資源簡介

湖南省郴州市2024-2025學年高一下學期期末教學質量監測數學試題
注意事項：
1.試卷分試題卷和答題卡.試卷共6頁，有四大題，共19小題，滿分150分.考試時間120分鐘.
2.答題前，考生務必將自己的姓名、班級、準考證號、考室號及座位號寫在答題卡和試題卷的封面上.
3.考生作答時，選擇題和非選擇題均須作答在答題卡上，在試卷上作答無效.考生在答題卡上按答題卡中注意事項的要求答題.
4.考試結束后，將試題卷和答題卡一并交回.
一、單項選擇題（本題共8個小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.）
1. 已知，為實數，（為虛數單位），則（ ）
A. ， B. ，
C. ， D. ，
2. 已知向量，，若，則（ ）
A. B. C. D.
3. 在長方體中，，，則直線和直線所成角的大小為（ ）
A. B. C. D.
4. 某圓錐的軸截面是邊長為2的等邊三角形，則該圓錐的體積為（ ）
A. B. C. D.
5. 如圖，矩形是水平放置的平面四邊形用斜二測畫法畫出的直觀圖，其中，，則原四邊形的周長為（ ）
A. 12 B. 28 C. D. 20
6. 的內角，，的對邊分別為，，，已知，，則（ ）
A. 16 B. C. D. 4
7. 同時拋擲一白一紅兩枚質地均勻的骰子，用表示白色骰子的點數，表示紅色骰子的點數，設事件“”，事件“為偶數”，事件“”，則下列結論正確的是（ ）
A. 與對立 B. C. 與相互獨立 D. 與相互獨立
8. 中，，則的取值范圍是（ ）
A. B. C. D.
二、多選題（本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個選項中，有多項是符合題目要求的，全部選對得6分，有選錯的得0分，部分選對的得部分分.）
9. 已知復數（為虛數單位），則以下說法正確的有（ ）
A. 復數的虛部為 B.
C. 復數的共軛復數為 D. 復數在復平面內對應的點在第一象限
10. 如圖，在平面直角坐標系中，，，，則下列說法正確的有（ ）
A. B. 四邊形的面積為
C. 的外接圓的周長為 D.
11. 如圖，在棱長為1的正方體中，點為線段上的動點，動點在平面內，則下列說法中正確的是（ ）
A. 當為線段中點時，平面截正方體所得的截面為平行四邊形
B. 當四面體的頂點在一個體積為的球面上時，
C. 當時，取得最小值
D. 的最小值為
三、填空題（共3小題，每小題5分，滿分15分.）
12. 已知一組數據：3，5，7，1，4，6，9，2，則這組數據的第75百分位數是________.
13. 在正三棱臺中，，，棱臺的高為，則該棱臺的體積為________.
14. 在三棱錐中，和均為邊長為的等邊三角形，二面角的大小為60°，則三棱錐的外接球的表面積為________.
四、解答題（本大題共5個小題，共77分，解答須寫出文字說明、證明過程或演算步驟）
15. 如圖，在中，，點是的中點，點，分別是，的三等分點，且，.設，.
（1）用，表示，；
（2）若，，求.
16. 為了進一步推動體育強國和健康中國的建設，國家體育總局辦公廳印發了《2025年群眾體育工作要點》，為了解某地高中學生體育鍛煉時長，從該地區28000名學生中抽取500人，得到日均體育鍛煉時長的頻率分布表，如下：
分組 頻數 頻率
120 0.24
160
155 031
35
30 0.06
合計 500 1
（1）求和的值；
（2）估計該地區高中學生日均體育鍛煉的時長（精確到0.1）；
（3）從和兩組中用分層抽樣的方法共抽取了7人，再從這7人中隨機抽取2人，求這兩人來自不同的組的概率.
17. 如圖，和都垂直于平面，且，是的中點.為等邊三角形.
（1）證明：平面；
（2）若，求直線與平面所成角的正弦值.
