資源簡介

中小學教育資源及組卷應用平臺
2.2 等腰三角形
題型一：利用三邊關系求等腰三角形的周長
1．（24-25八年級下·廣東揭陽·期中）等腰三角形的兩邊長分別為，則該三角形的周長為（ ）
A． B．
C．或 D．以上都不對
2．（24-25八年級下·廣西防城港·期中）已知實數，滿足，則，的值為兩邊長的等腰三角形的周長是（ ）
A．13或17 B．13 C．17 D．以上均不對
3．（24-25七年級下·黑龍江大慶·期中）、、是等腰的三邊長，其中、滿足，則的周長為（ ）．
A．9 B．9或12 C．12 D．14
4．（24-25七年級下·河北保定·期中）已知有理數a，b滿足，則以a，b的值為兩邊長的等腰三角形周長是（ ）
A．17 B．22 C．17或22 D．以上答案均不對
5．（24-25七年級下·福建泉州·期中）已知等腰三角形的兩邊長分別為x、y，且滿足，則該等腰三角形的周長為（ ）
A．13 B．17 C．13或17 D．11或13
6．（24-25七年級下·山東威?！て谥校┤舴匠探M的解恰為等腰三角形的兩邊長，則等腰三角形的周長為 ．
7．（24-25八年級下·河南平頂山·期中）一個等腰三角形的一個內角為，則它的頂角的度數為 ；等腰三角形的兩邊長為2cm和5cm，則該等腰三角形的周長為 ；定理“線段垂直平分線上的點到這條線段兩個端點的距離相等”的逆定理是 ．
8．（24-25七年級下·上海長寧·期末）已知一個等腰三角形的兩邊長分別為，，其中，滿足，那么這個等腰三角形的周長是 ．
題型二：根據等腰三角形的特征進行判定
1．（24-25九年級下·浙江寧波·自主招生）如果一個三角形的三邊，滿足，那么這個三角形一定是（ ）
A．等邊三角形 B．等腰三角形
C．直角三角形 D．等腰直角三角形
2．（24-25八年級下·甘肅酒泉·期中）已知a，b，c是的三邊，且，則一定是（ ）
A．等腰三角形 B．等邊三角形 C．直角三角形 D．無法確定
3．（24-25八年級上·浙江杭州·階段練習）下列條件中，可以判定是等腰三角形的是（ ）
A．， B．
C． D．
4．（24-25七年級上·山東威?！て谀┮韵聴l件，能畫出唯一確定的三角形的是（ ）
A． B．
C．，， D．，，
5．（24-25八年級下·山東菏澤·階段練習）下列條件能判定為等腰三角形的是（　?。?br/>A． B．
C． D．
題型三：利用等腰三角形的定義求線段長度
1．（24-25八年級下·廣東揭陽·階段練習）一個等腰三角形的周長為16，有一條邊是4，則它的底邊為（ ）
A．4 B．8 C．4或8 D．8或6
2．（24-25八年級下·江西撫州·期中）四邊形的邊長如圖所示，對角線的長度隨四邊形形狀的改變而變化，當為等腰三角形時，對角線的長為（ ）
A．4 B．5 C．4或6 D．6
3．（24-25八年級上·浙江臺州·期末）工人師傅準備把一根長為的木條截成三段，圍成一個等腰三角形支架，若第一段木條的長為，則第二段木條的長是（ ）
A． B． C． D．
4．（2025九年級下·湖南邵陽·學業考試）定義：一個三角形的一邊長是另一邊長的2倍，這樣的三角形叫作“倍長三角形”．若等腰是“倍長三角形”，腰的長為6，則底邊的長為 ．
5．（24-25八年級下·河南焦作·階段練習）若一個等腰三角形的一條邊的長度是另一條邊長度的4倍，我們把這樣的等腰三角形叫做“4倍邊等腰三角形”.如果一個等腰三角形是“4倍邊等腰三角形”，且周長為，那么該等腰三角形的底邊長為 .
6．（24-25七年級下·四川達州·階段練習）如圖，在中，，的中垂線交于點D，交于點E，連接，若，的周長為18，則 ．

7．（23-24七年級下·湖北武漢·期末）用一條長為的細繩圍成一個等腰三角形，使其一邊的長度為，另外兩邊的長為 ．
8．（24-25七年級下·全國·單元測試）已知的三邊長分別為，，4，若是等腰三角形，則的值為 ．
題型四：利用等腰三角形的特征求相關角度
1．（24-25八年級上·河北滄州·期末）如圖，一個掛鐘的鐘擺由最左側點擺至最右側點時，鐘擺旋轉的角度為，則的度數為（ ）
A． B． C． D．
2．（24-25八年級下·云南昭通·期中）已知三角形的邊長分別為，，，那么這個三角形一定是（ ）
A．銳角三角形 B．直角三角形
C．等腰直角三角形 D．鈍角三角形
3．（24-25七年級下·上海嘉定·期末）如果是等腰三角形，，那么的度數不可能是（ ）
A． B． C． D．
4．（24-25七年級下·山西太原·階段練習）若一個等腰三角形的頂角比底角的2倍還多，則這個等腰三角形頂角的度數為 ．
5．（24-25八年級上·青海西寧·期中）若等腰三角形的一個角等于，則它的另外兩個角的度數為 ．
6．（2025·江蘇南京·二模）若等腰三角形的一個外角為，則它的底角為 °．
7．（24-25七年級下·全國·課后作業）一個等腰三角形的頂角是底角的2倍，則這個等腰三角形的底角度數是 ．
題型五：利用等腰三角形的定義判斷個數
1．（24-25七年級下·上?！て谀┤鐖D，已知：在中，，，在直線上找一點D，使或為等腰三角形，則符合條件的點D的個數有（ ）
A．7個 B．6個 C．5個 D．4個
2．（2025九年級下·浙江·專題練習）如圖，已知中，，，，在所在平面內一條直線，將分割成兩個三角形，使其中有一個邊長為3的等腰三角形，則這樣的直線最多可畫（ ）
A．5條 B．4條 C．3條 D．2條
3．（24-25八年級上·上?！るA段練習）在平面直角坐標系中，點，，在坐標軸上取一點，使為等腰三角形，符合條件的點C有（ ）
A．5個 B．6個 C．7個 D．8個
4．（24-25七年級下·上海·期末）在中，
(1)若，，求的度數；
(2)若是等腰三角形，，求的度數．
題型六：等腰三角形中尺規作圖
1．（24-25九年級下·山東濰坊·期中）四邊形是平行四邊形，下列尺規作圖不能使一定是等腰三角形的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2025·浙江杭州·模擬預測）如圖，在每個小正方形的邊長均為1的方格紙中有線段和，點A、B、C、D均在小正方形頂點上．
(1)在方格紙中畫出以為底的等腰，且點F在小正方形的頂點上；
(2)在方格紙中畫出面積為7.5的等腰，且點E在小正方形的頂點上．
3．（24-25八年級下·甘肅蘭州·期中）如圖，在平面直角坐標系中，的三個頂點分別是，，．
(1)把向左平移4個單位后得到對應的，請畫出平移后的；
(2)畫出關于原點對稱的；
(3)觀察圖形可知，與關于點______中心對稱．（寫出坐標）
(4)點P在y軸上且為等腰三角形，這樣的P點有 個．
4．（24-25八年級上·廣東汕頭·期中）在直角坐標系中，的三個頂點的位置如圖所示．
(1)請畫出關于軸對稱的（其中分別是A，B，C的對應點，不寫畫法）；
(2)直接寫出坐標：_______________，_________________，_________________．
(3)點在坐標軸上，且滿足是等腰三角形，請寫出符合條件的一個點的坐標______________
5．（24-25八年級上·貴州貴陽·期末）在平面直角坐標系中的位置如圖所示，網格中小正方形的邊長為1．
(1)畫出關于軸對稱的（其中分別為A、B、C的對應點）；
(2)點是軸上的一動點，連接，使得是以為腰的等腰三角形，請直接寫出點的坐標．
6．（24-25八年級上·云南昆明·期末）如圖，在平面直角坐標系中，的頂點坐標分別為，，
(1)請畫出關于y軸的對稱圖形，并寫出點的坐標；
(2)在y軸上找一點M，使得是以為底邊的等腰三角形，則點M的坐標是______．
7．（24-25八年級上·山東濟南·期末）如圖，網格中小正方形的邊長為1，點A、B、C都在格點上．
(1)畫出關于x軸對稱的（其中、、分別為A、B、C的對應點）；
(2)的面積為______；
(3)點F是x軸上的一點，且是以為腰的等腰三角形，直接寫出所有滿足條件的點F的坐標．
8．（2025·陜西銅川·模擬預測）如圖，在中，，點在邊上，請用尺規作圖法在邊上求作一點，連接，使得．（保留作圖痕跡，不寫作法）
題型七：利用等腰三角形的定義進行證明
1．（24-25七年級下·陜西西安·階段練習）如圖，在中，分別以，為邊向外作等腰直角三角形和等腰直角三角形，，連接，，猜想與的關系，并證明.
