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1.7 角平分線的性質
題型一：利用角平分線的性質求面積
1．（2025·山西大同·三模）如圖，在中，平分交于點D．若，則的面積是（ ）
A．0.6 B．1.2 C．2 D．2.6
【答案】A
【分析】本題考查的是角平分線的性質，熟練掌握角平分線的性質是解題關鍵，作于點E，求出，進而求出面積即可．
【詳解】解：作于點E，
平分，
的面積是，
故選：A．
2．（24-25八年級下·廣西桂林·期中）如圖，的周長是，，分別平分和，于，且，則的面積為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本題考查三角形的面積，角平分線的性質，過作于，于，連接，由角平分線的性質推出，由三角形的面積公式得到，代入數據計算即可．解題的關鍵是由角平分線的性質推出．
【詳解】解：如圖，過作于，于，連接，
∵，分別平分和，于，
∴，，
∵的周長是，
∴，
∴
，
即的面積為．
故選：C．
3．（2025·陜西西安·模擬預測）如圖，在中，為邊上的中線，于點，，相交于點，連接．若平分，，，則的面積為（ ）
A． B． C． D．6
【答案】C
【分析】本題考查角平分線的性質定理、三角形的中線性質、三角形的面積公式，熟練掌握角平分線的性質定理以及三角形一邊上的中線將三角形面積平分是解答的關鍵．
過F作于G，根據角平分線的性質求得，再根據三角形一邊上的中線將三角形面積平分求解即可．
【詳解】解：過F作于G，
∵平分，，，
∴，
∵為的邊上的中線，
∴為的邊上在中線，
又∵，
∴，
故選：C．
4．（24-25八年級上·湖北襄陽·期末）如圖，在中，，，平分，于，，則的面積為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本題考查了角平分線的性質：角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等，熟練掌握該知識點是解答本題的關鍵．
過點作于，如圖，根據角平分線的性質得到，然后利用三角形面積公式，利用進行計算即可．
【詳解】解：如圖，過點作于，
平分，，，
，
，
，
．
故選：A．
5．（24-25七年級下·北京·期中）如圖，在中，為的中點，平分，，與交于點，已知的面積為，則的面積為 ．
【答案】
【分析】本題考查了角平分線的性質、三角形面積．根據角平分線的性質得到點到和的距離相等，則利用三角形面積公式得到，所以，則，從而得到，接著可求出，然后利用為的中點得到．
【詳解】解：平分，
點到和的距離相等，
，
，
，
為的中點，
，
點到和的距離相等，
，
，
，
為的中點，
故答案為：．
6．（24-25八年級下·廣東清遠·期中）如圖，在中，是邊上的高，平分，交于點E，已知，，，則的面積等于 ．
【答案】8
【分析】本題考查了角平分線的性質定理，熟練掌握角平分線的性質定理是解題關鍵．過點作于點，先根據角平分線的性質定理可得，再根據三角形的面積公式計算即可得．
【詳解】解：如圖，過點作于點，
∵在中，是邊上的高，
∴，
又∵平分，，，
∴，
∵，
∴的面積等于，
故答案為：8．
6．（24-25八年級下·山西運城·期中）如圖，的外角和的平分線相交于點，點到的距離為．若，，則四邊形的面積為 ．
【答案】
【分析】本題考查角平分線的性質及三角形面積公式，熟練掌握角平分線的性質是解題關鍵．如圖，過點作于，于，于，連接，根據角平分線的性質得出，根據，結合三角形面積公式即可得答案．
【詳解】解：如圖，過點作于，于，于，連接，
∵的外角和的平分線相交于點，點到的距離為，
∴，，
∴，
∴，
∵，，
∴．
故答案為：
7．（24-25八年級上·上海·階段練習）如圖，在中，，是的平分線，如果的面積為 ，那么的面積為 ．

【答案】/
【分析】本題主要考查了角平分線的性質，過點D分別作的垂線，垂足為E、F，由角平分線的性質可得，則可證明，據此求解即可．
【詳解】解：如圖所示，過點D分別作的垂線，垂足為E、F，

∵是的平分線，，
∴，
∵，
∴，
故答案為；．
題型二：利用角平分線的性質求線段長度
1．（24-25七年級下·遼寧沈陽·階段練習）如圖，在中，平分交于點D，于點E，若，，則的長為 ．
【答案】2
【分析】本題主要考查了角平分線的性質，過點D作于H，先由三角形面積計算公式求出的長，再由角平分線的性質可得，據此求解即可．
【詳解】解：如圖所示，過點D作于H，
∵，，
∴，
∵平分，，，
∴，
故答案為：2．
2．（24-25七年級下·陜西咸陽·階段練習）如圖，在中，是邊上的高，平分，交于點，則點到BC的距離為 ．
【答案】2
【分析】本題主要考查的是角平分線的性質，掌握角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等是解題的關鍵．
由題意可知：于F，由線段的和差可得，根據角平分線的性質求出即可解答．
【詳解】解：由題意可知：于F，
∵，
∴，
∵是邊上的高，
∴，
∵平分，
∴，即點到BC的距離為2．
故答案為2．
3．（24-25七年級下·遼寧沈陽·階段練習）如圖，在中，是角平分線，若，的面積是12，則的長為 ．
【答案】3
【分析】本題主要考查了角平分線的性質定理，過點D作與點E，由角平分線的性質定理可得出，再根據三角形面積即可得出，進而可得出．
【詳解】解：過點D作與點E，
∵是角平分線，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案為：3．
4．（2025·云南楚雄·一模）如圖，在中，，的平分線交于點，連接，過點作，，若的面積是，周長是，則的長是 .
【答案】3
【分析】本題考查了角平分線的性質定理，掌握角平分線的性質定理是關鍵．
如圖所示，過點作于點，由題意可得，根據，代入求解即可．
【詳解】解：如圖所示，過點作于點，
∵點是，的平分線交點，
，
∴，
∵，
∴，
∴，且，
解得，，
故答案為：3 ．
5．（24-25八年級下·山東棗莊·期中）如圖，是的平分線，于E，，，則的長是 ．
【答案】
【分析】本題考查了角平分線的性質，解題的關鍵是掌握角平分線上的點到兩邊距離相等．過點D作于點F，根據角平分線的性質得出，再根據，即可解答．
【詳解】解：過點D作于點F，
∵是的平分線，，，
∴，
∵，
∴，
解得：，
故答案為：．
6．（24-25八年級下·湖南永州·期中）如圖，是的角平分線，于，的面積是，，，則 ．

【答案】
【分析】本題考查了角平分線的性質，“角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等”．過點作，垂足為，根據角平分線性質可得，根據三角形的面積，即可求出的長度．
【詳解】解：過點作，垂足為，
是的角平分線，，
，
的面積是，，，
，
即，
，
故答案為：．
7．（24-25八年級上·重慶石柱·期中）如圖，在中，，和的平分線相交于點O，交于D，交于E，，，，則周長為
【答案】4
【分析】本題考查的是角平分線的定義，全等三角形的判定與性質，作出輔助線構建全等三角形是解本題的關鍵；延長交于，延長交于，先證明，，，結合即可得到答案．
【詳解】解：如圖，延長交于，延長交于，
，
∵和的平分線相交于點O，
∴，，
∵，，
∴，，
在與中，
∵，
∴
∴， ，
在與中，
∵，
∴，
∴，，
在與中，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
故答案為：4．
8．（24-25八年級下·廣東梅州·階段練習）如圖，和是中和的平分線的交點，若點O到的距離為3，到的距離為，到的距離為，則
【答案】
【分析】本題考查了角平分線的性質，根據題意易得點O是的內心，根據角平分線的性質可得點O到的距離，點O到的距離，點O到的距離相等，得到，即可解答．
【詳解】解：由題意易得點O是的內心，
則點O到的距離，點O到的距離，點O到的距離相等，
∵點O到的距離為3，
∴，
∴．
故答案為：．
題型三：利用角平分線的性質求點到直線的距離
1．（2025七年級下·全國·專題練習）如圖，中的平分線交于點，若于點，且，則點到邊的距離是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本題考查角平分線的性質，關鍵是掌握角平分線的性質定理．作于，由角平分線的性質得到，于是得到點到邊的距離是．
【詳解】解：作于，
平分，于，
，
點到邊的距離是．
故選：C．
2．（24-25八年級下·陜西西安·期中）如圖，，點為與的平分線的交點，于，若，則與兩平行線之間的距離是（ ）
A．3 B．4 C．6 D．8
【答案】C
【分析】本題主要考查了角平分線的性質，平行線之間的距離，
作，可知點F，O，G三點共線，再根據角平分線的性質得，可得答案．
【詳解】解：過點O作，分別交于點F，G，
∴，
∴點F，O，G三點共線．
∵分別是的平分線，且，
∴，
∴，
∴與兩平行線之間的距離是6．
故選：C．
3．（24-25八年級下·廣西來賓·期中）如圖，已知中，，平分，且．若，則點到邊的距離為（ ）
A．2 B．3 C．6 D．9
【答案】C
【分析】本題考查了角平分線的性質，線段的和差．先根據題意求出，再利用角平分線上的點到兩邊的距離相等，即可得出結論．
【詳解】解： ∵，
設，則，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
過點D作于E，
∵平分，，
∴，
∴點D到邊的距離是．
故選：C．
4．（24-25八年級下·陜西寶雞·階段練習）如圖，在中，是角平分線，于點，，則點到的距離為（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】本題考查了角平分線的性質，過D作于F，根據角平分線的性質求解即可．
【詳解】解：過D作于F，
∵平分，，，
∴，
即點到的距離為2，
故選：B．
5．（24-25八年級上·新疆烏魯木齊·期末）如圖，在中，，O是與平分線的交點，則點O到的距離為 ．
【答案】/1厘米
【分析】本題考查了角平分線的性質定理及與三角形高有關的計算，分別過點O作，連接，易得點在的角平分線上，推出，設，根據，建立方程求解即可．
【詳解】解：分別過點O作，連接，
∵點是與平分線的交點，
∴點在的角平分線上，
∴，
設，
∵，
在中，，
∴，
∴，
∴，
∴點到的距離等于．
故答案為：．
6．（24-25八年級上·上海普陀·階段練習）如圖，在中，，平分，如果，點D到的距離是 ．
【答案】2
【分析】本題主要考查了角平分線的性質，過點D作于E，由角平分線的性質得到，據此可得答案．
【詳解】解：如圖所示，過點D作于E，
∵平分，，，
∴，
∴點D到的距離是2，
故答案為：2．
題型四：利用角平分線的性質求證
1．（24-25八年級下·全國·假期作業）如圖，已知為的平分線，，點P在上，于M，于N，求證：．
【答案】見解析
【分析】本題考查了角平分線上的點到角的兩邊的距離相等的性質，全等三角形的判定與性質，確定出全等三角形并得到是解題的關鍵．根據角平分線的定義可得，然后利用“邊角邊”證明和全等，根據全等三角形對應角相等可得，推出為的角平分線，然后根據角平分線上的點到角的兩邊的距離相等證明即可．
【詳解】證明：∵為的角平分線，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴為的角平分線，
∵點P在上，，
∴．
2．（24-25七年級下·重慶南川·期中）如圖，在三角形中，于點，，．
(1)求證：；
(2)若平分，平分交于點，求的度數．
【答案】(1)見解析；
(2)．
【分析】本題主要考查平行線的判定與性質以及角平分線的定義，正確運用相關知識進行推理是解答本題的關鍵．
（1）由得出，得出，進而得出，可證明，結合可得結論；
（2）根據平分線的定義得出，，根據平行線的性質可得結論．
【詳解】（1）證明：，
，
，
，
，
，
，
，
；
；
（2）解：，平分，
，即，
，
平分，
，
，
，
．
3．（24-25八年級上·四川樂山·期末）如圖所示，點、分別是、平分線上的點，于點，于點，于點，求證：．
【答案】證明見解析．
【分析】本題考查角平分線的性質，熟記角平分線上的點到角兩邊的距離相等的性質是解題關鍵．根據角平分線的性質得出，，根據線段的和差關系即可得結論．
【詳解】解：∵點、分別是、平分線上的點，，，，
∴，，
∴．
4．（24-25八年級下·湖南懷化·期中）如圖，，是中點，平分，求證：．
【答案】見解析
【分析】先利用角平分線的性質證明，根據角平分線的意義，得出，再利用中點的意義結合已知證明，從而可判定平分，根據角平分線的意義，得出，再證明，根據平行線的性質得出，從而可得，再利用三角形內角和定理得出．
【詳解】證明：過M作于E，
∵平分，，，
∴，，
∵M為的中點，
∴，
∵，，
∴平分，
∴．
，
∴，
，
，
，
．
即．
5．（24-25八年級下·四川成都·階段練習）如圖，，分別為的兩個外角的角平分線，于點P，于點Q，于點D，求證：點E在的角平分線上．

