資源簡介

中小學教育資源及組卷應用平臺
1.6 線段垂直平分線的性質
題型一：垂直平分線的性質中周長問題
1．（23-24八年級下·甘肅蘭州·期中）如圖，中，，直線垂直平分，分別交、于點E、D，若的周長為32，則的周長是（ ）
A．62 B．52 C．42 D．32
2．（24-25七年級下·山西太原·階段練習）如圖，在中，已知，的垂直平分線交于點，交于點，的周長等于，則的長是（ ）
A． B． C． D．
3．（2025八年級下·全國·專題練習）如圖，DE垂直平分AC，△ABD的周長是，，則的周長是（ ）
A． B． C． D．
4．（2025·江蘇連云港·中考真題）如圖，在中，，的垂直平分線分別交、于點D、E，的垂直平分線分別交、于點F、G，則的周長為（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
5．（24-25七年級下·山東青島·階段練習）如圖，中，，垂直平分，交于點F，交于點E，且．若周長為13，， ．
6．（24-25八年級下·陜西西安·期中）如圖，在中，邊的垂直平分線分別與邊，交于D，E兩點，邊的垂直平分線分別與邊，交于F，G兩點，連接，．若的周長為32，，則的長為 ．
7．（2025八年級下·全國·專題練習）如圖，在中，，，平分，于點E，則的周長為 ．
8．（2025·云南臨滄·三模）如圖，在中，為邊上一點，，為線段的垂直平分線，若的周長為，，則的長為 ．
題型二：垂直平分線與尺規作圖結合解題）
1．（2025·吉林白山·模擬預測）如圖，在中，，分別以點、為圓心，大于的長為半徑作弧，兩弧相交于點、，作直線交于點，連接．若，則的大小為（ ）
A． B． C． D．
2．（2025·貴州銅仁·三模）如圖，在中，分別以點B、C為圓心，大于的長為半徑畫弧，兩弧相交于點M、N．作直線，交于點D，交于點E，連接．若，則的度數為（ ）
A． B． C． D．
3．（24-25七年級下·江蘇揚州·期中）如圖，在中，分別以、為圓心，大于的長為半徑在兩側作弧，兩弧相交于點、，作直線分別交于邊，于點、，連接，若的長為，則的長為（ ）
A． B． C． D．
4．（2025·江蘇鹽城·三模）如圖，在中，，，根據尺規作圖痕跡，可知（ ）
A． B． C． D．
5．（2025九年級下·黑龍江哈爾濱·專題練習）如圖，分別以線段AB的兩端點A，B為圓心，大于長為半徑畫弧，在線段AB的兩側分別交于點E，F，作直線交于點O．在直線上任取一點P（不與O重合），連接，，則下列結論：①；②；③；④．其中一定成立的是（ ）．
A．①② B．①②③ C．①②④ D．②④
6．（2025·安徽蕪湖·模擬預測）如圖，在中，按以下步驟作圖：①分別以點，為圓心，大于的長為半徑作弧，兩弧相交于，兩點；②作直線交于點，連接．若，，則的周長為 ．
7．（2025·湖南長沙·二模）如圖，是直線外一點，按以下步驟作圖：
①以點為圓心，適當長為半徑作弧，交直線于點，；
②分別以點、點為圓心，大于的長為半徑作弧，兩弧相交于點；
③作直線交于點．
若，，則四邊形的面積為 ．
8．（24-25七年級下·全國·課后作業）如圖，在中，，分別以點A，B為圓心，5為半徑畫弧，兩弧分別交于點M，N，直線交于點D，連接，則的周長為 ．
9．（24-25九年級下·吉林松原·階段練習）如圖，在中，以點為圓心，的長為半徑作圓弧交于點，再分別以點和點為圓心，大于的長為半徑作圓弧，兩弧分別交于點和點，連接交于點．若的周長為21，，則的長為 ．
題型三：垂直平分線的性質求線段長度
1．（24-25八年級上·河北廊坊·期末）如圖中、，點D是的中點，過點D作交的延長線于點E，連接，若，，則的長為 ．
2．（24-25八年級上·廣西柳州·期中）如圖，在中，，線段的垂直平分線交，于點M，N，若，則的長為 ．
3．（24-25八年級上·河北邢臺·階段練習）如圖，在中，為邊的垂直平分線，于點，交的延長線于點，若，則的長為 ．
4．（24-25九年級上·四川廣安·階段練習）如圖，是的中線，于點C，，且，則的長為 ．
5．（23-24八年級上·四川涼山·期末）如圖所示，在中，，平分，垂直平分，如果，，那么 ．
6．（24-25八年級上·黑龍江哈爾濱·階段練習）已知：中，的垂直平分線交于點，的垂直平分線交于點，連接、，若，，，則 ．
題型四：垂直平分線性質中相關求解（解答題）
1．（24-25七年級下·陜西西安·階段練習）如圖所示，在中，，垂直平分，垂直平分．
(1)試說明：；
(2)若，，試說明：；
2．（24-25八年級上·湖北襄陽·期末）如圖，在中，為的中點，交的平分線于，于，交延長線于.
(1)求證：.
(2)猜想、、的數量有什么關系？并證明你的猜想；
(3)若，，則________.
3．（2025七年級下·全國·專題練習）如圖，中，垂直平分，交于點F，交于點E，，垂足為D，且，連接．
(1)求證：；
(2)若的周長為，，則的長為多少？
4．（24-25八年級上·河北邢臺·期中）如圖，在中，，，，．在上有一點D，恰好在的垂直平分線上．
(1)求的面積；
(2)連接，求的周長．
5．（24-25八年級下·河北保定·階段練習）如圖，在中，是邊上的一點，連接．垂直平分，垂足為，交于點，連接．
(1)若的長為6，的周長為7，求的周長．
(2)若，，求的度數．
6．（24-25八年級上·山東聊城·期末）在中，垂直平分，連接，平分．
(1)若，求的度數．
(2)若，的周長比的周長多8，的面積為6，則三角形的面積為多少？
7．（24-25七年級下·全國·課后作業）如圖，在中，，的垂直平分線交于點D，交于點E，連接．
(1)若，則_________；
(2)若，的周長為20，求的周長．
8．（24-25七年級下·上海閔行·階段練習）如圖，已知：，，點E在的延長線上．
(1)求證：垂直平分；
(2)求證：
題型五：垂直平分線的判定之選址類問題
1．（24-25八年級上·廣東佛山·期中）如圖，某市的三個城鎮中心構成，該市政府打算修建一個大型體育中心，使得該體育中心到三個城鎮中心的距離相等，則點應設計在（ ）
A．三條邊的垂直平分線的交點 B．三角形三條高的交點
C．三個角的角平分線的交點 D．三角形三條中線的交點
2．（24-25九年級上·山東濱州·期中）到三角形三個頂點的距離相等的點是（ ）
A．三條角平分線的交點 B．三邊中線的交點
C．三邊的垂直平分線的交點 D．三邊上高所在直線的交點
3．（24-25八年級上·湖北宜昌·期末）如圖，電信部門要在某區三個鄉鎮的中心圍成的區域內修建一個電視信號發射塔，使得該發射塔到三個鄉鎮中心三地的距離相等，以下選址正確的是（ ）
A． B．
C． D．
4．（23-24八年級上·湖南湘西·階段練習）在學習了三角形的內容后，李老師為了更生動地讓同學們理解所學習的知識，帶領大家做實驗：首先讓全班所有同學手拉手圍成一個銳角三角形，李老師站在三角形的內部，第一次李老師要以相同的速度和相同的時間走到三個頂點處的學生的位置，第二次李老師又要以相同的速度和相同的時間走到三條邊上距離他最近的學生的位置．請大家根據所學知識，依次猜出李老師兩次實驗的初始位置分別在三角形的什么地方嗎（ ）
①三條高的交點 ②三邊中垂線的交點
③三條角平分線的交點 ④三角形內部的任意位置
A．①③ B．②③ C．①② D．①④
5．（24-25八年級上·河南商丘·期中）如圖，現要求找一點，使其到三個頂點的距離相等．
(1)該點是三條______的交點；（選填“中線”“高線”“角平分線”或“垂直平分線”）
(2)請用無刻度的直尺和圓規作出點的位置（保留作圖痕跡，不寫作法）．
題型六：利用垂直平分線的判定判斷選項是否正確
1．（24-25八年級下·陜西咸陽·期中）如圖，在四邊形中，連接、，，，則有（ ）
A．與互相垂直平分 B．垂直平分
C．垂直平分 D．平分
2．（24-25八年級上·河北邢臺·期中）兩組鄰邊分別相等的四邊形叫做“箏形”．如圖，四邊形是一個箏形，其中，．詹姆斯在探究箏形的性質時，得到如下結論：①；②；③．其中正確的結論有（　　）
