資源簡介

中小學教育資源及組卷應用平臺
1.1 認識三角形（第2課時）
題型一：判斷三角形的高是否正確
1．（24-25七年級下·上海·階段練習）如圖，四個圖形中，線段是△ABC的高的圖是（ ）
A． B． C． D．
2．（24-25七年級下·山西太原·階段練習）如圖，借助直角三角板作△ABC的邊上的高，下列直角三角板的位置擺放正確（ ）
A． B．
C． D．
3．（24-25七年級下·吉林長春·期中）在△ABC中，邊的高說法中正確的是（　　）
A． B．
C． D．
4．（24-25七年級下·貴州貴陽·期中）如圖，在中，邊上的高是（ ）
A．線段 B．線段 C．線段 D．線段
5．（24-25七年級下·四川甘孜·期中）如圖，在△ABC中，關于高的說法正確的是（　　）
A．線段是邊上的高 B．線段是邊上的高
C．線段是邊上的高 D．線段是邊上的高
6．（24-25七年級下·陜西渭南·期中）如圖，在△ABC中，于點于點，則△ABC的邊上的高是（　　）

A． B． C． D．
題型二：正確識別三角形的角平分線、高、中線
1．（24-25七年級下·全國·課后作業）如圖，在△ABC中，，為的中點，連接并延長交于點E．過點C作于點H，交于點F．下列說法正確的是（ ）
A．線段是的角平分線
B．線段是中邊上的高
C．線段是中邊上的中線
D．線段是△ABC的角平分線
2．（24-25八年級上·廣西南寧·期中）如圖，的角平分線與中線交于點，對于下列結論：①是的角平分線；②是的中線；③；④．其中正確的是（　　）
A．①② B．①③ C．①④ D．②④
3．（24-25八年級上·山東臨沂·階段練習）如圖，在△ABC中，，D，E是上兩點，且，平分，那么下列說法中不正確的是（ ）
A．是的中線 B．是的角平分線
C． D．是的高
4．（24-25八年級上·全國·單元測試）如圖，的中線、角平分線交于點O，則下列結論中正確的是（　　）
A．是的角平分線 B．是的角平分線
C．是的中線 D．是的角平分線
5．（24-25八年級上·新疆吐魯番·階段練習）如圖，在△ABC中，邊上的高是 ，邊上的高是 ；在△BCF中，邊上的高是 ．
題型三：三角形角平分線、高、中線中相關概念
1．（24-25七年級下·山西太原·開學考試）下列結論正確的是（ ）
A．鈍角三角形的三條角平分線的交點在三角形的外部
B．銳角三角形的三條高的交點在三角形的外部
C．三角形的重心是三角形三條中線的交點
D．直角三角形的三條中線的交點在斜邊的中點
2．（24-25七年級下·上海黃浦·期中）下列說法中，正確的是（ ）
A．三角形的三條高都在三角形內，且相交于一點
B．三角形的外角大于任何一個內角
C．三角形中最大的一個內角的度數可以小于60°
D．三角形的內角和與三角形形狀無關
3．（24-25七年級下·全國·單元測試）下列說法：①三角形的中線、角平分線、高都是線段；②三角形的三條高所在的直線必交于一點；③三角形的三條中線必交于一點．其中正確的有（ ）
A．個 B．個 C．個 D．個
4．（24-25七年級下·上海金山·期中）一個三角形中的三條中線（ ）
A．都在這個三角形內
B．都在這個三角形外
C．可能在這個三角形內，也可能在這個三角形外
D．可能和這個三角形的一邊重合
5．（23-24八年級上·四川瀘州·階段練習）下列說法正確的有（ ）
①三角形的角平分線是射線；②三角形的三條高線都在三角形內部；③三角形的三條角平分線的交點叫做三角形的重心；④三角形的一條中線把該三角形分成面積相等的兩個三角形．
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
題型四：根據三角形的中線求線段長度
1．（24-25八年級上·湖南永州·期中）如圖，是△ABC的中線，，，若的周長比的周長小4，則△ABC的周長為 ．
2．（2025七年級下·全國·專題練習）已知是△ABC的邊上的中線，若的周長比的周長大6，則與的差是 .
3．（24-25七年級下·全國·課后作業）如圖，在△ABC中邊上的中線把△ABC的周長分成30和20兩部分，則的長為 ．
4．（23-24七年級下·湖南長沙·階段練習）如圖，在△ABC中，E，G分別是，上的點，F，D是上的點，連接，，，，．
(1)求證：；
(2)若是的平分線，，，求的度數；
(3)若△ABC的周長為，，當中線將△ABC分成周長差為的兩部分，求的長．
5．（24-25八年級上·北京·期中）如圖，在△ABC中，是中線，，．
(1)求與的周長差．
(2)點E在邊上，連接，若△BDE與四邊形的周長相等，求線段的長．
6．（24-25八年級上·云南普洱·期末）如圖，在△ABC中，是邊上的中線，交于點，為的中點，連接．已知，△ABC的面積為24．
(1)求的長．
(2)若，求與的周長差．
題型五：三角形中相關作圖題
1．（24-25七年級下·河北秦皇島·階段練習）如圖方格紙中，每個小正方形邊長均為1，點A，點B，點C在小正方形的頂點上．
(1)畫出△ABC中邊上的高；
(2)畫出△ABC中邊上的中線；
(3)直接寫出的面積為______．
(4)，直接寫出______．
2．（24-25七年級下·上海崇明·期中）如圖，已知，根據下列要求作圖并回答問題：
(1)作邊上的高；
(2)過點作直線的垂線，垂足為；
(3)點到直線的距離是線段_______的長度；
(4)線段的長度表示點_____到直線_______的距離．（不要求寫畫法，只需寫出結論即可）
3．（24-25七年級下·遼寧沈陽·期中）如圖所示的方格紙中，每個小正方形的邊長均為1，點A，B，C均在小正方形的頂點上，請利用格點解決下列問題：
(1)畫出△ABC的邊上的高；
(2)畫出△ABC的邊上的中線；
(3)過點B作的平行線；
(4)線段，直接寫出點C到直線的距離______．
4．（24-25七年級下·上海·期中）如圖，已知△ABC，，根據下列要求畫圖并回答問題：
(1)畫邊上的高；
(2)點到直線的距離是線段______的長度；
(3)邊上有一點，連接，如果，那么線段是△ABC的______；（填“高”、“中線”或“角平分線”），并在圖中畫出．
(4)在（1）（3）的條件下，如果，，那么______．
5．（23-24七年級下·廣西河池·期中）在正方形網格中，每個小正方形的邊長均為1個單位長度，△ABC的三個頂點的位置如圖所示．現將△ABC沿著點A到點D的方向平移，使點A變換為點D，點E、F分別是B、C的對應點．
(1)畫出△ABC中邊上的高（提醒：別忘了標注字母）；
(2)請畫出平移后的（提醒：別忘了標注字母）；
(3)求平移后的的面積．
6．（23-24七年級下·江蘇鹽城·期中）畫圖并填空：如圖，每個小正方形的邊長為1個單位，每個小正方形的頂點叫格點．
(1)將△ABC向左平移8格，再向下平移1格．請在圖中畫出平移后的；
(2)利用網格在圖中畫出△ABC的中線，高線；
(3)在圖中能使的格點P的個數有 個（點P異于A）．
題型六：網格中求面積問題
1．（24-25八年級上·遼寧錦州·階段練習）如圖，小方格都是邊長為1的正方形，則△ABC的面積是（ ）
A． B． C． D．
2．（24-25八年級上·黑龍江大慶·階段練習）如圖，網格中的小正方形的邊長均為1，小正方形的頂點叫做格點，△ABC的三個頂點都在格點上，則△ABC的面積為 ．
3．（24-25九年級上·全國·課后作業）如圖，在正方形網格中，每個小正方形的邊長為1，四邊形的每一個頂點都在格點上，則格點四邊形的面積為 ．
4．（23-24八年級下·江蘇泰州·期末）如圖，點A、B、C、D、F在網格中的格點處，與相交于點E，設小正方形的邊長為1，則陰影部分的面積等于 ．
5．（24-25七年級下·全國·單元測試）如圖，三角形三個頂點的坐標分別為，，，則三角形的面積為 ．
6．（24-25七年級上·湖北武漢·期中）每個小方格的邊長是1厘米，下面陰影部分的多邊形頂點均在格點，其面積是( )平方厘米。
7．（24-25八年級上·重慶·階段練習）如圖，在的網格中，每個小正方形的邊長為，點，，均在格點上，是與網格線的交點，則的長為 ．
題型一：根據三角形的中線求面積
1．（24-25七年級下·河北秦皇島·階段練習）如圖，在△ABC中，分別是的中點，，則等于（ ）
A． B． C． D．
2．（24-25七年級下·四川成都·期中）如圖所示，在△ABC中，D、E、F分別為的中點，且，則的面積等于（ ）
A． B． C． D．
3．（24-25八年級上·廣東廣州·階段練習）如圖，在△ABC中，點，，分別是線段，，的中點，若△ABC的面積是，則的面積是（ ）
A． B． C． D．