【答案】見解析
【分析】本題考查的是角平分線的性質和判定，角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等、到角的兩邊的距離相等的點在角的平分線上．先根據角平分線的性質得，，進而可知，再根據角平分線的判定定理證明即可．
【詳解】證明：∵，分別為的兩個外角平分線，，，，
∴，，
，
又∵，，
點在的平分線上．
6．（24-25八年級下·廣東梅州·階段練習）如圖，平分，，垂足分別為E，F，點B 在上，且
(1)求證：．
(2)若，求的長．
【答案】(1)見解析
(2)2
【分析】本題考查角平分線的性質和全等三角形的判定與性質，熟練掌握角平分線的性質與全等三角形的判定是解題的關鍵．
（1）根據角平分線性質和全等三角形的性質得出即可；
（2）根據全等三角形的判定得出，根據全等三角形的性質得出，再利用線段和差計算即可得出答案．
【詳解】（1）證明：∵平分，，
∴，，
在和中，
，
∴，
∴；
（2）解：由（1）得，，,
∴
∴在和中，
∴，
∴，
∴，
即，，
∴．
7．（24-25八年級上·湖北武漢·期末）如圖，的外角和的平分線相交于點P，連接．
(1)求證：平分；
(2)若，的面積是10，的面積是15，求的周長．
【答案】(1)見解析
(2)17.5
【分析】本題考查的是角平分線的性質，熟記角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等是解題的關鍵．
（1）過點P作于F，于G，于H，根據角平分線的性質得到，得到，再根據角平分線的判定證明；
（2）根據三角形面積公式求出，再根據三角形面積公式計算，得到答案．
【詳解】（1）證明：如圖，過點P作于F，于G，于H，
∵平分，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∵，
∴平分；
（2）解：∵的面積是10，
∴，
∴，
∴，
∵的面積是15，的面積是10，
∴，
∴，
∴的周長．
8．（24-25七年級下·全國·課后作業）如圖，在中，點D在邊上，的平分線交于點E，過點E分別作，垂足分別為F，G，H，且，連接．
(1)試說明：；
(2)若，且，求的面積．
【答案】(1)見解析
(2)
【分析】（1）根據平分得到，根據平分得到即可得證；
（2）設．由（1），得．利用已知建立方程解答即可．
本題考查了角的平分線的性質，三角形的面積，解方程，熟練掌握角的平分線的性質是解題的關鍵．
【詳解】（1）證明：∵，
∴．
∵，
∴，
∴即為的平分線．
又∵，
∴．
∵是的平分線，，
∴，
∴．
（2）解：設．
由（1），得．
∵，
∴，
即，
解得，
∴，
∴．
題型五：利用角平分線的判定求角度
1．（24-25八年級下·江西九江·期中）如圖，，，若，，，則（ ）
A．26° B．29° C．58° D．32°
【答案】B
【分析】本題考查了角平分線的判定定理：在角的內部，到角的兩邊的距離相等的點在這個角的平分線上．也考查了角平分線的定義，熟練掌握以上知識點是解題的關鍵．根據角平分線的判定定理，得到平分，然后根據角平分線的定義求解．
【詳解】，
平分，
．
故選：B．
2．（2025·江蘇泰州·二模）如圖，在中，D是延長線上一點，與的角平分線交于點E，連接．若要求的度數，只需要知道下列哪個角的度數（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本題考查角平分線的性質和判定，作于點，于點，交的延長線于點，根據角平分線的性質，推出，進而得到平分，得到，即可得出結果．
【詳解】解：作于點，于點，交的延長線于點，
∵與的角平分線交于點E，
∴，
∴，
∴平分，
∴，
∴只需要知道的度數即可求出的度數；
故選C．
3．（24-25八年級下·陜西·期中）如圖，點為內部一點，且點到的距離與點到的距離相等，連接，若，則的度數為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本題考查了角的平分線的判定與性質．根據點到的距離與點到的距離相等，可得點C在的角平分線上，可得，即可解答．
【詳解】解：∵點為內部一點，且點到的距離與點到的距離相等，
∴點C在的角平分線上，
∴，
∵，
∴，
故選：D．
4．（24-25八年級上·黑龍江齊齊哈爾·期中）如圖，已知點O是內一點，且點O到三邊的距離相等，，則的度數為（ ）．
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本題主要考查角平分線的判斷，三角形內角和定理，掌握角平分線的判斷和三角形內角和定理是解題的關鍵．由題意，分別為和的角平分線，利用三角形內角和即可求得．
【詳解】解：∵點O到三邊的距離相等，
∴平分，平分，
∴
故選：C．
5．（24-25八年級上·湖北武漢·期末）如圖，四邊形中，對角線平分，，則的度數為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本題考查了角平分線的定義、角平分線的性質和判定、三角形外角的定義及性質，熟練掌握角平分線上的點到角的兩邊的距離相等是解此題的關鍵．作于，于，于，根據角平分線的性質可得，再由三角形外角的性質及角平分線的定義可得，即可得到答案．
【詳解】解：如圖，作于，于，于，
平分，，，
，
，
∴
∵
∴
，，
，
平分，
，，
，
，
平分，
，
平分，
，
，
故選：B．
6．（2025·湖南衡陽·一模）如圖，在中，，，點是邊上一點，過點作于點，若，則的度數為 ．
【答案】
【分析】題目主要考查三角形內角和定理及角平分線的性質和判定，熟練掌握這些基礎知識點是解題關鍵．
根據三角形內角和定理得出，再由角平分線的判定和性質得出，繼續利用三角形內角和定理即可求解．
【詳解】解：∵，，
∴，
∵，，，
∴平分，
∴，
∴，
故答案為：．
7．（24-25八年級上·河北保定·期中）如圖，在中，，點D在的外部，且平分，過點D作，交的延長線于點E，，交于點F，連接．若，，則的度數為 ．
【答案】/63度
【分析】本題考查了角平分線的判定和性質，三角形的外角性質等知識點，熟練掌握其性質并能正確進行計算是解決此題的關鍵．如圖，連接，過點作，交的延長線于點，證明平分平分，利用三角形的外角性質求得，進一步計算即可求解．
【詳解】解：如圖，連接，過點作，交的延長線于點，
，，，
平分，
平分，，，
，
，
平分，
，
，
，
故答案為：．
8．（24-25八年級上·江蘇揚州·期中）如圖，，是的中點，平分，若，則 ．
【答案】/40度
【分析】本題考查了角平分線的判定和性質，掌握角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等是解題的關鍵．作于，根據平行線的性質求出，根據角平分線的判定定理得到，計算即可．
【詳解】解：作于．
∵，
∴，
∴，
∴．
∵平分，，，
∴．
∵是的中點，
∴，
∴，
又，，
∴．
故答案為:．
9．（24-25八年級上·云南昭通·期中）如圖，直線，交于點，于點，于點，若，且，則的度數為 ．
【答案】/28度
【分析】本題考查了四邊形內角和定理、同角的補角相等、角平分線的判定與性質．根據平角的定義和四邊形內角和為可得，，根據同角的補角相等可得，根據到角兩邊距離相等的點在角平分線上可知是的平分線，從而可求的度數.
【詳解】解：根據平角的定義可知：，
在四邊形中，，
于點，于點，
，
，
，
，
．
故答案為： ．
題型六：尺規作圖與角平分線相關求解
1．（2025·上海普陀·三模）如圖，在中，，以點為圓心，適當長為半徑畫弧，分別交于點M，點，再分別以為圓心，大于的長為半徑畫弧，兩弧交于點，射線與交于點D，，垂足為．若，則（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】本題考查了作角的平分線，角平分線的性質，熟練掌握以上知識是解題的關鍵．
由作圖可得是的角平分線，然后根據角平分線的性質求解即可．
【詳解】解：由作圖可得，是的角平分線，
∵，，
∴，
∵，
∴．
故選B．
2．（24-25八年級下·廣東揭陽·期中）如圖，在中，，以頂點為圓心，適當長為半徑畫弧，分別交，于點，再分別以點為圓心，大于的長為半徑畫弧，兩弧交于點，作射線交邊于點，若，，則的面積是（ ）
A．15 B．30 C．45 D．60
【答案】B
【分析】本題考查的是角平分線的性質，熟練掌握角平分線上的點到角的兩邊的距離相等是解題的關鍵．作交于點，根據角平分線的性質得到，再根據三角形的面積公式進行計算即可得到答案．
【詳解】解：作交于點，
，
由基本尺規作圖可知，是的平分線，
，
，
，
，
，
故選：B．
3．（2025·海南·模擬預測）如圖，直線，直線分別交，于A，B兩點，以點B為圓心，適當長為半徑畫弧，分別與，交于點E，F，再分別以點E，F為圓心，大于長為半徑畫弧，兩弧交于點C，作射線交于點D，若，則的度數為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本題考查了尺規作圖，平行線的性質，三角形外角的性質．
根據作圖步驟可知是的平分線，根據平行線的性質可得，根據三角形外角的性質即可得解．
【詳解】根據作圖步驟可知是的平分線，
∴，
∵直線，
∴，
∴，
∴．
故選：D．
4．（2025·云南西雙版納·二模）如圖，在中，以點為圓心，任意長為半徑作弧交于兩點，再分別以為圓心，以大于的長為半徑作弧，兩弧相交于點，作射線．過點作于點．若，則點到的距離為（ ）
A．9 B．6 C．3 D．1
【答案】C
【分析】本題主要考查了角平分線的性質及其尺規作圖，過點P作于H，由作圖方法可得，平分，由角平分線的性質可得，據此可得答案．
【詳解】解：如圖所示，過點P作于H，
由作圖方法可得，平分，
∵，，
∴，
∴點到的距離為3，
故選：C．
5．（24-25七年級上·山東煙臺·期中）如圖，在銳角三角形中，是邊上的高，在上分別截取線段，使；分別以點為圓心，大于的長為半徑畫弧，在內，兩弧交于點P，作射線交于點M，過點M作于點N，若，則 ．
【答案】12
【分析】本題考查了尺規作圖，角平分線的性質等知識，根據作圖可知平分，根據角平分線的性質可知，結合求出，．
【詳解】解：作圖可知平分，
∵是邊上的高，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案為：．
6．（24-25八年級下·廣東梅州·階段練習）如圖，已知，以點A為圓心，適當的長為半徑作弧，分別與相交于點B，C；分別以點B，C為圓心，大于 的長為半徑作弧，兩弧在內部相交于點P，作射線；分別以點A，B 為圓心，大于的長為半徑作弧，兩弧相交于點D，E，作直線分別與相交于點F，Q．若，，則點F到的距離為 ．
【答案】
【分析】本題考查了角平分線、垂直平分線的作法及性質，等腰直角三角形的性質．如圖，過點F作于H，證明，再證明，再結合等腰直角三角形的性質可得答案．
【詳解】解：如圖，過點F作于H，
由作圖知平分，垂直平分線段，
，
，
，
，
，
是等腰直角三角形，
，
點F到的距離為
故答案為：．
7．（24-25七年級下·江蘇揚州·階段練習）在中，，按下列步驟作圖：①以點為圓心，適當長度為半徑畫弧，分別交于兩點；②分別以點為圓心，以大于的長為半徑畫弧，兩弧交于點；③作射線交于點．則的度數是 ．

