資源簡介

中小學教育資源及組卷應用平臺
1.5 全等三角形的判定（第三課時）
題型一：利用“ASA”或“AAS”作為判斷依據
1．（2025七年級下·全國·專題練習）如圖，小明書上的三角形被墨跡污染了一部分，他根據所學的知識很快就畫出了一個與書上完全一樣的三角形，那么小明畫圖的依據是（ ）
A． B． C． D．
2．（24-25八年級上·江蘇泰州·期末）如圖，聰聰書上的三角形被墨跡污染了一部分，他根據所學知識很快就畫了一個與書本上完全一樣的三角形，那么聰聰畫圖的依據是（　　）
A． B． C． D．
3．（24-25七年級下·河南鄭州·期中）如圖，在和中，點，，，在同一直線上，，，，則的依據是（ ）
A． B． C． D．
4．（24-25八年級上·河南許昌·階段練習）如圖，沛沛沿一段筆直的人行道行走，邊走邊欣賞風景，在由C走到D的過程中，通過隔離帶的空隙P，剛好瀏覽完對面人行道宣傳墻上的一條標語，具體信息如下：如圖，，相鄰兩平行線間的距離相等，相交于P，垂足為D．已知米．沛沛根據上述信息借助三角形的全等求出標語的長度為16米，全等的理由是（ ）
A． B． C． D．
5．（24-25七年級下·全國·課后作業）如圖，已知，垂足分別為E，F，，且，那么的依據是（ ）
A． B． C． D．
6．（24-25八年級上·遼寧大連·期末）如圖，點E在線段上，點F在線段上，．則的理論依據是（　　）
A． B． C． D．
7．（24-25八年級上·甘肅平涼·階段練習）如圖，，，判定的依據是（ ）
A． B． C． D．
題型二：破碎玻璃修復問題
1．（24-25八年級上·吉林長春·期末）小明不慎將一塊三角形的玻璃片摔碎成如圖所示的四塊，要想重新獲取一塊與原來一樣完整的玻璃片，帶去加工廠的碎片應該是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
2．（24-25八年級上·湖南益陽·期中）如圖所示，某同學把一塊三角形的模具不小心打碎成了三塊，現在要去商店配一塊與原來一樣的三角形模具，那么最省事的是帶哪一塊去（ ）
A．① B．② C．③ D．①和②
3．（24-25八年級上·湖北咸寧·期末）周末，小謙和弟弟在游玩時不慎將一塊三角形玻璃摔成四塊（如圖中標有①②③④的四塊），小明學了全等三角形的知識后，決定拿第④塊碎片去配一塊與原來大小和形狀都一樣的三角形玻璃，依據是（ ）
A． B． C． D．
4．（24-25八年級上·山東菏澤·期末）小明不慎將一塊三角形的玻璃摔碎成如圖的四塊，他帶其中的一塊去玻璃店，配了一塊與原來一樣大小的三角形玻璃．他帶的是（ ）
A．第1塊 B．第2塊 C．第3塊 D．第4塊
5．（24-25八年級上·江蘇宿遷·期中）如圖，一名工作人員不慎將一塊三角形模具打碎成四塊，他要帶其中一塊碎片到商店去配一塊與原來一樣的三角形模具，他應該帶去的是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
6．（24-25八年級上·山東德州·期中）一名工作人員不慎將一塊三角形模具打碎成了如圖所示的四塊，他需要去商店再配一塊與原來大小和形狀完全相同的模具．現只能拿能兩塊去配，其中可以配出符合要求的模具的是（ ）
A．（1）和（3） B．（3）和（4） C．（1）和（4） D．（1）和（2）
7．（24-25八年級上·河北唐山·期中）如圖，一塊三角形玻璃樣板不慎被張宇同學碰破了，成為四塊碎片．聰明的張宇經過仔細考慮認為，只要帶其中的兩塊碎片去玻璃店就可以讓工人師傅畫一塊與以前一樣的玻璃樣板．你認為下列選項中可行的是（ ）
A．帶1，2或2，3去就可以 B．帶1，4或3，4去就可以
C．帶1，4或2，3去就可以 D．帶其中的任意兩塊去都可以
題型三：添加一個條件使得三角形全等（AAS或ASA）
1．（24-25七年級下·上海松江·階段練習）如圖，，若利用證明，需添加的條件是 ．（寫出一種即可）
2．（24-25七年級下·江西贛州·階段練習）如圖，，相交于點O，，當添加條件 時，可由“角邊角”判定．
3．（24-25八年級上·新疆烏魯木齊·期末）如圖，與相交于點，，，不添加輔功線，判定的依據是 ．
4．（24-25八年級上·湖南婁底·期末）如圖，在與中，已知，在不添加任何輔助線的前提下，依據“”證明，需再添加一個條件是 ．
5．（24-25七年級下·全國·隨堂練習）如圖，點B，F，C，E在同一條直線上，并且，，當 時，．
6．（24-25八年級上·北京·期中）如圖，、交于點O，且，請添加一個條件，使得，則可以添加的條件是： ．
7．（23-24七年級下·江西景德鎮·期末）如圖， D， E是邊上的兩點，， 現要直接用“”定理來證明， 請你再添加一個條件： ．
題型四：利用“AAS或ASA”簡單證明三角形全等（解答題）
1．（2025·云南昆明·二模）如圖，，，，求證：．
2．（24-25七年級下·上海松江·階段練習）如圖．已知是邊的中線．，、與直線的交點分別為點、，請說明與全等的理由．
3．（2025·陜西西安·模擬預測）如圖，點D是的邊延長線上一點，且，過D作，且，連接交于點F，若，求證：．
4．（24-25九年級下·云南昆明·階段練習）如圖，，，，求證：．
5．（2025·云南昭通·二模）如圖，，．求證：．
6．（2025·江蘇南京·一模）如圖，在四邊形中，是邊上一點，連接，，平分，．求證：．
7．（24-25九年級下·陜西漢中·階段練習）將和如圖放置．已知，，，求證：．
題型五：利用“AAS或ASA”證明三角形全等求角度
1．（24-25七年級下·陜西渭南·期中）如圖，在三角形中，平分交于點，，過點作交于點，延長至點，連接，若，則的度數為（ ）
A． B． C． D．
2．（2025八年級下·全國·專題練習）如圖，把兩塊大小相同的含的三角板和三角板如圖所示擺放，點D在邊上，點E在邊上，且，則的度數是（ ）
A． B． C． D．
3．（24-25八年級下·陜西西安·期中）如圖，在中，，平分，過點B作于點D，若，，則的度數為 ．
4．（24-25八年級下·陜西西安·階段練習）如圖，已知：四邊形中，對角線平分，，，并且，那么的度數為 ．
題型六：利用“AAS或ASA”證明三角形全等求線段長度
1．（2025·湖南衡陽·二模）如圖，點A，B，C，D在同一條直線上，點E，F分別在直線的兩側，且，，，若，，則的長為（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
2．（2025·河南信陽·模擬預測）如圖，在四邊形中，，E為的中點，且，延長交的延長線于點F．若，，則的長為（ ）
A．11 B．12 C．13 D．14
3．（24-25七年級下·陜西西安·階段練習）如圖所示，是銳角的高，相交于點D，若，，，則的長為（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
4．（23-24八年級上·廣西河池·期末）如圖，點B，F，C，E在一條直線上，若，，，則m的值是（ ）

A．15 B．16 C．18 D．20
5．（24-25七年級下·甘肅蘭州·期中）如圖所示，在中，于D，于E，與交于點F，，則的長度為 ．
6．（24-25七年級下·上海·期中）如圖，在中，是邊的中點，是邊上一點，過點作，交的延長線于點，如果，，那么的長為 ．
7．（24-25八年級上·河北石家莊·階段練習）如圖，在中，，線段交于點，垂足分別為D，E，且．若，則的長為 ．
8．（2025七年級下·全國·專題練習）如圖，點D在上，點E在上，與相交于點O，且，，若，則 ．
題型七：利用“AAS或ASA”證明三角形全等求面積
1．（24-25七年級下·上海青浦·期末）如圖，點為內一點，平分，，連接，如果的面積為，那么的面積為 ．（用含的式子表示）
2．（24-25七年級下·山東濟南·期中）如圖，是的角平分線，，，，的面積是3，則的面積為 ．
3．（24-25七年級下·四川成都·期中）如圖，中，，，，平分，且，則與的面積和是 ．
4．（24-25九年級上·四川南充·期中）如圖，四邊形中，，，，，則四邊形的面積是
5．（24-25八年級上·湖北黃石·階段練習）如圖，的面積為，平分，于，則的面積為 ．
6．（24-25七年級下·上海·期中）在中，、是高，、相交于，，連接，，的面積為7．則的面積等于 ．
7．（23-24七年級下·廣東深圳·期中）如圖，在銳角三角形中，，，分別為的角平分線．，相交于點，平分，已知，，的面積，求的面積 ．
題型八：全等三角形的判定綜合
1．（24-25七年級下·四川成都·期末）如圖，已知：，，．
(1)求證：
(2)若，求的長．
2．（24-25七年級下·吉林·階段練習）如圖，是等腰直角三角形，，點是上一點（點不與點A、D重合），延長至點，使．
(1)求證：；
(2)求證：．
3．（2025·江蘇無錫·三模）已知：如圖，，，垂足分別為，，，相交于點，且．

