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第08講 2.4.2圓的一般方程
課程標(biāo)準(zhǔn) 學(xué)習(xí)目標(biāo)
①理解與掌握?qǐng)A的一般方程的形式與條件。 ②能準(zhǔn)確的判定圓的存在所滿足的條件。 ③會(huì)判斷點(diǎn)與圓的位置關(guān)系。 ④會(huì)用待定系數(shù)法求圓的一般方程，并能解決與圓有關(guān)的位置、距離的綜合問題。 通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，要求會(huì)判斷圓存在的條件，會(huì)將圓的標(biāo)準(zhǔn)形式與一般形式熟練轉(zhuǎn)化，會(huì)根椐圓存的條件求待定參數(shù)的值，會(huì)用待定系數(shù)法求圓的一般式方程，會(huì)求簡(jiǎn)單問題中的軌跡問題，會(huì)解決與圓有關(guān)的位置與距離問題.
知識(shí)點(diǎn)01：圓的一般方程
對(duì)于方程（為常數(shù)），當(dāng)時(shí)，方程叫做圓的一般方程.
①當(dāng)時(shí)，方程表示以為圓心，以為半徑的圓；
②當(dāng)時(shí)，方程表示一個(gè)點(diǎn)
③當(dāng)時(shí)，方程不表示任何圖形
說(shuō)明：圓的一般式方程特點(diǎn)：①和前系數(shù)相等（注意相等，不一定要是1）且不為0；②沒有項(xiàng)；③.
【即學(xué)即練1】（多選）（2022秋·高二課時(shí)練習(xí)）（多選題）下列方程不是圓的一般方程的有（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BCD
【詳解】根據(jù)二元二次方程表示圓的條件，
對(duì)于A中，方程，可得，
所以方程是圓的一般方程；
對(duì)于B中，方程，可得，
所以方程不是圓的一般方程；
對(duì)于C中，方程中，和的系數(shù)不相等，
所以方程不是圓的一般方程；
對(duì)于D中，方程中，存在項(xiàng)，所以方程不是圓的一般方程.
故選：BCD.
知識(shí)點(diǎn)02：圓的一般方程與圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的特點(diǎn)
圓的標(biāo)準(zhǔn)方程 圓的一般方程
方程 （）
圓心
半徑
知識(shí)點(diǎn)03：在圓的一般方程中，判斷點(diǎn)與圓的位置關(guān)系
已知點(diǎn)和圓的一般式方程：（），
則點(diǎn)與圓的位置關(guān)系：
①點(diǎn)在外
②點(diǎn)在上
③點(diǎn)在內(nèi)
【即學(xué)即練2】（2022·高二課時(shí)練習(xí)）點(diǎn)與圓的位置關(guān)系是_____________．（填“在圓內(nèi)”、“在圓上”、“在圓外”）
【答案】在圓內(nèi)
【詳解】圓的圓心坐標(biāo)為，半徑為2
點(diǎn)到圓心的距離，
因?yàn)椋渣c(diǎn)在圓內(nèi)．
故答案為：在圓內(nèi)
題型01圓的一般方程的理解
【典例1】（2022秋·安徽合肥·高二合肥市第七中學(xué)校聯(lián)考期中）已知方程表示圓，則的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
【典例2】（2023·高二課時(shí)練習(xí)）方程表示圓的充要條件是______．
【變式1】（2022秋·河南許昌·高二禹州市高級(jí)中學(xué)校考階段練習(xí)）方程表示圓，則實(shí)數(shù)的可能取值為（ ）
A． B．2 C．0 D．
【變式2】（2023春·上海寶山·高二統(tǒng)考期末）若表示圓，則實(shí)數(shù)的值為______.
題型02求圓的一般方程
【典例1】（2023·高二課時(shí)練習(xí)）過三點(diǎn)的圓的一般方程為（ ）
A． B．
C． D．
【典例2】（2023·新疆克拉瑪依·高二克拉瑪依市高級(jí)中學(xué)校考期中）求適合下列條件的圓的方程：
(1)圓心在直線上，且過點(diǎn)的圓；
(2)過三點(diǎn)的圓.
【典例3】（2023·高二課時(shí)練習(xí)）已知圓經(jīng)過兩點(diǎn)，，且圓心在直線上，則圓的一般方程為_______________；若直線的方程（），圓心到直線的距離是1，則的值是______．
【變式1】（2023·江蘇·高二假期作業(yè)）過坐標(biāo)原點(diǎn)，且在軸和軸上的截距分別為2和3的圓的方程為（ ）
A． B．
C． D．
【變式2】（2023·江蘇蘇州·高二蘇州中學(xué)校考期中）在平面直角坐標(biāo)系中，已知的頂點(diǎn)，邊上中線所在直線方程為，邊上的高所在直線方程為，求：
(1)頂點(diǎn)的坐標(biāo)；
(2)外接圓的一般方程.
題型03圓的一般方程與標(biāo)準(zhǔn)方程轉(zhuǎn)化
【典例1】（2023·高二課時(shí)練習(xí)）若圓的圓心到直線的距離為，則實(shí)數(shù)的值為（ ）
A．0或2 B．0或-2
C．0或 D．-2或2
【典例2】（2023秋·內(nèi)蒙古巴彥淖爾·高二校考期末）若點(diǎn)為圓的弦的中點(diǎn)，則弦所在直線的方程為（ ）
A． B． C． D．
【典例3】（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）求圓關(guān)于直線的對(duì)稱圓方程.
【變式1】（2023春·山東青島·高二校聯(lián)考期中）圓上的點(diǎn)到直線的最大距離是（ ）
A． B． C． D．
【變式2】（2023春·遼寧朝陽(yáng)·高二校聯(lián)考期中）已知點(diǎn)在圓 上，則點(diǎn)到軸的距離的最大值為（ ）
A．2 B．3 C． D．
題型04點(diǎn)與圓的位置關(guān)系
【典例1】（2023·江蘇揚(yáng)州·高二校考階段練習(xí)）已知點(diǎn)為圓外一點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（　　）
A． B． C． D．
【典例2】（多選）（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知點(diǎn)在圓的外部，則的取值可能是（ ）
A． B． C． D．
【變式1】（2022·高二課時(shí)練習(xí)）若點(diǎn)是圓內(nèi)一點(diǎn)，則過點(diǎn)的最長(zhǎng)的弦所在的直線方程是__________.
【變式2】（2023·湖北·高二校聯(lián)考期中）過點(diǎn)可作圓的兩條切線，則實(shí)數(shù)的取值范圍______.
題型05圓過定點(diǎn)問題
【典例1】（2023春·上海普陀·高二曹楊二中校考階段練習(xí)）對(duì)任意實(shí)數(shù)，圓恒過定點(diǎn)，則其坐標(biāo)為______.