【答案】/97度
【分析】本題主要考查了尺規作角平分線，三角形內角和定理，角平分線定義，先根據尺規作圖的步驟可知平分，進而求出，再根據三角形內角和定理得出答案．
【詳解】解：根據題意可知平分，且，
∴．
∵，
∴．
故答案為：．
8．（2025·遼寧丹東·二模）如圖，在中，為的外角，以點為圓心，任意長為半徑作弧，分別交于點，分別以點為圓心，大于長為半徑作弧，兩弧交于點，作射線，以點為圓心，任意長為半徑作弧，分別交于點，分別以點為圓心，大于長為半徑作弧，兩弧交于點，作射線交射線于點，則的度數為 ．
【答案】/度
【分析】本題主要考查了三角形外角的性質，角平分線的定義及其尺規作圖，根據平角的定義得到，由作圖方法可知，分別平分，根據角平分線的定義可得的度數，再根據三角形外角的性質即可得到答案．
【詳解】解：∵，
∴，
由作圖方法可知，分別平分，
∴，
∴，
故答案為：．
題型七：角平分線中尺規作圖解答題
1．（24-25九年級下·甘肅臨夏·期中）如圖，已知在中，，請用直尺和圓規完成以下作圖：
(1)過點C作于點D；
(2)在上求作一點E，使得點E到的距離等于的長．(保留作圖痕跡，不寫作法)
【答案】(1)見詳解
(2)見詳解
【分析】本題考查了尺規作圖，作垂線，作角平分線，正確掌握相關性質內容是解題的關鍵．
（1）以點C為圓心，適當長度為半徑畫弧交于點M，N，再分別以點M，N為圓心，大于長度為半徑畫弧交點，連接，與交于一點，此時，即可作答．
（2）理解點E在上且點E到的距離等于的長，即要求點在的角平分線上，故的角平分線上與的交點即為點E，所以運用圓規和直尺作出的角平分線，即可作答．
【詳解】（1）解：依題意，如圖所示：
（2）解：依題意，點E如圖所示．
2．（24-25八年級下·陜西咸陽·期中）如圖，某電信部門要在公路、之間修建一座電視信號發射塔，按照設計要求，發射塔到兩個村莊、的距離相等，到公路、的距離也相等，問：發射塔應建在什么位置？請用尺規作圖法，在圖中用點表示出發射塔應建的位置（保留作圖痕跡，不寫作法）
【答案】見解析
【分析】本題主要考查作圖-應用與設計作圖．分別作出角的平分線和線段的中垂線，兩線的交點即為所求．
【詳解】解：如圖所示，點P即為所求作的點．
3．（24-25七年級下·江蘇徐州·期中）尺規作圖：（不寫作法，保留作圖痕跡）．
(1)如圖①，已知，作邊的垂直平分線，交邊于點M，交邊于點N；
(2)如圖②，已知，作的平分線．
【答案】(1)見解析
(2)見解析
【分析】本題主要考查了基本作圖，作一條線段的垂直平分線，作一個角的平分線，解題的關鍵是熟練掌握基本作圖步驟．
（1）根據作一條線段垂直平分線的基本作圖方法作圖即可；
（2）根據作一個角的平分線的基本作圖方法作圖即可．
【詳解】（1）解：如圖①，直線即為所求；
（2）解：如圖②，射線即為所求．
4．（24-25九年級下·黑龍江綏化·階段練習）如圖，在中.
(1)尺規作圖：作的平分線交于點D.（保留作圖痕跡，不寫作法）
(2)若，，的面積為12，求的面積
【答案】(1)見解析
(2)21
【分析】本題考查了作圖——角平分線，角平分線的性質，三角形面積，掌握角平分線上的點到角兩邊的距離相等是解題關鍵．
（1）根據角平分線的作法作圖即可；
（2）過點作、，根據角平分線的性質，得到，再根據三角形面積公式，求得，再由，即可求解．
【詳解】（1）解：如圖，射線即為所求：
（2）解：如圖，過點作交與點，作交與點，
平分，
，
的面積為12，
∴，
∴，
，，
．
5．（2025·河南信陽·模擬預測）如圖，已知．
(1)請用無刻度的直尺和圓規作的平分線，交于點D，作線段的垂直平分線，分別交于點E，交于點F，垂足為O（保留作圖痕跡，不寫作法）．
(2)在所作圖中，寫出一對全等三角形，并給出證明．
【答案】(1)見解析
(2)，證明見解析
【分析】本題主要考查了全等三角形的判定，線段垂直平分線和角平分線的尺規作圖，熟知相關知識是解題的關鍵．
（1）根據角平分線和線段垂直平分線的尺規作圖方法作圖即可；
（2）由角平分線的定義得到，由線段垂直平分線的性質得到，據此可利用證明．
【詳解】（1）解；如圖所示，射線，直線即為所求．
（2）解：，證明如下：
∵為的平分線，
∴，
∵垂直平分，
∴．
又∵，
∴．
6．（2025七年級下·河南鄭州·專題練習）如圖，已知在中．
(1)分別作，的平分線，它們交于點O（尺規作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）；
(2)當時，的度數為______．
(3)當時，用含的代數式表示的度數．
【答案】(1)見解析
(2)
(3)
【分析】本題考查作圖-復雜作圖，角平分線的定義，三角形內角和定理等知識．
（1）根據作角平分線的方法按要求作出圖形即可；
（2）利用三角形內角和定理以及角平分線的定義求出，可得結論；
（3）利用三角形內角和定理以及角平分線的定義求出，可得結論．
【詳解】（1）解：圖形如圖所示；
（2）
解：∵，
∴，
∵平分，平分，
∴，
∴，
故答案為：；
（3）解：∵，
∴，
∵平分，平分，
∴，
∴．
7．（24-25七年級下·江蘇連云港·期中）商朝第一名相、有“烹調之圣”美稱的伊尹，晚年曾隱居在連云港市灌云縣伊蘆山，大小伊山也因他而得名，后人為了紀念他準備建造一座伊尹雕像．經過實地考察與測量，決定將雕像建造在兩條伊尹路內部，并且在兩條路所構成的角的平分線上，另外又考慮到周邊兩個小區的人們都可以方便過來瞻仰，讓兩個小區，到雕像的距離也相等，請依據上述信息，在右圖中利用無刻度的直尺和圓規標出伊尹雕像點的位置．（要求：尺規作圖，不寫作法，但要保留作圖痕跡．）
【答案】圖見解析
【分析】本題考查了作圖一應用與設計作圖，線段垂直平分線的性質，角平分線的性質，解題的關鍵是熟練掌握五種基本作圖．
連接，作線段的垂直平分線，作的角平分線交于點，點即為所求．
【詳解】解：如圖，點即為所求．
8．（24-25七年級下·江蘇連云港·期中）如圖，在中，．請用無刻度的直尺和圓規完成下列作圖（保留作圖痕跡，不寫作法），并回答問題：
(1)在圖1中，作的平分線；
(2)在圖2中，把折疊，使得點與點重合，折痕分別交，于點，．
①請作出折痕；
②連接，若，，則的周長為______．
【答案】(1)見解析
(2)①見解析；②10
【分析】本題考查尺規作圖-作角的平分線、作垂線，中垂線的性質；
（1）根據作角平分線的方法步驟畫圖即可；
（2）①根據尺規作垂線的方法作圖即可；
②根據作圖知，，利用三角形周長公式進行求解即可．
【詳解】（1）解：如圖，即為所求．
；
（2）解：①如圖，折痕即為所求；
②連接，
由作圖知，
∴的周長為，
故答案為：10．
題型八：角平分線的實際應用
1．（24-25八年級下·遼寧沈陽·期中）如圖，某小區的三棟單元樓分別位于的三個頂點處，要在內建一個快遞站，并使快遞站到每一棟單元樓的距離相等，則快遞站應建在的（ ）
A．三條角平分線的交點 B．三邊垂直平分線的交點
C．三條高所在直線的交點 D．三條中線的交點
【答案】B
【分析】本題考查了線段垂直平分線的性質，掌握線段垂直平分線上的點到線段兩端點距離相等是解題的關鍵．
要使快遞站到的距離相等，說明快遞站在的三邊的垂直平分線的交點處，據此即可解答．
【詳解】解：∵快遞站到每一棟單元樓的距離相等，
∴快遞站應建在的三邊的垂直平分線的交點處．
故選B．
2．（24-25七年級下·浙江溫州·期末）如圖，直線，，表示三條公路．現要建造一個中轉站，使到三條公路的距離都相等，則中轉站可選擇的點有（ ）
A．一處 B．二處 C．三處 D．四處
【答案】D
【分析】此題考查了角平分線的性質．到三條相互交叉的公路距離相等的地點應是三條角平分線的交點．把三條公路的中心部位看作三角形，那么這個三角形兩個內角平分線的交點以及三個外角兩兩平分線的交點都滿足要求．
【詳解】解：滿足條件的有：
（1）三角形兩個內角平分線的交點，共一處；
（2）三個外角任意兩條平分線的交點，共三處．
綜上，可選擇的點有四處．
故選：D．
3．（24-25八年級上·廣西防城港·階段練習）如圖是一塊三角形的草坪，現要在草坪上建一涼亭供大家休息，要使涼亭到草坪三條邊的距離相等，涼亭的位置應選在（ ）
A．三條中線的交點 B．內任意一點
C．三條高所在直線的交點 D．三條角平分線的交點
【答案】D
【分析】本題主要考查的是角的平分線的性質在實際生活中的應用；由于涼亭到草坪三條邊的距離相等，所以根據角平分線上的點到邊的距離相等，可知是三條角平分線的交點．由此即可確定涼亭位置．
【詳解】∵涼亭到草坪三條邊的距離相等，
∴涼亭選擇三條角平分線的交點，
故選：D．
4．（24-25八年級上·遼寧撫順·期中）在三條公路圍成的一塊平地上修建一個物流服務中心（如圖），若要使物流服務中心到三條公路的距離相等，則這個物流服務中心應修建在（ ）
A．三條高線的交點處 B．三條角平分線的交點處
C．三條中線的交點處 D．三邊垂直平分線的交點處
【答案】B
【分析】本題考查了角平分線的性質，掌握角平分線的性質定理是解題的關鍵．
根據角平分線的性質定理“角平分線上的點到角兩邊的距離相等”，由此即可求解．
【詳解】解：根據角平分線的性質定理可得，要使物流服務中心到三條公路的距離相等的點為角平分線的交點，
故選：B ．
題型九：角平分線的判定解答題
1．（24-25八年級下·安徽宿州·期中）如圖，中，，點D在邊延長線上，的平分線交于點E，過點E作，垂足為H，且.
(1)求的度數；
(2)求證：平分；
(3)若，，且，求的面積.
【答案】(1)
(2)見解析
(3)的面積為15
【分析】本題考查了角的平分線判定定理和性質定理，三角形內角和定理，一元一次方程的應用，熟練掌握角的平分線的判定和性質是解題的關鍵．
（1）利用平角的定義和三角形內角和定理分別求出的度數即可得到答案；
（2）過點作于點，作于點，利用角平分線的性質定理，推出，再利用角的平分線的判定證明即可．
（3）設，利用，求出，從而求出的面積即可．
【詳解】（1）解：∵，
∴，
∵，，
∴，
∴．
（2）證明：如圖，過點作于點，作于點，
∵平分，，
，
由（1）可知，，即平分，
，，
，
，
又點在的內部，
平分；
（3）解：如上圖，過點作于點，作于點，
由（2）已得：，
設，
∵，
∴，
∴，即，
∴，
又∵，
∴，
，
∵，
∴的面積為．
2．（24-25八年級下·廣西來賓·期中）已知：如圖，在四邊形中，，過點作于，于且．
(1)求證：平分；
(2)若，，求的長．
【答案】(1)見解析
(2)
【分析】此題考查了全等三角形的判定與性質、角平分線的判定定理，解題的關鍵是掌握全等三角形的判定方法以及性質．
（1）證明，得出，即可證明結論；
（2）先證明，得出，求出，即可求出結論．
【詳解】（1）證明：于，于，
，
即和均為直角三角形，
，，
，
，
又，，
平分；
（2）解：，，
且，，
，
，
又，，
，
3．（23-24八年級上·吉林白山·期末）如圖，中，，點D，E分別在邊上，．
(1)求證：平分；
(2)寫出與的數量關系，并說明理由．
【答案】(1)見解析
(2)，見解析
【分析】本題主要考查了三角形全等的判定與性質、角平分線的判定與性質等知識點，熟練掌握以上知識點并靈活運用是解題的關鍵．
（1）如圖：過點D作于點F，證明得到，然后根據角平分線的判定定理即可證明結論；
（2）先證明得到，由（1）知，，得到，最后根據線段的和差以及等量代換即可解答．
【詳解】（1）證明：如圖：過點D作于點F，
∴，
∵，
∴．
在和中，
，
∴，
∴，
∵，，
∴點D在的平分線上，
∴平分．
（2）解：，理由如下：
由（1）知，平分，
∴．
在和中，
，
∴，
∴．
由（1）知，，
∴，
∴．
4．（24-25八年級下·甘肅臨夏·階段練習）如圖在中，點D在邊上，，的平分線交于點E，過點E作，交的延長線于點F，且，連接．
(1)求證：平分；
(2)若，且，求的面積．
【答案】(1)證明見解析；
(2)．
【分析】本題考查了角平分線的判定與性質，三角形面積公式等知識，掌握相關知識是解題的關鍵．
（1）過點作于點，于點，由是的平分線，得到 ，再證明是的平分線，得到，進而得到，即可得出結論；
（2）由，得到，求出，即可求解．
【詳解】（1）證明：過點作于點，于點，如圖：
∵是的平分線，，，
∴，
∵，，
∴ ，
∴，
∴，
∴是的平分線，
又∵，，
∴，
∴，
又∵，，
∴平分；
（2）解：如圖：
∵
∴，
∵，，
∴，
解得：，
∴，
∴．
5．（24-25八年級上·安徽亳州·期末）如圖，在和中，，，，連接，交于點，連接．
(1)求的度數；
(2)求證：平分．
【答案】(1)
(2)見解析
【分析】本題考查的是全等三角形的判定與性質；
（1）先證明，再證明，可得，再結合三角形的內角和定理可得結論；
（2）如圖，過點作于點，于點．再證明，再結合角平分線的判定定理可得結論．
【詳解】（1）解：∵，
∴．
∵，，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴．
（2）證明：如圖，過點作于點，于點．
∵，
∴，，
∴，
∴．
又∵，，
∴，
∴平分．
6．（24-25八年級下·江西上饒·階段練習）如圖，在中，和的平分線交于點，過點作，，，垂足分別為．
(1)求證：點在的平分線上；
(2)若的周長和面積都為24，求的長．
【答案】(1)見解析
(2)．
【分析】本題考查角平分線的性質和判定，三角形的面積，熟練掌握角平分線的性質是解題的關鍵．
（1）利用角平分線的性質證得，然后利用角平分線的判定定理，即可得出結論；
（2）連接，由（1）知，然后由求得，根據的周長和面積都為24列式求解即可．
【詳解】（1）證明：∵和的平分線交于點，過點作，，，
∴，，
∴，
∵，，
∴點在的平分線上；
（2）解：連接，
由（1）知，
∴
，
∵的周長和面積都為24，
∴，
∴．
7．（24-25八年級下·安徽池州·開學考試）如圖，在中，點D在邊上，，平分交于點E，過點E作交的延長線于點F，且，連接
(1)求的度數；
(2)求證：平分；
(3)若，，且，求的長．
【答案】(1)
(2)見解析
(3)
【分析】本題是三角形綜合題，主要考查了角平分線的判定和性質，三角形的內角和定理，三角形外角的性質，三角形面積公式，熟練掌握角平分線上的點到角的兩邊的距離相等是解題關鍵．
根據垂直得到，利用三角形外角的性質得到，再根據，即可求出的度數；
過點E作，，根據角平分線的性質得到，，進而得到，再根據角平分線的判定定理即可證明結論；
根據三角形的面積公式求出，再根據角平分線的性質即可求得答案．
【詳解】（1）解：，
，
，
，
，，
；
（2）證明：過點E作交于點G，交于點H，
，，
，
由可知，，
平分，
，，
，
平分，，，
，
，
，，
平分；
（3）解：，
，
，
，，，
，
，
8．（24-25八年級上·湖南衡陽·期末）如圖，在四邊形中，∥BC，為的中點，連接、，，延長交的延長線于點．
(1)求證：；
(2)求證：平分；
(3)猜想線段、、的數量關系，并說明理由．
【答案】(1)見詳解
(2)見詳解
(3)
【分析】本題考查了平行線的性質、三角形全等的判定定理與性質等知識點，熟練掌握三角形全等的判定定理與性質是解題關鍵．
（1）先根據平行線的性質可得，再根據線段中點的定義可得，然后根據三角形全等的判定定理與性質即可得證；
（2）由（1）得，得，那么．
（3）由（2）可知，得出，由（1）可知，根據即可證明．
【詳解】（1）證明：，
，
又∵E為的中點，
，
在和中
∵，
∴，
∴．
（2）證明：∵，
∴，
又∵，
∴，
在和中，
，
，
，
又，
，
平分．
（3）結論：
證明：由（2）可知，
，
由（1）可知，
，
即．
題型一：利用角平分線的性質求最值
1．（24-25八年級下·河南焦作·期中）如圖，在中，，的平分線交于點，為上一動點，則的最小值為（ ）
A．2 B． C． D．2.5
【答案】A
【分析】本題考查了角平分線的性質：角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等．也考查了垂線段最短．作于H，根據角平分線的性質得到，然后根據垂線段最短求解．
【詳解】解：作于H，如圖，
∵的平分線交于點，，，
∴，
∵Q為上一動點，
∴的最小值為的長，即的最小值為2．
故選：B．
2．（24-25八年級下·福建三明·期中）如圖，在四邊形中，，，平分，若點是邊上一動點，則的長的最小值為（ ）
A．2 B． C．4 D．
【答案】C
【分析】本題考查了角平分線的性質，能知道當時，的長度最小是解此題的關鍵．根據垂線段最短得出當時，的長度最小，求出，根據角平分線的性質得出即可得出結論．
【詳解】解：∵平分，
∴，
∵，
由垂線段最短得，時最小，
此時，．
故選：C．
3．（24-25八年級上·河北邢臺·期中）如圖，平分，垂足為，，是射線上的一個動點，則線段的最小值是（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】B
【分析】本題考查了垂線段最短，角平分線的性質，掌握角平分線上的點到角兩邊的距離相等是解題關鍵．由垂線段最短可知，當時，線段有最小值，再根據角平分線的性質求解即可．
【詳解】解：由垂線段最短可知，當時，線段有最小值，
平分，，，
，
即線段的最小值是4，
故選：B．
4．（24-25八年級下·安徽宿州·階段練習）如圖，在中，，平分交于點，，若是上的動點，則線段的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本題考查了垂線段最短，角平分線的性質，當時，線段的值最小，再根據角平分線的性質解答即可求解，掌握角平分線的性質是解題的關鍵．
【詳解】解：如圖，當時，線段的值最小，
∵，
∴，
又∵平分，，
∴，
∴線段的最小值為，
故選：．
5．（24-25八年級下·廣東佛山·期中）如圖，平分，點P在上，于D，，點E是射線上的動點，則的最小值為 ．
【答案】3
【分析】本題考查了角平分線的性質：角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等．也考查了垂線段最短，熟練掌握各知識點并靈活運用是解題的關鍵．
過點作于，如圖，根據角平分線的性質得到，然后根據垂線段最短求解．
【詳解】解：過點作于，如圖，
平分，，，
，
點是射線上的動點，
的最小值為．
故答案為：3．
6．（24-25八年級上·安徽·期末）如圖，在中，，平分交于點，點，分別是上的動點，則