A．0個 B．1個 C．2個 D．3個
3．（24-25八年級上·上海·階段練習）如圖，已知中，，是的平分線，是邊上的高，與交于點，過點作交于點，連結交于點，則下列結論中，不一定成立的是（）
A． B． C． D．
4．（24-25八年級上·湖北武漢·階段練習）如圖，下列條件不能判定直線為線段的垂直平分線的是（ ）
A．且 B．且
C．且平分 D．且
5．（24-25八年級上·福建廈門·階段練習）如圖，在中，已知點在上，且，下列說法正確的是（ ）
A．點是的中點 B．平分
C．點在的垂直平分線上 D．點在的垂直平分線上
6．（24-25八年級上·湖北武漢·期中）如圖，是的角平分線，于點E，于點F，連接交于點G，下列結論不一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
7．（24-25八年級上·浙江紹興·階段練習）兩組鄰邊分別相等的四邊形叫做“箏形”．如圖，四邊形ABCD是一個箏形，其中，，小明在探究箏形的性質時，連結了AC，BD，并設交點為O，得到了如下結論，其中錯誤的是（ ）
A． B．
C． D．
8．（24-25八年級上·山東德州·期中）下列條件中，不能判定直線是線段（C，D不在線段上）的垂直平分線的是（ ）
A．， B．，
C．， D．，平分
題型七：由垂直平分線的判定求線段長度
1．（24-25九年級上·黑龍江哈爾濱·階段練習）如圖，在中，，，分別以點，點為圓心，大于的長為半徑作弧，兩弧交于點，，過點，作直線交于點，連結，則的周長為（ ）
A．7 B．10 C．11 D．12
2．（24-25八年級上·河南洛陽·期中）風箏又稱“紙鳶”“風鳶”等，起源于中國東周春秋時期，距今已有2000多年的歷史．如圖是一款風箏骨架的簡化圖，已知，制作這個風箏需要的布料至少為（ ）
A．1800 B．5400 C．2700 D．1200
3．（23-24八年級上·湖南益陽·期末）如圖，在中，E為邊的中點，過點E作交于點D，若，的周長為20，則的周長為（ ）
A．20 B．23 C．26 D．29
4．（24-25八年級上·上海靜安·期中）如圖，在四邊形中，為的中點，連接，延長交的延長線于點．若，則 ．

5．（24-25八年級上·湖北黃岡·期末）如圖，周長為16cm，，垂直平分，則 cm．

6．（2023·黑龍江牡丹江·模擬預測）在中，，，點到的距離是，到的距離是，則等于
7．（24-25八年級上·河南周口·期末）如圖，在中，，垂足為D，PQ是BC邊的垂直平分線，交BC于點Q，交AC于點P，．若的周長是，，則的長是 ．
題型八：垂直平分線中尺規作圖（解答題）
1．（2025·廣西崇左·模擬預測）如圖，已知．
(1)尺規作圖：作邊的垂直平分線，交于點D，交于點E；（保留作圖痕跡，不要求寫作法，標明字母）
(2)在（1）的條件下，連接．若的周長為16，，求的周長．
2．（上海市浦東區2024-2025學年下學期七年級數學期末試卷）如圖，在Rt中，
(1)請用直尺和圓規作線段的垂直平分線，分別交線段于點
(2)連接，請找出圖中和相等的線段（直接寫出答案，無需說明理由）．
3．（2025·廣東惠州·二模）如圖，在中，是鈍角．
(1)實踐與操作：用尺規作圖，作的垂直平分線交于點；（保留作圖痕跡，不要求寫作法）
(2)應用與計算：在（1）的條件下，連接，若，，求的大小．
4．（2025·黑龍江綏化·二模）是中邊上的中線．
(1)尺規作圖：作出的三等分點E、F．（要求：保留痕跡，不寫作法）
(2)當點靠近點時，連接，若，則的面積為________．
5．（2025·浙江·二模）如圖，在的方格中，的頂點均在格點上．試按要求畫出線段（E，F均為格點），各畫出一條即可．
6．（24-25七年級下·江蘇蘇州·期中）如圖，已知中．
(1)尺規作圖：作線段的垂直平分線，分別交邊，于點D，E（不寫作法、保留作圖痕跡并標明字母）；
(2)連接，若，的周長是18，求的周長．
7．（24-25八年級上·河北保定·期末）某社區經業主商討決定在街道m上建一個垃圾站點D和鮮奶站E，按要求完成下列作圖（保留作圖痕跡，不要求寫作法）．
(1)如圖1，小區A，B在街道m的異側，要使垃圾站點D到小區A，B的距離相等，請確定垃圾站點D的位置（要求利用尺規作圖）；
(2)如圖2，小區A，C在街道m的同側，要使鮮奶站E到小區A，C的距離之和最短，請確定鮮奶站E的位置．
9．（24-25八年級上·廣西柳州·期中）電信部門要在高速公路n上修建一座電視信號發射塔P，按照設計要求，發射塔P到兩城鎮A、B的距離必須相等．請在圖中作出發射塔P的位置．（尺規作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）
題型九：垂直平分線的判定中相關求解（解答題）
1．（24-25八年級下·陜西渭南·期中）如圖，在四邊形中，，點是的中點，連接并延長交的延長線于點，點在線段上，且，連接．求證：
(1)；
(2)垂直平分．
2．（24-25八年級上·貴州遵義·期中）如圖，在中，的垂直平分線交于點M，交于點D，的垂直平分線交于點N，交于點E，與相交于點O，的周長為10．
(1)求的長；
(2)試判斷點O是否在邊的垂直平分線上，并說明理由．
3．（2025八年級下·全國·專題練習）如圖，是的角平分線，分別是和的高，連接、交于點O．
(1)證明：；
(2)證明：垂直平分．
4．（24-25八年級上·貴州遵義·期末）如圖，四邊形中，，我們把這種兩組鄰邊分別相等的四邊形叫做“箏形”．
(1)線段和線段的位置關系是 ；
(2)求證：；
(3)在“箏形”中，已知，求“箏形”的面積．
5．（24-25八年級上·貴州黔南·期中）如圖，在四邊形中，，，我們把這種兩組鄰邊分別相等的四邊形叫做“箏形”．已知箏形的對角線，相交于點．
(1)請判斷與之間的位置關系，并說明理由；
(2)若，，求四邊形的面積．
6．（24-25八年級上·天津東麗·期中）如圖，與相交于點O，，，．
(1)求證；
(2)求證：垂直平分．
7．（24-25八年級上·山東德州·期中）已知：如圖，在中，，，點是的中點，，垂足為點，交的延長線于點，
(1)求證：；
(2)連接，求證：垂直平分．
8．（24-25八年級上·陜西咸陽·期末）如圖，平分，于點，于點，連接．
(1)試說明；
(2)與相等嗎？請說明理由；
(3)是否垂直平分，請說明理由．
9．（24-25八年級上·山東日照·期中）如圖，在中，邊的垂直平分線分別交，于點，，邊的垂直平分線分別交，于點，，，的延長線交于點．
(1)若，求的周長；
(2)試判斷點是否在的垂直平分線上，并說明理由；
題型一：垂直平分線的性質中最值問題
1．（24-25八年級下·安徽宿州·期中）如圖，在中，是的角平分線，點E、F分別是、上的動點，若，當的值最小時，的度數為（ ）
A． B． C． D．
2．（24-25八年級上·福建莆田·期中）如圖，在五邊形中，，，在直線，上分別找一點，，使得的周長最小，此時的度數為（ ）
A． B． C． D．
3．（23-24八年級上·河北石家莊·期末）如圖，在中，，直線m是中邊的垂直平分線，P是直線m上的一動點，則的周長的最小值為 ．
4．（24-25八年級上·河南漯河·期中）如圖，等腰的底邊，面積為18，直線是腰的垂直平分線，若點D在上運動，點F在邊上運動，則的最小值為 ．
5．（24-25九年級上·四川成都·階段練習）如圖，在中，，，是的垂直平分線，點P是直線上的任意一點，則的最小值是
6．（24-25八年級上·吉林延邊·期末）如圖，中，，，，垂直平分，點P為直線上一動點，則周長的最小值為 ．
7．（24-25八年級上·河南新鄉·期末）如圖，在中，，的垂直平分線交于點，交于點，連接，，的周長為18．若點在直線上，連接、，則 ，的最大值為 ．
8．（24-25九年級上·河北廊坊·期中）如圖，在中，，，垂直平分邊，交于點D，交于點E，動點P在線段上，連接，，則周長的最小值為 ．