(1)求證：；
(2)已知，，求的長度．
4．（24-25七年級下·陜西西安·階段練習）如圖，點A、、、在同一條直線上，點、分別在直線的兩側，且，，．
(1)求證：
(2)求證：
5．（24-25七年級下·上海·階段練習）如圖，在中，已知，平分，，
(1)若的面積是，求的面積；
(2)求證：．
6．（2025·海南·一模）如圖，點E、C、D、A在同一條直線上，，，，線段與線段交于點G．
(1)求證：；
(2)若，，求的度數．
7．（24-25七年級下·江西贛州·階段練習）如圖，點B，C，D在同一條直線上，，且．
(1)試說明．
(2)若，C是的中點，求的長．
8．（2025·內蒙古·二模）如圖，在四邊形中，，，平分，且，連接并延長，交的延長線于點．
(1)求證：平分；
(2)若的面積是，，求長．
題型九：全等三角形的判定實際應用
1．（24-25八年級下·重慶巫山·期中）如圖是高空秋千的示意圖，小明從起始位置點A處繞著點O經過最低點B．最終蕩到最高點C處，若，米，水平距離米，則點C與點B的高度差為 米．
2．（24-25七年級下·廣東深圳·期中）小麗與爸爸、媽媽在公園里蕩秋千，如圖，小麗坐在秋千的起始位置處，與地面垂直，小麗兩腳在地面上用力一蹬，媽媽在處接住她后用力一堆，爸爸在處接住她．若點距離地面的高度為，點到的距離為，點距離地面的高度是，，則點到的距離為 米．
3．（24-25八年級上·甘肅武威·階段練習）如圖，小虎用塊高度都是的相同長方體小木塊壘了兩堵與地面垂直的木墻，木墻之間剛好可以放進一個等腰直角三角板（，），則兩堵木墻之間的距離為 ．
4．（2025七年級下·全國·專題練習）如圖，在一個支架的橫桿上點O處用一根細繩懸掛一個小球A，小球A可以自由擺動，表示小球靜止時的位置．當小華用發聲物體靠近小球時，小球從擺到位置，此時過點B作于點D；當小球擺到位置時，與恰好垂直（圖中的點A，B，O，C在同一平面上），過點C作于點E．已知，細繩的長為，則的長為 ．
5．（24-25八年級上·湖北武漢·期末）如圖，為了測量一幢高樓的高度，在木棍與高樓之間選定一點，在點處用測角儀測得木棍頂端的視線與地面的夾角，測得樓頂的視線與地面的夾角，量得點到樓底的距離與木棍高度相等，都等于，量得木棍與高樓之間的距離，則高樓的高度是 ．
6．（24-25七年級下·全國·課后作業）如圖，太陽光線與是平行的，表示一棵松樹，表示一棵楊樹，同一時刻兩棵樹的影長相等．已知楊樹高，則松樹高 ．
7．（24-25七年級下·全國·課后作業）如圖，小李為了測量河的寬度，他先站在河邊的點C處，面向河對岸，壓低帽檐使視線通過帽檐正好落在河對岸的點A處，然后保持姿勢不變原地向后轉，正好看見了他所在的岸上的一塊石頭B，并測得，則河寬為 ．
8．（24-25八年級上·河南漯河·期末）蹺蹺板是兒童游樂場里常見的等臂杠桿應用．小明與小敏到游樂場玩蹺蹺板游戲，如圖，支點O是蹺蹺板的中點，兩人分別坐在蹺蹺板兩端．已知點O到地面的距離是，當小敏從水平位置下降時，小明離地面的高度是 ．
題型一：全等三角形中最值問題
1．（23-24八年級上·湖北武漢·階段練習）如圖所示，中，，M、N分別為、上動點，且，連、，當最小時，（　　）．
A．2 B． C． D．1
2．（24-25八年級上·福建·期中）如圖，在中，是的角平分線，于點．若點為動點，在點運動的過程中滿足，則的最大值為（　　）

A．28 B．24 C．14 D．7
3．（24-25七年級下·陜西西安·期中）如圖，在中，，，，D為中點，P為上的動點，連接，過點D作且，連接，則線段的最小值為 ．
4．（24-25八年級上·江西贛州·期中）如圖，在四邊形中，，連接，若P是邊上一動點，連接，則長的最小值為 ．
5．（24-25八年級上·陜西西安·階段練習）如圖，中，，，垂直于的角平分線于點，為的中點，連接交于，則、的面積之差的最大值為 ．
題型二：全等三角形中動點問題
1．（24-25七年級下·遼寧沈陽·期中）如圖，中，，，，，，，動點以的速度從點出發沿路徑向終點運動；動點以的速度從點沿向終點點運動，當一個點到達終點時，另一個點隨之停止運動，設運動時間為，則當 秒時，與全等．
2．（24-25七年級下·江蘇鹽城·階段練習）如圖，在中，，，，為邊上的高，點從點出發，在直線上以的速度移動，過點作的垂線交直線于點，當點運動 時，．
3．（24-25七年級下·廣東深圳·期中）如圖，與相交于點C，，，，點P從點A出發，沿方向以的速度運動，點Q同時從點D出發，沿方向以的速度運動，當點P到達點A時，P、Q兩點同時停止運動，設點P的運動時間為．當P，Q，C三點共線時，t的值為 ．
4．（24-25七年級下·河南·期中）如圖，，與相交于點C，，，點P從點A出發，沿方向以的速度運動，同時點Q從點D出發，沿方向以的速度運動，當點P回到點A時，P、Q兩點同時停止運動．連接，當線段經過點C時，點P的運動時間為 s．
5．（24-25八年級上·湖北荊州·期末）如圖，在中，，為邊上的高，，，點從點出發，在直線上以的速度移動，過點作的垂線交直線于點．當點運動 s時，．

6．（24-25八年級上·湖北襄陽·期末）如圖，在中，，，，為邊上的高，點從點出發，在直線上以的速度移動，過點作的垂線交直線于點，當點運動 時，．
題型三：全等三角形中多結論問題
1．（24-25七年級下·重慶·階段練習）如圖，點、、在同一直線上，在等腰中有，在等腰中有，連接和，且交于點，交于點，連接，延長至點使得，連接，交于點，交于點，且有，以下的結論中：①；②；③；④平分．其中正確結論有（ ）
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
2．（24-25八年級上·河北滄州·期末）如圖所示，在中，，點為的中點，的延長線交于點，為上的一點，與垂直，交于點，則下面判斷正確的有（　　）
①是 的平分線；②是的邊上的中線；③是 的邊上的高；④．
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
3．（24-25八年級上·湖南長沙·期末）如圖，在和中，與相交于點，與相交于點，與相交于，，，．給出下列結論：①；②；③；④．其中正確的結論是（ ）
A． B． C． D．
4．（24-25八年級上·河北秦皇島·期中）已知如圖，于點D，于點E，下列說法：①；②；③平分；④；⑤．其中一定正確的是（ ）
A．①③⑤ B．①③④ C．①②④ D．②③⑤
5．（24-25八年級上·北京石景山·期末）如圖，在中，，，是內部的射線且，過點作于點，過點作于點．給出下面四個結論：①；②；③．上述結論中，所有正確結論的序號是（　）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
6．（23-24八年級上·河北張家口·期中）如圖所示，已知，，，結論：①；②；③；④其中正確有（ ）
A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．②③④
7．（24-25八年級上·北京門頭溝·期末）如圖，在中，，，平分交于點，延長到點，使，連接交的延長線于點．給出下面四個結論：
①；②；③；④的面積是的面積的2倍；上述結論中，所有正確結論的序號是（）
A．①② B．①②③ C．①③④ D．①②③④
題型四：全等三角形中解答題壓軸
1．（24-25七年級下·四川成都·期中）（1）如圖1，在中，，，直線經過點，分別從點，向直線作垂線，垂足分別為，，求證：；
【變式探究】
（2）如圖2，在中，，直線經過點，點，分別在直線上，如果，猜想，，有何數量關系，并給予證明；
【拓展應用】
（3）小明和科技興趣小組的同學制作了一幅機器人圖案，大致圖形如圖3所示，以的邊，為一邊向外作和，其中，，，是邊上的高，延長交于點．設的面積為，的面積為，請猜想，大小關系，并說明理由．
2．（24-25七年級下·四川成都·期中）如圖①，在中，，，過點C在外作直線l，于點M，于點N．
(1)試說明：；
(2)如圖②，將（1）中條件改為（），，請問（1）中的結論是否還成立？請說明理由.
(3)如圖③，在中，點D為上一點，，，，，請直接寫出的長．
3．（24-25七年級下·四川達州·階段練習）如圖1，在中，于點D．
(1)求證：；
(2)如圖2，點E在上，連接交于點F，若，求證：平分；
(3)如圖3，在（2）的條件下，過A作，交的延長線于點G，交的延長線于點H．若的面積為40，且，求的值．
4．（24-25七年級下·陜西西安·階段練習）知識呈現：
如果一條直線（線段）把一個平面圖形的面積分成相等的兩部分，我們把這條直線（線段）稱為這個平面圖形的一條面積等分線（段）．如三角形的一條中線就是三角形的一條面積等分線段．
（1）如圖1，在中，點D為中點，若，則_____；
知識遷移：
（2）如圖2，等腰中，，D、E分別是線段，的中點，連接，，于A，交延長線于F．試說明為四邊形的面積等分線．
（3）如圖3，在中，，D、E分別是線段、上的點，且，是四邊形的一條面積等分線，求的長．
5．（2025·黑龍江哈爾濱·二模）已知：的頂點在的外部，點在直線上，且，，．
(1)如圖1，當點在線段的延長線上時，求證：；
(2)如圖2，當在線段上時，請寫出線段之間的數量關系是_____；
(3)如圖3，當在線段的延長線上時，請寫出線段之間的數量關系是_____．
1．（2025·河北張家口·二模）為測量校園內的旗桿的高度，嘉嘉設計的方案是：如圖，在距旗桿底端水平距離為的處，使用測角儀測得，由于75°角不方便計算，淇淇提出了一種解決問題的方案：在的延長線上取一點，將一根木棒豎直立在地面上的點處，，此時測得，故淇淇得出結論，進而推得，則下列選項中淇淇證明全等用到的依據可能是（ ）
A． B． C． D．
2．（24-25八年級下·全國·假期作業）如圖，垂直的平分線于點、為中點，連接，若的面積為4，則的面積為（ ）

A．1 B．2 C． D．3
3．（2025·山東聊城·二模）在中，作的平分線交于點D，作的垂直平分線分別交于點E，交于點F，連接，，得到四邊形．若，則四邊形的周長為（ ）
A．16 B． C． D．
4．（2025·福建·一模）已知，在中，，點在邊的延長線上，沿平移線段得到線段．已知點在邊上，當時，是以為斜邊的等腰直角三角形，則線段的長是（ ）
A．1 B． C．2 D．
5．（24-25八年級上·安徽六安·期中）在中，，，，在上取一點，使，過點作交的延長線于點，若，則（ ）．
A． B． C． D．
6．（24-25八年級上·上海·期中）已知，在中，，，垂足為點H，平分，與相交于點D，過點D作，與邊相交于點E，那么下列結論中一定正確的是（ ）
A． B．
C． D．
7．（2024·廣東河源·一模）某校八年級學生到野外活動，為測量一池塘兩端A，B的距離，甲、乙兩位同學分別設計出如下兩種方案：
甲方案 乙方案
如圖1，先在平地取一個可直接到達A，B的點C，再連接，，并分別延長至，至，使，，最后測出的長即為A，B的距離． 如圖2，過點作，再由點觀測，在的延長線上取一點，使，這時只要測出的長即為A，B的距離．
下列說法正確的是（ ）
A．甲的方案可行，乙的方案不可行
B．甲的方案不可行，乙的方案可行
C．甲、乙的方案均可行
D．甲、乙的方案均不可行
8．（24-25九年級上·山東德州·期末）如圖，已知是的中線，是的中線，交的延長線于點E．若的面積為3，則的面積是（ ）
A．3 B．6 C．12 D．24
9．（24-25八年級上·內蒙古烏蘭察布·期末）如圖，在中，，的角平分線，相交于點，過作交的延長于點，交于點，給出下列結論：①；②；③；④．其中正確的有（ ）