（1）的長為 ；
（2）的最小值為 ．
【答案】
【分析】本題主要考查垂線段最短問題、角平分線的性質等知識點，解決本題的關鍵是正確作出輔助線，借助面積法列方程求解．
過點作，根據角平分線上的點到角兩邊的距離相等可知，再根據列方程求出的長；
過點作交于點，作交于點，此時有，利用面積法列方程求出的長度即為的最小值．
【詳解】解：如下圖所示，過點作，

平分交于點，
，
，
，
，，，
，
解得：，
故答案為：；
解：如下圖所示，過點作交于點，作交于點，

平分交于點，
點與點關于對稱，
，
在中，，
，
，
解得：，
故答案為：．
7．（24-25八年級上·安徽蕪湖·期末）如圖，動點與線段構成，其邊長滿足，，．在中運用三角形三邊關系，可求得的取值范圍是 ，若點在的平分線上，且，則的面積的最大值為 ．
【答案】
【分析】本題主要考查了三角形三邊關系，全等三角形的判定與性質，三角形中線的性質等知識，熟練掌握相關知識，正確作出輔助線是解題關鍵．
在中，由三角形三邊關系“在一個三角形中，任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊”可知，代入數值即可確定的取值范圍；延長、交于點，首先利用“ASA”證明，由全等三角形的性質可得，，進而可求得，結合三角形中線的性質易知，確定面積的最大值，即可獲得答案．
【詳解】解：在中，，
，
解得；
如下圖，延長、交于點，
為的平分線，
，
在和中，
，
，
，，
，
，
，
，
當時，的面積取最大值，
即，
．
故答案為：；．
題型二：利用角平分線的判定判斷結論是否正確
1．（24-25八年級上·安徽合肥·期末）如圖，在中，以它的邊為直角邊，分別在形外作等腰直角三角形，連接．下列結論中不一定成立的是（ ）
A． B．
C．平分 D．
【答案】D
【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質，三角形內角和定理，角平分線的判定，熟練掌握全等三角形的判定是解題的關鍵．
利用證明則，即可判斷A；由于，則，而，故，即可判斷B；過點A作于點，過點A作于點，由于，則，而，故，根據角平分線的判定即可判斷C；對于D，條件不足，不能證明．
【詳解】解：由題意得，
∴，
∴，
∴，故A正確，不符合題意；
如圖：
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，故B正確，不符合題意；
如圖：過點A作于點，過點A作于點，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴平分，故C正確，不符合題意；
∵現有條件不足以證明，故D錯誤，符合題意，
故選：D．
2．（24-25八年級上·浙江杭州·期末）如圖，在中，，分別平分和，，相交于點P，則下列結論不一定成立的是（ ）
A．
B．與的面積比等于邊與之比
C．
D．若，則
【答案】C
【分析】本題考查角平分線的判定及性質，三角形的內角和定理，三角形的面積公式．
過點P作于點M，作于點N，作于點H，根據角平分線的性質及判定可證明選項A；根據三角形的面積公式可證明選項B，根據三角形的內角和定理可證明選項D，據此即可解答．
【詳解】解：過點P作于點M，作于點N，作于點H，
∵平分，，，
∴，
∵平分，，，
∴，
∴，
∵，，
∴平分，
∴．故選項A的結論一定成立；
．故選項B的結論一定成立；
∵，
∴，
∵平分，平分，
∴，，
∴，
∴．故選項D的結論一定成立．
根據題意無法證明選項C的結論一定成立．
故選：C
3．（23-24八年級上·山東聊城·期末）如圖，已知點P在射線上，，垂足分別為A，C，且，則下列結論錯誤的是（ ）
A． B．點D在的平分線上
C． D．
【答案】A
【分析】該題主要考查了角平分線判定和全等三角形的性質和判定，解題的關鍵是證明三角形全等．
根據得出點在的平分線上，再證明和即可證明．
【詳解】解：∵，
∴是的角平分線，
∴點在的平分線上，故B正確，
在和中，，
∴，
∴，
在和中，，
∴，故C正確，
∴，故D正確．
故選：A．
4．（24-25八年級上·廣東惠州·階段練習）如圖，點C在線段上（不與點A，B重合），在的上方分別作和，且，，，連接，交于點P，下列結論錯誤的是（　　）

A． B．
C． D．連接，則平分
【答案】B
【分析】先通過證明，并根據全等三角形的性質即可證明A選項不符合題意；由外角的性質及等腰三角形的定義，可證明C選項不符合題意；連接，過點C作于點G，于點H，根據角平分線判定定理證明D選項不符合題意；無法證明B選項．
【詳解】解：，
，
即，
，，
，
，故A選項不符合題意；
，
∵，
，故C選項不符合題意；
如圖，連接，過點C作于點G，于點H，
，
，
，
，
平分，故D選項不符合題意；
當時，需成立，與題意矛盾，故B選項符合題意；
故選：B．
5．（23-24八年級上·安徽馬鞍山·期中）如圖，在和中，，連接交于點，連接．下列結論錯誤的是（ ）
A． B． C．平分 D．
【答案】D
【分析】此題重點考查全等三角形的判定與性質、根據面積等式證明線段相等、角平分線的判定，首先證明，再在此基礎上逐個去判斷即可．
【詳解】，
，
即．
在和中，
，故選項A正確；
，
．
，
．
，
，故選項B正確；
如圖，過點作于點于點．
，
，，
，
，
平分，故選項C正確；
平分，
，即，
，故選項D錯誤．
故選：D．
6．（23-24八年級上·遼寧大連·期中）如圖，平分，垂足分別為C，D，連接，則下列關系不一定成立的是（ ）

