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第11講 第二章 直線和圓的方程 章末總結(jié)
一、思維導(dǎo)圖
二、題型精講
題型01直線的傾斜角和斜率
【典例1】（2023春·上海黃浦·高二上海市敬業(yè)中學(xué)校考期中）直線的傾斜角的取值范圍是（ ）
A． B． C．D．
【答案】C
【詳解】由題意知,若 a = 0 ,則傾斜角為,
若,則,
①當(dāng)時(shí)，(當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取“”)，
②當(dāng)時(shí)，(當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取“”)，
，故，
綜上，，
故選：C.
【典例2】（2023秋·安徽六安·高二六安一中校考期末）已知直線和以，為端點(diǎn)的線段相交，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（ ）
A． B．
C．或 D．或
【答案】C
【詳解】
直線恒過(guò)定點(diǎn)，且，，由圖可知，或.
故選：C.
【典例3】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）直線的傾斜角的取值范圍是_______.
【答案】
【詳解】若，則直線方程為，即傾斜角；
若，則直線方程為，即，
∵，∴或，
即或，解得
綜上可得.
故答案為：
【變式1】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）若過(guò)點(diǎn)的直線與以點(diǎn)為端點(diǎn)的線段相交，則直線的傾斜角取值范圍為（ ）
A． B．C．D．
【答案】A
【詳解】如圖所示，設(shè)的傾斜角為，的傾斜角為，則所求直線的傾斜角的取值范圍為，
易得，，
又因?yàn)椋裕?br/>所以所求直線的傾斜角的取值范圍為.
故選：A.
.
【變式2】（2023·江蘇·高二假期作業(yè)）已知點(diǎn)、，若直線過(guò)點(diǎn)且總與線段有交點(diǎn)，求直線的斜率的取值范圍．
【答案】
【詳解】解：設(shè)過(guò)點(diǎn)且垂直于軸的直線交線段于點(diǎn)，如下圖所示：

當(dāng)直線由位置繞點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)到位置時(shí)，的斜率從逐漸變大，
此時(shí)，；
當(dāng)直線由位置繞點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)到位置時(shí)，的斜率為負(fù)值，且逐漸增大至，
此時(shí)，.
綜上所述，直線的斜率的取值范圍是.
題型02直線方程
【典例1】（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）過(guò)點(diǎn)且在坐標(biāo)軸上的截距相等的直線一般式方程為__________．
【答案】或
【詳解】當(dāng)直線過(guò)原點(diǎn)時(shí)，設(shè)，過(guò)點(diǎn)，則，即；
當(dāng)直線不過(guò)原點(diǎn)時(shí)，設(shè)，過(guò)點(diǎn)，則，即；
綜上所述：直線方程為或.
故答案為：或.
【典例2】（2023秋·廣西防城港·高二統(tǒng)考期末）已知直線與軸，軸的交點(diǎn)分別為.直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)且傾斜角為.
(1)求直線的一般方程；
(2)求線段的中垂線方程.
【答案】(1)
(2)
【詳解】（1）設(shè)直線的斜率為，則
過(guò)令，得，所以，
由直線的點(diǎn)斜式方程，代入可得，，
化簡(jiǎn)得，所以所求的直線方程為.
（2）設(shè)線段的中垂線斜率為，線段的中點(diǎn)為，設(shè)直線的斜率為，
由直線可得，則，
由垂直關(guān)系可知，，解得；
令，得，所以，
由中點(diǎn)坐標(biāo)公式可知，，即，
由直線的點(diǎn)斜式方程，代入可得，，
化簡(jiǎn)得，即線段的中垂線方程是.
【典例3】（2023·全國(guó)·高三對(duì)口高考）過(guò)點(diǎn)作直線分別交，的正半軸于，兩點(diǎn)．

(1)求面積的最小值及相應(yīng)的直線的方程；
(2)當(dāng)取最小值時(shí)，求直線的方程；
(3)當(dāng)取最小值時(shí)，求直線的方程．
【答案】(1)，此時(shí)直線的方程為．
(2)
(3)
【詳解】（1）依題意設(shè)，，，
設(shè)直線的方程為，代入得，
所以，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即、時(shí)取等號(hào)，
從而，當(dāng)且僅當(dāng)，即、時(shí)取等號(hào)，
此時(shí)直線的方程為，即，
所以，此時(shí)直線的方程為．
（2）由（1）可得，
所以，
當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)取等號(hào)，
此時(shí)直線的方程為，即．
（3）依題意直線的斜率存在且，設(shè)直線，
令，解得，令，解得，所以，，
則，
當(dāng)且僅當(dāng)，即，即時(shí)，取最小值，
此時(shí)直線的方程為．
【變式1】（2023秋·廣東廣州·高二校考期末）過(guò)點(diǎn)，傾斜角是直線的傾斜角的一半的直線方程為____________．
【答案】
【詳解】直線的斜率為，
設(shè)過(guò)點(diǎn)直線的傾斜角為，則的傾斜角為，所以，
其斜率為，因?yàn)?所以,則
故所求直線方程為,即,
故答案為：
【變式2】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）若過(guò)點(diǎn)且互相垂直的兩條直線分別與軸、軸交于、兩點(diǎn)，則中點(diǎn)的軌跡方程為______.
【答案】
【詳解】設(shè)，則，連接，
，，即，化簡(jiǎn)即得.
故答案為：
【變式31】（2023春·重慶沙坪壩·高一重慶南開中學(xué)校考期末）已知、在直線上.
(1)求直線的方程；
(2)若直線傾斜角是直線傾斜角的2倍，且與的交點(diǎn)在軸上，求直線的方程.
【答案】(1)
(2)
【詳解】（1）因?yàn)椤⒃谥本€上，
所以，所以直線的方程為，即.
（2）設(shè)直線的傾斜角為，則，
所以，
所以直線的斜率，
對(duì)于，令得，即直線與軸交于點(diǎn)，
所以直線的方程為.
【變式4】（2023·江蘇·高二假期作業(yè)）已知的三個(gè)頂點(diǎn)分別為．
(1)求邊和所在直線的方程；
(2)求邊上的中線所在直線的方程．
【答案】(1)邊所在直線的方程為，邊所在直線的方程為．
(2)中線所在直線的方程
【詳解】（1）解：，，直線的截距式方程得：，化簡(jiǎn)得．
，，由直線的兩點(diǎn)式方程，
得方程為，即，
綜上所述，邊所在直線的方程為，
邊所在直線的方程為．
（2）解：設(shè)中點(diǎn)，由線段的中點(diǎn)坐標(biāo)公式，
可得，，中點(diǎn)坐標(biāo)為．
再由直線的兩點(diǎn)式方程，得所在直線的方程為，
化簡(jiǎn)得，即為所求邊上的中線所在的直線的方程．
題型03兩直線的平行與垂直
【典例1】（2023秋·河南平頂山·高二統(tǒng)考期末）已知，“直線與平行”是“”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件
【答案】C
【詳解】直線與平行
則，
所以，
解得，
經(jīng)檢驗(yàn)，均符合題意，
故選：C.
【典例2】（2023秋·四川涼山·高二寧南中學(xué)校考期末）已知，，直線：，：，且，則的最小值為（ ）
A．2 B．4 C．8 D．9
【答案】C
【詳解】因?yàn)椋裕矗?br/>因?yàn)椋裕?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，
所以的最小值為8.
故選：C.
【典例3】（2023春·浙江溫州·高二校考階段練習(xí)）“”是“直線：與直線：互相垂直”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
【答案】A
【詳解】依題意，，解得或，
所以“”是“直線：與直線：互相垂直”的充分不必要條件.
故選：A
【變式1】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知直線，，且，則的最小值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【詳解】解：，則，∴，
所以，
二次函數(shù)的拋物線的對(duì)稱軸為，
當(dāng)時(shí)，取最小值.
故選：A．
【變式2】（2023·上海·高二專題練習(xí)）已知直線，，若，則的值是___________.
【答案】
【詳解】因?yàn)椋?br/>所以當(dāng)，即時(shí)，，，顯然不滿足題意；
當(dāng)，即時(shí)，，
由解得或，
當(dāng)時(shí)，，舍去；
當(dāng)時(shí)，，滿足題意；
綜上：.
故答案為：.
題型04兩直線的交點(diǎn)與距離問(wèn)題
【典例1】（2023春·重慶沙坪壩·高一重慶八中校考期末）已知直線：，直線過(guò)點(diǎn)且與直線垂直.
(1)求直線的方程；
(2)直線與直線關(guān)于軸對(duì)稱，求直線，，所圍成的三角形的面積.
【答案】(1)
(2)
【詳解】（1）由題意知直線：的斜率為，
直線過(guò)點(diǎn)且與直線垂直，則，
故直線的方程為，即；
（2）直線與直線關(guān)于軸對(duì)稱，則直線的方程為，
即，

如圖示，設(shè)直線，，所圍成的三角形為,
則,
聯(lián)立，解得，即,
聯(lián)立，解得，即,
直線與y軸的交點(diǎn)為，
故直線，，所圍成的三角形的面積為.
【典例2】（2023·高二課時(shí)練習(xí)）已知點(diǎn)，點(diǎn)P在x軸上使最大，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．
【答案】
【詳解】點(diǎn)關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為,如圖所示，若點(diǎn)不在直線上則,
連接并延長(zhǎng)交x軸于點(diǎn)P，即為最大值．
直線的方程是，
即.
令，得．
則點(diǎn)P的坐標(biāo)是.
【典例3】（2023·高三課時(shí)練習(xí)）已知點(diǎn)，且，.
(1)求直線CD的方程；
(2)求點(diǎn)C的坐標(biāo)，并求四邊形ABCD的面積.
【答案】(1)
(2)，四邊形ABCD的面積為
【詳解】（1）直線的斜率為，
由于，所以直線的斜率為，
所以直線的方程為.
（2）設(shè)，則①，
由于，所以直線的斜率為②，
由①②解得，所以.