【典例2】（2023·高二課時(shí)練習(xí)）已知方程表示圓，其中，且，則不論取不為1的任何實(shí)數(shù)，上述圓恒過的定點(diǎn)的坐標(biāo)是________________.
【變式1】（2023·上海徐匯·高二上海中學(xué)校考期中）對(duì)任意實(shí)數(shù)，圓恒過定點(diǎn)，則定點(diǎn)坐標(biāo)為__．
【變式2】（2013·遼寧大連·高二統(tǒng)考期中）對(duì)于任意實(shí)數(shù)，曲線恒過定點(diǎn)
題型06求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程
【典例1】（2023春·上海徐匯·高二上海中學(xué)校考期中）點(diǎn)與兩個(gè)定點(diǎn)，的距離的比為，則點(diǎn)的軌跡方程為______．
【典例2】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，曲線與兩坐標(biāo)軸的交點(diǎn)都在圓上.
(1)求圓的方程；
(2)已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)，求線段的中點(diǎn)的軌跡方程.
【變式1】（2022秋·高二課時(shí)練習(xí)）過點(diǎn)的直線與圓交于點(diǎn)，則線段中點(diǎn)的軌跡方程為___________.
【變式2】（2023春·福建莆田·高二莆田一中校考期中）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)滿足，則動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡方程為__________；的最小值為__________.
題型07與圓有關(guān)的最值問題
【典例1】（2023秋·北京·高二校考期末）設(shè)是圓上的動(dòng)點(diǎn)，是圓的切線，且，則點(diǎn)到點(diǎn)距離的最小值為（ ）
A．15 B．6 C．5 D．4
【典例2】（2023·山東煙臺(tái)·統(tǒng)考二模）已知實(shí)數(shù)滿足，則的最大值為__________．
【典例3】（2023秋·江西宜春·高二江西省宜春市第一中學(xué)校考期末）已知為圓上任意一點(diǎn)．則的最大值為__________
【變式1】（2023春·江蘇南京·高一南京市第二十九中學(xué)校考期中）在中，，若的平面內(nèi)有一點(diǎn)滿足，則的最小值為__________.
【變式2】（2023春·江西·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）直線始終平分圓的周長(zhǎng)，則的最小值為______．
題型08關(guān)于點(diǎn)或直線對(duì)稱的圓
【典例1】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）與圓關(guān)于直線對(duì)稱的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是______.
【典例2】（2023秋·重慶沙坪壩·高二重慶市第七中學(xué)校校考期末）圓關(guān)于直線的對(duì)稱圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為__________.
【變式1】（2023秋·山東棗莊·高二統(tǒng)考期末）如果圓關(guān)于直線對(duì)稱，則有（ ）
A． B．
C． D．
【變式2】（2023·江蘇·高二假期作業(yè)）已知圓與圓關(guān)于直線對(duì)稱，則圓的方程是__________
題型09圓的綜合問題
【典例1】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)二次函數(shù)的圖象與兩坐標(biāo)軸有三個(gè)交點(diǎn)，經(jīng)過這三個(gè)交點(diǎn)的圓記為.
(1)求實(shí)數(shù)b的取值范圍；
(2)求圓的方程；
(3)請(qǐng)問圓是否經(jīng)過某定點(diǎn)（其坐標(biāo)與無(wú)關(guān)）？請(qǐng)證明你的結(jié)論.
【典例2】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知經(jīng)過圓上點(diǎn)的切線方程是.
（1）類比上述性質(zhì)，直接寫出經(jīng)過橢圓上一點(diǎn)的切線方程；
（2）已知橢圓，為直線上的動(dòng)點(diǎn)，過作橢圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為
①求證：直線過定點(diǎn).
②當(dāng)點(diǎn)到直線的距離為時(shí)，求三角形的外接圓方程.
【變式1】（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)二次函數(shù)的圖象與兩坐標(biāo)軸有三個(gè)交點(diǎn)，經(jīng)過這三個(gè)交點(diǎn)的圓記為．
（Ⅰ）若，求圓的方程；
（Ⅱ）當(dāng)取所允許的不同的實(shí)數(shù)值時(shí)（，且），圓是否經(jīng)過某定點(diǎn)（其坐標(biāo)與無(wú)關(guān)）？請(qǐng)證明你的結(jié)論．
【變式2】（2023秋·上海普陀·高二上海市晉元高級(jí)中學(xué)校考期末）已知圓C經(jīng)過，兩點(diǎn)．
(1)如果AB是圓C的直徑，證明：無(wú)論取何正實(shí)數(shù)，圓恒經(jīng)過除外的另一個(gè)定點(diǎn)，求出這個(gè)定點(diǎn)坐標(biāo)．
(2)已知點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)也在圓，且過點(diǎn)的直線與兩坐標(biāo)軸分別交于不同兩點(diǎn)和，當(dāng)圓的面積最小時(shí)，試求的最小值.
題型10圓的實(shí)際應(yīng)用
【典例1】（2022·高二課時(shí)練習(xí)）蘇州有很多圓拱的懸索拱橋（如寒山橋），經(jīng)測(cè)得某圓拱索橋（如圖）的跨度米，拱高米，在建造圓拱橋時(shí)每隔5米需用一根支柱支撐，求與相距30米的支柱的高度.
【典例2】（2022秋·江西南昌·高二南昌市外國(guó)語(yǔ)學(xué)校校考階段練習(xí)）如圖所示，某隧道內(nèi)設(shè)雙行線公路，其截面由一段圓弧和一個(gè)長(zhǎng)方形的三邊構(gòu)成.已知隧道總寬度為，行車道總寬度為，側(cè)墻高，為，弧頂高為.
（1）以所在直線為軸，所在直線為軸，為單位長(zhǎng)度建立平面直角坐標(biāo)系，求圓弧所在的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）為保證安全，要求隧道頂部與行駛車輛頂部（設(shè)為平頂）在豎直方向上的高度之差至少為，問車輛通過隧道的限制高度是多少？
【變式1】（2023秋·高一單元測(cè)試）如圖是一座類似于上海盧浦大橋的圓拱橋示意圖，該圓弧拱跨度為，圓拱的最高點(diǎn)離水面的高度為，橋面離水面的高度為.