A． B． C．垂直平分 D．平分
【答案】C
【分析】本題考查全等三角形的判定與性質，線段垂直平分線的判定等知識，證明是關鍵．
【詳解】解：∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴平分，垂直平分，但不一定垂直平分；
故選項A、B、D正確，選項C錯誤；
故選：C．
題型三：角平分線的性質與判定中多結論問題
1．（23-24七年級上·山東濟南·期中）如圖，在和中，，，，，連接相交于點M，連接．下列結論：①；②；③平分；④平分．其中正確的個數為（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】B
【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質、三角形的外角性質、角平分線的判定等知識；證明三角形全等是解題的關鍵．
由SAS證明得出，①正確；由全等三角形的性質得出，由三角形的外角性質得：，得出，②正確；作，如圖所示：則，由AAS證明，得出，由角平分線的判定方法得出平分，④正確；由，得出當時，才平分，假設，則，由平分得出，推出，得，而，所以，而，故③錯誤；即可得出結論．
【詳解】解：，
，即，
在和中，
，
∴，
，①正確；
由三角形的外角性質得：，
，②正確；
作于，于，如圖2所示：
則，
在和中，
，
，
，
∴平分，④正確；
∵，
∴當時，才平分，
假設，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
與矛盾，
∴③錯誤；
正確的①②④；
故選：B．
2．（24-25八年級上·山東德州·期中）如圖，在中，三個內角的平分線交于點O，過點O作，交邊于點D，的外角平分線與的延長線交于點F，延長至點G，連接，若，給出以下結論：①；②；③；④平分；其中正確結論的個數是（ ）
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
【答案】C
【分析】①已知，平分，平分，根據角平分線的定義得到的度數，根據內錯角相等，兩直線平行，即可判斷本問結論；②根據兩直線平行，內錯角相等，可得，即可得到的度數，從而求出的度數；已知、分別為、的角平分線，根據角平分線的定義可得的度數，結合三角形內角和即可得到的度數；④過點作的垂線，垂足分別為，根據角平分線的性質定理和判定定理證明即可；③同理可證明：，則，，而，故，因此與不可能相等．
【詳解】解：∵，平分，平分，
∴，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴，故①正確；
∵，
∴，
∴，
∴．
∵、分別為、的角平分線，
∴，
∴，故②正確；
過點作的垂線，垂足分別為，
∵平分，平分，，
∴，
∴，
∵
∴平分，故④正確；
同理可證明：，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴與不可能相等，故③錯誤，
∴正確的有3個，
故選：C．
3．（24-25七年級上·山東泰安·期中）如圖，在和中，交于點M，連接．下列結論：①；③平分；④平分．其中正確的個數為（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】B
【分析】由證明，根據全等三角形的性質得出，①正確；由全等三角形的性質得出，由三角形的外角性質得：，據此得出，②正確；作于G，于H，則，由證明，得出，由角平分線的判定方法得出平分，④正確；由，得出當時，才平分，假設，則，由平分得出，推出，得，而，則，而，故③錯誤；即可得出結論．
【詳解】解：∵，
∴，即，
在和中，
∵，
∴，
∴，故①正確，符合題意；
∵，
∴，故②正確，符合題意；
如圖所示，作于G，則，
在和中，
，
∴，
∴，
∴平分，故④正確，符合題意；
∵，
∴當時，才平分，
假設，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，與題意不符，故③錯誤，不符合題意；
綜上，符合題意的有①②④；
故選：B．
4．（24-25八年級上·云南昭通·期中）如圖中，，和的平分線分別為和，和相交于點P，連接，則有以下結論：
①；
②；
③．
其中正確的結論為（ ）
A．①③ B．②③ C．①② D．①②③
【答案】A
【分析】本題考查的是三角形的角平分線的定義與性質，全等三角形的判定與性質，由角平分線的定義可得，進一步可判斷①，過點P作，證明是的平分線，可判斷③，假設，通過三角形全等證明可判斷②．
【詳解】解：∵、分別是與的角平分線，，
∴，
∴，①符合題意；
過點P作，

∵、分別是與的角平分線，
∴，
∴，
∴是的平分線，
∵，
∴，故③符合題意；
若，而，，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，與題干條件矛盾，故②不符合題意；
故選：A．
5．（24-25八年級上·重慶大足·期末）如圖，在和中，，連接交于點F，連接．下列結論：①；②；③平分；④平分．其中正確的個數為（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】此題重點考查全等三角形的判定與性質、角平分線的判定、三角形的外角等于與它不相鄰的兩個內角的和等知識與方法，正確地作出所需要的輔助線是解題的關鍵．
先由證明，即可根據全等三角形的判定定理“”證明，得，可判斷①正確；設交于點，因為，所以，可判斷②正確；作于點于點，由得，則，即可證明平分，可判斷④正確；假設，則，所以，由，得，即可推導出，得，與已知條件相矛盾，可判斷③錯誤，于是得到問題的答案．
【詳解】解：∵，
，
在和中，
，
，
，故①正確；
設交于點，
，故②正確；
作于點于點，
，
，又，
，
∴點在的平分線上，
平分，故④正確；
假設，則，
，
，
，
，
在和中，
，
，
∴，與已知條件相矛盾，
，故③錯誤，
∴①②④這3個結論正確，
故選：C．
6．（24-25八年級上·山東德州·期中）如圖，已知和都是等腰三角形，，，交于點，連接，下列結論：①；②；③平分；④平分；⑤，其中正確結論有（ ）
A．①②④⑤ B．①②③ C．①②③④ D．①③⑤
【答案】A
【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質、角平分線的判定與性質，①證明，即可得到；②由可得，再由、證得即可判定；④分別過作、，根據全等三角形面積相等和，證得，即平分，即可判定；⑤由平分結合即可判定，缺少條件證明③平分．
【詳解】解：，
，
∴，
在和中，
，
，
．
故①正確；
∵，
，
，，
，
，即，
故②正確；
分別過作、垂足分別為、，
∵，
，
，
，
，
平分，無法證明平分．
故③錯誤；故④正確；
平分，，
，故⑤正確；
綜上所述，正確的有①②④⑤，
故選：A．
7．（24-25八年級上·廣西玉林·期中）如圖，在和中，，，，．連接，交于點M，連接．下列結論：①，②，③，④平分．其中正確的結論有（ ）
A．①②④ B．①②③ C．②③④ D．①③④
【答案】D
【分析】此題考查了全等三角形的判定及性質，角平分線的性質定理，熟記全等三角形的判定定理是解題的關鍵．
根據，推出，根據三角形內角和判斷①；證明，判斷③正確；根據全等的性質得到，推出即可判斷④；根據外角的性質及④的結論，可判斷③．
【詳解】解： ∵，
∴，即，
∵，，
∴，
∴，，故③正確；
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，故①正確；
過點O作于E，于F，
∵，
∴，，
∴，
∴平分，故④正確；
∴，
∵,,且,
∴．故②錯誤；
綜上所述正確的有①③④．
故選：D．
題型四：角平分線的性質和判定壓軸題
1．（24-25八年級上·江西贛州·期末）課本再現
（1）如圖（1），，是的中點，平分．求證：是的平分線．
變式探究
（2）如圖（2）所示，，是的平分線，是的平分線．
①求證：；
②求證：．
【答案】（1）證明見解析；（2）①證明見解析；②證明見解析
【分析】本題考查了角平分線的判定與性質、平行線的性質、三角形全等的判定與性質等知識，熟練掌握三角形全等的判定與性質是解題關鍵．
（1）過點作于點，先根據角平分線的性質定理可得，從而可得，再根據角平分線的判定定理即可得證；
（2）①先根據平行線的性質可得，再根據角平分線的定義可得，，從而可得，然后根據三角形的內角和定理即可得證；
②在上截取，連接，先證出，根據全等三角形的性質可得，從而可得，再證出，根據全等三角形的性質可得，由此即可得證．
【詳解】證明：（1）如圖，過點作于點，
∵平分，，即，
∴，
∵是的中點，
∴，
∴，
又∵，，點在的內部，
∴平分．
（2）①∵，
∴，
∵是的平分線，是的平分線，
∴，，
∴，
∴．
②如圖，在上截取，連接，
∵是的平分線，是的平分線，
∴，，
在和中，
，
∴，
∴，
由（2）①已證：，
∴，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴．
2．（23-24七年級上·江蘇淮安·期末）以的、為邊作和，且，，與相交于M，．
(1)如圖1，若，求的度數；
(2)如圖2，若G、H分別是、的中點，求的度數（用含式子表示）；
(3)如圖3，連接，寫出與的數量關系是______．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本題考查了全等三角形的判定和性質，三角形內角和定理，角平分線的判定定理，掌握全等三角形的判定定理是本題的關鍵．
（1）由“”可證，可得，由外角的性質可得結論；
（2）由“”可證，可得，，即可求解；
（3）由全等三角形的性質可得，，由面積法可求，由角平分線的性質可求，即可求解．
【詳解】（1）解：，
，
在和中，
，
，
，
，
；
（2）解：連接，如圖2所示：