題型二：垂直平分線的性質和判定中多結論問題
1．（24-25八年級下·寧夏銀川·階段練習）如圖，是的角平分線，分別是和的高，得到下列四個結論：①；②；③；④．其中正確的是（　　）
A．②③ B．②④ C．①③④ D．②③④
2．（24-25八年級上·湖北黃石·期末）如圖，在中，，以為邊，作，滿足，E為上一點，連接，，連接，下列結論中：①；②；③；④．其中正確的有（ ）
A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④
3．（24-25八年級上·山西大同·期中）如圖，在四邊形中，與交于點O，其中，．下列結論：①；②垂直平分；③平分；④．其中正確結論的個數為（ ）
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
4．（24-25八年級上·河北張家口·期末）如圖，在中，于點D，平分，且于點E，與相交于點F，于點H，交于點G．以下結論：①；②；③；④．其中正確的是（ ）
A．①② B．①③ C．①②③ D．①②③④
5．（24-25八年級下·內蒙古包頭·期中）如圖，平分，，垂足為E，交的延長線于點F，若恰好平分．則下列結論中：①是的高；②是的中線；③；④．其中正確的有 ．（填序號）
6．（24-25八年級上·重慶·階段練習）如圖，在中，，以為邊，作，滿足，點E為上一點，連接，，下列結論：①；②；③若，則；④．正確的有 ．（填序號）
7．（23-24八年級上·江蘇·期中）如圖，四邊形的對角線、相交于點，，下列結論：①；②；③；④．其中不正確結論的序號是 ．
8．（23-24八年級上·河北唐山·階段練習）如圖，在中，，，分別為，邊上的高，，相交于點，連接，則下列結論：；；；若，則周長等于的長其中正確的有 寫出所有正確結論的序號
題型三：垂直平分線的性質和判定綜合壓軸題
1．（24-25七年級下·吉林長春·階段練習）教材呈現：如圖是華師版八年級上冊數學教材第94頁的部分內容．
2．線段垂直平分線
我們已經知道線段是軸對稱圖形，線段的垂直平分線是線段的對稱軸．如圖，直線是線段的垂直平分線，是上任一點，連結、．將線段沿直線對折，我們發現與完全重合．由此即有：繞段垂直平分線的性質定理 線段垂直平分線上的點到線段兩端的距離相等．
已知：如圖，，垂足點為C，，點P是直線的任意一點，求證：．
AI
分析：圖中有兩個直角三角形和，只要證明這兩個三角形全等，便可證明．
（1）請根據所給教材內容，結合圖①，寫出“線段垂直平分線的性質定理”完整的證明過程．
定理應用：
（2）如圖②，在中，AB、AC的垂直平分線分別交BC于點D、E，垂足分別為M，N，，則的周長為________．
（3）如圖③，在中，，，E、P分別是AB、AD上任意一點，若，的面積為30，則的最小值是________．
2．（24-25八年級下·山西太原·階段練習）綜合與實踐
問題情境：數學課上，同學們利用兩個全等的直角三角形的紙片進行圖形變換的操作探究．如圖，，，．將和按如圖1的方式在同一平面內放置，其中點E與點A重合，邊與邊重合．

初步思考：（1）小麗在圖1的基礎上進行了如下操作：保持不動，將沿著射線的方向平移，邊與邊交于點H，邊與直線交于點G．如圖2，當點H為邊的中點時，判斷線段與線段的數量關系，并說明理由；
問題探究：（2）請在圖2的基礎上進行如下操作：連接，．求證：垂直平分；
拓展延伸：（3）小穎在圖1的基礎上進行如下操作：，保持不動，將沿著射線的方向平移，如圖2，在平移的過程中，當點F平移到的邊所在的直線上時，請直接寫出平移的距離．
3．（24-25八年級上·山西呂梁·期末）問題情境：課外興趣小組活動時，老師提出了如下問題：
如圖1，中，若，，求邊上的中線的取值范圍．
小明在組內經過合作交流，得到了如下的解決方法：延長至點E，使，連接．請根據小明的方法思考并解答：
（1）①由已知和作圖能得到，依據是____________．
A． B． C． D．
②由“三角形的三邊關系”可求得的取值范圍是____________．
解后反思：題目中出現“中點”、“中線”等條件，可考慮延長中線，構造全等三角形、平行線、平移線段，把分散的已知條件和所求證的結論集中到同一個三角形之中．
類比探究：（2）如圖2，已知與，，，，、分別為中邊上的中線與高，且，，求的面積．
（3）拓展延伸：如圖3，四邊形中，，E是的中點，
①若四邊形的面積為m，求證：的面積為．
②若，則、、三者之間的數量關系為______．
4．（24-25八年級上·河南洛陽·期末）【問題發現】我們知道“線段垂直平分線上點到線段兩端的距離相等”，那么不在線段垂直平分線上的點到線段兩端的距離大小如何判斷呢？
【自主研究】（1）如圖①，直線l是線段 的垂直平分線，點P在直線l的左側，經測量， 請證明這個結論；
【遷移研究】（2）如圖②，直線l是線段的垂直平分線，點C在直線l外，且與點A在直線l的同測，點D 是直線l上的任意一點，連結，試判斷和之間的大小關系，并說明理由．
5．（24-25八年級上·陜西渭南·期末）【問題探究】
（1）如圖1，在中，點是上一點，點是的中點，連接并延長到點，過點作交于點，連接，求證：；
【問題解決】
（2）如圖2，四邊形是一個工業區，點是一個入口，是兩個倉庫，點分別是粗加工廠和精密加工廠，點分別在上，是兩條小路，是兩條運輸公路，為方便從粗加工廠運輸到精密加工廠，現要沿修建一個運輸軌道，為了估計成本，現管理人員需要知道運輸軌道與運輸公路之間的數量關系．已知，．請你幫助管理人員探索線段之間的數量關系，并加以證明．
6．（24-25八年級上·內蒙古赤峰·期末）【教材呈現】如圖1，連接的頂點和它所對的邊的中點，所得線段叫做的邊上的中線．學了這個知識后，小明遇到這樣一個問題：如圖1，在中，是的中點，求邊上的中線的取值范圍．
【嘗試感悟】小明在組內經過合作交流，得到了如下的解決方法：如圖2，延長到，使，請完成證明“”的推理過程．
（1）求證：．
（2）求的取值范圍．
【問題解決】
（3）如圖3，在中，，，是的中線，，，且，求的長．
7．（24-25八年級上·安徽滁州·期末）在等腰直角三角形中，，，點在射線上，點在直線上，垂直平分線段交直線于點．
(1)如圖1，若點在線段的延長線上，點在線段上．求證：；
(2)如圖2，當點在線段的延長線上，點在線段的延長線上時．
①請寫出，，之間的數量關系并證明；
②若，，求的長．
1．（2025·山東威海·中考真題）我們把兩組鄰邊分別相等的四邊形稱之為“箏形”．在四邊形中，對角線交于點O．下列條件中，不能判斷四邊形是箏形的是（　　）
A．， B．，
C．， D．，
2．（24-25七年級下·山東棗莊·階段練習）如圖，是一塊三角形的草坪，現要在草坪上建一涼亭，要使涼亭到草坪三個頂點的距離相等，涼亭應選的位置是（ ）
A．的三條中線的交點
B．三條角平分線的交點
C．三邊的垂直平分線的交點
D．三條高所在直線的交點
3．（24-25八年級上·廣東廣州·期中）如圖，在中，是的垂直平分線，，的周長為12，則的周長為（ ）
A．17 B．22 C．29 D．30
4．（24-25八年級上·陜西渭南·期中）如圖，在中，直線是線段的垂直平分線，點是直線上的一個動點，連接、，若，，則周長的最小值是（ ）
A． B． C． D．
5．（24-25八年級上·湖北武漢·期末）如圖，在中，的垂直平分線分別交于點D、E，連接．若平分，且，則的度數為（ ）
A． B． C． D．
6．（24-25八年級上·河北保定·期中）在中，的垂直平分線分別交于點的垂直平分線分別交于點．若，則的周長為（　　）
A．8 B．10 C．14 D．10或14
7．（24-25八年級上·湖南婁底·期末）如圖，在中，，為內一點，過點的直線分別交，于點，，若在的垂直平分線上，在的垂直平分線上，則的度數為（ ）
A． B． C． D．