2．（2025·江蘇鹽城·一模）如圖， 是等腰直角三角形，， D 為 邊上一點， ，．證明：；
3．（24-25八年級上·廣東廣州·期中）如圖是等腰直角三角形，，O是內部的一個動點，是等腰直角三角形，．
(1)求證：；
(2)若是等腰三角形，，求的度數．
4．（24-25八年級上·廣東肇慶·期中）已知：如圖，在中，，平分外角．求證：是等腰三角形．
5．（24-25七年級下·全國·課后作業）如圖，和均為等腰直角三角形，其中．試說明：．
6．（2025·陜西西安·一模）如圖，與均為等腰直角三角形，．求證：．
7．（24-25八年級上·云南昭通·階段練習）如圖，在中，D是的中點，于點D，點O在的垂直平分線上．
(1)求證：是等腰三角形．
(2)若，求的度數．
8．（24-25七年級下·全國·單元測試）如圖①，已知在中，，D是邊上任意一點，過點D分別向作垂線，垂足分別為E，F．
(1)當點D在的什么位置時，？請說明理由；
(2)如圖②，過點C作邊上的高，試猜想之間存在怎樣的數量關系，請說明理由．
題型一：等腰三角形中需要分情況討論問題
1．（24-25七年級下·遼寧本溪·期中）等腰三角形兩腰上的高所在的直線形成的銳角為，則該等腰三角形的頂角的度數為 ．
2．（24-25七年級下·上海松江·期末）已知中，，是邊上的高，，那么的度數是 ．
3．（23-24七年級下·甘肅蘭州·期末）若一個等腰三角形有一個內角為，則它的底角為 ．
4．（24-25八年級下·陜西西安·期中）在中，，過點A的一條直線將該三角形分成的兩個小三角形均為等腰三角形，則的度數為 ．
5．（24-25八年級下·廣東佛山·期中）已知等腰的一個內角是，則它的底角度數為 ．
6．（24-25八年級上·河北滄州·期末）在等腰中，其中一角為，則其它兩角的度數分別為 ．
7．（24-25八年級上·廣東廣州·期末）已知是的高，，，則的度數為 ．
8．（24-25七年級下·全國·課后作業）已知中，，D為直線上異于B，C的一點．若是等腰三角形，則的度數為 ．
9．（24-25八年級上·山東聊城·期末）在中，，的垂直平分線與的所在的直線相交所成的銳角是，則 ．
10．（23-24八年級下·甘肅蘭州·期中）等腰三角形的一個角比另一個角2倍少20度，等腰三角形底角的度數是 ．
題型二：等腰三角形被中線分成兩個三角形題型
1．（24-25七年級下·甘肅蘭州·期中）等腰三角形底邊長為，一腰上的中線把這個三角形的周長分為兩部分，其差為，則該等腰三角形的腰長為（　?。?br/>A． B． C． D．或
2．（24-25七年級下·重慶·階段練習）一個等腰三角形一條腰上的中線把這個三角形的周長分成了6和12兩部分，則這個等腰三角形的底邊長為 ．
3．（24-25八年級下·山西運城·期中）如圖，等腰中，，為腰的中線，將的周長分成長和的兩段，則等腰的腰長為 ．
4．（24-25七年級下·上海閔行·階段練習）等腰三角形一腰上的中線把這個三角形的周長分成了和兩部分，則這個等腰三角形的底邊長為 ．
5．（24-25七年級下·福建泉州·階段練習）已知等腰三角形．
(1)若其兩邊長分別為2和3，求的周長；
(2)若一腰上的中線將此三角形的周長分為9和18，求的腰長．
6．（2025七年級下·全國·專題練習）在中，，邊上的中線把的周長分為和的兩部分，求的長．
題型三：等腰三角形的定義與整式的乘法相結合
1．（24-25八年級下·廣東茂名·階段練習）將一個多項式適當分組，并分別運用提公因式法或公式法進行分解，最后將多項式因式分解的方法叫做分組分解法，常見的分組分解法的形式有：“”等分法．如“”分法：．再如“”分法：．
(1)利用上述方法解決下列問題：
分解因式：①
②．
(2)類比應用：若，滿足，求與的值．
(3)延伸探究：若三邊滿足，請判斷的形狀，并說明理由．
2．（24-25八年級下·山東濟南·期中）閱讀與思考：配方法是指將一個式子或一個式子的某一部分通過恒等變形化為完全平方式或幾個完全平方式的和，巧妙的運用“配方法”能對一些多項式進行因式分解．
例：因式分解：．
解：原式
(1)解決問題：運用配方法將多項式進行因式分解．
(2)拓展運用：已知，，是的三邊長．且滿足，請判斷三角形的形狀，并說明理由．
3．（24-25八年級下·河南·階段練習）下面是探究性學習小組的甲、乙兩名同學所進行的因式分解：
甲：
（分成兩組）
（提公因式）
（提公因式）
乙：
（分成兩組）
（運用公式）
（運用公式）
請你在他們的解法的啟發下，解答下面各題：
(1)已知，求式子的值；
(2)已知為等腰的三邊長，且滿足，求等腰的周長．
4．（24-25八年級下·江西吉安·期中）閱讀材料：若，求，的值．
解：，
，
，
閱讀上面的材料，解決以下兩個問題：
(1)已知，求的值；
(2)已知等腰三角形的三條邊分別為，，，其中，滿足，求這個等腰三角形的周長．
5．（24-25八年級下·廣東梅州·期中）閱讀材料：要將多項式分解因式，可以先把它的前兩項分成一組，再把它的后兩項分成一組，從而得到，這時
中又有公因式，于是可以提出，即
，我們稱這種方法為分組法．請你利用分組法解答下列問題：
(1)解決問題：分解因式．
(2)拓展運用：已知是的三邊，且滿足，請判斷的形狀并說明理由．
6．（24-25七年級下·四川成都·期中）已知a，b，c為的三條邊，
(1)若，，的周長是小于17的奇數，求c的長．
(2)若為等腰三角形，且a，b滿足，求的周長．
題型四：等腰三角形的定義中解答題壓軸
1．（24-25七年級下·四川成都·階段練習）（1）如圖1，已知是直角三角形．，，直線經過點，分別從點、向直線作垂線，垂足分別為、．求證：．
（2）如圖2，在中，，直線經過點，點、分別在直線上，如果，猜想、、有何數量關系？并給予證明．
（3）如圖3，以的邊、為腰向外作等腰和等腰，，，，是邊上的高．延長交于點，探究與的數量關系，并說明理由．
2．（24-25七年級下·江西贛州·階段練習）綜合與實踐
【問題情境】課外數學社團開展活動時，指導老師提出了如下問題：如圖1，在中，若，為邊上的中點，試求中線長的取值范圍．
【探究方法】小明同學在組內和同學們合作交流后，得到了如下解決方法：如圖，延長到點，使，連接．請根據小明同學的方法思考：
（）由已知條件和作輔助線，能得到，理由是_______．
． ． ． ．
（）求中線長的取值范圍．
【解決問題】
（）老師贊賞了他們的探索精神，并鼓勵他們運用這個知識來解決問題：如圖，和都是等腰直角三角形，，是的中線，若，求的長．
3．（24-25七年級下·廣東深圳·期中）問題提出：
（1）我們把兩個面積相等但不全等的三角形叫做“偏等積三角形”．如圖1，中，，，，為上一點，當______時，與是偏等積三角形；
問題探究：
（2）如圖2，與是偏等積三角形，，，且線段的長度為正整數，過點作交的延長線于點，則______；
問題解決：
（3）如圖3，四邊形是一片綠色花園，、是等腰直角三角形，．
①與是偏等積三角形嗎？請說明理由；
②已知，的面積為．如圖4，計劃修建一條經過點的筆直的小路，在邊上，的延長線經過中點．若小路每米造價500元，請計算修建小路的總造價為______．
4．（24-25八年級上·廣西崇左·期末）體驗與實踐
【解題呈現】如圖，在中，，P為底邊上的中點，，，點D、E為垂足，過點C做腰線的垂線（高線），垂足為F，則有．
某同學的思路分析：本題涉及到三角形的高線，則利用等面積法進行思考與探索，即，所以，
而①式化為：可得．
【探究與實踐】如圖，已知：等腰三角形中，．
(1)P為底邊上的任意一點，自P向兩腰所在的直線做垂線，點E、F為垂足．求證：等于定值；
(2)若點P在底邊的延長線上時，情況如何？
5．（24-25八年級上·河南安陽·期末）已知，是等腰直角三角形，，A點在x軸負半軸上，直角頂點B在y軸上，點C在x軸上方．
(1)如圖1，若點，點，過點C作軸于點D，則______；
(2)如圖2，若點，點，過點C作軸于點D，則點C的坐標為______；
(3)如圖3，若x軸恰好平分，與x軸交于點E，過點C作軸于F，則與有怎樣的數量關系？并說明理由．
6．（24-25九年級下·重慶北碚·階段練習）在學習了等腰三角形的相關知識后，智慧小組進行了更深入的研究，他們發現，在一個銳角三角形中，如果有兩條邊上的高相等，那么這個銳角三角形是等腰三角形．他們的解決思路是通過證明兩條高所在的兩個三角形全等，從而得出結論．請根據他們的思路完成以下作圖與填空：
(1)用直尺和圓規，過點作的垂線交于點，交邊上的高于點（不寫作法，保留作圖痕跡）．
(2)已知：如圖，在銳角中，，，且．求證：．
證明：，，
①__________．
在與中，
（），
③__________，即，是等腰三角形．
進一步思考，如果三角形是鈍角三角形呢？請你模仿題中表述，寫出你猜想的結論：④__________．
7．（24-25八年級上·河南南陽·期末）如圖，已知中，，，點為的中點．如果點在線段上以的速度由點向點運動，同時，點在線段上由點向點以的速度運動．若點、兩點分別從點、同時出發．
(1)經過2秒后，求證：
①；
②；
(2)若的周長為，問經過幾秒鐘后，為等腰三角形？
1．（24-25八年級下·全國·假期作業）如圖，與關于直線對稱，P為上任一點，下列結論中錯誤的是（　?。?br/>A．直線、的交點不一定在上 B．是等腰三角形
C．與面積相等 D．垂直平分，
2．（24-25八年級下·陜西咸陽·期中）如圖，在中，，是線段的垂直平分線，交于點，若，的周長為，則的長為（ ）
A． B． C． D．
3．（2025七年級下·全國·專題練習）已知等腰三角形的周長為18，，若，則的邊等于（ ）
A．8 B．2或5或7 C．5或8 D．2或5或8
4．（24-25七年級下·四川成都·期中）下列說法正確的是（ ）
A．不相交的兩直線一定是平行線 B．兩條平行線被第三條直線所截，形成的一對同旁內角的平分線互相垂直
C．過一點有且只有一條直線與已知直線平行 D．等腰三角形的對稱軸是頂角平分線
5．（2025·北京·模擬預測）如圖，已知，求作：，使．
作法：（1）以點為圓心，任意長為半徑作，分別交，于點，，連接；
（2）以為圓心，的長為半徑作弧，交于點，連接，；
（3）作射線，即為所求作的角．下列結論正確的是（ ）
A．的依據是兩邊和它們的夾角分別相等的兩個三角形全等
B．
C．
D．是等腰三角形
6．（24-25九年級上·浙江臺州·期中）如圖，和均是等腰直角三角形，的延長線交于點，若，，則的長為（ ）
A．2 B． C．3 D．
7．（24-25八年級上·湖南懷化·期末）若 △ABC 三邊a ，b ，c 滿足 那么△ABC 的形狀是 （ ）
A．等腰三角形 B．等腰直角三角形 C．等邊三角形 D．直角三角形
8．（24-25八年級上·江蘇常州·期中）如圖， 在中，． 若某個三角形與能拼成一個等腰三角形 （無重疊），則拼成的等腰三角形有（ ）
A．4種 B．5種 C．6種 D．7種
9．（24-25八年級上·江蘇無錫·期中）等腰中，，一邊上的中線將這個三角形的周長分為18和30兩個部分，則這個等腰三角形的底邊長為（ ）
A．8 B．24 C．8或24 D．8或12
10．（24-25八年級上·江蘇南通·期中）如圖，在中，，以點為直角頂點，為直角邊作等腰直角三角形，再以點為直角頂點，為直角邊作等腰直角三角形，連接，是的中點，連接，則的長是（ ）
A． B． C． D．
11．（24-25七年級下·廣東佛山·期中）等腰三角形一邊長是，另一邊長是，則第三邊的長是 ．
12．（23-24七年級下·陜西西安·期中）已知、為等腰的邊長，且滿足，則的底邊長是 ．
13．（24-25七年級下·全國·課后作業）在等腰三角形中，一腰上的中線將這個三角形的周長分為12和6兩部分，則該等腰三角形的腰長為 ，底邊長為 ．
14．（24-25八年級上·上?！て谥校┤鐖D，等腰的直角頂點在直線上，直線于點，若，則的面積為 ．
15．（24-25七年級下·四川雅安·期中）若代數式的值與無關，且等腰三角形的兩邊長為、．
(1)求、的值；
(2)求該等腰三角形的周長．
16．（24-25八年級上·吉林·期末）【閱讀理解】例題：若，求和的值．
解：，，即，，，∴，．
【方法運用】若，求的值．
【拓展提升】已知是等腰的三邊長，若滿足，求的周長．
17．（24-25八年級上·廣西防城港·期中）課間，小明拿著老師的等腰直角三角尺玩，不小心掉到兩墻之間，如圖所示，，，，．
(1)求證：．
(2)若，請你幫小明求出砌墻磚塊的厚度的大?。僭O每塊磚的厚度相等）．
18．（24-25八年級上·廣東中山·期末）新定義：頂角相等且頂角頂點重合的兩個等腰三角形互為“友好三角形”．
(1)如圖1，和互為“友好三角形”， 其中， 連接，求證：；
(2)點D是直線上一動點（點D不與點B，C重合），以為邊向右構造，使得和互為“友好三角形”，其中，連接， 點F在線段右上方， 且點 E， C， F三點共線．
如圖2， 當點 D 在線段的左側時， 求證：；
如圖3，當點D 在線段上時，與的數量關系是否發生改變，并說明理由．中小學教育資源及組卷應用平臺
2.2 等腰三角形
題型一：利用三邊關系求等腰三角形的周長
1．（24-25八年級下·廣東揭陽·期中）等腰三角形的兩邊長分別為，則該三角形的周長為（ ）
A． B．
C．或 D．以上都不對
【答案】B
【分析】本題主要考查了定要三角形的定義和三角形三邊關系，根據等腰三角形定義分兩種情況，再根據三角形三邊關系確定可能的邊長組合并計算周長即可．
【詳解】解：等腰三角形兩邊長分別為和，可能有兩種情況：
情況一：腰長為，底邊為．
則三邊為、、．
此時，不滿足三角形兩邊之和大于第三邊的條件，故該情況不成立．
情況二：腰長為，底邊為．
則三邊為、、．
此時，，均滿足三角形三邊關系，故該情況成立．
則周長為．
故選：B
2．（24-25八年級下·廣西防城港·期中）已知實數，滿足，則，的值為兩邊長的等腰三角形的周長是（ ）
A．13或17 B．13 C．17 D．以上均不對
【答案】C
【分析】本題主要考查了等腰三角形的性質，非負數的性質，三角形三邊關系，由題意得，；分類討論若等腰三角形的三邊長為：3，3，7，若等腰三角形的三邊長為：3，7，7，利用三角形三邊關系加以驗證即可．
【詳解】解：由題意得．
∴，；
若等腰三角形的三邊長為：3，3，7，
∵，不能構成三角形，
∴此種情況不存在；
若等腰三角形的三邊長為：3，7，7，
則等腰三角形的周長為：，
故選：C．
3．（24-25七年級下·黑龍江大慶·期中）、、是等腰的三邊長，其中、滿足，則的周長為（ ）．
A．9 B．9或12 C．12 D．14
【答案】C
【分析】本題考了等腰三角形的定義和三角形的三邊關系，運用完全平方公式的非負性求出即可.解題關鍵在于熟練掌握各種知識點的綜合運用.
將已知方程配方成兩個完全平方的和，利用非負性求出和的值，再根據等腰三角形的性質及三角形三邊關系確定邊長，計算周長.