，
直線的方程為，
到直線的距離為，
所以三角形的面積為.
，
到直線的距離為，
所以三角形的面積為，
所以四邊形的面積為.
【變式1】（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）求過(guò)直線和的交點(diǎn)并且與原點(diǎn)距離為1的直線l的方程．
【答案】直線l的方程為或．
【詳解】由，解得，即兩直線的交點(diǎn)為.
當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，直線l的方程為，顯然滿足與原點(diǎn)距離為1.
當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)直線l的方程為.
由題意可得，兩邊平方整理得，即.
即直線l的方程為.
綜上，直線l的方程為或.
【變式2】（2023秋·青海西寧·高二校聯(lián)考期末）已知的三個(gè)頂點(diǎn)分別為．求：
(1)邊上的中線所在直線的方程；
(2)的面積．
【答案】(1)
(2)
【詳解】（1）設(shè)AC邊上的中點(diǎn)為D，則，即，
故AC邊上的中線BD所在直線的方程的斜率為，故為：，即．
（2）邊AC所在直線的方程為：，
且，
點(diǎn)B到直線AC的距離為：，
故的面積：
【變式3】（2023春·重慶沙坪壩·高一重慶八中校考期末）已知點(diǎn)，，點(diǎn)在軸上，則的取值范圍是______.
【答案】
【詳解】作點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)，則，
過(guò)的中點(diǎn)作交軸于點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)時(shí)，
，此時(shí)；
當(dāng)，，三點(diǎn)共線時(shí)，，
所以的取值范圍是.
故答案為：.

題型05直線中的對(duì)稱問(wèn)題
【典例1】（2023秋·吉林白城·高二校考期末）點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【詳解】設(shè)點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為，
則，解得.
所以點(diǎn)的坐標(biāo)為
故選：A.
【典例2】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）的頂點(diǎn)，邊上的中線所在的直線為，的平分線所在直線方程為，求邊所在直線的方程（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【詳解】解：由，得，
所以點(diǎn)的坐標(biāo)為，
設(shè)點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為，
則，解得，
所以，
因?yàn)辄c(diǎn)在直線上，
所以直線的方程為，即，
設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，則的中點(diǎn)坐標(biāo)為，
所以，解得，
所以點(diǎn)的坐標(biāo)為，
所以，
所以邊所在直線的方程為，即，
故選：B
【典例3】（2023·上海·高二專題練習(xí)）一束光從光源射出，經(jīng)軸反射后（反射點(diǎn)為），射到線段上處．
(1)若，求光從出發(fā)，到達(dá)點(diǎn)時(shí)所走過(guò)的路程；
(2)若，求反射光的斜率的取值范圍；
(3)若，求光從出發(fā)，到達(dá)點(diǎn)時(shí)所走過(guò)的最短路程．
【答案】(1)
(2)
(3)
【詳解】（1）關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)，，
由 ，則此時(shí)，
所以光所走過(guò)的路程即．
（2）對(duì)于線段，令其端點(diǎn)，
則，
所以反射光斜率的取值范圍是．
（3）若反射光與直線垂直，則由．
①當(dāng)，即時(shí)，光所走過(guò)的最短路程為點(diǎn)到直線的距離，
所以路程．
②當(dāng)，即時(shí)，光所走過(guò)的最短路程為線段，其中，
所以．
綜上：．
【典例4】（2023秋·江西吉安·高二吉安三中校考期末）已知直線l：3x－y＋3＝0，求：
(1)點(diǎn)P(4,5)關(guān)于l的對(duì)稱點(diǎn)；
(2)直線x－y－2＝0關(guān)于直線l對(duì)稱的直線方程；
(3)直線l關(guān)于(1,2)的對(duì)稱直線．
【答案】（1）(－2,7)；（2）7x＋y＋22＝0；（3）3x－y－5＝0.
【詳解】(1)設(shè)P(x，y)關(guān)于直線l：3x－y＋3＝0的對(duì)稱點(diǎn)為P′(x′，y′)，
因?yàn)閗PP′·kl＝－1，即×3＝－1.（1）
又PP′的中點(diǎn)在直線3x－y＋3＝0上，
所以3×＋3＝0. （2）
由（1）（2）得
把x＝4，y＝5代入（3）（4）得x′＝－2，y′＝7，
所以點(diǎn)P(4,5)關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)P′的坐標(biāo)為(－2,7)．
(2)用（3）（4）分別代換x－y－2＝0中的x，y，
得關(guān)于l對(duì)稱的直線方程為，
化簡(jiǎn)得7x＋y＋22＝0.
(3)在直線l：3x－y＋3＝0上取點(diǎn)M(0,3)，關(guān)于(1,2)的對(duì)稱點(diǎn)M′(x′，y′)，
所以，x′＝2，，y′＝1，所以M′(2,1)．
l關(guān)于(1,2)的對(duì)稱直線平行于l，所以k＝3，
所以對(duì)稱直線方程為y－1＝3×(x－2)，
即3x－y－5＝0.
【變式1】（2023春·上海楊浦·高一上海市楊浦高級(jí)中學(xué)校考期末）設(shè)直線與關(guān)于直線對(duì)稱，則直線的方程是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【詳解】聯(lián)立，得，
取直線上一點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為，則，解得：，
直線的斜率，所以直線的方程為，
整理為：.
故選：A
【變式2】（2023·高二課時(shí)練習(xí)）已知A（3，1），B（-1，2），若的平分線在上，求AC所在的直線方程．
【答案】
【詳解】解：設(shè)點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱的點(diǎn)，，
則，解得，即．
所以直線的斜率為.
所以直線的方程為.
直線的方程為．
由得，
解得．
所以直線的斜率為.
所以直線的方程為
直線的方程為．
【變式3】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知直線，點(diǎn)．求：
(1)點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)；
(2)直線關(guān)于直線對(duì)稱的直線的方程；
(3)直線關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱的直線的方程．
【答案】(1)
(2)
(3)
【詳解】（1）解：因?yàn)辄c(diǎn)，設(shè)點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為，，
直線，
解得，所以，
（2）解：設(shè)直線與直線的交點(diǎn)為，
聯(lián)立直線與直線，，解得，所以；
在直線上取一點(diǎn)，如，
則關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)必在直線上，
設(shè)對(duì)稱點(diǎn)，則，解得，所以，
經(jīng)過(guò)點(diǎn)，所以
所以直線的方程為整理得．
（3）解：設(shè)直線關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱的直線的點(diǎn)的坐標(biāo)為，
關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱點(diǎn)為，
在直線上，
代入直線方程得：，所以直線的方程為：．
【變式4】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）直線關(guān)于直線對(duì)稱的直線方程是_______．
【答案】
【詳解】聯(lián)立，解得，
即兩直線的交點(diǎn)為．
在直線上取一點(diǎn)，
設(shè)點(diǎn)P關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為，
則，解得，即．
所以直線MQ的方程為，
即.
故答案為: ．
題型06圓的方程
【典例1】（2023春·河南開封·高二統(tǒng)考期末）已知圓心為的圓經(jīng)過(guò)，兩點(diǎn)，且圓心在直線上．
(1)求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)求與直線平行且與圓相切的直線方程．
【答案】(1)
(2)
【詳解】（1）的中點(diǎn)為，，所以線段的中垂線方程為，
由垂徑定理可知，圓心在線段的垂直平分線上，
所以它的坐標(biāo)是方程組的解，解之得
所以圓心的坐標(biāo)是，圓的半徑，
所以圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是．
（2）設(shè)所求直線方程為，圓心到直線的距離，
所以，即，所以所求直線方程為．
【典例2】（2023·江蘇·高二假期作業(yè)）求經(jīng)過(guò)點(diǎn)和坐標(biāo)原點(diǎn)，并且圓心在直線上的圓的方程．
【答案】
【詳解】法一（待定系數(shù)法）：
設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，
則有，解得，
∴圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是．
法二（幾何法）：
由題意知OP是圓的弦，其垂直平分線為．
∵弦的垂直平分線過(guò)圓心，
∴由，得，
即圓心坐標(biāo)為，半徑r＝＝5．
∴圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是．
【典例3】（2023春·河南·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）已知直線過(guò)點(diǎn)且與直線垂直，圓的圓心在直線上，且過(guò)，兩點(diǎn)．
(1)求直線的方程；
(2)求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．
【答案】(1)
(2)
【詳解】（1）由題設(shè)，
代入得，于是的方程為.
（2）設(shè)圓心，則，
即，
解得：，
，又圓心，
圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.
【變式1】（2023秋·新疆昌吉·高二校考期末）已知圓C的圓心在直線2x－y－7＝0上，且圓C與y軸交于兩點(diǎn)A(0，－4)，B(0，－2)，則圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為（ ）
A．(x－2)2＋(y－3)2＝5 B．(x－2)2＋(y＋3)2＝5
C．(x＋2)2＋(y＋3)2＝5 D．(x＋2)2＋(y－3)2＝5
【答案】B
【詳解】設(shè)圓心，因?yàn)椋裕?br/>解得，則半徑為，圓心.
即圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為.
故選：B
【變式2】（2023春·安徽·高二校聯(lián)考開學(xué)考試）已知直線過(guò)點(diǎn)，且與軸分別交于點(diǎn)，為等腰直角三角形．
(1)求的方程；
(2)設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)在軸負(fù)半軸，求過(guò)，，三點(diǎn)的圓的一般方程．
【答案】(1)或
(2)
【詳解】（1）因?yàn)橹本€過(guò)點(diǎn)，所以設(shè)直線為，，
令，得，所以
令，得，所以，
又因?yàn)闉榈妊苯侨切危裕?br/>得，
解或，
當(dāng)時(shí)直線過(guò)原點(diǎn)，不滿足題意，
故直線的方程為或，
即或.
（2）由題意可知直線的方程為，即，
設(shè)圓的方程為，
將，，代入
得，解得，
所以所求圓的方程為.