A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
10．（2025七年級下·河南鄭州·專題練習）如圖，，且，且，，請按照圖中所標注的數據，計算圖中實線所圍成的圖形的面積是 ．
11．（24-25七年級下·陜西西安·期中）用四塊大正方形地磚和一塊小正方形地磚拼成如圖所示的實線圖案，每塊大正方形地磚面積為12，小正方形地磚面積為4，虛線依次連接四塊大正方形地磚的中心得到正方形，則正方形的面積為 ．
12．（24-25八年級上·福建泉州·期末）如圖，在中，，AD是中線，若，于點F，則的值是 ．
13．（24-25八年級上·廣東廣州·期末）如圖，在中，點M在邊上，，垂足為N，平分，的周長為18，，則的周長為 ．
14．（24-25七年級下·上海青浦·期末）如圖，在中，，過點作，且，過點作，垂足為點，求線段的長．
15．（24-25七年級下·重慶·期中）如圖，已知點C、E、F、B在同一直線上，，，，求證：．完成下面的說理過程（填空）．
證明：∵（已知）
∴（ ①）
∵（ ②）
∴ ③ ④
即 ⑤
在和中
∴（ ⑧）
∴ ⑨（ ⑩）
16．（24-25七年級下·陜西咸陽·階段練習）某中學幾名同學想利用所學知識測量某段渭河的寬度（寬度一定），測量方案：尋找對岸河邊一棵樹的位置記作點A，在該岸邊尋找點，使垂直于河岸，因河邊不安全，幾名同學在該岸同側平地上取點，使三點在同一直線上，且，測得，再在的延長線上取一點，使，這時測得的長就是該段渭河的寬度．你認為這幾名同學的測量方案可行嗎？請說明理由．
17．（2025·河北滄州·模擬預測）【發現】如圖1，線段，，相交于點，為的中點．求證： ；
【應用】如圖2，有一塊不規則的土地，，點，分別在和上，以為分割線，把土地分給了甲、乙二人，現經甲、乙二人協商，想把分割線變為最短，且保證甲、乙二人的土地面積不變，請給出你的方案，并證明方案的正確性．
18．（24-25七年級下·四川成都·期中）在中，，，點為射線上一動點（點不與點重合），連接，以為直角邊在的右側作等腰直角，．
(1)如圖1，當點在線段上時，過點作于，求的長度；
(2)連接，交直線于點，
①如圖2，當點運動到的延長線上時，求證：；
②點在運動過程中，若，請直接寫出的長．中小學教育資源及組卷應用平臺
1.5 全等三角形的判定（第三課時）
題型一：利用“ASA”或“AAS”作為判斷依據
1．（2025七年級下·全國·專題練習）如圖，小明書上的三角形被墨跡污染了一部分，他根據所學的知識很快就畫出了一個與書上完全一樣的三角形，那么小明畫圖的依據是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本題考查三角形全等的判定；
根據即可解答．
【詳解】解：有圖形可以看到這個三角形還能明顯看到的條件為兩個角和一條邊，且是兩角及其夾邊，因此符合．
故選D．
2．（24-25八年級上·江蘇泰州·期末）如圖，聰聰書上的三角形被墨跡污染了一部分，他根據所學知識很快就畫了一個與書本上完全一樣的三角形，那么聰聰畫圖的依據是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本題考查了三角形全等的判定的實際運用，熟練掌握判定定理并靈活運用是解題的關鍵．
根據圖象，三角形有兩角和它們的夾邊是完整的，所以可以根據“角邊角”畫出．
【詳解】解：根據題意，三角形的兩角和它們的夾邊是完整的，所以可以利用“角邊角”定理作出完全一樣的三角形．
故選：C．
3．（24-25七年級下·河南鄭州·期中）如圖，在和中，點，，，在同一直線上，，，，則的依據是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本題考查了全等三角形的判定，平行線的判定和性質，根據全等三角形的判定定理判斷是解題的關鍵．
根據題中的條件推理出全等三角形的判定依據，即可求解；
【詳解】解：，
，
在和中，
，
；
則的依據是；
故選：D
4．（24-25八年級上·河南許昌·階段練習）如圖，沛沛沿一段筆直的人行道行走，邊走邊欣賞風景，在由C走到D的過程中，通過隔離帶的空隙P，剛好瀏覽完對面人行道宣傳墻上的一條標語，具體信息如下：如圖，，相鄰兩平行線間的距離相等，相交于P，垂足為D．已知米．沛沛根據上述信息借助三角形的全等求出標語的長度為16米，全等的理由是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本題主要考查了平行線的性質和全等三角形的判定及性質定理，綜合運用各定理是解答此題的關鍵．由，利用平行線的性質可得，利用定理可得，，由全等三角形的性質可得結果，可得出答案．
【詳解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∵，相鄰兩平行線間的距離相等，
∴，
在與中，
∴，
∴（米），
故選：A．
5．（24-25七年級下·全國·課后作業）如圖，已知，垂足分別為E，F，，且，那么的依據是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本題考查了平行線的性質、全等三角形的判定定理，先由得到，然后由、得到，再結合即可得到的理由，解題的關鍵是熟知平行線的性質和全等三角形的判定定理．
【詳解】解：，
，
，，
，
，
的理由為，
故選：D．
6．（24-25八年級上·遼寧大連·期末）如圖，點E在線段上，點F在線段上，．則的理論依據是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本題考查了全等三角形的判定：熟練掌握全等三角形的5種判定方法是解決問題的關鍵；選用哪一種方法，取決于題目中的已知條件．
由于，加上為公共角，所以根據全等三角形的判定方法可對各選項進行判斷．
【詳解】解：在和中，
，
∴．
故選：C．
7．（24-25八年級上·甘肅平涼·階段練習）如圖，，，判定的依據是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本題主要考查了全等三角形的判定，發現隱含條件是解題的關鍵．
由已知條件可得、，再結合隱含條件即可解答．
【詳解】解：在和中，
已知，，，
所以運用判定．
故選：D．
題型二：破碎玻璃修復問題
1．（24-25八年級上·吉林長春·期末）小明不慎將一塊三角形的玻璃片摔碎成如圖所示的四塊，要想重新獲取一塊與原來一樣完整的玻璃片，帶去加工廠的碎片應該是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
【答案】A
【分析】本題考查三角形全等的判定，關鍵是掌握判定兩個三角形全等的一般方法有：．根據三角形全等判定的條件可直接選出答案．
【詳解】②、③、④塊玻璃不同時具備包括一完整邊在內的三個證明全等的要素，所以不能帶它們去，只有第①塊有完整的兩角及夾邊，符合，滿足題目要求的條件，是符合題意的．
故選：A
2．（24-25八年級上·湖南益陽·期中）如圖所示，某同學把一塊三角形的模具不小心打碎成了三塊，現在要去商店配一塊與原來一樣的三角形模具，那么最省事的是帶哪一塊去（ ）
A．① B．② C．③ D．①和②
【答案】C
【分析】本題考查全等三角形的判定，根據全等三角形的判定方法，進行判斷即可．
【詳解】解：由圖可知，③中有兩個完整的角和它們的夾邊，利用可以得到唯一三角形，故最省事的是帶③去；
故選C．
3．（24-25八年級上·湖北咸寧·期末）周末，小謙和弟弟在游玩時不慎將一塊三角形玻璃摔成四塊（如圖中標有①②③④的四塊），小明學了全等三角形的知識后，決定拿第④塊碎片去配一塊與原來大小和形狀都一樣的三角形玻璃，依據是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】此題主要考查了全等三角形的應用，判定兩個三角形全等的一般方法有：，，，，做題時要根據已知條件進行選擇運用．
【詳解】解：④號玻璃，不但保留了原三角形的兩個角還保留了其中一個邊，符合全等三角形判定．
故選：C．
4．（24-25八年級上·山東菏澤·期末）小明不慎將一塊三角形的玻璃摔碎成如圖的四塊，他帶其中的一塊去玻璃店，配了一塊與原來一樣大小的三角形玻璃．他帶的是（ ）
A．第1塊 B．第2塊 C．第3塊 D．第4塊
【答案】B
【分析】此題考查全等三角形的應用，解題關鍵在于掌握判定定理．本題應先假定選擇哪塊，再對應三角形全等判定的條件進行驗證．
【詳解】解：1、3、4塊玻璃不同時具備包括一完整邊在內的三個證明全等的要素，所以不能帶它們去，
只有第2塊有完整的兩角及夾邊，符合ASA，滿足題目要求的條件，是符合題意的.
故選：B．
5．（24-25八年級上·江蘇宿遷·期中）如圖，一名工作人員不慎將一塊三角形模具打碎成四塊，他要帶其中一塊碎片到商店去配一塊與原來一樣的三角形模具，他應該帶去的是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
【答案】D
【分析】本題考查了全等三角形的判定和性質，掌握全等三角形的判定方法，結合實際情況分析即可求解．
根據題意，運用邊角邊判定①，結合邊長無法確定得出結論；根據②③的特點，無法得到一塊與原來一樣的三角形模具，由角邊角判定④，即可求解．
【詳解】解：∵可以運用邊角邊判定三角形全等，但①中角的兩邊可以無限延長，無法判定邊長，
故A選項不符合題意；
②③不具備邊角的關系，無法得到與原來一樣的三角形，故B、C選項不符合題意；
可以運用角邊角的方法判定三角形全等，④中的兩邊延長可以交于一點，得到三角形，
故他要帶碎片④到商店去配一塊與原來一樣的三角形模具，
故選：D ．
6．（24-25八年級上·山東德州·期中）一名工作人員不慎將一塊三角形模具打碎成了如圖所示的四塊，他需要去商店再配一塊與原來大小和形狀完全相同的模具．現只能拿能兩塊去配，其中可以配出符合要求的模具的是（ ）
A．（1）和（3） B．（3）和（4） C．（1）和（4） D．（1）和（2）
【答案】D
【分析】本題考查全等三角形的判定，根據，可以確定唯一三角形，進行判斷即可．
【詳解】解：由圖可知：（1）和（2）或（2）和（4）可以組成兩個完整的角和兩個角的夾邊，根據，可以確定唯一三角形，符合題意；其他組合均不能得到唯一三角形，
故選D．
7．（24-25八年級上·河北唐山·期中）如圖，一塊三角形玻璃樣板不慎被張宇同學碰破了，成為四塊碎片．聰明的張宇經過仔細考慮認為，只要帶其中的兩塊碎片去玻璃店就可以讓工人師傅畫一塊與以前一樣的玻璃樣板．你認為下列選項中可行的是（ ）
A．帶1，2或2，3去就可以 B．帶1，4或3，4去就可以
C．帶1，4或2，3去就可以 D．帶其中的任意兩塊去都可以
【答案】B
【分析】本題考查三角形全等的判定定理解決實際問題，讀懂題意，由題中圖形，恰當選擇三角形全等的判定定理即可得到答案，熟練掌握兩個三角形全等的判定定理是解決問題的關鍵．
【詳解】解：如圖所示：
由三角形全等判定定理可知，當選擇和時，知道、邊和，只要按照，工人師傅能畫一塊與以前一樣的玻璃樣板；
同理，選擇和也行；
綜上所述，帶1，4或3，4去就可以，
故選：B．
題型三：添加一個條件使得三角形全等（AAS或ASA）
1．（24-25七年級下·上海松江·階段練習）如圖，，若利用證明，需添加的條件是 ．（寫出一種即可）
【答案】（答案不唯一）
【分析】本題主要考查了三角形全等的判定，熟練掌握三角形全等的判定方法，是解題的關鍵．利用可得出，（答案不唯一）進而證明，即可得出答案．
【詳解】解：在和中，
，
，
利用證明，需添加的條件是（答案不唯一）．
故答案為：（答案不唯一）．
2．（24-25七年級下·江西贛州·階段練習）如圖，，相交于點O，，當添加條件 時，可由“角邊角”判定．
【答案】
【分析】本題考查的是三角形全等的判定，理解“角邊角”定理是解題的關鍵． “角邊角”是指兩個角及其夾邊對應相等的兩個三角形全等．我們已知，因為對頂角相等，所以．根據“角邊角”判定定理，要使，還需要與的夾邊和與的夾邊相等，即．
【詳解】解∶ ，，
由“角邊角”判定，需要添加條件是∶．
故答案為：．
3．（24-25八年級上·新疆烏魯木齊·期末）如圖，與相交于點，，，不添加輔功線，判定的依據是 ．
【答案】
【分析】此題考查了全等三角形的判定，由題意可知，，，，即可證明．
【詳解】解：∵，，，
∴，
故答案為：
4．（24-25八年級上·湖南婁底·期末）如圖，在與中，已知，在不添加任何輔助線的前提下，依據“”證明，需再添加一個條件是 ．
【答案】（答案不唯一）
【分析】此題考查了三角形全等的判定方法，由于，加上為公共邊，所以當添加時，依據“”可判斷，
【詳解】解：∵，，
∴當添加時，．
也可添加，則可證明，得到，
故答案為：（答案不唯一）．
5．（24-25七年級下·全國·隨堂練習）如圖，點B，F，C，E在同一條直線上，并且，，當 時，．
【答案】/
【分析】本題主要考查了全等三角形的判定，掌握全等三角形的幾判定方法是解題的關鍵；本題已知兩個角相等，根據全等三角形判定條件，當時，即可通過角邊角求證；
【詳解】解：當時，
在和中，
，
∴，
∴當時，可證，
故答案為：；
6．（24-25八年級上·北京·期中）如圖，、交于點O，且，請添加一個條件，使得，則可以添加的條件是： ．
【答案】（答案不唯一）
【分析】本題主要考查了全等三角形的判定，關鍵是掌握判定兩個三角形全等的一般方法．添加條件：，再由已知條件和公共角可利用定理證明．
【詳解】解：添加條件：，
在和中，
，
，
故答案為：（答案不唯一）．
7．（23-24七年級下·江西景德鎮·期末）如圖， D， E是邊上的兩點，， 現要直接用“”定理來證明， 請你再添加一個條件： ．
【答案】
【分析】在與中，已知，，即已知一角及角的一邊對應相等，根據“”的判定方法，可以添加已知邊的對角對應相等即可．本題考查了全等三角形的判定定理：：兩角及其中一個角的對邊對應相等的兩個三角形全等．判定兩個三角形全等的一般方法有：、、、、．根據已知結合圖形及判定方法選擇條件是正確解答本題的關鍵．
【詳解】解：可添加一個條件：，使．
理由：
在與中，
，
．
故答案為
題型四：利用“AAS或ASA”簡單證明三角形全等（解答題）
1．（2025·云南昆明·二模）如圖，，，，求證：．
【答案】見解析
【分析】此題考查全等三角形的判定，平行線的性質，熟練掌握全等三角形的判定定理是解題的關鍵．利用兩直線平行同位角相等得到，由此根據證明即可．
【詳解】證明：∵，
∴，
∵，
∴，
即，
在和中
，
∴．
2．（24-25七年級下·上海松江·階段練習）如圖．已知是邊的中線．，、與直線的交點分別為點、，請說明與全等的理由．
【答案】理由見解析
【分析】本題考查全等三角形的判定，熟練掌握全等三角形的判定方法，是解題的關鍵：中線得到，平行得到，利用，即可得證．
【詳解】解：與全等的理由如下：
∵是邊的中線，
∴，
∵，
∴，
∴．
3．（2025·陜西西安·模擬預測）如圖，點D是的邊延長線上一點，且，過D作，且，連接交于點F，若，求證：．
【答案】見詳解
【分析】本題主要考查全等三角形的判定，熟練掌握全等三角形的判定是解題的關鍵；由題意易得，，則有，然后問題可求證．
【詳解】證明：∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
4．（24-25九年級下·云南昆明·階段練習）如圖，，，，求證：．
【答案】見解析
【分析】本題主要考查全等三角形的判定，解答的關鍵是熟記全等三角形的判定定理并靈活運用．由題意可求得，利用即可判定．
【詳解】證明：，
，
．
在與中，
，
．
5．（2025·云南昭通·二模）如圖，，．求證：．
【答案】見解析
【分析】本題主要考查了全等三角形的判定，先證明，再利用即可證明．
【詳解】證明：，，
，即．
在和中，
，
．
6．（2025·江蘇南京·一模）如圖，在四邊形中，是邊上一點，連接，，平分，．求證：．
【答案】見解析
【分析】本題考查了等腰三角形的性質，角平分線的定義，全等三角形的判斷，熟練掌握全等三角形的判定方法是解題的關鍵．
由題得，根據等腰三角形的性質得到，推出，即可得到結論．
【詳解】證明：，
．
．
，
．
平分，
．
．
在和中，，
．
7．（24-25九年級下·陜西漢中·階段練習）將和如圖放置．已知，，，求證：．
【答案】見解析
【分析】本題主要考查了平行線的性質和全等三角形的判定，熟練掌握全等三角形的判定是解題的關鍵．
根據“”判定即可．
【詳解】證明：，
，，
，
，
在和中，
，
．
題型五：利用“AAS或ASA”證明三角形全等求角度
1．（24-25七年級下·陜西渭南·期中）如圖，在三角形中，平分交于點，，過點作交于點，延長至點，連接，若，則的度數為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本題考查了全等三角形的性質與判定，三角形內角和定理的應用，平行線的性質，關鍵要掌握全等三角形的性質與判定．根據題意證明得出，根據鄰補角互補得出,根據三角形內角和定理得出，進而根據平行線的性質，即可求解．
【詳解】解：∵平分
∴
∵
∴
又∵
∴
∴
∵，
∴
∴
∵
∴
故選：B．
2．（2025八年級下·全國·專題練習）如圖，把兩塊大小相同的含的三角板和三角板如圖所示擺放，點D在邊上，點E在邊上，且，則的度數是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本題考查三角形內角和定理、等腰直角三角形的性質、全等三角形的判定和性質等知識，解題的關鍵是學會添加常用輔助線，構造全等三角形解決問題．
作交于，證明即可解決問題．
【詳解】作交于，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴,
∵，
∴，
∴
∵，
∴，
故選：D．
3．（24-25八年級下·陜西西安·期中）如圖，在中，，平分，過點B作于點D，若，，則的度數為 ．
【答案】
【分析】本題考查全等三角形的判定及性質，三角形的外角的性質，延長交于，證明，得，再結合三角形的外角的性質即可求解，添加輔助線構造全等三角形是解決問題的關鍵．
【詳解】解：延長交于，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
又∵，
∴，
∴，
故答案為：．
4．（24-25八年級下·陜西西安·階段練習）如圖，已知：四邊形中，對角線平分，，，并且，那么的度數為 ．
【答案】/31度
【分析】延長和，過點作于點，過點作于點，根據是的平分線可得出，故，過點作于點，可得出，從而，進而得出為的平分線，得出，再根據即可得出結論．
本題考查了角平分線的性質和判定，以及三角形的全等和三角形的內角和定理，注意知識點的綜合運用．
【詳解】解：延長和，過點作于點，過點作于點，
是的平分線，
在與中，
，
，
，
又，
，
，
為的平分線，
過點作于點，
∵，
．
∴，
為的平分線，
∵，
，
在中，，，
，
，
，
．
故答案為：．
題型六：利用“AAS或ASA”證明三角形全等求線段長度
1．（2025·湖南衡陽·二模）如圖，點A，B，C，D在同一條直線上，點E，F分別在直線的兩側，且，，，若，，則的長為（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
【答案】C
【分析】本題主要考查了全等三角形的性質與判定，先題意得到，再證明得到，據此根據線段的和差關系可得答案．
【詳解】解：∵，
∴，
又∵，，
∴，
∴，
∴，
故選：C．
2．（2025·河南信陽·模擬預測）如圖，在四邊形中，，E為的中點，且，延長交的延長線于點F．若，，則的長為（ ）
A．11 B．12 C．13 D．14
【答案】C
【分析】本題考查全等三角形的判定與性質，以及垂直平分線的判定與性質，準確推導出全等三角形并理解線段垂直平分線的性質是解題關鍵．由“”可證，可得，，由線段垂直平分線的性質可得．
【詳解】解：為的中點，
，
，
，，
在與中，
，
，
，，
，
，，
，
故選：C．
3．（24-25七年級下·陜西西安·階段練習）如圖所示，是銳角的高，相交于點D，若，，，則的長為（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【分析】本題考查了全等三角形的判定及性質定理，熟練掌握性質定理是解題的關鍵．
根據題意得出，再根據同角的余角相等得出，根據AAS證明，最后根據全等三角形的性質及線段的差與和即可得出答案．
【詳解】是銳角的高
,
故選C．
4．（23-24八年級上·廣西河池·期末）如圖，點B，F，C，E在一條直線上，若，，，則m的值是（ ）