【詳解】解：配方求值： 可變形為：，
即；
根據非負性，得 且 ，
解得 ，；
等腰三角形分類討論：
情況一：若 為腰，則另一腰為2，底邊為5；此時 ，不滿足三角形三邊關系，舍去；
情況二：若 為腰，則另一腰為5，底邊為2；此時 ，滿足三邊關系；
計算周長：
三邊為，周長為 ，
綜上，的周長為12，
故選：C .
4．（24-25七年級下·河北保定·期中）已知有理數a，b滿足，則以a，b的值為兩邊長的等腰三角形周長是（ ）
A．17 B．22 C．17或22 D．以上答案均不對
【答案】B
【分析】此題考查了絕對值和平方數的非負性，等腰三角形的概念和三角形的三邊關系．首先根據絕對值和平方數的非負性求出，，然后根據等腰三角形的概念和三角形的三邊關系分情況討論，進而求解即可．
【詳解】解：∵，
∴，，
∴解得，．
當4是等腰三角形的腰時，
三角形三邊分別為，4，4，9，
∵，圍不成三角形，不符合題意；
當9是等腰三角形的腰時，
三角形三邊分別為，4，9，9，
∵，能圍成三角形，符合題意；
∴三角形的周長為．
故選：B．
5．（24-25七年級下·福建泉州·期中）已知等腰三角形的兩邊長分別為x、y，且滿足，則該等腰三角形的周長為（ ）
A．13 B．17 C．13或17 D．11或13
【答案】B
【分析】本題考查非負性，等腰三角形的定義，解二元一次方程組，根據非負性列出方程組，求出的值，根據等腰三角形的定義結合構成三角形的條件，進行求解即可．
【詳解】解：∵，
∴，解得：，
當腰長為3時，，無法構成三角形，
故腰長為7，等腰三角形的周長為；
故選B．
6．（24-25七年級下·山東威海·期中）若方程組的解恰為等腰三角形的兩邊長，則等腰三角形的周長為 ．
【答案】
【分析】本題考查了二元一次方程組的解法，等腰三角形的定義，三角形的三邊關系，解題關鍵是正確求解方程組．
先求出二元一次方程組的解，再根據腰的取值不同，分兩種情況討論求解，求得等腰三角形的周長．
【詳解】解：方程組，解得：，
∵方程組的解恰為等腰三角形的兩邊長，
∴當腰長為2時，
三邊長為2，2，4，，不能構成三角形；
當腰長為4時，
三邊長為4，4，2，，能構成三角形，
此時等腰三角形的周長為，
故答案為：．
7．（24-25八年級下·河南平頂山·期中）一個等腰三角形的一個內角為，則它的頂角的度數為 ；等腰三角形的兩邊長為2cm和5cm，則該等腰三角形的周長為 ；定理“線段垂直平分線上的點到這條線段兩個端點的距離相等”的逆定理是 ．
【答案】 或 到一條線段兩端距離相等的點在這條線段的垂直平分線上
【分析】本題主要考查了等腰三角形的性質，三角形內角和定理，線段垂直平分線的性質的逆定理等知識點，掌握等腰三角形的性質是解題的關鍵．根據三角形內角和定理結合等腰三角形兩底角相等，求出它的頂角度數即可；由等腰三角形的性質結合三角形三邊關系即可求出等腰三角形的周長；再根據線段垂直平分線的性質的逆定理求解即可．
【詳解】解：∵等腰三角形的一個內角的度數為，
當等腰三角形的底角為時，則頂角為；
當等腰三角形的頂角為時，則頂角為；
∴它的頂角度數為：或；
等腰三角形的兩邊長為和，
當腰長為，則等腰三角形三邊長為，
∵，不能構成三角形，故舍去；
當腰長為，則等腰三角形三邊長為，
∵，能構成三角形，
∴該等腰三角形的周長為；
定理“線段垂直平分線上的點到這條線段兩個端點的距離相等”的逆定理是“到一條線段兩端距離相等的點在這條線段的垂直平分線上”；
故答案為：或；；到一條線段兩端距離相等的點在這條線段的垂直平分線上 ．
8．（24-25七年級下·上海長寧·期末）已知一個等腰三角形的兩邊長分別為，，其中，滿足，那么這個等腰三角形的周長是 ．
【答案】
【分析】本題主要考查了非負數的性質，等腰三角形的定義，三角形三邊的關系，正確求出，的值是解題的關鍵．
先根據非負數的性質求出，的值，再根據三角形三邊的關系結合等腰三角形的定義分兩種情況討論求解即可．
【詳解】解：，
，
，，
，，
分兩種情況：
當等腰三角形的腰長為，底邊長為時，
這個等腰三角形的周長；
當等腰三角形的腰長為，底邊長為時，
，
不能組成三角形；
綜上所述：這個等腰三角形的周長為；
故答案為：．
題型二：根據等腰三角形的特征進行判定
1．（24-25九年級下·浙江寧波·自主招生）如果一個三角形的三邊，滿足，那么這個三角形一定是（ ）
A．等邊三角形 B．等腰三角形
C．直角三角形 D．等腰直角三角形
【答案】B
【分析】本題考查了三角形形狀的判定，因式分解的應用，其關鍵在于對等式的變形，推導出的關系．
將等式進行移項和因式分解，得出，得到或，從而確定三角形的形狀．
【詳解】解：，
，
，
或，
或，
三角形是等腰三角形，
故選：B．
2．（24-25八年級下·甘肅酒泉·期中）已知a，b，c是的三邊，且，則一定是（ ）
A．等腰三角形 B．等邊三角形 C．直角三角形 D．無法確定
【答案】A
【分析】此題考查了因式分解的應用，等腰三角形的定義，
將等式進行因式分解，分析得出三角形邊的關系，從而判斷形狀．
【詳解】解：∵
∴
∴
∴或，即或．
由于、、是三角形的三邊，至少有兩邊相等，故一定是等腰三角形．
故選：A．
3．（24-25八年級上·浙江杭州·階段練習）下列條件中，可以判定是等腰三角形的是（ ）
A．， B．
C． D．
【答案】C
【分析】本題考查了等腰三角形的定義、三角形的內角和定理、三角形的三邊關系，熟練掌握等腰三角形的定義是解題關鍵．根據三角形的內角和定理可得的度數，由此即可判斷A錯誤；根據三角形的三邊關系即可判斷B錯誤；根據三角形的內角和定理可得，，由此即可判斷C正確；根據三角形的內角和定理可得，由此即可判斷D錯誤．
【詳解】解：A、∵，，
∴，
∴不可以判定是等腰三角形，則此項不符合題意；
B、由題意，設，則，
∵，
∴不能構成三角形，則此項不符合題意；
C、∵，
∴，，
∴可以判定是等腰三角形，則此項符合題意；
D、∵，，
∴，
∴可以判定是直角三角形，不可以判定是等腰三角形，則此項不符合題意；
故選：C．
4．（24-25七年級上·山東威海·期末）以下條件，能畫出唯一確定的三角形的是（ ）
A． B．
C．，， D．，，
【答案】C
【分析】本題考查了等腰三角形的定義、三角形內角和定理、全等三角形的判定定理等知識．根據相關知識進行判斷即可．
【詳解】解：A、∵，則
∴是直角三角形，但不能畫出唯一確定的三角形，故選項不符合題意；
B、∵，
∴可設，
∴是等腰三角形，但不能畫出唯一確定的三角形，故選項不符合題意；
C、根據，，，已知兩角和夾邊，能畫出唯一確定的三角形，符合題意；
D、根據，，，已知兩邊和一邊的對角，不能畫出唯一確定的三角形，不符合題意；
故選：C．
5．（24-25八年級下·山東菏澤·階段練習）下列條件能判定為等腰三角形的是（　?。?br/>A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】此題主要考查學生對等腰三角形的判定和三角形內角和定理的理解和掌握，解答此題的關鍵是熟練掌握三角形內角和定理以及等角對等邊．
根據等腰三角形判定，利用三角形內角定理對4個選項逐一進行分析即可得到答案．
【詳解】解：A、∵，
∴，
∴不是等腰三角形，故本選項不符合題意；
B、∵，
∴，
∴不是等腰三角形，故本選項不符合題意；
C、∵，
∴，
∴不是等腰三角形，故本選項不符合題意；
D、∵，
∴，
∴，
∴，
∴是等腰三角形，故本選項符合題意；
故選：D
題型三：利用等腰三角形的定義求線段長度
1．（24-25八年級下·廣東揭陽·階段練習）一個等腰三角形的周長為16，有一條邊是4，則它的底邊為（ ）
A．4 B．8 C．4或8 D．8或6
【答案】A
【分析】本題考查了等腰三角形的定義，三角形的三邊關系，利用分類討論的思想解決問題是關鍵．分兩種情況討論：若腰長為4時，若底邊長為4時，分別求出對應的底邊長和腰長，再利用三角形的三邊關系檢驗即可．
【詳解】解：一個等腰三角形的周長為16，有一條邊是4，
分兩種情況討論：
若腰長為4時，則底邊長為，
此時，不能構成三角形，不符合題意；
若底邊長為4時，則腰長為，
此時，能構成三角形，符合題意；
即它的底邊為4，
故選：A．
2．（24-25八年級下·江西撫州·期中）四邊形的邊長如圖所示，對角線的長度隨四邊形形狀的改變而變化，當為等腰三角形時，對角線的長為（ ）
A．4 B．5 C．4或6 D．6
【答案】A
【分析】本題考查了三角形三邊關系以及等腰三角形的定義，解題的關鍵是靈活運用所學知識解決問題．
利用三角形三邊關系求得，再利用等腰三角形的定義即可求解．
【詳解】解：在中，，
，即，
當時，為等腰三角形，可以構成三角形；
若時，為等腰三角形，不可以組成三角形，
故選：A．
3．（24-25八年級上·浙江臺州·期末）工人師傅準備把一根長為的木條截成三段，圍成一個等腰三角形支架，若第一段木條的長為，則第二段木條的長是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本題考查了等腰三角形的判定，也考查了三角形三邊的關系，掌握等腰三角形的性質是解題的關鍵．分兩種情況：當邊長為的邊為底邊時；當邊長為的邊為腰長時，分別進行求解即可得到答案．
【詳解】解：當邊長為的邊為底邊時，兩腰長，
此時三角形另兩邊長分別為，，能組成三角形；
當邊長為的邊為腰長時，另一腰長，
則底邊長
，
不滿足三角形任意兩邊之和大于第三邊，故不能組成三角形；
綜上所述，三角形另邊長分別為，．
故選D．
4．（2025九年級下·湖南邵陽·學業考試）定義：一個三角形的一邊長是另一邊長的2倍，這樣的三角形叫作“倍長三角形”．若等腰是“倍長三角形”，腰的長為6，則底邊的長為 ．
【答案】3
【分析】本題考查了等腰三角形的定義，三角形的三邊關系，分兩種情況討論：①底是腰的2倍，②腰是底的2倍，再利用三角形三邊關系進行檢驗即可得到答案，利用分類討論思想，熟練掌握三角形三邊關系是解題關鍵．
【詳解】解：當等腰三角形的底邊長是腰長的2倍時，
，
底邊的長為．
長為6，6，12的線段不能組成三角形；
當等腰三角形的腰長是底邊長的2倍時，
，
底邊的長為3，滿足三角形的三邊關系．
綜上所述，底邊的長為3，
故答案為3．
5．（24-25八年級下·河南焦作·階段練習）若一個等腰三角形的一條邊的長度是另一條邊長度的4倍，我們把這樣的等腰三角形叫做“4倍邊等腰三角形”.如果一個等腰三角形是“4倍邊等腰三角形”，且周長為，那么該等腰三角形的底邊長為 .
【答案】2
【分析】本題考查了等腰三角形的性質，三角形三邊關系定理，進行分類討論是解題的關鍵．
設該等腰三角形的較短邊長為，則較長邊長為，分①為腰；②為腰兩種情況討論即可．
【詳解】解：設該等腰三角形的較短邊長為，則較長邊長為.
