資源簡介

第06講 3.3.2拋物線的簡單幾何性質(zhì)
課程標(biāo)準(zhǔn) 學(xué)習(xí)目標(biāo)
①理解與掌握拋物線的幾何性質(zhì)。 ②通過對拋物線幾何性質(zhì)來解決與圓錐曲線有關(guān)的點(diǎn)、線、面積、周長的相關(guān)計(jì)算問題。 ③會(huì)解決與拋物線有關(guān)的弦、定點(diǎn)、定值與取值范圍問題的處理。 通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，要求掌握拋物線的性質(zhì)，并能解決與之相關(guān)的計(jì)算與證明問題
知識點(diǎn)01：拋物線的簡單幾何性質(zhì)
標(biāo)準(zhǔn)方程 （） （） （） （）
圖形
范圍 ， ， ， ，
對稱軸 軸 軸 軸 軸
焦點(diǎn)坐標(biāo)
準(zhǔn)線方程
頂點(diǎn)坐標(biāo)
離心率
通徑長
知識點(diǎn)02：直線與拋物線的位置關(guān)系
設(shè)直線:,拋物線:（）,將直線方程與拋物線方程聯(lián)立整理成關(guān)于的方程
(1)若,當(dāng)時(shí),直線與拋物線相交,有兩個(gè)交點(diǎn);
當(dāng)時(shí),直線與拋物線相切,有一個(gè)切點(diǎn);
當(dāng)時(shí),直線與拋物線相離,沒有公共點(diǎn).
(2)若,直線與拋物線有一個(gè)交點(diǎn),此時(shí)直線平行于拋物線的對稱軸或與對稱軸重合.因此直線與拋物線有一個(gè)公共點(diǎn)是直線與拋物線相切的必要不充分條件.
【即學(xué)即練1】（2023·全國·高三專題練習(xí)）直線與拋物線的位置關(guān)系為（　　）
A．相交 B．相切 C．相離 D．不能確定
【答案】A
【詳解】直線過定點(diǎn)，
∵，
∴在拋物線內(nèi)部，
∴直線與拋物線相交，
故選：A．
知識點(diǎn)03：直線和拋物線
1、拋物線的通徑(過焦點(diǎn)且垂直于軸的弦)長為.
2、拋物線的焦點(diǎn)弦
過拋物線（）的焦點(diǎn)的一條直線與它交于兩點(diǎn)，，則
①，；②；③.
【即學(xué)即練2】（2023秋·四川成都·高二校考期末）已知拋物線，其焦點(diǎn)到其準(zhǔn)線的距離為，過焦點(diǎn)且傾斜角為的直線交拋物線于兩點(diǎn)，
（1）求拋物線的方程及其焦點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）求.
【答案】（1），焦點(diǎn)坐標(biāo)為；（2）8.
【詳解】解：（1）拋物線的焦點(diǎn)到其準(zhǔn)線的距離為，得，
所以拋物線的方程為，焦點(diǎn)坐標(biāo)為.
（2）過焦點(diǎn)且傾斜角為的直線的方程為，設(shè)，
聯(lián)立方程組消去可得，則，
所以.
說明：拋物線的焦半徑公式如下：（為焦準(zhǔn)距）
（1）焦點(diǎn)在軸正半軸，拋物線上任意一點(diǎn)，則；
（2）焦點(diǎn)在軸負(fù)半軸，拋物線上任意一點(diǎn)，則；
（3）焦點(diǎn)在軸正半軸，拋物線上任意一點(diǎn)，則；
（4）焦點(diǎn)在軸負(fù)半軸，拋物線上任意一點(diǎn)，則.
題型01拋物線的簡單性質(zhì)
【典例1】（2023春·四川廣安·高二四川省廣安友誼中學(xué)校考階段練習(xí)）拋物線C與拋物線關(guān)于軸對稱，則拋物線C的準(zhǔn)線方程是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【詳解】∵拋物線C與拋物線關(guān)于軸對稱，
∴拋物線C的方程為，
∴拋物線C的準(zhǔn)線方程是.
故選：C.
【典例2】（2023·全國·高三專題練習(xí)）對拋物線，下列描述正確的是（ ）
A．開口向上，焦點(diǎn)為 B．開口向上，焦點(diǎn)為
C．開口向右，焦點(diǎn)為 D．開口向右，焦點(diǎn)為
【答案】A
【詳解】由題知，該拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，
則該拋物線開口向上，焦點(diǎn)坐標(biāo)為.
故選：A.
【典例3】（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）根據(jù)下列條件寫出拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程：
（1）焦點(diǎn)是；
（2）準(zhǔn)線方程是；
（3）焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離是．
【答案】（1）；（2）；（3）或.
【詳解】（1）由題意可知拋物線的焦點(diǎn)在軸的正半軸上，設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，
則，可得，所以，拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為；
（2）由題意可知拋物線的焦點(diǎn)在軸的正半軸上，設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，
則，可得，因此，拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為；
（3）拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為，
所以，拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為或.
【變式1】（2023秋·陜西西安·高二校考期末）對拋物線，下列描述正確的是
A．開口向上，焦點(diǎn)為 B．開口向上，焦點(diǎn)為
C．開口向右，焦點(diǎn)為 D．開口向右，焦點(diǎn)為
【答案】B
【詳解】解：因?yàn)閽佄锞€，可知化為標(biāo)準(zhǔn)式為拋物線，2p=1/4，故焦點(diǎn)在y軸上，開口向上，焦點(diǎn)坐標(biāo)為，選B
【變式2】（2023春·湖南長沙·高二長沙市明德中學(xué)校考期中）若拋物線的焦點(diǎn)與雙曲線的右焦點(diǎn)重合，則的值 ．
【答案】6
【詳解】試題分析：根據(jù)題意，由于雙曲線的右焦點(diǎn)坐標(biāo)為，因此可知拋物線的焦點(diǎn),故答案為6
題型02直線與拋物線的位置關(guān)系
【典例1】（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）已知直線，拋物線，l與有一個(gè)公共點(diǎn)的直線有（ ）
A．1條 B．2條 C．3條
D．1條、2條或3條
【答案】C
【詳解】聯(lián)立直線和拋物線方程可得，
整理可得，
直線l與有一個(gè)公共點(diǎn)等價(jià)于方程只有一個(gè)實(shí)數(shù)根，
當(dāng)時(shí)，方程為僅有一解，符合題意；
當(dāng)時(shí)，一元二次方程僅有一解，
即，解得，
所以滿足題意得直線有三條，即，和.
故選：C
【典例2】（多選）（2023·全國·高三專題練習(xí)）若經(jīng)過點(diǎn)的直線與拋物線恒有公共點(diǎn)，則C的準(zhǔn)線可能是（ ）．
A． B．
C． D．
【答案】BD
【詳解】由題意得，點(diǎn)在拋物線上或其內(nèi)部，則，解得，
∴其準(zhǔn)線為.
故選:BD．
【典例3】（2023春·湖北孝感·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）已知M是拋物線上一點(diǎn)，則點(diǎn)M到直線的最短距離為 ．
【答案】/
【詳解】設(shè)，則點(diǎn)M到直線的距離
，當(dāng)時(shí)取等號.
故答案為：
【典例4】（2023秋·廣西北海·高二統(tǒng)考期末）已知拋物線，其準(zhǔn)線方程為．
(1)求拋物線的方程；
(2)不過原點(diǎn)的直線與拋物線交于不同的兩點(diǎn)，且，求的值．
【答案】(1)
(2)
【詳解】（1）準(zhǔn)線為，，拋物線的方程為；
（2）設(shè)，聯(lián)立，得，
，得，則，
因?yàn)椋瑒t，
則，即，或，經(jīng)檢驗(yàn)，當(dāng)時(shí)，直線過坐標(biāo)原點(diǎn)，不合題意，又，符合題意；
綜上，m的值為．
【變式1】（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知拋物線與直線有且僅有一個(gè)交點(diǎn)，則（ ）
A．4 B．2 C．0或4 D．8
【答案】C
【詳解】聯(lián)立得：，
當(dāng)時(shí)，交點(diǎn)為，滿足題意；
當(dāng)時(shí)，由，解得，
綜上可知： 或，
故選：C
【變式2】（多選）（2023秋·安徽阜陽·高二統(tǒng)考期末）若直線與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)，則的可能取值為（ ）
A．2 B． C． D．0
【答案】BD
【詳解】聯(lián)立，消去可得，
∵直線與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)，
或.
故選：BD.
【變式3】（2023秋·廣東廣州·高二校考期末）已知拋物線的一條切線方程為，則的準(zhǔn)線方程為 ．
【答案】
【詳解】由，消去得，
由題意，解得，
則拋物線方程為：，
所以拋物線的準(zhǔn)線方程為：，即．
故答案為：．
【變式4】（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知橢圓，設(shè)直線l同時(shí)與橢圓和拋物線各恰有一個(gè)公共交點(diǎn)，求直線l的方程．
【答案】或
【詳解】由題，直線的斜率存在，并設(shè)方程為，
聯(lián)立整理得，