8．（24-25七年級下·四川成都·期中）如圖，將三角形紙片的一角沿的垂直平分線翻折，折痕為，點與點重合，已知，，則 ．
9．（2025七年級下·全國·專題練習）如圖，直線l是線段的垂直平分線，交于點O，P為直線l上一點，則下列說法：①點O是線段的中點；②直線l是線段的對稱軸；③線段是的垂線，其中正確的有 ．
10．（24-25八年級上·上海嘉定·期中）如圖，在四邊形中，為的中點，連接，延長交的延長線于點F．若，則 ．
11．（24-25八年級上·吉林·期中）如圖，在中，以點為圓心，的長為半徑作圓弧交于點，再分別以點和點為圓心，大于的長為半徑作圓弧，兩弧分別交于點和點，連接交于點．若，，，則的周長為 ．
12．（24-25八年級下·陜西安康·期中）如圖，在中、、于點、是的垂直平分線，求證：平分．
13．（2025八年級下·全國·專題練習）如圖，A，B，C三點表示三個居民區，為了方便居民就近購物，計劃新建一個綜合超市，要使超市到三個居民區距離相等，請你在圖中用尺規確定超市位置．
14．（24-25八年級上·安徽池州·期末）【問題提出】
數學興趣小組在活動時，老師提出了這樣一個問題：如圖1，在中，，，D是的中點，求邊上的中線的取值范圍．
【問題探究】
小明在組內經過合作交流，得到了如下的解決方法：延長到E，使，請補充完整證明“”的推理過程．
（1）求證：；
證明：延長到點E，使
是的中點（已知）
（中點定義）
在和中
∴（________）
（2）探究得出的取值范圍是_______；
【問題解決】
（3）如圖2，中，，，是的中線，，，且，求的長．
15．（24-25八年級上·安徽滁州·期末）在等腰直角三角形中，，，點在射線上，點在直線上，垂直平分線段交直線于點．
(1)如圖1，若點在線段的延長線上，點在線段上．求證：；
(2)如圖2，當點在線段的延長線上，點在線段的延長線上時．
①請寫出，，之間的數量關系并證明；
②若，，求的長．
16．（24-25八年級上·四川廣元·期末）（1）如圖1，在中，若，，求邊上的中線的取值范圍．解決此問題可以用如下方法：延長到點E，使，再連接，這樣就把，，集中在中，則中線的取值范圍是______．
（2）如圖2，在中，D是邊的中點，于點D，交于點E，交于點F，連接．試判斷與之間的大小關系，并說明理由．
（3）如圖3，在四邊形ABCD中，，，，以C為頂點作，邊，分別交，于點E，F，連接．試判斷，與之間的數量關系，并說明理由．中小學教育資源及組卷應用平臺
1.6 線段垂直平分線的性質
題型一：垂直平分線的性質中周長問題
1．（23-24八年級下·甘肅蘭州·期中）如圖，中，，直線垂直平分，分別交、于點E、D，若的周長為32，則的周長是（ ）
A．62 B．52 C．42 D．32
【答案】B
【分析】本題考查了垂直平分線的性質，掌握垂直平分線上的點到線段兩端距離相等是解題關鍵．由垂直平分線可得，再結合的周長得到，即可求出的周長．
【詳解】解：中，，直線垂直平分，
，
的周長為32，
，
的周長是，
故選：B．
2．（24-25七年級下·山西太原·階段練習）如圖，在中，已知，的垂直平分線交于點，交于點，的周長等于，則的長是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本題考查了線段垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等的性質，熟記線段垂直平分線的性質是解題的關鍵．
根據線段垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等得到，得到，即，求出，即可得到答案．
【詳解】解：是的垂直平分線，
，
的周長等于，
，
，即，
，
故選：B．
3．（2025八年級下·全國·專題練習）如圖，DE垂直平分AC，△ABD的周長是，，則的周長是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本題主要考查了線段垂直平分線的性質定理，熟練掌握線段垂直平分線上的點到線段兩端的距離相等是解題的關鍵．
根據線段垂直平分線的性質定理，可得，從而得到，再由的周長為，可得到，即可求解．
【詳解】解：∵是的垂直平分線，
∴，
∴，
∵的周長為，
∴，
∴
∵，
∴．
故選：D．
4．（2025·江蘇連云港·中考真題）如圖，在中，，的垂直平分線分別交、于點D、E，的垂直平分線分別交、于點F、G，則的周長為（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】C
【分析】本題考查了線段垂直平分線的性質，由線段垂直平分線的性質可得，，再由三角形的周長公式計算即可得解，熟練掌握線段垂直平分線的性質是解此題的關鍵．
【詳解】解：∵垂直平分，垂直平分，
∴，，
∴的周長為，
故選：C．
5．（24-25七年級下·山東青島·階段練習）如圖，中，，垂直平分，交于點F，交于點E，且．若周長為13，， ．
【答案】
【分析】本題主要考查了線段垂直平分線的性質和判定，
先根據線段垂直平分線的性質和判定得，再根據的周長為，，求出，然后等量代換可得答案．
【詳解】解：∵是的垂直平分線，
∴．
∵，
∴是的垂直平分線，
∴，
∴．
∵的周長為，，
∴，
∴，
則，
∴，
即．
故答案為：．
6．（24-25八年級下·陜西西安·期中）如圖，在中，邊的垂直平分線分別與邊，交于D，E兩點，邊的垂直平分線分別與邊，交于F，G兩點，連接，．若的周長為32，，則的長為 ．
【答案】5
【分析】本題考查了線段垂直平分線的性質，熟練掌握線段的垂直平分線的性質是解題的關鍵．根據線段垂直平分線的性質得到，，然后根據三角形的周長公式計算，得到答案．
【詳解】解：是邊的垂直平分線，是邊的垂直平分線，
，，
的周長為32，
，
，即，
，
．
故答案為：5．
7．（2025八年級下·全國·專題練習）如圖，在中，，，平分，于點E，則的周長為 ．
【答案】
【分析】本題考查了全等三角形的判定和性質，勾股定理，先根據角角邊證明，繼而得出，再根據勾股定理求出的長度，根據的周長為求解即可，熟練掌握知識點是解題的關鍵．
【詳解】解：∵平分，
∴,
∵，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴的周長為，
故答案為：．
8．（2025·云南臨滄·三模）如圖，在中，為邊上一點，，為線段的垂直平分線，若的周長為，，則的長為 ．
【答案】
【分析】本題考查了線段垂直平分線的性質，三角形的周長，先由線段垂直平分線的性質得，結合的周長為，，即可得出
【詳解】解：∵為線段的垂直平分線，
∴，
∵，，的周長為，
∴
∴，
故答案為：．
題型二：垂直平分線與尺規作圖結合解題）
1．（2025·吉林白山·模擬預測）如圖，在中，，分別以點、為圓心，大于的長為半徑作弧，兩弧相交于點、，作直線交于點，連接．若，則的大小為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本題主要考查了線段垂直平分線的性質，三角形內角和定理，由作圖可知：平分，由線段垂直平分線的性質得出，最后由三角形內角和定理即可得出答案．
【詳解】解：由作圖可知：平分，
∴，
∴，
∴，
故選：B
2．（2025·貴州銅仁·三模）如圖，在中，分別以點B、C為圓心，大于的長為半徑畫弧，兩弧相交于點M、N．作直線，交于點D，交于點E，連接．若，則的度數為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根據基本作圖，得到，繼而得到，根據三角形外角性質得解答即可．
本題考查了線段垂直平分線的基本作圖，三角形外角性質，熟練掌握作圖的性質是解題的關鍵．
【詳解】解：根據基本作圖，得到，
故，
根據三角形外角性質得，
故選：C．