4．（2025·陜西西安·模擬預測）如圖，是△ABC的邊上的中線，是的邊上的中線，是的邊上的中線，若△ABC的面積是16，則陰影部分的面積是（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
5．（24-25七年級下·重慶·期中）如圖，在△ABC中，點是邊上一點，，連接，點是上一點，，連接，點是上一點，連接交于點，若，，則四邊形的面積是 ．
6．（24-25七年級下·內蒙古包頭·期中）如圖，已知△ABC的面積為，分別延長至點，使，延長至點，使，延長至點，使，依次連接，則陰影部分的面積為 ．
7．（24-25八年級下·湖北黃石·階段練習）如圖，，，分別是△ABC的邊，，的中點，連接，，交于點，△ABC的面積為6，設的面積為，的面積為，則 ．
8．（24-25六年級上·上海·階段練習）如圖，在長方形中，點是的中點，，，則的面積是長方形面積的 ．
題型二：利用三角形的面積求高
1．（24-25七年級下·陜西西安·期中）如圖，已知、分別為△ABC的邊、的中點，連接，為的中線，連接，若，四邊形的面積為，則△ABC的邊上高長為（ ）
A． B． C． D．
2.（24-25七年級下·山東棗莊·階段練習）如圖，△ABC中，，是上任意一點，于點，于點，若，則（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
3．（24-25七年級下·上海·階段練習）如圖，在△ABC中，，D為中點，過點D作，，E為上一點，過點E作，，，則 ．
4．（24-25七年級下·四川成都·期中）如圖，在△ABC中，，點D，P分別在邊，上，且，，，垂足分別為點E．F．若，，則的值 ．

5．（24-25七年級下·重慶·階段練習）如圖，已知中，，，，為邊上一點，，為上一點，過點作于點，于點，求的值 ．
6．（24-25八年級上·河南省直轄縣級單位·期中）如圖，在銳角三角形中，的面積， 平分交于點，若、分別是、上的動點，則的最小值為
7．（24-25七年級下·全國·課后作業）如圖，在△ABC中，，垂足分別為，，，則△ABC的邊上的高為線段 ，邊上的高為線段 ；若，則為 ．
題型三：三角形綜合應用之多結論問題
1．（24-25七年級下·遼寧錦州·期中）如圖，在△ABC中，，，，，是高，是中線，是角平分線，交于點G，交于點H，給出以下結論：①；②；③；④，以上說法正確的個數是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
2．（24-25七年級下·山東青島·期中）如圖，在△ABC中，，是高，是中線，是角平分線，交于點G，交于點H，給出以下結論：①；②；③；④，其中結論正確的有（ ）
A．2個 B．3個 C．4個 D．5個
3．（24-25八年級上·安徽蚌埠·期末）如圖，在△ABC中，是高，是中線，是角平分線，交于點G，交于點H，下面說法正確的是（ ）
①的周長的周長；②；③；④；⑤
A．①③⑤ B．①②④ C．①③④⑤ D．②③④
4．（23-24七年級下·廣東湛江·期末）如圖，在△ABC中，，是高，是中線，是角平分線，交于點，交于點．下面說法中：①：②；③；④．正確的是（ ）
A．①②③④ B．①②④ C．①②③ D．③④
5．（24-25八年級上·浙江杭州·期中）如圖，在分別是高和角平分線，點在的延長線上，交于，交于，下列結論：①；②；③；④，正確的序號是（ ）
A．②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④
題型四：三角形中三條重要線段綜合
1．（23-24七年級下·湖南長沙·階段練習）如圖，在△ABC中，E，G分別是，上的點，F，D是上的點，連接，，，，．
(1)求證：；
(2)若是的平分線，，，求的度數；
(3)若△ABC的周長為，，當中線將△ABC分成周長差為的兩部分，求的長．
2．（24-25八年級上·北京·期中）如圖，在△ABC中，是中線，，．
(1)求與的周長差．
(2)點E在邊上，連接，若△BDE與四邊形的周長相等，求線段的長．
3．（24-25七年級上·山東東營·期中）如圖，在△ABC中，是△ABC的角平分線，點在邊上（不與點，重合），與交于點．
(1)若是中線，，，則與的周長差為__________．
(2)若，是角平分線，求__________．
(3)若，是高，求的度數．
4．（2025八年級上·浙江·專題練習）如圖，在△ABC中，，分別是△ABC的中線和高，是的角平分線．
(1)若△ABC的面積為，，求的長；
(2)若，，求的大小．
6．（24-25八年級上·廣東廣州·期中）如圖，在△ABC中，點在邊上．
(1)若， ，求的度數；
(2)若，為△ABC的中線，的周長與的周長之比為，求的周長．
7．（24-25八年級上·安徽合肥·期中）如圖，，，分別是△ABC的高線，角平分線和中線，
(1)下列結論：①，②，③，④與互余，其中正確的是________（只填序號）．
(2)若，，求的度數．
(3)若，直接寫出與之間的數量關系．
8．（24-25八年級上·廣東汕頭·期中）如圖，在△ABC中，，，，，若動點P從點C開始，按的路徑運動，且速度為，設運動的時間為．
(1)當________時，把△ABC的周長分成相等的兩部分；
(2)當t為何值時，把△ABC的面積分成相等的兩部分？
(3)當P在上運動，t為何值時，的面積為？
1．（23-24七年級上·山東淄博·階段練習）給出下列說法正確的是（　　）
A．三角形的角平分線是射線
B．三角形的高所在的直線交于一點，這一點不在三角形內就在三角形外
C．三角形的頂點到對邊的距離是三角形的高
D．任何一個三角形都有三條高、三條中線、三條角平分線
2．（24-25七年級下·重慶·階段練習）如圖，、是的兩條高，，，，則的面積為（ ）
A． B． C． D．
3．（24-25七年級下·江蘇蘇州·期中）如圖，在△ABC中，D是邊上的中點，，，連接交于點P，則的值為（　　）

A． B． C． D．
4．（24-25七年級下·安徽宿州·期中）如圖，點，分別在，上，，垂足為點，，若，，，則點到直線的距離為（ ）
A．3 B． C． D．2
5．（24-25八年級上·云南昆明·期末）如圖，在△ABC中，分別是BC邊上的高線、角平分線、中線，下列結論錯誤的是（ ）
A． B．
C． D．
6．（24-25八年級上·浙江溫州·期中）如圖，是△ABC的中線，，，E，F分別是垂足．已知，，則的長度為（ ）
A．3 B．4 C．6 D．8
7．（2025九年級下·云南·學業考試）已知是△ABC邊上的中線，是的中點，若的面積為2，則△ABC的面積為（ ）
A．4 B．8 C．12 D．16
8．（24-25七年級下·四川成都·期中）如圖，是的邊上任意一點，分別是線段的中點，且的面積為，則的面積是 ．
9．（24-25七年級下·全國·課后作業）如圖，在△ABC中，，邊上的中線把△ABC的周長分成60和40兩部分，和的長分別為 ．
10．（24-25七年級上·山東淄博·階段練習）如圖，已知，分別是△ABC的中線和高，且，，則與的周長的差為 ．的面積與的面積的關系為 ．
11．（23-24八年級上·四川南充·階段練習）如圖，在△ABC中，，分別是△ABC的中線和高，是的角平分線．
(1)若△ABC的面積為，，求的長；
(2)若，，求的大小．
12．（24-25七年級下·全國·期中）如圖，在△ABC中，為鈍角，以為邊作長方形．
(1)猜想：（ ）
A． B． C． D．
(2)用兩種方法證明你的猜想．
13．（24-25八年級上·內蒙古烏海·期末）如圖，在△ABC中，是角平分線，點D在邊上（不與點A，B重合），連接交于點O．
(1)若是中線，，，則與的周長差為 ；
(2)若，，求的度數．
14．（2025七年級下·全國·專題練習）【閱讀材料】
運用基本事實“同位角相等，兩直線平行”
證明“兩直線平行，同位角相等”．
已知：如圖1，直線，被直線所截，．求證：．
證明：首先，假設，那么可以過點O作直線，使得．根據“同位角相等，兩直線平行”可以得到，這樣，過點O就有兩條直線，都與平行，這與基本事實“過直線外一點有且只有一條直線與已知直線平行”矛盾．
所以假設不正確，于是．
【解決問題】
(1)仿照上面的證明方法，補全下面證明“兩條平行線之間的距離處處相等”的過程．
已知：如圖2，．求證：．
首先，假設________，將沿著直線的方向平移，使點G與點E重合，點H的對應點Q在直線上．因為，所以點Q與點F不重合．由，易得，而，同時，這與基本事實________矛盾．所以假設不正確，于是．