由可得，
整理得，
聯(lián)立整理得，
由可得，
化簡得，則有，
由可得解得，
所以或，
所以直線的方程為或.
題型03拋物線的弦長
【典例1】（2023秋·浙江寧波·高二統(tǒng)考期末）已知拋物線，過點(diǎn)的直線交拋物線于兩點(diǎn)，且弦被點(diǎn)平分.
(1)求直線的方程；
(2)求弦的長度.
【答案】(1)
(2)
【詳解】（1）設(shè)則，
由，可得
所以，得直線的方程為.
（2）聯(lián)立方程，得，
得，所以
【典例2】（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）直線與拋物線交于兩點(diǎn)，求線段AB的長．
【答案】．
【詳解】解：拋物線，直線，
將直線方程代入到拋物線方程中，得：，
整理得：，
設(shè)，，，，
由一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系得：，，
所以弦長．
【變式1】（2023春·安徽滁州·高二校考開學(xué)考試）已知?jiǎng)訄A過定點(diǎn)，且與直線：相切，圓心的軌跡為．
(1)求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程；
(2)過點(diǎn)作傾斜角為的直線交軌跡于，兩點(diǎn)，求．
【答案】(1)
(2)
【詳解】（1）設(shè)，由動(dòng)圓過定點(diǎn)，且與直線：相切，
，整理得，
故動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程為．
（2）設(shè)，，直線的方程為，
則由，整理得,
．
【變式2】（2023春·四川成都·高二成都外國語學(xué)校校考階段練習(xí)）已知拋物線的準(zhǔn)線方程為.
(1)求的值；
(2)直線交拋物線于、兩點(diǎn)，求弦長.
【答案】(1)2；
(2).
【詳解】（1）拋物線的準(zhǔn)線方程為，依題意，，解得，
所以的值為2.
（2）由（1）知，拋物線，設(shè)點(diǎn)，，
由消去y得：，，則，，
所以
.
題型04拋物線的中點(diǎn)弦和點(diǎn)差法
【典例1】（2023秋·陜西咸陽·高二校考期末）已知拋物線，過點(diǎn)引拋物線的一條弦，使它恰在點(diǎn)處被平分，則這條弦所在的直線的方程為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【詳解】易知直線l的斜率存在，設(shè)直線的斜率為k，直線l交拋物線于M，N兩點(diǎn)，
設(shè)，則，兩式相減得，
整理得，因?yàn)镸N的中點(diǎn)為，則，
所以，所以直線l的方程為即.
故選：A
【典例2】（2023春·寧夏吳忠·高二吳忠中學(xué)校考期中）已知拋物線是拋物線上的點(diǎn)，且.
(1)求拋物線的方程；
(2)已知直線交拋物線于兩點(diǎn)，且的中點(diǎn)為，求直線的方程.
【答案】(1)
(2)
【詳解】（1）由題意，
在拋物線中，，
由幾何知識得，
，
解得：，
故拋物線的方程為：.
（2）由題意及（1）得，
直線的斜率存在，設(shè)直線的斜率為，
則，
兩式相減得，
整理得，
因?yàn)榈闹悬c(diǎn)為，
∴，
∴直線的方程為：，
即，經(jīng)檢驗(yàn)，滿足題意.
【變式1】（2023秋·甘肅慶陽·高二校考期末）已知點(diǎn)，若拋物線的一條弦AB恰好是以P為中點(diǎn)，則弦AB所在直線方程是 ．
【答案】
【詳解】時(shí)，，在拋物線內(nèi)部（含焦點(diǎn)的部分），
設(shè)，，
由，相減得，
∴，即，
直線方程為，即，
故答案為：．
【變式2】（2023·江蘇·高二專題練習(xí)）已知頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上的拋物線過點(diǎn)．
(1)求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)過點(diǎn)作直線交拋物線于A、B兩點(diǎn)，使得Q恰好平分線段AB，求直線AB的方程．
【答案】(1)
(2)
【詳解】（1）因?yàn)轫旤c(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在y軸上的拋物線過點(diǎn)，
所以拋物線的焦點(diǎn)在y軸正半軸，設(shè)其方程為，
將點(diǎn)代入可得，所以，
所以拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，
（2）拋物線中，時(shí)，，在拋物線內(nèi)部，可以為弦的中點(diǎn)．
設(shè)點(diǎn)，直線斜率為
點(diǎn)在拋物線上，所以
所以，即，
所以直線方程為．
經(jīng)檢驗(yàn)，直線符合題意.
題型05拋物線的焦點(diǎn)弦
【典例1】（2023·遼寧朝陽·朝陽市第一高級中學(xué)校考模擬預(yù)測）過拋物線：焦點(diǎn)的直線與交于，兩點(diǎn)，過點(diǎn)向拋物線的準(zhǔn)線作垂線，垂足為，則（ ）
A． B． C．18 D．20
【答案】B
【詳解】依題意拋物線的準(zhǔn)線為，即，解得，
所以拋物線方程為，則焦點(diǎn)為，又，所以，解得，
所以，
所以，所以直線的方程為，
由，消去整理得，解得、，
即，
所以.
故選：B
【典例2】（2023春·湖北孝感·高二統(tǒng)考開學(xué)考試）已知曲線C位于y軸右側(cè)，且曲線C上任意一點(diǎn)P與定點(diǎn)的距離比它到y(tǒng)軸的距離大1．
(1)求曲線C的軌跡方程；
(2)若直線l經(jīng)過點(diǎn)F，與曲線C交于A，B兩點(diǎn)，且，求直線l的方程．
【答案】(1)；
(2)或．
【詳解】（1）由題意動(dòng)點(diǎn)與定點(diǎn)的距離和它到直線的距離相等，
所以，曲線C是以F為焦點(diǎn)，直線為準(zhǔn)線的拋物線（去掉頂點(diǎn)），，
所以曲線C的軌跡方程是；
（2）若直線斜率不存在，則不合題意，因此直線斜率存在，
設(shè)直線方程為，代入曲線C方程整理得，
設(shè)，則，
，
所以直線方程為，即或．
【典例3】（2023·全國·模擬預(yù)測）已知點(diǎn)在拋物線上，記為坐標(biāo)原點(diǎn)，，以為圓心，為半徑的圓與拋物線的準(zhǔn)線相切．
(1)求拋物線的方程；
(2)記拋物線的焦點(diǎn)為，過點(diǎn)作直線與直線垂直，交拋物線于，兩點(diǎn)，求弦的長．
【答案】(1)
(2)
【詳解】（1）拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線方程為，
依題意可得，解得或，又、、，
所以，所以拋物線方程為.
（2）由（1）可得，，，
因?yàn)橹本€直線，所以，
所以直線的方程為，即，
由，消去整理得，
設(shè)，，所以，
所以，
所以.
【變式1】（2023春·上海寶山·高三上海交大附中校考期中）過拋物線的焦點(diǎn)且傾斜角為的直線被拋物線截得的弦長為 .
【答案】
【詳解】拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線方程為，直線的傾斜角為，
設(shè)直線與拋物線交于兩點(diǎn)，
則直線的方程為，代入得，
則，，，，，
則，
故答案為：
【變式2】（2023春·廣東汕尾·高二統(tǒng)考期末）已知拋物線過點(diǎn)（）．
(1)求C的方程；
(2)若斜率為的直線過C的焦點(diǎn)，且與C交于A，B兩點(diǎn)，求線段的長度．
【答案】(1)
(2)
【詳解】（1）∵拋物線過點(diǎn)，
∴．
又∵，∴，
上故的方程為．
（2）設(shè)，，
由（1）知，拋物線的焦點(diǎn)為，
∵直線的斜率為，且過點(diǎn)，
∴直線的方程為，
聯(lián)立得，則．
∴，
故線段的長度為．
【變式3】（2023春·貴州黔東南·高二校考階段練習(xí)）已知拋物線的焦點(diǎn)關(guān)于拋物線的準(zhǔn)線的對稱點(diǎn)為．
(1)求拋物線的方程；
(2)過點(diǎn)作斜率為4直線，交拋物線于，兩點(diǎn)，求．
【答案】(1)
(2)
【詳解】（1）該拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，準(zhǔn)線方程為，
因?yàn)殛P(guān)于拋物線的準(zhǔn)線的對稱點(diǎn)為，
所以有；
（2）直線的方程為，與拋物線方程聯(lián)立，得
，設(shè)，
因此有，
則有
題型06拋物線的定值、定點(diǎn)、定直線問題
【典例1】（2023春·四川資陽·高二統(tǒng)考期末）過點(diǎn)作拋物線在第一象限部分的切線，切點(diǎn)為A，F(xiàn)為的焦點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，的面積為1．
(1)求的方程；
(2)過點(diǎn)作兩條互相垂直的直線和，交于C，D兩點(diǎn)，交于P，Q兩點(diǎn)，且M，N分別為線段CD和PQ的中點(diǎn)．直線MN是否恒過一個(gè)定點(diǎn)？若是，求出該定點(diǎn)坐標(biāo)；若不是，說明理由．
【答案】(1)
(2)直線MN恒過定點(diǎn)．
【詳解】（1）由題，，
設(shè)切點(diǎn)，則切線方程為，,
的坐標(biāo)代入，得，解得，由于，所以，
由的面積，解得，
所以的方程為．
（2）由題意可知，直線和斜率都存在且均不為0，
設(shè)直線的方程為，則直線的方程為，
聯(lián)立方程組消去并整理得，，
則，
設(shè)，，則，，
所以，
因?yàn)闉镃D中點(diǎn)，所以，
同理可得，
所以，直線MN的方程為，
整理得，所以，直線MN恒過定點(diǎn)．
【典例2】（2023·河南信陽·信陽高中校考三模）已知拋物線上一點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為3.