3．（24-25七年級下·江蘇揚州·期中）如圖，在中，分別以、為圓心，大于的長為半徑在兩側作弧，兩弧相交于點、，作直線分別交于邊，于點、，連接，若的長為，則的長為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本題考查了線段垂直平分線的作法和性質，由作圖可知直線是線段的垂直平分線，進而由線段垂直平分線的性質即可求解，掌握線段垂直平分線的作法是解題的關鍵．
【詳解】解：由作圖可知，直線是線段的垂直平分線，
∴，
故選：．
4．（2025·江蘇鹽城·三模）如圖，在中，，，根據尺規作圖痕跡，可知（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由作圖痕跡可知直線是的垂直平分線，射線是的平分線．先由線段垂直平分線知，再用三角形外角性質求出，再用三角形內角和求出，然后用角平分線求出，最后根據三角形的內角和求出．本題考查三角形外角性質，角平分線的性質，線段垂直平分線的性質．熟練掌握以上知識是解題的關鍵．
【詳解】解：由作圖痕跡可知直線是的垂直平分線，射線是的平分線．
，
，
，
∵中，，，
，
，
．
故選：B
5．（2025九年級下·黑龍江哈爾濱·專題練習）如圖，分別以線段AB的兩端點A，B為圓心，大于長為半徑畫弧，在線段AB的兩側分別交于點E，F，作直線交于點O．在直線上任取一點P（不與O重合），連接，，則下列結論：①；②；③；④．其中一定成立的是（ ）．
A．①② B．①②③ C．①②④ D．②④
【答案】C
【分析】根據基本作圖，得到直線是線段的垂直平分線，解答即可．
本題考查了線段垂直平分線的基本作圖和性質，熟練掌握作圖和性質是解題的關鍵．
【詳解】解：根據基本作圖，得直線是線段的垂直平分線，
故①成立；②成立；③不成立；④成立．
故選：C．
6．（2025·安徽蕪湖·模擬預測）如圖，在中，按以下步驟作圖：①分別以點，為圓心，大于的長為半徑作弧，兩弧相交于，兩點；②作直線交于點，連接．若，，則的周長為 ．
【答案】14
【分析】本題考查中垂線的性質，根據中垂線的性質，推出的周長等于，即可得出結果．
【詳解】解：由作圖可知：垂直平分，
∴，
∴的周長為:；
故答案為：14．
7．（2025·湖南長沙·二模）如圖，是直線外一點，按以下步驟作圖：
①以點為圓心，適當長為半徑作弧，交直線于點，；
②分別以點、點為圓心，大于的長為半徑作弧，兩弧相交于點；
③作直線交于點．
若，，則四邊形的面積為 ．
【答案】12
【分析】本題考查線段垂直平分線的尺規作圖性質以及對角線垂直的四邊形面積計算，解題關鍵是依據作圖步驟明確線段關系，運用對應面積公式求解．
先依據作圖步驟得出，垂直平分，進而得到的長度，再推導出對角線垂直的四邊形面積公式對角線之積，計算出結果．
【詳解】解：由作圖步驟可知：
步驟①中，以點為圓心作弧交直線于、，
∴．
步驟②中，分別以、為圓心，大于長為半徑作弧相交于，
∴直線是線段的垂直平分線，
∴，．
∴．
∵四邊形的對角線與互相垂直，
．
故答案為：12．
8．（24-25七年級下·全國·課后作業）如圖，在中，，分別以點A，B為圓心，5為半徑畫弧，兩弧分別交于點M，N，直線交于點D，連接，則的周長為 ．
【答案】14
【分析】本題考查基本作圖-作線段垂直平分線，線段的垂直平分線的性質，解題的關鍵是讀懂圖象信息．利用線段的垂直平分線的性質證明，可得結論．
【詳解】解：由作圖可知垂直平分線段，
∴，
∴的周長．
故答案為：14．
9．（24-25九年級下·吉林松原·階段練習）如圖，在中，以點為圓心，的長為半徑作圓弧交于點，再分別以點和點為圓心，大于的長為半徑作圓弧，兩弧分別交于點和點，連接交于點．若的周長為21，，則的長為 ．
【答案】12
【分析】本題主要考查了基本的尺規作圖，線段垂直平分線的性質等知識點，解題的關鍵是熟練掌握線段垂直平分線的性質．
根據尺規作圖可知，垂直平分線段，利用線段垂直平分線的性質和三角形的周長公式進行求解即可
【詳解】解：根據尺規作圖可知，垂直平分線段
∵的周長為21，
故答案為：12．
題型三：垂直平分線的性質求線段長度
1．（24-25八年級上·河北廊坊·期末）如圖中、，點D是的中點，過點D作交的延長線于點E，連接，若，，則的長為 ．
【答案】
【分析】本題考查了垂直平分線的判定與性質，根據點D是的中點，，推出是的垂直平分線，得到，再根據點D是的中點，得到，進而得到，即可求解．
【詳解】解：∵在中，點D是的中點，，
∴是的垂直平分線，
∴，
∵，
∴，
∵點D是的中點，，
∴，
∵，
∴，
∴．
故答案為：．
2．（24-25八年級上·廣西柳州·期中）如圖，在中，，線段的垂直平分線交，于點M，N，若，則的長為 ．
【答案】1
【分析】本題考查的是線段的垂直平分線的性質，掌握線段的垂直平分線上的點到線段的兩個端點的距離相等是解題的關鍵．根據線段垂直平分線的性質得到，進而解答即可．
【詳解】解：∵是線段的垂直平分線，
∴，
∴，
故答案為：1．
3．（24-25八年級上·河北邢臺·階段練習）如圖，在中，為邊的垂直平分線，于點，交的延長線于點，若，則的長為 ．
【答案】9
【分析】本題考查了線段垂直平分線的性質、三角形全等的判定與性質、平行線的性質，正確找出兩個全等三角形是解題關鍵．先求出，再根據線段垂直平分線的性質可得，，根據平行線的性質可得，然后證出，根據全等三角形的性質可得，根據線段和差可得的長，由此即可得．
【詳解】解：∵，
∴，
∵為邊的垂直平分線，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案為：9．
4．（24-25九年級上·四川廣安·階段練習）如圖，是的中線，于點C，，且，則的長為 ．
【答案】8
【分析】本題考查的是全等三角形的判定和性質、三角形的三邊關系，掌握全等三角形的判定定理和性質定理是解題的關鍵．
延長交的延長線于點F，證明，可得，再由，可得，即可求解．
【詳解】解：如圖，延長交的延長線于點F，
∵，
∴，
∵是的中線，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
故答案為：8
5．（23-24八年級上·四川涼山·期末）如圖所示，在中，，平分，垂直平分，如果，，那么 ．
【答案】5
【分析】本題考查了角平分線的性質和垂直平分線的性質，是基礎題，熟記性質是解題的關鍵．
根據角平分線的性質和垂直平分線的性質可得，，然后求出即可．
【詳解】解：∵，平分，垂直平分，，
∴，
∴．
故答案為：5．
6．（24-25八年級上·黑龍江哈爾濱·階段練習）已知：中，的垂直平分線交于點，的垂直平分線交于點，連接、，若，，，則 ．
【答案】或
【分析】本題考查了線段垂直平分線的性質，掌握線段垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等是解題的關鍵．根據線段垂直平分線的性質得出，，再根據或者計算即可．
【詳解】解：兩種情況討：
①如圖，
、分別是線段、的垂直平分線，
，，
，，，
，，
；
②如圖，
、分別是線段、的垂直平分線，
，，
，，，
，，
；
故答案為：或
題型四：垂直平分線性質中相關求解（解答題）
1．（24-25七年級下·陜西西安·階段練習）如圖所示，在中，，垂直平分，垂直平分．
(1)試說明：；
(2)若，，試說明：；
【答案】(1)證明見解析
(2)證明見解析
【分析】本題考查了線段垂直平分線的性質，等腰三角形的性質，全等三角形的性質等知識，解題的關鍵是：
（1）利用線段垂直平分線的性質得出，，利用等邊對等角得出，，然后利用三角形內角和定理，等量代換可得出，即可得證；
（2）結合（1）中結論可得出，，，利用證明即可；
【詳解】（1）證明∶ ∵垂直平分，垂直平分，
∴，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）證明：由（1） 知，，，
∵，，
∴，，
∴在和中，
∴
2．（24-25八年級上·湖北襄陽·期末）如圖，在中，為的中點，交的平分線于，于，交延長線于.