(2)如圖3，表示的面積，表示的面積．求證：．
(3)按照要求，畫出圖形，并簡要說明畫法．
①如圖4，過點A畫一條直線，將△ABC分割成面積相等的兩部分；
②如圖5，在△ABC中，N是上的一點（不是中點），過點N畫一條直線將△ABC分割成面積相等的兩部分．中小學教育資源及組卷應用平臺
1.1 認識三角形（第2課時）
題型一：判斷三角形的高是否正確
1．（24-25七年級下·上海·階段練習）如圖，四個圖形中，線段是△ABC的高的圖是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本題考查畫三角形的高，根據高的定義，進行判斷即可．
【詳解】解：線段是的高，則過點作的垂線，垂足為；故滿足題意的只有選項D；
故選D．
2．（24-25七年級下·山西太原·階段練習）如圖，借助直角三角板作△ABC的邊上的高，下列直角三角板的位置擺放正確（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本題考查了三角形的高，熟知三角形高線的定義是解答此題的關鍵．
根據高線的定義即可得出答案．
【詳解】解：從三角形的一個頂點向底邊作垂線，垂足與頂點之間的線段叫做三角形的高，
借助直角三角板作△ABC的邊上的高，直角三角板的位置擺放正確的是，
故選：A．
3．（24-25七年級下·吉林長春·期中）在△ABC中，邊的高說法中正確的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根據高的定義，過三角形一個頂點向對邊作垂線，垂線段即為三角形的高．
本題考查了三角形的高，正確理解定義是解題的關鍵．
【詳解】
解：根據題意，是符合題意的，A，B，D都不符合題意，
故選C．
4．（24-25七年級下·貴州貴陽·期中）如圖，在中，邊上的高是（ ）
A．線段 B．線段 C．線段 D．線段
【答案】C
【分析】本題主要考查了三角形高的定義，在中，邊上的高是過點A向直線所作的垂線段，據此可得答案．
【詳解】解：在中，邊上的高是線段，
故選：．
5．（24-25七年級下·四川甘孜·期中）如圖，在△ABC中，關于高的說法正確的是（　　）
A．線段是邊上的高 B．線段是邊上的高
C．線段是邊上的高 D．線段是邊上的高
【答案】B
【分析】本題考查了三角形的角平分線、中線、高的定義：從三角形的一個頂點向它的對邊作垂線，垂足與頂點之間的線段叫做三角形的高，是基礎題，熟記概念是解題的關鍵．根據三角形的一個頂點到對邊的垂線段叫做三角形的高對各選項分析判斷后利用排除法求解．
【詳解】解：于點，
中，是邊上的高，故A不符合題意，
，線段是邊上的高，B選項符合題意；
于點，
是邊上的高，故C選項不符合題意，D選項不符合題意．
故選：B．
6．（24-25七年級下·陜西渭南·期中）如圖，在△ABC中，于點于點，則△ABC的邊上的高是（　　）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本題考查了三角形的高：從三角形的一個頂點向它的對邊所在直線畫垂線，頂點和垂足間的線段叫做三角形的高，熟練掌握三角形的高的定義是解題關鍵．根據三角形的高的定義解答即可得．
【詳解】解：∵在△ABC中，于點，
∴△ABC的邊上的高是，
故選：C．
題型二：正確識別三角形的角平分線、高、中線
1．（24-25七年級下·全國·課后作業）如圖，在△ABC中，，為的中點，連接并延長交于點E．過點C作于點H，交于點F．下列說法正確的是（ ）
A．線段是的角平分線
B．線段是中邊上的高
C．線段是中邊上的中線
D．線段是△ABC的角平分線
【答案】B
【分析】本題考查了三角形的角平分線、三角形的中線、三角形的高的概念．根據三角形的角平分線、三角形的中線、三角形的高的概念進行判斷．連接三角形的頂點和對邊中點的線段即為三角形的中線；三角形的一個角的角平分線和對邊相交，頂點和交點間的線段叫三角形的角平分線；從三角形的一個頂點向對邊引垂線，頂點和垂足間的線段叫三角形的高．
【詳解】解：A、由，根據三角形的角平分線的概念，知是的角平分線，故本選項錯誤；
B、根據三角形的高的概念，知為的邊上的高，故本選項正確；
C、根據三角形的中線的概念，知是中上的中線，故本選項錯誤；
D、根據三角形的角平分線的概念，知是的角平分線，故本選項錯誤．
故選：B．
2．（24-25八年級上·廣西南寧·期中）如圖，的角平分線與中線交于點，對于下列結論：①是的角平分線；②是的中線；③；④．其中正確的是（　　）
A．①② B．①③ C．①④ D．②④
【答案】B
【分析】本題三角形的角平分線、中線的概念和性質，掌握三角形的角平分線、中線的概念是解題的關鍵．
根據三角形的角平分線、中線的概念判斷即可．
【詳解】解：∵的角平分線與中線交于點，
∴是的角平分線，，不是的中線，
故①③正確，符合題意；②錯誤，不符合題意；
∵不是的中線，
∴，
故④錯誤，不符合題意；
故選：B．
3．（24-25八年級上·山東臨沂·階段練習）如圖，在△ABC中，，D，E是上兩點，且，平分，那么下列說法中不正確的是（ ）
A．是的中線 B．是的角平分線
C． D．是的高
【答案】C
【分析】本題考查三角形的高線，三角形的角平分線定義，三角形的中線等知識點，能熟記知識點的內容是解此題的關鍵．利用已知條件和三角形中線即可判斷出A選項的正誤；利用已知條件和角平分線的定義即可判斷出B選項的正誤；利用角平分線的性質只能得到，但沒有辦法得到，可判斷出C選項錯誤；由三角形的高線的定義，可判斷D．
【詳解】解：∵，即點E為中點，
∴是的中線，故A正確，不符合題意；
∵平分，
∴是的角平分線，故B正確，不符合題意；
∵平分，
∴．
∵，，
∴，故C錯誤，符合題意；
∵，即，
∴是的高，故D正確，不符合題意．
故選C．
4．（24-25八年級上·全國·單元測試）如圖，的中線、角平分線交于點O，則下列結論中正確的是（　　）
A．是的角平分線 B．是的角平分線
C．是的中線 D．是的角平分線
【答案】D
【分析】本題主要考查角平分定義和中線的定義，根據題意得，，逐項判斷即可判定是的角平分線．
【詳解】解：A∵的角平分線、中線相交于點O，
∴，，
在中，不一定等于，
∴不一定是的角平分線，A錯誤；
B∵不一定等于，那么不一定是的角平分線，B錯誤；
C在中，，不一定是的中線，C錯誤；
D∵，
∴是的角平分線，D正確；
故選：D．
5．（24-25八年級上·新疆吐魯番·階段練習）如圖，在△ABC中，邊上的高是 ，邊上的高是 ；在△BCF中，邊上的高是 ．
【答案】 / / /
【分析】本題主要考查三角形高線的概念，掌握這個知識點即可求解．確定某一邊的高，首先明確是哪個三角形的高，在這個三角形內，先看這邊相對的頂點，然后尋找這個頂點向這條邊作的垂線段即可．
【詳解】解：在△ABC中，邊上的高是，邊上的高是；在△BCF中，邊上的高是．
故答案為：；；
題型三：三角形角平分線、高、中線中相關概念
1．（24-25七年級下·山西太原·開學考試）下列結論正確的是（ ）
A．鈍角三角形的三條角平分線的交點在三角形的外部
B．銳角三角形的三條高的交點在三角形的外部
C．三角形的重心是三角形三條中線的交點
D．直角三角形的三條中線的交點在斜邊的中點
【答案】C
【分析】本題考查了三角形角平分線、高、中線、重心等概念，根據三角形角平分線、高、中線、重心等概念逐一排除即可，掌握三角形的重要概念是解題的關鍵．
【詳解】解：、鈍角三角形的三條角平分線的交點在三角形的內部，原選項結論錯誤，不符合題意；
、銳角三角形的三條高的交點在三角形的內部，原選項結論錯誤，不符合題意；
、三角形的重心是三角形三條中線的交點，原選項結論正確，符合題意；
、直角三角形的三條中線的交點在三角形的內部，原選項結論錯誤，不符合題意；
故選：．
2．（24-25七年級下·上海黃浦·期中）下列說法中，正確的是（ ）
A．三角形的三條高都在三角形內，且相交于一點
B．三角形的外角大于任何一個內角
C．三角形中最大的一個內角的度數可以小于60°
D．三角形的內角和與三角形形狀無關
【答案】D
【分析】本題考查了三角形的內角和定理，外角性質，三角形的高，熟練掌握知識點是解題的關鍵．
根據三角形的高的概念，三角形內角和定理，外角性質分別判斷即可．
【詳解】解：A、銳角三角形的三條高在三角形內部，相交于三角形內一點，鈍角三角形的高不都在三角形內部，故本選項錯誤，不符合題意；
B、三角形的一個外角大于任何一個不相鄰的一個內角，故本選項錯誤，不符合題意；
C、根據三角形內角和等于180°，三角形最大的一個內角的度數大于或等于60度，故本選項錯誤，不符合題意；