(1)建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，求圓拱所在圓的方程；
(2)求橋面在圓拱內(nèi)部分的長(zhǎng)度.（結(jié)果精確到）
【變式2】（2023春·上海浦東新·高二上海市實(shí)驗(yàn)學(xué)校校考期中）如圖，在寬為14的路邊安裝路燈，燈
5．（2023·北京海淀·中關(guān)村中學(xué)校考三模）在平面直角坐標(biāo)系中，已知是圓上的動(dòng)點(diǎn)．若，，，則的最大值為（　　）
A．16 B．12 C．8 D．6
6．（2023春·甘肅張掖·高三高臺(tái)縣第一中學(xué)校考階段練習(xí)）已知A，B為圓上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，P為弦的中點(diǎn)，若，則點(diǎn)P的軌跡方程為（）
A． B．
C． D．
7．（2023秋·高一單元測(cè)試）已知點(diǎn)P為直線上的一點(diǎn)，M，N分別為圓：與圓：上的點(diǎn)，則的最小值為（ ）
A．5 B．3 C．2 D．1
8．（2023·四川·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知點(diǎn)，，，若點(diǎn)是的外接圓上一點(diǎn)，則點(diǎn)到直線：的距離的最大值為（ ）
A． B． C． D．14
二、多選題
9．（2023秋·廣東揭陽(yáng)·高二統(tǒng)考期末）已知方程表示一個(gè)圓，則實(shí)數(shù)可能的取值為（ ）
A． B．0 C． D．
三、填空題
10．（2023·陜西安康·陜西省安康中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）已知拋物線的頂點(diǎn)為，與坐標(biāo)軸交于三點(diǎn)，則過四點(diǎn)中的三點(diǎn)的一個(gè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為__________.
11．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）直角坐標(biāo)平面中，若定點(diǎn)A（1，2）與動(dòng)點(diǎn)P（x，y）滿足，則點(diǎn)P的軌跡方程是___________.
四、解答題
12．（2023春·湖北荊州·高二沙市中學(xué)校考階段練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，四點(diǎn)在同一個(gè)圓E上．
(1)求實(shí)數(shù)a的值；
(2)若點(diǎn)在圓E上，求的取值范圍．
13．（2023秋·河北滄州·高二統(tǒng)考期末）已知的頂點(diǎn)，邊上的中線所在直線方程為，邊上的高線為．
(1)求點(diǎn)坐標(biāo)；
(2)求的外接圓方程．
B能力提升
1．（2023秋·高一單元測(cè)試）希臘著名數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯與歐幾里得、阿基米德齊名．他發(fā)現(xiàn)：“平面內(nèi)到兩個(gè)定點(diǎn)的距離之比為定值的點(diǎn)的軌跡是圓”．后來(lái)，人們將這個(gè)圓以他的名字命名，稱為阿波羅尼斯圓，簡(jiǎn)稱阿氏圓．已知?jiǎng)狱c(diǎn)在圓上，若點(diǎn)，點(diǎn)，則的最小值為 __．
2．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知關(guān)于x，y的二元二次方程，當(dāng)t為________時(shí)，方程表示的圓的半徑最大．
3．（2023·江蘇·高二假期作業(yè)）已知圓及點(diǎn)．
（1）若在圓上，求線段的長(zhǎng)及直線的斜率；
（2）若M為圓C上的任一點(diǎn)，求的最大值和最小值．
C綜合素養(yǎng)
1．（2023·四川成都·石室中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）已知平面上兩定點(diǎn)A，B，則所有滿足（且）的點(diǎn)P的軌跡是一個(gè)圓心在直線AB上，半徑為的圓.這個(gè)軌跡最先由古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯發(fā)現(xiàn)，故稱作阿氏圓.已知?jiǎng)狱c(diǎn)P在棱長(zhǎng)為6的正方體的一個(gè)側(cè)面上運(yùn)動(dòng)，且滿足，則點(diǎn)P的軌跡長(zhǎng)度為（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知圓，點(diǎn)P是直線上的一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作圓M的切線PA，PB，切點(diǎn)為A，B．
（1）當(dāng)切線PA的長(zhǎng)度為時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（2）若的外接圓為圓N，試問：當(dāng)P運(yùn)動(dòng)時(shí)，圓N是否過定點(diǎn)？若存在，求出所有的定點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；
（3）求線段AB長(zhǎng)度的最小值．
3．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知圓，點(diǎn)是直線上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)作圓的切線，，切點(diǎn)分別為，.
（1）當(dāng)時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）設(shè)的外接圓為圓，當(dāng)點(diǎn)在直線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，圓是否過定點(diǎn)（異于原點(diǎn)）？若過定點(diǎn)，求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)；若不過定點(diǎn)，請(qǐng)說(shuō)明理由.
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21世紀(jì)教育網(wǎng)(www.21cnjy.com)第08講 2.4.2圓的一般方程
課程標(biāo)準(zhǔn) 學(xué)習(xí)目標(biāo)
①理解與掌握?qǐng)A的一般方程的形式與條件。 ②能準(zhǔn)確的判定圓的存在所滿足的條件。 ③會(huì)判斷點(diǎn)與圓的位置關(guān)系。 ④會(huì)用待定系數(shù)法求圓的一般方程，并能解決與圓有關(guān)的位置、距離的綜合問題。 通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，要求會(huì)判斷圓存在的條件，會(huì)將圓的標(biāo)準(zhǔn)形式與一般形式熟練轉(zhuǎn)化，會(huì)根椐圓存的條件求待定參數(shù)的值，會(huì)用待定系數(shù)法求圓的一般式方程，會(huì)求簡(jiǎn)單問題中的軌跡問題，會(huì)解決與圓有關(guān)的位置與距離問題.
知識(shí)點(diǎn)01：圓的一般方程
對(duì)于方程（為常數(shù)），當(dāng)時(shí)，方程叫做圓的一般方程.
①當(dāng)時(shí)，方程表示以為圓心，以為半徑的圓；
②當(dāng)時(shí)，方程表示一個(gè)點(diǎn)
③當(dāng)時(shí)，方程不表示任何圖形
說(shuō)明：圓的一般式方程特點(diǎn)：①和前系數(shù)相等（注意相等，不一定要是1）且不為0；②沒有項(xiàng)；③.
【即學(xué)即練1】（多選）（2022秋·高二課時(shí)練習(xí)）（多選題）下列方程不是圓的一般方程的有（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BCD
【詳解】根據(jù)二元二次方程表示圓的條件，
對(duì)于A中，方程，可得，
所以方程是圓的一般方程；
對(duì)于B中，方程，可得，
所以方程不是圓的一般方程；
對(duì)于C中，方程中，和的系數(shù)不相等，
所以方程不是圓的一般方程；
對(duì)于D中，方程中，存在項(xiàng)，所以方程不是圓的一般方程.
故選：BCD.