(1)求，的值；
(2)設(shè)為直線上除，兩點(diǎn)外的任意一點(diǎn)，過作圓的兩條切線，分別與曲線相交于點(diǎn)，和，，試判斷，，，四點(diǎn)縱坐標(biāo)之積是否為定值？若是，求該定值；若不是，請說明理由.
【答案】(1)，
(2)定值為64
【詳解】（1）根據(jù)拋物線的定義，到準(zhǔn)線的距離為3，
∴，∴；
∴拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，∴，∴；
（2）設(shè)，過點(diǎn)的直線方程設(shè)為，
由得，，
若直線，的斜率分別為，，設(shè)，，，的縱坐標(biāo)分別為，，，，
∴，，
∵到的距離，∴，
∴，，
∴，
∴，，，四點(diǎn)縱坐標(biāo)之積為定值，且定值為64.
【典例3】（2023·廣西·統(tǒng)考一模）已知拋物線和圓，傾斜角為45°的直線過的焦點(diǎn)且與相切．
(1)求p的值：
(2)點(diǎn)M在的準(zhǔn)線上，動(dòng)點(diǎn)A在上，在A點(diǎn)處的切線l2交y軸于點(diǎn)B，設(shè)，求證：點(diǎn)N在定直線上，并求該定直線的方程．
【答案】(1)；
(2)證明見解析，定直線方程為.
【詳解】（1）由題得拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，
設(shè)直線l1的方程為，
由已知得圓的圓心，半徑，
因?yàn)橹本€l1與圓相切，
所以圓心到直線的距離，
即，解得或（舍去）．
所以.
（2）依題意設(shè)，由（1）知拋物線方程為，
所以，所以，設(shè)A，），則以A為切點(diǎn)的切線l2的斜率為
所以切線l2的方程為．
令，即l2交y軸于B點(diǎn)坐標(biāo)為，
所以，
∴，
∴．
設(shè)N點(diǎn)坐標(biāo)為（x，y），則，
所以點(diǎn)N在定直線上．

【變式1】（2023春·河北·高二校聯(lián)考期末）已知為拋物線上一點(diǎn)，，為的中點(diǎn)，設(shè)的軌跡為曲線．
(1)求曲線的方程；
(2)過點(diǎn)作直線交曲線E于點(diǎn)M、N，點(diǎn)為直線l：上一動(dòng)點(diǎn)．問是否存在點(diǎn)使為正三角形？若存在，求出點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．
【答案】(1)
(2)存在；
【詳解】（1）設(shè)，則
因?yàn)辄c(diǎn)B在拋物線上，即，
化簡得，所以曲線E的方程為．
（2）假設(shè)存在點(diǎn)使為正三角形．
當(dāng)MN垂直于y軸時(shí)，不符合題意；
當(dāng)MN不垂直于y軸時(shí)，
設(shè)直線MN：，MN的中點(diǎn)為，
聯(lián)立得：，
∴，，，
∴，
∴，，
∴，
∵為正三角形，∴，
即，
∴，
PK：，令，
∴
所以存在點(diǎn)使為正三角形．

【變式2】（2023·陜西咸陽·武功縣普集高級中學(xué)校考模擬預(yù)測）已知點(diǎn)是拋物線：的焦點(diǎn)，縱坐標(biāo)為2的點(diǎn)在上，以為圓心、為半徑的圓交軸于，，.
(1)求拋物線的方程；
(2)過作直線與拋物線交于，，求的值.
【答案】(1)
(2)2
【詳解】（1）由題知，點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，
∴，，
∴，∴，解得，
∴拋物線的方程為.

（2）由（1）知，設(shè)，，直線的方程為，
代入，整理得，∴，即，
∴，，
∴
.

【變式3】（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知拋物線E：（p>0），過點(diǎn)的兩條直線l1，l2分別交E于AB兩點(diǎn)和C，D兩點(diǎn)．當(dāng)l1的斜率為時(shí)，
(1)求E的標(biāo)準(zhǔn)方程：
(2)設(shè)G為直線AD與BC的交點(diǎn)，證明：點(diǎn)G必在定直線上．
【答案】(1)
(2)證明見解析
【詳解】（1）當(dāng)?shù)男甭蕿闀r(shí)，得方程為，
由,消元得，，，；
由弦長公式得，
即，解得或（舍去），滿足，
從而的標(biāo)準(zhǔn)方程為.
（2）法一：因?yàn)閘1，l2分別交E于AB兩點(diǎn)和C，D兩點(diǎn)，所以直線斜率存在
設(shè)直線的方程為，設(shè)，
由，消去得，則.
設(shè)直線的方程為，
同理，消去得可得．
直線方程為，即，
化簡得，
同理，直線方程為，
因?yàn)樵趻佄锞€的對稱軸上，由拋物線的對稱性可知，交點(diǎn)必在垂直于軸的直線上，所以只需證的橫坐標(biāo)為定值即可．
由消去，
因?yàn)橹本€與相交，所以，
解得，
所以點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2，即直線與的交點(diǎn)在定直線上．
法二：設(shè)直線方程為，由消去得，
設(shè)，則．
設(shè)直線的方程為，
同理可得．
直線方程為，即，
化簡得，
同理，直線方程為，．
因?yàn)樵趻佄锞€的對稱軸上，由拋物線的對稱性可知，交點(diǎn)必在垂直于軸的直線上，所以只需證的橫坐標(biāo)為定值即可．
由消去，
因?yàn)橹本€與相交，所以，
解得，
所以點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2，即直線與的交點(diǎn)在定直線上．
題型07拋物線的向量問題
【典例1】（2023·四川成都·成都七中校考模擬預(yù)測）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線與軸交于點(diǎn)，過右側(cè)的點(diǎn)作，垂足為，且．

(1)求點(diǎn)的軌跡的方程；
(2)過點(diǎn)的動(dòng)直線交軌跡于，設(shè)，證明：為定值．
【答案】(1)
(2)證明見解析
【詳解】（1）由題意，直線與軸交于點(diǎn)，過右側(cè)的點(diǎn)作，
可得，設(shè)，則，
因?yàn)椋傻茫?br/>即，整理得.
（2）當(dāng)直線的斜率存在，可設(shè)直線，
聯(lián)立方程組，整理得，
設(shè)，
因?yàn)橹本€與曲線交于兩點(diǎn)，則，
且，
因?yàn)椋傻茫?br/>所以
；
當(dāng)直線的斜率不存在，此時(shí)直線，
聯(lián)立方程組，解得，不妨設(shè)，
此時(shí)，可得，
綜上可得，為定值.