D、三角形的內角和與三角形形狀無關，因為始終為180度，故本選項正確，符合題意；
故選：D．
3．（24-25七年級下·全國·單元測試）下列說法：①三角形的中線、角平分線、高都是線段；②三角形的三條高所在的直線必交于一點；③三角形的三條中線必交于一點．其中正確的有（ ）
A．個 B．個 C．個 D．個
【答案】A
【分析】本題考查了三角形中線、角平分線、高的定義，根據三角形的中線、角平分線、高的定義逐個分析判斷，即可求解．
【詳解】解：①三角形的中線、角平分線、高都是線段，故原說法正確；
②三角形的三條高所在的直線交于一點，故原說法正確；
③三角形的三條中線必交于一點，故原說法正確；
說法正確的有個．
故選：A．
4．（24-25七年級下·上海金山·期中）一個三角形中的三條中線（ ）
A．都在這個三角形內
B．都在這個三角形外
C．可能在這個三角形內，也可能在這個三角形外
D．可能和這個三角形的一邊重合
【答案】A
【分析】本題考查了三角形的中線，熟記概念是解題的關鍵．
根據三角形的中線的概念即可解答．
【詳解】解：三角形的三條中線都在三角形的內部，
故答案為：A．
5．（23-24八年級上·四川瀘州·階段練習）下列說法正確的有（ ）
①三角形的角平分線是射線；②三角形的三條高線都在三角形內部；③三角形的三條角平分線的交點叫做三角形的重心；④三角形的一條中線把該三角形分成面積相等的兩個三角形．
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
【答案】A
【分析】本題考查對三角形的中線、角平分線、高的正確理解，熟練掌握三角形的中線、角平分線、高的概念是解決本題的關鍵．根據三角形的三條中線都在三角形內部；三角形的三條角平分線都在三角形內部；三角形三條高可以在內部，也可以在外部，直角三角形有兩條高在邊上即可作答．
【詳解】解：①三角形的角平分線是線段，故原說法錯誤；
②銳角三角形的三條高線都在三角形內部，故原說法錯誤；
③三角形的三條中線的交點叫做三角形的重心，故原說法錯誤；
④三角形的一條中線把該三角形分成面積相等的兩個三角形，故正確．
故選：A．
題型四：根據三角形的中線求線段長度
1．（24-25八年級上·湖南永州·期中）如圖，是△ABC的中線，，，若的周長比的周長小4，則△ABC的周長為 ．
【答案】22
【分析】本題考查的是三角形的中線，根據三角形中線的特點進行解答即可．
【詳解】解：∵為△ABC的邊上的中線，
∴，
∴，
∵的周長比的周長小4，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴△ABC的周長為，
故答案為：22．
2．（2025七年級下·全國·專題練習）已知是△ABC的邊上的中線，若的周長比的周長大6，則與的差是 .
【答案】6
【分析】本題主要考查了三角形的中線，三角形一邊的中點與此邊所對頂點的連線叫做三角形的中線．依據三角形中線的定義，即可得到，再根據的周長比的周長大6，即可得出與的差為6．
【詳解】解：是△ABC的邊上的中線，
，
的周長比的周長大6，
，
即，
故答案為：6．
3．（24-25七年級下·全國·課后作業）如圖，在△ABC中邊上的中線把△ABC的周長分成30和20兩部分，則的長為 ．
【答案】14
【分析】本題考查與三角形的中線有關的計算，根據中線的定義得到，根據，得到，根據把△ABC的周長分成30和20兩部分，進行求解即可．
【詳解】解：∵為中線，
∴，
∵，
∴，
∵中線把△ABC的周長分成30和20兩部分，且，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
故答案為：14．
4．（23-24七年級下·湖南長沙·階段練習）如圖，在△ABC中，E，G分別是，上的點，F，D是上的點，連接，，，，．
(1)求證：；
(2)若是的平分線，，，求的度數；
(3)若△ABC的周長為，，當中線將△ABC分成周長差為的兩部分，求的長．
【答案】(1)見解析(2)(3)或
【分析】（1）由兩直線平行，內錯角相等得出，再根據題意可得出，最后根據同旁內角互補，兩直線平行，即可得出；
（2）根據題意可求出的大小，再根據角平分線的定義，得出，最后根據三角形外角的性質，即可求出的大小；
（3）設，則，得出，，分兩種情況：當時，當時，分別列出方程，求出x的值，再求出結果即可．
【詳解】（1）證明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
（2）解：∵，，
∴，
∵是的平分線，
∴，
∵，
∴．
（3）解：∵△ABC的周長為，，
∴設，則，
∵是△ABC的中線，
∴，
則，
，
當時，，
解得：，
∴；
當時，，
解得：，
∴；
綜上可知：或．
5．（24-25八年級上·北京·期中）如圖，在△ABC中，是中線，，．
(1)求與的周長差．
(2)點E在邊上，連接，若△BDE與四邊形的周長相等，求線段的長．
【答案】(1)(2)
【分析】本題考查了三角形的中線性質，三角形周長的計算，掌握相關知識點是解題的關鍵．
（1）的周長，的周長，由中線的定義可得，即可解答；
（2）由圖可知的周長，四邊形的周長，，所以，則可解得長．
【詳解】（1）解：的周長，的周長，
∵是中線，
∴，
∴與的周長差：；
（2）解：由圖可知：的周長，四邊形的周長，
又∵的周長與四邊形的周長相等，D是的中點，
∴，，
∴，
又∵，，，
∴，
∴，
∴．
6．（24-25八年級上·云南普洱·期末）如圖，在△ABC中，是邊上的中線，交于點，為的中點，連接．已知，△ABC的面積為24．
(1)求的長．
(2)若，求與的周長差．
【答案】(1)(2)
【分析】此題考查了三角形的高和中線等知識．
（1）根據三角形的面積求出，根據三角形中線即可求出的長；
（2）根據三角形中線得到，的周長，的周長，作差即可得到答案．
【詳解】（1）解：∵，△ABC的面積為24．交于點，
∴，
解得，
∵是邊上的中線，
∴
（2）∵為的中點，
∴
∵的周長，的周長，
∴與的周長差．
題型五：三角形中相關作圖題
1．（24-25七年級下·河北秦皇島·階段練習）如圖方格紙中，每個小正方形邊長均為1，點A，點B，點C在小正方形的頂點上．
(1)畫出△ABC中邊上的高；
(2)畫出△ABC中邊上的中線；
(3)直接寫出的面積為______．
(4)，直接寫出______．
【答案】(1)見解析(2)見解析(3)(4)
【分析】本題主要考查了三角形高，中線的作法，以及三角形面積求法，掌握概念是解本題的關鍵．
（1）利用網格特征作，再利用平移的性質作交于點D，即可得到答案；
（2）結合網格信息，根據中線的定義可得E點，連接即可得到答案；
（3）根據三角形面積公式的求法，結合網格信息，即可得到答案；
（4）利用三角形面積公式求解即可．
【詳解】（1）解：如圖所示，為所求；
（2）解：如圖所示，為所求；
（3）解：；
（4）解：∵，，
∴．
2．（24-25七年級下·上海崇明·期中）如圖，已知，根據下列要求作圖并回答問題：
(1)作邊上的高；
(2)過點作直線的垂線，垂足為；
(3)點到直線的距離是線段_______的長度；
(4)線段的長度表示點_____到直線_______的距離．（不要求寫畫法，只需寫出結論即可）
【答案】(1)作圖見解析；(2)作圖見解析；(3)；(4)，；
【分析】本題主要考查了三角形的高、點到直線的距離．
過點作線段垂足在的延長線上，線段即為邊上的高；
過點作線段，垂足為點，線段即為所求；
點到直線的距離是點到直線的垂線段的長度；
因為線段是點到線段的垂線段，所以線段是點到線段的距離．
【詳解】（1）解：如下圖所示，
線段即為邊上的高；
（2）解：如下圖所示，
（3）解：點到直線的距離是線段的長度，
故答案為：；
（4）解：線段的長度表示點到直線的距離，
故答案為：，；
3．（24-25七年級下·遼寧沈陽·期中）如圖所示的方格紙中，每個小正方形的邊長均為1，點A，B，C均在小正方形的頂點上，請利用格點解決下列問題：
(1)畫出△ABC的邊上的高；
(2)畫出△ABC的邊上的中線；
(3)過點B作的平行線；
(4)線段，直接寫出點C到直線的距離______．
【答案】(1)圖見解析(2)圖見解析(3)圖見解析(4)
【分析】本題考查作圖—應用與設計作圖、三角形的中線和高、平行線的判定、三角形的面積．
（1）根據三角形的高的定義畫圖即可．
（2）根據三角形的中線的定義畫圖即可．
（3）運用網格特征，觀察，且結合平行線的判定，即可作圖．
