資源簡介

中小學(xué)教育資源及組卷應(yīng)用平臺
2.1 圖形的軸對稱
題型一：軸對稱圖形的識別
1．（河南省2025年招考模擬九年級數(shù)學(xué)試卷）下列圖形中是軸對稱圖形的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2025·海南海口·二模）下列圖案中不是軸對稱圖形的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2025·河北邯鄲·二模）下列交通標(biāo)志中，不屬于軸對稱圖形的是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2025·山東濰坊·三模）2025年世界運動會將于8月7日至8月17日在四川省成都市舉行，是中國第二次舉辦世界運動會．下列各圖都是成都世界運動會的預(yù)選圖案，其中是軸對稱圖形的是（ ）
A． B．
C． D．
5．（2025九年級下·云南·學(xué)業(yè)考試）“國士無雙”是人民對隱姓埋名30年，一身忠骨鑄豐碑的“中國核潛艇之父”黃旭華院士的贊譽．下列四個漢字中是軸對稱圖形的是（ ）
A． B． C． D．
6．（2025·山西運城·模擬預(yù)測）博物館是歷史的見證者和收錄者，是人們直觀感受歷史脈絡(luò)、提升歷史認知的重要場所．以下四個博物館標(biāo)識，其文字上方的圖案不是軸對稱圖形的是（ ）
A． B．
C． D．
7．（2025·湖南·中考真題）武術(shù)是我國傳統(tǒng)的體育項目．下列武術(shù)動作圖形中，是軸對稱圖形的是（ ）
A． B． C． D．
題型二：根據(jù)成軸對稱圖形的特征進行判斷
1．（24-25七年級下·江蘇鹽城·期中）如圖，和關(guān)于直線m對稱，則下列結(jié)論：①直線m是線段的垂直平分線；②直線m被線段垂直平分；③.其中正確的結(jié)論是（ ）
A．①② B．②③ C．①③ D．①②③
2．（24-25八年級上·河北保定·期中）如圖，若與關(guān)于直線對稱，交于點，則下列說法不一定正確的是（ ）
A． B． C． D．
3．（2025·福建·一模）如圖是一個風(fēng)箏設(shè)計圖，其主體部分關(guān)于所在的直線對稱（四邊形，），與相交于點，，且，則下列推斷不正確的是（ ）

A． B．
C． D．是等邊三角形
4．（24-25八年級上·福建泉州·期末）如圖是一個飛鏢設(shè)計圖，其主體部分（四邊形）關(guān)于所在的直線對稱，下列判斷不正確的是（ ）
A． B． C． D．
5．（24-25八年級上·江蘇·課后作業(yè)）如圖，關(guān)于直線進行軸對稱變換后得到，下列結(jié)論中不正確的是（ ）
A． B．
C．垂直平分 D．
6．（24-25九年級下·甘肅隴南·開學(xué)考試）把一個圖形先沿著一條直線進行軸對稱變換，再沿著與這條直線平行的方向平移，我們把這樣的圖形變換叫做“滑動對稱變換”．如圖，是由沿著直線滑動對稱變換得到的，下列不一定正確的是（ ）
A．
B．
C．與關(guān)于某點中心對稱
D．直線垂直平分
7．（24-25八年級上·全國·期中）如圖，和關(guān)于直線對稱，下列結(jié)論中不正確的（　　）
（1）．
（2）．
（3）直線l垂直平分．
（4）直線和的交點不一定在直線l上．
A．4個 B．3個 C．2個 D．1個
8．（24-25七年級下·江蘇揚州·期中）如圖，與關(guān)于直線對稱，連接，其中分別交于點，下列結(jié)論：①；②；③直線垂直平分；④直線與的交點不一定在直線上．其中正確的個數(shù)有（ ）
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
題型三：根據(jù)成軸對稱圖形的性質(zhì)求角度
1．（24-25七年級下·陜西西安·階段練習(xí)）如圖，在中，，，與關(guān)于直線對稱，，則的度數(shù)為 ．
2．（2025·山東濟南·三模）如圖，與關(guān)于所在直線對稱，若，，則的度數(shù)為 ．
3．（24-25七年級下·江蘇揚州·期中）如圖，在中，，點D是邊上一點，點B關(guān)于直線的對稱點為，當(dāng)時，則的度數(shù)為 ．
4．（24-25八年級上·河北邢臺·期中）在中，，于D，點B關(guān)于的對稱點在上，若，則 ．
5．（24-25七年級下·全國·課后作業(yè)）如圖，在中，，D是上任意一點，M和N分別是點D關(guān)于和的對稱點．連接和，則的度數(shù)為 ．
6．（24-25七年級下·全國·課后作業(yè)）如圖，和關(guān)于直線對稱，和關(guān)于直線對稱，與相交于點．若，，則的度數(shù)為 ．
7．（24-25八年級上·遼寧葫蘆島·期中）如圖，中，，，點為邊上一動點，分別作點關(guān)于，的對稱點，，連接，，則的度數(shù)等于 ．
8．（24-25八年級上·安徽蕪湖·期末）如圖，和關(guān)于直線對稱，和關(guān)于直線對稱，與相交于點F，若，，則 ．
9．（24-25七年級上·山東威海·期末）如圖，內(nèi)有一點，點關(guān)于的軸對稱點是，點關(guān)于的軸對稱點是，分別交、于、點，若，則 ．
題型四：根據(jù)成軸對稱圖形的性質(zhì)求線段長度
1．（24-25七年級上·山東東營·期中）如圖，內(nèi)有一點P，P點關(guān)于的軸對稱點是G，P點關(guān)于的軸對稱點是H，分別交、于A、B點．若的長為16，則的周長為 ．
2．（24-25九年級上·新疆喀什·期中）如圖， 和關(guān)于直線L對稱，，，的周長為25，則
3．（23-24七年級上·上海·單元測試）如圖，點是外的一點，點，分別是兩邊上的點，點關(guān)于的對稱點恰好落在線段上，點關(guān)于的對稱點落在的延長線上，若，，，則線段的長為 ．
4．（23-24七年級下·江西吉安·期末）如圖，在中，，，，點，分別在，上，且與關(guān)于對稱，則的周長為 ．
5．（23-24七年級下·河北保定·期末）如圖，點P是外的一點，點M，N分別是兩邊上的點，點P關(guān)于的對稱點Q恰好落在線段上，點P關(guān)于的對稱點R落在的延長線上，若，，，則線段的長為 ．
題型五：臺球桌面上的軸對稱問題
1．（2025七年級下·全國·專題練習(xí)）下面四個圖形是標(biāo)出了長寬之比的臺球桌的俯視圖，一個球從一個角落以角擊出，在桌子邊沿回彈若干次后，最終必將落入角落的一個球囊．圖1中回彈次數(shù)為1次，圖2中回彈次數(shù)為2次，圖3中回彈次數(shù)為3次，圖4中回彈次數(shù)為5次．若某臺球桌長寬之比為，按同樣的方式擊球，球在邊沿回彈的次數(shù)為（ ）次．
A．6 B．7 C．8 D．9
2．（24-25七年級下·全國·課后作業(yè)）如圖是臺球桌面示意圖，陰影部分表示四個入球孔，小明按圖中方向擊球，每當(dāng)球碰到長方形桌的邊時會反彈，反彈的方向與原來的方向關(guān)于垂直于長方形桌邊的直線對稱，則球最后落入的球袋是（ ）
A．1號袋 B．2號袋 C．3號袋 D．4號袋
3．（24-25七年級下·全國·隨堂練習(xí)）如圖是一臺桌球面示意圖，圖中小正方形的邊長均相等，黑球放在如圖所示的位置，經(jīng)白球撞擊后沿箭頭方向運動，經(jīng)桌邊反彈最后進入的球洞的序號是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
4．（2023八年級上·江蘇·專題練習(xí)）如圖是一個臺球桌面的示意圖，圖中四個角上的陰影部分分別表示四個入球孔．若一個球按圖中所示的方向被擊出（球可以經(jīng)過多次反射），則該球最后將落入的球袋是（　　）
A．1號袋 B．2號袋 C．3號袋 D．4號袋
5．（23-24八年級上·遼寧鐵嶺·期中）中國江蘇神奇小子丁俊暉奇跡般地戰(zhàn)勝了世界頭號選手亨德利，奪得了自己首個世界臺球職業(yè)排名賽冠軍，如圖，是一個經(jīng)過改造的臺球桌面的示意圖，圖中陰影部分分別表示六個入球孔，如果一個球按圖中所示的方向被擊出（球可以經(jīng)過多次反射），那么該球最后將落入的球袋是 號袋．
6．（23-24八年級上·山東德州·期中）如圖，桌球的桌面上有M，N兩個球，若要將M球射向桌面的一邊，反彈一次后擊中N球，則A，B，C，D，4個點中，可以反彈擊中N球的是 點．
7．（23-24八年級上·山東聊城·期中）數(shù)學(xué)在我們的生活中無處不在，就連小小的臺球桌上都有數(shù)學(xué)問題，如圖所示，，若，為了使白球反彈后能將黑球直接撞入袋中，那么擊打白球時，必須保證為 ．

題型六：軸對稱中光線反射問題
1．（2025·山西呂梁·二模）如圖，為平面鏡，為水面，．一束光線從點射入，經(jīng)過平面鏡反射后，從光線變成光線，再經(jīng)過水面折射，從光線變成光線．若，，則的度數(shù)為（ ）
A． B． C． D．
2．（2025·河南周口·二模）如圖，水平地面上放置一平面鏡，從激光筆的點發(fā)出的光線照射到平面鏡的處，反射光線為，且點恰好落在與地面垂直的墻面上．若，則的度數(shù)為（ ）
A． B． C． D．
3．（24-25九年級下·遼寧鐵嶺·期中）如圖，鏡面與水平桌面的夾角，光線經(jīng)平面鏡反射到水平天花板，與反射光線的夾角，則光線與天花板所形成的夾角的度數(shù)為（ ）
A． B． C． D．
4．（2025·山西呂梁·一模）如圖，一束太陽光線經(jīng)平面鏡反射后，反射光線與水平地面平行．測得平面鏡與水平地面的夾角的度數(shù)為，則此時的太陽光線與水平地面所形成的銳角的度數(shù)是（ ）
A． B． C． D．
5．（2024·四川達州·模擬預(yù)測）如圖，兩條平行直線a，b，從點光源M射出的光線射到直線a上的A點，入射角為，然后反射光線射到直線b上的B點，當(dāng)這束光線繼續(xù)從B點反射出去后，反射光線與直線b所夾銳角的度數(shù)為（　　）
A． B． C． D．
6．（23-24七年級下·河南駐馬店·期末）如圖所示，兩個平面鏡平行放置，光線經(jīng)過平面鏡反射時，，則的度數(shù)為（ ）．
A． B． C． D．
7．（2024·江西·二模）我們知道光的反射是一種常見的物理現(xiàn)象.如圖，某 V 型路口放置如圖所示的兩個平面鏡，，兩個平面鏡所成的夾角為，位于點 D 處的甲同學(xué)在平面鏡 中看到位于點A處的乙同學(xué)的像，其中光的路徑為入射光線 經(jīng)過平面鏡反射后，又沿射向平面鏡，在點 C 處再次反射，反射光線為，已知入射光線，反射光線 ，則等于（ ）
A． B． C． D．
8．（2024·河南平頂山·三模）光的反射定律為：入射光線、反射光線和法線(垂直于反射面的直線)都在同一平面內(nèi)，且入射光線和反射光線分別位于法線的兩側(cè)，入射光線與法線的夾角入射角等于反射光線與法線的夾角反射角，興趣小組想讓太陽光垂直射入水井，運用此原理，如圖，在井口放置一面平面鏡以改變光的路線，當(dāng)太陽光線與水平線的夾角時，要使太陽光線經(jīng)反射后剛好豎直射入井底即，則調(diào)整后平面鏡與水平線的夾角為（ ）
A． B． C． D．
題型七：折疊問題
1．（2025·河北石家莊·模擬預(yù)測）如圖，將一張長方形紙片進行折疊，若，則的度數(shù)為（　　）
A． B． C． D．
2．（24-25七年級下·浙江麗水·期中）如圖，將一條對邊互相平行的紙帶進行兩次折疊，使點，點重合于點，折痕分別為，且，則的度數(shù)是（　　）
A． B． C． D．
3．（24-25七年級下·廣東廣州·期中）如圖，已知長方形紙片，點和點分別在邊和上的動點，點和點分別是邊和上的點，現(xiàn)將點，，，分別沿，折疊至點，，，，若，且，則的度數(shù)為（ ）
A．或 B．或 C．或 D．或
4．（24-25七年級下·浙江臺州·期中）如圖，將長方形紙條折疊得和，則與滿足的數(shù)量關(guān)系為（　　）
A． B．
C． D．
5．（24-25七年級下·河北石家莊·期中）如圖1，將一條兩邊互相平行的紙袋折疊．在圖1的基礎(chǔ)上繼續(xù)折疊，使得圖1中的邊與邊重合如圖，若繼續(xù)沿邊折疊，邊恰好平分，則此時的度數(shù)為（ ）度．
A． B． C． D．
6．（24-25七年級下·山東菏澤·期中）如圖，把一張長方形紙片沿折疊后，點 D，C分別落在點，的位置上，與 的交點為 G，若，則的度數(shù)是 ．
7．（24-25七年級下·浙江臺州·期中）如圖，將長方形沿翻折，再沿翻折，若，則 度．
題型八：軸對稱中作圖問題
1．（23-24七年級下·全國·課后作業(yè)）如圖，已知四邊形與四邊形成軸對稱．
(1)請畫出它們的對稱軸l；
(2)若，垂足為M，試畫出點M關(guān)于直線l的對稱點．
2．（23-24七年級下·全國·課后作業(yè)）如圖，與關(guān)于直線對稱，與關(guān)于直線對稱．
(1)請用直尺和圓規(guī)作出直線（不寫作法，保留作圖痕跡）；
(2)設(shè)直線與相交于點O，試探究直線，所夾銳角與的數(shù)量關(guān)系．
3．（23-24七年級下·全國·單元測試）如圖，用直尺和圓規(guī)完成下列作圖（保留作圖痕跡）：
(1)如圖①，在中，，，在邊上作一點，使的三個內(nèi)角分別為，，；
(2)作圖②的對稱軸．
4．（24-25七年級上·山東煙臺·期中）在如圖所示的方格紙中，三個頂點均在格點上，這樣的三角形叫做格點三角形．請在下列方格紙中，分別畫出不同的與原成軸對稱的格點三角形，并畫出對稱軸．
5．（24-25七年級下·全國·期末）如圖，和的頂點都在邊長為1的正方形網(wǎng)格線的交點上，且和關(guān)于直線成軸對稱．
(1)的面積為________；
(2)請在如圖所示的網(wǎng)格中作出對稱軸；
(3)請在線段的上方找一點（不與點重合），畫出，使．
6．（24-25八年級上·江蘇南京·期中）如圖，網(wǎng)格中的與為軸對稱圖形．
(1)的面積為_______；
(2)利用網(wǎng)格線作出與的對稱軸l；
(3)結(jié)合所畫圖形，在直線l上畫出點P，使最小．
7．（24-25八年級上·河北承德·期末）如圖，和的頂點都在邊長為1的正方形網(wǎng)格的格點上，且和關(guān)于直線m成軸對稱．
(1)直接寫出的面積為 ；
(2)請在如圖所示的網(wǎng)格中作出對稱軸m；
(3)請在線段的右側(cè)找一點D，畫出，使．
題型九：鐘表中鏡面對稱問題
1．（23-24八年級上·廣西河池·期中）小明玩自拍，自拍照中電子鐘示數(shù)如圖所示，拍照的時刻應(yīng)是（　）
A． B． C． D．
2．（24-25八年級上·廣東珠海·期中）明明在鏡中看到身后墻上的時鐘如下，你認為實際時間最接近的是（ ）
A． B． C． D．
3．（24-25八年級上·甘肅平?jīng)觥て谥校┤鐖D，圖中顯示的是從鏡子中看到背的電子鐘讀數(shù)，由此你推斷這時的實際時間是（　　）
A． B． C． D．
4．（24-25七年級上·上海徐匯·期末）小明從鏡子里看到鏡子對面電子鐘的像如圖所示：，實際時間是 ．
5．（24-25八年級上·安徽淮南·期中）在鏡子中看到時鐘顯示的時間是，則實際時間是 ．
6．（24-25八年級上·江蘇泰州·階段練習(xí)）從鏡中看到的一串?dāng)?shù)字是，這串?dāng)?shù)字應(yīng)為 ．
7．（24-25八年級上·江蘇無錫·階段練習(xí)）從鏡子里看黑板上寫著，那么實際上黑板寫的是 ．
題型十：設(shè)計軸對稱圖形
1．（24-25七年級下·江蘇鹽城·期中）如圖所示在3×3的正方形網(wǎng)格中，已經(jīng)有3個小正方形涂了陰影，請你在余下的空白小方格中涂上1個陰影使整個圖形成為軸對稱圖形，把幾種不同的涂法分別展示出來．
2．（24-25七年級下·山東棗莊·階段練習(xí)）如圖，16個相同的小正方形拼成一個正方形網(wǎng)格，其中的兩個小方格已涂黑．請用三種不同的方法分別在圖中再涂黑兩個小方格，使整個網(wǎng)格成為軸對稱圖形．
3．（24-25七年級下·福建漳州·階段練習(xí)）把一個大正方形分成9個相同的小方格，給圖中的1個白色小方格涂上陰影，使整個圖形成為一個軸對稱圖形，請用4種不同的畫法表示．
4．（24-25八年級上·吉林·期中）軸對稱（或稱對稱軸）的概念早在古希臘時期就已經(jīng)出現(xiàn)．古希臘哲學(xué)家柏拉圖在其著作《會晤篇》中，就提到了“對稱”的概念，并闡述了對稱的重要性．在數(shù)學(xué)和物理學(xué)等領(lǐng)域中，軸對稱一直都是一個重要的概念，被廣泛應(yīng)用于各種理論和實踐中．如圖是由三個陰影的小正方形組成的圖形，請你在三個網(wǎng)格圖中，各補畫出一個有陰影的小正方形，使補畫后的圖形為軸對稱圖形．
5．（2025七年級下·全國·專題練習(xí)）如圖，方格紙上畫有和兩條線段，請僅用無刻度的直尺在圖中添上一條線段，使圖中的3條線段組成一個軸對稱圖形（畫出4種，不寫作法）．
6．（24-25八年級上·江蘇宿遷·期中）如圖，在“”的正方形網(wǎng)格中，有一個以格點為頂點的三角形．請你在圖中分別畫出一個與該三角形成軸對稱且以格點為頂點的三角形，將所畫三角形涂上陰影．（注：所畫的四幅圖不能重復(fù)）
7．（24-25八年級上·四川廣安·期中）如圖甲，正方形被劃分成16個全等的三角形，將其中若干個三角形涂黑，且滿足下列條件：
（1）涂黑部分的面積是原正方形面積的一半；
（2）涂黑部分成軸對稱圖形．
圖乙與圖丙是一種涂法，請在圖中分別設(shè)計另外三種涂法．（注：在所設(shè)計的圖案中，若涂黑部分全等，則認為是同一種涂法，如圖乙與圖丙）
8．（24-25八年級上·四川廣安·階段練習(xí)）如圖所示，在的方格內(nèi)，已將其中的2個小正方形涂成黑色，請你分別在圖①、圖②、圖③、圖④中再將兩個空白的小正方形涂成黑色，使4個黑色小正方形組成一個軸對稱圖形，畫出與示意圖不同的4種方案．（每個的方格內(nèi)限畫一種）
要求：
（1）4個黑色小正方形必須相連；（有公共邊或公共頂點視為相連）
（2）將選中的小正方形方格用黑色簽字筆涂成陰影圖形．（若兩個方案的圖形經(jīng)過翻折、平移、旋轉(zhuǎn)后能夠重合，均視為一種方案）
題型一：軸對稱中最值問題
1．（23-24八年級上·江蘇無錫·階段練習(xí)）如圖，四邊形中，，在上分別找一點M、N，使周長最小時，則的度數(shù)為（ 　）

