資源簡介

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1.5 全等三角形的判定（第二課時）
題型一：利用“SAS”作為判斷依據
1．（24-25七年級下·遼寧沈陽·階段練習）測量錐形瓶底面內徑的方案：如圖，用螺絲釘將兩根小棒的中點固定，只要測得之間的距離，就可知道錐形瓶底面內徑的長度．此方案中，判定的依據是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本題考查全等三角形的應用，根據題意，利用“”證明即可．
【詳解】解：由題意，，，又，
∴，
故選：B．
2．（24-25八年級下·福建莆田·階段練習）如圖，將兩根鋼條的中點O連在一起，使可以繞著點O自由旋轉，則的長等于內槽寬，那么判定的理由是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本題主要全等三角形的判定，由O是的中點，可得，再有對頂角相等，可以根據全等三角形的判定方法，判定．
【詳解】解：∵O是的中點，
∴，
在和中，
，
∴，
故選：B．
3．（24-25八年級上·河南鄭州·期末）如圖①是，畫，使得．如圖②是小明的畫圖過程，已知，則判定的依據是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本題考查了全等三角形的判定定理；根據判斷三角形全等即可．
【詳解】解：已知，
由作圖可知，，
∴，
故選：A．
4．（24-25八年級上·河北保定·期末）小亮設計了如下測量一池塘兩端的距離的方案：先取一個可直接到達點，的點，連接，，延長至點，延長至點，使得，，再測出的長度，即可知道，之間的距離．他設計方案的理由是（　　）
A．SAS B．AAS C．ASA D．SSS
【答案】A
【分析】本題考查了全等三角形的應用；解答本題的關鍵是設計三角形全等，巧妙地借助兩個三角形全等，尋找所求線段與已知線段之間的等量關系．根據全等三角形的判定和性質定理即可得到結論．
【詳解】解：在和中，
，
∴，
∴．
故選：A．
5．（24-25八年級上·河南駐馬店·期中）如圖，為了測量水池兩邊A，B間的距離，可以先過點A作射線，再過點B作于點D，在延長線上截取，連接，則的長就是A，B間的距離，以此來判斷的理由是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本題主要考查了全等三角形的判定．根據，，，利用判斷即可．
【詳解】解：∵，
∴，
在和中，
，
∴．
故選：B．
6．（23-24八年級上·河南鄭州·期末）如圖，欲測量內部無法到達的古塔相對兩點間的距離，可在平地上找到一個可以直接到達點和點的一點，然后延長至，使，延長至，使，則，從而通過測量的長就可得到間的距離，其全等的依據是（ ）
A．SSS B．ASA C．AAS D．SAS
【答案】D
【分析】本題考查全等三角形的判定，根據全等三角形的判定方法，進行判斷即可．
【詳解】解：在和中
，
∴；
故選D．
7．（23-24七年級下·山西運城·期末）如圖，在與中，，則可判定的根據是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本題考查了全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法（即、、、和）是解題的關鍵．根據題目所給條件結合全等三角形的判定方法解答即可．
【詳解】解：在和中，
∵，
∴．
故選B．
8．（24-25八年級上·山西臨汾·期末）據史書記載，最早的風箏是由古代匠人墨子用木頭制成的木鳥，稱為“木鳶”．后來隨著造紙術的發明．人們開始用紙張和竹條制作風箏，使其更加輕便、易于放飛．在如下圖所示的“風箏“圖案中，、、．則可以直接判定（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本題考查了全等三角形的判定，根據圖形分析利用手拉手模型解決是解題的關鍵．
根據已知條件，分析和，易得．
【詳解】解：在和中，
，
．
故選D．
題型二：利用“SAS”判斷三角形全等
1．（24-25七年級下·全國·課后作業）在和中，下列給出的條件，能用“”判定這兩個三角形全等的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本題考查三角形全等的判定方法，根據選項中所給的條件結合定理分別進行分析，可選出答案．
【詳解】解：如圖，
A、不能判定和全等，故本選項不符合題意；
B、不符合全等三角形的判定定理，故本選項不符合題意；
C、不符合全等三角形的判定定理，故本選項不符合題意；
D、可以利用判定和全等，故本選項符合題意．
故選：D．
2．（24-25八年級上·安徽馬鞍山·期末）如圖，己知，，點A、F、C、D四點在同一直線上．要利用“”來判定，下列四個條件：①；②；③；④．
可以利用的是（ ）
A．①② B．②④ C．②③ D．①④
【答案】B
【分析】本題考查了全等三角形的判定，熟練掌握利用“”來判定三角形全等是解題的關鍵．已知，即知，也就是已知兩個三角形兩邊對應相等，只要添加夾角相等的相關條件即可．
【詳解】，
，
，，
，
②正確；
，
，
根據②，即可判斷，
④正確；
添加或，均不能滿足“”，
①和③均錯誤；
可以利用的是②④．
故選：B．
3．（23-24七年級上·山東威海·期末）如圖，在中，平分，，可用“”判斷全等的是（ ）
A．和
B．和
C．和
D．以上三個選項都可以
【答案】C
【分析】本題考查了全等三角形的判定，角平分線的定義，熟練掌握全等三角形的判定定理是解題的關鍵．根據角平分線的定義得到，由全等三角形的判定定理即可得到結論．
【詳解】解：∵平分，
∴，
在與中，
，
∴，
故選：C．
4．（24-25八年級上·內蒙古烏蘭察布·期中）如圖中的四個三角形，其中與①全等的三角形是 （填序號）．
【答案】②
【分析】本題考查全等三角形的判定，根據全等三角形的判定方法，進行判斷即可．
【詳解】解：根據可以得到與①全等的三角形是②；③④中的角不是兩邊的夾角，與①不全等；
故答案為：②．
題型三：添加一個條件使得三角形全等（SAS）
1．（24-25七年級下·山東濟南·期中）如圖，在和中，，再添加一個條件就可以用“”判斷，則添加的這個條件為 ．
【答案】
【分析】本題主要考查了證明三角形全等，解題的關鍵是熟練掌握證明三角形全等的方法，添加條件根據證明三角形全等即可．
【詳解】解：∵，，
∴添加，可利用“”判斷，
故答案為：．
2．（24-25八年級上·江西上饒·期末）如圖，在和中，，，若要用“”直接證，則還需補充的條件是 ．
【答案】
【分析】本題考查直角三角形全等的判定，關鍵是掌握直角三角形全等的判定方法．由，要用“”直接證，則需要補充即可．
【詳解】解：補充，
∵，，
∴，
故答案為：．
3．（24-25八年級上·浙江杭州·期中）如圖，在和中，，，若要證明，還需要添加一個條件： ．（寫出一種即可）
【答案】（答案不唯一）
【分析】本題考查全等三角形的判定，關鍵是掌握全等三角形的判定方法： ．
由全等三角形的判定方法，即可得到答案．
【詳解】證明：在和中，
，
∴，
∴要證明，還需要添加一個條件：（答案不唯一）．
故答案為：（答案不唯一）．
4．（24-25八年級上·四川自貢·期中）如圖，點在的平分線上，若能用判定，則需添加的一個條件是
【答案】
【分析】本題考查三角形全等的判定，根據全等三角形的判定定理（在兩個三角形中，如果兩邊和它們之間的夾角分別相等，則這兩個三角形全等）即可得出結論．
【詳解】解：∵平分，
∴，
∵是公共邊，，
∴，
故答案為：．
5．（23-24八年級上·江蘇宿遷·階段練習）如圖，點、在上，，要用證，則需添加的條件為 ．
【答案】/
【分析】本題考查了全等三角形的判定，根據且證，則添加條件為，即可作答．
【詳解】解：∵運用證，且
∴添加條件為
即和中
∴
故答案為：
6．（23-24八年級上·江蘇南京·期末）如圖，已知，要用“”判定，則需要補充的一個條件為 ．
【答案】
【分析】本題主要考查對全等三角形的判定的理解和掌握，根據用“”判定，已知及公共邊，添加的條件是．
【詳解】解：添加的條件是，
理由是：在與中，
，
∴，
故答案為：．
7．（23-24八年級上·福建泉州·期末）如圖，，若不添加輔助線并利用“”判定，則可以添加的條件是 （填寫一個條件即可）
【答案】（答案不唯一）
【分析】本題考查了全等三角形的判定，根據已知圖形有一個公共角，再結合即可求解，掌握全等三角形的判定定理是解題的關鍵．
【詳解】解：添加的條件為：或（填寫一個條件即可）.