（4）由題意可得，再根據三角形面積公式列式計算得點C到直線AB的距離，即可作答．
【詳解】（1）解：如圖，即為所求；
（2）解：如圖，即為所求；
（3）解：過點B作的平行線，如圖所示：
（4）解：依題意，，
∵線段，
∴點C到直線的距離．
故答案為：．
4．（24-25七年級下·上海·期中）如圖，已知△ABC，，根據下列要求畫圖并回答問題：
(1)畫邊上的高；
(2)點到直線的距離是線段______的長度；
(3)邊上有一點，連接，如果，那么線段是△ABC的______；（填“高”、“中線”或“角平分線”），并在圖中畫出．
(4)在（1）（3）的條件下，如果，，那么______．
【答案】(1)見解析(2)(3)中線(4)30
【分析】本題考查作圖-復雜作圖、三角形的中線和高、三角形的面積，解題的關鍵是理解題意，靈活運用所學知識解決問題．
（1）根據三角形的高的定義畫圖即可；
（2）根據點到直線的距離的定義求解即可；
（3）由題意可得，則線段是△ABC的中線；
（4）由題意可得，則進而可得， ， 則
【詳解】（1）解：如圖，即為所求，
（2）解：點到直線的距離是線段的長度，
故答案為：；
（3）解：如圖，
∴線段是△ABC的中線，
故答案為：中線；
（4）解：，
，
故答案為：．
5．（23-24七年級下·廣西河池·期中）在正方形網格中，每個小正方形的邊長均為1個單位長度，△ABC的三個頂點的位置如圖所示．現將△ABC沿著點A到點D的方向平移，使點A變換為點D，點E、F分別是B、C的對應點．
(1)畫出△ABC中邊上的高（提醒：別忘了標注字母）；
(2)請畫出平移后的（提醒：別忘了標注字母）；
(3)求平移后的的面積．
【答案】(1)見解析(2)見解析(3)3
【分析】本題考查了平移作圖，畫三角形的高，利用網格求圖形的面積，確定平移后圖形的基本要素有兩個：平移方向、平移距離．作圖時要先找到圖形的關鍵點，分別把這幾個關鍵點按照平移的方向和距離確定對應點后，再順次連接對應點即可得到平移后的圖形．
（1）利用網格特點和三角形高的定義畫圖；
（2）利用點、的位置確定平移的方向與距離，然后利用此平移規律畫出、的對應點、即可；
（3）利用三角形面積公式計算出的面積即可．
【詳解】（1）解：如圖所示，即為所做邊上的高；
（2）解：如圖所示，即為所求；
（3）解：．
6．（23-24七年級下·江蘇鹽城·期中）畫圖并填空：如圖，每個小正方形的邊長為1個單位，每個小正方形的頂點叫格點．
(1)將△ABC向左平移8格，再向下平移1格．請在圖中畫出平移后的；
(2)利用網格在圖中畫出△ABC的中線，高線；
(3)在圖中能使的格點P的個數有 個（點P異于A）．
【答案】(1)見解析；(2)見解析；(3)
【分析】本題考查了平移作圖，作中線和高線，平行線間的距離等知識，熟練掌握相關知識點正確作圖即可．
（1）根據平移的性質作圖即可；
（2）取中點，連接即為中線；延長與過點的水平線的交點為，即為高線；
（3）根據同底等高的三角形面積相等，以及平行線間的距離相等，過點作與平行的直線，點為直線上的格點，即可得解．
【詳解】（1）解：如圖，即為所求作；
（2）解：如圖，中線，高線即為所求作；
（3）解：過點作與平行的直線，點為直線上的格點，
則除點外，格點P的個數有個；
題型六：網格中求面積問題
1．（24-25八年級上·遼寧錦州·階段練習）如圖，小方格都是邊長為1的正方形，則△ABC的面積是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本題考查了格點三角形面積，根據圖形得△ABC的面積等于正方形的面積減去個直角三角形的面積；掌握割補法求三角形的面積是解題的關鍵．
【詳解】解：
；
故選：C．
2．（24-25八年級上·黑龍江大慶·階段練習）如圖，網格中的小正方形的邊長均為1，小正方形的頂點叫做格點，△ABC的三個頂點都在格點上，則△ABC的面積為 ．
【答案】3
【分析】此題考查了網格中求三角形的面積，利用網格的特點進行解答即可．
【詳解】解：根據網格特點可知，交的延長線于點D，
∵
∴△ABC的面積，
故答案為：3
3．（24-25九年級上·全國·課后作業）如圖，在正方形網格中，每個小正方形的邊長為1，四邊形的每一個頂點都在格點上，則格點四邊形的面積為 ．
【答案】13
【分析】本題考查的是利用割補法求解圖形面積，直接利用長方形的面積，再減去三個三角形的面積即可．
【詳解】解：如圖，作長方形，
∵正方形網格中的每一個小正方形的邊長為1，
∴，，，，，，，
∴．
故答案為：
4．（23-24八年級下·江蘇泰州·期末）如圖，點A、B、C、D、F在網格中的格點處，與相交于點E，設小正方形的邊長為1，則陰影部分的面積等于 ．
【答案】4.5
【分析】本題主要考查三角形的面積，由網格圖求解和的面積，再利用可求解．
【詳解】解：由圖可知：四邊形為平行四邊形，
∴，
∵，
∴．
故答案為：4.5．
5．（24-25七年級下·全國·單元測試）如圖，三角形三個頂點的坐標分別為，，，則三角形的面積為 ．
【答案】8
【分析】此題考查了利用網格求三角形的面積，坐標與圖形等知識．求出，三角形的邊上的高為4，即可求出答案．
【詳解】解：由題意，得，
∵點B的坐標為，邊軸，
∴點B到直線的距離為，
即三角形的邊上的高為4，
∴．
故答案為：
6．（24-25七年級上·湖北武漢·期中）每個小方格的邊長是1厘米，下面陰影部分的多邊形頂點均在格點，其面積是( )平方厘米。
【答案】
【分析】本題考查了網格求三角形的面積；有理數的混合運算的應用，根據題意將陰影部分分為三角形與長方形，再相加即可求解．
【詳解】解：如圖所示，
陰影部分面積為：
故答案為：．
7．（24-25八年級上·重慶·階段練習）如圖，在的網格中，每個小正方形的邊長為，點，，均在格點上，是與網格線的交點，則的長為 ．
【答案】/
【分析】本題考查網格中的三角形的面積，熟練掌握網格中三角形的面積求法和分割法求解三角形面積是解題的關鍵．利用網格求出△ABC的面積，再利用即可求解．
【詳解】解：由圖可得△ABC的面積為，
由，
則，
解得：，
故答案為：．
題型一：根據三角形的中線求面積
1．（24-25七年級下·河北秦皇島·階段練習）如圖，在△ABC中，分別是的中點，，則等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本題考查了三角形的面積，主要利用了三角形的中線把三角形分成兩個面積相等的三角形．
根據三角形的中線把三角形分成兩個面積相等的三角形可得，得到，，求出，得到，即可得到答案．
【詳解】解：分別是的中點，，
，
，，
，
，
故選：B．
2．（24-25七年級下·四川成都·期中）如圖所示，在△ABC中，D、E、F分別為的中點，且，則的面積等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本題主要考查了三角形的中線，根據的面積，依次得出、及的面積即可解決問題．熟知三角形的中線平分三角形面積是解題的關鍵．
【詳解】解：，且點是的中點，
．
點是的中點，
．
點為的中點，
．
故選：B．
3．（24-25八年級上·廣東廣州·階段練習）如圖，在△ABC中，點，，分別是線段，，的中點，若△ABC的面積是，則的面積是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本題考查三角形的中線，連接，，，根據三角形的中線平分面積求出，同理得到，，分割法求出的面積即可．
【詳解】如圖，連接，，，
點，，分別是線段，，的中點，
，，
，
同理，，，
，
故選：C．
4．（2025·陜西西安·模擬預測）如圖，是△ABC的邊上的中線，是的邊上的中線，是的邊上的中線，若△ABC的面積是16，則陰影部分的面積是（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
【答案】A
【分析】本題考查了中線的性質，清晰明確三角形之間的等量關系，進行等量代換是解題的關鍵．利用中線等分三角形的面積進行求解即可．
【詳解】解：是的邊上的中線，
，
是的邊上的中線，
，
是的邊上的中線，
，
由題意，可知：，均為的中線，
，
則，
故選：A．
5．（24-25七年級下·重慶·期中）如圖，在△ABC中，點是邊上一點，，連接，點是上一點，，連接，點是上一點，連接交于點，若，，則四邊形的面積是 ．
【答案】
【分析】本題考查的是等高的三角形的面積之間的關系，多項式的乘法，理解等高的兩個三角形的面積關系是解本題的關鍵，先依次求解，，，，，設，則，可得，，結合，可得，再建立方程求解即可.