由（1）可得：，，
、分別是、的中點，
，
在和中，
，
，
，，
，，
，
，
，
，
；
（3）解：連接，過點作于，于，如圖3所示：
，
，，
，
，
又，，
，
．
3．（24-25八年級上·江蘇鹽城·期中）綜合與實踐
【情境再現】
如圖，的平分線與的外角的平分線相交于點．
【提出問題】
試說明與滿足怎樣的數量關系，請寫出證明過程．
【數學感悟】
如圖，在中，，是上一點，將沿翻折得到，與相交于點．延長交于點，若平分，平分，求的度數．
【學以致用】
如圖，在四邊形中，平分，，若，則的度數為______．
【答案】
；；．
【分析】根據三角形外角的性質可得、，根據角平分線的定義可得、，所以可得，從而可得；
延長到，根據角平分線的定義可得，從而可得平分、平分，構造出中的模型，由中的結論可知；
過點作、、，根據、，可得平分，構造出中的模型，由中的結論可知．
【詳解】解：，
理由如下：
如下圖所示，
是的外角，
，
是的外角，
，
平分，平分，
，，
，
，
；
解：如下圖所示，延長到點，
，
，
又平分，
，
平分，
又平分，
由可知，
根據折疊可知
，
，
，
解得：，
；
解：如下圖所示，過點
作垂足為點，
垂足為點，垂足為點，
，，
，
平分，
平分，，
由（1）知
，
平分，
平分，
，
，
平分，
，
故答案為．
4．（23-24八年級上·河北衡水·階段練習）如圖1，在和中，．連接．
(1)求證：；
(2)將和繞點A向相反方向旋轉，如圖2，與交于點O，與交于點F．
①若，求的度數；
②連接，求證：平分；
③若G為上一點，，且，連接，直接寫出與的數量關系．
【答案】(1)見解析
(2)①；②見解析；③
【分析】（1）根據，推出，結合證明，即可得出結論；
（2）①根據，得出，根據，結合三角形內角和定理即可得出答案；
②過點A作于點M，于點N，根據，得出，證明，即可證明結論；
③連接， 證明，得出，證明，根據等腰三角形三線合一得出，根據垂直平分線的性質得出，再根據，即可求出結果．
【詳解】（1）證明：，
，
即：，
在和中，
，
，
；
（2）①解：根據解析（1）可知，，
，
，
又，
；
②證明：過點A作于點M，于點N，如圖所示：
，
，
∴，
，
平分；
③解：；理由如下：
連接，如圖3所示：
，
，
在和中，
，
，
，
，
，
即：，
，
，
在和中，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
垂直平分，
，
，
，
，
，
．
5．（24-25八年級上·廣東汕頭·階段練習）如圖，在和中，，，若，連接交于點；
(1)求證：．
(2)求的度數．
(3)連接，求證：平分．
(4)如圖2，是等腰直角三角形，，，，點是射線上的一點，連接，在直線上方作以點C為直角頂點的等腰直角三角形，連接，若，請直接寫出的值．
【答案】(1)見解析
(2)
(3)見解析
(4)或或
【分析】本題考查全等三角形判定及性質，等邊三角形判定及性質，角平分線判定定理．
（1）利用即可證明出；
（2）先得到是等邊三角形，利用全等性質可得，后利用即可計算出；
（3）過點作于點，于點，利用全等性質可得
再證明出，繼而得到；
（4）分三種情況討論：當在線段上，點在的右側或左側時，證明，繼而得到，當在的延長線上時，證明，繼而得到，后即可得到本題答案．
【詳解】（1）解：證明：，
，
又，，
在和中，
，
；
（2）解：，，
是等邊三角形，
，
，
，
，
；
（3）解：過點作于點，于點，
，
，
，
，
，
，
，
又，
平分．
（4）解：如圖所示，當在線段上，點在的右側時，
，
是以點為直角頂點的等腰直角三角形，
，，
又，，
，
，
，
，，
，
如圖所示，當在線段上，點在的左側時，連接，
∵是以點為直角頂點的等腰直角三角形，
∴,，
又∵,,
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴,，
∴，
∵,，
∴;
在直角三角形中，根據勾股定理可得，即
解得，
如圖所示，當在的延長線上時，
，
同理，
，
，，
，
綜上所述，或或．
6．（24-25八年級上·江西贛州·期中）教材再現，請你完成解答
(1)【問題背景】如圖1，，，，與交于點F．求證：．
(2)【問題探究】如圖2，在（1）的條件下，當，試判斷與的位置關系并證明．
(3)【問題解決】如圖3，在（1）的條件下，當，連接，求_____．（用含的式子表示）
【答案】(1)見解析；
(2)，見解析；
(3)
【分析】本題主要考查了全等三角形的判定與性質、角平分線的判定、三角形外角的定義和性質等知識，證明是解題關鍵．
（1）首先證明，然后利用“”證明，由全等三角形的性質即可證明結論；
（2）由（1）知，易得，設與的交點為，由三角形外角的定義和性質證明，即可證明結論；
（3）分別過點作，，由全等三角形的性質可得，利用面積法證明，進而可得平分，易知，由（2）知，易得，即可獲得答案．
【詳解】（1）證明：∵，
∴，即，
在和中，
∴，
∴；
（2）解：，證明如下，
由（1）知，
∴，
設與的交點為，如下圖，
∵，
∴，
∴；
（3）解：分別過點作，，如下圖，
∵，
∴，即，
∵，
∴，
∴平分，
∴，
由（2）知，
∴，
∴．
故答案為：．
1．（2025·陜西西安·模擬預測）如圖，在中，，平分，于點．若，則的面積為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】此題主要考查了角平分線的性質，解題的關鍵是采用面積的割補法．
如圖，過作于，利用角平分線的性質可以證明，然后利用三角形的面積公式即可求解．
【詳解】解：過作于，
平分，于點．
，
又，，
的面積為：
故選：D．
2．（24-25九年級下·福建泉州·期末）如圖，點是平分線上的一點，點是射線上的一點（異于點，），連結，在射線上用尺規作圖的方法找一點，使．
小明說：“以為圓心，為半徑作弧，交射線與，連結，則可證得．”
小紅說：“以為圓心，為半徑作弧，交射線與，連結，當的大小滿足一定條件時也可證得．”你認為小紅提出的條件應該是（ ）
A． B．
C．或 D．
【答案】C
【分析】本題考查了尺規作圖，角平分線性質，全等三角形的判定．根據以為圓心，為半徑作弧，分情況當時，當時，當時，結合全等三角形判定定理分析，即可解題．
【詳解】解：當時，
由作圖方法可知，，
由，可證得．
當時，，
由作圖方法可知，，
如圖，此時，射線上只有一個點符合，可證得．
當時，，
由作圖方法可知，，
如圖，此時，射線上不止一個點符合，得不到．
綜上所述，小紅提出的條件應該是或，
故選：C．
3．（2025七年級下·全國·專題練習）東湖高新區為打造成“向往之城”，正建設一批精品口袋公園．如圖所示，是一個正在修建的口袋公園．要在公園里修建一座涼亭H，使該涼亭到公路、的距離相等，且使得，則涼亭H是（　　）
A．的角平分線與邊上中線的交點
B．的角平分線與邊上中線的交點
C．的角平分線與邊上中線的交點
D．的角平分線與邊上中線的交點
【答案】A
【分析】題考查了角平分線的性質，根據角平分線的性質定理可得點H在的角平分線上，再根據三角形的中線性質可得，，然后利用等式的性質可得，即可解答．
【詳解】解：如圖：
∵平分，點H在上，
∴點H到、的距離相等，
∵是邊上的中線，
∴，，
∴，
∴，
∴涼亭H是的角平分線與邊上中線的交點，
故選：A．
4．（24-25八年級下·陜西咸陽·期中）如圖，在中，，是內一點，過點作于點，于點于點，若，則的度數為（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本題考查角平分線的判定，三角形的內角和定理，根據題意易得分別平分，根據三角形的內角和定理，進行求解即可．
【詳解】解：∵點作于點，于點于點，，
∴分別平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
故選D．
5．（24-25八年級上·河北唐山·期末）下列所作平分的方案，說法正確的是（ ）
A．只有甲對 B．只有乙對 C．甲、乙都對 D．甲、乙都不對
【答案】C
【分析】本題考查了角平分線的判定定理，全等三角形的判定和性質，由角平分線的判定定理可判定甲；由可證，得到，即可判定乙，綜合即可求解，掌握以上知識點是解題的關鍵．
【詳解】解：由甲的作法可知，點到的距離相等，
∴點在的角平分線上，
即平分，故甲對；
由乙的作法可知，，，
，
∴，
∴即平分，故乙對；
綜上，甲、乙都對，
故選：．
6．（24-25八年級上·云南昭通·期末）如圖，在中，，，，點D在邊上，點D 到邊，的距離相等，且，則的周長等于（ ）

A．10 B．13 C．16 D．19
【答案】B
【分析】本題考查了角平分線的判定，全等三角形的判定與性質等知識，先根據角平分線的判定得出，根據證明，得出，然后根據三角形的周長公式求解即可．
【詳解】解：∵點D 到邊，的距離相等，
∴，
又，，
∴，
∴，
∵，，，，
∴，
∴的周長等于，
故選：B．
7．（24-25八年級上·河南商丘·期中）如圖，一把直尺壓住射線，另一把完全一樣的直尺壓住射線并且與第一把直尺交于點P，小明說：“射線就是的平分線．”他這樣做的依據是（ ）
A．角平分線上的點到這個角兩邊的距離相等
B．角的內部到角的兩邊距離相等的點在角的平分線上
C．三角形三條角平分線的交點到三條邊的距離相等
D．以上均不正確
【答案】B
【分析】此題主要考查了角平分線的判定，關鍵是掌握角的內部到角的兩邊的距離相等的點在這個角的平分線上．
根據角的內部到角的兩邊的距離相等的點在這個角的平分線上，可得平分．
【詳解】解：如圖所示：過點作，，
兩把完全相同的長方形直尺的寬度相等，
，
平分（角的內部到角的兩邊的距離相等的點在這個角的平分線上），
故選：B．
8．（24-25八年級上·江蘇南京·階段練習）如圖，，，，，交于點H，連．則的度數為（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本題主要考查全等三角形的判定和性質，角分線的判定定理和鄰補角的定義，設與相交于點，過點作于點M，于點M，根據題意得，可利用證明，有，結合三角形得內角和定理得，進一步利用證明，有，即可判定平分，結合鄰補角的定義即可．
【詳解】解：設與相交于點，過點作于點M，于點M，如圖所示：
∵，
∴，
在和中，
∴，
∴，
∵，
則
∴，
在和中
∴，
∴，
∴平分，
∴，
故選：D．
9．（24-25八年級上·廣東汕頭·期末）點在內，且到三邊的距離相等，若，則 ．
【答案】
【分析】本題考查角平分線的判定，與角平分線有關的三角形的內角和定理，根據點在內，且到三邊的距離相等，得到點為三條角平分線的交點，根據角平分線平分角，結合三角形的內角和定理進行求解即可．
【詳解】解：如圖：
∵點在內，且到三邊的距離相等，
∴平分，平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
故答案為：120
10．（24-25八年級上·新疆伊犁·期中）已知點是內一點，且點到三邊、、的距離相等，連接、，若，則 ．
【答案】/度
【分析】本題考查角平分線的性質，以及三角形的內角和定理．如圖，由點O到三邊、、的距離相等，可知，是三角形三條角平分線的交點，根據角平分線平分角，利用三角形的內角和定理進行計算即可．
【詳解】解：如圖：
∵，
∴，
∵點O到三邊、、的距離相等，
∴是三角形三條角平分線的交點，
∴分別平分，
∴，
∴，
∴；
故答案為：．
11．（24-25八年級上·全國·單元測試）如圖，已知點是內一點，且點到、的距離，，則 ．
【答案】/40度
【分析】本題考查了三角形內角和定理、角平分線的判定與性質，由三角形內角和定理得出，再由角平分線的判定定理得出平分，最后由角平分線的定義即可得出答案．
【詳解】解：由題意得：，，
∴，
∵，
∴，
∵點到、的距離，
∴平分，
∴，
故答案為：．
12．（23-24七年級下·山東威海·期末）如圖，的內角和外角的角平分線，交于點，且，則 ．
【答案】/64度
【分析】延長，過點作于點，作于點，作于點，根據角平分線的判定可知是的平分線，再利用角平分線的定義可知，最后利用三角形外角的性質即可解答．本題考查了角平分線的判定，角平分線的定義，三角形外角的性質，熟練運用角平分線的定義是解題的關鍵．
【詳解】解：延長，過點作于點，作于點，作于點，
∵的外角的平分線與內角平分線交于點，
∴，
∴，
∴是的平分線，
∵平分，平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案為：．
13．（24-25九年級下·黑龍江哈爾濱·期中）如圖，在中，，按以下步驟作圖：①以點為圓心，以小于長為半徑作弧，分別交，于點，；②分別以，為圓心，以大于的長為半徑作弧，在內兩弧交于點；③作射線，交于點．若的長為2，則點到的最短距離為 ．
【答案】2
【分析】本題考查了作角平分線，角平分線的性質，垂線段最短，熟練掌握基本作圖以及角平分線的性質是解題的關鍵．
過點作于點，可知點到的最短距離為，根據作圖可得為的角平分線，根據角平分線的性質即可求解．
【詳解】解：過點作于點，點到的最短距離為，
根據作圖可知為的角平分線，
∵
∴，
故答案為：2．
14．（2025·陜西·中考真題）如圖，已知，點在邊上．請用尺規作圖法，在的內部求作一點，使得，且．（保留作圖痕跡，不寫作法）
【答案】作圖見解析
【分析】本題考查尺規基本作圖—作角的平分線，作一角等于已知角，平行線的性質，熟練掌握尺規基本作圖是解題的關鍵．先作的平分線，再在同側作，使 ，交于P即可．
【詳解】解：如圖，點即為所求；
理由如下：
由作圖可知：是的平分線，
∴，
∵，
∴，
∴點即為所求．
15．（24-25八年級下·陜西咸陽·期中）如圖，在四邊形中，平分交于點，連接，若點是邊的中點，求的度數．
【答案】
【分析】本題主要考查了角平分線的性質定理、角平分線的判定定理等知識點，正確作出輔助線、構造角平分線成為解題的關鍵．
如圖：過E作于F，由角平分線的性質定理可得，再結合點是邊的中點可得，再判定平分，最后根據角平分線的定義求解即可．
【詳解】解：如圖：過E作于F，
∵，
∴．
∵平分，，
∴，
∵點是邊的中點，
∴，
∴．
∵，
∴平分，
∴．
16．（24-25七年級下·黑龍江齊齊哈爾·期中）根據提示填空（或填上每步推理的理由）
已知：如圖，于D，于G，．求證：平分．
證明：∵于D，于G（已知）
∴，，
∴，
∴（________________________________），
∴________（________________________________），
（________________________________），
又∵（已知），
∴________，
∴平分．
【答案】同位角相等，兩直線平行；；兩直線平行，內錯角相等；兩直線平行，同位角相等；2
【分析】本題主要考查平行線的判定和性質，角平分線定義，解題的關鍵是熟練掌握平行線的判定定理和性質定理．根據垂線定義求出，根據平行線的判定得出答案，根據平行線的性質得出，即可得出答案．
【詳解】證明：∵于D，于G（已知）
∴，，
∴，
∴（同位角相等，兩直線平行），
∴（兩直線平行，內錯角相等），
（兩直線平行，同位角相等），
又∵（已知），
∴
∴平分．
17．（24-25八年級下·廣東深圳·期中）如圖，中，點在邊延長線上，的平分線交于點，過點作，垂足為，且．
(1)的度數是 ；
(2)求證：平分；
(3)若，且，求的面積．
【答案】(1)
(2)證明見解析
(3)
【分析】本題主要考查了角平分線的判定與性質，三角形內角和定理的應用；
（1）先求出，再根據直角三角形的兩個銳角互余可得，然后根據即可得；
（2）過點作于點，作于點，先根據角平分線的性質可得，從而可得，再根據角平分線的判定即可得證；
（3）過點作于點，作于點，則，設，再根據和三角形的面積公式可得的值，從而可得的值，然后利用三角形的面積公式即可得．
【詳解】（1）解：，
，
，
，
．
（2）證明：如圖，過點作于點，作于點，
平分，，
，
由（1）可知，，即平分，
，
，
又點在的內部，
平分．
（3）解：如圖，過點作于點，作于點，