【變式3】（2023春·安徽·高二合肥市第八中學(xué)校聯(lián)考開學(xué)考試）已知圓的圓心在直線上，且圓過(guò)點(diǎn)，．
(1)求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)若圓與圓關(guān)于直線對(duì)稱，求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．
【答案】(1)；
(2).
【詳解】（1）解：設(shè)圓C的方程為，
已知圓的圓心在直線上，且圓過(guò)點(diǎn)，，
則，解得，
即圓C的方程為，
∴圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為．
（2）解：由（1）得圓C的圓心，半徑，
設(shè)圓的圓心坐標(biāo)為，∵圓與圓C關(guān)于直線對(duì)稱，
則有，解得，即．
∴圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．
題型07切線和切線長(zhǎng)問(wèn)題
【典例1】（2023秋·云南曲靖·高三校考期末）已知直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且與圓相切，則的方程為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【詳解】直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且與圓相切，則,
故直線的方程為，即.
故選：A.
【典例2】（2023春·北京東城·高三北京市第十一中學(xué)校考階段練習(xí)）已知圓，過(guò)直線上的動(dòng)點(diǎn)作圓的切線，切點(diǎn)為，則的最小值是（ ）
A． B．2 C． D．
【答案】D
【詳解】圓，圓心，半徑，
設(shè)圓心到直線：的距離為，則，
易得，則，
故當(dāng)圓心到直線上點(diǎn)的距離最小時(shí)，即圓心到直線的距離，此時(shí)最小，
因?yàn)椋裕?br/>故最小值是．
故選：D.
【典例3】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知為圓C：上任意一點(diǎn)，且點(diǎn)．
（1）求的最大值和最小值．
（2）求的最大值和最小值．
（3）求的最大值和最小值．
【答案】【小問(wèn)1】最大值為，最小值為
【小問(wèn)2】最大值為，最小值為
【小問(wèn)3】最大值為9，最小值為1
【詳解】（1）圓C：，如圖所示，連接QC交圓C于AB兩點(diǎn)，當(dāng)M與A重合時(shí)取得最小值，
即，
與B重合時(shí)取得最大值即，故最大值為，最小值為；
（2）易知，由圖形知當(dāng)與圓C相切時(shí)取得最值，如圖所示.
可設(shè)，則C到其距離為，解得，
故最大值為，最小值為
（3）設(shè)，如圖所示，即過(guò)點(diǎn)M的直線的截距，如圖所示，當(dāng)該直線與圓相切時(shí)截距取得最值.圓心C到該直線的距離為，所以或9，故最大值為9，最小值為1.
【變式1】（2023·陜西咸陽(yáng)·武功縣普集高級(jí)中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）已知圓為圓O上位于第一象限的一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)M作圓O的切線l．當(dāng)l的橫縱截距相等時(shí)，l的方程為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【詳解】由題意，點(diǎn)在第一象限，故過(guò)點(diǎn)M的的切線l斜率存在；
點(diǎn)在圓上，故，即
故直線l的方程為：
令令
當(dāng)l的橫縱截距相等時(shí)，
又
解得：
即，即
故選：A
【變式2】（2023春·上海楊浦·高二校考期中）已知圓心在軸上的圓經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)、．
(1)求此圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)求過(guò)點(diǎn)且與此圓相切的直線的一般式方程．
【答案】(1)
(2)或
【詳解】（1）解：設(shè)圓心的坐標(biāo)為，由可得，解得，
則圓的半徑為，
所以，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.
（2）解：若直線的斜率不存在，則直線的方程為，
圓心到直線的距離為，此時(shí)直線與圓相切，合乎題意；
若直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為，即，
由題意可得，解得，
此時(shí)，直線的方程為，即.
綜上所述，直線的方程為或.
【變式3】（2023秋·廣東清遠(yuǎn)·高二統(tǒng)考期末）已知的頂點(diǎn)分別為．
(1)求外接圓的方程；
(2)設(shè)P是直線上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作外接圓的一條切線，切點(diǎn)為Q，求最小值及點(diǎn)P的坐標(biāo)．
【答案】(1)
(2)，
【詳解】（1）設(shè)外接圓的方程為，
將分別代入圓方程可得，解得，
所以△ABC外接圓的方程為.
（2）外接圓的圓心為,半徑；
因?yàn)椋砸棺钚。恍枳钚〖纯桑?br/>當(dāng)時(shí)，最小，所以，
所以；
設(shè)，則；
解得，
即點(diǎn)P的坐標(biāo)為.
題型08弦長(zhǎng)問(wèn)題
【典例1】（2023秋·天津紅橋·高三統(tǒng)考期末）若直線被圓截得的弦長(zhǎng)為4，則的值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【詳解】由可得，
即圓心，半徑，
則圓心到直線的距離，
所以，即，解得，
故選：A
【典例2】（2023·海南·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知直線，直線過(guò)點(diǎn)且與直線相互垂直，圓，若直線與圓C交于M，N兩點(diǎn)，則_________．
【答案】
【詳解】由直線，可得斜率，
因?yàn)榍抑本€過(guò)點(diǎn)，所以直線的斜率為，
所以的方程為，
又由圓，即，
可得圓的圓心坐標(biāo)為，半徑為，
則圓心到直線的距離為，
所以弦長(zhǎng).
故答案為：.
【典例3】（2023·江西·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知直線，圓，，直線和圓交于，兩點(diǎn)．
(1)當(dāng)?shù)闹悬c(diǎn)為時(shí)，求圓的方程；
(2)已知圓的方程與（1）中所求圓的方程相同，若斜率存在且不為0的直線過(guò)點(diǎn)，與圓交于，兩點(diǎn)，為軸正半軸上一點(diǎn)，，，且直線與線段相交，求直線的斜率．
【答案】(1)
(2)
【詳解】（1）圓即，所以圓心，
當(dāng)?shù)闹悬c(diǎn)為時(shí)，所以，解得，
，，
圓的方程為；
（2）設(shè)直線的方程為，、，
聯(lián)立，消去得，
，，
設(shè)，，對(duì)恒成立，
，，
，
，
，，
對(duì)恒成立，
，解得，
，，
化簡(jiǎn)得，
解得或，
當(dāng)時(shí)，直線與軸的交點(diǎn)為，不符合題意，
當(dāng)時(shí)，直線與軸的交點(diǎn)為，符合題意，
故直線的斜率為．
【變式1】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）以點(diǎn)為圓心，3為半徑的圓與直線相交于A，B兩點(diǎn)，則的取值范圍為________.
【答案】
【詳解】對(duì)于直線l： 有 ，
令 ，解得 ，所以直線l過(guò)定點(diǎn) ，
又當(dāng) 時(shí)， 不存在， 所以直線l不過(guò)圓心，
，所以點(diǎn)Q在圓P內(nèi)，
當(dāng)是A，B的中點(diǎn)時(shí)，最短，又圓的直徑為6， .
故答案為： .
【變式2】（2023春·河北邯鄲·高三校聯(lián)考開學(xué)考試）若直線與圓相交于A，B兩點(diǎn)，當(dāng)取得最小值時(shí)，直線l的斜率為______.
【答案】2
【詳解】由題意，得圓C的圓心，半徑，直線l過(guò)定點(diǎn)，
因?yàn)椋渣c(diǎn)P在圓C內(nèi).
所以當(dāng)時(shí)，取得最小值，此時(shí)的斜率，故l的斜率為2.
故答案為：2.
【變式3】（2023春·上海浦東新·高二統(tǒng)考期中）已知圓，點(diǎn).
(1)求過(guò)點(diǎn)P的圓C的切線l的方程；
(2)若直線m過(guò)點(diǎn)P且被圓C截得的弦長(zhǎng)為8，求直線m的方程.
【答案】(1)
(2)或
【詳解】（1）解：當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，直線方程為：，
圓心到直線的距離為，不成立；
當(dāng)直線的斜率存在時(shí)：設(shè)直線方程為，即，
圓心到直線的距離等于半徑為：，
解得，所以直線方程為：，
即；
（2）當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，直線方程為：，
圓心到直線的距離為，則直線被截的弦長(zhǎng)為，成立；
當(dāng)直線的斜率存在時(shí)：設(shè)直線方程為，即，
圓心到直線的距離為：，
直線被截的弦長(zhǎng)為，解得，
所以直線方程為：，
即，
綜上：直線方程為：或
【變式4】（2023春·河南安陽(yáng)·高二安陽(yáng)一中校聯(lián)考開學(xué)考試）已知圓過(guò)兩點(diǎn)且圓心在直線上.
(1)求圓的方程；
(2)已知直線被圓截得的弦長(zhǎng)為，求實(shí)數(shù)的值.
【答案】(1)
(2)或
【詳解】（1）設(shè)，半徑為，
所以圓的方程為，
所以
解得
所以圓的方程為.
（2）圓心到直線的距離
由垂徑定理得，
解得或.
題型09三角形面積問(wèn)題
【典例1】（2023秋·高一單元測(cè)試）已知圓，M是y軸上的動(dòng)點(diǎn)，MA、MB分別與圓C相切于A、B兩點(diǎn)，
(1)如果點(diǎn)M的坐標(biāo)為，求直線MA、MB的方程；
(2)求面積的最大值．
【答案】(1)答案見(jiàn)解析；
(2).
【詳解】（1）由題意可知顯然切線斜率存在，故設(shè)過(guò)點(diǎn)的圓C的切線方程為，則圓心C到切線距離等于半徑1，即或.
則直線MA方程為，MB的方程為.或直線MA方程為，MB的方程為.
（2）設(shè)M，因MA、MB分別與圓C相切于A、B兩點(diǎn)，
則，則以M為圓心，為半徑的圓的方程為：，將其與圓C方程相減得直線AB方程：.則中，AB邊上的高，即C到直線AB距離為：，
則由垂徑定理，，
則，注意到函數(shù)在上單調(diào)遞增，，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào).
則面積的最大值為.
【典例2】（2023春·江西·高二校聯(lián)考開學(xué)考試）已知圓：，為圓上任意一點(diǎn)，
(1)求中點(diǎn)的軌跡方程.