A． B． C． D．
2．（23-24七年級下·廣東深圳·期末）如圖，將線段沿著射線折疊得到，延長到E，連接，點F是射線上的一個動點，連接，，若，，的周長的最小值為22，則長為（ ）
A．18 B．16 C．14 D．12
3．（23-24八年級上·北京西城·期中）中，，，，是的角平分線，點E、F分別是線段、線段上的動點，則的最小值是（　　）
A．4 B．3 C．8 D．16
4．（2024八年級上·黑龍江·專題練習(xí)）如圖，在長方形中，，，點E在四邊形內(nèi)部，且點E到邊的距離為2，當(dāng)?shù)闹底钚r，的度數(shù)為（ ）
A． B． C． D．
5．（24-25八年級上·四川內(nèi)江·階段練習(xí)）如圖，在銳角三角形中，的面積15，平分交于點D，若分別是上的動點，則的最小值為（　　）

A．3 B．4 C．5 D．6
6．（24-25八年級上·全國·單元測試）如圖，中，，，，點在上，且，點在的平分線上運動，則的長度最小值為（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
7．（24-25八年級上·四川綿陽·期末）如圖，在中，，點，，分別是各邊上的動點，若，，，則的最小值是 ．
8．（2025·廣東·模擬預(yù)測）如圖，在中，，，點為高上的一動點，以為邊作等邊，連接，，則 ，的最小值為 ．
題型二：解答題中的折疊問題
1．（24-25七年級下·四川南充·期中）如圖，將一張長方形紙片沿折疊，點D，C分別落在點，的位置，的延長線與相交于點G．
(1)如圖1，，求的度數(shù)；
(2)如圖2，延長交于點M，若，求的度數(shù)．
2．（24-25七年級下·江蘇鹽城·階段練習(xí)）已知，分別是長方形紙條邊，上兩點（其中且），如圖所示沿，所在直線進行第一次折疊，點，的對應(yīng)點分別為點，，交于點．
(1)若，則的度數(shù)為 ．
(2)如圖，繼續(xù)沿進行第二次折疊，點，的對應(yīng)點分別為點，．
①若，則的度數(shù)為 ．
②若，請求出的度數(shù)．
3．（24-25八年級上·浙江寧波·期中）如圖，有一長方形紙帶，分別是邊上一點，，將紙帶沿折疊成圖1，再沿折疊成圖2．
(1)當(dāng)時，則______，______；
(2)兩次折疊后，求的大小（用含的代數(shù)式表示）；
(3)當(dāng)和的度數(shù)之和為時，求的值．
4．（24-25七年級下·湖北武漢·期中）如圖，將一張長方形紙片沿著折疊，翻折后的對應(yīng)點分別為．
(1)如圖（1），若點恰好落在上，且平分，求的度數(shù)；
(2)如圖（2），將長方形紙片沿折疊，點翻折后的對應(yīng)點分別為，使得和'在同一條直線上，求證；
(3)若直線與直線相交于點，，直接寫出的度數(shù)（用含的式子表示）．
5．（24-25七年級下·江蘇淮安·期中）如圖，將長方形紙片沿和折疊得到一個軸對稱的帽子，折痕角，點，的對應(yīng)點分別為點，，折疊后點，的對應(yīng)點恰好都在點E．
(1)若折痕角，求帽子頂角的度數(shù)；
(2)設(shè)度，度．
①請用含的代數(shù)式表示，則________；
②當(dāng)時，帽子比較美觀，求此時的值．
6．（24-25七年級下·全國·期末）如圖1，將一條長方形紙帶沿折疊，設(shè)度．
(1)若，則 度；
(2)將圖1紙帶繼續(xù)沿折疊成圖2，則 度．（用含x的代數(shù)式表示）
7．（24-25七年級下·江蘇鹽城·期中）已知，分別是長方形紙條邊，上兩點（其中且），如圖所示沿，所在直線進行第一次折疊，點，的對應(yīng)點分別為點，，交于點．
(1)若，則的度數(shù)__________．
(2)如圖2，繼續(xù)沿進行第二次折疊，點，的對應(yīng)點分別為點，．
①若，則的度數(shù)__________．
②若，請求出的度數(shù)．
題型三：軸對稱圖形中的探究問題
1．（24-25七年級下·河南駐馬店·期中）綜合與實踐．
【知識初探】
（1）如圖，長方形紙條中，，，，將紙條按如圖所示方式折疊，點落在處，點落在處，得到折痕，交于點．
若，則______度
若，則______（用含的式子表示）
【類比再探】
（2）如圖，在圖的基礎(chǔ)上將對折，點落在直線上的處點落在處．得到折痕．則折痕與有怎樣的位置關(guān)系？說明理由．
2．（2025七年級下·河南·專題練習(xí)）【提出問題】
唐朝詩人李頎的詩《古從軍行》開頭兩句“白日登山望烽火，黃昏飲馬傍交河”中隱含著一個有趣的數(shù)學(xué)問題——將軍飲馬。如圖1，將軍從山腳下的點A出發(fā)，到達河岸飲馬后再回到點B宿營，他時常想，怎么走才能使每天走的路程之和最短呢？
【分析問題】
小亮：作B關(guān)于直線l的對稱點，連接與直線l交于點C，點C就是飲馬的地方，此時所走的路程之和就是最短的（如圖2）．
小慧：你能詳細解釋為什么嗎？
小亮：如圖3，在直線l上另取任意一點，連接，，，我只要說明即可．因為直線l是點B，的對稱軸，點C，在l上，所以______，______，所以______．
在中，因為，所以______，即最小．
請完善小亮的說明過程．
本問題實際上是利用轉(zhuǎn)化的思想，把在直線同側(cè)的A，B轉(zhuǎn)化在直線的兩側(cè)，從而利用“______”及“三角形兩邊之和大于第三邊”加以解決（在連接A，兩點的線中，線段最短）．
【解決問題】
如圖4，牧馬人從A地出發(fā)，先到草地邊某一處牧馬，再到河邊飲馬，然后回到B處，請畫出最短路徑．
3．（24-25七年級下·遼寧鐵嶺·期中）【綜合與實踐 操作探究】
在學(xué)行線的判定后，老師讓同學(xué)們通過折紙?zhí)骄科叫芯€的畫法．請根據(jù)以下步驟完成操作并回答相關(guān)問題．
操作步驟：
1．如圖，準(zhǔn)備銳角三角形紙片；
2．第一次折疊，將折疊，使點落在邊上的點處，折痕為（在上，在上）；
3．第二次折疊：將折疊，使點落在邊上點處，折痕為（在上）．
問題：
(1)（操作理解）在第一次折疊后，判斷折痕與的位置關(guān)系，并說明理由；
(2)（結(jié)論驗證）根據(jù)折疊結(jié)果，請你用所學(xué)知識證明；
(3)（拓展應(yīng)用）請你利用（2）的結(jié)論，證明：．
4．（24-25七年級下·江蘇無錫·期中）如圖，已知．
【初步認識】
（1）尺規(guī)作圖：求作直線，使和關(guān)于直線對稱；（不寫作法，保留痕跡）
【理解應(yīng)用】
（2）如圖，若在內(nèi)部，和關(guān)于對稱，和關(guān)于對稱，求的度數(shù)；
（3）如圖，若在外部，且，和關(guān)于對稱，和關(guān)于對稱，求的度數(shù)；
【拓展提升】
（4）若和關(guān)于的邊對稱，且，則的度數(shù)是_____．
5．（24-25七年級下·山東濟寧·期中）如圖，．
某同學(xué)進行了下面操作：
第一步，將邊沿過點A的一條直線折疊，使與所在直線重合，折痕與交于點D，折疊后展開；
第二步，將邊沿過點D的一條直線折疊，使與所在直線重合，折痕與交于點E，折疊后展開；
第三步，對折線段（即把線段沿某一直線折疊，使點A與點D重合），折痕與，分別交于點F，G，折疊后展開；
第四步，對折線段（即把線段沿某一直線折疊，使點F與點G重合），折痕與分別交于點H，K，P，折疊后展開．
根據(jù)上面的操作，解答下面問題：
(1)猜想與的位置關(guān)系，并證明你的猜想；
(2)若，，求的度數(shù)．
1．（2025·天津·中考真題）在一些美術(shù)字中，有的漢字是軸對稱圖形．下面4個漢字中，可以看作是軸對稱圖形的是（ ）
A． B． C． D．
2．（24-25七年級下·山東泰安·期中）如圖1是長方形紙帶，，將紙帶沿折疊成圖2，再沿折疊成圖3，則圖3中的的度數(shù)是（ ）
A． B． C． D．
3．（24-25七年級下·江蘇南京·階段練習(xí)）如圖的3×3的正方形網(wǎng)格中，的頂點都在小正方形的格點上，這樣的三角形稱為格點三角形，在網(wǎng)格中與成軸對稱的格點三角形一共有（ ）個
A．5 B．6 C．7 D．8
4．（24-25六年級下·黑龍江大慶·期中）若和均為大于小于的角，且，則稱和互為“伙伴角”．根據(jù)這個約定，如圖，將一長方形紙片沿著對折（點在線段上，點在線段上）使點落在點，若與互為“伙伴角”，的度數(shù)（ ）
A． B．或 C．或 D．或
5．（24-25七年級下·重慶·期中）如圖，和關(guān)于直線l對稱，G是直線l上一點，連接，，，，下列說法錯誤的是（ ）
A． B．線段，，被直線l垂直平分
C． D．
6．（2025七年級下·全國·專題練習(xí)）如圖，和關(guān)于直線l對稱，直線l與相交于點O，若，，，則五邊形的周長為（ ）
A． B． C． D．
7．（2025·江西景德鎮(zhèn)·一模）如圖，在正十邊形中已有3個小三角形涂上陰影，請你再選擇一個三角形涂上陰影，使其陰影部分是軸對稱圖形，則一共有幾種涂法（ ）