(1)求證：.
(2)猜想、、的數量有什么關系？并證明你的猜想；
(3)若，，則________.
【答案】(1)見解析
(2)，見解析
(3)2
【分析】本題考查了全等三角形的判定和性質，角平分線的性質，線段垂直平分線的性質．
（1）連接、，先根據線段垂直平分線的性質的性質得，再根據角平分線的性質得，然后根據證明，根據全等三角形的性質即可得出結論；
（2）證明得，再結合（1）的結論，得；
（3）根據（2）的結論得，再根據可得答案.
【詳解】（1）證明：如圖，連接、，
∵，D為中點，
∴，
∵，，且平分，
∴，
在和中，
，
∴，
∴；
（2）解：，證明如下：
在和中，
，
∴，
∴，
由（1）知，
∴．
即；
（3）解：由（2）知，
∵，，
∴，
∴，
∴，
故答案為：2．
3．（2025七年級下·全國·專題練習）如圖，中，垂直平分，交于點F，交于點E，，垂足為D，且，連接．
(1)求證：；
(2)若的周長為，，則的長為多少？
【答案】(1)見解析
(2)的長為
【分析】本題主要考查了線段垂直平分線的性質，正確記憶線段垂直平分線的性質是解題關鍵．
（1）根據線段垂直平分線的性質得到，，等量代換證明結論；
（2）根據三角形的周長公式得到，根據，計算，得到答案．
【詳解】（1）證明：∵垂直平分，
∴，
∵，，
∴，
∴；
（2）解：∵的周長為，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴；
4．（24-25八年級上·河北邢臺·期中）如圖，在中，，，，．在上有一點D，恰好在的垂直平分線上．
(1)求的面積；
(2)連接，求的周長．
【答案】(1)16
(2)12
【分析】本題考查了線段垂直平分線的性質、三角形面積公式，熟練掌握以上知識點并靈活運用是解此題的關鍵．
（1）根據三角形的面積公式計算即可得解；
（2）由線段垂直平分線的性質可得，再根據三角形的周長公式計算即可得解．
【詳解】（1）解：；
（2）解：如圖：
∵點D在線段的垂直平分線上，
，
的周長為．
5．（24-25八年級下·河北保定·階段練習）如圖，在中，是邊上的一點，連接．垂直平分，垂足為，交于點，連接．
(1)若的長為6，的周長為7，求的周長．
(2)若，，求的度數．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由線段垂直平分線的性質可得，，由的周長為7可得，于是可得的周長，于是得解；
（2）由三角形的內角和定理可得，利用可證得，于是可得，由三角形外角的性質可得，由此即可求出的度數．
【詳解】（1）解：是線段的垂直平分線，
，，
的周長為7，
，
的周長
；
（2）解：，，
，
∵在和中，
，
，
，
．
6．（24-25八年級上·山東聊城·期末）在中，垂直平分，連接，平分．
(1)若，求的度數．
(2)若，的周長比的周長多8，的面積為6，則三角形的面積為多少？
【答案】(1)
(2)12
【分析】本題考查了垂直平分線的性質，角平分線的性質，熟知相關性質是解題的關鍵．
（1）利用垂直平分線的性質得到，再得到，利用三角形內角和即可解答；
（2）過點作交的延長線于點，根據題意求得的長即可解答．
【詳解】（1）解： 垂直平分，
，
，
，
為角平分線
；
（2）解：如圖，過點作交的延長線于點
，，為角分平線，
，
，
，
，，且，
，
的面積為12．
7．（24-25七年級下·全國·課后作業）如圖，在中，，的垂直平分線交于點D，交于點E，連接．
(1)若，則_________；
(2)若，的周長為20，求的周長．
【答案】(1)3
(2)32
【分析】本題主要考查了線段垂直平分線的性質定理，
對于（1），根據是的垂直平分線，得，可得答案；
對于（2），先求出，再根據線段垂直平分線的性質定理得，然后根據的周長等于求出，進而得出答案．
【詳解】（1）解：∵是的垂直平分線，
∴．
故答案為：3；
（2）解：∵，是的垂直平分線，
∴，，
∴的周長，
解得，
∴的周長．
8．（24-25七年級下·上海閔行·階段練習）如圖，已知：，，點E在的延長線上．
(1)求證：垂直平分；
(2)求證：
【答案】(1)詳見解析
(2)詳見解析
【分析】本題考查全等三角形的判定，線段垂直平分線的性質性質．
（1）由線段垂直平分線性質定理的逆定理，即可證明問題;
（2）由線段垂直平分線的性質定理推出，即可證明．
【詳解】（1）證明：∵，，
∴點A和D都在線段的垂直平分線上，
∴垂直平分；
（2）證明：由（1）知垂直平分，
∴，
在和中，
，
∴．
題型五：垂直平分線的判定之選址類問題
1．（24-25八年級上·廣東佛山·期中）如圖，某市的三個城鎮中心構成，該市政府打算修建一個大型體育中心，使得該體育中心到三個城鎮中心的距離相等，則點應設計在（ ）
A．三條邊的垂直平分線的交點 B．三角形三條高的交點
C．三個角的角平分線的交點 D．三角形三條中線的交點
【答案】A
【分析】本題考查了垂直平分線的判定，根據垂直平分線的判定即可求解，掌握垂直平分線的判定是解題的關鍵．
【詳解】解：∵體育中心到城鎮中心的距離相等，
∴，
∴點在線段的垂直平分線上，
同理，點在線段，的垂直平分線上，
∴點應設計在三條邊的垂直平分線的交點，
故選：．
2．（24-25九年級上·山東濱州·期中）到三角形三個頂點的距離相等的點是（ ）
A．三條角平分線的交點 B．三邊中線的交點
C．三邊的垂直平分線的交點 D．三邊上高所在直線的交點
【答案】C
【分析】本題考查了線段垂直平分線的判定，掌握到線段兩端的距離相等的點在線段的垂直平分線上是解題關鍵．根據線段垂直平分線的判定求解．
【詳解】解：∵到線段兩端的距離相等的點在線段的垂直平分線上，
∴到三角形各頂點距離相等的點是三條邊垂直平分線交點．
故選：C．
3．（24-25八年級上·湖北宜昌·期末）如圖，電信部門要在某區三個鄉鎮的中心圍成的區域內修建一個電視信號發射塔，使得該發射塔到三個鄉鎮中心三地的距離相等，以下選址正確的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本題考查的是線段的垂直平分線的性質，掌握線段的垂直平分線上的點到線段的兩個端點的距離相等是解題的關鍵．根據線段垂直平分線的性質解答即可．
【詳解】解：發射塔到三個鄉鎮中心三地的距離相等，
則，
∴點在線段、的垂直平分線上，
即線段、的垂直平分線的交點即為發射塔，
選項B符合題意．
故選：B．
4．（23-24八年級上·湖南湘西·階段練習）在學習了三角形的內容后，李老師為了更生動地讓同學們理解所學習的知識，帶領大家做實驗：首先讓全班所有同學手拉手圍成一個銳角三角形，李老師站在三角形的內部，第一次李老師要以相同的速度和相同的時間走到三個頂點處的學生的位置，第二次李老師又要以相同的速度和相同的時間走到三條邊上距離他最近的學生的位置．請大家根據所學知識，依次猜出李老師兩次實驗的初始位置分別在三角形的什么地方嗎（ ）
①三條高的交點 ②三邊中垂線的交點
③三條角平分線的交點 ④三角形內部的任意位置
A．①③ B．②③ C．①② D．①④
【答案】B
【分析】本題考查了角平分線的性質及線段垂直平分線的性質，熟練掌握角平分線的性質及線段垂直平分線的性質是解答本題的關鍵．角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等．線段垂直平分線上任意一點，到線段兩端點的距離相等．
【詳解】解：∵第一次李老師要以相同的速度和相同的時間走到三個頂點處的學生的位置，
∴初始位置應在三角形三邊中垂線的交點上．