理由：當添加的條件為時，
∵，，
∴，
在和中，
∵，
∴；
當添加的條件為時，
∵，，
∴，
即，
在和中，
∵，
∴；
故答案為：或（填寫一個條件即可）．
題型四：利用“SAS”證明三角形全等（解答題）
1．（24-25八年級上·湖南永州·期中）如圖，已知點，在上，，，．求證：；
【答案】見解析
【分析】本題考查了全等三角形的判定，平行線的性質，根據平行線的性質得出，根據等式的性質得出，最后根據證明即可．
【詳解】證明：∵，
∴，
∵，
∴，
在和中，
∴
2．（24-25七年級下·全國·隨堂練習）如圖，在和中，，，，連接，．試說明：．
【答案】見解析
【分析】本題考查了全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法（即、、、和）是解題的關鍵．先證明，然后根據可證．
【詳解】解：因為，
所以，
所以．
在和中，，
所以．
3．（24-25八年級上·河南漯河·期末）如圖，在四邊形中，是對角線上一點，，，求證：．
【答案】證明見解析
【分析】本題考查全等三角形的判定與性質，熟練掌握全等三角形的判定方法是解題的關鍵．先證明得出，再證明．
【詳解】證明：在和中，
，
∴，
∴，
在和中，
，
∴．
4．（24-25八年級上·福建泉州·期中）如圖，和分別在線段的兩側，點，在線段上，，，，求證：．

【答案】見解析．
【分析】根據全等三角形的判定找出條件即可．
【詳解】∵，
∴，
∵，
∴，即，
在和中，
，
∴．
5．（2025·福建·一模）如圖，F、C是上兩點，且，點E、F、G在同一直線上，且，．求證：

【答案】見解析
【分析】根據，得出，根據，得出，即可根據證明．
【詳解】證明：∵，
∴，即，
∵，
∴，
在和中，
，
∴．
題型五：利用“SAS”證明三角形全等求角度
1．（24-25七年級下·山東濟南·期中）如圖，點B，C，D三點在同一直線上，且，，．若，則的度數為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根據得到，證明，結合三角形外角性質，計算即可．
本題考查了三角形全等的判定和性質，三角形外角性質的應用，熟練掌握三角形全等的判定和性質是解題的關鍵．
【詳解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
解得，
故選：B．
2．（24-25八年級上·遼寧鞍山·階段練習）如圖，線段，的垂直平分線交于點，且，，則的度數為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本題主要考查了線段垂直平分線的性質、全等三角形的判定與性質，解決本題的關鍵是依據全等三角形的對應角相等，以及三角形內角和定理得出結論．
【詳解】解：如下圖所示，連接，
是的垂直平分線，是的垂直平分線，
，，
，，
，
，
在中，，
在中，，
，
，
，
在和中，，
，
，
設，
則，，
，
在中，．
故選：C．
3．（2025八年級下·全國·專題練習）如圖，把兩塊大小相同的含的三角板和三角板如圖所示擺放，點D在邊上，點E在邊上，且，則的度數是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本題考查三角形內角和定理、等腰直角三角形的性質、全等三角形的判定和性質等知識，解題的關鍵是學會添加常用輔助線，構造全等三角形解決問題．
作交于，證明即可解決問題．
【詳解】作交于，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴,
∵，
∴，
∴
∵，
∴，
故選：D．
4．（24-25七年級上·遼寧大連·期末）如圖，分別在上，若，，則的度數是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本題考查全等三角形的判定和性質，三角形的外角，先證明，得到，再根據三角形的外角的性質，進行求解即可．
【詳解】解：∵，
又∵，
∴，
∴，
∴；
故選A．
5．（24-25八年級上·重慶榮昌·期末）如圖，和都是等腰直角三角形，，點在上，連接，，延長交于點，若，則的大小為（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】此題考查全等三角形的判定與性質，等腰直角三角形，三角形外角的性質，關鍵是利用證明與全等．
根據等腰直角三角形的性質得出，，進而利用證明與全等，利用全等三角形的性質和三角形外角的性質求解即可．
【詳解】解：和都是等腰直角三角形，
，，，，
在與中，
，
，
，
，
故選：A．
6．（24-25八年級上·遼寧營口·期末）如圖所示，，，，，則的度數為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本題考查三角形內角和定理，三角形全等的判定與性質，三角形外角性質，先由三角形內角和定理得出，再證明得，最后由三角形外角的定義及性質計算即可得出答案．掌握三角形的判定和性質是解題的關鍵．
【詳解】解：∵，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴的度數為．
故選：B．
7．（24-25八年級上·廣東云浮·期末）如圖，相交于點F，，，，若，則的度數是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由證明，根據全等三角形的性質求出，由平行線的性質得，則，然后由三角形外角性質即可得出結論．本題考查了全等三角形的判定與性質，平行線的性質，三角形外角性質等知識，證明三角形全等是解題的關鍵．
【詳解】解：，
，
，
在和中，
，
，
，
，
，
，
，
故選：B．
8．（2025·重慶渝中·二模）如圖，中，為邊上一點，，，，連接．若，，則 ．
【答案】/度
【分析】本題考查了全等三角形的性質與判定，三角形內角和定理的應用；根據已知可得，根據全等三角形的性質可得，根據三角形內角和定理求得，進而根據，即可求解．
【詳解】解：∵，，，
∴
∴
∵，，
∴
∴
故答案為：．
9．（24-25七年級下·重慶·期中）如圖，，，，，則 ．
【答案】/
【分析】本題考查全等三角形的判定與性質，三角形內角和定理，熟練根據題意找出全等三角形是解題的關鍵．先利用，得出，再證明，得出，再利用三角形內角和定理求出，即可求解．
【詳解】解：∵，
∴，
∴，
在與中，
，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案為：．
題型六：網格中求角度問題
1．（2025·浙江臺州·二模）如圖，在的正方形網格中，線段，的端點均在格點上，則和的數量關系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本題考查了全等三角形判定和性質，熟記全等三角形的判定定理與性質定理是解題的關鍵．
根據，可以知道，再用鄰補角定義求解即可．
【詳解】如圖
在和中
，
∴，
∴，
∵，
∵，
故選：A．
2．（2025·福建三明·二模）如圖，網格中每個小正方形的邊長相等，則的度數是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本題考查的知識點是全等三角形的判定與性質，解題關鍵是熟練掌握全等三角形的判定與性質．
利用“邊角邊”證得，由全等三角形的性質即可得解．
【詳解】解：設小正方形的邊長為，
依題得：，，，
在和中，
，
，
，
，
．
故選：．
3．（2025·江蘇揚州·一模）如圖，若與分別經過格點A、B、C，D、E、F，則與的大小關系為（ ）
A． B． C． D．無法比較
【答案】C
【分析】本題考查了網格的特點和全等三角形的判定與性質，掌握全等三角形的判定與性質是解題的關鍵．連接，取格點，連接，則，那么，由平行線的性質得到，而，即可求解．
【詳解】解：連接，取格點，連接，
由網格可得，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
故選：C．
4．（24-25八年級上·河北邯鄲·期中）如圖，在的正方形網格中，點，，，，均在小正方形的格點上，則的度數為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質，三角形的外角，熟練掌握以上知識點是解答本題的關鍵．
證明得，又，所以，最后根據外角的定義即可求出的度數．
【詳解】解：由題意知：，，，
，
，
又，
，
，
故選：C．
5．（2025·廣東茂名·模擬預測）如圖為個邊長相等的正方形的組合圖形，則的度數為（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本題考查了全等圖形，準確識圖并判斷出全等的三角形是解題的關鍵，標注字母，利用“邊角邊”證明和全等，根據全等三角形對應角相等可得，從而求出．
【詳解】解：如圖，在和中，
，
，
，
，
，
故選：B．

6．（24-25八年級上·河南周口·期末）如圖所示的網格是正方形網格，圖形的各個頂點均為格點，則的度數是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】此題主要考查了全等三角形的判定和性質，正確借助網格分析是解題關鍵．先證明，再由全等三角形的性質可得對應角，進而得出答案．
【詳解】解：如圖所示：
在和中，
，
，
，
則．
故選：B．
7．（24-25八年級上·四川宜賓·期中）如圖是由邊長相同的小正方形組成的網格，A，B，C，D，E五點均在格點上，則的度數為（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用已知證明，得出，根據鄰補角定義得出 ，即可求出結果；
本題考查了全等三角形的判定與性質，鄰補角定義，熟悉網格結構，通過觀察網格證明是解題的關鍵．
【詳解】解：在與中，
∴
∴
∵，
∴．
故選：A．
題型七：利用“SAS”證明三角形全等求線段長度
1．（24-25八年級上·遼寧大連·階段練習）如圖，為的中線，延長至D，使，連接，已知，，則與的周長差是 ．
【答案】8
【分析】本題主要考查了三角形全等的判定與性質，正確找出兩個全等三角形是解題關鍵．先證出，根據全等三角形的性質可得，再根據三角形的周長公式求解即可得．
【詳解】解：∵為的中線，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，，
∴與的周長差是
，
故答案為：8．
2．（24-25九年級上·河北廊坊·期中）如圖，在中，是中線，作，與的延長線交于點E，且，則中線的長為 ．
【答案】5
【分析】本題主要考查了三角形的中線、全等三角形的判定與性質等知識點，證得是解題的關鍵．
由三角形中線的定義可得，再運用證明可得，最后根據中線的定義即可解答．
【詳解】解：∵在中，是中線，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴．
故答案為：5．
3．（24-25八年級上·海南省直轄縣級單位·期中）如圖，中，，，，平分交于，在截取，則的長為 ，的周長為 ．
【答案】 2 7
【分析】本題考查了全等三角形的性質和判定，解題關鍵是證明．利用已知條件求解，證明，得到，從而，即可求得的周長．
【詳解】解：∵，，，，
∴，
∵平分交于，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴的周長．
故答案為：2，7．
4．（24-25八年級上·陜西西安·階段練習）如圖，在四邊形中，，，若，則的長為 ．
【答案】5
【分析】本題考查了全等三角形的判定和性質．利用證明，再利用全等三角形的性質“全等三角形的對應邊相等”即可求解．
【詳解】解：在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴．
故答案為：5．
5．（24-25八年級上·福建泉州·期末）如圖，在中，，和的角平分線交于點，若，，則點與點的距離為 ．
【答案】
【分析】本題主要考查了全等三角形的判定和性質、角平分線的定義等知識點，熟練掌握其性質并能正確添加輔助線是解決此題的關鍵．由題易得平分，進而根據得到，所以，進而再根據角平分線構造全等，在上截取，證，進而得，然后利用線段的和差運算即可得解．
【詳解】解：如圖，連接并延長，交于點，在上截取，
是和的角平分線的交點，
平分，
，，
，
，
，
平分，
，
在和中，
，
，
，，
， ，
，
，
，設，則，
，
，
，
，
，
，
故答案為：．