A．1種 B．3種 C．5種 D．7種
8．（24-25七年級下·江蘇連云港·期中）如圖，在長方形紙片中，點，分別在，上，將沿著折疊，點剛好落在上的點處；再將沿著折疊，點剛好落在上的點處，已知，則的度數(shù)為（　　）
A． B． C． D．
9．（24-25七年級下·重慶·階段練習(xí)）如圖，在中，D、E分別是上的點，把四邊形沿直線折疊得到四邊形，，若，則 ．（用含的式子表示）
10．（24-25七年級下·遼寧沈陽·階段練習(xí)）在中，于點，點關(guān)于的對稱點為點，連接，若，，則的度數(shù)為 ．
11．（24-25七年級下·四川成都·期中）如圖，在中，．點是邊上一點，連接，將沿對折，點落在點處，與交于點．當(dāng)時， （用含的代數(shù)式表示）．此時若的面積是，則重疊部分的面積為 ．
12．（24-25九年級下·黑龍江綏化·期中）如圖，在長度為1個單位長度的小正方形組成的網(wǎng)格中，點均在小正方形的頂點上．
(1)在圖中畫出與關(guān)于直線成軸對稱的．
(2)直接寫出的面積為___________．
13．（24-25七年級下·陜西咸陽·階段練習(xí)）如圖，點是外的一點，點與點關(guān)于對稱，點與點關(guān)于對稱，連接并延長分別交、于C、D兩點，連接、、、．若，求的度數(shù)．
14．（24-25七年級下·江蘇揚州·階段練習(xí)）數(shù)學(xué)實驗：通過紙片的折疊，可以發(fā)現(xiàn)許多有趣的現(xiàn)象，這些現(xiàn)象可以用有關(guān)的數(shù)學(xué)原理進行分析、解釋，所以紙片的折疊是一種有效的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方式．如圖，是將正方形紙片折疊后得到的一條折痕，其中點分別在邊上．
(1)折疊正方形紙片，使得，依次落在直線上．請你利用無刻度直尺和圓規(guī)，在圖①中分別作出折痕，（不寫作法，保留作圖痕跡），其中點，分別在邊上．
(2)設(shè)，的交點為，請求出的度數(shù)．
(3)折疊正方形紙片，使得落在直線上．請你利用無刻度直尺和圓規(guī)，在圖②中作出折痕（不寫作法，保留作圖痕跡），其中點，分別在邊，上．
15．（24-25七年級下·吉林長春·期中）圖1、圖2、圖3均是4×4的正方形網(wǎng)格，每個小正方形的頂點稱為格點，△ABC的三個頂點都在格點上．（提醒：每個小正方形邊長為1）
(1)在圖1中，將平移到，使點A與點D對應(yīng)；
(2)在圖2中，作出一個與關(guān)于直線成軸對稱的格點三角形；
(3)在圖3中，作出四邊形，使四邊形為軸對稱圖形．
16．（24-25七年級下·江西贛州·階段練習(xí)）長方形紙片的一角任意折向長方形內(nèi)，使點B落在點的位置，折痕為，G為邊上一點，再把折疊，使點C落在點的位置，折痕為．
(1)如圖1，當(dāng)折疊得到的與沒有重疊部分時．
①若，則_______；
②若，求的度數(shù)．
(2)如圖2，當(dāng)折疊得到的與有重疊部分時，試猜想與的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．
17．（24-25七年級下·遼寧葫蘆島·期中）（1）如圖1，在四邊形中，平分交的延長線于點，．
求證：．
（2）在四邊形中，點為邊上的一點，連接，沿折疊三角形，得到三角形．
①如圖2，當(dāng)點落在的延長線上時，且，，若，求的度數(shù)；
②如圖3，當(dāng)點落在射線的下方時，求證：．中小學(xué)教育資源及組卷應(yīng)用平臺
2.1 圖形的軸對稱
題型一：軸對稱圖形的識別
1．（河南省2025年招考模擬九年級數(shù)學(xué)試卷）下列圖形中是軸對稱圖形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本題考查軸對稱圖形，根據(jù)一個圖形，沿某條直線對折，直線兩旁的部分能夠完全重合，這樣的圖形叫做軸對稱圖形，進行判斷即可．
【詳解】解：A、不是軸對稱圖形，不符合題意；
B、不是軸對稱圖形，不符合題意；
C、是軸對稱圖形，符合題意；
D、不是軸對稱圖形，不符合題意；
故選C．
2．（2025·海南海口·二模）下列圖案中不是軸對稱圖形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本題考查了軸對稱圖形的定義，根據(jù)圖形沿著某條直線對折，直線兩側(cè)的圖形能完全重合，則該圖形為軸對稱圖形．
【詳解】解：由軸對稱圖形的定義可知A、C、D均是軸對稱圖形，
只有B不是軸對稱圖形，
故選：B．
3．（2025·河北邯鄲·二模）下列交通標(biāo)志中，不屬于軸對稱圖形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本題主要考查了軸對稱圖形的識別，根據(jù)軸對稱圖形的定義進行逐一判斷即可：如果一個平面圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個圖形就叫做軸對稱圖形．
【詳解】解：A、是軸對稱圖形，故此選項不符合題意；
B、是軸對稱圖形，故此選項不符合題意；
C、是軸對稱圖形，故此選項不符合題意；
D、不是軸對稱圖形，故此選項符合題意；
故選D．
4．（2025·山東濰坊·三模）2025年世界運動會將于8月7日至8月17日在四川省成都市舉行，是中國第二次舉辦世界運動會．下列各圖都是成都世界運動會的預(yù)選圖案，其中是軸對稱圖形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本題考查了軸對稱圖形的識別，軸對稱圖形是指圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠完全重合．據(jù)此即可求解.
【詳解】解：由軸對稱圖形的定義可知，A是軸對稱圖形，
故選：A ．
5．（2025九年級下·云南·學(xué)業(yè)考試）“國士無雙”是人民對隱姓埋名30年，一身忠骨鑄豐碑的“中國核潛艇之父”黃旭華院士的贊譽．下列四個漢字中是軸對稱圖形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本題考查了軸對稱圖形的識別，解題的關(guān)鍵在于熟練掌握：在平面內(nèi)，一個圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠完全重合的圖形叫做軸對稱圖形，據(jù)此即可求解．
【詳解】解：A、不是軸對稱圖形，故本選項不符合題意；
B、是軸對稱圖形，故本選項符合題意；
C、不是軸對稱圖形，故本選項不符合題意；
D、不是軸對稱圖形，故本選項不符合題意；
故選：B．
6．（2025·山西運城·模擬預(yù)測）博物館是歷史的見證者和收錄者，是人們直觀感受歷史脈絡(luò)、提升歷史認知的重要場所．以下四個博物館標(biāo)識，其文字上方的圖案不是軸對稱圖形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本題考查軸對稱圖形識別．如果一個平面圖形沿著一條直線折疊后，直線兩旁的部分能夠互相重合，那么這個圖形叫做軸對稱圖形．根據(jù)定義逐項判斷即可．
【詳解】解：A，文字上方的圖案是軸對稱圖形，不合題意；
B，文字上方的圖案不是軸對稱圖形，符合題意；
C，文字上方的圖案是軸對稱圖形，不合題意；
D，文字上方的圖案是軸對稱圖形，不合題意；
故選B．
7．（2025·湖南·中考真題）武術(shù)是我國傳統(tǒng)的體育項目．下列武術(shù)動作圖形中，是軸對稱圖形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本題主要考查了軸對稱圖形的識別，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握軸對稱圖形的定義．
如果一個平面圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個圖形就叫做軸對稱圖形．根據(jù)軸對稱圖形的定義進行逐一分析判斷即可．
【詳解】解：A、不是軸對稱圖形，故此選項不符合題意；
B、不是軸對稱圖形，故此選項不符合題意；
C、是軸對稱圖形，故此選項符合題意；
D、不是軸對稱圖形，故此選項不符合題意．
故選：C．
題型二：根據(jù)成軸對稱圖形的特征進行判斷
1．（24-25七年級下·江蘇鹽城·期中）如圖，和關(guān)于直線m對稱，則下列結(jié)論：①直線m是線段的垂直平分線；②直線m被線段垂直平分；③.其中正確的結(jié)論是（ ）
A．①② B．②③ C．①③ D．①②③
【答案】C
【分析】本題主要考查軸對稱的性質(zhì)．根據(jù)軸對稱的定義和性質(zhì)解答：如果兩個圖形關(guān)于某條直線對稱，那么對稱軸是任何一對對應(yīng)點所連線段的垂直平分線（中垂線）；軸對稱圖形的對應(yīng)線段、對應(yīng)角相等．
【詳解】解：∵與關(guān)于直線l對稱，
∴，所以，故③說法正確；
∴直線m是線段的垂直平分線，故①說法正確；
∴直線m也是線段的垂直平分線，不會被線段垂直平分，故②說法錯誤；
故選：C．
2．（24-25八年級上·河北保定·期中）如圖，若與關(guān)于直線對稱，交于點，則下列說法不一定正確的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】此題考查了軸對稱的性質(zhì)：軸對稱兩個圖形的對應(yīng)邊相等，對應(yīng)角相等，熟記性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．根據(jù)軸對稱的性質(zhì)解答．
【詳解】解：∵與關(guān)于直線對稱，交于點，
∴，，，但不一定相等，
故選：D．
3．（2025·福建·一模）如圖是一個風(fēng)箏設(shè)計圖，其主體部分關(guān)于所在的直線對稱（四邊形，），與相交于點，，且，則下列推斷不正確的是（ ）