A．15 B．16 C．18 D．20
【答案】C
【分析】本題考查平行線的性質，全等三角形的判定和性質，由平行線的性質可得，進而根據“”推出，根據全等三角形的性質得到，進而求出，再由計算即可得到答案．
【詳解】解：，，
，
又，
，
，
，即，
，，
∴，
，
．
故選：C．
5．（24-25七年級下·甘肅蘭州·期中）如圖所示，在中，于D，于E，與交于點F，，則的長度為 ．
【答案】5
【分析】本題考查了全等三角形的性質和判定，根據推出，根據全等得出，即可得出答案．
【詳解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
在和中
，
∴，
∴，
∴，
故答案為：5．
6．（24-25七年級下·上海·期中）如圖，在中，是邊的中點，是邊上一點，過點作，交的延長線于點，如果，，那么的長為 ．
【答案】
【分析】本題考查了平行線的性質、全等三角形的判定與性質，由題意可得，由平行線的性質可得，，證明，得出，即可得解．
【詳解】解：∵是邊的中點，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴，
故答案為：．
7．（24-25八年級上·河北石家莊·階段練習）如圖，在中，，線段交于點，垂足分別為D，E，且．若，則的長為 ．
【答案】3.2
【分析】本題主要考查全等三角形的判定與性質，根據證明得，從而可求出的長．
【詳解】解：∵，
∴，
在和中，
∴，
∴，，
∴,
故答案為：3.2
8．（2025七年級下·全國·專題練習）如圖，點D在上，點E在上，與相交于點O，且，，若，則 ．
【答案】4
【分析】本題考查全等三角形的判定與性質的知識點，解答本題的關鍵是熟練掌握兩三角形全等的判定定理．
根據證明，于是得到，結合題干條件即可求出的長．
【詳解】解：∵在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
故答案為4．
題型七：利用“AAS或ASA”證明三角形全等求面積
1．（24-25七年級下·上海青浦·期末）如圖，點為內一點，平分，，連接，如果的面積為，那么的面積為 ．（用含的式子表示）
【答案】/
【分析】本題考查了全等三角形的性質與判定，三角形中線的性質；延長交于點，證明得出，進而根據三角形中線的性質，即可求解．
【詳解】解：如圖，延長交于點，
∵平分，
∴，
∵，
∴
又∵，
∴
∴
∴
∵的面積為，
∴的面積為
故答案為：．
2．（24-25七年級下·山東濟南·期中）如圖，是的角平分線，，，，的面積是3，則的面積為 ．
【答案】
【分析】本題考查了全等三角形的判定及性質，有關三角形中線的三角形面積；延長交于，由可判定，由全等三角形的性質得，，由三角形的中線得，即可求解；掌握全等三角形的判定及性質，有關三角形中線的三角形面積的求法是解題的關鍵．
【詳解】解：延長交于，
是的角平分線，，
，
，
，
（），
，
，
，
，
，
，
，
故答案為：．
3．（24-25七年級下·四川成都·期中）如圖，中，，，，平分，且，則與的面積和是 ．
【答案】3
【分析】本題主要考查了全等三角形的判定與性質、三角形中線的性質等知識，正確作出輔助線構造全等三角形是解題關鍵．延長交于點，證明，由全等三角形的性質可得，，進而可知，即可獲得答案．
【詳解】解：如下圖，延長交于點，
∵，，，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴，
∴．
故答案為：3．
4．（24-25九年級上·四川南充·期中）如圖，四邊形中，，，，，則四邊形的面積是
【答案】6
【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質，過D作于E，證明，得出，然后根據求解即可．
【詳解】解∶過D作于E，則，
∴，
∵，
∴，
∴，
又，，
∴，
∴，
∴
，
故答案為：6．
5．（24-25八年級上·湖北黃石·階段練習）如圖，的面積為，平分，于，則的面積為 ．
【答案】/
【分析】本題考查角平分線的性質及全等三角形的判定與性質、三角形的中線性質，熟知三角形的中線將該三角形分為兩個面積相等的三角形是解答的關鍵．延長交于，證明得到，再利用三角形的中線性質求解即可．
【詳解】解：延長交于，
平分，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，
的面積為，
．
故答案為：．
6．（24-25七年級下·上海·期中）在中，、是高，、相交于，，連接，，的面積為7．則的面積等于 ．
【答案】
【分析】本題主要考查了全等三角形的性質與判定，三角形面積計算，先證明得到；根據，得到，由此求解即可．
【詳解】解：∵在中，、是高，
∴，
∵，，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案為：．
7．（23-24七年級下·廣東深圳·期中）如圖，在銳角三角形中，，，分別為的角平分線．，相交于點，平分，已知，，的面積，求的面積 ．
【答案】4
【分析】此題考查了全等三角形的判定與性質、角平分線的性質，過點作于點，于點，根據角平分線性質定理求出，結合三角形內角和定理、鄰補角定義、角平分線定義求出，利用證明，，則，，，根據三角形面積公式求出，，再根據的面積求解即可，熟練運用全等三角形的判定與性質、三角形面積公式是解題的關鍵．
【詳解】解：如圖，過點作于點，于點，
，、為三角形的角平分線，
，，
，
，
平分，
，
在和中，
，
，
，
同理可得，
，
，
，，
，
的面積，
，
，
，
，
的面積，
故答案為：4．
題型八：全等三角形的判定綜合
1．（24-25七年級下·四川成都·期末）如圖，已知：，，．
(1)求證：
(2)若，求的長．
【答案】(1)證明見解析
(2)
【分析】本題主要考查了全等三角形的性質與判定，平行線的性質，熟知全等三角形的性質與判定定理是解題的關鍵．
（1）先由平行線的性質得到，再證明，據此可利用證明；
（2）由全等三角形的性質可得，再求出的長即可得到答案．
【詳解】（1）證明：∵，
∴，
∵，
∴，即，
又∵，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∴，
∴．
2．（24-25七年級下·吉林·階段練習）如圖，是等腰直角三角形，，點是上一點（點不與點A、D重合），延長至點，使．
(1)求證：；
(2)求證：．
【答案】(1)見解析
(2)見解析
【分析】本題考查全等三角形的判定和性質，熟練掌握全等三角形的判定方法，是解題的關鍵：
（1）等腰直角三角形，得到，進而得到，再根據，即可得證；
（2）根據全等三角形的對應角相等，得到，進而得到，得到，即可得證．
【詳解】（1）證明：∵是等腰直角三角形，，
∴，，
又∵，
∴；
（2）由（1）知：，
∴，
∴，
∴，
∴．
3．（2025·江蘇無錫·三模）已知：如圖，，，垂足分別為，，，相交于點，且．