【詳解】解：∵，，
∴，
∴，，
∵，
∴，，
如圖，連接，，
∵，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，，，
設，則，
∴，，
∵，
∴，
∴，
解得：，
∴四邊形的面積是：.
故答案為：
6．（24-25七年級下·內蒙古包頭·期中）如圖，已知△ABC的面積為，分別延長至點，使，延長至點，使，延長至點，使，依次連接，則陰影部分的面積為 ．
【答案】
【分析】本題考查了三角形中線的性質，連接，可得，即得，進而得到，同理可得，，再根據即可求解，掌握三角形中線的性質是解題的關鍵．
【詳解】解：如圖，連接，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
同理可得，，，
∴，
故答案為：．
7．（24-25八年級下·湖北黃石·階段練習）如圖，，，分別是△ABC的邊，，的中點，連接，，交于點，△ABC的面積為6，設的面積為，的面積為，則 ．
【答案】2
【分析】本題考查了三角形中線的性質，解題的關鍵是利用三角形中線性質找出各部分三角形面積之間的關系．
利用三角形中線平分面積性質，得出 ．根據中點及等底等高三角形面積相等，得到， ．分別表示出， ，將二者相加構建關于的等式并求解．
【詳解】∵，分別是的邊，的中點，△ABC的面積為6，
∴，．
∵是中點，是中點，的面積為，的面積為，
∴，
∴
．
∴，即，
解得．
故答案為：2．
8．（24-25六年級上·上海·階段練習）如圖，在長方形中，點是的中點，，，則的面積是長方形面積的 ．
【答案】
【分析】本題考查了分數的應用，三角形的面積公式；根據三角形的面積公式可得，，則，進而得出，即可求解．
【詳解】解：∵
∴
∴
又∵
∴
∵
∴
∴
即
故答案為：．
題型二：利用三角形的面積求高
1．（24-25七年級下·陜西西安·期中）如圖，已知、分別為△ABC的邊、的中點，連接，為的中線，連接，若，四邊形的面積為，則△ABC的邊上高長為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本題考查了三角形中線的性質，三角形的面積，連接，設，邊上高長為，由三角形中線的性質得，，即得，，進而得，，即得到，再根據四邊形的面積為得，解得，即得到，最后根據三角形面積公式計算即可求解，掌握三角形的中線性質是解題的關鍵．
【詳解】解：連接，設，邊上高長為，
∵為的中線，
∴點為的中點，
∴，，
∵點是的中點，
∴，，
∵點是的中點，
∴，，
∴，
∵四邊形的面積為，
∴，
解得，
∴，
∴，
解得，
故選：．
2.（24-25七年級下·山東棗莊·階段練習）如圖，△ABC中，，是上任意一點，于點，于點，若，則（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【分析】本題考查了三角形高的計算，掌握三角形面積的計算方法是關鍵．
根據題意得到，由此即可求解．
【詳解】解：如圖所示，連接，
∵，
∴，
，
∴，
故選：A
3．（24-25七年級下·上海·階段練習）如圖，在△ABC中，，D為中點，過點D作，，E為上一點，過點E作，，，則 ．
【答案】
【分析】本題考查了與三角形的高有關的面積計算，添加適當的輔助線，根據題意得出是解此題的關鍵．連接，，根據D為中點，得出，從而得出，根據三角形面積得出，從而得出，代入數據計算即可．
【詳解】解：如圖，連接，，
，D為中點，
∴，
∴，
∵，，
，
∴，
∵，，
∴，
解得：．
故答案為：．
4．（24-25七年級下·四川成都·期中）如圖，在△ABC中，，點D，P分別在邊，上，且，，，垂足分別為點E．F．若，，則的值 ．

【答案】6
【分析】本題主要考查了三角形的面積．根據三角形面積公式得出，再根據，得出，即可得出．
【詳解】解：∵，，，
∴，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，則，
故答案為：6．
5．（24-25七年級下·重慶·階段練習）如圖，已知中，，，，為邊上一點，，為上一點，過點作于點，于點，求的值 ．
【答案】4
【分析】本題考查了三角形的面積，先求出，然后根據即可求出的值．
【詳解】解：∵，，
∴，
∵，，
∴．
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
古答案為：4．
6．（24-25八年級上·河南省直轄縣級單位·期中）如圖，在銳角三角形中，的面積， 平分交于點，若、分別是、上的動點，則的最小值為
【答案】
【分析】本題考查三角形中的最短路徑，垂線段最短，三角形高的定義，過點作于點，解題的關鍵是理解的長度即為最小值．
【詳解】解：過點作于點，交于點，過點作于，
平分，于點，于，
，
當點與重合，點與 重合時，的最小值．
三角形的面積為，，
，
．
即的最小值為．
故答案為：．
7．（24-25七年級下·全國·課后作業）如圖，在△ABC中，，垂足分別為，，，則△ABC的邊上的高為線段 ，邊上的高為線段 ；若，則為 ．
【答案】
【分析】本題考查了三角形的高線的定義；根據三角形高的定義以及三角形的面積公式，即可求解．
【詳解】解：因為，
所以△ABC的邊上的高為線段，
因為，
所以邊上的高為線段，
因為
所以，
故答案為：，，．
題型三：三角形綜合應用之多結論問題
1．（24-25七年級下·遼寧錦州·期中）如圖，在△ABC中，，，，，是高，是中線，是角平分線，交于點G，交于點H，給出以下結論：①；②；③；④，以上說法正確的個數是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】本題考查了三角形的中線、高、角平分線；根據三角形角平分線和高的性質可確定角之間的數量關系；根據三角形的中線和面積公式可確定和的面積關系以及求出的長度，從而可得答案．
【詳解】解： 是△ABC的中線，
，
的面積等于的面積，
故正確；
，是△ABC的高，
∴ ，，
是△ABC的角平分線，
∴ ，
，
又 ，
，
故正確；
，
，
，
故正確；
∵，
，
故錯誤；
故選：C
2．（24-25七年級下·山東青島·期中）如圖，在△ABC中，，是高，是中線，是角平分線，交于點G，交于點H，給出以下結論：①；②；③；④，其中結論正確的有（ ）
A．2個 B．3個 C．4個 D．5個
【答案】B
【分析】本題考查三角形的三線，根據三角形的中線平分面積判斷①，等角的余角結合對頂角，判斷②，同角的余角，結合角平分線的定義判斷③，等積法，判斷④即可．
【詳解】解：∵是△ABC的中線，
∴，故①錯誤；
∵是△ABC的角平分線，
∴，
∵，是△ABC的高，
∴，
∴，
∵，
∴；故②正確；
∵，
∴，即：；故③正確；
∵，
∴；故④正確；
故選B．
3．（24-25八年級上·安徽蚌埠·期末）如圖，在△ABC中，是高，是中線，是角平分線，交于點G，交于點H，下面說法正確的是（ ）
①的周長的周長；②；③；④；⑤
A．①③⑤ B．①②④ C．①③④⑤ D．②③④
【答案】B
【分析】由是高，是中線，是角平分線，可得，，，，根據的周長的周長為，可判斷①的正誤；由，可得，則，，即，進而可判斷②的正誤；由，可得的面積的面積，進而可判斷③的正誤；由，可得，進而可判斷④的正誤；由，可得，解得，進而可判斷⑤的正誤．
【詳解】解：∵是高，是中線，是角平分線，
∴，，，，
∴的周長的周長為，①正確，故符合要求；
∴，則的面積的面積，③錯誤，故不符合要求；
∵，
∴，
∴，
，
∴，②正確，故符合要求；
∵，
∴，④正確，故符合要求；
∵，
∴，解得，⑤錯誤，故不符合要求，
∴①②④正確，
故選：B．
4．（23-24七年級下·廣東湛江·期末）如圖，在△ABC中，，是高，是中線，是角平分線，交于點，交于點．下面說法中：①：②；③；④．正確的是（ ）
A．①②③④ B．①②④ C．①②③ D．③④
【答案】C
【分析】本題主要考查三角形的中線，高線，角平分線，靈活運用三角形的中線，高線，角平分線的性質是解題的關鍵．
根據三角形中線的性質可證明①；根據三角形的高線可得，利用三角形外角的性質結合角平分線的定義可求解，可判定②；根據角平分線的定義可求解③；根據已知條件無法判定④．
【詳解】解：∵是△ABC的中線，
∴，
∴，故①正確；
∵是△ABC的高線，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵為的角平分線，
∴，
∵，，
∴，故②正確；
∵，
∴，
∴，故③正確；
根據已知條件無法證明，故④錯誤，
綜上所述，正確的是①②③．
故選：C．
5．（24-25八年級上·浙江杭州·期中）如圖，在分別是高和角平分線，點在的延長線上，交于，交于，下列結論：①；②；③；④，正確的序號是（ ）