A． B．
C． D．是等邊三角形
【答案】D
【分析】本題考查了軸對稱的性質(zhì)，熟知軸對稱的性質(zhì)是解答此題的關(guān)鍵．由對稱可得：，，，，進而得到是等腰三角形，即可判斷．
【詳解】解：其主體部分關(guān)于所在的直線對稱（四邊形，），
，，，，
是等腰三角形，
故A、B、C正確；D不正確；
故選：D．
4．（24-25八年級上·福建泉州·期末）如圖是一個飛鏢設(shè)計圖，其主體部分（四邊形）關(guān)于所在的直線對稱，下列判斷不正確的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本題主要考查了軸對稱的性質(zhì)，根據(jù)軸對稱的性質(zhì)，對所給選項依次進行判斷即可．熟知軸對稱的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
【詳解】解：四邊形關(guān)于所在的直線對稱，且點為上一點，
，故A選項正確，不符合題意；
，故B選項正確，不符合題意；
，故C選項正確，不符合題意；
而與不一定相等，故D選項不一定正確，符合題意．
故選：D．
5．（24-25八年級上·江蘇·課后作業(yè)）如圖，關(guān)于直線進行軸對稱變換后得到，下列結(jié)論中不正確的是（ ）
A． B．
C．垂直平分 D．
【答案】D
【分析】本題考查了軸對稱的性質(zhì)等知識，熟練掌握軸對稱的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．由軸對稱的性質(zhì)即可得出結(jié)論．
【詳解】解：∵關(guān)于直線進行軸對稱變換后得到，
∴，，垂直平分，，
故選項A、B、C正確；故選項D不一定正確．
故選：D．
6．（24-25九年級下·甘肅隴南·開學(xué)考試）把一個圖形先沿著一條直線進行軸對稱變換，再沿著與這條直線平行的方向平移，我們把這樣的圖形變換叫做“滑動對稱變換”．如圖，是由沿著直線滑動對稱變換得到的，下列不一定正確的是（ ）
A．
B．
C．與關(guān)于某點中心對稱
D．直線垂直平分
【答案】C
【分析】本題考查軸對稱和平移的性質(zhì)，根據(jù)軸對稱和平移的性質(zhì)逐項判斷解題．
【詳解】解：A.因為，，則，故正確；
B. 因為，，則，正確；
C.與對應(yīng)點的連線不過同一點，不是中心對稱，故錯誤；
D.因為B，關(guān)于直線l對稱，則直線垂直平分，正確；
故選：C．
7．（24-25八年級上·全國·期中）如圖，和關(guān)于直線對稱，下列結(jié)論中不正確的（　　）
（1）．
（2）．
（3）直線l垂直平分．
（4）直線和的交點不一定在直線l上．
A．4個 B．3個 C．2個 D．1個
【答案】D
【分析】本題主要考查了軸對稱的性質(zhì)、全等三角形的判定及線段垂直平分線的性質(zhì)，熟知軸對稱的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．根據(jù)軸對稱的性質(zhì)，依次對所給結(jié)論進行判斷即可．
【詳解】解：因為和關(guān)于直線對稱，
所以和能完全重合，
則．
故（1）正確．
由（1）可知，
．
故（2）正確．
因為點和點關(guān)于直線對稱，
所以直線垂直平分．
故（3）正確．
因為直線和直線關(guān)于直線對稱，
所以當(dāng)直線與直線有交點時，此交點一定在對稱軸上．
故（4）錯誤．
故選：D．
8．（24-25七年級下·江蘇揚州·期中）如圖，與關(guān)于直線對稱，連接，其中分別交于點，下列結(jié)論：①；②；③直線垂直平分；④直線與的交點不一定在直線上．其中正確的個數(shù)有（ ）
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
【答案】C
【分析】本題考查的是軸對稱的性質(zhì)，熟知如果兩個圖形關(guān)于某直線對稱，那么對稱軸是任何一對對應(yīng)點所連線段的垂直平分線是解題的關(guān)鍵．根據(jù)軸對稱的性質(zhì)對各選項進行逐一分析即可．
【詳解】解：和關(guān)于直線對稱，
，故①正確，
和關(guān)于直線對稱，點與點是關(guān)于直線對稱的對稱點，
，故②正確；
和關(guān)于直線對稱，
線段被直線垂直平分，
直線垂直平分，故③正確；
和關(guān)于直線對稱，
線段、所在直線的交點一定在直線上，故④錯誤，
正確的有①②③，共3個
故選：C．
題型三：根據(jù)成軸對稱圖形的性質(zhì)求角度
1．（24-25七年級下·陜西西安·階段練習(xí)）如圖，在中，，，與關(guān)于直線對稱，，則的度數(shù)為 ．
【答案】/50度
【分析】本題主要考查了三角形內(nèi)角和定理，軸對稱圖形的性質(zhì)，先由三角形內(nèi)角和定理得到，再由軸對稱圖形的性質(zhì)得到，據(jù)此可得答案．
【詳解】解：∵在中，，
∴，
∵與關(guān)于直線對稱，
∴，
∴，
故答案為：．
2．（2025·山東濟南·三模）如圖，與關(guān)于所在直線對稱，若，，則的度數(shù)為 ．
【答案】30
【分析】本題主要考查軸對稱圖形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，掌握軸對稱圖形對應(yīng)角相等是解題關(guān)鍵．根據(jù)軸對稱圖形的性質(zhì)可知，再結(jié)合，可求出．
【詳解】解：∵與關(guān)于所在直線對稱，，
∴，
∵，
∴．
故答案為：．
3．（24-25七年級下·江蘇揚州·期中）如圖，在中，，點D是邊上一點，點B關(guān)于直線的對稱點為，當(dāng)時，則的度數(shù)為 ．
【答案】
【分析】本題主要考查軸對稱的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)、一元一次方程的應(yīng)用等知識點，靈活運用方程思想解決實際問題成為解題的關(guān)鍵．
設(shè)．由軸對稱的性質(zhì)可得，易得 ，根據(jù)，據(jù)此構(gòu)建方程求解即可．
【詳解】解：設(shè)．
∵點B關(guān)于直線的對稱點為，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，解得：．
故答案為：．
4．（24-25八年級上·河北邢臺·期中）在中，，于D，點B關(guān)于的對稱點在上，若，則 ．
【答案】/54度
【分析】本題考查了三角形內(nèi)角和定理、折疊的性質(zhì)，由題意可得，由折疊的性質(zhì)可得，再由三角形內(nèi)角和定理計算即可得解．
【詳解】解：∵，，
∴，
由折疊的性質(zhì)可得：，
∵，
∴，
∴，
故答案為：．
5．（24-25七年級下·全國·課后作業(yè)）如圖，在中，，D是上任意一點，M和N分別是點D關(guān)于和的對稱點．連接和，則的度數(shù)為 ．
【答案】/100度
【分析】本題主要考查了軸對稱的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和等知識點，熟練掌握軸對稱的性質(zhì)是解決此題的關(guān)鍵，利用軸對稱的性質(zhì)解答即可．
【詳解】解：如圖，連接，
點和點分別是點關(guān)于和的對稱點，
，
，
，
，
故答案為：．
6．（24-25七年級下·全國·課后作業(yè)）如圖，和關(guān)于直線對稱，和關(guān)于直線對稱，與相交于點．若，，則的度數(shù)為 ．
【答案】/80度
【分析】本題考查了軸對稱的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理、三角形外角的性質(zhì)，首先根據(jù)軸對稱的性質(zhì)可知、，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可以求出，根據(jù)周角等于可以求出，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理可知，再根據(jù)三角形外角的性質(zhì)可得．
【詳解】解：如下圖所示，
和關(guān)于直線對稱，
，
和關(guān)于直線對稱，
，，
在中，，
，
，
在中，，
，
，
是的外角，
．
故答案為： ．
7．（24-25八年級上·遼寧葫蘆島·期中）如圖，中，，，點為邊上一動點，分別作點關(guān)于，的對稱點，，連接，，則的度數(shù)等于 ．
【答案】/146
【分析】此題考查軸對稱的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理，關(guān)鍵是利用軸對稱的性質(zhì)解答．
利用軸對稱的性質(zhì)得出，再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理解答即可．
【詳解】解：∵點和點分別是點關(guān)于和的對稱點，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案為：．
8．（24-25八年級上·安徽蕪湖·期末）如圖，和關(guān)于直線對稱，和關(guān)于直線對稱，與相交于點F，若，，則 ．
【答案】/132度
【分析】本題考查三角形外角的性質(zhì)，軸對稱的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理．根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求得，再根據(jù)軸對稱的性質(zhì)求得和，再根據(jù)三角形外角的性質(zhì)可求得．
【詳解】解：∵，，
∴，
根據(jù)軸對稱的性質(zhì)可知
，，
∴，
∴．
故答案為：．
9．（24-25七年級上·山東威海·期末）如圖，內(nèi)有一點，點關(guān)于的軸對稱點是，點關(guān)于的軸對稱點是，分別交、于、點，若，則 ．
【答案】
【分析】本題考查了軸對稱的性質(zhì)，熟練掌握軸對稱的性質(zhì)，并確定出相等的角是解題的關(guān)鍵．
連接，根據(jù)軸對稱的性質(zhì)得出，，得到，得到，即可得到答案．
【詳解】解：如圖，連接，
點關(guān)于的軸對稱點是，點關(guān)于的軸對稱點是，
，，
，
，
，
，
，
，
故答案為： ．
題型四：根據(jù)成軸對稱圖形的性質(zhì)求線段長度
1．（24-25七年級上·山東東營·期中）如圖，內(nèi)有一點P，P點關(guān)于的軸對稱點是G，P點關(guān)于的軸對稱點是H，分別交、于A、B點．若的長為16，則的周長為 ．
【答案】16
【分析】本題主要考查了軸對稱的性質(zhì)，關(guān)鍵是掌握兩個圖形關(guān)于某直線對稱，那么對稱軸是任何一對對應(yīng)點所連線段的垂直平分線．根據(jù)兩個圖形關(guān)于某直線對稱，那么對稱軸是任何一對對應(yīng)點所連線段的垂直平分線，線段垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等可得，，然后可得答案．
【詳解】解：∵P點關(guān)于的軸對稱點是G，P點關(guān)于的軸對稱點是H，
∴，，
∵的長為16，
∴的周長為：，
故答案為：16．
2．（24-25九年級上·新疆喀什·期中）如圖， 和關(guān)于直線L對稱，，，的周長為25，則
【答案】8
【分析】本題考查關(guān)于直線成軸對稱的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)，根據(jù)軸對稱的性質(zhì)得出，進而得出，，進而得出答案．
【詳解】解：∵ 和關(guān)于直線L對稱，
∴，
∴，，
∴，
故答案為：8．
3．（23-24七年級上·上海·單元測試）如圖，點是外的一點，點，分別是兩邊上的點，點關(guān)于的對稱點恰好落在線段上，點關(guān)于的對稱點落在的延長線上，若，，，則線段的長為 ．
【答案】6
【分析】本題考查軸對稱的性質(zhì)，垂直平分線的性質(zhì)．
由軸對稱的性質(zhì)可得垂直平分，進而得到，同理得到，進而根據(jù)線段的和差即可解答．
【詳解】解：點關(guān)于的對稱點恰好落在線段上，
垂直平分，
，
，
點關(guān)于的對稱點落在的延長線上，
垂直平分，
，
．
故答案為：6
4．（23-24七年級下·江西吉安·期末）如圖，在中，，，，點，分別在，上，且與關(guān)于對稱，則的周長為 ．
【答案】7
【分析】本題考查了軸對稱圖形的特征．根據(jù)“關(guān)于某直線對稱的圖形對應(yīng)邊相等”即可求得結(jié)果．
【詳解】解：∵與關(guān)于對稱，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
故答案為：7．
5．（23-24七年級下·河北保定·期末）如圖，點P是外的一點，點M，N分別是兩邊上的點，點P關(guān)于的對稱點Q恰好落在線段上，點P關(guān)于的對稱點R落在的延長線上，若，，，則線段的長為 ．
【答案】4
【分析】本題考查了軸對稱的性質(zhì)：如果兩個圖形關(guān)于某直線對稱，那么對稱軸是任何一對對應(yīng)點所連線段的垂直平分線．根據(jù)軸對稱的性質(zhì)可求、的長度，然后根據(jù)線段的和差求解即可．
【詳解】解：∵點關(guān)于的對稱點恰好落在線段上，，
∴，
同理，
又∵，
∴．
故答案為：4．
題型五：臺球桌面上的軸對稱問題
1．（2025七年級下·全國·專題練習(xí)）下面四個圖形是標(biāo)出了長寬之比的臺球桌的俯視圖，一個球從一個角落以角擊出，在桌子邊沿回彈若干次后，最終必將落入角落的一個球囊．圖1中回彈次數(shù)為1次，圖2中回彈次數(shù)為2次，圖3中回彈次數(shù)為3次，圖4中回彈次數(shù)為5次．若某臺球桌長寬之比為，按同樣的方式擊球，球在邊沿回彈的次數(shù)為（ ）次．
A．6 B．7 C．8 D．9
【答案】B
【詳解】本題考查軸對稱的知識，根據(jù)題意畫出圖形，然后即可作出判斷．難度不大，注意畫出圖形會使問題比較簡單直觀．
【分析】解：根據(jù)圖形可得總共反射了7次．
故選：B．
2．（24-25七年級下·全國·課后作業(yè)）如圖是臺球桌面示意圖，陰影部分表示四個入球孔，小明按圖中方向擊球，每當(dāng)球碰到長方形桌的邊時會反彈，反彈的方向與原來的方向關(guān)于垂直于長方形桌邊的直線對稱，則球最后落入的球袋是（ ）
A．1號袋 B．2號袋 C．3號袋 D．4號袋
【答案】B
【分析】本題考查了生活中的軸對稱現(xiàn)象，根據(jù)網(wǎng)格結(jié)構(gòu)利用軸對稱的性質(zhì)作出球的運動路線，即可進行判斷．
【詳解】解：根據(jù)軸對稱的性質(zhì)可知，臺球走過的路徑為：
則球最后落入的球袋是2號袋．
故選：B．
3．（24-25七年級下·全國·隨堂練習(xí)）如圖是一臺桌球面示意圖，圖中小正方形的邊長均相等，黑球放在如圖所示的位置，經(jīng)白球撞擊后沿箭頭方向運動，經(jīng)桌邊反彈最后進入的球洞的序號是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
【答案】A
【分析】本題考查了軸對稱圖形的識別，理解題意，掌握碰撞桌子邊時的入角等于反彈后的出角是解題的關(guān)鍵．
根據(jù)黑球碰撞桌子邊時的入角等于反彈后的出角，軸對稱圖形的性質(zhì)即可求解．
【詳解】解：如圖所示，黑球碰撞桌子邊時的入角等于反彈后的出角，
∴最后進入的球洞的序號是①，
故選：A ．
4．（2023八年級上·江蘇·專題練習(xí)）如圖是一個臺球桌面的示意圖，圖中四個角上的陰影部分分別表示四個入球孔．若一個球按圖中所示的方向被擊出（球可以經(jīng)過多次反射），則該球最后將落入的球袋是（　　）
A．1號袋 B．2號袋 C．3號袋 D．4號袋
【答案】B
【分析】本題考查了生活中的軸對稱現(xiàn)象，利用軸對稱的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵. 根據(jù)網(wǎng)格結(jié)構(gòu)利用軸對稱的性質(zhì)作出球的運動路線，即可進行判斷．
【詳解】解：如圖所示，根據(jù)軸對稱的性質(zhì)可知，臺球走過的路徑為：
該球最后落入2號袋．
故選：B．
5．（23-24八年級上·遼寧鐵嶺·期中）中國江蘇神奇小子丁俊暉奇跡般地戰(zhàn)勝了世界頭號選手亨德利，奪得了自己首個世界臺球職業(yè)排名賽冠軍，如圖，是一個經(jīng)過改造的臺球桌面的示意圖，圖中陰影部分分別表示六個入球孔，如果一個球按圖中所示的方向被擊出（球可以經(jīng)過多次反射），那么該球最后將落入的球袋是 號袋．
【答案】3
【分析】主要考查了軸對稱的性質(zhì)．根據(jù)題意畫出圖形，由軸對稱的性質(zhì)判定正確選項．
【詳解】解：根據(jù)軸對稱的性質(zhì)可知，臺球走過的路徑為：
∴該球最后將落入的球袋是3號．
故答案為：3．
6．（23-24八年級上·山東德州·期中）如圖，桌球的桌面上有M，N兩個球，若要將M球射向桌面的一邊，反彈一次后擊中N球，則A，B，C，D，4個點中，可以反彈擊中N球的是 點．
【答案】D
【分析】本題考查了軸對稱的知識，注意結(jié)合圖形解答，不要憑空想象，實際操作一下．
【詳解】解：如圖，
可以瞄準(zhǔn)點擊球．
故答案為：．
7．（23-24八年級上·山東聊城·期中）數(shù)學(xué)在我們的生活中無處不在，就連小小的臺球桌上都有數(shù)學(xué)問題，如圖所示，，若，為了使白球反彈后能將黑球直接撞入袋中，那么擊打白球時，必須保證為 ．