18. 錯題重做是一種有效的學習策略，它可以幫助學生更好地理解和掌握知識.某班級數學老師利用DeepSeek設計了一個錯題重做網頁小游戲.并在班級發起錯題重做挑戰賽.甲和乙兩人組成“郴隊”參加挑戰賽.每輪比賽中，甲和乙各抽取一道錯題，他們做對與否互不影響，且各輪結果也互不影響.
（1）若甲每輪做對的概率為，乙每輪做對的概率為.求“郴隊”在兩輪比賽中做對2題的概率；
（2）若甲和乙第一輪做對的概率分別為，，第二輪做對的概率分別為，.求“郴隊”在兩輪比賽中做對3題的概率.
19. 在2025年斯諾克世界錦標賽中，中國選手趙心童展現了卓越的球技，成為首位獲得世錦賽冠軍的中國選手，同時也是亞洲首位斯諾克世錦賽冠軍.假設在一次模擬的斯諾克比賽中，球桌的尺寸為矩形，斯諾克選手需要從一個特定角度擊球，使球從點出發，經過點，最終進入袋口，如圖所示.其中，，，，足夠長.
（1）若，求；
（2）若，交于點，設，，其中，，求的最大值.
參考答案
1-8.
【答案】B
【答案】A
【答案】C
【答案】C
【答案】D
【答案】B
【答案】B
【答案】C
9.【答案】BC
10.【答案】ABC
11.【答案】ABD
12.【答案】6.5##
13.【答案】##
14.【答案】
15.【答案】（1）
（2）8
16.【答案】（1）；
（2）0.9小時 （3）
17.【小問1】
證明：取的中點，連接，.
因為為中點，所以，
平面，平面，故
又，故且.
所以四邊形是平行四邊形，所以
因為是等邊三角形，是中點，所以
因為平面，平面，所以平面平面
又平面平面，平面，所以平面，
所以平面.
【小問2】
設邊長為，則，又平面且，
所以，解得.
由（1）知，平面，連接.
所以為直線與平面所成角.
因平面，平面，所以.
由勾股定理知：.同理，.
因為為中點，所以.
由（1）知平面，平面，則.
由（1）易知.
所以，在中，.
即直線與平面所成角的正弦值為.
18.【小問1】
設“甲第輪做對”為事件，“乙第輪做對”為事件，，
已知，，且與相互獨立，各輪之間也相互獨立.
“郴隊”在兩輪比賽中做對2題有三種情況：
情況一：甲做對2題，乙做對0題的概率為.
情況二：甲做對0題，乙做對2題的概率為.
情況三：甲做對1題，乙做對1題
甲做對1題的概率為
乙做對1題的概率為
所以甲做對0題，乙做對2題的概率為.
因為這三種情況互斥，所以“郴隊”在兩輪比賽中做對2題.
【小問2】
設“甲第輪做對”為事件，“乙第輪做對”為事件，.
已知，，，，且各事件相互獨立.
“郴隊”在兩輪比賽中做對3題有兩種情況：
情況一：甲做對2題，乙做對1題
甲做對2題的概率為
乙做對1題的概率為
所以甲做對2題，乙做對1題的概率為.
情況二：甲做對1題，乙做對2題
甲做對1題的概率為
乙做對2題的概率為
所以甲做對1題，乙做對2題的概率為.
由于這兩種情況互斥，所以“郴隊”在兩輪比賽中做對3題的概率為.
19.【小問1】
因為，所以，
又因為，，
在中，由余弦定理可知，
即.
整理可得，解得或.
【小問2】
法一：因為，所以.
又因為，，所以.
因為、、三點共線，所以，變形得.
所以
當且僅當，即，時，等號成立，
所以的最大值為.
法二：因為，所以.
又因為，，所以.
因為、、三點共線，所以，
變形得.
因為，，所以，
所以.
當且僅當時等號成立，
所以的最大值為.

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