①當為腰時，
，
不能組成三角形；
②當為腰時，能夠組成三角形，
，
，
∴該等腰三角形底邊長為2．
故答案為：2．
6．（24-25七年級下·四川達州·階段練習）如圖，在中，，的中垂線交于點D，交于點E，連接，若，的周長為18，則 ．

【答案】11
【分析】本題主要考查了等腰三角形，線段垂直平分線，熟練掌握等腰三角形邊的性質，線段垂直平分線的性質是解題的關鍵．
根據線段的垂直平分線的性質得到，根據三角形的周長公式計算即可．
【詳解】解：是的中垂線，
，
的周長為18，
，即，
，
，
∵，
，
故答案為：11．
7．（23-24七年級下·湖北武漢·期末）用一條長為的細繩圍成一個等腰三角形，使其一邊的長度為，另外兩邊的長為 ．
【答案】，
【分析】本題主要考查了等腰三角形的性質和三角形三邊之間的關系，熟練掌握以上知識，并且分類討論是解題的關鍵．
分兩種情況進行討論：①若的邊為底邊，②若的邊為腰．分別求出另外兩邊長，再根據三角形三邊之間的關系判斷能否組成三角形進行取舍．
【詳解】解：①若的邊為底邊，則腰長為：，
，
∴此時能構成三角形，
∴另兩邊的長度分別是，；
②若的邊為腰，則另一腰也為，則底邊長為：，
，不滿足三角形三邊之間的關系，因此的邊不能為腰．
綜上，另兩邊的長度分別是，．
故答案為：，．
8．（24-25七年級下·全國·單元測試）已知的三邊長分別為，，4，若是等腰三角形，則的值為 ．
【答案】或或
【分析】本題考查了三角形三邊關系和等腰三角形的定義，熟練掌握三角形三邊關系是解題的關鍵．
分三種情況分別討論即可求得三邊的長，進而根據三角形的三邊關系即可求解．
【詳解】當，
解得，
此時的三邊長分別為3，3，4，符合三角形的三邊關系；
當時，
解得，
此時的三邊長分別為4，1，4，符合三角形的三邊關系；
當時，
解得，
此時的三邊長分別為，4，4，符合三角形的三邊關系．
綜上所述，的值為或或．
題型四：利用等腰三角形的特征求相關角度
1．（24-25八年級上·河北滄州·期末）如圖，一個掛鐘的鐘擺由最左側點擺至最右側點時，鐘擺旋轉的角度為，則的度數為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本題主要考查了等腰三角形的性質，三角形內角和定理，解題的關鍵是熟練掌握等邊對等角，根據題意得出，根據等腰三角形的性質，結合三角形內角和定理求出結果即可．
【詳解】解：根據題意得：，
∵鐘擺旋轉的角度為，
∴．
故選：B．
2．（24-25八年級下·云南昭通·期中）已知三角形的邊長分別為，，，那么這個三角形一定是（ ）
A．銳角三角形 B．直角三角形
C．等腰直角三角形 D．鈍角三角形
【答案】C
【分析】本題考查了，等腰三角形的定義，勾股定理逆定理，根據勾股定理逆定理判定即可，掌握勾股定理逆定理是解題的關鍵．
根據三角形三邊關系及勾股定理判斷三角形形狀．
【詳解】∵三邊中有兩邊為，
∴該三角形為等腰三角形，
∵，
∴該三角形為直角三角形，
∴這個三角形一定是等腰直角三角形．
故選：C．
3．（24-25七年級下·上海嘉定·期末）如果是等腰三角形，，那么的度數不可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】題考查了三角形內角和定理，等邊對等角．根據等腰三角形的性質，分情況討論為頂角或底角，結合三角形內角和定理，排除不可能的情況．
【詳解】解：當為頂角時：
和相等，由內角和定理得：；
當為底角時：另一底角也為，
當為頂角：；
當也為底角：；
綜上，的度數不可能是，
故選：C．
4．（24-25七年級下·山西太原·階段練習）若一個等腰三角形的頂角比底角的2倍還多，則這個等腰三角形頂角的度數為 ．
【答案】/108度
【分析】本題考查了一元一次方程的應用，三角形內角和定理；
設這個等腰三角形底角的度數為x，則頂角的度數為，然后根據三角形內角和定理列方程求出底角的度數，進而可得頂角的度數．
【詳解】解：設這個等腰三角形底角的度數為x，則頂角的度數為，
由題意得：，
解得：，
∴這個等腰三角形頂角的度數為，
故答案為：．
5．（24-25八年級上·青海西寧·期中）若等腰三角形的一個角等于，則它的另外兩個角的度數為 ．
【答案】，
【分析】本題考查等腰三角形的性質，三角形的內角和定理，熟知等腰三角形的兩個底角相等是解答的關鍵．先判斷出已知角為等腰三角形的頂角，再根據等腰三角形的性質和三角形的內角和定理求解即可．
【詳解】解：∵等腰三角形的一個角等于，
∴是等腰三角形的頂角，
∴另外兩個角相等，且度數為，
故答案為：，．
6．（2025·江蘇南京·二模）若等腰三角形的一個外角為，則它的底角為 °．
【答案】40
【分析】利用等腰三角形的性質，得到兩底角相等，結合三角形內角與外角的關系：三角形的任一外角等于和它不相鄰的兩個內角之和，可直接得到結果．
本題主要考查了等腰三角形的性質與三角形內角與外角的關系，熟練掌握等腰三角形的性質與三角形內角與外角的關系是解決問題的關鍵．
【詳解】解：等腰三角形的一個外角為，
故其相鄰的內角為，
故其只能做頂角，
故等腰三角形的底角為，
故答案為：40．
7．（24-25七年級下·全國·課后作業）一個等腰三角形的頂角是底角的2倍，則這個等腰三角形的底角度數是 ．
【答案】45度/
【分析】此題考查的是等腰三角形的性質和三角形的內角和，掌握等邊對等角和三角形的內角和定理是解決此題的關鍵．
根據等腰三角形的性質和三角形的內角和定理，找出題中等量關系計算即可．
【詳解】解：∵等腰三角形的頂角是底角的2倍，
∴等腰三角形的底角為，
故答案為：．
題型五：利用等腰三角形的定義判斷個數
1．（24-25七年級下·上海·期末）如圖，已知：在中，，，在直線上找一點D，使或為等腰三角形，則符合條件的點D的個數有（ ）
A．7個 B．6個 C．5個 D．4個
【答案】B
【分析】本題主要考查了等腰三角形的定義，等邊三角形的判定，如解析圖中，當時，可證明此時是等邊三角形，當時，是等腰三角形；再討論討論為等腰三角形時，符合題意的點D個數即可得到答案．
【詳解】解：如圖：當時，是等腰三角形；
∵，
∴是等邊三角形，
∴；
當時，是等腰三角形；
當，，當時，都是等腰三角形；
綜上，符合條件的點D的個數有6個．
故選：B．
2．（2025九年級下·浙江·專題練習）如圖，已知中，，，，在所在平面內一條直線，將分割成兩個三角形，使其中有一個邊長為3的等腰三角形，則這樣的直線最多可畫（ ）
A．5條 B．4條 C．3條 D．2條
【答案】B
【分析】本題主要考查了等腰三角形的定義，根據等腰三角形的性質分別利用為底以及為腰得出符合題意的圖形即可．
【詳解】解：如圖所示，當，，，時，都能得到符合題意的等腰三角形．
∴這樣的直線最多可畫4條．
故選：B．
3．（24-25八年級上·上?！るA段練習）在平面直角坐標系中，點，，在坐標軸上取一點，使為等腰三角形，符合條件的點C有（ ）
A．5個 B．6個 C．7個 D．8個
【答案】C
【分析】本題主要考查了坐標與圖形的性質，等腰三角形的判定，分三種情況討論，利用作圓和垂直平分線得到點是解答此題的關鍵．由A、B坐標可得，然后按A、B、C分別為頂點，即當，，，畫出圖形，即可找到點C．
【詳解】解：如圖，
∵，，
∴，
①當A為頂點時，即，以A為圓心，以為半徑作圓交兩坐標軸于點，，，共3個點；
②當B為頂點時，即，以B為圓心，以為半徑作圓交兩坐標軸于點，，，共 3個點；
③當C為頂點時，即，作線段的垂直平分線，正好過原點，只有1個點，
∴符合條件的點有7個．
故選：C．
4．（24-25七年級下·上?！て谀┰谥?，
(1)若，，求的度數；
(2)若是等腰三角形，，求的度數．
【答案】(1)
(2)或或
【分析】本題考查了等腰三角形、三角形的內角和定理，正確分三種情況討論是解題關鍵．
（1）根據三角形的內角和定理先求出，然后計算的度數即可
（2）分①，②，③，三種情況，根據等腰三角形的定義、三角形的內角和定理即可得．
【詳解】（1）解：∵，
∴，
又∵，
∴，
解得，
∴；
（2）解：當時，則，
當時，；
當時，，
綜上所述，的度數為或或．
題型六：等腰三角形中尺規作圖
1．（24-25九年級下·山東濰坊·期中）四邊形是平行四邊形，下列尺規作圖不能使一定是等腰三角形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本題考查了平行四邊形的性質，尺規作線段的垂直平分線，尺規作角平分線，角平分線的意義，垂直平分線的性質，解題關鍵是根據各個圖形，結合相關性質求解．根據平行四邊形的性質，尺規作線段的垂直平分線，尺規作角平分線，角平分線的意義，垂直平分線的性質，對四個圖形逐一分析，作出判斷即可．
【詳解】解：A、∵，
∴一定是等腰三角形，故A不符合；
B、∵點在的垂直平分線上，
∴，
∴一定是等腰三角形，故B不符合；
C、∵四邊形是平行四邊形，
∴，
∵平分，
∴，
，
，
∴一定是等腰三角形，故C不符合；
D、只能得出，不能得出中有兩邊相等，
∴不一定是等腰三角形，故D符合，
故選：D．
2．（2025·浙江杭州·模擬預測）如圖，在每個小正方形的邊長均為1的方格紙中有線段和，點A、B、C、D均在小正方形頂點上．
(1)在方格紙中畫出以為底的等腰，且點F在小正方形的頂點上；
(2)在方格紙中畫出面積為7.5的等腰，且點E在小正方形的頂點上．
【答案】(1)見解析
(2)見解析
【分析】本題考查了等腰三角形的定義，勾股定理，熟練掌握各知識點并靈活運用是解題的關鍵．
（1）由勾股定理得，故即為所求；
（2）由勾股定理得，且上的高為3，故即為所求．
【詳解】（1）解：如圖，即為所求：
（2）解：如上圖，即為所求．
3．（24-25八年級下·甘肅蘭州·期中）如圖，在平面直角坐標系中，的三個頂點分別是，，．
(1)把向左平移4個單位后得到對應的，請畫出平移后的；
(2)畫出關于原點對稱的；
(3)觀察圖形可知，與關于點______中心對稱．（寫出坐標）
(4)點P在y軸上且為等腰三角形，這樣的P點有 個．
【答案】(1)見解析
(2)見解析
(3)
(4)4
【分析】此題考查了平移和中心對稱的作圖，寫出點的坐標，等腰三角形的定義．
（1）找到向左平移4個單位后得到對應點，順次連接即可；
（2）找到關于原點對稱的，順次連接即可；
（3）根據中心對稱的性質，結合圖形得出對稱中心，根據坐標系寫出坐標，即可求解；
（4）根據兩圓一線的方法，找出等腰三角形的頂點，即可求解．
【詳解】（1）解：如圖，即為所求；
（2）解：如圖，即為所求；
（3）解：觀察圖形可知，與關于點中心對稱．
故答案為：；
（4）解：依題意，P在y軸上且為等腰三角形，
當時，點有2個，當時，點有1個，當時，有1個，共4個，
故答案為：．
4．（24-25八年級上·廣東汕頭·期中）在直角坐標系中，的三個頂點的位置如圖所示．
(1)請畫出關于軸對稱的（其中分別是A，B，C的對應點，不寫畫法）；
(2)直接寫出坐標：_______________，_________________，_________________．
(3)點在坐標軸上，且滿足是等腰三角形，請寫出符合條件的一個點的坐標______________
【答案】(1)圖見解析
(2)，，
(3)（答案不唯一）
【分析】本題考查了畫軸對稱圖形、坐標與圖形、等腰三角形，熟練掌握軸對稱圖形的畫法是解題關鍵．
（1）先根據軸對稱的性質畫出點，再順次連接即可得；
（2）根據在平面直角坐標系中，點所在的位置寫出它們的坐標即可得；
（3）根據等腰三角形的定義，在軸上找一點，使得即可得．
【詳解】（1）解：如圖，即為所求．
（2）解：由圖可知，，，，
故答案為：，，．
（3）解：如圖，當點在軸上，且，則是等腰三角形，
由圖可知，此時點的坐標為，
故答案為：．
5．（24-25八年級上·貴州貴陽·期末）在平面直角坐標系中的位置如圖所示，網格中小正方形的邊長為1．
(1)畫出關于軸對稱的（其中分別為A、B、C的對應點）；
(2)點是軸上的一動點，連接，使得是以為腰的等腰三角形，請直接寫出點的坐標．
【答案】(1)建詳解；
(2)作圖見詳解，，，
【分析】此題考查了作軸對稱圖形，確定直角坐標系中點的坐標，等腰三角形的定義，正確掌握軸對稱的性質作出圖形是解題的關鍵．
（1）根據軸對稱的性質描出點，順次連線即可得到；
（2）根據等腰三角形的定義分類得到點D的坐標
【詳解】（1）解：如圖所示：
（2）解：如圖所示：
∵，
∴時，，
當時，，
當時，，
6．（24-25八年級上·云南昆明·期末）如圖，在平面直角坐標系中，的頂點坐標分別為，，
(1)請畫出關于y軸的對稱圖形，并寫出點的坐標；
(2)在y軸上找一點M，使得是以為底邊的等腰三角形，則點M的坐標是______．
【答案】(1)圖見解析，
(2)
【分析】本題考查作圖-軸對稱變換，等腰三角形的判定，線段垂直平分線的性質，解題的關鍵是掌握軸對稱變換的性質．
（1）利用軸對稱變換的性質分別作出A，B，C的對應點，，即可；
（2）線段的垂直平分線與y的交點即為點
【詳解】（1）解：如圖，即為所求，點的坐標；
（2）解：如圖，點M即為所求，．
故答案為：．
7．（24-25八年級上·山東濟南·期末）如圖，網格中小正方形的邊長為1，點A、B、C都在格點上．
(1)畫出關于x軸對稱的（其中、、分別為A、B、C的對應點）；
(2)的面積為______；
(3)點F是x軸上的一點，且是以為腰的等腰三角形，直接寫出所有滿足條件的點F的坐標．
【答案】(1)見解析
(2)
(3)或
【分析】本題考查了作軸對稱圖形，等腰三角形的定義，求三角形面積，正確掌握相關性質內容是解題的關鍵．
（1）分別畫出關于x軸對稱的，再依次連接，得出，即可作答；
（2）運用割補法列式計算的面積；
（3）根據等腰三角形的定義結合網格的特點求解即可．
【詳解】（1）解：如圖所示：
（2）解：的面積；
（3）解：根據題意得，
∵點F是x軸上的一點，是以為腰的等腰三角形，
∴由網格得，點F的坐標為或．
8．（2025·陜西銅川·模擬預測）如圖，在中，，點在邊上，請用尺規作圖法在邊上求作一點，連接，使得．（保留作圖痕跡，不寫作法）
【答案】見解析
【分析】本題考查作圖—復雜作圖、等腰三角形的性質，在的上方作，交于點E，則點E即為所求．
【詳解】解：如圖，在的上方作，交于點E，
∵，
∴，
∴，
則點E即為所求．
題型七：利用等腰三角形的定義進行證明
1．（24-25七年級下·陜西西安·階段練習）如圖，在中，分別以，為邊向外作等腰直角三角形和等腰直角三角形，，連接，，猜想與的關系，并證明.
