3）我會選擇方式二進行分組．因為兩種分組方式的中位數與眾數都相同，但方式二的組內離差平方和更小，說明分組方式二下的同組成員之間的水平更接近，有利于開展同級別水平訓練的理解和合作，促進同學間的互幫互助，共同進步．
【知識點】扇形統計圖；中位數；眾數；按組內離差平方和最小的原則進行數據分類
【解析】【解答】解：（1）扇形統計圖中“100分”對應的圓心角度數為，
故答案為：36；
（2）方式一中Ⅰ組數據從小到大排列，中間數為85，則中位數，
方式二種乙組數據中出現次數最多的是90，則眾數，
故答案為：85、90；
【分析】（1）直接用360°乘以對應比例即可求出扇形統計圖中“100分”對應的圓心角度數；
（2）根據眾數、中位數定義求解即可；
（3）可根據組內離差平方和的意義求解即可.
17．（2025·龍華模擬）已知直線與相切于點D．
（1）如圖1，是的直徑，延長與直線交于點A，過點B作，垂足為C，交于點F，連接．若，在不增加新的點的前提下，請提出一個問題： ，并進行解答或證明．（使用部分條件，且求解正解酌情給分；使用全部條件，且求解正確得滿分）
（2）如圖2，點P是圓上一點，請用尺規在直線上求作一點Q，使得與相切（不寫作法，保留作圖痕跡）．
【答案】（1）解：提出問題：圓O的半徑是多少 ∵，，，由勾股定理可得，∵直線與圓相切于點O，∴，∵，，∴，又∵，∴∴，設半徑為，則，，∴，解得，∴圓O的半徑為.
（2）解：如圖所示，直線即為所求．
【知識點】切線的性質；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性質-對應邊；尺規作圖-過圓外一點作圓的切線
【解析】【分析】（1）問題：求的半徑；根據勾股定理可求得AB，進而利用相似三角形的判定和性質可知，構建方程求解即可求得圓O的半徑；
（2）連接，，作的角平分線交直線l于點Q，作直線即可．
（1）解：提出問題：圓O的半徑是多少
解：連接，
∵直線與圓相切于點O，
∴，
∵，，，
∴根據勾股定理可得，
∵，，
∴，
又∵，
∴．
∴，
設半徑為則，，
∴，
解得；
（2）解：如圖，直線即為所求．
18．（2025·龍華模擬）根據以下信息，探索完成任務．
如何設計窗戶限位器位置
信息1 問題背景 平開窗是生活中常見的一種窗戶，安裝平開窗需要一種滑撐支架，如圖是這種平開窗的實物展示圖．
信息2 數學抽象 把上述實物圖抽象成如右示意圖．已知滑撐支架的滑動軌道AB固定在窗框底邊，EF固定在窗頁底邊，點B，C，D三點固定在同一直線上．當窗戶關閉時，點E與點A重合，DE和DB均落在AB上；當點O向點B滑動時，四邊形OCDE始終為平行四邊形，其中，，．
信息3 安全規范 窗戶打開一定角度后，OC與AB形成一個角．出于安全考慮，部分公共場合的平開窗有開啟角度限制要求：平開窗的開啟角度應該控制在30°以內（即）．
問題解決
任務1 求解關鍵數量 滑撐支架中CD的長度為__________cm，滑動軌道AB的長度是__________cm．
任務2 確定安裝方案 為符合安全規范要求，某公共場合的平開窗需在滑動軌道AB上安裝一個限位器P，控制平開窗的開啟角度，當點O滑動到點P時，則限位器P應裝在離點A多遠的位置？（結果保留根號）
【答案】解：任務1：8；41；
任務2：解：如圖所示，過點C作交于點H，
依題意得，
∵四邊形為平行四邊形，
∴
∵，
∴，．
又∵，，
由勾股定理可得．
∴
∴．
∴限位器P應裝在離點A遠的位置．
【知識點】平行四邊形的性質；解直角三角形—其他類型
【解析】【解答】解：任務1：∵四邊形始終為平行四邊形，
∵當窗戶關閉時，點與點重合，和均落在上，
，
故答案為：8，41；
【分析】（1）根據平行四邊形的性質可得進而利用即可求得AB的長度；
（2）作，根據平行四邊形的性質可知CO，進而在中，求出，從而得到長，再求得AB，即可得到結果．
19．（2025·龍華模擬）如圖，已知二次函數的圖象與x軸交于點O，A．
（1）線段的長度為________；