A．②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④
【答案】D
【分析】本題考查了余角性質，三角形的角平分線和高，三角形外角的性質，根據等角的余角相等可證明結論①；根據角平分線的定義可證明結論②；證明，再結合①的結論可證明結論③；證明，再由，，可以證明結論④，正確識圖是解題的關鍵．
【詳解】解：如圖，設交于點，
①∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，故①正確；
②∵平分，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，故②正確；
③∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
由①得，，
∴，故③正確；
④∵，，
∴，
∵，，
∴，
∴，故④正確；
∴正確的序號是①②③④，
故選：．
題型四：三角形中三條重要線段綜合
1．（23-24七年級下·湖南長沙·階段練習）如圖，在△ABC中，E，G分別是，上的點，F，D是上的點，連接，，，，．
(1)求證：；
(2)若是的平分線，，，求的度數；
(3)若△ABC的周長為，，當中線將△ABC分成周長差為的兩部分，求的長．
【答案】(1)見解析(2)(3)或
【分析】（1）由兩直線平行，內錯角相等得出，再根據題意可得出，最后根據同旁內角互補，兩直線平行，即可得出；
（2）根據題意可求出的大小，再根據角平分線的定義，得出，最后根據三角形外角的性質，即可求出的大小；
（3）設，則，得出，，分兩種情況：當時，當時，分別列出方程，求出x的值，再求出結果即可．
【詳解】（1）證明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
（2）解：∵，，
∴，
∵是的平分線，
∴，
∵，
∴．
（3）解：∵△ABC的周長為，，
∴設，則，
∵是△ABC的中線，
∴，
則，
，
當時，，
解得：，
∴；
當時，，
解得：，
∴；
綜上可知：或．
2．（24-25八年級上·北京·期中）如圖，在△ABC中，是中線，，．
(1)求與的周長差．
(2)點E在邊上，連接，若△BDE與四邊形的周長相等，求線段的長．
【答案】(1)(2)
【分析】本題考查了三角形的中線性質，三角形周長的計算，掌握相關知識點是解題的關鍵．
（1）的周長，的周長，由中線的定義可得，即可解答；
（2）由圖可知的周長，四邊形的周長，，所以，則可解得長．
【詳解】（1）解：的周長，的周長，
∵是中線，
∴，
∴與的周長差：；
（2）解：由圖可知：的周長，四邊形的周長，
又∵的周長與四邊形的周長相等，D是的中點，
∴，，
∴，
又∵，，，
∴，
∴，
∴．
3．（24-25七年級上·山東東營·期中）如圖，在△ABC中，是△ABC的角平分線，點在邊上（不與點，重合），與交于點．
(1)若是中線，，，則與的周長差為__________．
(2)若，是角平分線，求__________．
(3)若，是高，求的度數．
【答案】(1)(2)(3)．
【分析】本題考查了三角形內角和定理，三角形角平分線的性質，三角形中線的性質等知識，掌握相關知識是解題的關鍵．
（1）由是△ABC的中線，得到，再分別求出和的周長，求差即可；
（2）由三角形內角和定理求出，再根據角平分線的性質求出，即可求解；
（3）由是△ABC的高，得到，從而得到，根據平分，得到，即可求解．
【詳解】（1）解：∵是△ABC的中線，
∴，
∵，，
∴的周長，
的周長，
∴的周長的周長，
故答案為：；
（2）解：∵，
∴，
∵、是△ABC的角平分線，
∴，，
∴，
∴，
故答案為：；
（3）解：是△ABC的高，
，
，
，即，
平分，
，即，
∴．
4．（2025八年級上·浙江·專題練習）如圖，在△ABC中，，分別是△ABC的中線和高，是的角平分線．
(1)若△ABC的面積為，，求的長；
(2)若，，求的大小．
【答案】(1)8(2)
【分析】（1）利用面積法求解即可．
（2）求出，再根據求解即可．
【詳解】（1）解：∵是的中線，，
∴．
∵是△ABC的高，△ABC的面積為80，
∴，
∴．
（2）解：∵，
∴．
在中，，，
∴．
∵是的角平分線，
∴．
∵是△ABC的高，∴，
∴．
6．（24-25八年級上·廣東廣州·期中）如圖，在△ABC中，點在邊上．
(1)若， ，求的度數；
(2)若，為△ABC的中線，的周長與的周長之比為，求的周長．
【答案】(1)；
(2)的周長為．
【分析】（）利用外角性質得出，再用三角形的內角和即可求解；
（）由，得，再根據三角形中線得性質得出，則，然后代入即可求解；
本題考查了三角形的外角性質，三角形內角和定理，中線，完全平方公式，掌握知識點的應用是解題的關鍵．
【詳解】（1）解：∵，，
∴，
∴，
（2）解：∵，
∴，
∴，
∵為△ABC的中線，
∴，
∴的周長為，的周長為，
∵的周長與的周長之比為，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴的周長為．
7．（24-25八年級上·安徽合肥·期中）如圖，，，分別是△ABC的高線，角平分線和中線，
(1)下列結論：①，②，③，④與互余，其中正確的是________（只填序號）．
(2)若，，求的度數．
(3)若，直接寫出與之間的數量關系．
【答案】(1)②③④(2)(3)
【分析】本題主要考查了三角形的角平分線、高線、中線的性質以及三角形的內角和定理，熟悉相關性質是解題的關鍵．
（1）依據分別是三角形的高線，角平分線及中線，即可得出 ， ，，據此分別判斷各選項即可；
（2）先根據三角形的內角和求出，然后分別求出和，再利用角的和差計算即可；
（3）根據題意可以用和表示出和，從而可以得到與的關系．
【詳解】（1）解：∵，，分別是的高線，角平分線，中線，
∴ ， ，，
而不一定成立，故①不正確，②正確；
∴，
∴，即與互余，④正確；
∴，,
∴，③正確；
綜上所述，正確的是：②③④，
故答案為：②③④；
（2）解：∵，，
∴，
∵，，
∴， ，
∴；
（3）解：，
理由：在△ABC中，，分別是△ABC的高和角平分線，
，，，
．
8．（24-25八年級上·廣東汕頭·期中）如圖，在△ABC中，，，，，若動點P從點C開始，按的路徑運動，且速度為，設運動的時間為．
(1)當________時，把△ABC的周長分成相等的兩部分；
(2)當t為何值時，把△ABC的面積分成相等的兩部分？
(3)當P在上運動，t為何值時，的面積為？
【答案】(1)(2)(3)
【分析】本題考查的是三角形的周長、面積的計算，明確點P的位置是解題的關鍵．
（1）先求出的周長為，所以當把△ABC的周長分成相等的兩部分時，點P在上，此時，再根據時間路程速度即可求解；
（2）根據中線的性質可知，點P在中點時，把△ABC的面積分成相等的兩部分，進而求解即可；
（3）當P在上時，根據列方程解題即可．
【詳解】（1）解：∵的周長為，
∵把△ABC的周長分成相等的兩部分，
∴，
∴當時，把△ABC的周長分成相等的兩部分，
故答案為：；
（2）當把△ABC的面積分成相等的兩部分時，
點P為的中點，
∴點P運動的路程為，
∴，
∴當時，把△ABC的面積分成相等的兩部分時；
（3）當P在上時，
∵的面積為，
∴，
解得：，
∴當時，的面積為．
1．（23-24七年級上·山東淄博·階段練習）給出下列說法正確的是（　　）
A．三角形的角平分線是射線
B．三角形的高所在的直線交于一點，這一點不在三角形內就在三角形外
C．三角形的頂點到對邊的距離是三角形的高
D．任何一個三角形都有三條高、三條中線、三條角平分線
【答案】D
【分析】本題考查的是三角形的高、角平分線，熟記它們的概念是解題的關鍵．
根據三角形的高、角平分線的概念、點到這條直線的距離的概念判斷即可．
【詳解】解：A．三角形的角平分線是線段，故本小題說法錯誤；
B．三角形的高所在的直線交于一點，這一點在三角形內或在三角形外或在三角形的一邊上，故本小題說法錯誤；
C．從三角形的一個頂點向它的對邊所在直線作垂線，頂點和垂足之間的線段叫做三角形的高．故本小題說法錯誤；
D．任何一個三角形都有三條高、三條中線、三條角平分線，說法正確；
故選：D．
2．（24-25七年級下·重慶·階段練習）如圖，、是的兩條高，，，，則的面積為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本題主要考查了三角形的面積計算，熟記面積計算公式和認識三角形的底與高是解題的根本，關鍵是列出的方程．
根據三角形的面積公式列出的方程進行解答便可．
【詳解】解：∵、是的兩條高，
∴，
又∵，，，
∴
∴，
∴，
故選：A．