【答案】，證明見解析
【分析】本題主要考查了全等三角形的性質和判定，等腰直角三角形，
先根據等腰直角三角形的性質得，可證明，可得，再根據直角三角形的性質得出答案．
【詳解】解：．
證明：如圖所示，
∵，是等腰直角三角形，
∴，
∴，
即，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，
即．
2．（2025·江蘇鹽城·一模）如圖， 是等腰直角三角形，， D 為 邊上一點， ，．證明：；
【答案】見解析
【分析】本題考查了全等三角形的判定和性質，等腰三角形的性質．根據可證明，根據全等三角形的性質即可得結論．
【詳解】證明：∵是等腰直角三角形，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴．
3．（24-25八年級上·廣東廣州·期中）如圖是等腰直角三角形，，O是內部的一個動點，是等腰直角三角形，．
(1)求證：；
(2)若是等腰三角形，，求的度數．
【答案】(1)見解析
(2)或或
【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質，關鍵是根據等腰直角三角形的性質和全等三角形的判定和性質解答．
（1）根據等腰直角三角形的性質和全等三角形的判定和性質解答即可；
（2）設的度數為x，分三種情況進行解答即可．
【詳解】（1）∵和是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
在和中
，
∴，
∴；
（2）解：∵是等腰直角三角形，
∴，
設的度數為x，則，
∵，
∴，
∵是等腰三角形，
①當時，，解得：，
②當時，，解得：，
③當時，，解得：，
故的度數為或或．
4．（24-25八年級上·廣東肇慶·期中）已知：如圖，在中，，平分外角．求證：是等腰三角形．
【答案】見解析
【分析】本題考查了平行線的性質，角平分線的定義，等腰三角形的判定，掌握等腰三角形的定義是解題關鍵．根據平行線的性質和角平分線的定義，得出，即可證明結論．
【詳解】證明：，
，，
平分外角，
，
，
，
是等腰三角形．
5．（24-25七年級下·全國·課后作業）如圖，和均為等腰直角三角形，其中．試說明：．
【答案】見解析
【分析】本題考查了等腰直角三角形的性質和全等三角形的判定與性質；熟練掌握全等三角形的判定定理是解決問題的關鍵．
根據等腰直角三角形的性質得，，，利用證得即可得出結論．
【詳解】證明：因為和均為等腰直角三角形，
所以，，，
所以，
即．
在和中，
，
所以，
所以．
6．（2025·陜西西安·一模）如圖，與均為等腰直角三角形，．求證：．
【答案】見解析
【分析】本題考查全等三角形的判定，等腰三角形的性質，熟練掌握判定定理是解題的關鍵；
根據等腰直角三角形的性質得，，再證證，根據，即得結論．
【詳解】證明：∵與均為等腰直角三角形，
∴，，
∴．
即．
在與中，
∴．
7．（24-25八年級上·云南昭通·階段練習）如圖，在中，D是的中點，于點D，點O在的垂直平分線上．
(1)求證：是等腰三角形．
(2)若，求的度數．
【答案】(1)證明見解析
(2)
【分析】（1）由“是的中點，于點D”可知，垂直平分，由線段垂直平分線的性質可得，，進而可得，然后由等腰三角形的定義即可得出結論；
（2）由（1）可得，，由等邊對等角可得，，，進而可得，由等邊對等角可得，由三角形的內角和定理可得，即，由此即可求出的度數．
【詳解】（1）證明：是的中點，于點D，
垂直平分，
，
點O在的垂直平分線上，
，
，
是等腰三角形；
（2）解：由（1）可得：，，
，，，
，
，
，
，
，
即：．
8．（24-25七年級下·全國·單元測試）如圖①，已知在中，，D是邊上任意一點，過點D分別向作垂線，垂足分別為E，F．
(1)當點D在的什么位置時，？請說明理由；
(2)如圖②，過點C作邊上的高，試猜想之間存在怎樣的數量關系，請說明理由．
【答案】(1)當點D在的中點時，，理由見解析
(2)，理由見解析
【分析】本題主要考查了等腰三角形的性質、全等三角形的判定和性質、三角形面積公式等知識點，靈活運用這些性質是解題的關鍵．
（1）當點D在的中點時，，根據證，再根據全等三角形的性質即可解答；
（2）如圖，連接，根據進行分析證明即可解答．
【詳解】（1）解：當點D在的中點時，．理由如下：
∵點D為的中點，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴．
在和中，
，
∴，
∴．
（2）解：．理由如下：
如圖，連接．
∵
∴．
∵，
∴．
題型一：等腰三角形中需要分情況討論問題
1．（24-25七年級下·遼寧本溪·期中）等腰三角形兩腰上的高所在的直線形成的銳角為，則該等腰三角形的頂角的度數為 ．
【答案】或
【分析】本題考查等腰三角形的性質等知識，分兩種情形畫出圖形分別求解即可解決問題．
【詳解】解：①如圖1，當是鈍角時，
由題意：，
∴，
②如圖2，當是銳角時，
由題意：，
∴，
∴，
綜上，該等腰三角形的底角的度數為或，
故答案為：或．
2．（24-25七年級下·上海松江·期末）已知中，，是邊上的高，，那么的度數是 ．
【答案】或
【分析】本題考查的是三角形的內角和定理的應用，等腰三角形的性質，分情況討論：當為銳角三角形時，當鈍角三角形時，結合等腰三角形的性質，即可求解．
【詳解】解：如圖①，當為銳角三角形時，；
如圖②，當鈍角三角形時，，
所以．
綜上，的度數為或．
故答案為：或．
3．（23-24七年級下·甘肅蘭州·期末）若一個等腰三角形有一個內角為，則它的底角為 ．
【答案】或
【分析】本題考查等腰三角形的定義、三角形內角和定理，解題的關鍵是注意分情況討論，避免漏解．分是等腰三角形的底角或頂角兩種情況，利用三角形內角和定理求解．
【詳解】解：①是等腰三角形的底角；
②當是等腰三角形的頂角時，
它的底角的度數為：，符合要求；
故答案為：或．
4．（24-25八年級下·陜西西安·期中）在中，，過點A的一條直線將該三角形分成的兩個小三角形均為等腰三角形，則的度數為 ．
【答案】或
【分析】本題考查了三角形內角和定理、分類討論的思想、等腰三角形的性質、三角形外角定理．解題的關鍵是熟練掌握等腰三角形的性質．分兩種情況：一種情況是把分成兩個等腰三角形，且、；另一種情況是把分成兩個等腰三角形，且、，分別畫出圖形，求出結果即可．
【詳解】解：如下圖所示，當過的頂點A把分成兩個等腰三角形，且、時，
設，則，
，
三角形內角和為，
，
，
解得：，
；
如下圖所示，當過的頂點A把分成兩個等腰三角形，且、時，
設，
則，，
三角形內角和為，
，
，
解得：，
；
綜上所述，的度數可以是或．
故答案為： 或．
5．（24-25八年級下·廣東佛山·期中）已知等腰的一個內角是，則它的底角度數為 ．
【答案】或
【分析】本題考查了等腰三角形的定義，分類討論是解題的關鍵；分別討論頂角是，底角是即可得解．
【詳解】解：當等腰的頂角是，則它的底角的度數為：，
當等腰的底角為，則它的底角度數為，
綜上所述：它的底角的度數為或，
故答案為：或．
6．（24-25八年級上·河北滄州·期末）在等腰中，其中一角為，則其它兩角的度數分別為 ．
【答案】，或，
【分析】此題主要考查等腰三角形的性質和三角形內角和定理；若題目中沒有明確頂角或底角的度數，做題時要注意分情況進行討論，這是十分重要的，也是解答問題的關鍵．已知給出了一個內角是，沒有明確是頂角還是底角，所以要進行分類討論，分類后還有用內角和定理去驗證每種情況是不是都成立．
【詳解】解：①當角是頂角時，底角的度數為：，故其它兩角的度數分別是：，；
②當角是底角時，頂角的度數為：，故其它兩角的度數分別是：，；
故答案為：，或，．
7．（24-25八年級上·廣東廣州·期末）已知是的高，，，則的度數為 ．
【答案】或
【分析】本題考查了等腰三角形的性質，三角形外角性質，三角形內角和定理，分兩種情況討論是解題的關鍵．當高在等腰三角形外部時；當高在等腰三角形內部時；然后分別進行計算即可解答．
【詳解】解：當高在等腰三角形外部時，如圖：
，
，
，
，
是是的外角，
，
，
；
當高在等腰三角形內部時，如圖：
，
，
，
，
，
，
綜上所述：的度數為或，
故答案為：或
8．（24-25七年級下·全國·課后作業）已知中，，D為直線上異于B，C的一點．若是等腰三角形，則的度數為 ．
【答案】或或
【分析】本題考查利用等腰三角形性質求角度及三角形內角和定理，解題關鍵是數形結合，注意進行分類討論．在 中，根據，，得到 ，再根據是等腰三角形及三角形外角公式分類討論即可得到答案．
【詳解】解：∵在中，，，
∴ ，
∵點為直線上異于點的一點，
∴當是等腰三角形時，只能或，
①當時，如圖所示：
∴；
∴，
②當時，點D在點B的左側時，如圖所示：
∴ ，
∵，
∴；
當時，點D在點B的右側時，如圖所示：
∵，
∴；
綜上所述的度數為或或．
故答案為：或或．
9．（24-25八年級上·山東聊城·期末）在中，，的垂直平分線與的所在的直線相交所成的銳角是，則 ．
【答案】或
【分析】本題考查了等腰三角形的性質，三角形內角和定理，熟練掌握以上知識點，并作分類討論是解題的關鍵．①當為銳角三角形時，設的垂直平分線交線段于點，交于點，在中可求得，再由三角形內角和定理可求得；②當為鈍角三角形時，設的垂直平分線交于點，交直線于點，在中可求得，從而得到，再由三角形內角和定理可求得．
【詳解】解：①當為銳角三角形時，
如圖，設的垂直平分線交線段于點，交于點，
，，
，
，
；
②當為鈍角三角形時，
如圖，設的垂直平分線交于點，交直線于點，
，，
，
，
，
；
綜上，的度數為或．
故答案為：或．
10．（23-24八年級下·甘肅蘭州·期中）等腰三角形的一個角比另一個角2倍少20度，等腰三角形底角的度數是 ．
【答案】或或
【分析】本題考查了等腰三角形兩底角相等的性質，三角形的內角和定理，難點在于分情況討論，特別是這兩個角都是底角的情況容易漏掉而導致出錯．設另一個角是，表示出這個角是，然后分①是頂角，是底角，②是底角，是頂角，③與都是底角根據三角形的內角和等于與等腰三角形兩底角相等列出方程求解即可．
【詳解】解：設另一個角是，表示出這個角是，
①是頂角，是底角時，，
解得，
所以，底角為；
②是底角，是頂角時，，
解得，
所以，底角是；
③與都是底角時，，
解得，
所以，底角是；
綜上所述，這個等腰三角形的頂角度數是或或．
故答案為：或或．
題型二：等腰三角形被中線分成兩個三角形題型
1．（24-25七年級下·甘肅蘭州·期中）等腰三角形底邊長為，一腰上的中線把這個三角形的周長分為兩部分，其差為，則該等腰三角形的腰長為（　　）
A． B． C． D．或
【答案】C
【分析】本題考查了等腰三角形的性質，設腰長為x，得出方程或，求出x后根據三角形三邊關系進行驗證即可．
【詳解】解：如圖，
設腰長為，一腰的中線為，
則或，
解得：，
∴或1，
①三邊長為9、9、1，符合三角形三邊關系定理；
②三邊是1、1、9，，不符合三角形三邊關系定理；
所以，該等腰三角形的腰長為，
故選：C．
2．（24-25七年級下·重慶·階段練習）一個等腰三角形一條腰上的中線把這個三角形的周長分成了6和12兩部分，則這個等腰三角形的底邊長為 ．
【答案】2