(1)求證：；
(2)已知，，求的長度．
【答案】(1)見解析
(2)．
【分析】本題主要考查全等三角形的判定和性質．
（1）由條件可求得，利用可證明；
（2）根據全等三角形的性質得，，則，然后再根據即可得出答案．
【詳解】（1）證明：∵，
∴，
∴；
∵，
∴，
∴；
在和中，
，
∴；
（2）解：∵，，
∴，，
∵，
∴，
∴．
4．（24-25七年級下·陜西西安·階段練習）如圖，點A、、、在同一條直線上，點、分別在直線的兩側，且，，．
(1)求證：
(2)求證：
【答案】(1)證明見解析；
(2)證明見解析．
【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質，平行線的性質，掌握相關知識是解題的關鍵．
（1）由平行線的性質得到，根據即可證明，即可得出結論；
（2）由，得到，根據即可證明．
【詳解】（1）證明：∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴；
（2）證明：∵，
∴，
在和中，
，
∴．
5．（24-25七年級下·上海·階段練習）如圖，在中，已知，平分，，
(1)若的面積是，求的面積；
(2)求證：．
【答案】(1)
(2)證明見解析
【分析】（）延長交于點，可證，可得，進而由中線性質可得，，即得，即可求解；
（）過點作于，過點作的延長線于，可證，可得，又由（）得，即可得，即可求證；
本題考查了全等三角形的判定和性質，三角形中線的性質，角平分線的定義，正確作出輔助線是解題的關鍵．
【詳解】（1）解：延長交于點，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴；
（2）證明：過點作于，過點作的延長線于，則，
∵，平分，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
即，
∴．
6．（2025·海南·一模）如圖，點E、C、D、A在同一條直線上，，，，線段與線段交于點G．
(1)求證：；
(2)若，，求的度數．
【答案】(1)見解析
(2)
【分析】本題考查全等三角形的判定與性質、三角形的內角和定理，熟練掌握全等三角形的判定與性質是解答的關鍵．
（1）先證明，再根據全等三角形的判定可證得結論；
（2）先平行線的性質得到，再根據三角形的內角和定理求出，最后根據全等三角形的性質即可解答．
【詳解】（1）證明：∵，
∴，
在和中，
，
∴；
（2）解：∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴．
7．（24-25七年級下·江西贛州·階段練習）如圖，點B，C，D在同一條直線上，，且．
(1)試說明．
(2)若，C是的中點，求的長．
【答案】(1)見解析
(2)
【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質，平行線的性質等知識，解題的關鍵是：
（1）根據平行線的性質、垂直的定義，余角的性質可得出，然后根據證明，最后根據全等三角形的性質即可得證；
（2）根據全等三角形的性質和線段中點的定義求解即可．
【詳解】（1）證明：，
，
又，
，
，
在中，，
∵，
∴，
，
又，，
，
；
（2）解：由（1）得，
，，
又點是的中點，
，
．
8．（2025·內蒙古·二模）如圖，在四邊形中，，，平分，且，連接并延長，交的延長線于點．
(1)求證：平分；
(2)若的面積是，，求長．
【答案】(1)見解析
(2)
【分析】本題考查了角平分線的判定和性質，平行線的性質，全等三角形的判定和性質，三角形面積，熟練掌握相關知識點是解題的關鍵．
（1）過點作于點，由， 平分，得到，，推出，即可得到結論；
（2）由（1）知，得到，證明，得到，推出，求出．
【詳解】（1）證明：過點作于點，
，垂足為，且平分，
，，
，
，
，
，即，
平分；
（2）解：由（1）知，
，
在和中，
，
，
，
，
，
．
題型九：全等三角形的判定實際應用
1．（24-25八年級下·重慶巫山·期中）如圖是高空秋千的示意圖，小明從起始位置點A處繞著點O經過最低點B．最終蕩到最高點C處，若，米，水平距離米，則點C與點B的高度差為 米．
【答案】
【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質.
作于F，于G，根據可證，根據全等三角形的性質可得米，根據線段的和差關系和等量關系可求點C與點B的高度差．
【詳解】解：作于F，于G，
∵，，
∴，
在與中，
，
∴（），
∴米，
則（米）．
故答案為：．
2．（24-25七年級下·廣東深圳·期中）小麗與爸爸、媽媽在公園里蕩秋千，如圖，小麗坐在秋千的起始位置處，與地面垂直，小麗兩腳在地面上用力一蹬，媽媽在處接住她后用力一堆，爸爸在處接住她．若點距離地面的高度為，點到的距離為，點距離地面的高度是，，則點到的距離為 米．
【答案】1.8
【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質的應用，由證明得出，即可推出結果．
【詳解】解：點距離地面的高度為，點距離地面的高度是，
點距離地面的高度為，點距離地面的高度是，
，
，
，
，
又由題意可知，，
，
，，
，
點到的距離為，
故答案為：1.8．
3．（24-25八年級上·甘肅武威·階段練習）如圖，小虎用塊高度都是的相同長方體小木塊壘了兩堵與地面垂直的木墻，木墻之間剛好可以放進一個等腰直角三角板（，），則兩堵木墻之間的距離為 ．
【答案】
【分析】本題考查了全等三角形的判定和性質，由題意得，，由余角性質得，進而可得，即得，，再根據線段的和差關系即可求解，掌握全等三角形的判定和性質是解題的關鍵．
【詳解】解：由題意得，，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，，
∴，
故答案為：．
4．（2025七年級下·全國·專題練習）如圖，在一個支架的橫桿上點O處用一根細繩懸掛一個小球A，小球A可以自由擺動，表示小球靜止時的位置．當小華用發聲物體靠近小球時，小球從擺到位置，此時過點B作于點D；當小球擺到位置時，與恰好垂直（圖中的點A，B，O，C在同一平面上），過點C作于點E．已知，細繩的長為，則的長為 ．
【答案】2
【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質．熟練掌握全等三角形的判定與性質是解此題的關鍵．
證明，結合，，得，得，即得．
【詳解】解：由條件可知，
又∵，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
又∵，
∴．
故答案為：2．
5．（24-25八年級上·湖北武漢·期末）如圖，為了測量一幢高樓的高度，在木棍與高樓之間選定一點，在點處用測角儀測得木棍頂端的視線與地面的夾角，測得樓頂的視線與地面的夾角，量得點到樓底的距離與木棍高度相等，都等于，量得木棍與高樓之間的距離，則高樓的高度是 ．
【答案】
【分析】本題考查了全等三角形的應用，熟練掌握全等三角形的判定和性質是解題的關鍵．
根據題意可證明，得到，即可得到答案．
【詳解】解：，，
，
，
，
在和中，
，
，
，
故答案為：．
6．（24-25七年級下·全國·課后作業）如圖，太陽光線與是平行的，表示一棵松樹，表示一棵楊樹，同一時刻兩棵樹的影長相等．已知楊樹高，則松樹高 ．
【答案】/5米
【分析】本題考查全等三角形的應用，熟練掌握全等三角形的判定與性質是解題的關鍵．
用證明，由全等三角形的性質得出答案．
【詳解】解：由題意，得，，
∴，
在與中，
，
∴，
∴．
故答案為：．
7．（24-25七年級下·全國·課后作業）如圖，小李為了測量河的寬度，他先站在河邊的點C處，面向河對岸，壓低帽檐使視線通過帽檐正好落在河對岸的點A處，然后保持姿勢不變原地向后轉，正好看見了他所在的岸上的一塊石頭B，并測得，則河寬為 ．
【答案】
【分析】本題考查全等三角形應用，掌握全等三角形的性質與判定是解題的關鍵．
由題意得， 然后用證明，由全等三角形的性質，即可求解．
【詳解】解：由題意得， ，
在和中，
，
∴，
∴，
故答案為：．
8．（24-25八年級上·河南漯河·期末）蹺蹺板是兒童游樂場里常見的等臂杠桿應用．小明與小敏到游樂場玩蹺蹺板游戲，如圖，支點O是蹺蹺板的中點，兩人分別坐在蹺蹺板兩端．已知點O到地面的距離是，當小敏從水平位置下降時，小明離地面的高度是 ．
【答案】90
【分析】本題主要考查了全等三角形的判定和性質．根據證明，可得，即可求解．
【詳解】解：由題意可知，，
∴，
∴，
∵當小敏從水平位置下降，即，
∴，
又∵點O至地面的距離是，
∴這時小明離地面的高度是，
故答案為：．
題型一：全等三角形中最值問題
1．（23-24八年級上·湖北武漢·階段練習）如圖所示，中，，M、N分別為、上動點，且，連、，當最小時，（　　）．
A．2 B． C． D．1
【答案】D
【分析】過B點在下方作，且，鏈接，，先證明，即有，則，當A、M、H三點共線時，值最小，再證明，問題隨之得解．
【詳解】如圖，過B點在下方作，且，鏈接，，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
當A、M、H三點共線時，值最小，
如圖，
此時∵，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
故選：D．
2．（24-25八年級上·福建·期中）如圖，在中，是的角平分線，于點．若點為動點，在點運動的過程中滿足，則的最大值為（　　）