知識(shí)點(diǎn)02：圓的一般方程與圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的特點(diǎn)
圓的標(biāo)準(zhǔn)方程 圓的一般方程
方程 （）
圓心
半徑
知識(shí)點(diǎn)03：在圓的一般方程中，判斷點(diǎn)與圓的位置關(guān)系
已知點(diǎn)和圓的一般式方程：（），
則點(diǎn)與圓的位置關(guān)系：
①點(diǎn)在外
②點(diǎn)在上
③點(diǎn)在內(nèi)
【即學(xué)即練2】（2022·高二課時(shí)練習(xí)）點(diǎn)與圓的位置關(guān)系是_____________．（填“在圓內(nèi)”、“在圓上”、“在圓外”）
【答案】在圓內(nèi)
【詳解】圓的圓心坐標(biāo)為，半徑為2
點(diǎn)到圓心的距離，
因?yàn)椋渣c(diǎn)在圓內(nèi)．
故答案為：在圓內(nèi)
題型01圓的一般方程的理解
【典例1】（2022秋·安徽合肥·高二合肥市第七中學(xué)校聯(lián)考期中）已知方程表示圓，則的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【詳解】因?yàn)楸硎緢A，
所以，解得，
得的取值范圍是.
故選：C
【典例2】（2023·高二課時(shí)練習(xí)）方程表示圓的充要條件是______．
【答案】或
【詳解】由題意知：，即，解得或.
故答案為：或.
【變式1】（2022秋·河南許昌·高二禹州市高級(jí)中學(xué)校考階段練習(xí)）方程表示圓，則實(shí)數(shù)的可能取值為（ ）
A． B．2 C．0 D．
【答案】D
【詳解】由，可得，
所以，
解得或，
選項(xiàng)中只有符合題意.
故選：D.
【變式2】（2023春·上海寶山·高二統(tǒng)考期末）若表示圓，則實(shí)數(shù)的值為______.
【答案】
【詳解】因?yàn)楸硎緢A，所以，
解得或，
當(dāng)時(shí)方程，即，不表示任何圖形，故舍去；
當(dāng)時(shí)方程，即，表示以為圓心，為半徑的圓，符合題意；
故答案為：
題型02求圓的一般方程
【典例1】（2023·高二課時(shí)練習(xí)）過三點(diǎn)的圓的一般方程為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【詳解】設(shè)圓的方程為，將A，B，C三點(diǎn)的坐標(biāo)代入方程，
整理可得，解得，
故所求的圓的一般方程為，
故選：D．
【典例2】（2023·新疆克拉瑪依·高二克拉瑪依市高級(jí)中學(xué)校考期中）求適合下列條件的圓的方程：
(1)圓心在直線上，且過點(diǎn)的圓；
(2)過三點(diǎn)的圓.
【答案】(1)
(2)
【詳解】（1）設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，由題知：
，解得.
所以圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：.
（2）設(shè)圓的一般方程為：，，
由題知：，
所以圓的方程為：.
【典例3】（2023·高二課時(shí)練習(xí)）已知圓經(jīng)過兩點(diǎn)，，且圓心在直線上，則圓的一般方程為_______________；若直線的方程（），圓心到直線的距離是1，則的值是______．
【答案】
【詳解】設(shè)圓C的方程為，
由條件，得，解得，
因此圓的一般方程為，
故圓心，因此圓心到直線l的距離，解得．
故答案為：；.
【變式1】（2023·江蘇·高二假期作業(yè)）過坐標(biāo)原點(diǎn)，且在軸和軸上的截距分別為2和3的圓的方程為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【詳解】設(shè)圓的方程為，
由題意知,圓過點(diǎn)，和，
所以，解得，
所以所求圓的方程為.
故選：A
【變式2】（2023·江蘇蘇州·高二蘇州中學(xué)校考期中）在平面直角坐標(biāo)系中，已知的頂點(diǎn)，邊上中線所在直線方程為，邊上的高所在直線方程為，求：
(1)頂點(diǎn)的坐標(biāo)；
(2)外接圓的一般方程.
【答案】(1)；
(2).
【詳解】（1）因?yàn)檫吷系母咚谥本€方程為，
所以,解得：.
所以直線的方程為，即.
由解得：，即.
（2）因?yàn)辄c(diǎn)C在直線上，所以可設(shè)，則中點(diǎn)為.
把代入直線：，有，解得：，所以.
經(jīng)過，，可設(shè)為：,
所以，解得：,
所以外接圓的方程為.
題型03圓的一般方程與標(biāo)準(zhǔn)方程轉(zhuǎn)化
【典例1】（2023·高二課時(shí)練習(xí)）若圓的圓心到直線的距離為，則實(shí)數(shù)的值為（ ）
A．0或2 B．0或-2
C．0或 D．-2或2
【答案】A
【詳解】將圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程為：，
所以，圓心為，半徑.
因?yàn)閳A心到直線的距離為，
所以，，即，
所以，所以或.
故選：A.
【典例2】（2023秋·內(nèi)蒙古巴彥淖爾·高二校考期末）若點(diǎn)為圓的弦的中點(diǎn)，則弦所在直線的方程為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【詳解】圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，圓心．因?yàn)辄c(diǎn)為弦MN的中點(diǎn)，所以，
又AP的斜率，所以直線MN的斜率為2，弦MN所在直線的方程為，即.
故選：D
【典例3】（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）求圓關(guān)于直線的對(duì)稱圓方程.
【答案】
【詳解】由可得，
故圓心坐標(biāo)為 ，半徑為1，
設(shè)點(diǎn)P關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為 ，
則有 ，解得，故 ，
所以圓關(guān)于直線的對(duì)稱圓的方程為：.
【變式1】（2023春·山東青島·高二校聯(lián)考期中）圓上的點(diǎn)到直線的最大距離是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【詳解】圓化為標(biāo)準(zhǔn)方程得，
圓心坐標(biāo)為，半徑為，圓心到直線的距離為
所以圓上的點(diǎn)到直線的最大距離為.
故選:C.
【變式2】（2023春·遼寧朝陽(yáng)·高二校聯(lián)考期中）已知點(diǎn)在圓 上，則點(diǎn)到軸的距離的最大值為（ ）
A．2 B．3 C． D．
【答案】B
【詳解】圓 ,即圓
圓心為，半徑，得點(diǎn)P到x軸的距離的最大值為.
故選：B.
題型04點(diǎn)與圓的位置關(guān)系
【典例1】（2023·江蘇揚(yáng)州·高二校考階段練習(xí)）已知點(diǎn)為圓外一點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【詳解】因在圓外，則，得.
又表示圓，則，得.
綜上：.
故選：D
【典例2】（多選）（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知點(diǎn)在圓的外部，則的取值可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】AC
【詳解】由題意可得，解得，
故選：AC.