由（2）已得：，
設，
，
，
，即，
又，
，
，
，
的面積為．
18．（24-25八年級下·福建漳州·階段練習）如圖：，，，，
(1)圖中、有怎樣的位置關系？試證明你的結論．
(2)連接，求證：平分．
【答案】(1)，證明見解析
(2)見解析
【分析】本題考查了全等三角形的判定和性質，三角形內角和定理，角平分線的判定定理，作輔助線構造全等三角形是解題關鍵．
（1）令與的交點為G，證明，得到，進而得出，即可得到結論；
（2）過點作于點，于點，證明，得到，即可證明結論．
【詳解】（1）解：，證明如下：
令與的交點為G，如圖，
，，
，
，即，
在和中，
，
，
，
，
，
；
（2）證明：如圖，過點作于點，于點，
，
，
，
在和中，
，
，
，
又，，
平分．中小學教育資源及組卷應用平臺
1.7 角平分線的性質
題型一：利用角平分線的性質求面積
1．（2025·山西大同·三模）如圖，在中，平分交于點D．若，則的面積是（ ）
A．0.6 B．1.2 C．2 D．2.6
2．（24-25八年級下·廣西桂林·期中）如圖，的周長是，，分別平分和，于，且，則的面積為（ ）
A． B． C． D．
3．（2025·陜西西安·模擬預測）如圖，在中，為邊上的中線，于點，，相交于點，連接．若平分，，，則的面積為（ ）
A． B． C． D．6
4．（24-25八年級上·湖北襄陽·期末）如圖，在中，，，平分，于，，則的面積為（ ）
A． B． C． D．
5．（24-25七年級下·北京·期中）如圖，在中，為的中點，平分，，與交于點，已知的面積為，則的面積為 ．
6．（24-25八年級下·廣東清遠·期中）如圖，在中，是邊上的高，平分，交于點E，已知，，，則的面積等于 ．
6．（24-25八年級下·山西運城·期中）如圖，的外角和的平分線相交于點，點到的距離為．若，，則四邊形的面積為 ．
7．（24-25八年級上·上海·階段練習）如圖，在中，，是的平分線，如果的面積為 ，那么的面積為 ．

題型二：利用角平分線的性質求線段長度
1．（24-25七年級下·遼寧沈陽·階段練習）如圖，在中，平分交于點D，于點E，若，，則的長為 ．
2．（24-25七年級下·陜西咸陽·階段練習）如圖，在中，是邊上的高，平分，交于點，則點到BC的距離為 ．
3．（24-25七年級下·遼寧沈陽·階段練習）如圖，在中，是角平分線，若，的面積是12，則的長為 ．
4．（2025·云南楚雄·一模）如圖，在中，，的平分線交于點，連接，過點作，，若的面積是，周長是，則的長是 .
5．（24-25八年級下·山東棗莊·期中）如圖，是的平分線，于E，，，則的長是 ．
6．（24-25八年級下·湖南永州·期中）如圖，是的角平分線，于，的面積是，，，則 ．

7．（24-25八年級上·重慶石柱·期中）如圖，在中，，和的平分線相交于點O，交于D，交于E，，，，則周長為
8．（24-25八年級下·廣東梅州·階段練習）如圖，和是中和的平分線的交點，若點O到的距離為3，到的距離為，到的距離為，則
題型三：利用角平分線的性質求點到直線的距離
1．（2025七年級下·全國·專題練習）如圖，中的平分線交于點，若于點，且，則點到邊的距離是（　　）
A． B． C． D．
2．（24-25八年級下·陜西西安·期中）如圖，，點為與的平分線的交點，于，若，則與兩平行線之間的距離是（ ）
A．3 B．4 C．6 D．8
3．（24-25八年級下·廣西來賓·期中）如圖，已知中，，平分，且．若，則點到邊的距離為（ ）
A．2 B．3 C．6 D．9
4．（24-25八年級下·陜西寶雞·階段練習）如圖，在中，是角平分線，于點，，則點到的距離為（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
5．（24-25八年級上·新疆烏魯木齊·期末）如圖，在中，，O是與平分線的交點，則點O到的距離為 ．
6．（24-25八年級上·上海普陀·階段練習）如圖，在中，，平分，如果，點D到的距離是 ．
題型四：利用角平分線的性質求證
1．（24-25八年級下·全國·假期作業）如圖，已知為的平分線，，點P在上，于M，于N，求證：．
2．（24-25七年級下·重慶南川·期中）如圖，在三角形中，于點，，．
(1)求證：；
(2)若平分，平分交于點，求的度數．
3．（24-25八年級上·四川樂山·期末）如圖所示，點、分別是、平分線上的點，于點，于點，于點，求證：．
4．（24-25八年級下·湖南懷化·期中）如圖，，是中點，平分，求證：．
5．（24-25八年級下·四川成都·階段練習）如圖，，分別為的兩個外角的角平分線，于點P，于點Q，于點D，求證：點E在的角平分線上．

6．（24-25八年級下·廣東梅州·階段練習）如圖，平分，，垂足分別為E，F，點B 在上，且
(1)求證：．
(2)若，求的長．
7．（24-25八年級上·湖北武漢·期末）如圖，的外角和的平分線相交于點P，連接．
(1)求證：平分；
(2)若，的面積是10，的面積是15，求的周長．
8．（24-25七年級下·全國·課后作業）如圖，在中，點D在邊上，的平分線交于點E，過點E分別作，垂足分別為F，G，H，且，連接．
(1)試說明：；
(2)若，且，求的面積．
題型五：利用角平分線的判定求角度
1．（24-25八年級下·江西九江·期中）如圖，，，若，，，則（ ）
A．26° B．29° C．58° D．32°
2．（2025·江蘇泰州·二模）如圖，在中，D是延長線上一點，與的角平分線交于點E，連接．若要求的度數，只需要知道下列哪個角的度數（ ）
A． B． C． D．
3．（24-25八年級下·陜西·期中）如圖，點為內部一點，且點到的距離與點到的距離相等，連接，若，則的度數為（ ）
A． B． C． D．
4．（24-25八年級上·黑龍江齊齊哈爾·期中）如圖，已知點O是內一點，且點O到三邊的距離相等，，則的度數為（ ）．
A． B． C． D．
5．（24-25八年級上·湖北武漢·期末）如圖，四邊形中，對角線平分，，則的度數為（ ）
A． B． C． D．
6．（2025·湖南衡陽·一模）如圖，在中，，，點是邊上一點，過點作于點，若，則的度數為 ．
7．（24-25八年級上·河北保定·期中）如圖，在中，，點D在的外部，且平分，過點D作，交的延長線于點E，，交于點F，連接．若，，則的度數為 ．
8．（24-25八年級上·江蘇揚州·期中）如圖，，是的中點，平分，若，則 ．
9．（24-25八年級上·云南昭通·期中）如圖，直線，交于點，于點，于點，若，且，則的度數為 ．
題型六：尺規作圖與角平分線相關求解
1．（2025·上海普陀·三模）如圖，在中，，以點為圓心，適當長為半徑畫弧，分別交于點M，點，再分別以為圓心，大于的長為半徑畫弧，兩弧交于點，射線與交于點D，，垂足為．若，則（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
2．（24-25八年級下·廣東揭陽·期中）如圖，在中，，以頂點為圓心，適當長為半徑畫弧，分別交，于點，再分別以點為圓心，大于的長為半徑畫弧，兩弧交于點，作射線交邊于點，若，，則的面積是（ ）
A．15 B．30 C．45 D．60
3．（2025·海南·模擬預測）如圖，直線，直線分別交，于A，B兩點，以點B為圓心，適當長為半徑畫弧，分別與，交于點E，F，再分別以點E，F為圓心，大于長為半徑畫弧，兩弧交于點C，作射線交于點D，若，則的度數為（ ）
A． B． C． D．
4．（2025·云南西雙版納·二模）如圖，在中，以點為圓心，任意長為半徑作弧交于兩點，再分別以為圓心，以大于的長為半徑作弧，兩弧相交于點，作射線．過點作于點．若，則點到的距離為（ ）
A．9 B．6 C．3 D．1
5．（24-25七年級上·山東煙臺·期中）如圖，在銳角三角形中，是邊上的高，在上分別截取線段，使；分別以點為圓心，大于的長為半徑畫弧，在內，兩弧交于點P，作射線交于點M，過點M作于點N，若，則 ．
6．（24-25八年級下·廣東梅州·階段練習）如圖，已知，以點A為圓心，適當的長為半徑作弧，分別與相交于點B，C；分別以點B，C為圓心，大于 的長為半徑作弧，兩弧在內部相交于點P，作射線；分別以點A，B 為圓心，大于的長為半徑作弧，兩弧相交于點D，E，作直線分別與相交于點F，Q．若，，則點F到的距離為 ．
7．（24-25七年級下·江蘇揚州·階段練習）在中，，按下列步驟作圖：①以點為圓心，適當長度為半徑畫弧，分別交于兩點；②分別以點為圓心，以大于的長為半徑畫弧，兩弧交于點；③作射線交于點．則的度數是 ．

8．（2025·遼寧丹東·二模）如圖，在中，為的外角，以點為圓心，任意長為半徑作弧，分別交于點，分別以點為圓心，大于長為半徑作弧，兩弧交于點，作射線，以點為圓心，任意長為半徑作弧，分別交于點，分別以點為圓心，大于長為半徑作弧，兩弧交于點，作射線交射線于點，則的度數為 ．
題型七：角平分線中尺規作圖解答題
1．（24-25九年級下·甘肅臨夏·期中）如圖，已知在中，，請用直尺和圓規完成以下作圖：
(1)過點C作于點D；
(2)在上求作一點E，使得點E到的距離等于的長．(保留作圖痕跡，不寫作法)
2．（24-25八年級下·陜西咸陽·期中）如圖，某電信部門要在公路、之間修建一座電視信號發射塔，按照設計要求，發射塔到兩個村莊、的距離相等，到公路、的距離也相等，問：發射塔應建在什么位置？請用尺規作圖法，在圖中用點表示出發射塔應建的位置（保留作圖痕跡，不寫作法）
3．（24-25七年級下·江蘇徐州·期中）尺規作圖：（不寫作法，保留作圖痕跡）．
(1)如圖①，已知，作邊的垂直平分線，交邊于點M，交邊于點N；
(2)如圖②，已知，作的平分線．
4．（24-25九年級下·黑龍江綏化·階段練習）如圖，在中.
(1)尺規作圖：作的平分線交于點D.（保留作圖痕跡，不寫作法）
(2)若，，的面積為12，求的面積
5．（2025·河南信陽·模擬預測）如圖，已知．
(1)請用無刻度的直尺和圓規作的平分線，交于點D，作線段的垂直平分線，分別交于點E，交于點F，垂足為O（保留作圖痕跡，不寫作法）．
(2)在所作圖中，寫出一對全等三角形，并給出證明．
6．（2025七年級下·河南鄭州·專題練習）如圖，已知在中．
(1)分別作，的平分線，它們交于點O（尺規作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）；
(2)當時，的度數為______．
(3)當時，用含的代數式表示的度數．
7．（24-25七年級下·江蘇連云港·期中）商朝第一名相、有“烹調之圣”美稱的伊尹，晚年曾隱居在連云港市灌云縣伊蘆山，大小伊山也因他而得名，后人為了紀念他準備建造一座伊尹雕像．經過實地考察與測量，決定將雕像建造在兩條伊尹路內部，并且在兩條路所構成的角的平分線上，另外又考慮到周邊兩個小區的人們都可以方便過來瞻仰，讓兩個小區，到雕像的距離也相等，請依據上述信息，在右圖中利用無刻度的直尺和圓規標出伊尹雕像點的位置．（要求：尺規作圖，不寫作法，但要保留作圖痕跡．）
8．（24-25七年級下·江蘇連云港·期中）如圖，在中，．請用無刻度的直尺和圓規完成下列作圖（保留作圖痕跡，不寫作法），并回答問題：
(1)在圖1中，作的平分線；
(2)在圖2中，把折疊，使得點與點重合，折痕分別交，于點，．
①請作出折痕；
②連接，若，，則的周長為______．
題型八：角平分線的實際應用
1．（24-25八年級下·遼寧沈陽·期中）如圖，某小區的三棟單元樓分別位于的三個頂點處，要在內建一個快遞站，并使快遞站到每一棟單元樓的距離相等，則快遞站應建在的（ ）
A．三條角平分線的交點 B．三邊垂直平分線的交點
C．三條高所在直線的交點 D．三條中線的交點
2．（24-25七年級下·浙江溫州·期末）如圖，直線，，表示三條公路．現要建造一個中轉站，使到三條公路的距離都相等，則中轉站可選擇的點有（ ）
A．一處 B．二處 C．三處 D．四處
3．（24-25八年級上·廣西防城港·階段練習）如圖是一塊三角形的草坪，現要在草坪上建一涼亭供大家休息，要使涼亭到草坪三條邊的距離相等，涼亭的位置應選在（ ）
A．三條中線的交點 B．內任意一點
C．三條高所在直線的交點 D．三條角平分線的交點
4．（24-25八年級上·遼寧撫順·期中）在三條公路圍成的一塊平地上修建一個物流服務中心（如圖），若要使物流服務中心到三條公路的距離相等，則這個物流服務中心應修建在（ ）
A．三條高線的交點處 B．三條角平分線的交點處
C．三條中線的交點處 D．三邊垂直平分線的交點處
題型九：角平分線的判定解答題
1．（24-25八年級下·安徽宿州·期中）如圖，中，，點D在邊延長線上，的平分線交于點E，過點E作，垂足為H，且.
(1)求的度數；
(2)求證：平分；
(3)若，，且，求的面積.
2．（24-25八年級下·廣西來賓·期中）已知：如圖，在四邊形中，，過點作于，于且．
(1)求證：平分；
(2)若，，求的長．
3．（23-24八年級上·吉林白山·期末）如圖，中，，點D，E分別在邊上，．
(1)求證：平分；
(2)寫出與的數量關系，并說明理由．
4．（24-25八年級下·甘肅臨夏·階段練習）如圖在中，點D在邊上，，的平分線交于點E，過點E作，交的延長線于點F，且，連接．
(1)求證：平分；
(2)若，且，求的面積．
5．（24-25八年級上·安徽亳州·期末）如圖，在和中，，，，連接，交于點，連接．
(1)求的度數；
(2)求證：平分．
6．（24-25八年級下·江西上饒·階段練習）如圖，在中，和的平分線交于點，過點作，，，垂足分別為．
(1)求證：點在的平分線上；
(2)若的周長和面積都為24，求的長．
7．（24-25八年級下·安徽池州·開學考試）如圖，在中，點D在邊上，，平分交于點E，過點E作交的延長線于點F，且，連接
(1)求的度數；
(2)求證：平分；
(3)若，，且，求的長．
8．（24-25八年級上·湖南衡陽·期末）如圖，在四邊形中，∥BC，為的中點，連接、，，延長交的延長線于點．
(1)求證：；
(2)求證：平分；
(3)猜想線段、、的數量關系，并說明理由．
題型一：利用角平分線的性質求最值
1．（24-25八年級下·河南焦作·期中）如圖，在中，，的平分線交于點，為上一動點，則的最小值為（ ）
A．2 B． C． D．2.5
2．（24-25八年級下·福建三明·期中）如圖，在四邊形中，，，平分，若點是邊上一動點，則的長的最小值為（ ）
A．2 B． C．4 D．
3．（24-25八年級上·河北邢臺·期中）如圖，平分，垂足為，，是射線上的一個動點，則線段的最小值是（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
4．（24-25八年級下·安徽宿州·階段練習）如圖，在中，，平分交于點，，若是上的動點，則線段的最小值是（ ）
A． B． C． D．
5．（24-25八年級下·廣東佛山·期中）如圖，平分，點P在上，于D，，點E是射線上的動點，則的最小值為 ．
6．（24-25八年級上·安徽·期末）如圖，在中，，平分交于點，點，分別是上的動點，則