(2)若經(jīng)過(guò)的直線與的軌跡相交于，在下列條件中選一個(gè)，求的面積.
條件①：直線斜率為；②原點(diǎn)到直線的距離為.
【答案】(1)
(2)答案見(jiàn)解析
【詳解】（1）依題意，設(shè)，
因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，，
所以,
將代入圓：，得，化簡(jiǎn)得，
故的軌跡方程為.
（2）記的軌跡為圓，則，半徑為，
選擇①：
因?yàn)橹本€斜率為，直線（即直線）經(jīng)過(guò)，
所以直線的方程為，即，
所以點(diǎn)到直線的距離為，
所以，
又點(diǎn)到直線的距離為，
所以.
選擇②：
當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，由直線（即直線）經(jīng)過(guò)，得直線為，
此時(shí)原點(diǎn)到直線的距離為，與原點(diǎn)到的距離為矛盾，舍去；
當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)直線為，即，
所以原點(diǎn)到直線的距離為，解得，
所以直線為，即，
此時(shí)點(diǎn)到直線的距離為，
所以，
所以.
【典例3】（2023春·上海閔行·高二校考階段練習(xí)）已知直線和的交點(diǎn)為，求：
(1)以點(diǎn)為圓心，且與直線相交所得弦長(zhǎng)為12的圓的方程；
(2)直線過(guò)點(diǎn)，且與兩坐標(biāo)軸的正半軸所圍成的三角形面積為，求直線的方程．
【答案】(1)
(2)或
【詳解】（1）直線和的交點(diǎn)為，
由，得，即，
點(diǎn)到直線的距離，
設(shè)所求圓的半徑為，
由垂徑定理得弦長(zhǎng)，解得，
所以所求圓的方程為；
（2）設(shè)過(guò)點(diǎn)，且與兩坐標(biāo)軸的正半軸所圍成的三角形面積為的直線的斜率為，則，
所以的方程為，即，
它與兩個(gè)坐標(biāo)軸的交點(diǎn)分別為，，
則，解得或，
當(dāng)時(shí)，直線的方程為，
當(dāng)時(shí)，直線的方程為，
綜上，直線的方程為或．
【變式1】（2023春·上海楊浦·高一上海市楊浦高級(jí)中學(xué)校考期末）已知直線.
(1)若直線不經(jīng)過(guò)第四象限，求k的取值范圍；
(2)若直線l交x軸負(fù)半軸于A，交y軸正半軸于B，的面積為S(O為坐標(biāo)原點(diǎn))，求S的最小值和此時(shí)直線l的方程.
【答案】(1)
(2)4；
【詳解】（1）直線可化為，
要使直線不經(jīng)過(guò)第四象限，則,
解得，
∴k的取值范圍為；
（2）由題意可得中取得,
取得,
故，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)取“=”，
此時(shí)S的最小值為4，直線l的方程為﹒
【變式2】（2023春·浙江·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）已知圓經(jīng)過(guò)，，三點(diǎn)，且交直線于，兩點(diǎn).
(1)求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)求的面積.
【答案】(1)
(2)
【詳解】（1）設(shè)圓,
則
∴圓
（2）因?yàn)榈街本€的距離為，
圓心到直線的距離為，
故弦長(zhǎng)，
所以.
題型10圓與圓的位置關(guān)系
【典例1】（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）當(dāng)為何值時(shí)，兩圓和.
(1)外切；
(2)相交；
(3)外離.
【答案】(1)或
(2)或
(3)或
【詳解】（1）設(shè)圓，半徑為，得，
圓心，.
，半徑為，得，圓心，.
圓心距，
因?yàn)閮蓤A外切，則，所以，
解得或.
（2）因?yàn)閮蓤A相交，則，
即，所以，解得或.
（3）因?yàn)閮蓤A外離，則，即 ，
所以，解得或.
【典例2】（2023秋·河北石家莊·高二石家莊二十三中校考期末）在平面直角坐標(biāo)系中，曲線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)都在圓上．
(1)求圓的方程；
(2)若圓與圓相交于A、B兩點(diǎn)，求弦長(zhǎng)．
【答案】(1)
(2)4
【詳解】（1）曲線與軸的交點(diǎn)為，與軸的交點(diǎn)為,，,．
可知圓心在直線上，故可設(shè)該圓的圓心為，
則有，解得，
故圓的半徑為，所以圓的方程為；
（2）的方程為．即
圓D：，即
兩圓方程相減，得相交弦AB所在直線方程為
圓C的圓心到直線距離為，
所以.
【變式1】（2023春·上海黃浦·高二上海市大同中學(xué)校考期中）已知圓經(jīng)過(guò)，圓.
(1)求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)若圓與圓相切，求的值.
【答案】(1)
(2)
【詳解】（1）設(shè)圓，因?yàn)閳A過(guò)三點(diǎn)，
則，所以，所以，
即；
（2）圓化為標(biāo)準(zhǔn)方程為，
因?yàn)閳A與圓的半徑相等，故兩圓不會(huì)內(nèi)切，只有外切，且，
則有，解得.
【變式2】（2023·高二課時(shí)練習(xí)）已知圓：與圓：，當(dāng)m為何值時(shí)，
(1)兩圓外切；
(2)兩圓內(nèi)含．
【答案】(1)或；
(2)
【詳解】（1）方程可化為，
所以圓的圓心坐標(biāo)為，半徑，
方程可化為，
所以圓的圓心坐標(biāo)為，半徑，
因?yàn)閳A與圓外切，
所以，
所以
所以或；
（2）因?yàn)閳A與圓內(nèi)含，
所以，
所以，
所以.
題型11兩圓公共線方程和公共弦長(zhǎng)
【典例1】（2023秋·湖南張家界·高二統(tǒng)考期末）已知兩圓，．
(1)取何值時(shí)兩圓外切？
(2)當(dāng)時(shí)，求兩圓的公共弦所在直線的方程和公共弦的長(zhǎng)．
【答案】(1)
(2)兩圓的公共弦所在直線的方程為，兩圓的公共弦的長(zhǎng)為
【詳解】（1）因?yàn)閳A的標(biāo)準(zhǔn)方程為，
所以兩圓的圓心分別為，，半徑分別為，.
當(dāng)兩圓外切時(shí)，圓心距為半徑之和，則，結(jié)合，
解得；
（2）當(dāng)時(shí)，圓的一般方程為
兩圓一般方程相減得：，
所以兩圓的公共弦所在直線的方程為
圓圓心到的距離為
故兩圓的公共弦的長(zhǎng)為．
【典例2】（2023·高二課時(shí)練習(xí)）已知圓與圓．
(1)求證：圓與圓相交；
(2)求兩圓公共弦所在直線的方程；
(3)求經(jīng)過(guò)兩圓交點(diǎn)，且圓心在直線上的圓的方程．
【答案】(1)證明見(jiàn)解析
(2)
(3)
【詳解】（1）證明：圓：化為標(biāo)準(zhǔn)方程為，
，
圓的圓心坐標(biāo)為，半徑為，
，
，兩圓相交；
（2）解：由圓與圓，
將兩圓方程相減，可得，
即兩圓公共弦所在直線的方程為；
（3）解：由，解得，
則交點(diǎn)為，，
圓心在直線上，設(shè)圓心為，
則，即，解得，
故圓心，半徑，
所求圓的方程為．
【典例3】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知圓和動(dòng)圓交于A，B兩點(diǎn)．
（1）若直線過(guò)原點(diǎn)，求a；
（2）若直線交軸于Q，當(dāng)面積最小時(shí)，求．
【答案】（1）；（2）.
【詳解】（1）由圓和動(dòng)圓，
可得圓心坐標(biāo)分別為，半徑都是，
因?yàn)閳A和動(dòng)圓交于A，B兩點(diǎn)，
可得圓心距小于半徑之和，,即，解得，
又由兩圓相減，可得公共弦直線，
因?yàn)橹本€過(guò)原點(diǎn)，可得，解得，檢驗(yàn)成立，
所以實(shí)數(shù)的值為.
（2）由直線，
令，即，解得，即
則，
所以當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取得等號(hào)，且滿足，
此時(shí)直線，
又由圓心到直線距離為，所以弦長(zhǎng)為.
【變式1】（2023秋·重慶渝北·高二重慶市兩江育才中學(xué)校校考期末）已知圓過(guò)點(diǎn)，且圓心在直線，圓．
(1)求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)求圓與圓的公共弦所在的直線方程及公共弦長(zhǎng)．
【答案】(1)
(2)直線方程為，公共弦長(zhǎng)為
【詳解】（1）由題意可設(shè)圓心，
則，
解得，
此時(shí)圓的半徑為，
所以圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：；
（2）將兩圓的方程作差即可得出兩圓的公共弦所在的直線方程，
即，
化簡(jiǎn)得，
所以圓的圓心到直線的距離為，
則，
解得，
所以所求公共弦長(zhǎng)為．
所以圓與圓的公共弦所在的直線方程為，公共弦長(zhǎng)為
【變式2】（2023春·甘肅蘭州·高二校考開學(xué)考試）已知兩圓C1：x2＋y2﹣2x﹣6y﹣1＝0，C2：x2＋y2﹣10x﹣12y＋45＝0．
(1)求證：圓C1和圓C2相交；
(2)求圓C1和圓C2的公共弦所在直線方程和公共弦長(zhǎng)．
【答案】(1)證明見(jiàn)解析
(2)4x＋3y－23＝0；公共弦長(zhǎng)
【詳解】（1）圓C1：x2＋y2－2x－6y－1＝0的圓心C1（1，3），半徑，
C2：x2＋y2－10x－12y＋45＝0的圓C2（5，6），半徑，
|C1C2|＝，
∵4－＜|C1C2|＝5＜4＋，
∴圓C1和圓C2相交．
（2）∵兩圓C1：x2＋y2－2x－6y－1＝0，C2：x2＋y2－10x－12y＋45＝0，
∴兩圓相減，得圓C1和圓C2的公共弦所在直線方程為：
8x＋6y－46＝0，即4x＋3y－23＝0．
圓心C2（5，6）到直線4x＋3y－23＝0的距離，
∴圓C1和圓C2的公共弦長(zhǎng)．
【變式3】（2023秋·江西吉安·高二江西省泰和中學(xué)校考期末）已知圓和相交于兩點(diǎn)．
(1)求直線的方程，
(2)求弦長(zhǎng)
【答案】(1)
(2)
【詳解】（1）因?yàn)閳A，圓，
兩圓方程相減得 即，
所以直線的方程為.