【分析】本題考查了二元一次方程組的求解、三角形的三邊關系和等腰三角形的定義，正確分類、熟練掌握相關基礎知識是關鍵．
設等腰三角形的腰長為x，底邊長為y，分兩種情況：當腰和腰的一半的和為6與當腰和腰的一半的和為12時，分別列出方程組結合三角形的三邊關系求解即可．
【詳解】解：設等腰三角形的腰長為x，底邊長為y，分兩種情況：
當腰和腰的一半的和為6時，則，
解得，
此時三角形的三邊為4，4，10，不能構成三角形，故舍去；
當腰和腰的一半的和為12時，則，
解得，
此時三角形的三邊為8，8，2，能構成三角形；
所以三角形的底邊長是2；
故答案為：2．
3．（24-25八年級下·山西運城·期中）如圖，等腰中，，為腰的中線，將的周長分成長和的兩段，則等腰的腰長為 ．
【答案】或
【分析】此題主要考查等腰三角形的性質及三角形三邊關系的綜合運用．
題中沒有指明哪部分的周長大，故應該分兩種情況進行分析，從而求解．
【詳解】解：①當，時，
∵為腰的中線，
∵
∴，
，
∴，
②當，時
∵
∴，
，
∴，
故答案為：或．
4．（24-25七年級下·上海閔行·階段練習）等腰三角形一腰上的中線把這個三角形的周長分成了和兩部分，則這個等腰三角形的底邊長為 ．
【答案】或
【分析】本題考查等腰三角形定義和三角形中線的特點，理解三角形一邊中線將三角形周長分得的兩部分之差就是三角形剩余相鄰兩邊之差，并注意分類討論和將求得的邊長結合三角形三邊關系判斷能否構成三角形，即可解題．
【詳解】解：等腰三角形一腰上的中線，將這個等腰三角形的周長分成和兩部分．
又，
等腰三角形的腰與底邊相差，
下面分兩類討論：
①腰比底邊大，
設腰長為，則底邊長為．
由題意得，解得，
當時，等腰三角形腰長，底邊長為，三角形三邊分別為，滿足三角形三邊關系，可以構成三角形．

②底邊比腰大，
若腰長為，則底邊長為．
由題意得，解得，
當時，等腰三角形腰長，底邊長為，三角形三邊分別為，滿足三角形三邊關系，能構成三角形．
綜上所述，這個等腰三角形的底邊長為或．
故答案為：或．
5．（24-25七年級下·福建泉州·階段練習）已知等腰三角形．
(1)若其兩邊長分別為2和3，求的周長；
(2)若一腰上的中線將此三角形的周長分為9和18，求的腰長．
【答案】(1)的周長為8或7
(2)這個等腰三角形的腰長為12
【分析】本題考查了等腰三角形的性質，三角形的中線.
（1）分類討論：當該等腰三角形的腰長為2，底邊長為3時和當該等腰三角形的腰長為3，底邊長為2時，先利用三角形三邊關系驗證是否成立，再求周長即可．
（2）已知給出的9和18兩部分，沒有明確哪一部分含有底邊，要分類討論，設三角形的腰為x，分兩種情況討論即可．
【詳解】（1）解：分類討論：當該等腰三角形的腰長為2，底邊長為3時，
∵，
∴該等腰三角形成立，
∴此時這個等腰三角形的周長為；
當該等腰三角形的腰長為3，底邊長為2時，
∵，
∴該等腰三角形成立，
∴此時這個等腰三角形的周長為．
綜上可知這個等腰三角形的周長為7或8．
（2）設三角形的腰為x，如圖：
是等腰三角形，，是邊上的中線，
∴
則有、或、，
分下面兩種情況：
當，即，
∴，
此時，即，
∴三邊長分別為6，6，15，
∵，不符合三角形的三邊關系，
∴舍去；
當，即，
∴，
此時，即，
∴三邊長分別為12，12，3．
綜上可知：這個等腰三角形的腰長為12．
6．（2025七年級下·全國·專題練習）在中，，邊上的中線把的周長分為和的兩部分，求的長．
【答案】的長為或
【分析】本題考查了等腰三角形的定義，三角形的中線，熟練掌握各知識點并靈活運用是解題的關鍵．
由三角形的中線得到，分兩種情況討論，①當時；②當時，進行求解即可．
【詳解】解：因為為邊上的中線，所以，
又因為，
所以．
分兩種情況：①當時，，
解得，
所以．
因為，
所以；
②當時，，
解得，
所以．
因為，
所以．
所以的長為或．
題型三：等腰三角形的定義與整式的乘法相結合
1．（24-25八年級下·廣東茂名·階段練習）將一個多項式適當分組，并分別運用提公因式法或公式法進行分解，最后將多項式因式分解的方法叫做分組分解法，常見的分組分解法的形式有：“”等分法．如“”分法：．再如“”分法：．
(1)利用上述方法解決下列問題：
分解因式：①
②．
(2)類比應用：若，滿足，求與的值．
(3)延伸探究：若三邊滿足，請判斷的形狀，并說明理由．
【答案】(1)①；②
(2)
(3)是等腰三角形，理由見解析
【分析】本題考查因式分解，等腰三角形的定義，構成三角形的條件，利用分組分解法時，要明確分組的目的，是分組分解后仍能繼續分解，還是分組后利用各組本身的特點進行解題．
（1）①根據“”分法分解因式，即可求解；①根據“”分法即可得出答案；
（2）把原式變形為，則可因式分解得到，再由非負數的性質求解即可；
（3）把原式可因式分解為，根據構成三角形的條件可推出，據此可得結論．
【詳解】（1）解：解：①
；
②
；
（2）解：∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（3）解：是等腰三角形，理由如下：
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴是等腰三角形。
2．（24-25八年級下·山東濟南·期中）閱讀與思考：配方法是指將一個式子或一個式子的某一部分通過恒等變形化為完全平方式或幾個完全平方式的和，巧妙的運用“配方法”能對一些多項式進行因式分解．
例：因式分解：．
解：原式
(1)解決問題：運用配方法將多項式進行因式分解．
(2)拓展運用：已知，，是的三邊長．且滿足，請判斷三角形的形狀，并說明理由．
【答案】(1)
(2)是等腰三角形．見解析
【分析】本題考查了配方法的應用、完全平方公式、利用公式法分解因式、等腰三角形的定義，熟練掌握以上知識點并靈活運用是解此題的關鍵．
（1）根據完全平方公式和平方差公式計算即可得解；
（2）根據完全平方公式進行變形得出，結合非負數的性質求出，，即可得解．
【詳解】（1）解：
；
（2）解：是等腰三角形．理由如下：
∵，
∴．
∴，
∵，，，
∴，，，
∴，，
∴是等腰三角形．
3．（24-25八年級下·河南·階段練習）下面是探究性學習小組的甲、乙兩名同學所進行的因式分解：
甲：
（分成兩組）
（提公因式）
（提公因式）
乙：
（分成兩組）
（運用公式）
（運用公式）
請你在他們的解法的啟發下，解答下面各題：
(1)已知，求式子的值；
(2)已知為等腰的三邊長，且滿足，求等腰的周長．
【答案】(1)
(2)等腰的周長為32或34．
【分析】本題主要考查了因式分解，等邊三角形的判定，解題的關鍵是根據題意進行拆項，將原等式重新分組后進行因式分解．
（1）分組，利用提公因式法分解得到，再求得，整體代入求解即可；
（2）整理后，利用完全平方公式分解，再利用非負數的性質求得，，再根據等腰三角形的性質即可求解．
【詳解】（1）解：
，
∵，，
∴，
∴原式；
（2）解：∵，
∴，
∴，
∴，，
∴，，
當，，，符合三角形的定義，
∴的周長為；
當，，，符合三角形的定義，
∴的周長為；
∴等腰的周長為32或34．
4．（24-25八年級下·江西吉安·期中）閱讀材料：若，求，的值．
解：，
，
，
閱讀上面的材料，解決以下兩個問題：
(1)已知，求的值；
(2)已知等腰三角形的三條邊分別為，，，其中，滿足，求這個等腰三角形的周長．
【答案】(1)
(2)15
【分析】本題考查完全平方公式的應用以及非負數的性質，等腰三角形的定義，三角形的三邊關系，解題的關鍵是通過配方將給定等式轉化為幾個非負數和為0的形式，再利用非負數性質求解未知數．
（1）根據題意，可以將代數式化為兩個完全平方和等于0的形式，可以求得x、y的值，從而得到答案；
（2）根據題意，可以將代數式化為兩個完全平方和等于0的形式，可以求得，值，根據等腰三角形的定義及三角形的三邊關系分別討論求解即可得到答案．
【詳解】（1）解：，
，
，
，，
，，
；
（2）解：∵，
∴，
∴，
∴，，
解得，，
當為腰長時，三邊分別為3，3，6，因為，不滿足三角形任意兩邊之和大于第三邊，所以不能構成三角形，
當為腰長時，三邊分別為3，6，6，因為，，滿足三角形三邊關系，
此時三角形周長為．
綜上所述，這個等腰三角形的周長為15．
5．（24-25八年級下·廣東梅州·期中）閱讀材料：要將多項式分解因式，可以先把它的前兩項分成一組，再把它的后兩項分成一組，從而得到，這時
中又有公因式，于是可以提出，即
，我們稱這種方法為分組法．請你利用分組法解答下列問題：
(1)解決問題：分解因式．
(2)拓展運用：已知是的三邊，且滿足，請判斷的形狀并說明理由．
【答案】(1)
(2)是等腰三角形，理由見解析
【分析】本題主要考查了因式分解及其應用，等腰三角形的定義，解題關鍵是熟練掌握分解因式的幾種方法．
（1）把多項式的前兩項分成一組，后兩項分成一組，利用提公因式法和公式法分解因式；
（2）把所給等式分組為，再分解因式，可得，再進一步即可得到答案．
【詳解】（1）解：
．
（2）解： 是等腰三角形，理由如下：
，
，
∴，
∴，
∴，
或 ，
或 ，
為等腰三角形．
6．（24-25七年級下·四川成都·期中）已知a，b，c為的三條邊，
(1)若，，的周長是小于17的奇數，求c的長．
(2)若為等腰三角形，且a，b滿足，求的周長．
【答案】(1)或
(2)7或8
【分析】本題主要考查了構成三角形的條件，等腰三角形的定義，因式分解的應用，非負數的性質，熟知構成三角形的條件是解題的關鍵．
（1）三角形中任意兩邊之差小于第三邊，任意兩邊之和大于第三邊，據此求出c的范圍，再根據周長是小于17的奇數進一步確定c的范圍以及c是偶數，據此可得答案；
（2）利用完全平方公式得到，則由非負數的性質可求出a、b的值，再分腰長為a何腰長為b兩種情況，結合構成三角形的條件討論求解即可．
【詳解】（1）解：∵a，b，c為的三條邊，
∴，
∵，，
∴，
∵的周長是小于17的奇數，
∴，
∴，
∴，
∴且c是偶數，
∴或；
（2）解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
當腰長為2時，則該等腰三角形的三邊長為2，2，3，
∵，
∴此時能構成三角形，
∴該三角形的周長為；
當腰長為3時，則該等腰三角形的三邊長為2，3，3，
∵，
∴此時能構成三角形，
∴該三角形的周長為；
綜上所述，該三角形的周長為7或8．
題型四：等腰三角形的定義中解答題壓軸
1．（24-25七年級下·四川成都·階段練習）（1）如圖1，已知是直角三角形．，，直線經過點，分別從點、向直線作垂線，垂足分別為、．求證：．
（2）如圖2，在中，，直線經過點，點、分別在直線上，如果，猜想、、有何數量關系？并給予證明．
（3）如圖3，以的邊、為腰向外作等腰和等腰，，，，是邊上的高．延長交于點，探究與的數量關系，并說明理由．
【答案】（1）見解析；（2），證明見解析；（3），理由見解析
【分析】（1）根據垂直定義得，則，再根據得，由此得，進而可依據判定；
（2）根據三角形外角性質得，再根據得，進而可依據判定得，，由此可得出、、的數量關系；
（3）過點D作交的延長線于點M，過點E作于點N，則，進而得，再根據得，由此得，進而可依據判定，則，，同理可證明得，，再證明得，再根據可得結論．