【典例2】（2023·甘肅定西·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知點(diǎn)M到點(diǎn)的距離比它到直線l：的距離小，記動(dòng)點(diǎn)M的軌跡為E.
(1)求E的方程；
(2)若過點(diǎn)F的直線交E于，兩點(diǎn)，則在x軸的正半軸上是否存在點(diǎn)P，使得PA，PB分別交E于另外兩點(diǎn)C，D，且？若存在，請求出P點(diǎn)坐標(biāo)，若不存在，請說明理由.
【答案】(1)
(2)
【詳解】（1）因?yàn)辄c(diǎn)M到點(diǎn)的距離比它到直線l：的距離小，
所以點(diǎn)M到點(diǎn)的距離等于它到直線l：的距離，
則點(diǎn)M的軌跡為以為焦點(diǎn)，以為準(zhǔn)線的拋物線，
則曲線E的方程為.
（2）設(shè)，
由得：，且，得，
即，所以，
代入拋物線方程，得，
整理得，同理可得
故是方程的兩根，，
由韋達(dá)定理可得①，
由題意，直線AB的斜率一定存在，故設(shè)直線AB的方程為，
與拋物線方程聯(lián)立可得，
易得，由韋達(dá)定理可得②，
由①②可得，
故在x軸的正半軸上存在一點(diǎn)滿足條件.

【變式1】（2023·河北衡水·模擬預(yù)測）已知點(diǎn)在拋物線上，過點(diǎn)的直線與相交于兩點(diǎn)，直線分別與軸相交于點(diǎn).
(1)當(dāng)弦的中點(diǎn)橫坐標(biāo)為3時(shí)，求的一般方程;
(2)設(shè)為原點(diǎn)，若，求證:為定值.
【答案】(1)或
(2)證明見解析
【詳解】（1）由點(diǎn)在拋物線上，所以，
所以拋物線的方程為.設(shè)直線的方程為.
由，得.依題意，
解得且.且.
因?yàn)橄业闹悬c(diǎn)橫坐標(biāo)為3，所以，即，
解得或，所以的一般方程為或.
（2）直線的方程為，
又，令，得點(diǎn)的縱坐標(biāo)為.所以，
同理得點(diǎn)的坐標(biāo)為.
由，得，.
所以.
所以，即為定值.
【變式2】（2023春·四川內(nèi)江·高二四川省內(nèi)江市第六中學(xué)校考期中）已知點(diǎn)，直線交y軸于點(diǎn)H，點(diǎn)M是l上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)M且垂直于l的直線與線段MF的垂直平分線交于點(diǎn)P．
(1)求點(diǎn)P的軌跡C的方程：
(2)若A、B為軌跡C上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且，證明直線AB必過定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)．
【答案】(1)
(2)證明見解析，定點(diǎn)
【詳解】（1）由題意，則點(diǎn)的軌跡是以為焦點(diǎn)，為準(zhǔn)線的拋物線，
所以軌跡方程.
（2）設(shè)直線，
聯(lián)立，而①，
∴，則，
由，即滿足①式，
∴直線：必過點(diǎn).
題型08拋物線的三角形問題
【典例1】（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知拋物線的焦點(diǎn)為，點(diǎn)在拋物線C上，且.
(1)求拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)若直線與拋物線交于兩點(diǎn)，求的面積.
【答案】(1)
(2)
【詳解】（1）由拋物線的定義可得，
因?yàn)椋裕獾茫?br/>故拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.
（2）設(shè)，由（1）知.
由，得，,
則，，
所以,
所以
,
因?yàn)辄c(diǎn)到直線的距離,
所以的面積為.
【典例2】（2023春·浙江杭州·高二統(tǒng)考期末）設(shè)拋物線，過焦點(diǎn)的直線與拋物線交于點(diǎn)，.當(dāng)直線垂直于軸時(shí)，.

(1)求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程.
(2)已知點(diǎn)，直線，分別與拋物線交于點(diǎn)，.
①求證：直線過定點(diǎn)；
②求與面積之和的最小值.
【答案】(1)
(2)①證明見解析；②.
【詳解】（1）由題意，當(dāng)直線垂直于軸時(shí)，，代入拋物線方程得，則，所以，即，所以拋物線.
（2）（i）設(shè)，，直線，
與拋物線聯(lián)立，得，因此，.
設(shè)直線，與拋物線聯(lián)立，得，
因此，，則.同理可得.
所以.
因此直線，由對稱性知，定點(diǎn)在軸上，
令得，
，
所以直線過定點(diǎn).
（ii）因?yàn)椋?br/>，
所以，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取到最小值.
【變式1】（2023春·四川內(nèi)江·高二威遠(yuǎn)中學(xué)校校考階段練習(xí)）已知拋物線，其焦點(diǎn)F到準(zhǔn)線的距離為2.
(1)求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)若O為坐標(biāo)原點(diǎn)，斜率為2且過焦點(diǎn)F的直線l交此拋物線于A、B兩點(diǎn)，求的面積.
【答案】(1)
(2)
【詳解】（1）由焦點(diǎn)F到準(zhǔn)線的距離為2，即，故拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為；
（2）由（1）知：，則直線為，即，
聯(lián)立拋物線可得：，則，，
所以，
又O到直線的距離，
所以.
【變式2】（2023春·四川達(dá)州·高二統(tǒng)考期末）已知拋物線上任意一點(diǎn)M到焦點(diǎn)F的距離比M到y(tǒng)軸的距離大1．
(1)求E的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)，，交E于A，C兩點(diǎn)，交E于B，D兩點(diǎn)．求四邊形ABCD的面積的最小值．
【答案】(1)
(2)32
【詳解】（1）拋物線的焦點(diǎn)，準(zhǔn)線．
∵拋物線上任意一點(diǎn)M到焦點(diǎn)F的距離比M到y(tǒng)軸的距離大1．
根據(jù)拋物線的定義可知，，∴，
∴拋物線E的標(biāo)準(zhǔn)方程為.
（2）由題可知均有斜率且斜率不為零，且過焦點(diǎn)，

設(shè)，，，設(shè)，
由，消可得，
∴，，
∴，
∴，
同理可得，
∴，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號，
∴四邊形ABCD面積的最小值為32．
A夯實(shí)基礎(chǔ) B能力提升 C綜合素養(yǎng)
A夯實(shí)基礎(chǔ)
一、單選題
1．（2023·北京·高三專題練習(xí)）已知拋物線，經(jīng)過點(diǎn)P的任意一條直線與C均有公共點(diǎn)，則點(diǎn)P的坐標(biāo)可以為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【詳解】在軸上，所以在拋物線外部，
將代入拋物線中，則，所以在拋物線外部，
將代入拋物線中，則，所以在拋物線外部，
將代入拋物線中，則，所以在拋物線內(nèi)部，
將選項(xiàng)中的點(diǎn)分別在直角坐標(biāo)系中畫出來，只有點(diǎn)在拋物線內(nèi)部，故當(dāng)點(diǎn)位于點(diǎn)處，此時(shí)經(jīng)過點(diǎn)P的任意一條直線與C均相交，故均有公共點(diǎn)，
故選：D
2．（2023秋·江蘇南通·高二統(tǒng)考期末）已知為雙曲線與拋物線的交點(diǎn)，則點(diǎn)的橫坐標(biāo)為（ ）
A．3 B．2 C． D．
【答案】A
【詳解】依題意，，則由解得，
所以點(diǎn)的橫坐標(biāo)為3.
故選：A
3．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知拋物線與圓交于A，B兩點(diǎn)，則（ ）
A．2 B． C．4 D．
【答案】C
【詳解】由對稱性易得A，B橫坐標(biāo)相等且大于0，聯(lián)立得，解得，
則，將代入可得，則.
故選：C.
4．（2023春·河南焦作·高二統(tǒng)考期末）已知拋物線C：的焦點(diǎn)為F，A是C上一點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若，則的面積為（ ）
A． B．3 C． D．6
【答案】A
【詳解】依題意作下圖：