（2）由圓可得，
所以圓心，半徑，
圓心到直線：的距離是，
所以.
【變式4】（2023春·四川達(dá)州·高二校考期中）已知兩圓.
求：（1）它們的公共弦所在直線的方程；
（2）公共弦長(zhǎng).
【答案】（1）；（2）
【詳解】（1）聯(lián)立兩圓的方程：；
兩式相減得：，
所以兩圓的公共弦所在直線的方程為．
（2）由題可知，圓的圓心為，半徑為，
圓心到直線的距離為，
所以公共弦長(zhǎng)為：．
題型12與圓有關(guān)的最值問(wèn)題
【典例1】（2023秋·廣西河池·高二統(tǒng)考期末）已知圓與圓關(guān)于直線對(duì)稱.
(1)求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)直線與圓相交于兩點(diǎn)，且的外接圓的圓心在內(nèi)部，求的取值范圍.
【答案】(1)
(2)
【詳解】（1）設(shè)，則，
解得
所以圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；
（2）因?yàn)榈耐饨訄A的圓心在內(nèi)部，
所以是銳角三角形，
又是以為腰的等腰三角形，
，
令到的距離為，則，
，
解得：.

【典例2】（2023春·江蘇南通·高三海安高級(jí)中學(xué)校考階段練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，過(guò)點(diǎn)且互相垂直的兩條直線分別與橢圓交于點(diǎn)，與圓交于點(diǎn)．
(1)若，求的斜率；
(2)記中點(diǎn)為，求面積的取值范圍．
【答案】(1)
(2)
【詳解】（1）由題意得，直線的斜率存在，設(shè)為，所以，
由，半徑知，圓心到的距離為，
所以，解得，
因?yàn)榕c垂直，所以的斜率為．
（2）當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，
直線，與聯(lián)立可得，，，
此時(shí)，與重合，由，可得，且，
所以．
當(dāng)直線的斜率存在，設(shè)，，
所以，即，
所以恒成立，，，
所以，
因?yàn)椋裕?br/>所以，而到的距離為，
所以，
令，則，
所以，
顯然，所以由與圓相交得，
故，所以，所以，故，
綜上：．
【典例3】（2023秋·福建福州·高二福建省福州第一中學(xué)校考期末）已知圓.
(1)設(shè)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)M作直線l與圓C交于A，B兩點(diǎn)，若，求直線l的方程；
(2)設(shè)P是直線上一點(diǎn)，過(guò)P作圓C的切線PE，PF，切點(diǎn)分別為E，F(xiàn)，求的最小值.
【答案】(1)或；
(2)50.
【詳解】（1）圓的圓心，半徑，
因?yàn)橹本€l被圓C截得的弦AB長(zhǎng)為8，則圓心C到直線l的距離為，
因?yàn)辄c(diǎn)到直線的距離為3，因此直線l的方程可為：，
當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)直線l的方程為：，即，
則有，解得，直線l的方程為：，即，
所以直線l的方程為或.
（2）由（1）知，圓心到直線的距離，
依題意，，≌，PC垂直平分弦EF，如圖，
四邊形面積，
于是
，當(dāng)且僅當(dāng)垂直于直線時(shí)取等號(hào)，
所以的最小值為50.
【變式1】（2023春·湖北·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）已知圓，直線.
(1)證明：直線和圓恒有兩個(gè)交點(diǎn)；
(2)若直線和圓交于兩點(diǎn)，求的最小值及此時(shí)直線的方程.
【答案】(1)證明見(jiàn)解析
(2)最小值為，此時(shí)直線方程為
【詳解】（1）直線，即，
聯(lián)立解得所以不論取何值，直線必過(guò)定點(diǎn).
圓，圓心坐標(biāo)為，半徑，
因?yàn)椋渣c(diǎn)在圓內(nèi)部，
則直線與圓恒有兩個(gè)交點(diǎn).
（2）直線經(jīng)過(guò)圓內(nèi)定點(diǎn)，圓心，
記圓心到直線的距離為d.
因?yàn)椋援?dāng)d最大時(shí)，取得最小值，
所以當(dāng)直線時(shí)，被圓截得的弦最短，
此時(shí)，
因?yàn)椋灾本€的斜率為，又直線過(guò)點(diǎn)，
所以當(dāng)取得最小值時(shí)，直線的方程為，即，
綜上：最小值為，此時(shí)直線方程為.

【變式2】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知圓,,若斜率為的直線l與圓C相交于不同的兩點(diǎn)，求的取值范圍.
【答案】
【詳解】設(shè)直線l的方程為，
由題意直線l與圓C相交于不同兩點(diǎn)，故，解得﹒
聯(lián)立，
消去y得，設(shè)
則，，
，
由于，∴ ，
故的取值范圍是．
題型13軌跡方程
【典例1】（2023春·河南南陽(yáng)·高二鎮(zhèn)平縣第一高級(jí)中學(xué)校考階段練習(xí)）已知圓：．
(1)求圓的圓心坐標(biāo)及半徑；
(2)設(shè)直線：
①求證：直線與圓恒相交；
②若直線與圓交于，兩點(diǎn)，弦的中點(diǎn)為，求點(diǎn)的軌跡方程，并說(shuō)明它是什么曲線．
【答案】(1)圓心坐標(biāo)為，半徑長(zhǎng)為2
(2)①證明見(jiàn)解析；②的軌跡方程為，它表示以為圓心，以為半徑的圓（去除與軸的交點(diǎn)）
【詳解】（1）由圓的標(biāo)準(zhǔn)方程知，圓的圓心坐標(biāo)為，半徑長(zhǎng)為2．
（2）①證明：直線恒過(guò)點(diǎn)，
因?yàn)椋渣c(diǎn)在圓內(nèi)部，即直線與圓恒相交．
②解：設(shè)，其中，則，，
由垂徑定理知，，

所以，即，整理得，
所以點(diǎn)的軌跡方程為，它表示以為圓心，以為半徑的圓（去除與軸的交點(diǎn)）．
【典例2】（2023春·上海靜安·高二校考期中）已知圓的方程為，過(guò)點(diǎn)作直線l交圓于A、B兩點(diǎn)．
(1)當(dāng)直線l的斜率為1時(shí)，求弦AB的長(zhǎng)；
(2)當(dāng)直線l的斜率變化時(shí)，求動(dòng)弦AB的中點(diǎn)Q的軌跡方程．
【答案】(1)
(2)，其中.
【詳解】（1）直線l的斜率為1時(shí)，此時(shí)過(guò)P的直線可表示為：，
設(shè)圓心到的距離為d,圓的半徑為r，則.
由題意可得r=3，，所以.
（2）
如圖所示，根據(jù)垂徑定理，易知AB中點(diǎn)Q與O的連線垂直于AB，即可得Q在以O(shè)P為直徑的圓上，同時(shí)Q應(yīng)在圓內(nèi)，即圓弧.
設(shè)圓心為C，則，，則Q在上，與聯(lián)立可得
故Q軌跡方程為，其中.
【典例3】（2023春·上海閔行·高二校考階段練習(xí)）已知圓，直線．
(1)判斷直線與圓的位置關(guān)系；
(2)設(shè)直線與圓相交于，兩點(diǎn)，且，求直線的方程；
(3)設(shè)直線與圓相交于，兩點(diǎn)，求弦中點(diǎn)的軌跡方程．
【答案】(1)相交
(2)或
(3)
【詳解】（1）直線l：，過(guò)定點(diǎn)，
圓C的圓心到該點(diǎn)的距離為，所以直線l過(guò)圓內(nèi)一點(diǎn)，直線與圓相交.
（2）設(shè)圓心到直線的距離為d，因?yàn)椋瑒t，
解得，所以，，
直線方程為或.
（3）直線l：，過(guò)定點(diǎn)，
設(shè)弦AB的中點(diǎn)，則，
所以，即，
所以弦AB的中點(diǎn)的軌跡方程為.
【變式1】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知圓.過(guò)原點(diǎn)的動(dòng)直線與圓相交于不同的兩點(diǎn)，求線段AB的中點(diǎn)M的軌跡方程.
【答案】，其中.
【詳解】
當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)直線，，其中點(diǎn)，
聯(lián)立方程組，整理得，
則，解得或，
且，則
可得，
消去，可得，其中，
當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，線段AB的中點(diǎn)為，符合，
故線段AB的中點(diǎn)M的軌跡方程為，其中.
【變式2】（2023春·湖北·高二宜昌市三峽高級(jí)中學(xué)校聯(lián)考期中）已知圓.
(1)若直線過(guò)點(diǎn)且被圓截得的弦長(zhǎng)為2，求直線的方程；
(2)從圓外一點(diǎn)向圓引一條切線，切點(diǎn)為，為坐標(biāo)原點(diǎn)，滿足，求點(diǎn)的軌跡方程.
【答案】(1)或
(2)
【詳解】（1）根據(jù)題意，圓的方程為：，其圓心為，半徑為，
當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，其方程為，
此時(shí)直線與圓的交點(diǎn)為，，，符合題意；
當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)其方程為，即，
則圓心到直線的距離，解得，
所以直線的方程為，
綜上，直線的方程為或；
（2）如圖，為圓的切線，連接，，則，
所以為直角三角形，即.
設(shè)，由（1）知，，
因?yàn)椋裕?br/>化簡(jiǎn)得點(diǎn)的軌跡方程為.