【變式1】（2022·高二課時(shí)練習(xí)）若點(diǎn)是圓內(nèi)一點(diǎn)，則過點(diǎn)的最長(zhǎng)的弦所在的直線方程是__________.
【答案】
【詳解】圓可整理為，所以圓心，，
當(dāng)過點(diǎn)的弦經(jīng)過圓心時(shí)，弦長(zhǎng)最長(zhǎng)，所以過點(diǎn)的最長(zhǎng)的弦所在的直線方程為，整理得.
故答案為：.
【變式2】（2023·湖北·高二校聯(lián)考期中）過點(diǎn)可作圓的兩條切線，則實(shí)數(shù)的取值范圍______.
【答案】
【詳解】因?yàn)榉匠瘫硎緢A，
過點(diǎn)可作圓的兩條切線，則點(diǎn)在圓外，
所以，解得：.
故答案為：.
題型05圓過定點(diǎn)問題
【典例1】（2023春·上海普陀·高二曹楊二中校考階段練習(xí)）對(duì)任意實(shí)數(shù)，圓恒過定點(diǎn)，則其坐標(biāo)為______.
【答案】、
【詳解】由由得，故，解得或.
故填：、.
【典例2】（2023·高二課時(shí)練習(xí)）已知方程表示圓，其中，且，則不論取不為1的任何實(shí)數(shù)，上述圓恒過的定點(diǎn)的坐標(biāo)是________________.
【答案】
【詳解】由已知得，它表示過圓與直線交點(diǎn)的圓.
由，解得
即定點(diǎn)坐標(biāo)為.
故答案為
【變式1】（2023·上海徐匯·高二上海中學(xué)校考期中）對(duì)任意實(shí)數(shù)，圓恒過定點(diǎn)，則定點(diǎn)坐標(biāo)為__．
【答案】或
【詳解】解：，即，
令，解得，，或，，
所以定點(diǎn)的坐標(biāo)是或．
故答案為：或.
【變式2】（2013·遼寧大連·高二統(tǒng)考期中）對(duì)于任意實(shí)數(shù)，曲線恒過定點(diǎn)
【答案】
【詳解】變形為，令得，所以定點(diǎn)為
故答案為：
題型06求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程
【典例1】（2023春·上海徐匯·高二上海中學(xué)校考期中）點(diǎn)與兩個(gè)定點(diǎn)，的距離的比為，則點(diǎn)的軌跡方程為______．
【答案】
【詳解】設(shè)點(diǎn)，由題知，兩邊平方化簡(jiǎn)得，即，
所以點(diǎn)的軌跡方程為.
故答案為：.
【典例2】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，曲線與兩坐標(biāo)軸的交點(diǎn)都在圓上.
(1)求圓的方程；
(2)已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)，求線段的中點(diǎn)的軌跡方程.
【答案】(1)
(2)
（1）由，
令，解得或；令，得，
所以圓過.
設(shè)圓的方程為，
，解得，
所以圓的方程為.
（2）
設(shè)，則，
將的坐標(biāo)代入圓的方程得，
即.
【變式1】（2022秋·高二課時(shí)練習(xí)）過點(diǎn)的直線與圓交于點(diǎn)，則線段中點(diǎn)的軌跡方程為___________.
【答案】
【詳解】設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為，點(diǎn)B為，
由題意，結(jié)合中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得，
故，化簡(jiǎn)得.
即線段AB中點(diǎn)P的軌跡方程為.
故答案為：
【變式2】（2023春·福建莆田·高二莆田一中校考期中）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)滿足，則動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡方程為__________；的最小值為__________.
【答案】
【詳解】設(shè)，由題意可得，
整理得，故動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡方程為，
如圖所示，點(diǎn)的軌跡為以為圓心，為半徑的圓，點(diǎn)在圓內(nèi)部，
所以，
當(dāng)且僅當(dāng)在線段上時(shí)等號(hào)成立，
所以的最小值為，
故答案為：；
題型07與圓有關(guān)的最值問題
【典例1】（2023秋·北京·高二校考期末）設(shè)是圓上的動(dòng)點(diǎn)，是圓的切線，且，則點(diǎn)到點(diǎn)距離的最小值為（ ）
A．15 B．6 C．5 D．4
【答案】D
【詳解】解：由圓的方程，易知圓心，半徑為，
因?yàn)槭菆A的切線，且，
所以，，
所以，點(diǎn)的軌跡方程為，
點(diǎn)到點(diǎn)距離的最小值為，
故選：D.
【典例2】（2023·山東煙臺(tái)·統(tǒng)考二模）已知實(shí)數(shù)滿足，則的最大值為__________．
【答案】/
【詳解】方程整理得，設(shè)點(diǎn)，即點(diǎn)是圓上一點(diǎn)
又點(diǎn)在圓外，所以，
則，所以的最大值為.
故答案為：.
【典例3】（2023秋·江西宜春·高二江西省宜春市第一中學(xué)校考期末）已知為圓上任意一點(diǎn)．則的最大值為__________
【答案】/
【詳解】圓即，
故圓心，半徑為，
又表示圓C上的點(diǎn)M到點(diǎn)的距離，
故其最大值為，
故答案為：
【變式1】（2023春·江蘇南京·高一南京市第二十九中學(xué)校考期中）在中，，若的平面內(nèi)有一點(diǎn)滿足，則的最小值為__________.
【答案】
【詳解】
由題意，由余弦定理得 ，
， ，即以為原點(diǎn)，所在直線為軸，所在直線為軸建立平面直角坐標(biāo)系，
則，設(shè)，則 ，
由已知 ，
即點(diǎn)D是在以AC的中點(diǎn) 為圓心，半徑為1的圓周上，
，即是求 的最小值，
其幾何意義為圓周上的一點(diǎn)D到AB的中點(diǎn) 的距離的平方的最小值，顯然當(dāng)D，E，O共線時(shí)DE最小（如上圖），即 ，
的最小值為 ；
故答案為： .
【變式2】（2023春·江西·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）直線始終平分圓的周長(zhǎng)，則的最小值為______．
【答案】/
【詳解】解：圓化為標(biāo)準(zhǔn)方程：，
圓心為，
因?yàn)橹本€始終平分圓的周長(zhǎng)，
所以直線過圓心，
則，所以，
則，
當(dāng)時(shí)，取得最小值.
故答案為：.
題型08關(guān)于點(diǎn)或直線對(duì)稱的圓
【典例1】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）與圓關(guān)于直線對(duì)稱的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是______.
【答案】
【詳解】圓的圓心，半徑，
點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱的點(diǎn)坐標(biāo)為
則所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為
故答案為：
【典例2】（2023秋·重慶沙坪壩·高二重慶市第七中學(xué)校校考期末）圓關(guān)于直線的對(duì)稱圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為__________.