【詳解】（1）證明：∵直線l，直線l，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴；
（2）解：，，的數量關系是：，證明如下：
∵是的外角，
∴，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴；
（3）解：，理由如下：
過點D作交的延長線于點M，過點E作于點N，如圖所示：
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴
2．（24-25七年級下·江西贛州·階段練習）綜合與實踐
【問題情境】課外數學社團開展活動時，指導老師提出了如下問題：如圖1，在中，若，為邊上的中點，試求中線長的取值范圍．
【探究方法】小明同學在組內和同學們合作交流后，得到了如下解決方法：如圖，延長到點，使，連接．請根據小明同學的方法思考：
（）由已知條件和作輔助線，能得到，理由是_______．
． ． ． ．
（）求中線長的取值范圍．
【解決問題】
（）老師贊賞了他們的探索精神，并鼓勵他們運用這個知識來解決問題：如圖，和都是等腰直角三角形，，是的中線，若，求的長．
【答案】（）；（）；（）
【分析】（）根據全等三角形的判定即可求解；
（）由全等三角形的性質可得，再根據三角形的三邊關系解答即可求解；
（）延長至，使，連接，可證，可得，，再證明，得到，即可求解；
本題考查了全等三角形的判定和性質，三角形的三邊關系，等腰直角三角形的性質，正確作出輔助線是解題的關鍵．
【詳解】解：（）為邊上的中點，
∴，
在和中，
，
∴，
∴的理由是，
故選：；
（）∵，
∴，
∵，
∴，
即；
（）延長至，使，連接，
∵是的中線，
∴，
∵，，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
即，
∵和都是等腰直角三角形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
即的長為．
3．（24-25七年級下·廣東深圳·期中）問題提出：
（1）我們把兩個面積相等但不全等的三角形叫做“偏等積三角形”．如圖1，中，，，，為上一點，當______時，與是偏等積三角形；
問題探究：
（2）如圖2，與是偏等積三角形，，，且線段的長度為正整數，過點作交的延長線于點，則______；
問題解決：
（3）如圖3，四邊形是一片綠色花園，、是等腰直角三角形，．
①與是偏等積三角形嗎？請說明理由；
②已知，的面積為．如圖4，計劃修建一條經過點的筆直的小路，在邊上，的延長線經過中點．若小路每米造價500元，請計算修建小路的總造價為______．
【答案】（1）；（2）6；（3）①與是偏等積三角形，見解析；②40000元
【分析】(1)當時，則，證，再證與不全等，即可得出結論；
(2)由偏等積三角形的定義得，則，再證，則，．得，然后由三角形的三邊關系求解即可；
(3)①過作于，過作于，證，得，則，再證與不全等，即可得出結論；
②過點作，交的延長線于，證得，得到，再證，得，由余角的性質可證，然后由三角形面積和偏等積三角形的定義得， ，求出，即可求解.
【詳解】解：（1）當時，與是偏等積三角形，
理由如下：
設點到的距離為，則，，
，
，，
，
、，
與不全等，
與是偏等積三角形，
故答案為：；
（2）設點到的距離為，則，，
與是偏等積三角形，
，
，
，
，，
在和中，
，
，
，，
，
線段的長度為正整數，
的長度為偶數，
在中，，，
即：，
；
（3）①與是偏等積三角形，
理由如下：
過作于，過作于，如圖3所示：
則，
、是等腰直角三角形，
，，，
，
，
，
在和中，
，
，
，，
，
，，
，
，，
與不全等，
與是偏等積三角形；
②如圖4，過點作，交的延長線于，
則，
點為的中點，
在和中，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，
，
．
由①得：與是偏等積三角形，
，，
，
修建小路的總造價為：（元）．
4．（24-25八年級上·廣西崇左·期末）體驗與實踐
【解題呈現】如圖，在中，，P為底邊上的中點，，，點D、E為垂足，過點C做腰線的垂線（高線），垂足為F，則有．
某同學的思路分析：本題涉及到三角形的高線，則利用等面積法進行思考與探索，即，所以，
而①式化為：可得．
【探究與實踐】如圖，已知：等腰三角形中，．
(1)P為底邊上的任意一點，自P向兩腰所在的直線做垂線，點E、F為垂足．求證：等于定值；
(2)若點P在底邊的延長線上時，情況如何？
【答案】(1)見解析
(2)若P在的延長線上，；若P在的延長線上，則有．
【分析】本題考查等腰三角形的性質，靈活運用材料中的結論是解題的關鍵．
（1）連接，過點C做腰線的垂線，垂足為D，然后根據三角形的面積解題即可；
（2）連接，過點C做腰線的垂線，垂足為D，根據解答即可．
【詳解】（1）連接，過點C做腰線的垂線（高線），垂足為D，
則為三角形的高，
，
①，
而，
①式化為：，
可得．
因為三角形在邊上的高為定值，即為定值，所以等于定值．
（2）若P在的延長線上，連接，過點C做腰線的垂線（高線），垂足為D，
則為三角形的高，
，
，
而，所以，
可得．
同理，若P在的延長線上，則有．
5．（24-25八年級上·河南安陽·期末）已知，是等腰直角三角形，，A點在x軸負半軸上，直角頂點B在y軸上，點C在x軸上方．
(1)如圖1，若點，點，過點C作軸于點D，則______；
(2)如圖2，若點，點，過點C作軸于點D，則點C的坐標為______；
(3)如圖3，若x軸恰好平分，與x軸交于點E，過點C作軸于F，則與有怎樣的數量關系？并說明理由．
【答案】(1)2
(2)
(3)．理由見解析
【分析】本題主要考查了全等三角形的判定與性質，坐標與圖形性質和等腰直角三角形的性質，能正確利用等腰直角三角形的性質添加輔助線構建全等三角形是解決此題的關鍵．
（1）由坐標得，，根據等腰直角三角形的性質得，，再利用等角的余角相等得到，則可根據“”證明，進而即可得解；
（2）由（1）得，得到，，進而即可得解；
（3）如圖，和的延長線相交于點，先證明得到，再證，得，進而即可得解．
【詳解】（1）解：，，
，，
是等腰直角三角形，
，，
，
，
，
在和中，
，
，
，
故答案為：；
（2）解：由（1）知，，
，，
，
，
故答案為：；
（3）解：理由如下：
如圖，和的延長線相交于點，
，
，而，
，
在和中，
，
，
，
軸，
，
軸平分，
，
，
∴，
，
．
6．（24-25九年級下·重慶北碚·階段練習）在學習了等腰三角形的相關知識后，智慧小組進行了更深入的研究，他們發現，在一個銳角三角形中，如果有兩條邊上的高相等，那么這個銳角三角形是等腰三角形．他們的解決思路是通過證明兩條高所在的兩個三角形全等，從而得出結論．請根據他們的思路完成以下作圖與填空：
(1)用直尺和圓規，過點作的垂線交于點，交邊上的高于點（不寫作法，保留作圖痕跡）．
(2)已知：如圖，在銳角中，，，且．求證：．
證明：，，
①__________．
在與中，
（），
③__________，即，是等腰三角形．
進一步思考，如果三角形是鈍角三角形呢？請你模仿題中表述，寫出你猜想的結論：④__________．
【答案】(1)見解析
(2)①；②；③；在一個鈍角三角形中，如果有兩條邊上的高相等，那么這個鈍角三角形是等腰三角形
【分析】本題考查了等腰三角形的定義，全等三角形的判定與性質，尺規作圖---作垂線，熟練掌握全等三角形的判定與性質是解題的關鍵．
（1）根據垂線的作圖方法即可作圖；
（2）根據證明，即可填空．
【詳解】（1）解：如圖，即為所作：
（2）證明：，，
．
在與中，
（），
，即，是等腰三角形；
對于鈍角三角形，如圖：
，，
．
在與中，
（），
，即，是等腰三角形；
故答案為：①；②；③；④在一個鈍角三角形中，如果有兩條邊上的高相等，那么這個鈍角三角形是等腰三角形．
7．（24-25八年級上·河南南陽·期末）如圖，已知中，，，點為的中點．如果點在線段上以的速度由點向點運動，同時，點在線段上由點向點以的速度運動．若點、兩點分別從點、同時出發．
(1)經過2秒后，求證：
①；
②；
(2)若的周長為，問經過幾秒鐘后，為等腰三角形？
【答案】(1)①見解析；②見解析；
(2)秒或秒
【分析】本題主要考查了全等三角形全等的判定，涉及到等腰三角形的性質，熟練掌握全等三角形的判定方法是解題的關鍵，學會用分類討論的思想思考問題，屬于中考?？碱}型．
（1）經過2秒后，，則，，結合已知可得，，，即可根據可證得；由；可得，再根據三角形的外角即可得證．
（2）可設點E的運動時間為，是等腰三角形，則可知，，，，再根據的周長為，得出，當為等腰三角形時，分三種情況從而求得t的值即可．
【詳解】（1）證明：當P，E兩點分別從B，A兩點同時出發運動2秒時，有，，
則，，
是的中點，
，
，，
又中，，
，
在和中，
，
；
，
，
，
；
（2）解：設當P，E兩點同時出發運動t秒時，
有，
的取值范圍為，
則，，
的周長為，
，
要使是等腰三角形，則可分為三種情況討論：
當時，則有
解得：（此時，舍去）；
當時，則有
解得：；
當時，則有
解得：；
三種情況均符合t的取值范圍．
綜上所述，經過秒或秒時，是等腰三角形．
1．（24-25八年級下·全國·假期作業）如圖，與關于直線對稱，P為上任一點，下列結論中錯誤的是（　?。?br/>A．直線、的交點不一定在上 B．是等腰三角形
C．與面積相等 D．垂直平分，
【答案】A
【分析】本題考查了軸對稱的性質、等腰三角形的判定、全等三角形的性質、線段垂直平分線的性質，熟練掌握軸對稱的性質是解題關鍵．先根據軸對稱的性質可得直線、的交點一定在上，垂直平分，，則選項A錯誤，選項D正確；再根據線段垂直平分線的性質可得，根據等腰三角形的定義即可得選項B正確；然后根據全等三角形的性質即可得選項C正確．
【詳解】解：∵與關于直線對稱，
∴由軸對稱的性質可知，直線、的交點一定在上，則選項A錯誤；
由軸對稱的性質可知，垂直平分，，則選項D正確；
∴，
∴是等腰三角形，則選項B正確；
由軸對稱的性質可知，，
∴與面積相等，則選項C正確；
故選：A．
2．（24-25八年級下·陜西咸陽·期中）如圖，在中，，是線段的垂直平分線，交于點，若，的周長為，則的長為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本題主要考查線段垂直平分線的性質和等腰三角形的性質．由題意易得，然后根據三角形的周長公式及題意可進行求解．熟練掌握線段垂直平分線的性質是解題的關鍵．
【詳解】解：∵是線段的垂直平分線，
∴，
∵的周長為，
∴，
∵，
∴．
又∵，
∴．
故選：B．
3．（2025七年級下·全國·專題練習）已知等腰三角形的周長為18，，若，則的邊等于（ ）
A．8 B．2或5或7 C．5或8 D．2或5或8
【答案】D
【分析】本題考查了全等三角形的性質、等腰三角形的性質，分為腰、為底兩種情況，求出等腰三角形的另兩邊，根據全等三角形的性質解答．
【詳解】解：當為腰時，等腰三角形的周長為18，
∴另兩邊為8和，
當為底時，等腰三角形的周長為18，
∴另兩邊為和5，
∵，
∴的邊等于2或5或8，