題型14圓的對(duì)稱問(wèn)題
【典例1】（2023秋·安徽蚌埠·高二統(tǒng)考期末）若 圓被直線平分，則圓的半徑為__________.
【答案】
【詳解】若圓被直線平分，則直線過(guò)圓心，
圓的圓心為，即，
解得：，
則圓，則圓的半徑為.
故答案為：
【典例2】（2023·江蘇·高二假期作業(yè)）已知圓關(guān)于直線成軸對(duì)稱圖形，則________；的取值范圍是________.
【答案】
【詳解】因?yàn)閳A可化為，所以其圓心為，
由題意知，直線過(guò)圓心，所以，得，
而圓的半徑滿足，故．
故答案為：；.
【典例3】（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）求圓關(guān)于直線的對(duì)稱圓方程.
【答案】
【詳解】由可得，
故圓心坐標(biāo)為 ，半徑為1，
設(shè)點(diǎn)P關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為 ，
則有 ，解得，故 ，
所以圓關(guān)于直線的對(duì)稱圓的方程為：.
【變式1】（2023春·廣東汕尾·高二陸豐市龍山中學(xué)校考階段練習(xí)）若直線為圓的一條對(duì)稱軸，則__________．
【答案】1
【詳解】由題可知，圓心為，
因?yàn)橹本€是圓的對(duì)稱軸，所以圓心在直線上，
即，解得．
故答案為：1.
【變式2】（2023秋·四川涼山·高二統(tǒng)考期末）圓關(guān)于直線對(duì)稱的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為___________.
【答案】
【詳解】圓，即，
表示以為圓心，半徑為1的圓，
設(shè)圓心關(guān)于直線對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為，
由，
解得，，
故圓心關(guān)于直線對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為，
故對(duì)稱圓的圓心為，
因?yàn)閷?duì)稱圓半徑不變，所以對(duì)稱圓半徑為1，
故所求對(duì)稱圓方程為.
故答案為：.
三、數(shù)學(xué)思想
01函數(shù)與方程的思想
【典例1】（2023·山東泰安·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知直線與圓，過(guò)直線上的任意一點(diǎn)向圓引切線，設(shè)切點(diǎn)為，若線段長(zhǎng)度的最小值為，則實(shí)數(shù)的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【詳解】圓，設(shè)，
則，則，，
則，所以圓心到直線的距離是，
，得，．
故選：A．
【典例2】（2023·陜西西安·陜西師大附中校考模擬預(yù)測(cè)）在平面直角坐標(biāo)系中，圓和外切形成一個(gè)8字形狀，若，為圓M上兩點(diǎn)，B為兩圓圓周上任一點(diǎn)（不同于點(diǎn)A，P），則的最大值為______．
【答案】/
【詳解】圓，，為圓上兩點(diǎn)，
可得，解得，，所以，圓，
滿足圓和外切，
為兩圓圓周上任一點(diǎn)（不同于點(diǎn)，，如果取得最大值，可知在上，設(shè)，
則,,，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取得最大值．
故答案為：

【典例3】（2023·高二課時(shí)練習(xí)）已知，，動(dòng)點(diǎn)M滿足，則點(diǎn)M的軌跡方程是______．
【答案】
【詳解】設(shè)，則，.
因?yàn)椋?br/>所以，，
整理可得，，
即.
所以，點(diǎn)M的軌跡是圓，方程為.
故答案為：.
02數(shù)形結(jié)合思想
【典例1】（2022秋·廣東肇慶·高二校考期中）已知兩點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)的直線與線段有交點(diǎn)，則直線的傾斜角的取值范圍為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【詳解】由題意：如下圖所示：
所以，，則，
若直線的傾斜角，則，所以，
故選：.
【典例21】（2022秋·湖南懷化·高二校考階段練習(xí)）已知、，直線過(guò)點(diǎn)，且與線段相交，則直線的斜率取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【詳解】設(shè)直線交線段于點(diǎn)，記點(diǎn)，如下圖所示：
當(dāng)直線從點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)（不包括點(diǎn)）時(shí)，直線的傾斜角逐漸減小，且為鈍角，
此時(shí)直線的斜率；
當(dāng)直線從點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)（不包括點(diǎn)）時(shí)直線的傾斜角逐漸增大，且為銳角，
此時(shí)直線的斜率.
綜上所述，直線的斜率的取值范圍是.
故選：C.
【典例3】（2023春·湖南岳陽(yáng)·高二統(tǒng)考期末）已知圓，過(guò)點(diǎn)的直線被該圓所截的弦長(zhǎng)的最小值為______.
【答案】
【詳解】將圓的一般方程化為
設(shè)圓心為，直線過(guò)點(diǎn)，與圓交于，兩點(diǎn)，則，半徑，

設(shè)圓心到直線的距離為，則弦長(zhǎng) ，
當(dāng)直線與所在的直線垂直時(shí)最大，此時(shí)最小，
這時(shí)，
所以最小的弦長(zhǎng) ，
故答案為：.
03分類討論思想
【典例1】（2023春·四川廣安·高二廣安二中校考階段練習(xí)）已知在平面直角坐標(biāo)系xOy中，，，平面內(nèi)動(dòng)點(diǎn)P滿足．
(1)求點(diǎn)P的軌跡方程；
(2)點(diǎn)P軌跡記為曲線，若C，D是曲線與x軸的交點(diǎn)，E為直線l：x＝4上的動(dòng)點(diǎn)，直線CE，DE與曲線的另一個(gè)交點(diǎn)分別為M，N，直線MN與x軸交點(diǎn)為Q，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)．
【答案】(1)
(2)．
【詳解】（1）設(shè)點(diǎn)為曲線上任意一點(diǎn)，
因?yàn)椋?br/>則，
化簡(jiǎn)得．
（2）由題意得，，
設(shè)，則直線的方程為，
直線的方程為，
聯(lián)立得，
則，
即，，
所以
聯(lián)立得，
則，即，，
所以
當(dāng)時(shí)，直線的斜率，
則直線的方程為，
即，所以，
當(dāng)時(shí)，直線垂直于軸，方程為，也過(guò)定點(diǎn)．
綜上，直線恒過(guò)定點(diǎn)．
而，
化簡(jiǎn)得，解得或，
當(dāng)時(shí)，直線為，顯然過(guò)點(diǎn)，不符合題意，舍去，
故，直線為，顯然過(guò)定點(diǎn)，而直線也過(guò)，
綜上：直線過(guò)定點(diǎn).
04轉(zhuǎn)化與化歸思想
【典例1】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）求函數(shù)的最大值及最小值．
【答案】最大值為，最小值為0
【詳解】解：表示過(guò)，的直線的斜率，
由幾何意義，即過(guò)定點(diǎn)與單位圓相切時(shí)的切線斜率為最值，
所以設(shè)切線的斜率為，則直線方程為，即，
則，解得或，
所以函數(shù)的最大值為，最小值為0．
【典例2】（2020·吉林長(zhǎng)春·高二長(zhǎng)春外國(guó)語(yǔ)學(xué)校校考期中）已知點(diǎn)在圓上.
（1）求的最大值和最小值；
（2）求的最大值和最小值；
（3）求的最大值和最小值.
【答案】（1）最大值為，最小值為；（2）最大值為，最小值為；（3）最大值為，最小值為.
【詳解】（1）設(shè)，則，可視為直線在軸上的截距，
∴的最大值和最小值就是直線與圓有公共點(diǎn)時(shí)直線縱截距的最大值和最小值，
即直線與圓相切時(shí)在軸上的截距.
由直線與圓相切得圓心到直線的距離等于半徑，即，
解得或，
∴的最大值為，最小值為.
（2）可視為點(diǎn)與原點(diǎn)連線的斜率，的最大值和最小值就是與該圓有公共點(diǎn)的過(guò)原點(diǎn)的直線斜率的最大值和最小值，即直線與圓相切時(shí)的斜率.
設(shè)過(guò)原點(diǎn)的直線的方程為，由直線與圓相切得圓心到直線的距離等于半徑，即，解得或.
∴的最大值為，最小值為
（3）求它的最值可視為求點(diǎn) 到定點(diǎn)的距離的最值，可轉(zhuǎn)化為圓心到定點(diǎn)的距離與半徑的和或差.又圓心到定點(diǎn)的距離為，
∴的最大值為，最小值為.
【典例3】（2020秋·福建·高二校考期中）已知點(diǎn)在圓上.
（1）求的最大值和最小值；
（2）求的最大值與最小值；
（3）求的最大值與最小值
【答案】（1）的最大值是，最小值為；（2） 的最大值為51，的最小值為11；（3）的最大值為，最小值為．
【詳解】（1）圓即為，
可得圓心為，半徑為，
設(shè)，即，
則圓心到直線的距離，
即，
平方得，
解得：，
故的最大值是，最小值為；
（2）表示點(diǎn)與的距離的平方加上2，
連接，交圓于，延長(zhǎng)，交圓于，
可得為最短，且為，
為最長(zhǎng)，且為，
則 的最大值為，
的最小值為；
（3）圓即為，
令，，
則，
，
，
的最大值為，最小值為．
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21世紀(jì)教育網(wǎng)(www.21cnjy.com)第11講 第二章 直線和圓的方程 章末總結(jié)
一、思維導(dǎo)圖
二、題型精講
題型01直線的傾斜角和斜率
【典例1】（2023春·上海黃浦·高二上海市敬業(yè)中學(xué)校考期中）直線的傾斜角的取值范圍是（ ）
A． B． C．D．
【典例2】（2023秋·安徽六安·高二六安一中校考期末）已知直線和以，為端點(diǎn)的線段相交，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（ ）
A． B．
C．或 D．或
【典例3】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）直線的傾斜角的取值范圍是_______.