設(shè)，，所以，
可得，由，解得，所以，
所以.
故選：A.
5．（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，對稱軸是x軸，拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離是6，則拋物線的方程為（ ）
A． B．
C． D．或
【答案】B
【詳解】由已知，拋物線開口向左，設(shè)其方程為,，則準(zhǔn)線方程為，
由拋物線的定義知，點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離是，所以，
所以拋物線的方程是：，
故選：B.
6．（2023秋·貴州銅仁·高二統(tǒng)考期末）過拋物線的焦點(diǎn)作直線，交拋物線于，兩點(diǎn)，若，則（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【詳解】如圖所示，由題得，拋物線的準(zhǔn)線方程為.
所以.
故選：C

7．（2023春·浙江·高二校聯(lián)考期末）過點(diǎn)作兩條直線分別交拋物線于，兩點(diǎn)，記直線，的斜率分為，，若，，則直線的方程為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)作兩條直線分別交拋物線于，兩點(diǎn)，
在拋物線上，所以直線斜率一定不為，
設(shè)直線的方程為：，設(shè)，
與聯(lián)立方程可得：，即，
所以，
則
，所以①，
，
所以②，由①②可得：，
所以，故.
故選：A.
8．（2023春·福建泉州·高二校聯(lián)考期末）已知拋物線的焦點(diǎn)為，過的直線交于點(diǎn)，分別在點(diǎn)處作的兩條切線，兩條切線交于點(diǎn)，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【詳解】顯然直線的斜率存在，因此設(shè)直線的方程為，，
由得，因此，
故.
因?yàn)椋赃^與相切的直線方程分別為：、，
因此由得，即，
所以
.
因?yàn)椋裕虼耍?br/>所以的取值范圍是.
故選:C.
二、多選題
9．（2023春·甘肅武威·高二武威第六中學(xué)校考期中）已知拋物線的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)P為C上任意一點(diǎn)，若點(diǎn)，下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（ ）
A．的最小值為2
B．拋物線C關(guān)于x軸對稱
C．過點(diǎn)M與拋物線C有一個(gè)公共點(diǎn)的直線有且只有一條
D．點(diǎn)P到點(diǎn)M的距離與到焦點(diǎn)F距離之和的最小值為4
【答案】AB
【詳解】設(shè)，則，，又拋物線的焦點(diǎn)為，
對A，由題可知，時(shí)，等號成立，所以的最小值是1，A錯(cuò)；
對B，拋物線的焦點(diǎn)在軸上，拋物線關(guān)于軸對稱，B錯(cuò)；
對C，由題知點(diǎn)在拋物線的內(nèi)部（含有焦點(diǎn)的部分），因此過與對稱軸平行的直線與拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn)，其他直線與拋物線都有兩個(gè)公共點(diǎn)，C正確；
對D，記拋物線的準(zhǔn)線為，準(zhǔn)線方程為，
過作于，過作于，則，，
所以當(dāng)三點(diǎn)共線，即與重合時(shí)，最小，最小值為．D正確．
故選：AB．
10．（2023春·安徽·高二校聯(lián)考期末）已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線的焦點(diǎn)到其準(zhǔn)線的距離為4，過點(diǎn)作直線交于，兩點(diǎn)，則（ ）
A．的準(zhǔn)線為 B．的大小可能為
C．的最小值為8 D．
【答案】ACD
【詳解】由題意得，，則的準(zhǔn)線為，故A正確；
,設(shè)
，整理得，，
所以，
，
，
所以，故B錯(cuò)誤；
，
當(dāng)時(shí)，的最小值為8，故C正確；
∵，
∴，故D正確.
故選：ACD.
三、填空題
11．（2023春·安徽·高二統(tǒng)考期末）已知拋物線的焦點(diǎn)為，過的動(dòng)直線與拋物線交于兩點(diǎn)，滿足的直線有且僅有一條，則 ．
【答案】2
【詳解】設(shè)交點(diǎn)坐標(biāo)為過的直線為，
與拋物線聯(lián)立可得，，故．
，
故當(dāng)時(shí)，動(dòng)直線有且僅有一條，即，故．
故答案為：2.
12．（2023春·江西九江·高二德安縣第一中學(xué)校考期中）過拋物線的焦點(diǎn)作一直線交拋物線于、兩點(diǎn)，則的值是 ．
【答案】
【詳解】由題意知，拋物線焦點(diǎn)坐標(biāo)為，從而設(shè)直線AB的方程為，
聯(lián)立方程，得，，
，.
所以.
故答案為：.
四、解答題
13．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知拋物線：的焦點(diǎn)為，為上一點(diǎn)，為準(zhǔn)線上一點(diǎn)，，
(1)求的方程；
(2)，，是上的三點(diǎn)，若，求點(diǎn)到直線距離的最大值．
【答案】(1)
(2)
【詳解】（1）如圖所示：
由題意可知，因?yàn)椋?br/>由，，可得，
由拋物線的定義可知，，解得．
則的方程為.
（2）如圖所示：
在拋物線上，所以，
設(shè)直線的方程為，，，
將代入，得
則，
，同理
整理得，，
直線的方程為，所以直線過定點(diǎn).
當(dāng)時(shí)，點(diǎn)到直線距離最大，
且最大距離為，
經(jīng)檢驗(yàn)符合題意.
14．（2023春·福建福州·高二校聯(lián)考期中）在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線上一點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為4，且點(diǎn)P到焦點(diǎn)F的距離為5．
(1)求拋物線的方程；
(2)若直線交拋物線于A，B兩點(diǎn)（位于對稱軸異側(cè)），且，求證：直線l必過定點(diǎn)．
【答案】(1)
(2)證明見解析
【詳解】（1）由題可知，點(diǎn)P到拋物線準(zhǔn)線的距離為5，
因?yàn)閽佄锞€的準(zhǔn)線方程為，點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為4，
所以，解得，所以拋物線的方程為；
（2）證明：設(shè)，且，
聯(lián)立消去x可得，
則，且，即，
所以，
由，得，即，
解得（舍）或，故直線l的方程為，
所以直線l必過定點(diǎn)．
B能力提升
1．（2023秋·廣西河池·高二統(tǒng)考期末）拋物線有如下光學(xué)性質(zhì)：過焦點(diǎn)的光線經(jīng)拋物線反射后得到的光線平行于拋物線的對稱軸；反之，平行于拋物線對稱軸的入射光線經(jīng)拋物線反射后必過拋物線的焦點(diǎn).已知拋物線的焦點(diǎn)為，一條平行于軸的光線從點(diǎn)射出，經(jīng)過拋物線上的點(diǎn)反射后，再經(jīng)拋物線上的另一點(diǎn)射出，則的面積為（ ）
A．4 B． C． D．
【答案】C
【詳解】因?yàn)椋裕裕?br/>所以，又，所以4），
即，又，
所以，解得或，所以，
又因?yàn)椋?br/>點(diǎn)到直線的距離，
所以的面積.