（2）將函數的圖象沿x軸正方向平移個單位得到函數的圖象，平移后點O，A的對應點為B，C．當點A在點B的左邊時，函數，的圖象交于點P，若，求點P的坐標；
（3）在（2）的條件下，過的圖象頂點作軸的平行線，將直線向下平移，當直線與函數，的圖象有四個不同的交點時，假設這四個交點的橫坐標從左往右依次為，，，，請判斷．是否存在最大值？若存在，求出這個最大值；若不存在，說明理由．
【答案】（1）4
（2）解：∵平移前后圖像均是軸對稱圖形，∴整體為軸對稱圖形，對稱軸經過點P．
∵，，∴．
∵點P在的圖像上
∴
∴．
（3）解：存在，最大值為12．
當直線位于點P上方時，根據平移的性質可得，．
∵，∴，，
∴，．
∴．
當直線位于點P下方時，
根據平移的性質可得，
∴．
綜上．
所以存在最大值12．
【知識點】二次函數圖象與坐標軸的交點問題；二次函數與一次函數的綜合應用；二次函數圖象的平移變換；分類討論
【解析】【解答】解：（1）令得，或4，
，
，
故答案為：4；
【分析】（1）把y=0代入 二次函數 中求得對應的x值，即可求出點坐標；
（2）由軸對稱圖形可得平移后圖象為軸對稱圖形，且對稱軸經過點，根據已知條件可知點P的橫坐標，代入二次函數 ，即可求得對應的縱坐標，進而寫出點P的坐標即可；
（3）分直線在點上方和下方兩種情況進行討論即可.
（1）解：令得，或4，
，
，
故答案為：4；
（2）解：∵平移前后圖像均是軸對稱圖形，
∴整體為軸對稱圖形，對稱軸經過點P．
∵，，∴．
∵點P在的圖像上∴
∴．
（3）存在，最大值為12．
當直線位于點P上方時，根據平移的性質可得，．
∵，∴，，
∴，．
∴．
當直線位于點P下方時，
根據平移的性質可得，
∴．
綜上．
所以存在最大值12．
20．（2025·龍華模擬）綜合與實踐
【發現問題】在進行綜合與實踐活動時，學習小組發現生活中常用的紙是一個長與寬的比為的矩形．
【定義】若一個四邊形為矩形，且長與寬的比為，則這個四邊形為類矩形．
【提出問題】如何用不同形狀的紙折一個類矩形
【分析并解決問題】
（1）學習小組利用一張紙對折一次，使與重合，折疊過程如圖1所示，其中，，求證：四邊形是類矩形；
（2）學習小組利用一張正方形紙片折疊2次，展開后得折痕，，再將其沿折疊，使得點B與點E重合，折疊過程如圖2所示．求證：四邊形是類矩形；
【拓展】
（3）如圖3，四邊形紙片中，垂直平分，，，點E，F，G，H分別是邊上的點，將四邊形紙片沿折疊，使得點B的對應點落在上，再沿折疊，使得點C，D的對應點分別落在上，若四邊形是類矩形，請直接寫出的值．
【答案】解：（1）證明：如圖1，由折疊得：，，
∵，四邊形是矩形，，，
∴，
∵，
∴四邊形是矩形，
∴四邊形是類矩形；
（2）證明：如圖2，由折疊得：，
∵四邊形是正方形，
∴，，
∴，
∴四邊形是矩形，
如圖3，設，，則，
由折疊得：，，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴四邊形是類矩形；
（3）設與交于點O，
∵垂直平分，
∴，
∵四邊形紙片沿折疊，使得點B的對應點落在上，
∴，
同理得：，，
∵四邊形是類矩形，
∴或，
①如圖4，當時，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
②如圖5，當時，，
由①同理得：，
∴，即，
∴，
∵，
∴，即，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
綜上，的長為或．
【知識點】矩形的性質；翻折變換（折疊問題）；四邊形的綜合
【解析】【分析】（1）先證明，再證明四邊形是矩形，即可證得四邊形是類矩形；
（2）如圖2，由折疊得：，先證明四邊形是矩形，如圖3，設，，則，根據折疊的性質和等腰直角三角形的性質表示的長，即可求得，從而證得四邊形是類矩形；
（3）設與交于點O，分兩種情況：或，①如圖4，當時，，根據，，列比例式即可得結論；②如圖5，當時，，同理可得結論．
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