6．（24-25八年級上·陜西商洛·期末）如圖，與相交于點A，，，，若，則的長度是 ．
【答案】6
【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質，熟練掌握全等三角形的判定方法是解題的關鍵．由得到，再由即可證明，繼而．
【詳解】解：∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
故答案為：6．
7．（24-25七年級下·上海青浦·期末）把的中線延長到點，使，連接，如果，的周長比的周長大2，那么 ．
【答案】
【分析】本題考查了全等三角形的性質與判定，三角形中線的定義，根據題意得出，進而證明得出，即可求解．
【詳解】解：如圖
∵是的中線，
∴，
∵的周長比的周長大2，
∴，
∴
∵
∴
∵，
∴
∴
故答案為：．
題型八：全等三角形的判定綜合
1．（24-25八年級上·吉林長春·期中）如圖，在和中，，，，點C在上．
(1)求證：．
(2)若，則______°．
【答案】(1)見解析(2)
【分析】（1）根據等式的性質，可得，根據可得兩個三角形全等；
（2）根據全等三角形的性質，可得對應角相等，根據等腰三角形的性質，可得，根據等量代換，可得證明結論．
【詳解】（1）證明：，
，
即．
在和中，
，
；
（2）證明：，
，
∴．
故答案為：．
2．（24-25七年級下·山東青島·階段練習）已知點C為線段上一點，分別以，為邊在線段同側作和，且，，，直線與交于點F．
(1)如圖1，求證：；
(2)若，則 ；
(3)如圖2，若，則 ．（用含a的式子表示）
【答案】(1)見詳解(2)(3)
【分析】本題考查了全等三角形的判定及性質，三角形的外角性質等；
（1）由可判定，即可得證；
（2）由全等三角形的性質得，由三角形的外角性質得，即可求解；
（3）由全等三角形的性質得，由三角形的外角性質得，即可求解；
掌握全等三角形的判定及性質是解題的關鍵．
【詳解】（1）證明：，
，
，
在和中
，
（）；
（2）解：，
，
，
，
，
，
故答案為：；
（3）解：，
，
，
，
，
，
故答案為：．
3．（24-25七年級下·陜西咸陽·階段練習）如圖，點，分別在四邊形的邊，的延長線上，連接分別交，于點，，，，．
(1)與全等嗎？為什么？
(2)判斷線段與的位置關系，并說明理由．
【答案】(1)，見解析；
(2)，見解析．
【分析】本題主要考查了全等三角形的判定與性質、平行線的判定與性質．
根據平行線的性質可知，根據可得：，利用可證；
由可知，根據全等三角形對應角相等，可證，根據內錯角相等，兩直線平行可得：．
【詳解】（1）解：，
理由如下：
，
，
，
，
，
在和中，，
；
（2）解：，
理由如下：
由可知，，
，
．
4．（24-25七年級下·重慶北碚·期中）如圖，已知且，、是上兩點，且．
(1)求證：；
(2)若，，求的度數．
【答案】(1)見解析(2)
【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質，三角形內角和定理等知識，解題的關鍵是：
（1）根據等式的性質可得出，根據平行線的性質得出，然后根據證明即可；
（2）根據三角形內角和定理求出，根據全等三角形的性質求出，然后根據鄰補角定義求解即可．
【詳解】（1）證明：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴；
（2）解：∵，，
∴，
∵，
∴，
∴．
5．（2025·浙江金華·二模）如圖，已知，，，在同一條直線上，，，，與交于點．
(1)求證：．
(2)若，，求的度數．
【答案】(1)見解析
(2)
【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質，平行線的性質，三角形內角和定理．解題的關鍵在于對知識的熟練掌握與靈活運用．
（1）由得，根據平行線的性質求出，然后根據可證明；
（2）根據全等三角形的性質求出，由三角形內角和定理可得，根據平行線的性質可求的度數．
【詳解】（1）證明：∵，
∴，
即，
∵，
∴，
在和中，
∴；
（2）解：由（1）知，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴．
6．（2025·江蘇無錫·二模）如圖，點在的邊上，經過邊的中點，且．
(1)求證：；
(2)若，，求的長．
【答案】(1)見解析(2)1
【分析】本題考查了全等三角形的性質與判定，熟練掌握全等三角形的性質與判定是解題的關鍵．
（1）利用全等三角形的判定即可證明；
（2）利用全等三角形的性質即可求解．
【詳解】（1）證明：點是邊的中點，
，
在和中，
，
．
（2）解：由（1）得，，
，
，
．
的長為1．
7．（24-25七年級下·上海崇明·期中）如圖，四邊形中，，，，
(1)求證：；
(2)求證：；
【答案】(1)見解析
(2)見解析
【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質以及平行線的性質，熟練掌握全等三角形的判定與性質是解題的關鍵．
（1）由證明即可；
（2）由全等三角形的性質得，利用證明，根據全等三角形的性質求出，再根據角的和差得出結論．
【詳解】（1）證明：，
，
即，
在和中，
（2）證明：由（1）可知，，
，
在和中，
，
，
，
即．
8．（24-25八年級下·江西九江·期中）在等腰與等腰中，，，，連接和相交于點，交于點，交于點．
(1)求證：；
(2)求證：平分．
【答案】(1)見解析
(2)見解析
【分析】本題考查了全等三角形的判定和性質，角平分線的判定定理，熟練掌握以上知識點是解題的關鍵．
（1）利用角的和差可得，結合，，即可由證得；
（2）過點作，，由（1）可知，推出，，然后利用面積公式進而得到，根據角平線的判定定理即可判定．
【詳解】（1）證明：，
，
又，，
．
（2）證明：過點作，，如圖，
由（1）可知，
，，
，
，
又，，
平分．
9．（24-25七年級下·山東濟南·期中）在中，；在中，．證明：
①；
②連接交于點，求的度數．
【答案】①證明見解析；②
【分析】本題主要考查了全等三角形的性質與判定，三角形內角和定理，熟知全等三角形的性質與判定定理是解題的關鍵．
①先證明，再證明，即可證明；
②先由三角形內角和定理得到，再導角證明，據此可得答案．
【詳解】證明：①∵，
∴，即
在和中，
，
∴，
∴；
②∵在中，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
10．（24-25七年級下·重慶·期中）如圖，已知A、D、C、E在同一直線上，，，．
(1)求證：；
(2)連接，若，，求的度數．
【答案】(1)見解析
(2)．
【分析】本題主要考查了全等三角形的性質與判定，平行線的判定和性質，熟知全等三角形的性質與判定條件是解題的關鍵．
（1）先證明，，再利用證明即可；
（2）根據全等三角形對應角相等推出，求得，據此求解即可．
【詳解】（1）證明：∵，
∴，即，
∵，
∴，
在和中，
，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
題型一：利用“SAS”證明三角形全等求取值范圍
1．（24-25七年級下·上海·階段練習）在中，為的中點，，，則長度可以是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本題考查了全等三角形的判定和性質，三角形的三邊關系，延長至，使得，即得，可證，得到，再根據三角形三邊關系求出的取值范圍即可求解，正確作出輔助線是解題的關鍵．
【詳解】解：如圖，延長至，使得，
∴，
∵為的中點，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
即，
∴長度可以是，
故選：．
2．（24-25八年級上·上海楊浦·期中）在中，，是邊上的中線，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本題考查了全等三角形的性質和判定，三角形的三邊關系定理的應用，熟練掌握是解題的關鍵．
延長到E，使，連接，證，推出，在中，根據三角形三邊關系定理得出，代入求出即可．
【詳解】解： 延長到E，使，連接，
∵是邊上的中線，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，在中，，
∴，
∴．
故選：B．
3．（24-25八年級上·遼寧鞍山·期中）如圖，中，，，點是外角平分線上的一點，連接，，若， ，則下列關系正確的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本題考查了三角形三邊關系，全等三角形的判定和性質，角平分線的定義，熟練掌握相關知識點是解題的關鍵．
在的延長線上取，連接，根據題意得出，可證，得到，根據三角形三邊關系得出，即可得到答案．
【詳解】解：如圖，在的延長線上取，連接，
平分，
，
在和中，
，
，
在中，，
，
，
，，， ，
故選：A ．
4．（24-25八年級上·河南三門峽·期末）如圖，在中，，，是的中點，則邊上的中線的長度可能是（ ）
A．3 B．6 C．9 D．12
【答案】B
【分析】本題主要考查了全等三角形的性質與判定，三角形三邊關系的應用，延長到E，使得，連接，可證明得到，再利用三角形三邊的關系求出的長的范圍即可得到答案．
【詳解】解：如圖所示，延長到E，使得，連接，
∵是的中點，
∴，
又∵，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴四個選項中，只有B選項符合題意，
故選：B．
題型二：全等三角形中最值問題
1．（24-25八年級上·廣西玉林·期中）如下圖所示，在中，，平分，為線段上一動點，為邊上一動點，當的值最小時，的度數是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本題主要考查了角平分線的定義，三角形全等的判定和性質，垂線段最短，三角形內角和定理，直角三角形的性質，解題的關鍵是找出使最小時點P的位置．在上截取，連接，證明，得出，說明，找出當A、P、E在同一直線上，且時，最小，即最小，過點A作于點E，交于點P，根據三角形內角和，求出結果即可．
【詳解】解：在上截取，連接，如圖所示：
∵平分，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴當A、P、E在同一直線上，且時，最小，即最小，過點A作于點E，交于點P，如圖所示：
∵，，
∴，
∴，故A正確．
故選：A．
2．（24-25八年級上·浙江寧波·期中）如圖，已知直角，，，，E為中點，的角平分線交于點D，F，G分別是和上的動點，則的最小值為（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】B
【分析】本題考查了全等三角形的判定和性質，垂線段最短，解題的關鍵是熟練掌握相關性質定理，以及正確作出輔助線．
連接交于點F，過點B作于點，通過證明，得出，則當點B、F、G三點共線時，，進而得出當時，最小，再根據，求出，即可解答．
【詳解】解：連接交于點F，過點B作于點，
∵，，，
∴，
根據勾股定理可得：，
∵E為中點，
∴，
∵為的角平分線，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴當點B、F、G三點共線時，，
當時，最小，
∵，
∴，
即，
解得：，
故選：B．
3．（24-25八年級上·全國·專題練習）如圖，在中，，，，，平分交于D點，E，F分別是，上的動點，則的最小值為（ ）
A． B．5 C．3 D．
【答案】D
【分析】本題考查了軸對稱最短路線問題，解題的關鍵是根據角平分線構造全等．
利用角平分線構造全等，使兩線段可以合二為一，則的最小值即為點C到的垂線段長度，然后根據等面積法求解即可．
【詳解】解：在上取一點， 使，連接，
，
，
，
，
則最小值時垂直，
這時，，即，
解得．
∴的最小值為．
故選：D．
4．（24-25七年級下·全國·單元測試）如圖，在中，，，．如果點在的平分線所在的直線上，那么的最大值為 ．
【答案】2
【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質，三角形的三邊關系，正確作出輔助線，構造全等三角形是解題關鍵．在線段上取點，使得，證明得，再由三角形的三邊關系得，從而當，，在同一直線上時，取最大值，從而問題得解．
【詳解】如圖，在線段上取點，使得，連接．
因為點在的平分線所在的直線上，