【變式1】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）若過(guò)點(diǎn)的直線與以點(diǎn)為端點(diǎn)的線段相交，則直線的傾斜角取值范圍為（ ）
A． B．C．D．
【變式2】（2023·江蘇·高二假期作業(yè)）已知點(diǎn)、，若直線過(guò)點(diǎn)且總與線段有交點(diǎn)，求直線的斜率的取值范圍．
題型02直線方程
【典例1】（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）過(guò)點(diǎn)且在坐標(biāo)軸上的截距相等的直線一般式方程為__________．
【典例2】（2023秋·廣西防城港·高二統(tǒng)考期末）已知直線與軸，軸的交點(diǎn)分別為.直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)且傾斜角為.
(1)求直線的一般方程；
(2)求線段的中垂線方程.
【典例3】（2023·全國(guó)·高三對(duì)口高考）過(guò)點(diǎn)作直線分別交，的正半軸于，兩點(diǎn)．

(1)求面積的最小值及相應(yīng)的直線的方程；
(2)當(dāng)取最小值時(shí)，求直線的方程；
(3)當(dāng)取最小值時(shí)，求直線的方程．
【變式1】（2023秋·廣東廣州·高二校考期末）過(guò)點(diǎn)，傾斜角是直線的傾斜角的一半的直線方程為____________．
【變式2】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）若過(guò)點(diǎn)且互相垂直的兩條直線分別與軸、軸交于、兩點(diǎn)，則中點(diǎn)的軌跡方程為______.
【變式31】（2023春·重慶沙坪壩·高一重慶南開中學(xué)校考期末）已知、在直線上.
(1)求直線的方程；
(2)若直線傾斜角是直線傾斜角的2倍，且與的交點(diǎn)在軸上，求直線的方程.
【變式4】（2023·江蘇·高二假期作業(yè)）已知的三個(gè)頂點(diǎn)分別為．
(1)求邊和所在直線的方程；
(2)求邊上的中線所在直線的方程．
題型03兩直線的平行與垂直
【典例1】（2023秋·河南平頂山·高二統(tǒng)考期末）已知，“直線與平行”是“”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件
【典例2】（2023秋·四川涼山·高二寧南中學(xué)校考期末）已知，，直線：，：，且，則的最小值為（ ）
A．2 B．4 C．8 D．9
【典例3】（2023春·浙江溫州·高二校考階段練習(xí)）“”是“直線：與直線：互相垂直”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
【變式1】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知直線，，且，則的最小值為（ ）
A． B． C． D．
【變式2】（2023·上海·高二專題練習(xí)）已知直線，，若，則的值是___________.
題型04兩直線的交點(diǎn)與距離問(wèn)題
【典例1】（2023春·重慶沙坪壩·高一重慶八中校考期末）已知直線：，直線過(guò)點(diǎn)且與直線垂直.
(1)求直線的方程；
(2)直線與直線關(guān)于軸對(duì)稱，求直線，，所圍成的三角形的面積.
【典例2】（2023·高二課時(shí)練習(xí)）已知點(diǎn)，點(diǎn)P在x軸上使最大，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．
【典例3】（2023·高三課時(shí)練習(xí)）已知點(diǎn)，且，.
(1)求直線CD的方程；
(2)求點(diǎn)C的坐標(biāo)，并求四邊形ABCD的面積.
【變式1】（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）求過(guò)直線和的交點(diǎn)并且與原點(diǎn)距離為1的直線l的方程．
【變式2】（2023秋·青海西寧·高二校聯(lián)考期末）已知的三個(gè)頂點(diǎn)分別為．求：
(1)邊上的中線所在直線的方程；
(2)的面積．
【變式3】（2023春·重慶沙坪壩·高一重慶八中校考期末）已知點(diǎn)，，點(diǎn)在軸上，則的取值范圍是______.

題型05直線中的對(duì)稱問(wèn)題
【典例1】（2023秋·吉林白城·高二校考期末）點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為（ ）
A． B． C． D．
【典例2】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）的頂點(diǎn)，邊上的中線所在的直線為，的平分線所在直線方程為，求邊所在直線的方程（ ）
A． B．
C． D．
【典例3】（2023·上海·高二專題練習(xí)）一束光從光源射出，經(jīng)軸反射后（反射點(diǎn)為），射到線段上處．
(1)若，求光從出發(fā)，到達(dá)點(diǎn)時(shí)所走過(guò)的路程；
(2)若，求反射光的斜率的取值范圍；
(3)若，求光從出發(fā)，到達(dá)點(diǎn)時(shí)所走過(guò)的最短路程．
【典例4】（2023秋·江西吉安·高二吉安三中校考期末）已知直線l：3x－y＋3＝0，求：
(1)點(diǎn)P(4,5)關(guān)于l的對(duì)稱點(diǎn)；
(2)直線x－y－2＝0關(guān)于直線l對(duì)稱的直線方程；
(3)直線l關(guān)于(1,2)的對(duì)稱直線．
【變式1】（2023春·上海楊浦·高一上海市楊浦高級(jí)中學(xué)校考期末）設(shè)直線與關(guān)于直線對(duì)稱，則直線的方程是（　　）
A． B．
C． D．
【變式2】（2023·高二課時(shí)練習(xí)）已知A（3，1），B（-1，2），若的平分線在上，求AC所在的直線方程．
【變式3】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知直線，點(diǎn)．求：
(1)點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)；
(2)直線關(guān)于直線對(duì)稱的直線的方程；
(3)直線關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱的直線的方程．
【變式4】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）直線關(guān)于直線對(duì)稱的直線方程是_______．
題型06圓的方程
【典例1】（2023春·河南開封·高二統(tǒng)考期末）已知圓心為的圓經(jīng)過(guò)，兩點(diǎn)，且圓心在直線上．
(1)求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)求與直線平行且與圓相切的直線方程．
【典例2】（2023·江蘇·高二假期作業(yè)）求經(jīng)過(guò)點(diǎn)和坐標(biāo)原點(diǎn)，并且圓心在直線上的圓的方程．
【典例3】（2023春·河南·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）已知直線過(guò)點(diǎn)且與直線垂直，圓的圓心在直線上，且過(guò)，兩點(diǎn)．
(1)求直線的方程；
(2)求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．
【變式1】（2023秋·新疆昌吉·高二校考期末）已知圓C的圓心在直線2x－y－7＝0上，且圓C與y軸交于兩點(diǎn)A(0，－4)，B(0，－2)，則圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為（ ）
A．(x－2)2＋(y－3)2＝5 B．(x－2)2＋(y＋3)2＝5
C．(x＋2)2＋(y＋3)2＝5 D．(x＋2)2＋(y－3)2＝5
【變式2】（2023春·安徽·高二校聯(lián)考開學(xué)考試）已知直線過(guò)點(diǎn)，且與軸分別交于點(diǎn)，為等腰直角三角形．
(1)求的方程；
(2)設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)在軸負(fù)半軸，求過(guò)，，三點(diǎn)的圓的一般方程．
【變式3】（2023春·安徽·高二合肥市第八中學(xué)校聯(lián)考開學(xué)考試）已知圓的圓心在直線上，且圓過(guò)點(diǎn)，．
(1)求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)若圓與圓關(guān)于直線對(duì)稱，求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．
題型07切線和切線長(zhǎng)問(wèn)題
【典例1】（2023秋·云南曲靖·高三校考期末）已知直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且與圓相切，則的方程為（ ）
A． B． C． D．
【典例2】（2023春·北京東城·高三北京市第十一中學(xué)校考階段練習(xí)）已知圓，過(guò)直線上的動(dòng)點(diǎn)作圓的切線，切點(diǎn)為，則的最小值是（ ）
A． B．2 C． D．
【典例3】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知為圓C：上任意一點(diǎn)，且點(diǎn)．
（1）求的最大值和最小值．
（2）求的最大值和最小值．
（3）求的最大值和最小值．
【變式1】（2023·陜西咸陽(yáng)·武功縣普集高級(jí)中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）已知圓為圓O上位于第一象限的一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)M作圓O的切線l．當(dāng)l的橫縱截距相等時(shí)，l的方程為（ ）
A． B．
C． D．
【變式2】（2023春·上海楊浦·高二校考期中）已知圓心在軸上的圓經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)、．
(1)求此圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)求過(guò)點(diǎn)且與此圓相切的直線的一般式方程．
【變式3】（2023秋·廣東清遠(yuǎn)·高二統(tǒng)考期末）已知的頂點(diǎn)分別為．
(1)求外接圓的方程；
(2)設(shè)P是直線上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作外接圓的一條切線，切點(diǎn)為Q，求最小值及點(diǎn)P的坐標(biāo)．
題型08弦長(zhǎng)問(wèn)題
【典例1】（2023秋·天津紅橋·高三統(tǒng)考期末）若直線被圓截得的弦長(zhǎng)為4，則的值為（ ）
A． B． C． D．
【典例2】（2023·海南·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知直線，直線過(guò)點(diǎn)且與直線相互垂直，圓，若直線與圓C交于M，N兩點(diǎn)，則_________．
【典例3】（2023·江西·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知直線，圓，，直線和圓交于，兩點(diǎn)．
(1)當(dāng)?shù)闹悬c(diǎn)為時(shí)，求圓的方程；
(2)已知圓的方程與（1）中所求圓的方程相同，若斜率存在且不為0的直線過(guò)點(diǎn)，與圓交于，兩點(diǎn)，為軸正半軸上一點(diǎn)，，，且直線與線段相交，求直線的斜率．
【變式1】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）以點(diǎn)為圓心，3為半徑的圓與直線相交于A，B兩點(diǎn)，則的取值范圍為________.
【變式2】（2023春·河北邯鄲·高三校聯(lián)考開學(xué)考試）若直線與圓相交于A，B兩點(diǎn)，當(dāng)取得最小值時(shí)，直線l的斜率為______.
【變式3】（2023春·上海浦東新·高二統(tǒng)考期中）已知圓，點(diǎn).
(1)求過(guò)點(diǎn)P的圓C的切線l的方程；
(2)若直線m過(guò)點(diǎn)P且被圓C截得的弦長(zhǎng)為8，求直線m的方程.
【變式4】（2023春·河南安陽(yáng)·高二安陽(yáng)一中校聯(lián)考開學(xué)考試）已知圓過(guò)兩點(diǎn)且圓心在直線上.