A．28 B．24 C．14 D．7
【答案】D
【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質，角平分線的定義；延長和相交于點，構造出，從而求出的值；，根據當時，有最大值求解即可；
【詳解】解：延長和相交于點，如圖：

∵ 是 的角平分線
∴
∵
∴
，
當時， 有最大值；
故選：D．
3．（24-25七年級下·陜西西安·期中）如圖，在中，，，，D為中點，P為上的動點，連接，過點D作且，連接，則線段的最小值為 ．
【答案】2
【分析】本題主要考查了全等三角形判定與性質的綜合應用，解決問題的關鍵是由題意證出．
先過作于，根據，可得，再根據當時，，即點與點重合，即可得出線段的最小值為 2 ．
【詳解】解：∵點是中點，，
∴，
如圖所示，過作于，則，
∵，
，
，
，
，
∴當時，，
即點與點重合，此時，
∴線段的最小值為 2 ．
故答案為：2．
4．（24-25八年級上·江西贛州·期中）如圖，在四邊形中，，連接，若P是邊上一動點，連接，則長的最小值為 ．
【答案】5
【分析】本題考查了全等三角形的判定和性質，三角形內角和定理和垂線段最短等知識點．過點D作于點E，根據垂線段最短得出當時，最小，求出，可證明，從而得到得出，即可得出選項．
【詳解】解：如圖，過點D作于點E，則當時，最小，
∵，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴在和中 ，
∵，，
∴，
∴，
即的最小值為5．
故答案為：5．
5．（24-25八年級上·陜西西安·階段練習）如圖，中，，，垂直于的角平分線于點，為的中點，連接交于，則、的面積之差的最大值為 ．
【答案】6
【分析】本題考查了全等三角形的判定和性質，三角形中線求面積等知識，正確的作出輔助線是解題關鍵．延長、交于點，證明，得到，，進而得出，根據三角形中線推出
，再根據當時，的面積有最大值，即可求解．
【詳解】解：如圖，延長、交于點，
∵垂直于的角平分線于點，
∴，，
在和中
，
∴，
∴，，
∵，
，
，為的中點，
，，
，，
，
∵當時，的面積有最大值，為，
、的面積之差的最大值為6，
故答案為：6．
題型二：全等三角形中動點問題
1．（24-25七年級下·遼寧沈陽·期中）如圖，中，，，，，，，動點以的速度從點出發沿路徑向終點運動；動點以的速度從點沿向終點點運動，當一個點到達終點時，另一個點隨之停止運動，設運動時間為，則當 秒時，與全等．
【答案】6或或
【分析】本題主要考查了全等三角形的性質與判定，可證明得到，，則可推出只存在這種情況，則由，再分，和，三種情況分別用含t的式子表示出的長，然后建立方程求解即可．
【詳解】解：∵，，
∴，
又∵，
∴
∴，，
∵，
∴；
∵與全等，
∴只存在這種情況，
∴，
當時，點在線段上，點在線段上，
∴
∴，
∴（不合題意，舍去）；
②當時，點在線段上，點在線段上，
∴
∴，
∴；
當時，點在線段上，點在線段上，
∴
∴，
∴；
當時，點在線段上，點在線段上，
∴
∴，
∴；
綜上所述，t的值為6或或，
故答案為：6或或．
2．（24-25七年級下·江蘇鹽城·階段練習）如圖，在中，，，，為邊上的高，點從點出發，在直線上以的速度移動，過點作的垂線交直線于點，當點運動 時，．
【答案】6或3
【分析】本題考查了全等三角形的判定和性質，直角三角形的性質，熟練正確全等三角形的判定和性質是解題的關鍵．
先證明，得出，①當點E在射線上移動時，，即可求出E移動了；②當點E在射線上移動時，，即可求出E移動了．
【詳解】解：∵，
∴，
∵為邊上的高，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵過點E作的垂線交直線于點F，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
①如圖，當點E在射線上移動時，，
∵點E從點B出發，在直線上以的速度移動，
∴E移動了：；
②當點E在射線上移動時，，
∵點E從點B出發，在直線上以的速度移動，
∴E移動了：；
綜上所述，當點E在射線上移動或時，；
故答案為：6或3．
3．（24-25七年級下·廣東深圳·期中）如圖，與相交于點C，，，，點P從點A出發，沿方向以的速度運動，點Q同時從點D出發，沿方向以的速度運動，當點P到達點A時，P、Q兩點同時停止運動，設點P的運動時間為．當P，Q，C三點共線時，t的值為 ．
【答案】8或
【分析】本題主要考查代數式和全等三角形的判定和性質，一元一次方程的應用，解題的關鍵是分類討論思想．
根據題意即可利用證明， 得，，由三點共線得，即可證明，有，利用分類討論當時，當時，列方程求解即可．
【詳解】解：∵
∴，，
在和中，
，
，
；
如圖，
∵P，Q，C三點共線，
，
在和中，
，
，
，
∵點P從點A出發，沿方向以的速度運動，點Q同時從點D出發，沿方向以的速度運動，
∴當時，，則，
，
，
當時，，，
，
解得：，
∴綜上所述，當P、C、Q三點共線時，t的值為8或．
4．（24-25七年級下·河南·期中）如圖，，與相交于點C，，，點P從點A出發，沿方向以的速度運動，同時點Q從點D出發，沿方向以的速度運動，當點P回到點A時，P、Q兩點同時停止運動．連接，當線段經過點C時，點P的運動時間為 s．
【答案】2或4
【分析】本題考查全等三角形的判定與性質，解題的關鍵是注意分情況討論．
先證，可得；當線段經過點C時，證明，推出，分點P沿方向運動和沿方向運動兩種情況，分別列式求解．
【詳解】解：∵，
∴，
在和中，
，
，
，
當線段經過點C時，如下圖所示：
在和中，
，
，
，
當點P沿方向運動時，，，
，
，
解得；
當點P沿方向運動時，，，
，
，
解得
綜上可知，t的值為或，
故答案為：2或4．
5．（24-25八年級上·湖北荊州·期末）如圖，在中，，為邊上的高，，，點從點出發，在直線上以的速度移動，過點作的垂線交直線于點．當點運動 s時，．

【答案】3或7
【分析】本題主要考查了三角形全等的判定和性質，余角的性質，解題的關鍵是熟練掌握三角形全等的判定方法，注意分類討論．分兩種情況：當點F在射線上時，當點F在射線上時，分別畫出圖形求出結果即可．
【詳解】解：當點F在射線上時，如圖所示：

∵，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴此時點F運動時間為．
當點F在射線上時，如圖所示：