所以．
因為，
所以，
所以，
所以．
因為，，
所以．
因為，
所以當點，，在同一直線上時，取最大值為的長，
所以，
所以的最大值為2．
故答案為：2．
5．（24-25八年級上·福建福州·期末）如圖，在四邊形中，，，連接，在射線上存在兩動點，滿足，若，當的值最小時，則 （用，表示）
【答案】/
【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質，平行線的性質，兩點之間線段最短，在上截取，連接，，證明，則，當三點共線時，的值最小，然后利用角度和差即可求解，熟練掌握知識點的應用是解題的關鍵．
【詳解】解：如圖，在上截取，連接，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴當三點共線時，的值最小，
如圖，若在上時，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
若在延長線上時，
同理可得：，
綜上可知：，
故答案為：．
6．（24-25八年級上·山東濟南·期末）如圖，在中，，，，，平分交于D點，E，F分別是，上的動點，則的最小值為 ．
【答案】
【分析】在上取一點，使，連接，判斷出，得出，進而得出當點C，E，在同一條線上，且時，最小，即最小，其值為，最后用面積法，即可求出答案．
【詳解】解：如圖，在上取一點，使，連接，作，
平分，
，
，
∴，
，
，
∴當點C，E，在同一條線上，且時，最小，即最小，其值為，
，
，
即的最小值為，
故答案為：．
題型三：全等三角形中動點問題（SAS）
1．（24-25八年級上·江蘇無錫·階段練習）已知：如圖，在長方形中，, ．延長到點E，使，連接，動點P從點B出發，以每秒2個單位的速度沿向終點A運動，設點P的運動時間為t秒，當t的值為 秒時．和全等．
【答案】2或9
【分析】本題考查了全等三角形的判定及長方形的特點，解決本題的關鍵是掌握全等三角形的判定．結合和全等分兩種情況進行討論，①當時，②當時，根據題意得出和求解，即可解題．
【詳解】解：①當時，和全等．
四邊形為長方形，
，，
，
在和中，
，
，
，
所以，
②當時，和全等．
與①同理，根據證得：，
在長方形中，， ．
，
，
，
解得．
所以，當t的值為2或9秒時．和全等．
故答案為：2或9．
2．（24-25八年級上·四川廣安·階段練習）如圖，在長方形中，，點從點出發，以的速度沿向點運動（到點停止運動），同時，點從點出發（到點停止運動），以的速度沿向點運動，當的值為 ，可以使與全等．
【答案】2.4或2
【分析】本題考查了全等三角形的判定，分兩種情況：當，時，，當，時，，分別求解即可得出答案，熟練掌握全等三角形的判定，采用分類討論的思想是解此題的關鍵．
【詳解】解：∵四邊形是長方形，
∴．
當，時，，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∴；
當，時，，
∵，，
∴，
∴，
∴；
綜上所述，的值為2.4或2．
故答案為：2.4或2．
3．（24-25八年級上·廣東汕頭·期末）如圖，在長方形中，，，延長到點E，使．動點P從點B出發，以每秒2個單位的速度沿方向向終點A運動．設點P的運動時間為t秒，當和全等時，t的值為 ．
【答案】1或7
【分析】本題主要考查了全等三角形的判定，運用分類討論思想解答是解題的關鍵．
分和兩種情況分別根據全等三角形的判定定理以及行程問題解答即可．
【詳解】解：∵四邊形是長方形，
∴，，，
∴，，
若，則當時，
根據可得，
∴，解得；
若，則當時，
根據可得，
∴，解得：．
綜上，當和全等時，t的值為1或7．
故答案為：1或7．
4．（23-24七年級下·廣東揭陽·期末）如圖，在中，已知，，AH是的高，，，直線，動點D從點C開始沿射線方向以每秒3厘米的速度運動，動點E也同時從點C開始在直線上以每秒1厘米的速度向遠離C點的方向運動，連接，經過 秒時，．
【答案】2或4
【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質，假設，根據全等三角形的對應邊相等得出，分別用含t的代數式表示和，得到關于t的方程，從而求出t的值．
【詳解】解：動點E從點C沿射線方向運動2秒或當動點E從點C沿射線的反向延長線方向運動4秒時，．
理由如下：
①當E在射線上時，D必在上，則需．如圖所示，
∵，
∴，
∴，
∵在和中，
，
∴；
②當E在的反向延長線上時，D必在延長線上，則需．如圖，
∵，
∴，
∴，
∵在和中，
，
∴．
綜上可知，當或時．
故答案為：2或4．
5．（24-25八年級上·河南信陽·期中）如圖，已知四邊形中，厘米，厘米，厘米，，點為的中點．如果點在線段上以2厘米/秒的速度由點向點運動，同時，點在線段上由點向點運動，當點的運動速度為 厘米/秒時，能夠使與全等．
【答案】2或
【分析】本題考查全等三角形的判定與性質，解題的關鍵是弄清題意，分情況進行討論．由全等三角形的判定，分兩種情況討論，當，時，，當，時，，再進一步即可解決問題．
【詳解】解：設運動的時間是秒，
（厘米），厘米，
，
當，時，，
，，運動的時間相等，
的運動速度是2厘米秒；
當，時，，
是中點，
厘米，
∵，
∴，
，
∴厘米/秒．
當點的運動速度為2厘米/秒或厘米/秒時與全等．
故答案為：2或．
6．（24-25八年級上·陜西榆林·期末）如圖，，，，點P在線段上以的速度由點A向點B運動，同時，點Q在線段上以的速度由點B向點D運動，它們運動的時間為．當 時，與全等．
【答案】1或1.5
【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質，由題意可得，，則，再分兩種情況：當，，，當，時，，分別求解即可，熟練掌握全等三角形的判定與性質是解此題的關鍵．
【詳解】解：根據題意得：，，
∴，
∵，
∴當，，，
即，，
解得：，，
當，時，，
即，，
解得：，；
綜上所述，當1或1.5時，與全等，
故答案為：1或1.5．
題型四：全等三角形中多結論問題
1．（24-25七年級下·陜西西安·期中）如圖，已知：，，，，現有下列結論：①；②；③；④．其中不正確的有（ ）
A．0個 B．1個 C．2個 D．3個
【答案】A
【分析】本題主要考查了全等三角形的判定與性質，三角形內角定理的應用，解題的關鍵是證明，根據全等三角形的性質，逐項分析判斷，即可求解．
【詳解】解：，
，故①正確
在和中，
，故②正確；
，，故③正確；
，
，
，
，故④正確；
故選：A．
2．（24-25七年級下·福建三明·期中）如圖，在和中，，，．連接，連接并延長交，于點，．若恰好平分，則下列結論不正確的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本題主要考查全等三角形的判定與性質，平行線的判定，角平分線的定義，三角形的內角和定理，證明是解題的關鍵．
利用證明可得；由全等三角形的性質，三角形的內角和定理及等腰三角形的性質可求出，即可判定；假設，根據等腰三角形的性質、三角形內角和定理求出，即可判定；根據等腰三角形的判定求出是等腰三角形．
【詳解】解：，
，
即，
在和中，
，
，
，
故選項正確，不符合題意；
，
，
，
，
平分，
，
，
，
，
，
故B選項正確，不符合題意；
假設，
，，
，
，
，，
，
，，
，
恰好平分，
，
，
（這與與交于點矛盾），
假設不成立，
故C選項不正確，符合題意；
恰好平分，
，
∵
∴，
故D選項正確，不符合題意；
故選：C．
3．（24-25八年級上·河南新鄉·期末）如圖，在和中，，連接，且與的延長線交于點，連接．下列四個結論：
①；
②；
③；
④平分．
其中正確結論的個數是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【分析】本題考查了全等三角形、角平分線、三角形內角和的知識，解題的關鍵是熟練掌握全等三角形的性質，作于點，于點，與交于點，通過證明，推導得、平分；根據三角形內角和性質，得，即可得到答案．
【詳解】如圖，作于點，于點，與交于點，
，
，即，
，
和中，
．
，
∴，
，
，①中的結論正確；
，
，②中的結論正確；
，
，
，③中的結論正確；
，
∴四邊形為正方形．
平分，④中的結論正確．
∴正確的結論有4個．
故選：D．
4．（23-24八年級上·四川南充·階段練習）如圖，在中，，以為邊，作，滿足，點E為上一點，連接，，連接．下列結論：①；②；③若，則；④．其中正確的個數是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】本題考查了全等三角形的判定及性質，熟練掌握性質定理是解題的關鍵．
延長至G，使，從而得出，進一步證明，且，利用證明，根據全等三角形的性質即可判斷②；根據線段的等量代換推導即可判斷④；設，則，根據平行線的性質，及角的計算即可得出即可判斷③；當時，可得出；時，則無法說明，即可判斷①．
【詳解】解：如圖，延長至G，使，設與交于點M，
，
，
垂直平分，
，，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，，
②是正確；
，
，
平分，
當時，，則；
當時，，則無法說明；
①是錯誤的；
設，則，
，
，
，
，
，
，
③是正確的；
，
，
，
，
④是正確的；
故選C．
5．（24-25八年級上·安徽合肥·期末）如圖，在中，以它的邊為直角邊，分別在形外作等腰直角三角形，連接．下列結論中不一定成立的是（ ）
A． B．
C．平分 D．
【答案】D
【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質，三角形內角和定理，角平分線的判定，熟練掌握全等三角形的判定是解題的關鍵．
利用證明則，即可判斷A；由于，則，而，故，即可判斷B；過點A作于點，過點A作于點，由于，則，而，故，根據角平分線的判定即可判斷C；對于D，條件不足，不能證明．
【詳解】解：由題意得，
∴，
∴，
∴，故A正確，不符合題意；
如圖：
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，故B正確，不符合題意；
如圖：過點A作于點，過點A作于點，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴平分，故C正確，不符合題意；
∵現有條件不足以證明，故D錯誤，符合題意，
故選：D．
6．（24-25八年級上·湖北黃石·期末）如圖，在中，，以為邊，作，滿足，E為上一點，連接，，連接，下列結論中：①；②；③；④．其中正確的有（ ）
A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④
【答案】C
【分析】本題考查了全等三角形的判定和性質，角平分線的性質定理，掌握全等三角形的判定和性質是解題的關鍵．如圖所示，延長到點，使得，連接，設交于點，可證，根據全等三角形的性質可判定①②④，根據角平分線的性質定理可判定③；由此即可求解．
【詳解】解：如圖所示，延長到點，使得，連接，設交于點，
∵，
∴垂直平分，
∴，，
∴，
∴，即，
在和中，
，
∴，
∴，故①正確；
∴，故②正確；
∴，即，故④正確；
∵，
∴平分，
當時，，即，
∵無法確定與的數量關系，
∴無法確定，故③錯誤；
綜上所述，正確的有①②④，
故選：C ．
7．（24-25八年級上·廣東潮州·期末）如圖，在中，D是上一點，交于E，，，則以下說法：①；②；③；④，說法正確的是（ ）
A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．②③④
【答案】C
【分析】本題考查了全等三角形的判定及性質，三角形的外角性質，平行線的判定及性質，解答時證明三角形全等是關鍵．根據條件證明得到，，，從而得證，最后根據三角形的外角性質和平行線的性質即可求解．
【詳解】解：在和中，，
，
，，，①正確，
，，
，，④正確，
∵，，
∴當時，有，這時，
但與不一定相等，
∴不一定成立，故③錯誤；
∵，，，
∴，故②正確；
綜上所述，正確的是①②④，
故選C．
題型五：全等三角形中解答題壓軸
1．（24-25八年級上·浙江金華·階段練習）已知，在四邊形中，，，分別是邊上的點．且．探究線段的數量關系．
(1)為探究上述問題，小寧先畫出了其中一種特殊情況，如圖①當，小寧探究此問題的方法是：延長到點，使，連接，請你補全小寧的解題思路：先證明________；再證明_________；即可得出線段之間的數量關系是______________________．