∵第一次李老師要以相同的速度和相同的時間走到三個頂點處的學生的位置，
∴初始位置應在三角形三條角平分線的交點上．
∴應當是②③
故選：B．
5．（24-25八年級上·河南商丘·期中）如圖，現要求找一點，使其到三個頂點的距離相等．
(1)該點是三條______的交點；（選填“中線”“高線”“角平分線”或“垂直平分線”）
(2)請用無刻度的直尺和圓規作出點的位置（保留作圖痕跡，不寫作法）．
【答案】(1)垂直平分線
(2)見解析
【分析】本題考查了垂直平分線的作法及性質．
（1）由點到線段的兩個端點的距離相等的點在線段的垂直平分線上即可解答．
（2）作線段的垂直平分線交于點P即可．
【詳解】（1）解：內一點，到三個頂點的距離相等，即，
點是三條垂直平分線的交點；
（2）解：如圖所示，點P為所求：
題型六：利用垂直平分線的判定判斷選項是否正確
1．（24-25八年級下·陜西咸陽·期中）如圖，在四邊形中，連接、，，，則有（ ）
A．與互相垂直平分 B．垂直平分
C．垂直平分 D．平分
【答案】B
【分析】本題主要考查線段垂直平分線的判定，由，，得A與C在的垂直平分線上，進而解決此題．
【詳解】解：∵，，
∴A與C在的垂直平分線上，
∴是的垂直平分線，
∴垂直平分，
故B選項符合題意；
由已知條件無法證明平分，平分，
故A、C、D選項不符合題意；
故選：B．
2．（24-25八年級上·河北邢臺·期中）兩組鄰邊分別相等的四邊形叫做“箏形”．如圖，四邊形是一個箏形，其中，．詹姆斯在探究箏形的性質時，得到如下結論：①；②；③．其中正確的結論有（　　）
A．0個 B．1個 C．2個 D．3個
【答案】D
【分析】本題主要考查全等三角形的判定和性質，通過證明三角形全等來驗證箏形的性質．
根據全等三角形的判定和性質逐個證明即可得到結果．
【詳解】在和中
，
故③正確；
在與中，
，
，
故①②正確，
綜上①②③正確，正確的結論共3個，
故選：D．
3．（24-25八年級上·上海·階段練習）如圖，已知中，，是的平分線，是邊上的高，與交于點，過點作交于點，連結交于點，則下列結論中，不一定成立的是（）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根據角平分線的性質可判斷，根據全等三角形的性質及線段垂直平分線的判定可判斷，進而可得出答案．
【詳解】解：是邊上的高，
，
，
，
，是的平分線，
，故A結論正確，不符合題意；
，
，
是的平分線，
，
，
，
，
，
垂直平分，
，
，
，，
，
，，故C、D結論正確，不符合題意；
假設，
，
，
是等腰直角三角形，
但題目條件沒有是等腰直角三角形，且推導不出其結論，
結論不一定正確．
故選：B．
4．（24-25八年級上·湖北武漢·階段練習）如圖，下列條件不能判定直線為線段的垂直平分線的是（ ）
A．且 B．且
C．且平分 D．且
【答案】A
【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質，線段的垂直平分線的判定，掌握線段垂直平分線的判定定理是解題的關鍵．結合全等三角形的判定與性質，根據線段垂直平分線的判定定理進行判斷即可．
【詳解】解：A、∵且，
∴直線是線段的垂直平分線，故A符合題意；
B、∵且，
∴直線是線段的垂直平分線，故B不符合題意；
C、∵且平分，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴直線是線段的垂直平分線，故C不符合題意；
D、∵且，
∴直線是線段的垂直平分線，故D不符合題意；
故選：A．
5．（24-25八年級上·福建廈門·階段練習）如圖，在中，已知點在上，且，下列說法正確的是（ ）
A．點是的中點 B．平分
C．點在的垂直平分線上 D．點在的垂直平分線上
【答案】C
【分析】此題考查線段垂直平分線的判定：到線段兩個端點的距離相等的點在線段的垂直平分線上，根據題意得到，判定點在的垂直平分線上，由此判斷．
【詳解】解：∵，，
∴，
∴點D在線段的垂直平分線上，
故選C．
6．（24-25八年級上·湖北武漢·期中）如圖，是的角平分線，于點E，于點F，連接交于點G，下列結論不一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】此題主要是綜合運用了角平分線的性質定理和線段垂直平分線性質定理的逆定理，根據角平分線的性質，得，根據線段垂直平分線性質定理的逆定理，得點在的垂直平分線上；根據等角對等邊，，則點在的垂直平分線上，從而可證是的垂直平分線，由此即可判斷出結果．
【詳解】解：∵為的角平分線，于，于，
∴，故選項A成立，不符合題意；
∴點在的垂直平分線上，，
∵，
∴，
∴，
∴點在的垂直平分線上，
∴是的垂直平分線，
∴，故選項B，C成立，不符合題意；
∵不一定相等，
∴不能確定是否相等，
∴不一定成立，故選項D不一定成立，符合題意；
故選：D．
7．（24-25八年級上·浙江紹興·階段練習）兩組鄰邊分別相等的四邊形叫做“箏形”．如圖，四邊形ABCD是一個箏形，其中，，小明在探究箏形的性質時，連結了AC，BD，并設交點為O，得到了如下結論，其中錯誤的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本題主要考查了線段垂直平分線的性質和判定，全等三角形的判定，先根據線段垂直平分線的性質得出是的垂直平分線，可判斷A，B；再根據“邊邊邊”證明C；能否確定三者之間的關系判斷D．
【詳解】∵，
∴是的垂直平分線，
∴，
所以A，B正確；
∵，
∴，
所以C正確；
不能確定之間的關系，所以D不正確．
故選：D．
8．（24-25八年級上·山東德州·期中）下列條件中，不能判定直線是線段（C，D不在線段上）的垂直平分線的是（ ）
A．， B．，
C．， D．，平分
【答案】C
【分析】根據垂直平分線的概念與判定逐個判斷即可．
【詳解】解：A、，，可以判定直線是線段（C，D不在線段上）的垂直平分線，不符合題意；
B、，，可以判定直線是線段（C，D不在線段上）的垂直平分線，不符合題意；
C、如圖，
，，不能判定直線是線段（C，D不在線段上）的垂直平分線，符合題意；
D、，平分，可以判定直線是線段（C，D不在線段上）的垂直平分線，不符合題意．
故選：C．
題型七：由垂直平分線的判定求線段長度
1．（24-25九年級上·黑龍江哈爾濱·階段練習）如圖，在中，，，分別以點，點為圓心，大于的長為半徑作弧，兩弧交于點，，過點，作直線交于點，連結，則的周長為（ ）
A．7 B．10 C．11 D．12
【答案】C
【分析】本題主要考查了線段垂直平分線的判定，線段垂直平分線的性質，線段的和與差等知識點，熟練掌握線段垂直平分線的判定與性質是解題的關鍵．
由題意可知是線段的垂直平分線，由線段垂直平分線的性質可得，因而可得的周長，據此即可得出答案．
【詳解】解：分別以點，點為圓心，大于的長為半徑作弧，兩弧交于點，，
是線段的垂直平分線，
，
的周長
，
故選：．
2．（24-25八年級上·河南洛陽·期中）風箏又稱“紙鳶”“風鳶”等，起源于中國東周春秋時期，距今已有2000多年的歷史．如圖是一款風箏骨架的簡化圖，已知，制作這個風箏需要的布料至少為（ ）
A．1800 B．5400 C．2700 D．1200
【答案】C
【分析】本題考查的是線段垂直平分線的判定，利用線段垂直平分線的判定定理判定垂直平分，再利用四邊形面積公式計算即可．
【詳解】解：∵，
∴點A在的垂直平分線上，
∵，
∴點C在的垂直平分線上，
∴垂直平分，
∴，
∴，
故選：C．