【答案】
【詳解】圓的圓心，半徑，
設(shè)點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，
則有，解得，因此所求圓的圓心，半徑為，
所以所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：.
故答案為：
【變式1】（2023秋·山東棗莊·高二統(tǒng)考期末）如果圓關(guān)于直線對(duì)稱，則有（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【詳解】由圓的對(duì)稱性知，圓心在直線上，故有，即.
故選：B
【變式2】（2023·江蘇·高二假期作業(yè)）已知圓與圓關(guān)于直線對(duì)稱，則圓的方程是__________
【答案】
【詳解】圓圓心為，半徑等于1，
設(shè)圓心關(guān)于直線對(duì)稱點(diǎn)，
則有，且，
解得，故點(diǎn)，
由于對(duì)稱圓的半徑與圓的半徑相等，
故圓的方程為，
故答案為.
題型09圓的綜合問題
【典例1】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)二次函數(shù)的圖象與兩坐標(biāo)軸有三個(gè)交點(diǎn)，經(jīng)過這三個(gè)交點(diǎn)的圓記為.
(1)求實(shí)數(shù)b的取值范圍；
(2)求圓的方程；
(3)請(qǐng)問圓是否經(jīng)過某定點(diǎn)（其坐標(biāo)與無(wú)關(guān)）？請(qǐng)證明你的結(jié)論.
【答案】(1)，且；
(2)（，且）；
(3)過定點(diǎn)和.
【詳解】（1）令得拋物線與軸交點(diǎn)是；
令，
由題意，且，解得，且．
即實(shí)數(shù)的取值范圍，且．
（2）設(shè)所求圓的一般方程為，
由題意得的圖象與兩坐標(biāo)軸的三個(gè)交點(diǎn)即為圓和坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，
令得，，由題意可得，這與是同一個(gè)方程，故，．
令得，，由題意可得，此方程有一個(gè)根為，代入此方程得出，
∴圓的方程為（，且）．
（3）把圓的方程改寫為，令，
解得或，故圓過定點(diǎn)和．
【典例2】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知經(jīng)過圓上點(diǎn)的切線方程是.
（1）類比上述性質(zhì)，直接寫出經(jīng)過橢圓上一點(diǎn)的切線方程；
（2）已知橢圓，為直線上的動(dòng)點(diǎn)，過作橢圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為
①求證：直線過定點(diǎn).
②當(dāng)點(diǎn)到直線的距離為時(shí)，求三角形的外接圓方程.
【答案】（1）.（2）①證明見解析；②，.
【詳解】（1）類比上述性質(zhì)知：切線方程為.
（2）①設(shè)切點(diǎn)為，點(diǎn)，
由（1）的結(jié)論的AP直線方程：，BP直線方程：，
通過點(diǎn)，∴有， ∴A，B滿足方程：，
∴直線AB恒過點(diǎn)：，即直線AB恒過點(diǎn).
②已知點(diǎn)到直線AB的距離為. ∴，
故，， ∴.
當(dāng)時(shí)，點(diǎn)，直線AB的方程為：， ，
解得或，故點(diǎn).
設(shè)的外接圓方程為：，代入得，
解得,所以的外接圓方程為，
即的外接圓方程為： ，
當(dāng)時(shí)，由對(duì)稱性可知，三角形PAB的外接圓方程為：.
【變式1】（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)二次函數(shù)的圖象與兩坐標(biāo)軸有三個(gè)交點(diǎn)，經(jīng)過這三個(gè)交點(diǎn)的圓記為．
（Ⅰ）若，求圓的方程；
（Ⅱ）當(dāng)取所允許的不同的實(shí)數(shù)值時(shí)（，且），圓是否經(jīng)過某定點(diǎn)（其坐標(biāo)與無(wú)關(guān)）？請(qǐng)證明你的結(jié)論．
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）
【詳解】（Ⅰ）設(shè)圓的方程為，
令 得，與是同一方程，
所以，
令 得，方程有一根為，
所以，
所以圓的方程為，
當(dāng)時(shí)，圓C的方程為 .
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，圓的方程為，
轉(zhuǎn)化為： ，
令，
解得 或.
故圓經(jīng)過定點(diǎn) .
【變式2】（2023秋·上海普陀·高二上海市晉元高級(jí)中學(xué)校考期末）已知圓C經(jīng)過，兩點(diǎn)．
(1)如果AB是圓C的直徑，證明：無(wú)論取何正實(shí)數(shù)，圓恒經(jīng)過除外的另一個(gè)定點(diǎn)，求出這個(gè)定點(diǎn)坐標(biāo)．
(2)已知點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)也在圓，且過點(diǎn)的直線與兩坐標(biāo)軸分別交于不同兩點(diǎn)和，當(dāng)圓的面積最小時(shí)，試求的最小值.
【答案】(1)證明見解析，定點(diǎn)為
(2)
【詳解】（1）設(shè)點(diǎn)是圓上任意一點(diǎn)，
因?yàn)锳B是圓C的直徑，所以，
即，
所以圓的方程為：，
則，時(shí)等式恒成立，故定點(diǎn)為，
所以無(wú)論a取何正實(shí)數(shù)，圓C恒經(jīng)過除A外的另一個(gè)定點(diǎn)，定點(diǎn)坐標(biāo)為；
（2）因點(diǎn)A關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)也在圓C上，
所以點(diǎn)C在直線上，
又圓C的面積最小，所以圓C是以直徑的圓，
設(shè)過點(diǎn)A與直線垂直的直線方程為，
由方程組得，則
所以圓C的方程為，
當(dāng)時(shí)，或，又，所以，即，
由題意知直線l斜率存在且不為零，設(shè)直線l的方程為，
當(dāng)時(shí)，當(dāng)，時(shí)，
所以，
（當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)）
則當(dāng)時(shí)，
題型10圓的實(shí)際應(yīng)用
【典例1】（2022·高二課時(shí)練習(xí)）蘇州有很多圓拱的懸索拱橋（如寒山橋），經(jīng)測(cè)得某圓拱索橋（如圖）的跨度米，拱高米，在建造圓拱橋時(shí)每隔5米需用一根支柱支撐，求與相距30米的支柱的高度.
【答案】（米）
【詳解】以為原點(diǎn)，所在的直線為軸，建立如圖所示的直角坐標(biāo)系
根據(jù)題意可知，，所以，
設(shè)圓心為，圓拱所在圓的方程為，則
因?yàn)樵趫A拱所在圓的方程上，
所以，解得.
即圓拱所在的圓方程為，
將代入圓方程，得，解得
，.
所以與OP相距30米的支柱MN的高度為（米）.