【答案】
【分析】本題考查了臺球桌上的軸對稱問題，根據(jù)圖形得出的度數(shù)，即可求出的度數(shù)．利用數(shù)形結(jié)合的思想解決問題是解題關(guān)鍵．
【詳解】解：∵，，
∴，
∵，
∴，
故答案為：
題型六：軸對稱中光線反射問題
1．（2025·山西呂梁·二模）如圖，為平面鏡，為水面，．一束光線從點射入，經(jīng)過平面鏡反射后，從光線變成光線，再經(jīng)過水面折射，從光線變成光線．若，，則的度數(shù)為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本題考查求角度，涉及反射性質(zhì)、平行線性質(zhì)、對頂角相等等知識，如圖所示，由反射性質(zhì)得到，再由平行線性質(zhì)、對頂角相等確定，最后數(shù)形結(jié)合表示出即可得到答案．?dāng)?shù)形結(jié)合，掌握反射性質(zhì)、平行線性質(zhì)、對頂角相等等知識是解決問題的關(guān)鍵．
【詳解】解：如圖所示：
由反射性質(zhì)可知，，
，
，則，
，
，
，
，
，
故選：B．
2．（2025·河南周口·二模）如圖，水平地面上放置一平面鏡，從激光筆的點發(fā)出的光線照射到平面鏡的處，反射光線為，且點恰好落在與地面垂直的墻面上．若，則的度數(shù)為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本題考查了三角形內(nèi)角和性質(zhì)，反射角等于入射角，正確掌握相關(guān)性質(zhì)內(nèi)容是解題的關(guān)鍵．
先得出，，根據(jù)反射角等于入射角，即得．
【詳解】解：∵，，
∴，，
∵從激光筆的點發(fā)出的光線照射到平面鏡的處，反射光線為，
∴，
故選：C．
3．（24-25九年級下·遼寧鐵嶺·期中）如圖，鏡面與水平桌面的夾角，光線經(jīng)平面鏡反射到水平天花板，與反射光線的夾角，則光線與天花板所形成的夾角的度數(shù)為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本題考查了平行線的性質(zhì)，垂直的定義，角度的計算，理解反射原理，掌握角度的計算方法是關(guān)鍵．
如圖所示，過點作，作，可得，，根據(jù)反射原理，可得，根據(jù)垂直的定義得到，由此即可求解．
【詳解】解：如圖所示，過點作，作，
∵水平桌面與天花板平行，
∴，
∴，，
根據(jù)反射原理，可得，
∵，
∴，
∴，
∴，
故選：B ．
4．（2025·山西呂梁·一模）如圖，一束太陽光線經(jīng)平面鏡反射后，反射光線與水平地面平行．測得平面鏡與水平地面的夾角的度數(shù)為，則此時的太陽光線與水平地面所形成的銳角的度數(shù)是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本題考查了反射問題，平行線的性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)等知識，掌握反射角等于入射角是解題關(guān)鍵．延長與交于點，由反射定理可得，結(jié)合平行線的性質(zhì)得到，再利用對頂角相等和三角形外角的性質(zhì)求解即可．
【詳解】解：如圖，延長與交于點，
由反射定理可得，
，，
，
，
，
，
即太陽光線與水平地面所形成的銳角的度數(shù)是，
故選：D．
5．（2024·四川達州·模擬預(yù)測）如圖，兩條平行直線a，b，從點光源M射出的光線射到直線a上的A點，入射角為，然后反射光線射到直線b上的B點，當(dāng)這束光線繼續(xù)從B點反射出去后，反射光線與直線b所夾銳角的度數(shù)為（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本題考查軸對稱的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)，根據(jù)“入射光線與直線的夾角始終與反射光線與該直線的夾角相等”得到，由平行線的性質(zhì)可得，即可得出結(jié)論．熟練掌握平行線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
【詳解】解：如圖，
∵從點光源射出的光線射到直線上的A點，入射角為，然后反射光線射到直線上的點，
∴，
∵，
∴，
∴當(dāng)這束光線繼續(xù)從點反射出去后，反射光線與直線的夾角度數(shù)為．
故選：D
6．（23-24七年級下·河南駐馬店·期末）如圖所示，兩個平面鏡平行放置，光線經(jīng)過平面鏡反射時，，則的度數(shù)為（ ）．
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本題考查了平行線的性質(zhì)和平角的定義，掌握平行線的性質(zhì)是本題的關(guān)鍵．
先根據(jù)平角的定義求出的度數(shù)，再根據(jù)平行線的性質(zhì)，即要得出結(jié)果．
【詳解】解：，
，
∵兩個平面鏡平行放置，
∴經(jīng)過第二次反射后的反射光線與第一次反射的入射光線平行，
；
故選：A．
7．（2024·江西·二模）我們知道光的反射是一種常見的物理現(xiàn)象.如圖，某 V 型路口放置如圖所示的兩個平面鏡，，兩個平面鏡所成的夾角為，位于點 D 處的甲同學(xué)在平面鏡 中看到位于點A處的乙同學(xué)的像，其中光的路徑為入射光線 經(jīng)過平面鏡反射后，又沿射向平面鏡，在點 C 處再次反射，反射光線為，已知入射光線，反射光線 ，則等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本題考查了光的反射定律，平行線的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，熟練掌握以上知識點是解題的關(guān)鍵．由光的反射定律以及平行線的性質(zhì)，推出，再結(jié)合三角形內(nèi)角和，推出的度數(shù)．
【詳解】如圖所示，由光的反射定律，可以知道，
，
，
故選：C ．
8．（2024·河南平頂山·三模）光的反射定律為：入射光線、反射光線和法線(垂直于反射面的直線)都在同一平面內(nèi)，且入射光線和反射光線分別位于法線的兩側(cè)，入射光線與法線的夾角入射角等于反射光線與法線的夾角反射角，興趣小組想讓太陽光垂直射入水井，運用此原理，如圖，在井口放置一面平面鏡以改變光的路線，當(dāng)太陽光線與水平線的夾角時，要使太陽光線經(jīng)反射后剛好豎直射入井底即，則調(diào)整后平面鏡與水平線的夾角為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本題考查相交線，垂線等知識，作出法線是解題的關(guān)鍵．過點F，作，求出，從而得出，繼而得解．
【詳解】解：過點F，作，則，
依題意得：，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
故選：B．
題型七：折疊問題
1．（2025·河北石家莊·模擬預(yù)測）如圖，將一張長方形紙片進行折疊，若，則的度數(shù)為（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本題考查了平行線的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，掌握平行線的性質(zhì)是關(guān)鍵．根據(jù)平行的性質(zhì)得到，解得，，根據(jù)折疊得到，再根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯角相等即可求解．
【詳解】解：根據(jù)題意，，
∴，
∵，則，
∴，
解得，，
∴，
由折疊的性質(zhì)可得，，
∵，
∴，
故選：B ．
2．（24-25七年級下·浙江麗水·期中）如圖，將一條對邊互相平行的紙帶進行兩次折疊，使點，點重合于點，折痕分別為，且，則的度數(shù)是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本題考查了折疊的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)等知識點，根據(jù)折疊的性質(zhì)求出，結(jié)合平角的定義求出，再根據(jù)平行線的性質(zhì)求解即可．
【詳解】解：根據(jù)折疊的性質(zhì)得，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
故選：B．
3．（24-25七年級下·廣東廣州·期中）如圖，已知長方形紙片，點和點分別在邊和上的動點，點和點分別是邊和上的點，現(xiàn)將點，，，分別沿，折疊至點，，，，若，且，則的度數(shù)為（ ）
A．或 B．或 C．或 D．或
【答案】D
【分析】本題考查了長方形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，平行線的判定和性質(zhì)，熟練掌握性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．當(dāng)在上方時，延長，二線交于點Q，根據(jù)長方形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，平行線的判定和性質(zhì)，解答即可；當(dāng)在下方時，延長，二線交于點T，根據(jù)長方形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，平行線的判定和性質(zhì)，解答即可．
【詳解】解：當(dāng)在上方時，
延長，二線交于點Q，
∵長方形紙片，
∴，，
∴，
根據(jù)折疊的性質(zhì)，得，
，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
當(dāng)在下方時，
延長，二線交于點T，
∵長方形紙片，
∴，，
∴，
根據(jù)折疊的性質(zhì)，得，
，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
故選：D．
4．（24-25七年級下·浙江臺州·期中）如圖，將長方形紙條折疊得和，則與滿足的數(shù)量關(guān)系為（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本題考查了平行線的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，由平行線性質(zhì)可得，通過折疊性質(zhì)可知，從而可得，熟練掌握相關(guān)性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
【詳解】解：如圖，
∵，
∴，
由折疊性質(zhì)可知：，
∵，
∴，
∴，
故選：．
5．（24-25七年級下·河北石家莊·期中）如圖1，將一條兩邊互相平行的紙袋折疊．在圖1的基礎(chǔ)上繼續(xù)折疊，使得圖1中的邊與邊重合如圖，若繼續(xù)沿邊折疊，邊恰好平分，則此時的度數(shù)為（ ）度．
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本題考查了平行線的性質(zhì)、折疊的性質(zhì)以及角平分線的定義，解題的關(guān)鍵是利用折疊性質(zhì)得出角之間的等量關(guān)系，結(jié)合平行線性質(zhì)和角平分線定義求解．
根據(jù)兩直線平行，同位角相等，可知，根據(jù)折疊的性質(zhì)可知，折疊兩次后形成的三個角與折疊后的都相等，而這四個角的和為，故每個角為，從而可知，即可得的值．
【詳解】解：根據(jù)上下邊互相平行可知，，
又，
根據(jù)折疊的性質(zhì)可知，折疊兩次后形成的三個角都相等，
根據(jù)題意可知，折疊兩次后形成的三個角與折疊后的都相等，而這四個角的和為，故每個角為，
，
根據(jù)上下邊互相平行可知，，
即，
故選：B．
6．（24-25七年級下·山東菏澤·期中）如圖，把一張長方形紙片沿折疊后，點 D，C分別落在點，的位置上，與 的交點為 G，若，則的度數(shù)是 ．
【答案】
【分析】本題主要考查了折疊的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)．根據(jù)折疊的性質(zhì)可知：，，根據(jù)平行線的性質(zhì)得出，，據(jù)此求解即可．
【詳解】解：根據(jù)折疊的性質(zhì)可知：，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案為：．
7．（24-25七年級下·浙江臺州·期中）如圖，將長方形沿翻折，再沿翻折，若，則 度．
【答案】
【分析】本題考查了折疊的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，找準(zhǔn)相等的角是解決本題的關(guān)鍵．
首先根據(jù)平行線的性質(zhì)，可設(shè)，再根據(jù)折疊的性質(zhì)可得，，，再根據(jù)平行線的性質(zhì)，可得，即可求得x的值，據(jù)此即可求得．
【詳解】解：四邊形是長方形，
，
，
設(shè)，
，，
，
由沿折疊可知：，
，
由沿折疊可知：，
，
，
即，
解得，
，
，
故答案為：．
題型八：軸對稱中作圖問題
1．（23-24七年級下·全國·課后作業(yè)）如圖，已知四邊形與四邊形成軸對稱．
(1)請畫出它們的對稱軸l；
(2)若，垂足為M，試畫出點M關(guān)于直線l的對稱點．
【答案】(1)見解析
(2)見解析
【分析】本題主要考查軸對稱圖形的性質(zhì)，掌握其性質(zhì)是關(guān)鍵．
（1）根據(jù)軸對稱圖形的性質(zhì)“對稱軸兩側(cè)的對應(yīng)點到對稱軸的距離相等；沿對稱軸將圖形對折，兩側(cè)的圖形能夠完全重合；軸對稱圖形的對稱軸是任何一對對應(yīng)點所連線段的垂直平分線”作圖即可；
（2）根據(jù)軸對稱圖形的性質(zhì)作圖即可．
【詳解】（1）解：根據(jù)軸對稱圖形的性質(zhì)作圖如下，
（2）解：如上圖所示，點即為所求點的位置．
2．（23-24七年級下·全國·課后作業(yè)）如圖，與關(guān)于直線對稱，與關(guān)于直線對稱．
(1)請用直尺和圓規(guī)作出直線（不寫作法，保留作圖痕跡）；
(2)設(shè)直線與相交于點O，試探究直線，所夾銳角與的數(shù)量關(guān)系．
【答案】(1)見解析
(2)
【分析】本題考查畫對稱軸，成軸對稱的性質(zhì)，熟練掌握成軸對稱的性質(zhì)，是解題的關(guān)鍵：
（1）根據(jù)對稱軸垂直平分對應(yīng)點所連線段，連接，作的垂直平分線即可；
（2）連接，根據(jù)成軸對稱的性質(zhì)，進行求解即可．
【詳解】（1）解：如圖，直線即為所求；
（2）解：如圖②，連接，
∵與關(guān)于直線對稱，
∴．
∵與關(guān)于直線對稱，
∴．
∴．
3．（23-24七年級下·全國·單元測試）如圖，用直尺和圓規(guī)完成下列作圖（保留作圖痕跡）：
(1)如圖①，在中，，，在邊上作一點，使的三個內(nèi)角分別為，，；
(2)作圖②的對稱軸．
【答案】(1)見解析
(2)見解析
【分析】本題考查了作圖——復(fù)雜作圖，線段垂直平分線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是數(shù)形結(jié)合．
（1）在中，，，則，作線段的垂直平分線交于點，連接，得到，推出，則，，則點即為所求所作；
（2）作線段的垂直平分線即可．
【詳解】（1）解：如圖，點即為所求；
（2）如圖，即為所求．
4．（24-25七年級上·山東煙臺·期中）在如圖所示的方格紙中，三個頂點均在格點上，這樣的三角形叫做格點三角形．請在下列方格紙中，分別畫出不同的與原成軸對稱的格點三角形，并畫出對稱軸．
【答案】圖見解析
【分析】本題考查了軸對稱圖形“如果一個圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠完全重合，那么這個圖形叫做軸對稱圖形．這條直線就是它的對稱軸”，熟記軸對稱圖形的定義是解題關(guān)鍵．根據(jù)軸對稱圖形的定義求解即可得．
【詳解】解：如圖，直線和陰影三角形即為所求．
5．（24-25七年級下·全國·期末）如圖，和的頂點都在邊長為1的正方形網(wǎng)格線的交點上，且和關(guān)于直線成軸對稱．
(1)的面積為________；
(2)請在如圖所示的網(wǎng)格中作出對稱軸；
(3)請在線段的上方找一點（不與點重合），畫出，使．
【答案】(1)
(2)圖見解析
(3)圖見解析
【分析】（1）利用割補法求解即可；
（2）在如圖所示的網(wǎng)格中作出對稱軸即可；
（3）在線段的上方找一點（不與點重合），畫出，使即可．
【詳解】（1）解：，
故答案為：；
（2）解：如圖，直線即為所求作；
（3）解：如圖，即為所求作．
6．（24-25八年級上·江蘇南京·期中）如圖，網(wǎng)格中的與為軸對稱圖形．
(1)的面積為_______；
(2)利用網(wǎng)格線作出與的對稱軸l；
(3)結(jié)合所畫圖形，在直線l上畫出點P，使最小．
【答案】(1)3
(2)圖見解析
(3)圖見解析
【分析】本題考查了軸對稱圖形與軸對稱的性質(zhì)、兩點之間線段最短．
（1）結(jié)合網(wǎng)格，利用割補法得到長方形的面積減去三個直角三角形的面積即可得；
（2）連接對應(yīng)點，利用網(wǎng)格作出對應(yīng)點連線的垂直平分線即可得；
（3）連接，與直線l的交點即為點P．
【詳解】（1）解：，
故答案為：3；
（2）解：利用網(wǎng)格線作出與的對稱軸l；
（3）解：連接，與直線l的交點即為點P，點P如圖所示，此時由對稱可得，最小．
7．（24-25八年級上·河北承德·期末）如圖，和的頂點都在邊長為1的正方形網(wǎng)格的格點上，且和關(guān)于直線m成軸對稱．
(1)直接寫出的面積為 ；
(2)請在如圖所示的網(wǎng)格中作出對稱軸m；
(3)請在線段的右側(cè)找一點D，畫出，使．
【答案】(1)5
(2)見解析
(3)見解析
【分析】本題考查了作軸對稱圖形，全等三角形的性質(zhì)與判定，熟練掌握軸對稱的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
（1）根據(jù)割補法求三角形的面積即可求解；
（2）連接，，根據(jù)網(wǎng)格的特點過，的中點作直線m，即可求解；
（3）根據(jù)軸對稱的性質(zhì)作出，即可．
【詳解】（1）解：（1）的面積為，
故答案為：5；
（2）解：如圖1，直線m即為所求．
（3）解：如圖2，即為所求．
題型九：鐘表中鏡面對稱問題
1．（23-24八年級上·廣西河池·期中）小明玩自拍，自拍照中電子鐘示數(shù)如圖所示，拍照的時刻應(yīng)是（　）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】此題考查了鏡面對稱，熟練掌握鏡面反射的原理與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
根據(jù)鏡面對稱的性質(zhì)：在平面鏡中的像與現(xiàn)實中的事物恰好左右或上下順序顛倒，且關(guān)于鏡面對稱，即可解答．
【詳解】解：根據(jù)鏡面對稱的性質(zhì)可得拍照的時刻應(yīng)是，
故選：C．
2．（24-25八年級上·廣東珠海·期中）明明在鏡中看到身后墻上的時鐘如下，你認為實際時間最接近的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】此題考查了鏡面對稱的性質(zhì)，根據(jù)鏡面對稱的性質(zhì)，在平面鏡中的鐘面上的時針、分針的位置和實物應(yīng)關(guān)于過12時、6時的直線成軸對稱，然后分別求出每個選項中的時間，進而求解即可．
【詳解】解：A、實際時間大約為；
B、實際時間大約為；
C、實際時間大約為；
D、實際時間大約為；
∴實際時間最接近的是．
故選：D．
3．（24-25八年級上·甘肅平?jīng)觥て谥校┤鐖D，圖中顯示的是從鏡子中看到背的電子鐘讀數(shù)，由此你推斷這時的實際時間是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本題考查了鏡面反射的原理與性質(zhì)．解決此類題應(yīng)認真觀察，注意技巧．根據(jù)鏡面對稱的性質(zhì)，在平面鏡中的像與現(xiàn)實中的事物恰好左右顛倒，且關(guān)于鏡面對稱，分析并作答．
【詳解】解：根據(jù)鏡面對稱的性質(zhì)，分析可得題中所顯示的時刻與成軸對稱，
所以此時實際時刻為；
故選：D．
4．（24-25七年級上·上海徐匯·期末）小明從鏡子里看到鏡子對面電子鐘的像如圖所示：，實際時間是 ．
【答案】
【分析】本題考查鏡面反射的原理與性質(zhì)．解決此類題應(yīng)認真觀察，注意技巧．利用鏡面對稱的性質(zhì)求解．鏡面對稱的性質(zhì)：在平面鏡中的像與現(xiàn)實中的事物恰好順序顛倒，且關(guān)于鏡面對稱．
【詳解】解：根據(jù)鏡面對稱的性質(zhì)，題中所顯示的時刻與成軸對稱，所以此時實際時刻為，
故答案為：．
5．（24-25八年級上·安徽淮南·期中）在鏡子中看到時鐘顯示的時間是，則實際時間是 ．
【答案】
【分析】本題主要考查鏡面對稱，解決此類問題應(yīng)認真觀察，掌握軸對稱的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵；根據(jù)鏡面對稱的性質(zhì)可知在平面鏡內(nèi)的像與現(xiàn)實中的事物恰好順序顛倒，且關(guān)于鏡面對稱，然后問題可求解．
【詳解】解：由題意得：實際時間是；
故答案為．
6．（24-25八年級上·江蘇泰州·階段練習(xí)）從鏡中看到的一串?dāng)?shù)字是，這串?dāng)?shù)字應(yīng)為 ．
【答案】
【分析】此題考查了鏡面對稱的知識，鏡面對稱的知識實際上是數(shù)學(xué)上的軸對稱的知識，由于在鏡子中看到的順序是顛倒的，可根據(jù)這個特點來解決鏡面對稱的問題．
【詳解】解：這串?dāng)?shù)字應(yīng)為，
故答案為：．
7．（24-25八年級上·江蘇無錫·階段練習(xí)）從鏡子里看黑板上寫著，那么實際上黑板寫的是 ．
【答案】50281
【分析】根據(jù)鏡面對稱的性質(zhì)，在平面鏡中的像與現(xiàn)實中的事物恰好順序顛倒，且關(guān)于鏡面對稱，屬于左右對稱；據(jù)此分析并作答.
【詳解】根據(jù)鏡面對稱的性質(zhì)，鏡面對稱在平面鏡中的像與現(xiàn)實中的事物恰好順序顛倒，則這個號碼是50281．
故答案為50281.
題型十：設(shè)計軸對稱圖形
1．（24-25七年級下·江蘇鹽城·期中）如圖所示在3×3的正方形網(wǎng)格中，已經(jīng)有3個小正方形涂了陰影，請你在余下的空白小方格中涂上1個陰影使整個圖形成為軸對稱圖形，把幾種不同的涂法分別展示出來．
【答案】有2種，圖形見解析．
【分析】根據(jù)軸對稱圖形的性質(zhì)求解即可；本題主要考查了做軸對稱圖形，準(zhǔn)確作圖是解題的關(guān)鍵．
【詳解】解：根據(jù)題意作圖如下：
2．（24-25七年級下·山東棗莊·階段練習(xí)）如圖，16個相同的小正方形拼成一個正方形網(wǎng)格，其中的兩個小方格已涂黑．請用三種不同的方法分別在圖中再涂黑兩個小方格，使整個網(wǎng)格成為軸對稱圖形．
【答案】見解析
【分析】本題主要考查了設(shè)計軸對稱圖案，熟知軸對稱圖形的定義是解題的關(guān)鍵．根據(jù)軸對稱圖形的定義進行設(shè)計圖案即可：如果一個平面圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個圖形就叫做軸對稱圖形，這條直線就叫做對稱軸．
【詳解】解：如圖，（答案不唯一）
3．（24-25七年級下·福建漳州·階段練習(xí)）把一個大正方形分成9個相同的小方格，給圖中的1個白色小方格涂上陰影，使整個圖形成為一個軸對稱圖形，請用4種不同的畫法表示．
【答案】見解析
【分析】本題主要考查了軸對稱圖案的設(shè)計，如果一個平面圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個圖形就叫做軸對稱圖形，據(jù)此設(shè)計圖案即可．
【詳解】解：如圖所示，即為所求．
4．（24-25八年級上·吉林·期中）軸對稱（或稱對稱軸）的概念早在古希臘時期就已經(jīng)出現(xiàn)．古希臘哲學(xué)家柏拉圖在其著作《會晤篇》中，就提到了“對稱”的概念，并闡述了對稱的重要性．在數(shù)學(xué)和物理學(xué)等領(lǐng)域中，軸對稱一直都是一個重要的概念，被廣泛應(yīng)用于各種理論和實踐中．如圖是由三個陰影的小正方形組成的圖形，請你在三個網(wǎng)格圖中，各補畫出一個有陰影的小正方形，使補畫后的圖形為軸對稱圖形．
【答案】見解析
【分析】本題主要考查了軸對稱圖形，如果一個圖形沿著某條直線折疊后，直線兩旁的部分可以完全重合，這個圖形就是軸對稱圖形，解決本題的關(guān)鍵是根據(jù)圖形中已有的陰影正方形的位置和軸對稱圖形的定義作圖．
【詳解】解：如下圖所示，
（答案不唯一）
5．（2025七年級下·全國·專題練習(xí)）如圖，方格紙上畫有和兩條線段，請僅用無刻度的直尺在圖中添上一條線段，使圖中的3條線段組成一個軸對稱圖形（畫出4種，不寫作法）．
【答案】見解析
【分析】此題考查了軸對稱圖案設(shè)計．如果一個圖形沿某條直線折疊后，圖形的兩部分能夠完全重合，則這個圖形叫做軸對稱圖形．根據(jù)軸對稱圖形定義進行作圖即可．
【詳解】解：如圖所示，即為所求，
6．（24-25八年級上·江蘇宿遷·期中）如圖，在“”的正方形網(wǎng)格中，有一個以格點為頂點的三角形．請你在圖中分別畫出一個與該三角形成軸對稱且以格點為頂點的三角形，將所畫三角形涂上陰影．（注：所畫的四幅圖不能重復(fù)）
【答案】見解析
【分析】此題主要考查了利用軸對稱設(shè)計圖案，根據(jù)軸對稱圖形：沿著一直線折疊后，直線兩旁的部分完全重合畫圖即可．
【詳解】解：在圖中分別畫出一個與該三角形成軸對稱且以格點為頂點的三角形，將所畫三角形涂上陰影如下圖所示：（答案不唯一）
7．（24-25八年級上·四川廣安·期中）如圖甲，正方形被劃分成16個全等的三角形，將其中若干個三角形涂黑，且滿足下列條件：
（1）涂黑部分的面積是原正方形面積的一半；
（2）涂黑部分成軸對稱圖形．
圖乙與圖丙是一種涂法，請在圖中分別設(shè)計另外三種涂法．（注：在所設(shè)計的圖案中，若涂黑部分全等，則認為是同一種涂法，如圖乙與圖丙）
【答案】見解析
【分析】本題考查了作圖軸對稱圖形，掌握軸對稱的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．根據(jù)軸對稱的性質(zhì)作圖即可．
【詳解】解：如圖所示，
8．（24-25八年級上·四川廣安·階段練習(xí)）如圖所示，在的方格內(nèi)，已將其中的2個小正方形涂成黑色，請你分別在圖①、圖②、圖③、圖④中再將兩個空白的小正方形涂成黑色，使4個黑色小正方形組成一個軸對稱圖形，畫出與示意圖不同的4種方案．（每個的方格內(nèi)限畫一種）
要求：
（1）4個黑色小正方形必須相連；（有公共邊或公共頂點視為相連）
（2）將選中的小正方形方格用黑色簽字筆涂成陰影圖形．（若兩個方案的圖形經(jīng)過翻折、平移、旋轉(zhuǎn)后能夠重合，均視為一種方案）
【答案】見解析
【分析】此題主要考查了利用旋轉(zhuǎn)設(shè)計圖案，正確掌握相關(guān)圖形性質(zhì)是解題關(guān)鍵．利用軸對稱圖形的性質(zhì)以及旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、平移的性質(zhì)分別得出符合題意的答案．
【詳解】解：如圖所示：
．
題型一：軸對稱中最值問題
1．（23-24八年級上·江蘇無錫·階段練習(xí)）如圖，四邊形中，，在上分別找一點M、N，使周長最小時，則的度數(shù)為（ 　）