(1)求圓的方程；
(2)已知直線被圓截得的弦長(zhǎng)為，求實(shí)數(shù)的值.
題型09三角形面積問(wèn)題
【典例1】（2023秋·高一單元測(cè)試）已知圓，M是y軸上的動(dòng)點(diǎn)，MA、MB分別與圓C相切于A、B兩點(diǎn)，
(1)如果點(diǎn)M的坐標(biāo)為，求直線MA、MB的方程；
(2)求面積的最大值．
【典例2】（2023春·江西·高二校聯(lián)考開學(xué)考試）已知圓：，為圓上任意一點(diǎn)，
(1)求中點(diǎn)的軌跡方程.
(2)若經(jīng)過(guò)的直線與的軌跡相交于，在下列條件中選一個(gè)，求的面積.
條件①：直線斜率為；②原點(diǎn)到直線的距離為.
【典例3】（2023春·上海閔行·高二校考階段練習(xí)）已知直線和的交點(diǎn)為，求：
(1)以點(diǎn)為圓心，且與直線相交所得弦長(zhǎng)為12的圓的方程；
(2)直線過(guò)點(diǎn)，且與兩坐標(biāo)軸的正半軸所圍成的三角形面積為，求直線的方程．
【變式1】（2023春·上海楊浦·高一上海市楊浦高級(jí)中學(xué)校考期末）已知直線.
(1)若直線不經(jīng)過(guò)第四象限，求k的取值范圍；
(2)若直線l交x軸負(fù)半軸于A，交y軸正半軸于B，的面積為S(O為坐標(biāo)原點(diǎn))，求S的最小值和此時(shí)直線l的方程.
【變式2】（2023春·浙江·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）已知圓經(jīng)過(guò)，，三點(diǎn)，且交直線于，兩點(diǎn).
(1)求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)求的面積.
題型10圓與圓的位置關(guān)系
【典例1】（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）當(dāng)為何值時(shí)，兩圓和.
(1)外切；
(2)相交；
(3)外離.
【典例2】（2023秋·河北石家莊·高二石家莊二十三中校考期末）在平面直角坐標(biāo)系中，曲線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)都在圓上．
(1)求圓的方程；
(2)若圓與圓相交于A、B兩點(diǎn)，求弦長(zhǎng)．
【變式1】（2023春·上海黃浦·高二上海市大同中學(xué)校考期中）已知圓經(jīng)過(guò)，圓.
(1)求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)若圓與圓相切，求的值.
【變式2】（2023·高二課時(shí)練習(xí)）已知圓：與圓：，當(dāng)m為何值時(shí)，
(1)兩圓外切；
(2)兩圓內(nèi)含．
題型11兩圓公共線方程和公共弦長(zhǎng)
【典例1】（2023秋·湖南張家界·高二統(tǒng)考期末）已知兩圓，．
(1)取何值時(shí)兩圓外切？
(2)當(dāng)時(shí)，求兩圓的公共弦所在直線的方程和公共弦的長(zhǎng)．
【典例2】（2023·高二課時(shí)練習(xí)）已知圓與圓．
(1)求證：圓與圓相交；
(2)求兩圓公共弦所在直線的方程；
(3)求經(jīng)過(guò)兩圓交點(diǎn)，且圓心在直線上的圓的方程．
【典例3】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知圓和動(dòng)圓交于A，B兩點(diǎn)．
（1）若直線過(guò)原點(diǎn)，求a；
（2）若直線交軸于Q，當(dāng)面積最小時(shí)，求．
【變式1】（2023秋·重慶渝北·高二重慶市兩江育才中學(xué)校校考期末）已知圓過(guò)點(diǎn)，且圓心在直線，圓．
(1)求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)求圓與圓的公共弦所在的直線方程及公共弦長(zhǎng)．
【變式2】（2023春·甘肅蘭州·高二校考開學(xué)考試）已知兩圓C1：x2＋y2﹣2x﹣6y﹣1＝0，C2：x2＋y2﹣10x﹣12y＋45＝0．
(1)求證：圓C1和圓C2相交；
(2)求圓C1和圓C2的公共弦所在直線方程和公共弦長(zhǎng)．
【變式3】（2023秋·江西吉安·高二江西省泰和中學(xué)校考期末）已知圓和相交于兩點(diǎn)．
(1)求直線的方程，
(2)求弦長(zhǎng)
【變式4】（2023春·四川達(dá)州·高二校考期中）已知兩圓.
求：（1）它們的公共弦所在直線的方程；
（2）公共弦長(zhǎng).
題型12與圓有關(guān)的最值問(wèn)題
【典例1】（2023秋·廣西河池·高二統(tǒng)考期末）已知圓與圓關(guān)于直線對(duì)稱.
(1)求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)直線與圓相交于兩點(diǎn)，且的外接圓的圓心在內(nèi)部，求的取值范圍.

【典例2】（2023春·江蘇南通·高三海安高級(jí)中學(xué)校考階段練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，過(guò)點(diǎn)且互相垂直的兩條直線分別與橢圓交于點(diǎn)，與圓交于點(diǎn)．
(1)若，求的斜率；
(2)記中點(diǎn)為，求面積的取值范圍．
【典例3】（2023秋·福建福州·高二福建省福州第一中學(xué)校考期末）已知圓.
(1)設(shè)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)M作直線l與圓C交于A，B兩點(diǎn)，若，求直線l的方程；
(2)設(shè)P是直線上一點(diǎn)，過(guò)P作圓C的切線PE，PF，切點(diǎn)分別為E，F(xiàn)，求的最小值.
【變式1】（2023春·湖北·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）已知圓，直線.
(1)證明：直線和圓恒有兩個(gè)交點(diǎn)；
(2)若直線和圓交于兩點(diǎn)，求的最小值及此時(shí)直線的方程.
【變式2】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知圓,,若斜率為的直線l與圓C相交于不同的兩點(diǎn)，求的取值范圍.
題型13軌跡方程
【典例1】（2023春·河南南陽(yáng)·高二鎮(zhèn)平縣第一高級(jí)中學(xué)校考階段練習(xí)）已知圓：．
(1)求圓的圓心坐標(biāo)及半徑；
(2)設(shè)直線：
①求證：直線與圓恒相交；
②若直線與圓交于，兩點(diǎn)，弦的中點(diǎn)為，求點(diǎn)的軌跡方程，并說(shuō)明它是什么曲線．
【典例2】（2023春·上海靜安·高二校考期中）已知圓的方程為，過(guò)點(diǎn)作直線l交圓于A、B兩點(diǎn)．
(1)當(dāng)直線l的斜率為1時(shí)，求弦AB的長(zhǎng)；
(2)當(dāng)直線l的斜率變化時(shí)，求動(dòng)弦AB的中點(diǎn)Q的軌跡方程．
【典例3】（2023春·上海閔行·高二校考階段練習(xí)）已知圓，直線．
(1)判斷直線與圓的位置關(guān)系；
【變式2】（2023秋·四川涼山·高二統(tǒng)考期末）圓關(guān)于直線對(duì)稱的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為___________.
三、數(shù)學(xué)思想
01函數(shù)與方程的思想
【典例1】（2023·山東泰安·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知直線與圓，過(guò)直線上的任意一點(diǎn)向圓引切線，設(shè)切點(diǎn)為，若線段長(zhǎng)度的最小值為，則實(shí)數(shù)的值是（ ）
A． B． C． D．
【典例2】（2023·陜西西安·陜西師大附中校考模擬預(yù)測(cè)）在平面直角坐標(biāo)系中，圓和外切形成一個(gè)8字形狀，若，為圓M上兩點(diǎn)，B為兩圓圓周上任一點(diǎn)（不同于點(diǎn)A，P），則的最大值為______．
【典例3】（2023·高二課時(shí)練習(xí)）已知，，動(dòng)點(diǎn)M滿足，則點(diǎn)M的軌跡方程是______．
02數(shù)形結(jié)合思想
【典例1】（2022秋·廣東肇慶·高二校考期中）已知兩點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)的直線與線段有交點(diǎn)，則直線的傾斜角的取值范圍為（ ）
A． B．
C． D．
【典例21】（2022秋·湖南懷化·高二校考階段練習(xí)）已知、，直線過(guò)點(diǎn)，且與線段相交，則直線的斜率取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
【典例3】（2023春·湖南岳陽(yáng)·高二統(tǒng)考期末）已知圓，過(guò)點(diǎn)的直線被該圓所截的弦長(zhǎng)的最小值為______.
03分類討論思想
【典例1】（2023春·四川廣安·高二廣安二中校考階段練習(xí)）已知在平面直角坐標(biāo)系xOy中，，，平面內(nèi)動(dòng)點(diǎn)P滿足．
(1)求點(diǎn)P的軌跡方程；
(2)點(diǎn)P軌跡記為曲線，若C，D是曲線與x軸的交點(diǎn)，E為直線l：x＝4上的動(dòng)點(diǎn)，直線CE，DE與曲線的另一個(gè)交點(diǎn)分別為M，N，直線MN與x軸交點(diǎn)為Q，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)．
【典例2】（2023春·重慶沙坪壩·高一重慶南開中學(xué)校考階段練習(xí)）已知圓和定點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)在圓上．
(1)過(guò)點(diǎn)作圓的切線，求切線方程；
(2)若滿足，求證：直線過(guò)定點(diǎn)．
04轉(zhuǎn)化與化歸思想
【典例1】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）求函數(shù)的最大值及最小值．
【典例2】（2020·吉林長(zhǎng)春·高二長(zhǎng)春外國(guó)語(yǔ)學(xué)校校考期中）已知點(diǎn)在圓上.
（1）求的最大值和最小值；
（2）求的最大值和最小值；
（3）求的最大值和最小值.
【典例3】（2020秋·福建·高二校考期中）已知點(diǎn)在圓上.
（1）求的最大值和最小值；
（2）求的最大值與最小值；
（3）求的最大值與最小值
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