【典例2】（2022秋·江西南昌·高二南昌市外國(guó)語(yǔ)學(xué)校校考階段練習(xí)）如圖所示，某隧道內(nèi)設(shè)雙行線公路，其截面由一段圓弧和一個(gè)長(zhǎng)方形的三邊構(gòu)成.已知隧道總寬度為，行車道總寬度為，側(cè)墻高，為，弧頂高為.
（1）以所在直線為軸，所在直線為軸，為單位長(zhǎng)度建立平面直角坐標(biāo)系，求圓弧所在的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）為保證安全，要求隧道頂部與行駛車輛頂部（設(shè)為平頂）在豎直方向上的高度之差至少為，問車輛通過隧道的限制高度是多少？
【答案】（1）；（2）.
【詳解】（1）由題意，有，，.
所求圓的圓心在軸上，設(shè)圓的方程為（，），
，都在圓上，
，解得.
圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是.
（2）設(shè)限高為，作，交圓弧于點(diǎn)，
則.
將點(diǎn)的橫坐標(biāo)代入圓的方程，得，
得或（舍去）.
.
故車輛通過隧道的限制高度為.
【變式1】（2023秋·高一單元測(cè)試）如圖是一座類似于上海盧浦大橋的圓拱橋示意圖，該圓弧拱跨度為，圓拱的最高點(diǎn)離水面的高度為，橋面離水面的高度為.

(1)建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，求圓拱所在圓的方程；
(2)求橋面在圓拱內(nèi)部分的長(zhǎng)度.（結(jié)果精確到）
【答案】(1)建系見解析，圓拱方程為，.
(2)橋面在圓拱內(nèi)部分的長(zhǎng)度約為367.4m
【詳解】（1）設(shè)圓拱所在圓的圓心為，以為原點(diǎn)，方向?yàn)檩S正方向，
中垂線向上為軸正方向，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系.

設(shè)與軸交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，連接
設(shè)圓的半徑為，
則，，，
在直角中，，
所以，解得，
所以，
所以圓拱方程為，.
（2）由題意得，，
令，得，
所以，
所以，所以.
所以橋面在圓拱內(nèi)部分的長(zhǎng)度約為367.4m
【變式2】（2023春·上海浦東新·高二上海市實(shí)驗(yàn)學(xué)校校考期中）如圖，在寬為14的路邊安裝路燈，燈柱高為8，燈桿是半徑為的圓的一段劣弧．路燈采用錐形燈罩，燈罩頂?shù)铰访娴木嚯x為10，到燈柱所在直線的距離為2．設(shè)為圓心與連線與路面的交點(diǎn)．
（1）當(dāng)為何值時(shí)，點(diǎn)恰好在路面中線上？
（2）記圓心在路面上的射影為，且H在線段上，求的最大值．
【答案】（1）；（2）.
【詳解】（1）以O(shè)為原點(diǎn)，以所在直線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系，如圖所示：
則，
∴直線的方程為．
設(shè)，則，兩式相減得：，
又，解得，
∴．
∴當(dāng)時(shí)，點(diǎn)Q恰好在路面中線上．
（2）由（1）知，
當(dāng)時(shí)，燈罩軸線所在直線方程為，此時(shí)
當(dāng)時(shí)，燈罩軸線所在方程為：，
令可得，即，
∵H在線段上，∴，解得．
∴，
當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)取等號(hào)．
∴的最大值為．
A夯實(shí)基礎(chǔ) B能力提升 C綜合素養(yǎng)
A夯實(shí)基礎(chǔ)
1．（2023·江蘇·高二假期作業(yè)）將圓平分的直線是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【詳解】要使直線平分圓，只要直線經(jīng)過圓的圓心即可，
由，得，
所以圓心坐標(biāo)為，
對(duì)于A，因?yàn)椋灾本€不過圓心，所以A錯(cuò)誤，
對(duì)于B，因?yàn)椋灾本€不過圓心，所以B錯(cuò)誤，
對(duì)于C，因?yàn)椋灾本€過圓心，所以C正確，
對(duì)于D，因?yàn)椋灾本€不過圓心，所以D錯(cuò)誤，
故選：C
2．（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）若圓關(guān)于直線l的對(duì)稱圖形為圓，則直線l的方程為（ ）.
A． B． C． D．
【答案】B
【詳解】的圓心為，半徑為；
的圓心為，半徑為.
由題意知，直線l是線段的垂直平分線.
線段的中點(diǎn)為，斜率為，所以直線l的斜率為，
所以直線l的方程為，即.
故選：B.
3．（2023春·山東臨沂·高二統(tǒng)考期末）已知圓，則圓心及半徑分別為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【詳解】圓，
即，
所以圓心為，半徑為.
故選：A
4．（2023·高三課時(shí)練習(xí)）關(guān)于x、y的方程表示一個(gè)圓的充要條件是（ ）.
A．，且
B．，且
C．，且，
D．，且，
【答案】D
【詳解】關(guān)于x、y的方程表示一個(gè)圓的充要條件是
，即，且，.
故選：D
5．（2023·北京海淀·中關(guān)村中學(xué)校考三模）在平面直角坐標(biāo)系中，已知是圓上的動(dòng)點(diǎn)．若，，，則的最大值為（　　）
A．16 B．12 C．8 D．6
【答案】B
【詳解】因?yàn)椋?br/>所以.
故選：B
6．（2023春·甘肅張掖·高三高臺(tái)縣第一中學(xué)校考階段練習(xí)）已知A，B為圓上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，P為弦的中點(diǎn)，若，則點(diǎn)P的軌跡方程為（）
A． B．
C． D．
【答案】B
【詳解】圓即,半徑
因?yàn)?所以
又是的中點(diǎn),所以
所以點(diǎn)的軌跡方程為
故選：B
7．（2023秋·高一單元測(cè)試）已知點(diǎn)P為直線上的一點(diǎn)，M，N分別為圓：與圓：上的點(diǎn)，則的最小值為（ ）
A．5 B．3 C．2 D．1
【答案】B
【詳解】解：圓：與圓：的圓心分別為：，
由題意得的最小值為的最小值，
設(shè)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為，
則，解得，則，
如圖所示：

當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，取得最小值，
最小值為，
所以的最小值為，
故選：B
8．（2023·四川·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知點(diǎn)，，，若點(diǎn)是的外接圓上一點(diǎn)，則點(diǎn)到直線：的距離的最大值為（ ）
A． B． C． D．14
【答案】C
【詳解】解：設(shè)所求圓的方程為，
因?yàn)榈娜齻€(gè)頂點(diǎn)分別為，，，
則，
解得，
所以外接圓的一般方程為，
其圓心為，半徑為5，
因?yàn)橹本€，即，
所以點(diǎn)到直線的距離為，
所以直線與的外接圓相離，
所以點(diǎn)到直線的距離的最大值為.