A． B． C． D．
【答案】D
【分析】作點A關(guān)于的對稱點，關(guān)于的對稱點，根據(jù)軸對稱確定最短路線問題，連接與的交點即為所求的點M、N，利用三角形的內(nèi)角和定理列式求出，再根據(jù)軸對稱的性質(zhì)和三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和可得，然后計算即可得解．
【詳解】解：如圖，作點A關(guān)于的對稱點，關(guān)于的對稱點，

連接與的交點即為所求的點M、N，
∵，
∴，
由軸對稱的性質(zhì)得：，
∴．
故選：D．
2．（23-24七年級下·廣東深圳·期末）如圖，將線段沿著射線折疊得到，延長到E，連接，點F是射線上的一個動點，連接，，若，，的周長的最小值為22，則長為（ ）
A．18 B．16 C．14 D．12
【答案】C
【分析】本題考查的是軸對稱的性質(zhì)，線段沿著射線折疊得到，可得，求解，當(dāng)共線時，，此時周長最短；再進一步解答即可；
【詳解】解：如圖，
∵線段沿著射線折疊得到，
∴，
∵，
∴，
當(dāng)共線時，
，此時周長最短；
∴，
∴；
故選C
3．（23-24八年級上·北京西城·期中）中，，，，是的角平分線，點E、F分別是線段、線段上的動點，則的最小值是（　　）
A．4 B．3 C．8 D．16
【答案】A
【分析】本題考查了角平分線，軸對稱的性質(zhì)，含30度的直角三角形，垂線段最短等知識．熟練它們的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
作F關(guān)于的對稱點，連接，由作圖和結(jié)合已知條件分析得知：當(dāng)A、E、三點共線時，即、重合時時，此時的值最小，根據(jù)含30度的直角三角形的性質(zhì)定理即可求出答案．
【詳解】解：如圖，作F關(guān)于的對稱點，連接， 則，
∵是的角平分線，
∴在上，
∴，
∴當(dāng)A、E、三點共線，且即、重合時，的值最小，
∵，，，
∴
的最小值為4，
故選：A．
4．（2024八年級上·黑龍江·專題練習(xí)）如圖，在長方形中，，，點E在四邊形內(nèi)部，且點E到邊的距離為2，當(dāng)?shù)闹底钚r，的度數(shù)為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本題主要考查了利用將軍飲馬模型求最值．由點E到邊的距離為2，可知點E在平行而且到的距離等于2的直線上運動，根據(jù)將軍飲馬模型，作點B關(guān)于的對稱點，可得，，三點共線時的值最小，再證明為等腰直角三角形，即得結(jié)論．
【詳解】如圖，過點E作分別交，于點F，G，則，作點B關(guān)于的對稱點，連接與交于點E，即為最短路徑．
∵， ，
∴為等腰直角三角形，
∴，
故選：D．
5．（24-25八年級上·四川內(nèi)江·階段練習(xí)）如圖，在銳角三角形中，的面積15，平分交于點D，若分別是上的動點，則的最小值為（　　）

A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】D
【分析】過 作 于點 ，交 于點 ， 過 點 作 于 ，則 即為 的最小值，再根據(jù)三角形的面積公式求出 的長，即為 的最小值；
【詳解】過 作 于點 ，交 于點 ，過點 作 于 ，如圖：