故選：.
2．（2023·河北·校聯(lián)考三模）拋物線的弦與過弦的端點(diǎn)的兩條切線所圍成的三角形稱為阿基米德三角形，在數(shù)學(xué)發(fā)展的歷史長河中，它不斷地閃煉出真理的光輝，這個(gè)兩千多年的古老圖形，蘊(yùn)藏著很多性質(zhì)．已知拋物線，過焦點(diǎn)的弦的兩個(gè)端點(diǎn)的切線相交于點(diǎn)，則下列說法正確的是（ ）
A．點(diǎn)必在直線上，且以為直徑的圓過點(diǎn)
B．點(diǎn)必在直線上，但以為直徑的圓不過點(diǎn)
C．點(diǎn)必在直線上，但以為直徑的圓不過點(diǎn)
D．點(diǎn)必在直線上，且以為直徑的圓過點(diǎn)
【答案】D
【詳解】設(shè)為拋物線上一點(diǎn)，
當(dāng)時(shí)，由得：，在處的切線方程為：，
即，；
同理可得：當(dāng)時(shí)，在處的切線方程切線方程為；
經(jīng)檢驗(yàn)，當(dāng)，時(shí)，切線方程為，滿足，
過拋物線上一點(diǎn)的切線方程為：；
設(shè)，
則拋物線在處的切線方程為和，，
點(diǎn)滿足直線方程：，又直線過焦點(diǎn)，
，解得：，點(diǎn)必在直線上；AC錯(cuò)誤；
由題意知：，，
，，；
設(shè)直線方程為：，
由得：，，，即，
以為直徑的圓過點(diǎn)；B錯(cuò)誤，D正確.
故選：D.
3．（2023·陜西·西北工業(yè)大學(xué)附屬中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知在四面體中，，點(diǎn)E在內(nèi)運(yùn)動(dòng)（含邊界位置），記平面與平面所成的角為，若，則的最大值為 .
【答案】
【詳解】取的中點(diǎn)為，由于，所以 ,
所以為平面與平面所成的角，由于 ,則，
設(shè)點(diǎn)E到的距離為h，則，即，
故點(diǎn)E的軌跡為以點(diǎn)A為焦點(diǎn)、為準(zhǔn)線的拋物線在內(nèi)的一段弧（如圖）,
建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，則，，
故拋物線方程為 直線，
聯(lián)立兩者方程可得 或（舍去），即當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到的位置時(shí)，此時(shí)
所以點(diǎn)E到的距離h的最大值為，故.
故答案為：
4．（2023春·山東青島·高二統(tǒng)考期中）在坐標(biāo)平面內(nèi)，拋物線的準(zhǔn)線為，點(diǎn)是上一點(diǎn)，且，垂足為，連接交于點(diǎn)，則直線在軸上的截距為 ；若點(diǎn)到的距離為，則 .
【答案】
【詳解】
∵拋物線的準(zhǔn)線為，∴，，
∴拋物線的方程為，
∴由題意，即，（）∴，
又∵，∴直線的方程為，
由，解得，
∴直線的方程為，（），
令，則，即，
∴，∴，
∴直線與軸交于點(diǎn)，直線在軸上的截距為.
∵拋物線的方程為，∴直線與軸交點(diǎn)為拋物線的焦點(diǎn)，
易知直線斜率存在，設(shè)直線的方程為，即，
則到直線的距離，解得，
所以，
.
因?yàn)椋裕傻茫?br/>即，
所以，
即，
解得或，
所以，或，，
即有或.
2．（2023春·貴州黔東南·高三校考階段練習(xí)）已知拋物線的焦點(diǎn)為，點(diǎn)，點(diǎn)在上，且是以為頂點(diǎn)的等腰三角形，其周長為10.
(1)求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)若過點(diǎn)的直線與交于A，兩點(diǎn)，點(diǎn)與A，不共線，判斷是否存在實(shí)數(shù)，使得直線，與直線交于點(diǎn)，，且以線段為直徑的圓過原點(diǎn)，若存在，求出的值；若不存在，請說明理由.
【答案】(1)
(2)存在，.
【詳解】（1）
焦點(diǎn)為，
三角形EMF為等腰三角形，所以E點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，
而點(diǎn)E在拋物線上，
所以E點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，
所以
解得 或 -5 (舍去),
所以 .
（2）
設(shè)
則以 為直徑的圓的圓心為 ，
若該圓經(jīng)過原點(diǎn), 則原點(diǎn)到 的距離為 長度的一半,
即,
整理得 ，
設(shè)點(diǎn)A坐標(biāo)，點(diǎn)B坐標(biāo)，直線直線方程為，
聯(lián)立，
所以，
所以，，
所以直線，
又因?yàn)椋?br/>所以，
令得，
即，
同理可得
由，
所以，
整理得，，
又，，
所以整理得，
即，
上式要對任意恒成立，
則需要，
所以.
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21世紀(jì)教育網(wǎng)(www.21cnjy.com)第06講 3.3.2拋物線的簡單幾何性質(zhì)
課程標(biāo)準(zhǔn) 學(xué)習(xí)目標(biāo)
①理解與掌握拋物線的幾何性質(zhì)。 ②通過對拋物線幾何性質(zhì)來解決與圓錐曲線有關(guān)的點(diǎn)、線、面積、周長的相關(guān)計(jì)算問題。 ③會(huì)解決與拋物線有關(guān)的弦、定點(diǎn)、定值與取值范圍問題的處理。 通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，要求掌握拋物線的性質(zhì)，并能解決與之相關(guān)的計(jì)算與證明問題
知識點(diǎn)01：拋物線的簡單幾何性質(zhì)
標(biāo)準(zhǔn)方程 （） （） （） （）
圖形
范圍 ， ， ， ，
對稱軸 軸 軸 軸 軸
焦點(diǎn)坐標(biāo)
準(zhǔn)線方程
頂點(diǎn)坐標(biāo)
離心率
通徑長
知識點(diǎn)02：直線與拋物線的位置關(guān)系
設(shè)直線:,拋物線:（）,將直線方程與拋物線方程聯(lián)立整理成關(guān)于的方程
(1)若,當(dāng)時(shí),直線與拋物線相交,有兩個(gè)交點(diǎn);
當(dāng)時(shí),直線與拋物線相切,有一個(gè)切點(diǎn);
當(dāng)時(shí),直線與拋物線相離,沒有公共點(diǎn).
(2)若,直線與拋物線有一個(gè)交點(diǎn),此時(shí)直線平行于拋物線的對稱軸或與對稱軸重合.因此直線與拋物線有一個(gè)公共點(diǎn)是直線與拋物線相切的必要不充分條件.
【即學(xué)即練1】（2023·全國·高三專題練習(xí)）直線與拋物線的位置關(guān)系為（　　）
A．相交 B．相切 C．相離 D．不能確定
【答案】A
【詳解】直線過定點(diǎn)，
∵，
∴在拋物線內(nèi)部，
∴直線與拋物線相交，
故選：A．
知識點(diǎn)03：直線和拋物線
1、拋物線的通徑(過焦點(diǎn)且垂直于軸的弦)長為.
2、拋物線的焦點(diǎn)弦
過拋物線（）的焦點(diǎn)的一條直線與它交于兩點(diǎn)，，則
①，；②；③.
【即學(xué)即練2】（2023秋·四川成都·高二校考期末）已知拋物線，其焦點(diǎn)到其準(zhǔn)線的距離為，過焦點(diǎn)且傾斜角為的直線交拋物線于兩點(diǎn)，
（1）求拋物線的方程及其焦點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）求.
【答案】（1），焦點(diǎn)坐標(biāo)為；（2）8.
【詳解】解：（1）拋物線的焦點(diǎn)到其準(zhǔn)線的距離為，得，
所以拋物線的方程為，焦點(diǎn)坐標(biāo)為.
（2）過焦點(diǎn)且傾斜角為的直線的方程為，設(shè)，
聯(lián)立方程組消去可得，則，
所以.
說明：拋物線的焦半徑公式如下：（為焦準(zhǔn)距）
（1）焦點(diǎn)在軸正半軸，拋物線上任意一點(diǎn)，則；
（2）焦點(diǎn)在軸負(fù)半軸，拋物線上任意一點(diǎn)，則；
（3）焦點(diǎn)在軸正半軸，拋物線上任意一點(diǎn)，則；
（4）焦點(diǎn)在軸負(fù)半軸，拋物線上任意一點(diǎn)，則.
題型01拋物線的簡單性質(zhì)
【典例1】（2023春·四川廣安·高二四川省廣安友誼中學(xué)校考階段練習(xí)）拋物線C與拋物線關(guān)于軸對稱，則拋物線C的準(zhǔn)線方程是（ ）
A． B． C． D．
【典例2】（2023·全國·高三專題練習(xí)）對拋物線，下列描述正確的是（ ）
A．開口向上，焦點(diǎn)為 B．開口向上，焦點(diǎn)為
C．開口向右，焦點(diǎn)為 D．開口向右，焦點(diǎn)為
【典例3】（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）根據(jù)下列條件寫出拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程：
（1）焦點(diǎn)是；
（2）準(zhǔn)線方程是；
（3）焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離是．
【變式1】（2023秋·陜西西安·高二校考期末）對拋物線，下列描述正確的是
A．開口向上，焦點(diǎn)為 B．開口向上，焦點(diǎn)為
C．開口向右，焦點(diǎn)為 D．開口向右，焦點(diǎn)為
【變式2】（2023春·湖南長沙·高二長沙市明德中學(xué)校考期中）若拋物線的焦點(diǎn)與雙曲線的右焦點(diǎn)重合，則的值 ．
題型02直線與拋物線的位置關(guān)系
【典例1】（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）已知直線，拋物線，l與有一個(gè)公共點(diǎn)的直線有（ ）
A．1條 B．2條 C．3條
D．1條、2條或3條
【典例2】（多選）（2023·全國·高三專題練習(xí)）若經(jīng)過點(diǎn)的直線與拋物線恒有公共點(diǎn)，則C的準(zhǔn)線可能是（ ）．
A． B．
C． D．
【典例3】（2023春·湖北孝感·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）已知M是拋物線上一點(diǎn)，則點(diǎn)M到直線的最短距離為 ．
【典例4】（2023秋·廣西北海·高二統(tǒng)考期末）已知拋物線，其準(zhǔn)線方程為．
(1)求拋物線的方程；
(2)不過原點(diǎn)的直線與拋物線交于不同的兩點(diǎn)，且，求的值．
【變式1】（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知拋物線與直線有且僅有一個(gè)交點(diǎn)，則（ ）
A．4 B．2 C．0或4 D．8
【變式2】（多選）（2023秋·安徽阜陽·高二統(tǒng)考期末）若直線與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)，則的可能取值為（ ）
A．2 B． C． D．0
【變式3】（2023秋·廣東廣州·高二校考期末）已知拋物線的一條切線方程為，則的準(zhǔn)線方程為 ．
【變式4】（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知橢圓，設(shè)直線l同時(shí)與橢圓和拋物線各恰有一個(gè)公共交點(diǎn)，求直線l的方程．
題型03拋物線的弦長
【典例1】（2023秋·浙江寧波·高二統(tǒng)考期末）已知拋物線，過點(diǎn)的直線交拋物線于兩點(diǎn)，且弦被點(diǎn)平分.
(1)求直線的方程；
(2)求弦的長度.
【典例2】（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）直線與拋物線交于兩點(diǎn)，求線段AB的長．
【變式1】（2023春·安徽滁州·高二校考開學(xué)考試）已知?jiǎng)訄A過定點(diǎn)，且與直線：相切，圓心的軌跡為．
(1)求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程；
(2)過點(diǎn)作傾斜角為的直線交軌跡于，兩點(diǎn)，求．
【變式2】（2023春·四川成都·高二成都外國語學(xué)校校考階段練習(xí)）已知拋物線的準(zhǔn)線方程為.
(1)求的值；
(2)直線交拋物線于、兩點(diǎn)，求弦長.
題型04拋物線的中點(diǎn)弦和點(diǎn)差法
【典例1】（2023秋·陜西咸陽·高二校考期末）已知拋物線，過點(diǎn)引拋物線的一條弦，使它恰在點(diǎn)處被平分，則這條弦所在的直線的方程為（ ）
A． B．
C． D．
【典例2】（2023春·寧夏吳忠·高二吳忠中學(xué)校考期中）已知拋物線是拋物線上的點(diǎn)，且.
(1)求拋物線的方程；
(2)已知直線交拋物線于兩點(diǎn)，且的中點(diǎn)為，求直線的方程.
【變式1】（2023秋·甘肅慶陽·高二校考期末）已知點(diǎn)，若拋物線的一條弦AB恰好是以P為中點(diǎn)，則弦AB所在直線方程是 ．
【變式2】（2023·江蘇·高二專題練習(xí)）已知頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上的拋物線過點(diǎn)．
(1)求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)過點(diǎn)作直線交拋物線于A、B兩點(diǎn)，使得Q恰好平分線段AB，求直線AB的方程．
題型05拋物線的焦點(diǎn)弦
【典例1】（2023·遼寧朝陽·朝陽市第一高級中學(xué)校考模擬預(yù)測）過拋物線：焦點(diǎn)的直線與交于，兩點(diǎn)，過點(diǎn)向拋物線的準(zhǔn)線作垂線，垂足為，則（ ）
A． B． C．18 D．20
【典例2】（2023春·湖北孝感·高二統(tǒng)考開學(xué)考試）已知曲線C位于y軸右側(cè)，且曲線C上任意一點(diǎn)P與定點(diǎn)的距離比它到y(tǒng)軸的距離大1．
(1)求曲線C的軌跡方程；
(2)若直線l經(jīng)過點(diǎn)F，與曲線C交于A，B兩點(diǎn)，且，求直線l的方程．
【典例3】（2023·全國·模擬預(yù)測）已知點(diǎn)在拋物線上，記為坐標(biāo)原點(diǎn)，，以為圓心，為半徑的圓與拋物線的準(zhǔn)線相切．
(1)求拋物線的方程；
(2)記拋物線的焦點(diǎn)為，過點(diǎn)作直線與直線垂直，交拋物線于，兩點(diǎn)，求弦的長．
【變式1】（2023春·上海寶山·高三上海交大附中校考期中）過拋物線的焦點(diǎn)且傾斜角為的直線被拋物線截得的弦長為 .
【變式2】（2023春·廣東汕尾·高二統(tǒng)考期末）已知拋物線過點(diǎn)（）．
(1)求C的方程；
(2)若斜率為的直線過C的焦點(diǎn)，且與C交于A，B兩點(diǎn)，求線段的長度．
【變式3】（2023春·貴州黔東南·高二校考階段練習(xí)）已知拋物線的焦點(diǎn)關(guān)于拋物線的準(zhǔn)線的對稱點(diǎn)為．
(1)求拋物線的方程；
(2)過點(diǎn)作斜率為4直線，交拋物線于，兩點(diǎn)，求．
題型06拋物線的定值、定點(diǎn)、定直線問題
【典例1】（2023春·四川資陽·高二統(tǒng)考期末）過點(diǎn)作拋物線在第一象限部分的切線，切點(diǎn)為A，F(xiàn)為的焦點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，的面積為1．
(1)求的方程；
(2)過點(diǎn)作兩條互相垂直的直線和，交于C，D兩點(diǎn)，交于P，Q兩點(diǎn)，且M，N分別為線段CD和PQ的中點(diǎn)．直線MN是否恒過一個(gè)定點(diǎn)？若是，求出該定點(diǎn)坐標(biāo)；若不是，說明理由．
【典例2】（2023·河南信陽·信陽高中校考三模）已知拋物線上一點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為3.