故選：.
二、多選題
9．（2023秋·廣東揭陽(yáng)·高二統(tǒng)考期末）已知方程表示一個(gè)圓，則實(shí)數(shù)可能的取值為（ ）
A． B．0 C． D．
【答案】BC
【詳解】因?yàn)榉匠瘫硎疽粋€(gè)圓，所以，化簡(jiǎn)得，解得.
故選：BC.
三、填空題
10．（2023·陜西安康·陜西省安康中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）已知拋物線的頂點(diǎn)為，與坐標(biāo)軸交于三點(diǎn)，則過四點(diǎn)中的三點(diǎn)的一個(gè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為__________.
【答案】（答案不唯一）
【詳解】令，則，
解得，不妨設(shè)；
令0，得，則；拋物線的頂點(diǎn)的坐標(biāo)為.
設(shè)所求圓的方程為.
當(dāng)圓過三點(diǎn)時(shí)，,
所以圓的方程為.
當(dāng)圓過三點(diǎn)時(shí)，,
所以圓的方程為.
當(dāng)圓過三點(diǎn)時(shí)，,
所以圓的程為.
當(dāng)圓過三點(diǎn)時(shí)，,
當(dāng)圓過三點(diǎn)方程為.
故答案為：（答案不唯一）
11．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）直角坐標(biāo)平面中，若定點(diǎn)A（1，2）與動(dòng)點(diǎn)P（x，y）滿足，則點(diǎn)P的軌跡方程是___________.
【答案】
【詳解】設(shè)點(diǎn)，
∵，
∴
∵，
∴，
∴，
即.
因此點(diǎn)P的軌跡方程是.
故答案為：
四、解答題
12．（2023春·湖北荊州·高二沙市中學(xué)校考階段練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，四點(diǎn)在同一個(gè)圓E上．
(1)求實(shí)數(shù)a的值；
(2)若點(diǎn)在圓E上，求的取值范圍．
【答案】(1)或5；
(2)[，]．
【詳解】（1）設(shè)過A、B、C的圓的方程為
將點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)分別代入圓的方程，
得，
解得：
得圓的方程為
將點(diǎn)D的坐標(biāo)代入上述所得圓的方程，
得解得a＝1或5；
（2）點(diǎn)在圓E：上，
其幾何意義為圓E上的點(diǎn)到距離的平方減1．
如圖：
∴的最小值為＝；
的最大值為．
∴的取值范圍是[，]．
13．（2023秋·河北滄州·高二統(tǒng)考期末）已知的頂點(diǎn)，邊上的中線所在直線方程為，邊上的高線為．
(1)求點(diǎn)坐標(biāo)；
(2)求的外接圓方程．
【答案】(1)
(2)
【詳解】（1）設(shè)，則的中點(diǎn)在直線上，∴．點(diǎn)在直線上，故，．∴點(diǎn)的坐標(biāo)為．
（2）由題得直線OB的斜率為，方程為，聯(lián)立，則，設(shè)圓的方程為，代入三點(diǎn)得
，解得，，，故的外接圓方程為．
B能力提升
1．（2023秋·高一單元測(cè)試）希臘著名數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯與歐幾里得、阿基米德齊名．他發(fā)現(xiàn)：“平面內(nèi)到兩個(gè)定點(diǎn)的距離之比為定值的點(diǎn)的軌跡是圓”．后來(lái)，人們將這個(gè)圓以他的名字命名，稱為阿波羅尼斯圓，簡(jiǎn)稱阿氏圓．已知?jiǎng)狱c(diǎn)在圓上，若點(diǎn)，點(diǎn)，則的最小值為 __．
【答案】
【詳解】設(shè)，不妨取，使得，所以，
整理得：.
此方程與為同一方程，所以，解得：，即.
所以（當(dāng)且僅當(dāng)P、B、C三點(diǎn)共線時(shí)等號(hào)成立）
此時(shí).
所以的最小值為.
故答案為：.
2．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知關(guān)于x，y的二元二次方程，當(dāng)t為________時(shí)，方程表示的圓的半徑最大．
【答案】
【詳解】
即，
，解得，
設(shè)圓的半徑為r，則，
所以當(dāng)時(shí)，，所以．
故答案為：．
3．（2023·江蘇·高二假期作業(yè)）已知圓及點(diǎn)．
（1）若在圓上，求線段的長(zhǎng)及直線的斜率；
（2）若M為圓C上的任一點(diǎn)，求的最大值和最小值．
【答案】（1），；（2），.
【詳解】（1）因?yàn)辄c(diǎn)在圓上，所以，所以，

故選：B.
2．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知圓，點(diǎn)P是直線上的一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作圓M的切線PA，PB，切點(diǎn)為A，B．
（1）當(dāng)切線PA的長(zhǎng)度為時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（2）若的外接圓為圓N，試問：當(dāng)P運(yùn)動(dòng)時(shí)，圓N是否過定點(diǎn)？若存在，求出所有的定點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；
（3）求線段AB長(zhǎng)度的最小值．
【答案】（1）或；（2）圓過定點(diǎn)，；（3）當(dāng)時(shí)，AB有最小值．
【詳解】（1）由題可知，圓M的半徑，設(shè)，
因?yàn)镻A是圓M的一條切線，所以，
所以，
解得或，
所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為或．
（2）設(shè)，因?yàn)椋?br/>所以經(jīng)過A、P、M三點(diǎn)的圓N以MP為直徑，
其方程為，
即，
由，
解得或，
所以圓過定點(diǎn)，．
（3）因?yàn)閳AN方程為，
即①
又圓②
①-②得圓M方程與圓N相交弦AB所在直線方程為
．
點(diǎn)到直線AB的距離，
所以相交弦長(zhǎng)
，
所以當(dāng)時(shí)，AB有最小值．
3．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知圓，點(diǎn)是直線上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)作圓的切線，，切點(diǎn)分別為，.
（1）當(dāng)時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）設(shè)的外接圓為圓，當(dāng)點(diǎn)在直線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，圓是否過定點(diǎn)（異于原點(diǎn)）？若過定點(diǎn)，求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)；若不過定點(diǎn)，請(qǐng)說(shuō)明理由.
【答案】（1）或；（2）是過定點(diǎn)，.
【詳解】（1）設(shè)，∵，∴，，
∵，∴，
∴解得或
∴或；
（2）設(shè)，則，
∴的外接圓方程為，
∵，∴，
∴，令
則或（舍去），∴圓過定點(diǎn).
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