（1）的長為 ；
（2）的最小值為 ．
7．（24-25八年級上·安徽蕪湖·期末）如圖，動點與線段構成，其邊長滿足，，．在中運用三角形三邊關系，可求得的取值范圍是 ，若點在的平分線上，且，則的面積的最大值為 ．
題型二：利用角平分線的判定判斷結論是否正確
1．（24-25八年級上·安徽合肥·期末）如圖，在中，以它的邊為直角邊，分別在形外作等腰直角三角形，連接．下列結論中不一定成立的是（ ）
A． B．
C．平分 D．
2．（24-25八年級上·浙江杭州·期末）如圖，在中，，分別平分和，，相交于點P，則下列結論不一定成立的是（ ）
A．
B．與的面積比等于邊與之比
C．
D．若，則
3．（23-24八年級上·山東聊城·期末）如圖，已知點P在射線上，，垂足分別為A，C，且，則下列結論錯誤的是（ ）
A． B．點D在的平分線上
C． D．
4．（24-25八年級上·廣東惠州·階段練習）如圖，點C在線段上（不與點A，B重合），在的上方分別作和，且，，，連接，交于點P，下列結論錯誤的是（　　）

A． B．
C． D．連接，則平分
5．（23-24八年級上·安徽馬鞍山·期中）如圖，在和中，，連接交于點，連接．下列結論錯誤的是（ ）
A． B． C．平分 D．
6．（23-24八年級上·遼寧大連·期中）如圖，平分，垂足分別為C，D，連接，則下列關系不一定成立的是（ ）

A． B． C．垂直平分 D．平分
題型三：角平分線的性質與判定中多結論問題
1．（23-24七年級上·山東濟南·期中）如圖，在和中，，，，，連接相交于點M，連接．下列結論：①；②；③平分；④平分．其中正確的個數為（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
2．（24-25八年級上·山東德州·期中）如圖，在中，三個內角的平分線交于點O，過點O作，交邊于點D，的外角平分線與的延長線交于點F，延長至點G，連接，若，給出以下結論：①；②；③；④平分；其中正確結論的個數是（ ）
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
3．（24-25七年級上·山東泰安·期中）如圖，在和中，交于點M，連接．下列結論：①；③平分；④平分．其中正確的個數為（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
4．（24-25八年級上·云南昭通·期中）如圖中，，和的平分線分別為和，和相交于點P，連接，則有以下結論：
①；
②；
③．
其中正確的結論為（ ）
A．①③ B．②③ C．①② D．①②③
5．（24-25八年級上·重慶大足·期末）如圖，在和中，，連接交于點F，連接．下列結論：①；②；③平分；④平分．其中正確的個數為（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
6．（24-25八年級上·山東德州·期中）如圖，已知和都是等腰三角形，，，交于點，連接，下列結論：①；②；③平分；④平分；⑤，其中正確結論有（ ）
A．①②④⑤ B．①②③ C．①②③④ D．①③⑤
7．（24-25八年級上·廣西玉林·期中）如圖，在和中，，，，．連接，交于點M，連接．下列結論：①，②，③，④平分．其中正確的結論有（ ）
A．①②④ B．①②③ C．②③④ D．①③④
題型四：角平分線的性質和判定壓軸題
1．（24-25八年級上·江西贛州·期末）課本再現
（1）如圖（1），，是的中點，平分．求證：是的平分線．
變式探究
（2）如圖（2）所示，，是的平分線，是的平分線．
①求證：；
②求證：．
2．（23-24七年級上·江蘇淮安·期末）以的、為邊作和，且，，與相交于M，．
(1)如圖1，若，求的度數；
(2)如圖2，若G、H分別是、的中點，求的度數（用含式子表示）；
(3)如圖3，連接，寫出與的數量關系是______．
3．（24-25八年級上·江蘇鹽城·期中）綜合與實踐
【情境再現】
如圖，的平分線與的外角的平分線相交于點．
【提出問題】
試說明與滿足怎樣的數量關系，請寫出證明過程．
【數學感悟】
如圖，在中，，是上一點，將沿翻折得到，與相交于點．延長交于點，若平分，平分，求的度數．
【學以致用】
如圖，在四邊形中，平分，，若，則的度數為______．
4．（23-24八年級上·河北衡水·階段練習）如圖1，在和中，．連接．
(1)求證：；
(2)將和繞點A向相反方向旋轉，如圖2，與交于點O，與交于點F．
①若，求的度數；
②連接，求證：平分；
③若G為上一點，，且，連接，直接寫出與的數量關系．
5．（24-25八年級上·廣東汕頭·階段練習）如圖，在和中，，，若，連接交于點；
(1)求證：．
(2)求的度數．
(3)連接，求證：平分．
(4)如圖2，是等腰直角三角形，，，，點是射線上的一點，連接，在直線上方作以點C為直角頂點的等腰直角三角形，連接，若，請直接寫出的值．
6．（24-25八年級上·江西贛州·期中）教材再現，請你完成解答
(1)【問題背景】如圖1，，，，與交于點F．求證：．
(2)【問題探究】如圖2，在（1）的條件下，當，試判斷與的位置關系并證明．
(3)【問題解決】如圖3，在（1）的條件下，當，連接，求_____．（用含的式子表示）
1．（2025·陜西西安·模擬預測）如圖，在中，，平分，于點．若，則的面積為（ ）
A． B． C． D．
2．（24-25九年級下·福建泉州·期末）如圖，點是平分線上的一點，點是射線上的一點（異于點，），連結，在射線上用尺規作圖的方法找一點，使．
小明說：“以為圓心，為半徑作弧，交射線與，連結，則可證得．”
小紅說：“以為圓心，為半徑作弧，交射線與，連結，當的大小滿足一定條件時也可證得．”你認為小紅提出的條件應該是（ ）
A． B．
C．或 D．
3．（2025七年級下·全國·專題練習）東湖高新區為打造成“向往之城”，正建設一批精品口袋公園．如圖所示，是一個正在修建的口袋公園．要在公園里修建一座涼亭H，使該涼亭到公路、的距離相等，且使得，則涼亭H是（　　）
A．的角平分線與邊上中線的交點
B．的角平分線與邊上中線的交點
C．的角平分線與邊上中線的交點
D．的角平分線與邊上中線的交點
4．（24-25八年級下·陜西咸陽·期中）如圖，在中，，是內一點，過點作于點，于點于點，若，則的度數為（　　）
A． B． C． D．
5．（24-25八年級上·河北唐山·期末）下列所作平分的方案，說法正確的是（ ）
A．只有甲對 B．只有乙對 C．甲、乙都對 D．甲、乙都不對
6．（24-25八年級上·云南昭通·期末）如圖，在中，，，，點D在邊上，點D 到邊，的距離相等，且，則的周長等于（ ）

A．10 B．13 C．16 D．19
7．（24-25八年級上·河南商丘·期中）如圖，一把直尺壓住射線，另一把完全一樣的直尺壓住射線并且與第一把直尺交于點P，小明說：“射線就是的平分線．”他這樣做的依據是（ ）
A．角平分線上的點到這個角兩邊的距離相等
B．角的內部到角的兩邊距離相等的點在角的平分線上
C．三角形三條角平分線的交點到三條邊的距離相等
D．以上均不正確
8．（24-25八年級上·江蘇南京·階段練習）如圖，，，，，交于點H，連．則的度數為（　　）
A． B． C． D．
9．（24-25八年級上·廣東汕頭·期末）點在內，且到三邊的距離相等，若，則 ．
10．（24-25八年級上·新疆伊犁·期中）已知點是內一點，且點到三邊、、的距離相等，連接、，若，則 ．
11．（24-25八年級上·全國·單元測試）如圖，已知點是內一點，且點到、的距離，，則 ．
12．（23-24七年級下·山東威海·期末）如圖，的內角和外角的角平分線，交于點，且，則 ．
13．（24-25九年級下·黑龍江哈爾濱·期中）如圖，在中，，按以下步驟作圖：①以點為圓心，以小于長為半徑作弧，分別交，于點，；②分別以，為圓心，以大于的長為半徑作弧，在內兩弧交于點；③作射線，交于點．若的長為2，則點到的最短距離為 ．
14．（2025·陜西·中考真題）如圖，已知，點在邊上．請用尺規作圖法，在的內部求作一點，使得，且．（保留作圖痕跡，不寫作法）
15．（24-25八年級下·陜西咸陽·期中）如圖，在四邊形中，平分交于點，連接，若點是邊的中點，求的度數．
16．（24-25七年級下·黑龍江齊齊哈爾·期中）根據提示填空（或填上每步推理的理由）
已知：如圖，于D，于G，．求證：平分．
證明：∵于D，于G（已知）
∴，，
∴，
∴（________________________________），
∴________（________________________________），
（________________________________），
又∵（已知），
∴________，
∴平分．
17．（24-25八年級下·廣東深圳·期中）如圖，中，點在邊延長線上，的平分線交于點，過點作，垂足為，且．
(1)的度數是 ；
(2)求證：平分；
(3)若，且，求的面積．
18．（24-25八年級下·福建漳州·階段練習）如圖：，，，，
(1)圖中、有怎樣的位置關系？試證明你的結論．
(2)連接，求證：平分．

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