∵ 平分 于點 于 ，
∴，
∴ 是 最小值，此時 與 重合， 與 重合，
∵三角形 的面積為 ，
∴，
∴，
即 的最小值為 6 ；
故選：D
6．（24-25八年級上·全國·單元測試）如圖，中，，，，點在上，且，點在的平分線上運動，則的長度最小值為（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】利用最短路徑直接將點對稱，然后連線求兩線段和的最小值即可．
【詳解】將關(guān)于對稱至點，連接 ，
∴，
∴，
∴，
∵，，，且，
∴是中點，
∴．
∴
故選：B
7．（24-25八年級上·四川綿陽·期末）如圖，在中，，點，，分別是各邊上的動點，若，，，則的最小值是 ．
【答案】
【分析】本題考查了線段最短問題，軸對稱，解題的關(guān)鍵是正確作出輔助線．
作，交于點E，作點E關(guān)于的對稱點，關(guān)于的對稱點．
將轉(zhuǎn)化為求線段的長度；再利用三角形面積公式求出邊上的高，進而得到的最小值．
【詳解】解：作，交于點E，
∴為到的垂線段，即高，是的最小值，
作點E關(guān)于的對稱點，關(guān)于的對稱點．
∴，，則．
當(dāng)M，N與C重合時，，
，，
路徑
∴當(dāng)、N、M、共線時，和最小，即的長度．
，
∴，即、C、共線，
故．
面積，
又，即，
解得．
∴，即的最小值為．
故答案為：．
8．（2025·廣東·模擬預(yù)測）如圖，在中，，，點為高上的一動點，以為邊作等邊，連接，，則 ，的最小值為 ．
【答案】
【分析】①利用等邊三角形的性質(zhì)和判定出，即可求解；
②過點作定直線的對稱點，連，利用軸對稱的性質(zhì)分析出，求出的長即可．
【詳解】①∵，
∴為等邊三角形，
∴
∵，
∴，
∵是等邊三角形，
∴，，
∴，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴；
②過點作定直線的對稱點，連，
∴，，
∴
∴為等邊三角形，
∴為的中垂線，，
∴，連接，
∴，又，
∴，，三點共圓，為直徑，
∴為直角三角形，
∵，
∴，
∴，
∴的最小值為；
故答案為：；．
題型二：解答題中的折疊問題
1．（24-25七年級下·四川南充·期中）如圖，將一張長方形紙片沿折疊，點D，C分別落在點，的位置，的延長線與相交于點G．
(1)如圖1，，求的度數(shù)；
(2)如圖2，延長交于點M，若，求的度數(shù)．
【答案】(1)
(2)
【分析】本題考查折疊的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，掌握折疊的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)定理，并熟練進行等量代換是解題的關(guān)鍵．
（1）利用折疊的性質(zhì)得，，再利用平行線的性質(zhì)得，通過等量代換得到，求出，進而求出、的度數(shù)；
（2）利用三角形內(nèi)角和定理求出，再結(jié)合折疊的性質(zhì)得出 ，再利用平行線的性質(zhì)求出，進而得出的度數(shù)．
【詳解】（1）解：由折疊得：，，
∵四邊形是長方形，
∴．
∴，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
解得：．
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）解：由折疊的性質(zhì)可得，，
∵四邊形是長方形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
2．（24-25七年級下·江蘇鹽城·階段練習(xí)）已知，分別是長方形紙條邊，上兩點（其中且），如圖所示沿，所在直線進行第一次折疊，點，的對應(yīng)點分別為點，，交于點．
(1)若，則的度數(shù)為 ．
(2)如圖，繼續(xù)沿進行第二次折疊，點，的對應(yīng)點分別為點，．
①若，則的度數(shù)為 ．
②若，請求出的度數(shù)．
【答案】(1)
(2)①；②
【分析】本題考查平行線的性質(zhì)（兩直線平行，內(nèi)錯角相等）、折疊的性質(zhì)（折疊前后對應(yīng)角相等）、鄰補角和為以及平角為 ．解題關(guān)鍵在于準(zhǔn)確運用這些性質(zhì)，通過角之間的等量關(guān)系，結(jié)合設(shè)未知數(shù)建立方程等方法來求解角度．
（1）本題涉及平行線的性質(zhì)以及折疊的性質(zhì)．利用得到角的關(guān)系，再結(jié)合折疊前后角相等的性質(zhì)來求解的度數(shù)．
（2）①根據(jù)折疊性質(zhì)和鄰補角的定義求出相關(guān)角的度數(shù)，再利用平角的度數(shù)為來計算的度數(shù)．②設(shè)未知數(shù)，依據(jù)折疊性質(zhì)、平行線性質(zhì)以及平角定義建立方程，從而求解的度數(shù)．
【詳解】（1）解：∵，
∴．
∴折疊可知．
又∵，
∴．
（2）解：①∴折疊可知，
∴．
又∵，且，
∴．
②設(shè)，則．
∵，
∴．
∴折疊可知，．
∵，，，且，
∴，．
∴，
又∵，
∴，
解得．
∴．
3．（24-25八年級上·浙江寧波·期中）如圖，有一長方形紙帶，分別是邊上一點，，將紙帶沿折疊成圖1，再沿折疊成圖2．
(1)當(dāng)時，則______，______；
(2)兩次折疊后，求的大小（用含的代數(shù)式表示）；
(3)當(dāng)和的度數(shù)之和為時，求的值．
【答案】(1)
(2)或
(3)或
【分析】本題考查折疊中角度的計算，平行線的性質(zhì)：
（1）根據(jù)折疊的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，求出的度數(shù)，對頂角即可得出的度數(shù)，再根據(jù)平行線的性質(zhì)，求出即可；
（2）分和兩種情況進行討論求解即可；
（3）分和兩種情況，利用（2）中的結(jié)論進行求解即可．
【詳解】（1）解：當(dāng)時，如圖，
∵將長方形紙帶沿折疊，
∴，
∴，
∴；
∴當(dāng)時，
；
故答案為：；
（2）當(dāng)時：
由（1）可知：，，
∴，
∵折疊，
∴，
∴；
當(dāng)時，如圖：
∵，
∴，，
∵，
∴，
∴；
綜上：或；
（3）當(dāng)時，，解得；
當(dāng)時，，解得；
故：或．
4．（24-25七年級下·湖北武漢·期中）如圖，將一張長方形紙片沿著折疊，翻折后的對應(yīng)點分別為．
(1)如圖（1），若點恰好落在上，且平分，求的度數(shù)；
(2)如圖（2），將長方形紙片沿折疊，點翻折后的對應(yīng)點分別為，使得和'在同一條直線上，求證；
(3)若直線與直線相交于點，，直接寫出的度數(shù)（用含的式子表示）．
【答案】(1)
(2)證明見解析
(3)或
【分析】本題考查翻折變換、平行線的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是掌握相關(guān)幾何知識，并靈活運用．
（1）證明，再利用翻折變換、平行線的性質(zhì)求解即可得到答案；
（2）證明，可得結(jié)論；
（3）畫出圖形，利用翻折變換的性質(zhì)求解．
【詳解】（1）解：如圖所示：
∵平分，
，
由翻折變換的性質(zhì)可知，
，
∵四邊形是矩形，
，
，
；
（2）證明：∵四邊形是矩形，
，
，
由翻折變換的性質(zhì)可知，，
，
；
（3）解：如圖所示：
，
，
，
，
．
5．（24-25七年級下·江蘇淮安·期中）如圖，將長方形紙片沿和折疊得到一個軸對稱的帽子，折痕角，點，的對應(yīng)點分別為點，，折疊后點，的對應(yīng)點恰好都在點E．
(1)若折痕角，求帽子頂角的度數(shù)；
(2)設(shè)度，度．
①請用含的代數(shù)式表示，則________；
②當(dāng)時，帽子比較美觀，求此時的值．
【答案】(1)
(2)①；②108
【分析】本題考查了平行線的性質(zhì)、折疊的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理、一元一次方程的應(yīng)用，熟練掌握相關(guān)性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
（1）由得，由折疊的性質(zhì)得，利用平角的定義求出的度數(shù)，根據(jù)軸對稱的性質(zhì)得，最后在中利用三角形內(nèi)角和定理即可求解；
（2）由和推出，由軸對稱的性質(zhì)得，在中利用三角形內(nèi)角和定理即可求解；②由（1）得，由①得度，利用平角的定義表示出的度數(shù)，結(jié)合求出的值，即可求出此時的值．
【詳解】（1）解：由題意得，，
，
，
，
由折疊的性質(zhì)得，，
，
由軸對稱的性質(zhì)得，，
，
帽子頂角的度數(shù)為．
（2）解：①，
，
，
，
，
由軸對稱的性質(zhì)得，，
設(shè)度，度，
度，
在中，，
，
故答案為：；
②由（1）得，，
由①得，度，
度，
，
，
解得：，
，
的值為108．
6．（24-25七年級下·全國·期末）如圖1，將一條長方形紙帶沿折疊，設(shè)度．
(1)若，則 度；
(2)將圖1紙帶繼續(xù)沿折疊成圖2，則 度．（用含x的代數(shù)式表示）
【答案】(1)25
(2)
【分析】本題考查了折疊的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)，熟練掌握以上知識點并靈活運用是解此題的關(guān)鍵．
（1）先求出，再由折疊的性質(zhì)結(jié)合平行線的性質(zhì)即可得解；
（2）設(shè)與相交于點，先求出，再由折疊的性質(zhì)結(jié)合平行線的性質(zhì)得出，，再由平行線的性質(zhì)得出，由折疊的性質(zhì)可得：，即可得解．
【詳解】（1）解：由題意可得，
∴，
由折疊得：，
∵，
∴，
故答案為：25；
（2）解：設(shè)與相交于點，
∵，
∴，
由折疊得：，
∵，
∴，，
∵，
∴，
由折疊的性質(zhì)可得：，
∴，
故答案為：．
7．（24-25七年級下·江蘇鹽城·期中）已知，分別是長方形紙條邊，上兩點（其中且），如圖所示沿，所在直線進行第一次折疊，點，的對應(yīng)點分別為點，，交于點．
(1)若，則的度數(shù)__________．
(2)如圖2，繼續(xù)沿進行第二次折疊，點，的對應(yīng)點分別為點，．
①若，則的度數(shù)__________．
②若，請求出的度數(shù)．
【答案】(1)；
(2)①；②
【分析】本題考查平行線的性質(zhì)（兩直線平行，內(nèi)錯角相等）、折疊的性質(zhì)（折疊前后對應(yīng)角相等）、鄰補角和為以及平角為 ．解題關(guān)鍵在于準(zhǔn)確運用這些性質(zhì)，通過角之間的等量關(guān)系，結(jié)合設(shè)未知數(shù)建立方程等方法來求解角度．
（1）根據(jù)平行線的性質(zhì)得出，根據(jù)折疊得出，根據(jù)平行線的性質(zhì)得出，最后求出結(jié)果即可．
（2）①根據(jù)平行線的性質(zhì)得出，，根據(jù)折疊得出，最后求出結(jié)果即可；
②設(shè)，則，根據(jù)平行線的性質(zhì)得出．根據(jù)折疊得出，，根據(jù)平行線的性質(zhì)得出，，列出方程，求出x的值，即可得出答案．
【詳解】（1）解：∵，
∴，
∴折疊可知，
∵，
∴，
∴．
（2）解：①∵，
∴，，
根據(jù)折疊可知，
∴．
②設(shè)，則，
∵，
∴．
∴折疊可知，，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∴，
解得．
∴．
題型三：軸對稱圖形中的探究問題
1．（24-25七年級下·河南駐馬店·期中）綜合與實踐．
【知識初探】
（1）如圖，長方形紙條中，，，，將紙條按如圖所示方式折疊，點落在處，點落在處，得到折痕，交于點．
若，則______度
若，則______（用含的式子表示）
【類比再探】
（2）如圖，在圖的基礎(chǔ)上將對折，點落在直線上的處點落在處．得到折痕．則折痕與有怎樣的位置關(guān)系？說明理由．
【答案】（）；；（），理由見解析．
【分析】本題主要考查了折疊的性質(zhì)，平行線的判定與性質(zhì)，熟練掌握折疊的性質(zhì)和平行線的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
（）由題意得，則，由平行線的性質(zhì)得，由平角的定義即可得出結(jié)果；
由題意得，則， 由平行線的性質(zhì)得，由平角的定義即可得出結(jié)果；
（）由題意得，，由平行線的性質(zhì)得，推出，即可得出．
【詳解】解：（）由題意得：，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案為：；
由題意得：，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案為：；
（），理由如下：
由題意得： ，，
∵，
∴，
∴，
∴．
2．（2025七年級下·河南·專題練習(xí)）【提出問題】
唐朝詩人李頎的詩《古從軍行》開頭兩句“白日登山望烽火，黃昏飲馬傍交河”中隱含著一個有趣的數(shù)學(xué)問題——將軍飲馬。如圖1，將軍從山腳下的點A出發(fā)，到達河岸飲馬后再回到點B宿營，他時常想，怎么走才能使每天走的路程之和最短呢？
【分析問題】
小亮：作B關(guān)于直線l的對稱點，連接與直線l交于點C，點C就是飲馬的地方，此時所走的路程之和就是最短的（如圖2）．
小慧：你能詳細解釋為什么嗎？
小亮：如圖3，在直線l上另取任意一點，連接，，，我只要說明即可．因為直線l是點B，的對稱軸，點C，在l上，所以______，______，所以______．
在中，因為，所以______，即最小．
請完善小亮的說明過程．
本問題實際上是利用轉(zhuǎn)化的思想，把在直線同側(cè)的A，B轉(zhuǎn)化在直線的兩側(cè)，從而利用“______”及“三角形兩邊之和大于第三邊”加以解決（在連接A，兩點的線中，線段最短）．
【解決問題】
如圖4，牧馬人從A地出發(fā)，先到草地邊某一處牧馬，再到河邊飲馬，然后回到B處，請畫出最短路徑．
【答案】解：【分析問題】 兩點之間，線段最短
【解決問題】圖見解析．
【分析】本題考查了軸對稱之將軍飲馬模型，掌握軸對稱變換和兩點之間線段最短是解題的關(guān)鍵．
（1）通過作對稱點，將將軍飲馬問題轉(zhuǎn)化為兩點之間線段最短的問題，利用軸對稱性質(zhì)得到相等線段，再結(jié)合三角形三邊關(guān)系證明路徑最短；
（2）作點關(guān)于草地的對稱點，作點關(guān)于河的對稱點，連接即為最短路徑．
【詳解】（1）∵直線l是點B，的對稱軸，點C，在l上，
∴，，
∴，，
由兩點之間線段最短可知，，
∴，
本問題實際上是利用轉(zhuǎn)化的思想，把在直線同側(cè)的轉(zhuǎn)化在直線的兩側(cè)，從而利用“兩點之間線段最短”及“三角形兩邊之和大于第三邊”加以解決（在連接兩點的線中，線段最短）。
故答案為： 兩點之間，線段最短；
（2）如圖，即為最短路徑．
3．（24-25七年級下·遼寧鐵嶺·期中）【綜合與實踐 操作探究】
在學(xué)行線的判定后，老師讓同學(xué)們通過折紙?zhí)骄科叫芯€的畫法．請根據(jù)以下步驟完成操作并回答相關(guān)問題．
操作步驟：
1．如圖，準(zhǔn)備銳角三角形紙片；
2．第一次折疊，將折疊，使點落在邊上的點處，折痕為（在上，在上）；
3．第二次折疊：將折疊，使點落在邊上點處，折痕為（在上）．
問題：
(1)（操作理解）在第一次折疊后，判斷折痕與的位置關(guān)系，并說明理由；
(2)（結(jié)論驗證）根據(jù)折疊結(jié)果，請你用所學(xué)知識證明；
(3)（拓展應(yīng)用）請你利用（2）的結(jié)論，證明：．
【答案】(1)，理由見解析
(2)證明見解析
(3)證明見解析
【分析】本題考查了平行線的判定和性質(zhì)，折疊的性質(zhì).
（1）根據(jù)折疊的性質(zhì)得到，即可判斷；
（2）由折疊可知，，，可得，再由同旁內(nèi)角兩直線平行證明即可；
（3）過點作交于點，根據(jù)平行線的判定和性質(zhì)得到，，由折疊得，由可得.
【詳解】（1）
理由：由折疊可知，
（2）證明：由折疊可知，，
，
即
由（1）知，
（3）過點作交于點
又
∴
又
∴
由折疊得，
，
由折疊得
4．（24-25七年級下·江蘇無錫·期中）如圖，已知．
【初步認識】
（1）尺規(guī)作圖：求作直線，使和關(guān)于直線對稱；（不寫作法，保留痕跡）
【理解應(yīng)用】
（2）如圖，若在內(nèi)部，和關(guān)于對稱，和關(guān)于對稱，求的度數(shù)；
（3）如圖，若在外部，且，和關(guān)于對稱，和關(guān)于對稱，求的度數(shù)；
【拓展提升】
（4）若和關(guān)于的邊對稱，且，則的度數(shù)是_____．
【答案】（）作圖見解析；（）；（）；（）或．
【分析】本題考查了尺規(guī)作圖——角平分線，軸對稱的性質(zhì)，角度和差，熟練掌握軸對稱的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
（）作平分，直線即為所求；
（）根據(jù)和關(guān)于對稱，得到，根據(jù)和關(guān)于對稱，得到，根據(jù)角的和差即可得到結(jié)論；
（）根據(jù)和關(guān)于對稱，得到，根據(jù)和關(guān)于對稱，求得，根據(jù)角的和差即可得到結(jié)論；
（）在內(nèi)部，當(dāng)在外部，根據(jù)軸對稱的性質(zhì)即可得到結(jié)論．
【詳解】解：（）如圖中，直線即為所求；
（）如圖中，
∵和關(guān)于對稱，
∴，
又∵和關(guān)于對稱，
∴，
∵，
∴；
（）如圖中，
∵和關(guān)于對稱，
∴，
又∵和關(guān)于對稱，
∴，
∵，
∴；
（）在內(nèi)部，如圖，
∵，關(guān)于對稱，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴
當(dāng)在外部，
∵，
∴射線在射線的上面，如圖，
∵，關(guān)于的邊對稱，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
綜上所述，或，
故答案為：或．
5．（24-25七年級下·山東濟寧·期中）如圖，．
某同學(xué)進行了下面操作：
第一步，將邊沿過點A的一條直線折疊，使與所在直線重合，折痕與交于點D，折疊后展開；
第二步，將邊沿過點D的一條直線折疊，使與所在直線重合，折痕與交于點E，折疊后展開；
第三步，對折線段（即把線段沿某一直線折疊，使點A與點D重合），折痕與，分別交于點F，G，折疊后展開；
第四步，對折線段（即把線段沿某一直線折疊，使點F與點G重合），折痕與分別交于點H，K，P，折疊后展開．
根據(jù)上面的操作，解答下面問題：
(1)猜想與的位置關(guān)系，并證明你的猜想；
(2)若，，求的度數(shù)．
【答案】(1)，見解析
(2)
【分析】此題考查了平行線的判定和性質(zhì)、折疊的性質(zhì)等知識，熟練掌握平行線的判定和性質(zhì)是關(guān)鍵．
（1）證明，即可得到結(jié)論；
（2）求出．根據(jù)即可得到答案．
【詳解】（1）．
證明：由折疊可知：．
∵．
∴．
同理：．
∴
∴．
（2）解：由折疊可知：．
∵，
∴．
∴．
∴．
∴．
∵，
∴．
1．（2025·天津·中考真題）在一些美術(shù)字中，有的漢字是軸對稱圖形．下面4個漢字中，可以看作是軸對稱圖形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本題主要查了軸對稱圖形．根據(jù)軸對稱圖形得定義，逐項判斷，即可求解．
【詳解】解：A、不是軸對稱圖形，故本選項不符合題意；
B、是軸對稱圖形，故本選項符合題意；
C、不是軸對稱圖形，故本選項不符合題意；
D、不是軸對稱圖形，故本選項不符合題意；
故選：B
2．（24-25七年級下·山東泰安·期中）如圖1是長方形紙帶，，將紙帶沿折疊成圖2，再沿折疊成圖3，則圖3中的的度數(shù)是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本題考查了折疊的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，熟練掌握性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．由長方形的性質(zhì)可知，由此可得出，再根據(jù)折疊的性質(zhì)求得圖2中，由此即可算出圖3中度數(shù)．
【詳解】解：∵四邊形為長方形，
，
．
由折疊的性質(zhì)可知：
圖2中，，
∴，
∴圖3中，．
故選：A．
3．（24-25七年級下·江蘇南京·階段練習(xí)）如圖的3×3的正方形網(wǎng)格中，的頂點都在小正方形的格點上，這樣的三角形稱為格點三角形，在網(wǎng)格中與成軸對稱的格點三角形一共有（ ）個
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】D
【分析】此題考查了軸對稱圖形，正確掌握軸對稱圖形的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．
直接利用軸對稱圖形的性質(zhì)結(jié)合題意得出答案．
【詳解】解：如圖所示：
．
故選：D．
4．（24-25六年級下·黑龍江大慶·期中）若和均為大于小于的角，且，則稱和互為“伙伴角”．根據(jù)這個約定，如圖，將一長方形紙片沿著對折（點在線段上，點在線段上）使點落在點，若與互為“伙伴角”，的度數(shù)（ ）
A． B．或 C．或 D．或
【答案】B
【分析】本題考查了折疊性質(zhì)，角度和差運算，由折疊性質(zhì)可知，，又與互為“伙伴角”，則，然后通過即可求解，掌握知識點的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．
【詳解】解：由折疊性質(zhì)可知，，
∵與互為“伙伴角”，
∴，
∴或，
∵，
∴，
則或，
∴或，
故選：．
5．（24-25七年級下·重慶·期中）如圖，和關(guān)于直線l對稱，G是直線l上一點，連接，，，，下列說法錯誤的是（ ）
A． B．線段，，被直線l垂直平分
C． D．
【答案】D
【分析】本題考查軸對稱圖形的性質(zhì)，垂直平分線的性質(zhì)，根據(jù)軸對稱圖形和垂直平分線的性質(zhì)，逐項判斷解答即可．
【詳解】解：∵和關(guān)于直線l對稱，
∴，線段，，被直線l垂直平分，，故A和B正確，不符合題意；
∴，，
∴，故C正確，不符合題意；
不等判斷D選項正確，故符合題意；
故選：D．
6．（2025七年級下·全國·專題練習(xí)）如圖，和關(guān)于直線l對稱，直線l與相交于點O，若，，，則五邊形的周長為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本題主要考查了軸對稱的性質(zhì)，直接利用軸對稱的性質(zhì)得出，，，再用周長公式計算即可得出答案，熟練掌握軸對稱的性質(zhì)并能正確得出對應(yīng)線段是解決此題的關(guān)鍵．
【詳解】解：和關(guān)于直線l對稱，直線l與相交于點O，
，，．
，，，
，，．
五邊形的周長為：．
故選：．
7．（2025·江西景德鎮(zhèn)·一模）如圖，在正十邊形中已有3個小三角形涂上陰影，請你再選擇一個三角形涂上陰影，使其陰影部分是軸對稱圖形，則一共有幾種涂法（ ）