故選：D．
4．（24-25七年級下·四川成都·期中）下列說法正確的是（ ）
A．不相交的兩直線一定是平行線 B．兩條平行線被第三條直線所截，形成的一對同旁內角的平分線互相垂直
C．過一點有且只有一條直線與已知直線平行 D．等腰三角形的對稱軸是頂角平分線
【答案】B
【分析】本題考查了兩條直線的位置關系，平行線的性質，平行公理及等腰三角形的性質，根據以上以上知識點逐項判斷即可求解，掌握相關知識點是解題的關鍵．
【詳解】解：、在同一平面內，不相交的兩直線一定是平行線，該選項說法錯誤，不合題意；
、兩條平行線被第三條直線所截，形成的一對同旁內角的平分線互相垂直，該選項說法正確，符合題意；
、過直線外一點有且只有一條直線與已知直線平行，該選項說法錯誤，不合題意；
、等腰三角形的對稱軸是頂角平分線所在的直線，該選項說法錯誤，不合題意；
故選：．
5．（2025·北京·模擬預測）如圖，已知，求作：，使．
作法：（1）以點為圓心，任意長為半徑作，分別交，于點，，連接；
（2）以為圓心，的長為半徑作弧，交于點，連接，；
（3）作射線，即為所求作的角．下列結論正確的是（ ）
A．的依據是兩邊和它們的夾角分別相等的兩個三角形全等
B．
C．
D．是等腰三角形
【答案】D
【分析】本題考查了尺規作圖，三角形的不等關系，等腰三角形的判定．根據題干中的作圖步驟即可判斷各選項．
【詳解】解：A．由作法知：，
∴，故A不正確；
B．由作法知：，
由三角形三邊關系得，故B不正確；
C．不能證明，故C不正確；
D．由作法知，點在圓O上，則，
∴是等腰三角形，故D正確．
故選：D．
6．（24-25九年級上·浙江臺州·期中）如圖，和均是等腰直角三角形，的延長線交于點，若，，則的長為（ ）
A．2 B． C．3 D．
【答案】C
【分析】此題主要考查了全等三角形的判定與性質，等腰直角三角形的性質．過點A作交的延長線于H，先證明得，，則，進而可證明，則，由此可得的長．
【詳解】解：過點A作交的延長線于H，如圖所示：
∵和均是等腰直角三角形，
∴，，，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴．
故選：C．
7．（24-25八年級上·湖南懷化·期末）若 △ABC 三邊a ，b ，c 滿足 那么△ABC 的形狀是 （ ）
A．等腰三角形 B．等腰直角三角形 C．等邊三角形 D．直角三角形
【答案】A
【分析】本題考查了平方的非負性，算術平方根的非負性，絕對值的非負性，等腰三角形的定義，根據非負數的性質求得，，，根據等腰三角形的定義即可求解，熟練掌握知識點的應用是解題的關鍵．
【詳解】解：∵，
∴，，，
∴，
∴是等腰三角形，
故選：A．
8．（24-25八年級上·江蘇常州·期中）如圖， 在中，． 若某個三角形與能拼成一個等腰三角形 （無重疊），則拼成的等腰三角形有（ ）
A．4種 B．5種 C．6種 D．7種
【答案】B
【分析】本題考查了等腰三角形的性質．熟練掌握等腰三角形的性質是解題的關鍵．
分以為腰，為腰兩種情況求解即可．
【詳解】解：分以為腰，為腰兩種情況；如圖，
∴拼成的等腰三角形有5種，
故選：B．
9．（24-25八年級上·江蘇無錫·期中）等腰中，，一邊上的中線將這個三角形的周長分為18和30兩個部分，則這個等腰三角形的底邊長為（ ）
A．8 B．24 C．8或24 D．8或12
【答案】A
【分析】此題考查了等腰三角形的定義，以及構成三角形的條件．對于題中中線分三角形的周長為兩部分，在沒有指明兩部分對應的長度時，應利用分類討論的思想來求解，另外求出與后，不要忽略用三角形的兩邊之和大于第三邊來判定能否構成三角形．
根據題意畫出圖形，設等腰三角形的腰長為，底邊為，根據中點定義得到與相等都等于腰長的一半，邊上的中線將這個三角形的周長分為和兩部分，分別表示出兩部分，然后分，或，兩種情況分別列出方程組，分別求出方程組的解即可得到與的兩對值，根據三角形的兩邊之和大于第三邊判定能否構成三角形，即可得到滿足題意的等腰三角形的底邊長．
【詳解】解：依題意可得：這一邊上的中線為腰上的中線，畫出圖形如下：
設這個等腰三角形的腰長為，底邊長為，
為的中點，
，
根據題意得：或，
解得：或．
又三邊長12、12、24不能構成三角形，
底邊長為8．
故選A．
10．（24-25八年級上·江蘇南通·期中）如圖，在中，，以點為直角頂點，為直角邊作等腰直角三角形，再以點為直角頂點，為直角邊作等腰直角三角形，連接，是的中點，連接，則的長是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本題考查了全等三角形的性質與判定，等腰三角形的定義，過點作于點，過點分別作的垂線，垂足分別為，證明，得出，證明，進而得出點在直線上，結合已知條件，根據全等三角形的性質，即可求解．
【詳解】解：如圖所示，過點作于點，過點分別作的垂線，垂足分別為，
∵是等腰直角三角形，
∴，，
∴
∴，
又∵
∴
∴，
同理可得，
∴，
∴，
∵，
又
∴
∴，
∴點在直線上，
∵，
設，，則
∴，即
∴
∴，
故選：B．
11．（24-25七年級下·廣東佛山·期中）等腰三角形一邊長是，另一邊長是，則第三邊的長是 ．
【答案】或
【分析】此題考查了等腰三角形的定義，以及三角形三邊關系，解題的關鍵是掌握等腰三角形的定義以及三角形三邊關系．
分兩種情況，當腰長分別為或時，結合三角形三邊關系，求解即可．
【詳解】解：當腰長為時，則三角形三邊分別為、、，
∵
∴滿足三角形三邊關系，能構成三角形，
當腰長為，則三角形三邊分別為、、，
∵，
∴滿足三角形三邊關系，符合題意．
故答案為：或．
12．（23-24七年級下·陜西西安·期中）已知、為等腰的邊長，且滿足，則的底邊長是 ．
【答案】5
【分析】本題主要考查了非負數的性質、等腰三角形的定義以及三角形三邊關系，熟練掌握相關知識并分類討論是解題關鍵．首先根據非負數的性質確定，然后根據等腰三角形的定義以及三角形三邊關系，分情況討論，即可獲得答案．
【詳解】解：∵，
∴，解得，
當等腰的底邊為5時，該三角形的三邊長分別為5，11，11，
能構成三角形；
當等腰的底邊為11時，該三角形的三邊長分別為11，5，5，
∵，故不能構成三角形．
綜上所述，的底邊長是5．
故答案為：5．
13．（24-25七年級下·全國·課后作業）在等腰三角形中，一腰上的中線將這個三角形的周長分為12和6兩部分，則該等腰三角形的腰長為 ，底邊長為 ．
【答案】 8 2
【分析】本題考查等腰三角形定義和三角形中線的特點，理解三角形一邊中線將三角形周長分得的兩部分之差就是三角形剩余相鄰兩邊之差，并注意分類討論和將求得的邊長結合三角形三邊關系判斷能否構成三角形，即可解題．
【詳解】解：等腰三角形一腰上的中線，將這個等腰三角形的周長分成12和6兩部分．
又，
等腰三角形的腰與底邊相差6，
下面分兩類討論：
①腰比底邊大，
設腰長為，則底邊長為．
由題意得，解得，
當時，等腰三角形腰長8，底邊長為，三角形三邊分別為8、8、2，滿足三角形三邊關系，可以構成三角形．
②底邊比腰大，
若腰長為，則底邊長為．
由題意得，解得，
當時，等腰三角形腰長4，底邊長為，三角形三邊分別為4、4、10不滿足三角形三邊關系，不能構成三角形．
綜上所述，這個三角形腰和底分別為8和2．
故答案為：8，2．
14．（24-25八年級上·上?！て谥校┤鐖D，等腰的直角頂點在直線上，直線于點，若，則的面積為 ．
【答案】4
【分析】此題考查了等腰直角三角形的性質、全等三角形的判定和性質等知識．過點B作于點E，則，證明，則，利用三角形面積公式即可求出的面積．
【詳解】解：過點B作于點E，則，
∵等腰的直角頂點在直線上，
∴，
∴，
∴，
∵直線于點，
∴，
∴，
∴，
∴的面積為，
故答案為：4
15．（24-25七年級下·四川雅安·期中）若代數式的值與無關，且等腰三角形的兩邊長為、．
(1)求、的值；
(2)求該等腰三角形的周長．
【答案】(1)
(2)7或8
【分析】本題考查了多項式乘以多項式的法則，解二元一次方程組，等腰三角形的定義，正確求得m、n是解答的關鍵．
（1）化簡這個多項式，因為代數式的值與y無關，所以含y的項的系數等于0，列出方程組求出、的值；
（2）根據、，分兩種情況求出該等腰三角形的周長．
【詳解】（1）解：
，
∵代數式的值與無關，
∴，
解得：；
（2）解：當3是等腰三角形的腰時，三邊為3，3，2，此時周長；
當2是等腰三角形的腰時，三邊為2，2，3，周長．
∴該等腰三角形的周長為7或8．
16．（24-25八年級上·吉林·期末）【閱讀理解】例題：若，求和的值．
解：，，即，，，∴，．
【方法運用】若，求的值．
【拓展提升】已知是等腰的三邊長，若滿足，求的周長．
【答案】（）；（）
【分析】（）仿照題例方法解答即可；
（）把右式移到左邊，再仿照題例方法求出的值，再根據等腰三角形的定義及三角形三邊關系解答即可求解；
本題考查了完全平方公式的應用，非負數的性質，等腰三角形的定義，看懂題意是解題的關鍵．
【詳解】解：方法運用：∵
∴，
即，
∴，，
∴，，
∴的值為；
拓展提升：∵，
∴，
∴，
即，
∴，，
∴，，
∵是等腰三角形，
當時，
∵，
∴構成不了三角形，該種情況不符合；
當時，的周長；
∴的周長為．
17．（24-25八年級上·廣西防城港·期中）課間，小明拿著老師的等腰直角三角尺玩，不小心掉到兩墻之間，如圖所示，，，，．
(1)求證：．
(2)若，請你幫小明求出砌墻磚塊的厚度的大?。僭O每塊磚的厚度相等）．
【答案】(1)見解析
(2)
【分析】本題考查了全等三角形的應用，關鍵是找出證明全等三角形全等的條件．
（1）根據題意，，，，進而得到，根據證明三角形全等．
（2）利用（1）中全等三角形的性質解答．
【詳解】（1）證明：為等腰直角三角形，
，．
又，，
，
，，
則．
在和中，
；
（2）解：一塊墻磚的厚度為，
，，
由（1）可知，
，．
．
，即砌墻磚塊的厚度為．
18．（24-25八年級上·廣東中山·期末）新定義：頂角相等且頂角頂點重合的兩個等腰三角形互為“友好三角形”．
(1)如圖1，和互為“友好三角形”， 其中， 連接，求證：；
(2)點D是直線上一動點（點D不與點B，C重合），以為邊向右構造，使得和互為“友好三角形”，其中，連接， 點F在線段右上方， 且點 E， C， F三點共線．
如圖2， 當點 D 在線段的左側時， 求證：；
如圖3，當點D 在線段上時，與的數量關系是否發生改變，并說明理由．
【答案】(1)見解析
(2)① 見解析；②與的數量關系不變，，理由見解析
【分析】此題考查了等腰三角形的定義、全等三角形的判定和性質、角平分線的判定等知識．
（1）證明即可得到結論；
（2）①分別過點A作于點M，于點N，由全等的性質得到，，由等積法求出，由角平分線的判定定理即可證明結論；②仿照①的證明過程解答即可．
【詳解】（1）證明：∵，
在與中，
；
（2）①證明：分別過點A作于點M，于點N，
由（1）得，，
，
，
，
又∵，，
；
②解：與的數量關系不變，，理由如下：
∵，
.
在與中，
，
，
，，
分別過點A作于點M，于點N，
，
，
又∵，，
，
即與的數量關系不變.

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