∵，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴此時點F運動時間為．
綜上分析可知：點運動或時，．
故答案為：3或7．
6．（24-25八年級上·湖北襄陽·期末）如圖，在中，，，，為邊上的高，點從點出發，在直線上以的速度移動，過點作的垂線交直線于點，當點運動 時，．
【答案】4或10
【分析】此題重點考查全等三角形的判定與性質、分類討論數學思想的運用等知識與方法．設點E運動的時間為，分兩種情況討論，一是點E從點B出發沿射線方向運動，可證明，則，而，且，所以，求得；二是點E從點B出發沿射線方向運動，可證明，則，此時，所以，求得，于是得到問題的答案．
【詳解】解：設點E運動的時間為，
如圖1，點E從點B出發沿射線方向運動，
∵為邊上的高，
∴，
∵，，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，且，
∴，
解得；
如圖2，點E從點B出發沿射線方向運動，則，，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，且，
∴，
解得，
綜上所述，當點E運動或時，，
故答案為：4或10．
題型三：全等三角形中多結論問題
1．（24-25七年級下·重慶·階段練習）如圖，點、、在同一直線上，在等腰中有，在等腰中有，連接和，且交于點，交于點，連接，延長至點使得，連接，交于點，交于點，且有，以下的結論中：①；②；③；④平分．其中正確結論有（ ）
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
【答案】B
【分析】本題主要考查了三角形全等的判定和性質，熟練掌握三角形全等的判定方法，是解題的關鍵．證明，得出，即可判斷①正確；根據證明，即可判定②正確；根據全等三角形的性質可以證明，但，即，即可判定③錯誤；與不一定全等，，點C到、的距離不一定相等，即可判斷④錯誤．
【詳解】解：∵，，
∴，
∵，，
∴，
∴，故①正確；
∵，，，
∴，故②正確；
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵與不一定相等，
∴，
∴，
∴與不一定全等，
∴，
∴，
∴，故③不正確；
∵與不一定全等，，
∴點C到、的距離不一定相等，
∴不一定平分，故④不正確；
綜上分析可知：正確的有2個．
故選：B．
2．（24-25八年級上·河北滄州·期末）如圖所示，在中，，點為的中點，的延長線交于點，為上的一點，與垂直，交于點，則下面判斷正確的有（　　）
①是 的平分線；②是的邊上的中線；③是 的邊上的高；④．
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
【答案】C
【分析】本題主要考查了三角形的角平分線，中線，高，全等三角形等知識點，解題的關鍵是熟練掌握各定義和性質．利用三角形的角平分線，中線，高以及全等三角形可逐一進行判斷．
【詳解】解：
∴是 的平分線，故①正確；
無法證明點為的中點,
所以不是的邊上的中線，故②錯誤；
∵與垂直，
∴是 的邊上的高，故③正確；
∵與垂直，
∴,
又，（公共邊）
,故④正確，
故選：C．
3．（24-25八年級上·湖南長沙·期末）如圖，在和中，與相交于點，與相交于點，與相交于，，，．給出下列結論：①；②；③；④．其中正確的結論是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】此題主要考查了全等三角形的判定與性質，準確識圖，熟練掌握全等三角形的判定與性質是解決問題的關鍵．
①根據得，由此可依據“”判定和全等，然后根據全等三角形的性質可對結論①進行判斷；
②根據與相交于點得，再根據和全等得，則，由此可對結論②進行判斷；
③根據和全等得，由此可對結論③進行判斷；
④根據和全等得，，由此可依據“”判定和全等，據此可對結論④進行判斷，綜上所述即可得出答案．
【詳解】解：①，
，
，
在和中，
，
，
，
故結論①正確；
②與相交于點，
，
，
，
，
故結論②不正確；
③，
，
故結論③正確；
④，
，，
在和中，
，
．
故結論④正確，
綜上所述：正確的結論是①③④．
故選：A．
4．（24-25八年級上·河北秦皇島·期中）已知如圖，于點D，于點E，下列說法：①；②；③平分；④；⑤．其中一定正確的是（ ）
A．①③⑤ B．①③④ C．①②④ D．②③⑤
【答案】C
【分析】此題考查了全等三角形的判定和性質，證明，即可得到一定正確的結論．
【詳解】∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵
∴
∴；故①，②都正確；
∴，故④正確；
無法證明平分，．故③⑤不正確，
故選：C．
5．（24-25八年級上·北京石景山·期末）如圖，在中，，，是內部的射線且，過點作于點，過點作于點．給出下面四個結論：①；②；③．上述結論中，所有正確結論的序號是（　）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
【答案】B
【分析】本題重點考查平行線的判定與性質、全等三角形的判定與性質等知識，由于點E，于點F，證明，則，可判斷①正確；再證明，得，，由，可判斷③正確，由，，推導出，可判斷②錯誤；于是得到問題的答案．
【詳解】解：于點E，于點F，
，，
，故①正確；
，
，
在和中，
，
，
，，
，
，故③正確，
，，
，故②錯誤；
故選：B．
6．（23-24八年級上·河北張家口·期中）如圖所示，已知，，，結論：①；②；③；④其中正確有（ ）
A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．②③④
【答案】B
【分析】由，，利用“”得到與全等，根據全等三角形的對應邊相等且對應角相等即可得到與相等，與相等，與相等，然后在等式兩邊都減去，得到與相等，得到選項③正確，然后再由，，，利用“”得到與全等，利用全等三角形的對應邊相等，對應角相等得到選項①正確；然后再，利用“”得到與全等，故選項④正確；若選項②正確，得到與相等，且都為，而不一定為，故②錯誤．此題考查了全等三角形的性質與判別，考查了學生根據圖形分析問題，解決問題的能力．其中全等三角形的判別方法有：及．學生應根據圖形及已知的條件選擇合適的證明全等的方法．
【詳解】解：在和中，
∴，
∴，
∴，
即，故選項③正確；
在和中，
∴
∴，，
故選項①正確；
在和中，
，
∴，故選項④正確；
若
則，
而不一定為，故②錯誤，
則正確的選項有：①③④，
故選：B．
7．（24-25八年級上·北京門頭溝·期末）如圖，在中，，，平分交于點，延長到點，使，連接交的延長線于點．給出下面四個結論：
①；②；③；④的面積是的面積的2倍；上述結論中，所有正確結論的序號是（）
A．①② B．①②③ C．①③④ D．①②③④
【答案】B
【分析】此題考查了全等三角形的判定與性質，熟記全等三角形的判定定理與性質定理是解題的關鍵．根據全等三角形的判定與性質、三角形面積公式判斷求解即可．
【詳解】解：，
，
在和中，
，
，
，，
故①正確，符合題意；
，，
，
，
平分，
，
在和中，
，
，
，，
，
故②正確，符合題意；
，，，
；
故③正確，符合題意；
根據三角形面積公式得，只有時，的面積是的面積的2倍，
故④錯誤，不符合題意；
故選：B．
題型四：全等三角形中解答題壓軸
1．（24-25七年級下·四川成都·期中）（1）如圖1，在中，，，直線經過點，分別從點，向直線作垂線，垂足分別為，，求證：；
【變式探究】
（2）如圖2，在中，，直線經過點，點，分別在直線上，如果，猜想，，有何數量關系，并給予證明；
【拓展應用】
（3）小明和科技興趣小組的同學制作了一幅機器人圖案，大致圖形如圖3所示，以的邊，為一邊向外作和，其中，，，是邊上的高，延長交于點．設的面積為，的面積為，請猜想，大小關系，并說明理由．
【答案】（1）證明見解析 （2）；證明見解析 （3）；理由見解析
【分析】本題考查全等三角形的判定與性質，解題的關鍵是根據不同圖形條件，準確找到全等三角形的對應角和對應邊，利用 AAS 等判定定理證明全等，進而推導邊的關系和面積關系。
（1）根據垂直定義得，則，再根據得，由此得，進而可依據判定和全等；
（2）根據三角形外角性質得，再根據得，進而可依據判定和全等得，，由此可得出，，的數量關系；
（3）過點D作交的延長線于點M，過點E作于點N，則，進而得，再根據得，由此得，進而可依據判定和全等，則，同理可證明得，則，然后再根據三角形的面積公式即可得出，大小關系．
【詳解】（1）證明：∵直線l，直線l，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴；
（2）解：，，的數量關系是：，證明如下：
∵是的外角，
∴，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴；
（3），大小關系是：，理由如下：
過點D作交的延長線于點M，過點E作于點N，如圖所示：
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
同理可證明：，
∴，
∴，
∵，，
∴．
2．（24-25七年級下·四川成都·期中）如圖①，在中，，，過點C在外作直線l，于點M，于點N．
(1)試說明：；
(2)如圖②，將（1）中條件改為（），，請問（1）中的結論是否還成立？請說明理由.
(3)如圖③，在中，點D為上一點，，，，，請直接寫出的長．
【答案】(1)見解析
(2)成立，見解析
(3)8
【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質，同角的余角相等，一線三等角模型證明全等，解題關鍵是熟悉一線三等角模型．
（1）先證明，再根據全等三角形的性質得出，，從而根據，可得；
（2）先判定成立，再說理由，先證明，再根據全等三角形的性質得出，，結合，可得；
（3）先證明，再根據全等三角形的性質得出，，根據，，，可求得．
【詳解】（1）解：∵，，
∴，
∵，，
∴
∴
∴，
又，
，
，，
，
；
（2）成立，
理由：，，
，
又∵，，
，
，，
又，
；
（3），，，
，
又，，
，
，，
，，，
．
3．（24-25七年級下·四川達州·階段練習）如圖1，在中，于點D．
(1)求證：；
(2)如圖2，點E在上，連接交于點F，若，求證：平分；
(3)如圖3，在（2）的條件下，過A作，交的延長線于點G，交的延長線于點H．若的面積為40，且，求的值．
【答案】(1)見解析
(2)見解析
(3)
【分析】（1）根據同角的余角相等進行解答即可；
（2）根據同角的余角相等得出，根據三角形外角的性質得出，根據等式性質得出，即可證明結論；
（3）證明，得出，根據三角形面積公式得出，即可得出，根據，利用完全平方公式變形得出，根據，得出即可．
【詳解】（1）證明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）解：∵，，
∴，
∵，，且，
∴，
∴，
∴平分；
（3）解：∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵的面積為40，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴
，
∴，
∵，
∴．
4．（24-25七年級下·陜西西安·階段練習）知識呈現：
如果一條直線（線段）把一個平面圖形的面積分成相等的兩部分，我們把這條直線（線段）稱為這個平面圖形的一條面積等分線（段）．如三角形的一條中線就是三角形的一條面積等分線段．
（1）如圖1，在中，點D為中點，若，則_____；
知識遷移：
（2）如圖2，等腰中，，D、E分別是線段，的中點，連接，，于A，交延長線于F．試說明為四邊形的面積等分線．
（3）如圖3，在中，，D、E分別是線段、上的點，且，是四邊形的一條面積等分線，求的長．
【答案】（1）3.5；（2）見解析；（3）
【分析】本題考查了全等三角形的判定和性質，三角形中線的性質，平行線的性質，解題的關鍵是：
（1）根據三角形中線的性質求解即可；
（2）根據三線合一的性質得出，則可證，根據證明，得出，進而得出，根據三角形中線的性質得出，即可得證；
（3）延長CB至點H，使，連接EH，證明，，可得，由是四邊形的一條等分線，可得，即可得出，從而求解．
【詳解】解：（1）∵點D為中點，
∴，
∴，
∵，
∴
故答案為：5
（2）是線段的中點，
，
又，且是線段的中點，
，
，
，，
，
，
，
又是線段的中點
，
為四邊形的面積等分線；
（3）如圖3，延長至點H，使，連接，
，
，，
，
，
，
，且，
，
，，
，
，，，，
，
，
，
，且，，
，
，
，
，
是四邊形的一條面積等分線，
，
．
5．（2025·黑龍江哈爾濱·二模）已知：的頂點在的外部，點在直線上，且，，．
(1)如圖1，當點在線段的延長線上時，求證：；
(2)如圖2，當在線段上時，請寫出線段之間的數量關系是_____；
(3)如圖3，當在線段的延長線上時，請寫出線段之間的數量關系是_____．
【答案】(1)見解析
(2)
(3)
【分析】此題考查了全等三角形的判定和性質，證明是關鍵．
（1）證明，則，等量代換即可得到結論；
（2）證明，則，等量代換即可得到結論；
（3）證明，則，等量代換即可得到結論．
【詳解】（1）解：∵，，，
∴，
∴
∵，
∴
（2）線段之間的數量關系為：．
∵，，
∴，
∴
∵，
∴；
（3）線段之間的數量關系為：．
∵，，
∴，
∴
∵
∵
1．（2025·河北張家口·二模）為測量校園內的旗桿的高度，嘉嘉設計的方案是：如圖，在距旗桿底端水平距離為的處，使用測角儀測得，由于75°角不方便計算，淇淇提出了一種解決問題的方案：在的延長線上取一點，將一根木棒豎直立在地面上的點處，，此時測得，故淇淇得出結論，進而推得，則下列選項中淇淇證明全等用到的依據可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本題主要考查了全等三角形的判定．由全等三角形的判定定理或均可證得圖中兩個三角形全等，從而可得答案．
【詳解】解：由題意可得：，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴淇淇證明全等用到的依據可能是，
故選：B
2．（24-25八年級下·全國·假期作業）如圖，垂直的平分線于點、為中點，連接，若的面積為4，則的面積為（ ）