(2)如圖②，在四邊形中，，，分別是邊上的點，且，（1）中的結論是否仍然成立？請寫出證明過程；
(3)在四邊形中，，，分別是所在直線上的點，且．請直接寫出線段之間的數量關系．
【答案】(1)
(2)成立，理由見解析
(3)或或；
【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質，熟練掌握全等三角形的判定與性質是解題的關鍵．
（1）依據題意，補全小寧的解題思路即可；
（2）延長 到點G，使 ，連接 ，先證明，再證明，即可得出線段之間的數量關系；
（3）分三種情況討論，分別采用截長補短，先利用證明三角形全等，再進行線段的和差計算即可．
【詳解】（1）解：補全小寧的解題思路如下：
先證明；再證明；即可得出線段之間的數量關系是，
故答案為： ，，；
（2）解：（1）中的結論仍然成立，理由如下：
如圖②，延長 到點G，使 ，連接，
∵，
∴，
在 與 中，
，
∴，
∴，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴
∴ ，
在 與 中，
，
∴，
∴，
∵，
∴；
（3）解：或或，理由如下：
①，如圖：在 上截取，使 ，連接 ，
∵
∴
在 與 中，
∴
∴，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴
∴ ，
在 與 中，
，
∴，
∴，
∵，
∴；
②，如圖，在上截取，
同第一種情況，先證得，再證得，
∴ ；
③由（1）、（2）可知，；
④如圖，點 在 延長線上，點 在延長線上，此時線段之間并無直接數量關系；
綜上，線段之間的數量關系為或或．
2．（24-25七年級下·遼寧沈陽·階段練習）在等腰直角中，，點在射線上運動（不與點，重合），連接，以為直角邊作等腰直角（點與點在直線的兩側），，連接．設．
(1)如圖1，點在線段上運動．
①求的度數（用含的代數式表示）；
②用等式表示線段之間的數量關系并證明；
(2)如圖2，當點在線段的延長線上運動，直接用等式表示線段，，之間的數量關系．
【答案】(1)①；②，證明見解析
(2)
【分析】本題主要考查了全等三角形的判定與性質，角的和差計算．
（1）①先得到，再由角的和差計算即可；
②在延長線上截取，連接，先證明，再證明，再，進行線段和差計算證明即可；
（2）同上證明即可．
【詳解】（1）解：①∵，
∴，
∴，
∴；
②，
證明：在延長線上截取，連接，
∵，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）解：
在延長線上截取，連接，
∵，
∵，
∴，
∴，
∵
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
3．（23-24八年級上·河北衡水·階段練習）如圖1，在和中，．連接．
(1)求證：；
(2)將和繞點A向相反方向旋轉，如圖2，與交于點O，與交于點F．
①若，求的度數；
②連接，求證：平分；
③若G為上一點，，且，連接，直接寫出與的數量關系．
【答案】(1)見解析
(2)①；②見解析；③
【分析】（1）根據，推出，結合證明，即可得出結論；
（2）①根據，得出，根據，結合三角形內角和定理即可得出答案；
②過點A作于點M，于點N，根據，得出，證明，即可證明結論；
③連接， 證明，得出，證明，根據等腰三角形三線合一得出，根據垂直平分線的性質得出，再根據，即可求出結果．
【詳解】（1）證明：，
，
即：，
在和中，
，
，
；
（2）①解：根據解析（1）可知，，
，
，
又，
；
②證明：過點A作于點M，于點N，如圖所示：
，
，
∴，
，
平分；
③解：；理由如下：
連接，如圖3所示：
，
，
在和中，
，
，
，
，
，
即：，
，
，
在和中，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
垂直平分，
，
，
，
，
，
．
4．（24-25七年級下·陜西西安·期中）問題探究
（1）如圖①，在直線的異側有兩點，其距離為4．點為直線上的動點，則的最小值為 ；
（2）如圖②，已知邊上有一點，且滿足，過點作，并截取，連接，求證：；
問題解決
（3）某村為了美化環境，準備在一塊等腰三角形的空地上種植花卉，供居民觀賞．等腰三角形空地為如圖③所示的，其中為原本的一條小路，為種植不同種類的花卉及方便游人觀賞，還需再開發兩條小路和，其中點，點分別在上，且滿足，為節約成本，要求兩條小路的長度和最小，即最小．已知，在中，，垂足為點．那么這樣的設計要求能否達到？若能，求出當最小時的度數；若不能，請說明理由．
【答案】（1）4；（2）見解析；（3）能達到，
【分析】題目主要考查全等三角形的判定和性質，最短距離問題，理解題意，作出輔助線，結合圖形求解是解題關鍵．
（1）根據三點共線，兩點之間，線段最短即可求解；
（2）根據平行線的性質得出，再由全等三角形的判定和性質即可證明；
（3）以為邊，C為頂點，向下作，使得，連接，利用全等三角形的判定和性質得出，確定當A、F、G三點共線時，最小，結合圖形，利用各角之間關系即可求解．
【詳解】解：（1）∵兩點之間，線段最短，
∴當A、P、B三點共線時，取得最小值，
即；
（2）證明：∵ ，
∴，
∵，，
∴，
∴；
（3）以為邊，C為頂點，向下作，使得，連接，如圖所示：
∵，
∴，
∴，
∴，
當A、F、G三點共線時，最小，此時，點F位置如圖所示：
此時，，
根據題意得：，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
5．（24-25七年級下·山東濟南·期中）如圖，在中，為高線，．點E為上一點，，連接，交于點O，若．
(1)猜想線段與的位置關系，并說明理由．
(2)若動點Q從點A出發沿射線以每秒4個單位長度的速度運動，運動的時間為t秒．
①當點Q在線段上時，是否存在t的值，使得的面積為18？若存在，請求出t的值；若不存在，請說明理由；
②動點P從點O出發沿線段以每秒1個單位長度的速度向終點B運動，P，Q兩點同時出發，當點P到達點B時，P，Q兩點同時停止運動．設運動時間為t秒，點F是直線上一點，且，當與全等時，請直接寫出t的值．
【答案】(1)，理由見解析
(2)①存在的值，使得的面積為；②的值為或 4
【分析】（1）由全等三角形的性質可得，根據三角形內角和結合等式的性質可得，即可求解；
（2）①由全等三角形的性質可得，由三角形的面積公式可求解；
②分兩種情況討論，由全等三角形的判定列出等式，即可求解．
【詳解】（1）解：，理由如下：
由題意，∵為高，
，
又 ∵，
，
，
，
．
（2）解：①存在的值，使得的面積為 18 ，理由如下：
由題意，∵，
，
，
，
由（1）可知，，
，
∵在線段上，
，
解得：；
②∵，
，
、當點在線段延長線上時，如圖3，
，
，
，
∴當時，，
此時，，
解得：；
b、當點在線段上時，如圖4，
，
，
，
∴當時，，
此時，，
解得：；
綜上所述，當與全等時，的值為或 4 ．
6．（24-25七年級下·山西太原·開學考試）在學習全等三角形知識時、數學興趣小組發現這樣一個結論：它是由兩個共頂點且頂角相等的等腰三角形構成．在相對位置變化的同時，始終存在一對全等三角形．興趣小組進行了如下操作：
(1)如圖，兩個等腰三角形和中，，，，連接．此時和的數量關系是什么？并說明理由；
(2)如圖，兩個等腰三角形和中，，．連接，兩線交于點P，則 ．
【答案】(1)，理由見解析
(2)
【分析】本題主要考查了全等三角形的性質與判定，三角形內角和定理和三角形外角的性質，熟知手拉手模型證明三角形全等是解題的關鍵．
（1）先證明，再利用證明，即可證明；
（2）同理可證明，得到；由三角形內角和定理可得，則可導角證明，則由三角形外角的性質可得．-
【詳解】（1）解：，理由如下：
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴；
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
7．（24-25七年級下·山西太原·階段練習）如圖，在中，，將沿著斜邊翻折得到，點E、F分別是射線、射線上的點，且．
(1)初步探索：如圖1，點在線段上，試探究線段、、之間的數量關系．
小華同學探究此問題的思路是：延長至點，使得，連接，先證明，再證明，請你根據該思路探究、、之間的數量關系，并說明理由；
(2)探索延伸：如圖2，點在線段的延長線上，、、之間的數量關系是 ．
(3)靈活運用：在中，若，，，，則的周長為 ．
【答案】(1)，見解析
(2)
(3)16或
【分析】本題屬于幾何變換綜合題，考查了全等三角形的判定與性質，折疊的性質，三角形的周長，解決本題的關鍵是熟練掌握全等三角形的判定與性質.
（1）延長至點， 使得， 連接，證明，得出， ， 證明， 得出；
（2）在上截取， 連接， 證明，得出， ， 證明， 得出；
（3）分兩種情況，由（1）（2）的結論可得出答案．
【詳解】（1）解：
理由：延長至點，使得，連接，
∵將沿著斜邊翻折得到，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
故答案為：；
（2）解：在上截取，連接，
∵將沿著斜邊翻折得到，
，
∴，
∴，
∴， ，
，
，
，
∵，
∴，
∴；
故答案為： ；
（3）當點在線段上時， 如圖，
的周長為： ；
當點在線段的延長線上時，如圖，
的周長為：，
故答案為：或 ．
1．（23-24八年級上·山西臨汾·期末）下列命題中，是真命題的是（ ）
A．三角形的一個外角大于任何一個內角 B．有且只有一條直線與已知直線垂直
C．0的平方根、算術平方根和立方根都是0 D．兩邊和一角對應相等的兩個三角形全等
【答案】C
【分析】本題主要考查了命題與定理、全等三角形的判定、三角形的三邊關系以及外角等知識點，正確掌握相關定理是解題關鍵．
根據全等三角形的判定方法、三角形的三邊關系、三角形的外角相關知識逐項判定即可．
【詳解】解：A．三角形一個外角大于它不相鄰的任何一個內角，故此命題是假命題，不符合題意；
B．同一平面內，過一點有且只有一條直線與已知直線垂直，故此命題是假命題，不符合題意；
C．0的平方根、算術平方根和立方根都是0，故此命題為真命題，符合題意；
D．兩邊對應相等，且兩邊的夾角相等，則這兩個三角形全等，故此命題是假命題，不符合題意．
故選：C．
2．（24-25七年級下·上海·階段練習）據史書記載，最早的風箏是由古代匠人墨子用木頭制成的木鳥，稱為“木鳶”．后來隨著造紙術的發明，人們開始用紙張和竹條制作風箏，使其更加輕便、易于放飛．在如圖所示的“風箏”圖案中，、、．則不一定能得到以下哪個結論（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本題考查了全等三角形的判定，根據圖形分析利用手拉手模型解決是解題的關鍵．
根據已知條件，分析和，易得，證明A，得出，再由全等三角形的判定和性質即可證明B、C．
【詳解】解：在和中，
，
，故選項A不符合題意；
∴，
∴，即，
∵、，
∴，故選項B不符合題意；
∴，
∴，即，故選項C不符合題意；
無法證明，故選項D符合題意；
故選：D
3．（24-25七年級下·山西太原·階段練習）如圖，在的正方形網格唎，每個小正方形的頂點叫作格點，點均為格點，連接，下列說法正確的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本題主要考查了全等三角形的性質與判定，三角形外角的性質，可證明得到，由，可得，據此可判斷A；再由即可判斷B、C、D．
【詳解】解：如圖所示，取格點E，
由網格的特點可得，
∴，
∴，
∵，
∴，故A錯誤；
由網格的特點可得，
∴，，故C錯誤；
∴，，故B錯誤
∵，
∴，故D正確；
故選：D．
4．（24-25八年級上·河北石家莊·期末）要測量A，B間的距離（無法直接測出），兩位同學提供了如下測量方案：
方案Ⅰ ①如圖1，選定點O； ②連接，并延長到點C，使，連接，并延長到點D，使； ③連接，測量的長度即可． 方案Ⅱ ①如圖2，選定點O； ②連接，并分別延長到點F，E，使； ③連接，測量的長度即可．
對于方案Ⅰ，Ⅱ，下列說法正確的是（ ）
A．Ⅰ可行、Ⅱ不可行 B．Ⅰ不可行、Ⅱ可行 C．Ⅰ、Ⅱ都不可行 D．Ⅰ、Ⅱ都可行
【答案】D
【分析】本題考查了全等三角形的應用，熟練掌握全等三角形的判定和性質定理是解題的關鍵．
根據全等三角形的判定和性質定理即可得到結論．
【詳解】解：方案Ⅰ：在與中，
，
∴，
∴；
方案Ⅱ：在與中，
，
∴，
∴，
∴方案Ⅰ、Ⅱ都可行.