(1)求，的值；
(2)設(shè)為直線上除，兩點(diǎn)外的任意一點(diǎn)，過作圓的兩條切線，分別與曲線相交于點(diǎn)，和，，試判斷，，，四點(diǎn)縱坐標(biāo)之積是否為定值？若是，求該定值；若不是，請說明理由.
【典例3】（2023·廣西·統(tǒng)考一模）已知拋物線和圓，傾斜角為45°的直線過的焦點(diǎn)且與相切．
(1)求p的值：
(2)點(diǎn)M在的準(zhǔn)線上，動(dòng)點(diǎn)A在上，在A點(diǎn)處的切線l2交y軸于點(diǎn)B，設(shè)，求證：點(diǎn)N在定直線上，并求該定直線的方程．

【變式1】（2023春·河北·高二校聯(lián)考期末）已知為拋物線上一點(diǎn)，，為的中點(diǎn)，設(shè)的軌跡為曲線．
(1)求曲線的方程；
(2)過點(diǎn)作直線交曲線E于點(diǎn)M、N，點(diǎn)為直線l：上一動(dòng)點(diǎn)．問是否存在點(diǎn)使為正三角形？若存在，求出點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．
【變式2】（2023·陜西咸陽·武功縣普集高級中學(xué)校考模擬預(yù)測）已知點(diǎn)是拋物線：的焦點(diǎn)，縱坐標(biāo)為2的點(diǎn)在上，以為圓心、為半徑的圓交軸于，，.
(1)求拋物線的方程；
(2)過作直線與拋物線交于，，求的值.
【變式3】（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知拋物線E：（p>0），過點(diǎn)的兩條直線l1，l2分別交E于AB兩點(diǎn)和C，D兩點(diǎn)．當(dāng)l1的斜率為時(shí)，
(1)求E的標(biāo)準(zhǔn)方程：
(2)設(shè)G為直線AD與BC的交點(diǎn)，證明：點(diǎn)G必在定直線上．
題型07拋物線的向量問題
【典例1】（2023·四川成都·成都七中校考模擬預(yù)測）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線與軸交于點(diǎn)，過右側(cè)的點(diǎn)作，垂足為，且．