A．1 B．2 C． D．3
【答案】A
【分析】本題考查了三角形的判定與性質，三角形中線的性質，延長交于點N，根據條件證明，可得，進而得到，再根據為中點，即可求解．
【詳解】解：延長交于點N，如圖，
∵平分，垂直的平分線，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵為中點，
∴，
故選：A．
3．（2025·山東聊城·二模）在中，作的平分線交于點D，作的垂直平分線分別交于點E，交于點F，連接，，得到四邊形．若，則四邊形的周長為（ ）
A．16 B． C． D．
【答案】A
【分析】本題考查角平分線、垂直平分線的性質以及全等三角形的判定與性質；解題關鍵是利用上述性質得出線段相等關系，進而求出四邊形的周長．
先利用角平分線性質得，再由垂直平分線性質推出， ，通過證明得到，最后根據的值求出四邊形各邊長度，進而算出周長．
【詳解】解：設與交點為
∵平分，
∴．
∵是的垂直平分線，
∴， ，且．
在和中，
，
．
∴．
∵，
∴ ．
∴四邊形的周長為．
故選：A．
4．（2025·福建·一模）已知，在中，，點在邊的延長線上，沿平移線段得到線段．已知點在邊上，當時，是以為斜邊的等腰直角三角形，則線段的長是（ ）
A．1 B． C．2 D．
【答案】B
【分析】本題主要考查了平移的性質，全等三角形的性質與判定，由平移的性質可得，，則可證明，再證明，得到，則．
【詳解】解：由平移的性質可得，，
∴，
∵是以為斜邊的等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故選：B．
5．（24-25八年級上·安徽六安·期中）在中，，，，在上取一點，使，過點作交的延長線于點，若，則（ ）．
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本題考查垂直的定義，全等三角形性質和判定，解題的關鍵在于熟練掌握全等三角形性質和判定，結合垂直的定義證明，再利用全等是性質得到，，最后根據求解，即可解題．
【詳解】解：，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，，
，
故選：C．
6．（24-25八年級上·上海·期中）已知，在中，，，垂足為點H，平分，與相交于點D，過點D作，與邊相交于點E，那么下列結論中一定正確的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本題主要考查了全等三角形的性質與判定，平行線的性質，角平分線的定義，三角形內角和定理，先導角證明，再證明，可得，則D選項結論正確；根據現有條件無法證明A、B、C三個選項中的結論，據此可得答案．
【詳解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，故D結論正確，符合題意；
根據現有條件無法證明A、B、C中的結論，
故選：D．
7．（2024·廣東河源·一模）某校八年級學生到野外活動，為測量一池塘兩端A，B的距離，甲、乙兩位同學分別設計出如下兩種方案：
甲方案 乙方案
如圖1，先在平地取一個可直接到達A，B的點C，再連接，，并分別延長至，至，使，，最后測出的長即為A，B的距離． 如圖2，過點作，再由點觀測，在的延長線上取一點，使，這時只要測出的長即為A，B的距離．
下列說法正確的是（ ）
A．甲的方案可行，乙的方案不可行
B．甲的方案不可行，乙的方案可行
C．甲、乙的方案均可行
D．甲、乙的方案均不可行
【答案】C
【分析】此題考查了全等三角形的應用．甲方案利用“”方法，證明，測出的長即為，的距離；乙方案利用“”方法，證明，測出的長即為，的距離．
【詳解】解：甲方案：在和中，
，
∴，
∴，
乙方案：∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴．
∴甲、乙的方案均可行．
故選：C．
8．（24-25九年級上·山東德州·期末）如圖，已知是的中線，是的中線，交的延長線于點E．若的面積為3，則的面積是（ ）
A．3 B．6 C．12 D．24
【答案】C
【分析】本題主要考查全了全等三角形的判定和性質，平行線的性質，三角形中線的性質等知識點，根據平行線的性質得出，利用證明，再利用三角形的中線的性質得出面積關系，解答即可，關鍵是根據平行線的性質得出，利用證明．
【詳解】解：，
，
∵是的中線，
，
在與中
，
，
∴的面積的面積，
∵是的中線，
∴的面積，
∵是的中線，
∴的面積，
故選：C．
9．（24-25八年級上·內蒙古烏蘭察布·期末）如圖，在中，，的角平分線，相交于點，過作交的延長于點，交于點，給出下列結論：①；②；③；④．其中正確的有（ ）

A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
【答案】C
【分析】本題考查了角平分線的判定與性質，三角形全等的判定與性質，三角形內角和定理，三角形的面積等知識，利用三角形的內角和定理和角平分線的定義可判斷①；證明，推出，再證明，推出即可判定②；可以證明，據此即可判定③；根據③中的可判斷④．
【詳解】解：①在中，，
∴，
又∵分別平分，
∴，
∴，
∴，
故①正確；
②∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
故②正確；
③∵，
，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵
，故③不正確；
④∵，
∴，即，故④正確；
所以，正確的結論有3個，
故選：C．
10．（2025七年級下·河南鄭州·專題練習）如圖，，且，且，，請按照圖中所標注的數據，計算圖中實線所圍成的圖形的面積是 ．
【答案】50
【分析】題主要考查全等三角形的判定與性質、三角形面積，解答本題的關鍵是根據三角形全等求出的長，本題比較簡單，但是計算時要細心．
由，可以得到，而，由此可以證明，所以；同理證得，進而求出FH，然后利用面積的割補法和梯形、三角形面積公式即可求出圖形的面積．
【詳解】因為，
所以，，所以，
因為，
所以，
所以．
同理證得，
所以，
所以，
所以．
11．（24-25七年級下·陜西西安·期中）用四塊大正方形地磚和一塊小正方形地磚拼成如圖所示的實線圖案，每塊大正方形地磚面積為12，小正方形地磚面積為4，虛線依次連接四塊大正方形地磚的中心得到正方形，則正方形的面積為 ．
【答案】
【分析】本題主要考查了全等三角形的性質與判定，連接，先證明，再根據正方形的對稱性可得，據此證明，得到，則大正方形的面積，由此可得答案。
【詳解】解：如圖，連接，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴大正方形的面積，
∴正方形的面積 ．
故答案為：16．
12．（24-25八年級上·福建泉州·期末）如圖，在中，，AD是中線，若，于點F，則的值是 ．
【答案】
【分析】此題考查了全等三角形的判定與性質，作出合理的輔助線構建全等三角形是解題的關鍵．過點B作于H，延長至E，使，連接，利用AAS證明，，根據全等三角形的性質及線段的和差求解即可．
【詳解】解：過點B作于H，延長至E，使，連接，
，
，，
，
是中線，
，
在和中，
，
，
，，
在和中，
，
，
，
，
，
，
故答案為：
13．（24-25八年級上·廣東廣州·期末）如圖，在中，點M在邊上，，垂足為N，平分，的周長為18，，則的周長為 ．
【答案】24
【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質，根據角平分線和垂直證明，然后利用全等三角形的性質可得，，從而利用等量代換進行計算即可解答．
【詳解】解：∵平分，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∵的周長為18，
∴，
∴，
∴的周長，
故答案為：24．
14．（24-25七年級下·上海青浦·期末）如圖，在中，，過點作，且，過點作，垂足為點，求線段的長．
【答案】
【分析】本題考查了全等三角形的性質與判定，證明，得出，進而根據，即可求解．
【詳解】解：∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴．
15．（24-25七年級下·重慶·期中）如圖，已知點C、E、F、B在同一直線上，，，，求證：．完成下面的說理過程（填空）．
證明：∵（已知）
∴（ ①）
∵（ ②）
∴ ③ ④
即 ⑤
在和中
∴（ ⑧）
∴ ⑨（ ⑩）
【答案】①兩直線平行，內錯角相等；②已知；③；④；⑤；；；⑧；⑨；⑩全等三角形的對應邊相等
【分析】本題考查平行線的性質，全等三角形的判定和性質，由可得，結合已知條件，利用可證，由全等三角形的對應邊相等，可得．
【詳解】解：完整說理過程如下：
證明：∵（已知）
∴（兩直線平行，內錯角相等①）
∵（已知②）
∴③④
即⑤
在和中
∴（⑧）
∴⑨（全等三角形的對應邊相等⑩），
故答案為：①兩直線平行，內錯角相等；②已知；③；④；⑤；；；⑧；⑨；⑩全等三角形的對應邊相等．
16．（24-25七年級下·陜西咸陽·階段練習）某中學幾名同學想利用所學知識測量某段渭河的寬度（寬度一定），測量方案：尋找對岸河邊一棵樹的位置記作點A，在該岸邊尋找點，使垂直于河岸，因河邊不安全，幾名同學在該岸同側平地上取點，使三點在同一直線上，且，測得，再在的延長線上取一點，使，這時測得的長就是該段渭河的寬度．你認為這幾名同學的測量方案可行嗎？請說明理由．
【答案】可行，見解析
【分析】本題主要考查了全等三角形的判定與性質、三角形內角和定理、線段的和差等知識點，掌握三角形的判定與性質成為解題的關鍵．
由三角形內角和定理可得，即，再證明可得，最后根據線段的和差即可解答．
【詳解】解：可行．理由如下：
∵，
∴．
∵，
∴．
在和中，
，
∴，
∴．
∵，
∴．即測得的長就是該段渭河的寬度．
∴這幾名同學的測量方案可行．
17．（2025·河北滄州·模擬預測）【發現】如圖1，線段，，相交于點，為的中點．求證： ；
【應用】如圖2，有一塊不規則的土地，，點，分別在和上，以為分割線，把土地分給了甲、乙二人，現經甲、乙二人協商，想把分割線變為最短，且保證甲、乙二人的土地面積不變，請給出你的方案，并證明方案的正確性．
【答案】[發現]見解析；[應用]見解析
【分析】本題主要考查了全等三角形的判定與性質，平行線的性質，熟練掌握全等三角形的各種判定方法是解題關鍵．
[發現]由中點定義得，由平行線的性質得、，根據即可證得；
[應用] 取的中點，過點作于點，延長交于點，線段為新的分割線．利用兩條平行線間垂線段最短，則此時分割線為最短，根據即可證得，可得，從而證明方案的正確．
【詳解】[發現]
證明：∵為中點，
∴，
∵，
∴，，
在和中，
，
∴．
[應用]
解：如圖，取的中點，過點作于點，延長交于點，
線段為新的分割線，
證明：∵，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴根據兩條平行線間垂線段最短，此時分割線為最短，
∵為的中點，
∴，
∴，
∴，
∴甲分割出去的土地的面積等于補還給甲的土地的面積，甲和乙的土地面積沒有發生改變．
18．（24-25七年級下·四川成都·期中）在中，，，點為射線上一動點（點不與點重合），連接，以為直角邊在的右側作等腰直角，．
(1)如圖1，當點在線段上時，過點作于，求的長度；
(2)連接，交直線于點，
①如圖2，當點運動到的延長線上時，求證：；
②點在運動過程中，若，請直接寫出的長．
【答案】(1)
(2)①見解析②或
【分析】本題考查了全等三角形的判定和性質，熟練掌握全等三角形的判定和性質是解題的關鍵．
（1）證明，即可得到；
（2）①作，交的延長線于點，先證明，得到，再證明，即可得到結論；
②當在線段上時，由①得，，得到，求出，得到；當點在延長線上時，作于點,求出，得到．
【詳解】（1）解：，
，
，
，
，
，
等腰直角，
在和中，
，
；
（2）①證明：如圖，作，交的延長線于點，
，
，，
，
，
，
，
，
，
在和中，
，
；
②解：當在線段上時，
由①得，，
，，，
，
，
，
，
，
，
．
當點在延長線上時，
如圖，作于點,同①得,,
,,,
,
,
,即,
,
,
,
,
;
綜上所述的長為或．

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