故選：D．
5．（24-25八年級上·山東聊城·期末）如圖，在和中，，，，在同一條直線上．下面五個條件：①；②；③；④；⑤以其中的三個作為條件，可以證明另一個成立的是（ ）
A．①②⑤ ④ B．①②④ ③
C．①③⑤ ② D．②③⑤ ①
【答案】C
【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質，熟練掌握全等三角形的判定方法是解題的關鍵．根據全等三角形的判定方法，逐項判斷選項中的三個條件能否判定和全等即可．
【詳解】解：A、由，可知，且，，由不能判定和全等，無法得到，所以無法證明，不符合題意；
B、由，，可知，，又，由不能判定和全等，無法得到，不符合題意；
C、由，，，可知，所以，可得，即，符合題意；
D、由，可知，且，，由不能判定和全等，無法得到，不符合題意；
故選：C．
6．（24-25八年級上·山東德州·期中）如圖，在中，，，，分別是，，上的點，且，．若，則的度數為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本題主要考查全等三角形的判定和性質，三角形內角和定理的運用，熟練掌握全等三角形的判定和性質是解題的關鍵；根據題意證明，再結合外角的性質可求得，再利用三角形內角和定理即可求得；
【詳解】解：在和中，
，
，
，
，
，
；
故選：B．
7．（24-25八年級上·湖北孝感·期中）是的中線，點、分別是和延長線上的點，且，分別連接、，下列結論：①，②和面積相等，③，④．其中正確的結論有（ ）
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
【答案】C
【分析】本題主要考查了全等三角形的判定與性質、等底等高的三角形的面積相等、平行線的判定等知識點，熟練掌握是解題的關鍵．
根據三角形中線的定義可得，然后利用“”證明和全等，根據全等三角形對應邊相等可得，判斷①；全等三角形對應角相等可得，再根據內錯角相等，兩直線平行可得，判斷③；根據等底同高的三角形的面積相等判斷②；最后根據點E位置不確定，與不一定相等，判斷④．
【詳解】解：∵是的中線，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
故①正確，
∴，
故③正確；
∵，點A到的距離相等，
∴和面積相等，
故②正確，
點E是上的點，位置不確定，
∴與不一定相等，
故④不正確，
綜上所述．
正確的是①②③，共3個．
故選：C．
8．（24-25八年級上·河南駐馬店·期中）如圖，在中，若，，，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本題考查三角形全等的判定和性質，三角形內角和定理．熟練掌握三角形全等的判定定理和性質定理是解題關鍵．由題意易證，即得出，，再結合三角形內角和定理可得出，從而即可求解．
【詳解】解：在和中，
，
∴，
∴，，
∴．
∵，
∴，
∴．
故選：B．
9．（24-25七年級下·廣東揭陽·階段練習）如圖所示，，，，，，則
【答案】/55度
【分析】本題考查全等三角形的判定及性質，三角形外角的性質．先由得到，即可證明，得到，再由三角形外角的性質即可解答．
【詳解】解：∵，
∴，即，
在和中，
，
∴，
∴，
∴．
故答案為：
10．（24-25七年級下·甘肅蘭州·期中）如圖，在的正方形網格中，等于 ．
【答案】/90度
【分析】本題主要考查了三角形全等的判定與性質，正確找出兩個全等三角形是解題關鍵．如圖（見解析），先證出，再根據全等三角形的性質可得，由此即可得．
【詳解】解：如圖
由題意得：，，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
故答案為：．
11．（2025九年級下·全國·專題練習）如圖，在四邊形中，，，，且，則 （用含α的代數式表示）．
【答案】
【分析】本題考查全等三角形的判定與性質，補角的性質，正確作出輔助線構造全等三角形的是解題的關鍵.
延長到點G，使，連接，證明，得，，再利用證明，得，從而解決問題．
【詳解】解：如圖，延長到點G，使，連接，
，，
，
又，，
∴，
，，
若，
則，
，
，
，
故答案為：．
12．（24-25八年級上·廣東中山·期末）如圖，小強用“X”型轉動鉗測量圓柱形小口容器壁的厚度． 已知，， 則該容器壁的厚度為 ．
【答案】1
【分析】本題考查全等三角形的應用，解題的關鍵是利用全等三角形的性質解決實際問題．
只要證明，可得，即可解決問題．
【詳解】解：在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴圓柱形容器的壁厚是，
故答案為：1．
13．（24-25八年級上·四川眉山·期中）如圖，已知四邊形中，厘米，厘米，厘米，，點E為線段的中點．如果點P在線段上以3厘米/秒的速度由B點向C點運動，同時，點Q在線段上由C點向D點運動．當點Q的運動速度為 厘米/秒時，能夠使與以C、P、Q三點所構成的三角形全等．
【答案】3或
【分析】本題考查了全等三角形的性質和判定的應用．解決問題的關鍵是掌握全等三角形的對應邊相等．分兩種情況討論，依據全等三角形的對應邊相等，即可得到點Q的運動速度．
【詳解】解：設點P運動的時間為t秒，則，，
∵，點E為線段的中點，．
∴，
∴①當，時，與全等，
此時，，
解得，
∴，
此時，點Q的運動速度為厘米/秒；
②當，時，與全等，
此時，，
解得，
∴點Q的運動速度為厘米/秒；
綜上所述，點Q的運動速度為3厘米/秒或厘米/秒時，能夠使與以C、P、Q三點所構成的三角形全等．
故答案為：或
14．（24-25七年級下·遼寧沈陽·階段練習）如圖，點和點在線段上，．
(1)求證：；
(2)判斷線段與的關系并證明．
【答案】(1)見解析
(2)平行且相等
【分析】本題考查全等三角形的性質與判定，平行線的判定，掌握知識點是解題的關鍵．
（1）根據全等三角形的性質，即可解答．
（2）．由，可得，繼而證明，即可解答．
【詳解】（1）證明：，
，
；
（2）解：．
理由如下：
，
，
，
，
，
．
15．（24-25八年級下·全國·假期作業）如圖，已知為的平分線，，點P在上，于M，于N，求證：．
【答案】見解析
【分析】本題考查了角平分線上的點到角的兩邊的距離相等的性質，全等三角形的判定與性質，確定出全等三角形并得到是解題的關鍵．根據角平分線的定義可得，然后利用“邊角邊”證明和全等，根據全等三角形對應角相等可得，推出為的角平分線，然后根據角平分線上的點到角的兩邊的距離相等證明即可．
【詳解】證明：∵為的角平分線，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴為的角平分線，
∵點P在上，，
∴．
16．（2025·吉林長春·二模）圖①、圖②、圖③均是的正方形網格，每個小正方形的頂點稱為格點，線段與的端點均在格點上．只用無刻度的直尺，在給定的網格中，分別按下列要求畫圖，保留適當的作圖痕跡，不要求寫出畫法．
(1)在圖①中找一格點，連結，使與互余；
(2)在圖②中找一格點，連結，使與互余；
(3)在圖③中找一點，連結、，使與互余．
【答案】(1)見解析
(2)見解析
(3)見解析
【分析】本題考查作圖-應用與設計作圖，互余的概念，平行線及線段的垂直平分線的性質等知識．
（1）取一格點，使即可；
（2）取一格點，使，則；
（3）兩種作法：作且；或作線段垂直平分線，；均可得符合條件的點F．
【詳解】（1）解：如圖所示，點D即為所；
，即與互余；
（2）解：如圖所示，點E即為所；
由圖可知，
∴，即與互余；
（3）解：如圖所示，點F即為所；
由圖可知，，，
∴，，
即與互余；
或
由圖可知，，，
∴，
即與互余．
17．（24-25七年級下·貴州貴陽·階段練習）如圖，已知在中，，，，為的中點，設點在線段上以的速度由點向點運動，點在線段上由點向點運動．
(1)若點運動的速度與點相同，且點，同時出發，經過1秒鐘后，___________；___________
(2)在（1）的條件下，請說明．
(3)若點同時出發，但運動的速度不相同，當點的運動速度為多少時，與全等？
【答案】(1)3；3
(2)見解析
(3)
【分析】本題考查了全等三角形的判定：熟練掌握全等三角形的5種判定方法是解決問題的關鍵；選用哪一種方法，取決于題目中的已知條件，也考查了等腰三角形的性質．
(1)根據Q點運動的速度與P點相同，且點P，Q同時出發，經過1秒鐘后，可得；；
(2)先用t表示出，當時，，，再根據等腰三角形的性質得到，于是可根據“”判斷；
(3)設點Q的運動速度為，則，由于，則當，時，根據“”可判斷，即，；當，時，根據“”可判斷．即，，然后分別解方程可得到的值．
【詳解】（1）解：Q點運動的速度與點相同，且點，Q同時出發，經過1秒鐘后，；；
故答案為：3，3；
（2）證明：由題意得：，
；
當時，，，，
點為的中點，
，
，
，
在和中，
，
；
（3）解：設點Q的運動速度，則，
，
當，時，，
即，，
解得，（舍去）；
當，時，，
即，，
解得，，
綜上所述，當點的運動速度為時，能夠使與全等．中小學教育資源及組卷應用平臺
1.5 全等三角形的判定（第二課時）
題型一：利用“SAS”作為判斷依據
1．（24-25七年級下·遼寧沈陽·階段練習）測量錐形瓶底面內徑的方案：如圖，用螺絲釘將兩根小棒的中點固定，只要測得之間的距離，就可知道錐形瓶底面內徑的長度．此方案中，判定的依據是（　　）
A． B． C． D．
2．（24-25八年級下·福建莆田·階段練習）如圖，將兩根鋼條的中點O連在一起，使可以繞著點O自由旋轉，則的長等于內槽寬，那么判定的理由是（　　）
A． B． C． D．
3．（24-25八年級上·河南鄭州·期末）如圖①是，畫，使得．如圖②是小明的畫圖過程，已知，則判定的依據是（ ）
A． B． C． D．
4．（24-25八年級上·河北保定·期末）小亮設計了如下測量一池塘兩端的距離的方案：先取一個可直接到達點，的點，連接，，延長至點，延長至點，使得，，再測出的長度，即可知道，之間的距離．他設計方案的理由是（　　）
A．SAS B．AAS C．ASA D．SSS
5．（24-25八年級上·河南駐馬店·期中）如圖，為了測量水池兩邊A，B間的距離，可以先過點A作射線，再過點B作于點D，在延長線上截取，連接，則的長就是A，B間的距離，以此來判斷的理由是（ ）