(1)求點(diǎn)的軌跡的方程；
(2)過點(diǎn)的動(dòng)直線交軌跡于，設(shè)，證明：為定值．
【典例2】（2023·甘肅定西·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知點(diǎn)M到點(diǎn)的距離比它到直線l：的距離小，記動(dòng)點(diǎn)M的軌跡為E.
(1)求E的方程；
(2)若過點(diǎn)F的直線交E于，兩點(diǎn)，則在x軸的正半軸上是否存在點(diǎn)P，使得PA，PB分別交E于另外兩點(diǎn)C，D，且？若存在，請求出P點(diǎn)坐標(biāo)，若不存在，請說明理由.
【變式1】（2023·河北衡水·模擬預(yù)測）已知點(diǎn)在拋物線上，過點(diǎn)的直線與相交于兩點(diǎn)，直線分別與軸相交于點(diǎn).
(1)當(dāng)弦的中點(diǎn)橫坐標(biāo)為3時(shí)，求的一般方程;
(2)設(shè)為原點(diǎn)，若，求證:為定值.
【變式2】（2023春·四川內(nèi)江·高二四川省內(nèi)江市第六中學(xué)校考期中）已知點(diǎn)，直線交y軸于點(diǎn)H，點(diǎn)M是l上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)M且垂直于l的直線與線段MF的垂直平分線交于點(diǎn)P．
(1)求點(diǎn)P的軌跡C的方程：
(2)若A、B為軌跡C上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且，證明直線AB必過定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)．
題型08拋物線的三角形問題
【典例1】（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知拋物線的焦點(diǎn)為，點(diǎn)在拋物線C上，且.
(1)求拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)若直線與拋物線交于兩點(diǎn)，求的面積.
【典例2】（2023春·浙江杭州·高二統(tǒng)考期末）設(shè)拋物線，過焦點(diǎn)的直線與拋物線交于點(diǎn)，.當(dāng)直線垂直于軸時(shí)，.

(1)求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程.
(2)已知點(diǎn)，直線，分別與拋物線交于點(diǎn)，.
①求證：直線過定點(diǎn)；
②求與面積之和的最小值.
【變式1】（2023春·四川內(nèi)江·高二威遠(yuǎn)中學(xué)校校考階段練習(xí)）已知拋物線，其焦點(diǎn)F到準(zhǔn)線的距離為2.
(1)求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)若O為坐標(biāo)原點(diǎn)，斜率為2且過焦點(diǎn)F的直線l交此拋物線于A、B兩點(diǎn)，求的面積.
【變式2】（2023春·四川達(dá)州·高二統(tǒng)考期末）已知拋物線上任意一點(diǎn)M到焦點(diǎn)F的距離比M到y(tǒng)軸的距離大1．
(1)求E的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)，，交E于A，C兩點(diǎn)，交E于B，D兩點(diǎn)．求四邊形ABCD的面積的最小值．

A夯實(shí)基礎(chǔ) B能力提升 C綜合素養(yǎng)
A夯實(shí)基礎(chǔ)
一、單選題
1．（2023·北京·高三專題練習(xí)）已知拋物線，經(jīng)過點(diǎn)P的任意一條直線與C均有公共點(diǎn)，則點(diǎn)P的坐標(biāo)可以為（ ）
A． B． C． D．
2．（2023秋·江蘇南通·高二統(tǒng)考期末）已知為雙曲線與拋物線的交點(diǎn)，則點(diǎn)的橫
距離為4，過點(diǎn)作直線交于，兩點(diǎn)，則（ ）
A．的準(zhǔn)線為 B．的大小可能為
C．的最小值為8 D．
三、填空題
11．（2023春·安徽·高二統(tǒng)考期末）已知拋物線的焦點(diǎn)為，過的動(dòng)直線與拋物線交于兩點(diǎn)，滿足的直線有且僅有一條，則 ．
12．（2023春·江西九江·高二德安縣第一中學(xué)校考期中）過拋物線的焦點(diǎn)作一直線交拋物線于、兩點(diǎn)，則的值是 ．
四、解答題
13．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知拋物線：的焦點(diǎn)為，為上一點(diǎn)，為準(zhǔn)線上一點(diǎn)，，
(1)求的方程；
(2)，，是上的三點(diǎn)，若，求點(diǎn)到直線距離的最大值．
14．（2023春·福建福州·高二校聯(lián)考期中）在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線上一點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為4，且點(diǎn)P到焦點(diǎn)F的距離為5．
(1)求拋物線的方程；
(2)若直線交拋物線于A，B兩點(diǎn)（位于對稱軸異側(cè)），且，求證：直線l必過定點(diǎn)．
B能力提升
1．（2023秋·廣西河池·高二統(tǒng)考期末）拋物線有如下光學(xué)性質(zhì)：過焦點(diǎn)的光線經(jīng)拋物線反射后得到的光線平行于拋物線的對稱軸；反之，平行于拋物線對稱軸的入射光線經(jīng)拋物線反射后必過拋物線的焦點(diǎn).已知拋物線的焦點(diǎn)為，一條平行于軸的光線從點(diǎn)射出，經(jīng)過拋物線上的點(diǎn)反射后，再經(jīng)拋物線上的另一點(diǎn)射出，則的面積為（ ）
A．4 B． C． D．
2．（2023·河北·校聯(lián)考三模）拋物線的弦與過弦的端點(diǎn)的兩條切線所圍成的三角形稱為阿基米德三角形，在數(shù)學(xué)發(fā)展的歷史長河中，它不斷地閃煉出真理的光輝，這個(gè)兩千多年的古老圖形，蘊(yùn)藏著很多性質(zhì)．已知拋物線，過焦點(diǎn)的弦的兩個(gè)端點(diǎn)的切線相交于點(diǎn)，則下列說法正確的是（ ）
A．點(diǎn)必在直線上，且以為直徑的圓過點(diǎn)
B．點(diǎn)必在直線上，但以為直徑的圓不過點(diǎn)
C．點(diǎn)必在直線上，但以為直徑的圓不過點(diǎn)
D．點(diǎn)必在直線上，且以為直徑的圓過點(diǎn)
3．（2023·陜西·西北工業(yè)大學(xué)附屬中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知在四面體中，，點(diǎn)E在內(nèi)運(yùn)動(dòng)（含邊界位置），記平面與平面所成的角為，若，則的最大值為 .
4．（2023春·山東青島·高二統(tǒng)考期中）在坐標(biāo)平面內(nèi)，拋物線的準(zhǔn)線為，點(diǎn)是上一點(diǎn)，且，垂足為，連接交于點(diǎn)，則直線在軸上的截距為 ；若點(diǎn)到的距離為，則 .
C綜合素養(yǎng)
1．（2023秋·云南大理·高二統(tǒng)考期末）在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線：經(jīng)過點(diǎn)，直線：與拋物線C交于M，N兩點(diǎn).
(1)求拋物線C的方程；
(2)當(dāng)時(shí)，若對任意滿足條件的實(shí)數(shù)，都有（m，n為常數(shù)），求的值.
2．（2023春·貴州黔東南·高三校考階段練習(xí)）已知拋物線的焦點(diǎn)為，點(diǎn)，點(diǎn)在上，且是以為頂點(diǎn)的等腰三角形，其周長為10.
(1)求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)若過點(diǎn)的直線與交于A，兩點(diǎn)，點(diǎn)與A，不共線，判斷是否存在實(shí)數(shù)，使得直線，與直線交于點(diǎn)，，且以線段為直徑的圓過原點(diǎn)，若存在，求出的值；若不存在，請說明理由.
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