A．1種 B．3種 C．5種 D．7種
【答案】B
【分析】本題考查利用軸對稱設(shè)計圖案，正確掌握軸對稱圖形的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．直接利用軸對稱圖形的性質(zhì)得出符合題意的答案．
【詳解】解：如圖所示，

一共有3種涂法，
故選：B．
8．（24-25七年級下·江蘇連云港·期中）如圖，在長方形紙片中，點，分別在，上，將沿著折疊，點剛好落在上的點處；再將沿著折疊，點剛好落在上的點處，已知，則的度數(shù)為（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】此題主要考查了長方形的性質(zhì)，圖形的折疊變換及性質(zhì)，角的計算，準(zhǔn)確識圖，理解長方形的性質(zhì)，熟練掌握圖形的折疊變換及性質(zhì)，角的計算是解決問題的關(guān)鍵．
據(jù)長方形的性質(zhì)及，則，由折疊的性質(zhì)得即可求解．
【詳解】解：∵四邊形是長方形，
∴
∵
∴
∴
由折疊性質(zhì)可得：
∴
∴
∵將沿著折疊，點C剛好落在上的點處，
∴
∴
故選：B．
9．（24-25七年級下·重慶·階段練習(xí)）如圖，在中，D、E分別是上的點，把四邊形沿直線折疊得到四邊形，，若，則 ．（用含的式子表示）
【答案】
【分析】本題考查與折疊有關(guān)的三角形的內(nèi)角和問題，三角形的外角，平行線的性質(zhì)，根據(jù)折疊的性質(zhì)，結(jié)合平角的定義，求出的度數(shù)，進而求出的度數(shù)，外角的性質(zhì)，求出的度數(shù)，折疊結(jié)合周角的定義求出的度數(shù)，平行線的性質(zhì)求出的度數(shù)即可．
【詳解】解：∵折疊，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴；
故答案為：．
10．（24-25七年級下·遼寧沈陽·階段練習(xí)）在中，于點，點關(guān)于的對稱點為點，連接，若，，則的度數(shù)為 ．
【答案】或
【分析】本題考查了三角形內(nèi)角和定理，三角形的高，對稱的性質(zhì)，根據(jù)題意分點在上和點在延長線上兩種情況，畫出示意圖，結(jié)合三角形內(nèi)角和定義即可解答．
【詳解】解：如圖，當(dāng)點在上時，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵點關(guān)于的對稱點為點，，
∴，
∴；
如圖，當(dāng)點在延長線上時，
同理，，，
∴；
綜上，的度數(shù)為或．
故答案為：或．
11．（24-25七年級下·四川成都·期中）如圖，在中，．點是邊上一點，連接，將沿對折，點落在點處，與交于點．當(dāng)時， （用含的代數(shù)式表示）．此時若的面積是，則重疊部分的面積為 ．
【答案】
【分析】根據(jù)折疊得出，，根據(jù)平行線的性質(zhì)得出，最后求出即可；延長交于點Q，證明，根據(jù)三角形面積求出，，證明，得出，最后根據(jù)三角形面積公式求出結(jié)果即可．
【詳解】解：根據(jù)折疊可知：，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
延長交于點Q，如圖所示：
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∴．
故答案為：；．
12．（24-25九年級下·黑龍江綏化·期中）如圖，在長度為1個單位長度的小正方形組成的網(wǎng)格中，點均在小正方形的頂點上．
(1)在圖中畫出與關(guān)于直線成軸對稱的．
(2)直接寫出的面積為___________．
【答案】(1)見解析
(2)
【分析】（1）根據(jù)對稱的垂直等距性質(zhì)，畫圖即可．
（2）利用分割法表示面積計算即可．
本題考查了對稱作圖，分割法表示面積，熟練掌握作圖是解題的關(guān)鍵．
【詳解】（1）解：根據(jù)題意，作圖如下：
則即為所求．
（2）解：根據(jù)題意，得
的面積為：．
故答案為：．
13．（24-25七年級下·陜西咸陽·階段練習(xí)）如圖，點是外的一點，點與點關(guān)于對稱，點與點關(guān)于對稱，連接并延長分別交、于C、D兩點，連接、、、．若，求的度數(shù)．
【答案】
【分析】本題主要考查了軸對稱的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理應(yīng)用，熟練掌握軸對稱的性質(zhì)，是解題的關(guān)鍵．根據(jù)軸對稱的性質(zhì)得出，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出，即可得出答案．
【詳解】解：∵點與點關(guān)于對稱，點與點關(guān)于對稱，，
∴，
∴，
∴．
14．（24-25七年級下·江蘇揚州·階段練習(xí)）數(shù)學(xué)實驗：通過紙片的折疊，可以發(fā)現(xiàn)許多有趣的現(xiàn)象，這些現(xiàn)象可以用有關(guān)的數(shù)學(xué)原理進行分析、解釋，所以紙片的折疊是一種有效的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方式．如圖，是將正方形紙片折疊后得到的一條折痕，其中點分別在邊上．
(1)折疊正方形紙片，使得，依次落在直線上．請你利用無刻度直尺和圓規(guī)，在圖①中分別作出折痕，（不寫作法，保留作圖痕跡），其中點，分別在邊上．
(2)設(shè)，的交點為，請求出的度數(shù)．
(3)折疊正方形紙片，使得落在直線上．請你利用無刻度直尺和圓規(guī)，在圖②中作出折痕（不寫作法，保留作圖痕跡），其中點，分別在邊，上．
【答案】(1)見解析
(2)
(3)見解析
【分析】本題考查了正方形的折疊問題，尺規(guī)作角平分線，解題的關(guān)鍵是掌握以上知識點．
（1）作，的角平分線即可．
（2）根據(jù)三角形外角的性質(zhì)得到，再根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到，即可得到；
（3）延長，交于T，作的角平分線即可．
【詳解】（1）解：作，的角平分線，
如圖所示、即為所求：
（2）解：如（1）圖所示，
∵，，
∴，
∵四邊形為正方形，
∴，
∴；
∵，分別是，的角平分線，
∴，
∴；
（3）解：延長，交于T，作的角平分線，
如圖所示即為所求：
15．（24-25七年級下·吉林長春·期中）圖1、圖2、圖3均是4×4的正方形網(wǎng)格，每個小正方形的頂點稱為格點，△ABC的三個頂點都在格點上．（提醒：每個小正方形邊長為1）
(1)在圖1中，將平移到，使點A與點D對應(yīng)；
(2)在圖2中，作出一個與關(guān)于直線成軸對稱的格點三角形；
(3)在圖3中，作出四邊形，使四邊形為軸對稱圖形．
【答案】(1)見詳解
(2)見詳解
(3)見詳解
【分析】本題考查了平移作圖，軸對稱作圖；
（1）將向右平移，再向下平移，作出圖形，即可求解；
（2）利用軸對稱的性質(zhì)，作出關(guān)于直線的對稱點，即可求解；
（3）以直線為對稱軸，作出關(guān)于直線的對稱點，即可求解；
掌握平移作圖及軸對稱作圖的作法是解題的關(guān)鍵．
【詳解】（1）解：如圖，
為所求作圖形；
（2）解：如圖，
為所求作圖形；
（3）解：如圖，
四邊形為所求作圖形．
16．（24-25七年級下·江西贛州·階段練習(xí)）長方形紙片的一角任意折向長方形內(nèi)，使點B落在點的位置，折痕為，G為邊上一點，再把折疊，使點C落在點的位置，折痕為．
(1)如圖1，當(dāng)折疊得到的與沒有重疊部分時．
①若，則_______；
②若，求的度數(shù)．
(2)如圖2，當(dāng)折疊得到的與有重疊部分時，試猜想與的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．
【答案】(1)①；②
(2)，理由見解析
【分析】本題考查折疊的性質(zhì)，角度間的計算，熟練掌握折疊的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
（1）①根據(jù)折疊的性質(zhì)可得，進而求出，再根據(jù)即可求解；②同理①得，再根據(jù)即可求解；
（2）由折疊的性質(zhì)可得，根據(jù)題意可得，再根據(jù)，即可得出結(jié)論．
【詳解】（1）解：①∵，
由折疊的性質(zhì)可得，
∴，
∵，
∴；
②同理①得，
∵，
∴；
（2）解：，理由如下：
由折疊的性質(zhì)可得，
∵，，
∴，
∴．
17．（24-25七年級下·遼寧葫蘆島·期中）（1）如圖1，在四邊形中，平分交的延長線于點，．
求證：．
（2）在四邊形中，點為邊上的一點，連接，沿折疊三角形，得到三角形．
①如圖2，當(dāng)點落在的延長線上時，且，，若，求的度數(shù)；
②如圖3，當(dāng)點落在射線的下方時，求證：．
【答案】（1）見解析；（2）①20°；②見解析
【分析】本題考查平行線的判定和性質(zhì)，角平分線的定義，折疊的性質(zhì)，過拐點作平行線是解題的關(guān)鍵．
（1）根據(jù)角平分線的定義和平行線的判定證明即可；
（2）①利用折疊的性質(zhì)，結(jié)合平行線的性質(zhì)求解即可；
②過點作，過點作，利用折疊的性質(zhì)先證，再根據(jù)平行線的判定和性質(zhì)證，最后根據(jù)鄰補角的性質(zhì)即可得證．
【詳解】（1）證明：平分，
，
又，
，
．
（2）①解：沿折疊三角形，得到三角形，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
②證明：過點作，過點作，
∴，
∴，，，
∵沿折疊三角形，得到三角形，
∴，，
∴，
∴，
又，
∴，
．

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