A． B． C． D．
6．（23-24八年級上·河南鄭州·期末）如圖，欲測量內部無法到達的古塔相對兩點間的距離，可在平地上找到一個可以直接到達點和點的一點，然后延長至，使，延長至，使，則，從而通過測量的長就可得到間的距離，其全等的依據是（ ）
A．SSS B．ASA C．AAS D．SAS
7．（23-24七年級下·山西運城·期末）如圖，在與中，，則可判定的根據是（ ）
A． B． C． D．
8．（24-25八年級上·山西臨汾·期末）據史書記載，最早的風箏是由古代匠人墨子用木頭制成的木鳥，稱為“木鳶”．后來隨著造紙術的發明．人們開始用紙張和竹條制作風箏，使其更加輕便、易于放飛．在如下圖所示的“風箏“圖案中，、、．則可以直接判定（ ）
A． B．
C． D．
題型二：利用“SAS”判斷三角形全等
1．（24-25七年級下·全國·課后作業）在和中，下列給出的條件，能用“”判定這兩個三角形全等的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（24-25八年級上·安徽馬鞍山·期末）如圖，己知，，點A、F、C、D四點在同一直線上．要利用“”來判定，下列四個條件：①；②；③；④．
可以利用的是（ ）
A．①② B．②④ C．②③ D．①④
3．（23-24七年級上·山東威海·期末）如圖，在中，平分，，可用“”判斷全等的是（ ）
A．和
B．和
C．和
D．以上三個選項都可以
4．（24-25八年級上·內蒙古烏蘭察布·期中）如圖中的四個三角形，其中與①全等的三角形是 （填序號）．
題型三：添加一個條件使得三角形全等（SAS）
1．（24-25七年級下·山東濟南·期中）如圖，在和中，，再添加一個條件就可以用“”判斷，則添加的這個條件為 ．
2．（24-25八年級上·江西上饒·期末）如圖，在和中，，，若要用“”直接證，則還需補充的條件是 ．
3．（24-25八年級上·浙江杭州·期中）如圖，在和中，，，若要證明，還需要添加一個條件： ．（寫出一種即可）
4．（24-25八年級上·四川自貢·期中）如圖，點在的平分線上，若能用判定，則需添加的一個條件是
5．（23-24八年級上·江蘇宿遷·階段練習）如圖，點、在上，，要用證，則需添加的條件為 ．
6．（23-24八年級上·江蘇南京·期末）如圖，已知，要用“”判定，則需要補充的一個條件為 ．
7．（23-24八年級上·福建泉州·期末）如圖，，若不添加輔助線并利用“”判定，則可以添加的條件是 （填寫一個條件即可）
題型四：利用“SAS”證明三角形全等（解答題）
1．（24-25八年級上·湖南永州·期中）如圖，已知點，在上，，，．求證：；
2．（24-25七年級下·全國·隨堂練習）如圖，在和中，，，，連接，．試說明：．
3．（24-25八年級上·河南漯河·期末）如圖，在四邊形中，是對角線上一點，，，求證：．
4．（24-25八年級上·福建泉州·期中）如圖，和分別在線段的兩側，點，在線段上，，，，求證：．

5．（2025·福建·一模）如圖，F、C是上兩點，且，點E、F、G在同一直線上，且，．求證：

題型五：利用“SAS”證明三角形全等求角度
1．（24-25七年級下·山東濟南·期中）如圖，點B，C，D三點在同一直線上，且，，．若，則的度數為（ ）
A． B． C． D．
2．（24-25八年級上·遼寧鞍山·階段練習）如圖，線段，的垂直平分線交于點，且，，則的度數為（ ）
A． B． C． D．
3．（2025八年級下·全國·專題練習）如圖，把兩塊大小相同的含的三角板和三角板如圖所示擺放，點D在邊上，點E在邊上，且，則的度數是（ ）
A． B． C． D．
4．（24-25七年級上·遼寧大連·期末）如圖，分別在上，若，，則的度數是（　　）
A． B． C． D．
5．（24-25八年級上·重慶榮昌·期末）如圖，和都是等腰直角三角形，，點在上，連接，，延長交于點，若，則的大小為（　　）
A． B． C． D．
6．（24-25八年級上·遼寧營口·期末）如圖所示，，，，，則的度數為（ ）
A． B． C． D．
7．（24-25八年級上·廣東云浮·期末）如圖，相交于點F，，，，若，則的度數是（ ）
A． B． C． D．
8．（2025·重慶渝中·二模）如圖，中，為邊上一點，，，，連接．若，，則 ．
9．（24-25七年級下·重慶·期中）如圖，，，，，則 ．
題型六：網格中求角度問題
1．（2025·浙江臺州·二模）如圖，在的正方形網格中，線段，的端點均在格點上，則和的數量關系是（ ）
A． B． C． D．
2．（2025·福建三明·二模）如圖，網格中每個小正方形的邊長相等，則的度數是（ ）
A． B． C． D．
3．（2025·江蘇揚州·一模）如圖，若與分別經過格點A、B、C，D、E、F，則與的大小關系為（ ）
A． B． C． D．無法比較
4．（24-25八年級上·河北邯鄲·期中）如圖，在的正方形網格中，點，，，，均在小正方形的格點上，則的度數為（ ）
A． B． C． D．
5．（2025·廣東茂名·模擬預測）如圖為個邊長相等的正方形的組合圖形，則的度數為（ ）

A． B． C． D．
6．（24-25八年級上·河南周口·期末）如圖所示的網格是正方形網格，圖形的各個頂點均為格點，則的度數是（ ）
A． B． C． D．
7．（24-25八年級上·四川宜賓·期中）如圖是由邊長相同的小正方形組成的網格，A，B，C，D，E五點均在格點上，則的度數為（　　）
A． B． C． D．
題型七：利用“SAS”證明三角形全等求線段長度
1．（24-25八年級上·遼寧大連·階段練習）如圖，為的中線，延長至D，使，連接，已知，，則與的周長差是 ．
2．（24-25九年級上·河北廊坊·期中）如圖，在中，是中線，作，與的延長線交于點E，且，則中線的長為 ．
3．（24-25八年級上·海南省直轄縣級單位·期中）如圖，中，，，，平分交于，在截取，則的長為 ，的周長為 ．
4．（24-25八年級上·陜西西安·階段練習）如圖，在四邊形中，，，若，則的長為 ．
5．（24-25八年級上·福建泉州·期末）如圖，在中，，和的角平分線交于點，若，，則點與點的距離為 ．
6．（24-25八年級上·陜西商洛·期末）如圖，與相交于點A，，，，若，則的長度是 ．
7．（24-25七年級下·上海青浦·期末）把的中線延長到點，使，連接，如果，的周長比的周長大2，那么 ．
題型八：全等三角形的判定綜合
1．（24-25八年級上·吉林長春·期中）如圖，在和中，，，，點C在上．
(1)求證：．
(2)若，則______°．
2．（24-25七年級下·山東青島·階段練習）已知點C為線段上一點，分別以，為邊在線段同側作和，且，，，直線與交于點F．
(1)如圖1，求證：；
(2)若，則 ；
(3)如圖2，若，則 ．（用含a的式子表示）
3．（24-25七年級下·陜西咸陽·階段練習）如圖，點，分別在四邊形的邊，的延長線上，連接分別交，于點，，，，．
(1)與全等嗎？為什么？
(2)判斷線段與的位置關系，并說明理由．
4．（24-25七年級下·重慶北碚·期中）如圖，已知且，、是上兩點，且．
(1)求證：；
(2)若，，求的度數．
5．（2025·浙江金華·二模）如圖，已知，，，在同一條直線上，，，，與交于點．
(1)求證：．
(2)若，，求的度數．
6．（2025·江蘇無錫·二模）如圖，點在的邊上，經過邊的中點，且．
(1)求證：；
(2)若，，求的長．
7．（24-25七年級下·上海崇明·期中）如圖，四邊形中，，，，
(1)求證：；
(2)求證：；
8．（24-25八年級下·江西九江·期中）在等腰與等腰中，，，，連接和相交于點，交于點，交于點．
(1)求證：；
(2)求證：平分．
9．（24-25七年級下·山東濟南·期中）在中，；在中，．證明：
①；
②連接交于點，求的度數．
10．（24-25七年級下·重慶·期中）如圖，已知A、D、C、E在同一直線上，，，．
(1)求證：；
(2)連接，若，，求的度數．
題型一：利用“SAS”證明三角形全等求取值范圍
1．（24-25七年級下·上海·階段練習）在中，為的中點，，，則長度可以是（ ）
A． B． C． D．
2．（24-25八年級上·上海楊浦·期中）在中，，是邊上的中線，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
3．（24-25八年級上·遼寧鞍山·期中）如圖，中，，，點是外角平分線上的一點，連接，，若， ，則下列關系正確的是（ ）
A． B． C． D．
4．（24-25八年級上·河南三門峽·期末）如圖，在中，，，是的中點，則邊上的中線的長度可能是（ ）
A．3 B．6 C．9 D．12
題型二：全等三角形中最值問題
1．（24-25八年級上·廣西玉林·期中）如下圖所示，在中，，平分，為線段上一動點，為邊上一動點，當的值最小時，的度數是（ ）
A． B． C． D．
2．（24-25八年級上·浙江寧波·期中）如圖，已知直角，，，，E為中點，的角平分線交于點D，F，G分別是和上的動點，則的最小值為（ ）
A． B． C．2 D．
3．（24-25八年級上·全國·專題練習）如圖，在中，，，，，平分交于D點，E，F分別是，上的動點，則的最小值為（ ）
A． B．5 C．3 D．
4．（24-25七年級下·全國·單元測試）如圖，在中，，，．如果點在的平分線所在的直線上，那么的最大值為 ．
5．（24-25八年級上·福建福州·期末）如圖，在四邊形中，，，連接，在射線上存在兩動點，滿足，若，當的值最小時，則 （用，表示）
6．（24-25八年級上·山東濟南·期末）如圖，在中，，，，，平分交于D點，E，F分別是，上的動點，則的最小值為 ．
題型三：全等三角形中動點問題（SAS）
1．（24-25八年級上·江蘇無錫·階段練習）已知：如圖，在長方形中，, ．延長到點E，使，連接，動點P從點B出發，以每秒2個單位的速度沿向終點A運動，設點P的運動時間為t秒，當t的值為 秒時．和全等．
2．（24-25八年級上·四川廣安·階段練習）如圖，在長方形中，，點從點出發，以的速度沿向點運動（到點停止運動），同時，點從點出發（到點停止運動），以的速度沿向點運動，當的值為 ，可以使與全等．
3．（24-25八年級上·廣東汕頭·期末）如圖，在長方形中，，，延長到點E，使．動點P從點B出發，以每秒2個單位的速度沿方向向終點A運動．設點P的運動時間為t秒，當和全等時，t的值為 ．