3．（24-25七年級下·江蘇蘇州·期中）如圖，在△ABC中，D是邊上的中點，，，連接交于點P，則的值為（　　）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】連接，根據同高三角形的面積比等于底邊比，得到，，進而得到，推出，即可得解．
【詳解】解：連接，

∵D是邊上的中點，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
即：；
故選C．
4．（24-25七年級下·安徽宿州·期中）如圖，點，分別在，上，，垂足為點，，若，，，則點到直線的距離為（ ）
A．3 B． C． D．2
【答案】C
【分析】本題主要考查了平行線的判定與性質及點到直線的距離，熟練應用平行線的判定與性質和點到直線的距離計算方法進行計算是解決本題的關鍵．
首先證明，再證明，最后運用面積法可求出點F到直線的距離．
【詳解】解：∵，
∴，
∵，
∴,
∴，
設點F到直線的距離為h，且，，，
∴，
∴，
∴，
故選：C
5．（24-25八年級上·云南昆明·期末）如圖，在△ABC中，分別是BC邊上的高線、角平分線、中線，下列結論錯誤的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本題主要考查三角形的面積、三角形的角平分線、中線和高等知識點，掌握三角形的高線、角平分線、中線的定義及三角形面積公式是解題的關鍵．
分別根據三角形的高線、角平分線、中線的定義及三角形面積公式判斷即可．
【詳解】解：是上的高線，
，
正確，不符合題意；
是的平分線，
，
錯誤，符合題意；
是上的中線，
，
，
正確，不符合題意．
故選：B．
6．（24-25八年級上·浙江溫州·期中）如圖，是△ABC的中線，，，E，F分別是垂足．已知，，則的長度為（ ）
A．3 B．4 C．6 D．8
【答案】C
【分析】此題考查了三角形中線的性質：平分三角形的面積．
根據三角形中線的性質得到的面積的面積，然后根據三角形面積公式求解即可．
【詳解】解：是△ABC的中線，
的面積的面積，
，，
，
，
，
，
，
．
故選：C．
7．（2025九年級下·云南·學業考試）已知是△ABC邊上的中線，是的中點，若的面積為2，則△ABC的面積為（ ）
A．4 B．8 C．12 D．16
【答案】B
【分析】本題考查三角形中線的性質—中線將三角形分成面積相等的兩部分，熟練掌握以上知識點是解題的關鍵．由于是的中點，，那么和可看作等底同高的兩個三角形，根據三角形的面積公式，得出和的面積相等，進而得出的面積等于的面積的倍；同理，由于是的中點，得出的面積等于的面積的倍，據此即可求解．
【詳解】解：如圖所示，
點是的中點，的面積為2，
，
，
是邊上的中線，
，
，
故選：B．
8．（24-25七年級下·四川成都·期中）如圖，是的邊上任意一點，分別是線段的中點，且的面積為，則的面積是 ．
【答案】
【分析】本題考查了三角形中線平分面積的計算，掌握中線的性質是關鍵．
根據點是中點，得到，根據點是的中點，得到，由即可求解．
【詳解】解：∵點是中點，
∴，
∴，
∴，
∵點是的中點，
∴，
故答案為： ．
9．（24-25七年級下·全國·課后作業）如圖，在△ABC中，，邊上的中線把△ABC的周長分成60和40兩部分，和的長分別為 ．
【答案】和
【分析】本題考查了中線的定義，中線是三角形中從某邊的中點連向對角的頂點的線段．由題意可得，則，進而根據三角形中線的性質，得出，即可求解．
【詳解】解：因為是△ABC中邊上的中線，所以．
因為，所以．
因為邊上的中線把△ABC的周長分成60和40兩部分，，
所以，即，
解得，則．
故答案為：和．
10．（24-25七年級上·山東淄博·階段練習）如圖，已知，分別是△ABC的中線和高，且，，則與的周長的差為 ．的面積與的面積的關系為 ．
【答案】
【分析】本題考查了三角形的中線，熟記概念并求出兩個三角形的周長的差等于兩邊的差是解題的關鍵．
根據三角形的中線的定義可得，然后求出與的周長之差．由可得．
【詳解】解：∵為中線，
∴，
∴與的周長之差，
∵，
∴與的周長之差．
∵，
∴．
故答案為：；．
11．（23-24八年級上·四川南充·階段練習）如圖，在△ABC中，，分別是△ABC的中線和高，是的角平分線．
(1)若△ABC的面積為，，求的長；
(2)若，，求的大小．
【答案】(1)
(2)
【分析】本題考查了三角形的中線、高和角平分線，三角形的內角和定理，三角形的外角性質，解題的關鍵是掌握相關知識．
（1）由三角形的中線定理可得：，，再結合，即可求解；
（2）根據三角形的外角性質可求出，根據角平分線的定義可得，最后根據三角形的內角和定理即可求解．
【詳解】（1）解：是的中線，的面積為，
，，
，
，
；
（2），，
，
是的角平分線，
，
是△ABC的高，
，
，
．
12．（24-25七年級下·全國·期中）如圖，在△ABC中，為鈍角，以為邊作長方形．
(1)猜想：（ ）
A． B． C． D．
(2)用兩種方法證明你的猜想．
【答案】(1)C(2)見解析
【分析】本題考查三角形的面積，利用割補法表示三角形的面積是解題的關鍵．
（1）根據（2）中證明得到結論即可；
（2）方法一：過點作交延長線于點，延長、交于點，得到和四邊形為長方形，然后得到 ，計算即可解題；方法二：過點作交于點，得到，然后計算解題即可．
【詳解】（1）根據（2）中證明得到，
故選：C；
（2）方法一：將三角形面積進行表示計算
過點作交延長線于點，延長、交于點，
∵四邊形為長方形，
，
∴四邊形和四邊形為長方形，
，
∵ ，
；
方法二：利用圖形的拼接與轉化
如圖，過點作交于點，
∵四邊形是長方形，
，
，
∴ ，
．
13．（24-25八年級上·內蒙古烏海·期末）如圖，在△ABC中，是角平分線，點D在邊上（不與點A，B重合），連接交于點O．
(1)若是中線，，，則與的周長差為 ；
(2)若，，求的度數．
【答案】(1)(2)
【分析】本題主要考查了三角形的中線、高、角平分線、外角等知識點，熟練掌握相關概念是解題的關鍵．
（1）由三角形中線的概念可得，再根據三角形的周長公式進行計算，即可得出答案；
（2）由三角形的高的概念可得，由三角形角平分線的定義可得，由三角形外角的性質可得，于是得解．
【詳解】（1）解：是△ABC的中線，
，
，，
與的周長差
，
故答案為：；
（2）解：，
，
是△ABC的角平分線，，
，
．
14．（2025七年級下·全國·專題練習）【閱讀材料】
運用基本事實“同位角相等，兩直線平行”
證明“兩直線平行，同位角相等”．
已知：如圖1，直線，被直線所截，．求證：．
證明：首先，假設，那么可以過點O作直線，使得．根據“同位角相等，兩直線平行”可以得到，這樣，過點O就有兩條直線，都與平行，這與基本事實“過直線外一點有且只有一條直線與已知直線平行”矛盾．
所以假設不正確，于是．
【解決問題】
(1)仿照上面的證明方法，補全下面證明“兩條平行線之間的距離處處相等”的過程．
已知：如圖2，．求證：．
首先，假設________，將沿著直線的方向平移，使點G與點E重合，點H的對應點Q在直線上．因為，所以點Q與點F不重合．由，易得，而，同時，這與基本事實________矛盾．所以假設不正確，于是．
(2)如圖3，表示的面積，表示的面積．求證：．
(3)按照要求，畫出圖形，并簡要說明畫法．
①如圖4，過點A畫一條直線，將△ABC分割成面積相等的兩部分；
②如圖5，在△ABC中，N是上的一點（不是中點），過點N畫一條直線將△ABC分割成面積相等的兩部分．
【答案】(1)，“在同一平面內，過一點有且僅有一條直線與已知直線垂直”
(2)見解析
(3)①見解析；②見解析
【分析】該題主要考查了平行線的性質，三角形中線的性質等知識點，解題的關鍵是理解題意．
（1）由閱讀材料可求解；
（2）由兩條平行線之間的距離處處相等，可得，即可證；
（3）①取的中點D，連接，則直線即為所求；
②取的中點D，連接，過點A作，交于點M，連接，則直線即為所求直線．
【詳解】（1）解：補全證明“兩條平行線之間的距離處處相等”的過程．
假設，將沿著直線的方向平移，使點G與點E重合，點H的對應點Q在直線上．
∵，
∴點Q與點F不重合．
由，得，而，同時，這與基本事實“在同一平面內，過一點有且僅有一條直線與已知直線垂直”矛盾．所以假設不正確，于是．
故答案為：，“在同一平面內，過一點有且僅有一條直線與已知直線垂直”．
（2）證明：過點E作于點P，過點G作于點Q．
由（1）可知，．
∵，
∴．
∵．，
∴．
（3）解：①如圖1，取的中點D，連接，則直線即為所求．
②如圖2，取的中點D，連接，過點A作，交于點M，連接，則直線即為所求．
根據（2）同理可得∵，，
根據平行線間距離相等得出，
∴，
根據中線可得，
∴．
∴．

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