4．（23-24七年級下·廣東揭陽·期末）如圖，在中，已知，，AH是的高，，，直線，動點D從點C開始沿射線方向以每秒3厘米的速度運動，動點E也同時從點C開始在直線上以每秒1厘米的速度向遠離C點的方向運動，連接，經過 秒時，．
5．（24-25八年級上·河南信陽·期中）如圖，已知四邊形中，厘米，厘米，厘米，，點為的中點．如果點在線段上以2厘米/秒的速度由點向點運動，同時，點在線段上由點向點運動，當點的運動速度為 厘米/秒時，能夠使與全等．
6．（24-25八年級上·陜西榆林·期末）如圖，，，，點P在線段上以的速度由點A向點B運動，同時，點Q在線段上以的速度由點B向點D運動，它們運動的時間為．當 時，與全等．
題型四：全等三角形中多結論問題
1．（24-25七年級下·陜西西安·期中）如圖，已知：，，，，現有下列結論：①；②；③；④．其中不正確的有（ ）
A．0個 B．1個 C．2個 D．3個
2．（24-25七年級下·福建三明·期中）如圖，在和中，，，．連接，連接并延長交，于點，．若恰好平分，則下列結論不正確的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（24-25八年級上·河南新鄉·期末）如圖，在和中，，連接，且與的延長線交于點，連接．下列四個結論：
①；
②；
③；
④平分．
其中正確結論的個數是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
4．（23-24八年級上·四川南充·階段練習）如圖，在中，，以為邊，作，滿足，點E為上一點，連接，，連接．下列結論：①；②；③若，則；④．其中正確的個數是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
5．（24-25八年級上·安徽合肥·期末）如圖，在中，以它的邊為直角邊，分別在形外作等腰直角三角形，連接．下列結論中不一定成立的是（ ）
A． B．
C．平分 D．
6．（24-25八年級上·湖北黃石·期末）如圖，在中，，以為邊，作，滿足，E為上一點，連接，，連接，下列結論中：①；②；③；④．其中正確的有（ ）
A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④
7．（24-25八年級上·廣東潮州·期末）如圖，在中，D是上一點，交于E，，，則以下說法：①；②；③；④，說法正確的是（ ）
A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．②③④
題型五：全等三角形中解答題壓軸
1．（24-25八年級上·浙江金華·階段練習）已知，在四邊形中，，，分別是邊上的點．且．探究線段的數量關系．
(1)為探究上述問題，小寧先畫出了其中一種特殊情況，如圖①當，小寧探究此問題的方法是：延長到點，使，連接，請你補全小寧的解題思路：先證明________；再證明_________；即可得出線段之間的數量關系是______________________．
(2)如圖②，在四邊形中，，，分別是邊上的點，且，（1）中的結論是否仍然成立？請寫出證明過程；
(3)在四邊形中，，，分別是所在直線上的點，且．請直接寫出線段之間的數量關系．
2．（24-25七年級下·遼寧沈陽·階段練習）在等腰直角中，，點在射線上運動（不與點，重合），連接，以為直角邊作等腰直角（點與點在直線的兩側），，連接．設．
(1)如圖1，點在線段上運動．
①求的度數（用含的代數式表示）；
②用等式表示線段之間的數量關系并證明；
(2)如圖2，當點在線段的延長線上運動，直接用等式表示線段，，之間的數量關系．
3．（23-24八年級上·河北衡水·階段練習）如圖1，在和中，．連接．
(1)求證：；
(2)將和繞點A向相反方向旋轉，如圖2，與交于點O，與交于點F．
①若，求的度數；
②連接，求證：平分；
③若G為上一點，，且，連接，直接寫出與的數量關系．
4．（24-25七年級下·陜西西安·期中）問題探究
（1）如圖①，在直線的異側有兩點，其距離為4．點為直線上的動點，則的最小值為 ；
（2）如圖②，已知邊上有一點，且滿足，過點作，并截取，連接，求證：；
問題解決
（3）某村為了美化環境，準備在一塊等腰三角形的空地上種植花卉，供居民觀賞．等腰三角形空地為如圖③所示的，其中為原本的一條小路，為種植不同種類的花卉及方便游人觀賞，還需再開發兩條小路和，其中點，點分別在上，且滿足，為節約成本，要求兩條小路的長度和最小，即最小．已知，在中，，垂足為點．那么這樣的設計要求能否達到？若能，求出當最小時的度數；若不能，請說明理由．
5．（24-25七年級下·山東濟南·期中）如圖，在中，為高線，．點E為上一點，，連接，交于點O，若．
(1)猜想線段與的位置關系，并說明理由．
(2)若動點Q從點A出發沿射線以每秒4個單位長度的速度運動，運動的時間為t秒．
①當點Q在線段上時，是否存在t的值，使得的面積為18？若存在，請求出t的值；若不存在，請說明理由；
②動點P從點O出發沿線段以每秒1個單位長度的速度向終點B運動，P，Q兩點同時出發，當點P到達點B時，P，Q兩點同時停止運動．設運動時間為t秒，點F是直線上一點，且，當與全等時，請直接寫出t的值．
6．（24-25七年級下·山西太原·開學考試）在學習全等三角形知識時、數學興趣小組發現這樣一個結論：它是由兩個共頂點且頂角相等的等腰三角形構成．在相對位置變化的同時，始終存在一對全等三角形．興趣小組進行了如下操作：
(1)如圖，兩個等腰三角形和中，，，，連接．此時和的數量關系是什么？并說明理由；
(2)如圖，兩個等腰三角形和中，，．連接，兩線交于點P，則 ．
7．（24-25七年級下·山西太原·階段練習）如圖，在中，，將沿著斜邊翻折得到，點E、F分別是射線、射線上的點，且．
(1)初步探索：如圖1，點在線段上，試探究線段、、之間的數量關系．
小華同學探究此問題的思路是：延長至點，使得，連接，先證明，再證明，請你根據該思路探究、、之間的數量關系，并說明理由；
(2)探索延伸：如圖2，點在線段的延長線上，、、之間的數量關系是 ．
(3)靈活運用：在中，若，，，，則的周長為 ．
1．（23-24八年級上·山西臨汾·期末）下列命題中，是真命題的是（ ）
A．三角形的一個外角大于任何一個內角 B．有且只有一條直線與已知直線垂直
C．0的平方根、算術平方根和立方根都是0 D．兩邊和一角對應相等的兩個三角形全等
2．（24-25七年級下·上海·階段練習）據史書記載，最早的風箏是由古代匠人墨子用木頭制成的木鳥，稱為“木鳶”．后來隨著造紙術的發明，人們開始用紙張和竹條制作風箏，使其更加輕便、易于放飛．在如圖所示的“風箏”圖案中，、、．則不一定能得到以下哪個結論（ ）
A． B． C． D．
3．（24-25七年級下·山西太原·階段練習）如圖，在的正方形網格唎，每個小正方形的頂點叫作格點，點均為格點，連接，下列說法正確的是（ ）
A． B．
C． D．
4．（24-25八年級上·河北石家莊·期末）要測量A，B間的距離（無法直接測出），兩位同學提供了如下測量方案：
方案Ⅰ ①如圖1，選定點O； ②連接，并延長到點C，使，連接，并延長到點D，使； ③連接，測量的長度即可． 方案Ⅱ ①如圖2，選定點O； ②連接，并分別延長到點F，E，使； ③連接，測量的長度即可．
對于方案Ⅰ，Ⅱ，下列說法正確的是（ ）
A．Ⅰ可行、Ⅱ不可行 B．Ⅰ不可行、Ⅱ可行 C．Ⅰ、Ⅱ都不可行 D．Ⅰ、Ⅱ都可行
5．（24-25八年級上·山東聊城·期末）如圖，在和中，，，，在同一條直線上．下面五個條件：①；②；③；④；⑤以其中的三個作為條件，可以證明另一個成立的是（ ）
A．①②⑤ ④ B．①②④ ③
C．①③⑤ ② D．②③⑤ ①
6．（24-25八年級上·山東德州·期中）如圖，在中，，，，分別是，，上的點，且，．若，則的度數為（ ）
A． B． C． D．
7．（24-25八年級上·湖北孝感·期中）是的中線，點、分別是和延長線上的點，且，分別連接、，下列結論：①，②和面積相等，③，④．其中正確的結論有（ ）
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
8．（24-25八年級上·河南駐馬店·期中）如圖，在中，若，，，則（ ）
A． B． C． D．
9．（24-25七年級下·廣東揭陽·階段練習）如圖所示，，，，，，則
10．（24-25七年級下·甘肅蘭州·期中）如圖，在的正方形網格中，等于 ．
11．（2025九年級下·全國·專題練習）如圖，在四邊形中，，，，且，則 （用含α的代數式表示）．
12．（24-25八年級上·廣東中山·期末）如圖，小強用“X”型轉動鉗測量圓柱形小口容器壁的厚度． 已知，， 則該容器壁的厚度為 ．
13．（24-25八年級上·四川眉山·期中）如圖，已知四邊形中，厘米，厘米，厘米，，點E為線段的中點．如果點P在線段上以3厘米/秒的速度由B點向C點運動，同時，點Q在線段上由C點向D點運動．當點Q的運動速度為 厘米/秒時，能夠使與以C、P、Q三點所構成的三角形全等．
14．（24-25七年級下·遼寧沈陽·階段練習）如圖，點和點在線段上，．
(1)求證：；
(2)判斷線段與的關系并證明．
15．（24-25八年級下·全國·假期作業）如圖，已知為的平分線，，點P在上，于M，于N，求證：．
16．（2025·吉林長春·二模）圖①、圖②、圖③均是的正方形網格，每個小正方形的頂點稱為格點，線段與的端點均在格點上．只用無刻度的直尺，在給定的網格中，分別按下列要求畫圖，保留適當的作圖痕跡，不要求寫出畫法．
(1)在圖①中找一格點，連結，使與互余；
(2)在圖②中找一格點，連結，使與互余；
(3)在圖③中找一點，連結、，使與互余．
17．（24-25七年級下·貴州貴陽·階段練習）如圖，已知在中，，，，為的中點，設點在線段上以的速度由點向點運動，點在線段上由點向點運動．
(1)若點運動的速度與點相同，且點，同時出發，經過1秒鐘后，___________；___________
(2)在（1）的條件下，請說明．
(3)若點同時出發，但運動的速度不相同，當點的運動速度為多少時，與全等？

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