3．（23-24八年級上·湖南益陽·期末）如圖，在中，E為邊的中點，過點E作交于點D，若，的周長為20，則的周長為（ ）
A．20 B．23 C．26 D．29
【答案】C
【分析】本題主要考查了線段垂直平分線的判定和性質，根據題意可得垂直平分，，進而得到，再由的周長為20，推出，據此可得答案．
【詳解】解；∵E為邊的中點，，
∴垂直平分，，
∴，
∵的周長為20
∴，
∴，
∴，
∴的周長，
故選；C．
4．（24-25八年級上·上海靜安·期中）如圖，在四邊形中，為的中點，連接，延長交的延長線于點．若，則 ．

【答案】2
【分析】根據可知，再根據是的中點可求出，利用可得， 可得，，結合已知可得是線段的垂直平分線，根據線段垂直平分線的性質判斷出即可證得，進而即可求解．
【詳解】解：∵，
∴，
∵是的中點，
∴，
∵，
∴，
∴，，
又∵，
∴是線段的垂直平分線，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
故答案為：2．
5．（24-25八年級上·湖北黃岡·期末）如圖，周長為16cm，，垂直平分，則 cm．

【答案】5
【分析】由三角形的周長求出，根據線段垂直平分線的性質得出，，推出，由此求出，由此求出．
【詳解】解：∵周長為16cm，，
∴，
∵，
∴是的垂直平分線，
∴
∵垂直平分，
∴
∴
∴，
∴
故答案為：5．
6．（2023·黑龍江牡丹江·模擬預測）在中，，，點到的距離是，到的距離是，則等于
【答案】2或10
【分析】根據可判斷點都在的垂直平分線上，然后分兩種情況討論：①當點在的內部時，②當點O在的外部時，分別計算即可．
【詳解】解：∵，
∴點都在的垂直平分線上，
由題意知，分兩種情況：
①當點在的內部時，；
②當點O在的外部時，；
故答案為：2或10．
7．（24-25八年級上·河南周口·期末）如圖，在中，，垂足為D，PQ是BC邊的垂直平分線，交BC于點Q，交AC于點P，．若的周長是，，則的長是 ．
【答案】/8厘米
【分析】先根據垂直平分線的性質得到，，，再求出，，即可求出．
【詳解】解：∵，，
∴是線段的垂直平分線，
∴，
∵PQ是BC邊的垂直平分線，
∴，，
∴，
∵的周長是，
∴，
∴，
即，
∵，，
∴．
故答案為：
題型八：垂直平分線中尺規作圖（解答題）
1．（2025·廣西崇左·模擬預測）如圖，已知．
(1)尺規作圖：作邊的垂直平分線，交于點D，交于點E；（保留作圖痕跡，不要求寫作法，標明字母）
(2)在（1）的條件下，連接．若的周長為16，，求的周長．
【答案】(1)見詳解
(2)
【分析】此題考查垂直平分線的作圖和性質．
（1）利用基本作圖作出的垂直平分線；
（2）根據線段垂直平分線的性質得，，再利用三角形的周長的定義和等線段代換得到，然后計算的周長．
【詳解】（1）解：如圖，為所作；
（2）解：垂直平分，
，，
∴
的周長為，
即，
，
即，
的周長為．
2．（上海市浦東區2024-2025學年下學期七年級數學期末試卷）如圖，在Rt中，
(1)請用直尺和圓規作線段的垂直平分線，分別交線段于點
(2)連接，請找出圖中和相等的線段（直接寫出答案，無需說明理由）．
【答案】(1)見解析
(2)
【分析】本題主要考查了尺規作圖．熟練掌握線段垂直平分線的作法和性質是解決問題的關鍵．
（1）基本作圖，作線段的垂直平分線，分別交線段于點，點即為所求作；
（2）根據線段垂直平分線的性質即可得到答案．
【詳解】（1）解：如圖，分別以點和點為圓心，以大于的長為半徑畫弧，兩弧交于兩點，作直線，分別交線段、與點，點即為所求作；
（2）解：是線段的垂直平分線，
．
3．（2025·廣東惠州·二模）如圖，在中，是鈍角．
(1)實踐與操作：用尺規作圖，作的垂直平分線交于點；（保留作圖痕跡，不要求寫作法）
(2)應用與計算：在（1）的條件下，連接，若，，求的大小．
【答案】(1)見詳解
(2)
【分析】本題主要考查了作線段垂直平分線，線段垂直平分線的性質，三角形內角和定理，掌握線段垂直平分線的做法以及性質是解題的關鍵．
（1）分別以點A、C為圓心，大于為半徑畫弧，兩弧相交于兩點，過這兩點作直線交于D．
（2）由線段垂直平分線的性質得出，由三角形內角和定理得出，再根據角的和差關系即可得出答案．
【詳解】（1）解：垂直平分線即為所求：
（2）解：∵為的垂直平分線
∴,
∴，
∵，
∴，
∴
4．（2025·黑龍江綏化·二模）是中邊上的中線．
(1)尺規作圖：作出的三等分點E、F．（要求：保留痕跡，不寫作法）
(2)當點靠近點時，連接，若，則的面積為________．
【答案】(1)作圖見解析；
(2)
【分析】本題考查了三角形的重心，中線的性質及尺規作圖，解題的關鍵是熟練掌握三角形的重心是三條中線的交點，重心到頂點的距離與重心到對邊中點的距離之比為．
（1）先作線段的垂直平分線，確定線段的中點，作邊上的中線交于點，以點為圓心，為半徑作圓交于點，點、點即為所求；
（2）連接、，由題意得，由、為線段的三等分點，得，由已知條件得，通過即可求解．
【詳解】（1）解：如圖所示，點、點即為線段的三等分點；
（2）連接、，如圖所示：
是中邊上的中線，
，
，
點、點為線段的三等分點，
，
，
，
；
故答案為：．
5．（2025·浙江·二模）如圖，在的方格中，的頂點均在格點上．試按要求畫出線段（E，F均為格點），各畫出一條即可．
【答案】見解析
【分析】本題主要考查平行線，垂線，垂直平分線；根據網格的特點，畫出符合相應條件的圖形即可．
【詳解】解：線段如下圖所示：
6．（24-25七年級下·江蘇蘇州·期中）如圖，已知中．
(1)尺規作圖：作線段的垂直平分線，分別交邊，于點D，E（不寫作法、保留作圖痕跡并標明字母）；
(2)連接，若，的周長是18，求的周長．
【答案】(1)見解析
(2)10
【分析】本題考查作圖—基本作圖、線段垂直平分線的性質．
（1）根據線段垂直平分線的作圖方法作圖即可；
（2）由題意得，由線段垂直平分線的性質可得，則可得的周長為．
【詳解】（1）解：如圖，直線即為所求．
（2）解：連接，
∵的周長是18，
∴，
∴，
∵直線為線段的垂直平分線，
∴，
∴的周長為．
7．（24-25八年級上·河北保定·期末）某社區經業主商討決定在街道m上建一個垃圾站點D和鮮奶站E，按要求完成下列作圖（保留作圖痕跡，不要求寫作法）．
(1)如圖1，小區A，B在街道m的異側，要使垃圾站點D到小區A，B的距離相等，請確定垃圾站點D的位置（要求利用尺規作圖）；
(2)如圖2，小區A，C在街道m的同側，要使鮮奶站E到小區A，C的距離之和最短，請確定鮮奶站E的位置．
【答案】(1)見解析；
(2)見解析．
【分析】本題考查作圖一應用與設計作圖、線段垂直平分線的性質、軸對稱一最短路線問題，熟練掌握線段垂直平分線的性質、軸對稱的性質是解答本題的關鍵．
（1）結合線段垂直平分線的性質，作線段的垂直平分線，交直線m于點D，則點D即為所求．
（2）取點C關于直線m的對稱點，連接交直線m于點E，則點E即為所求．
【詳解】（1）解∶如圖1作線段的垂直平分線，交直線m于點D，則點D即為所求．
（2）解：如圖， 取點C關于直線m的對稱點，連接交直線m于點E．此時，為最小值，則點E即為所求，
9．（24-25八年級上·廣西柳州·期中）電信部門要在高速公路n上修建一座電視信號發射塔P，按照設計要求，發射塔P到兩城鎮A、B的距離必須相等．請在圖中作出發射塔P的位置．（尺規作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）
【答案】見解析
【分析】此題考查了垂直平分線的作圖和性質，作線段垂直平分線交n于點P即可．
【詳解】解：如圖，點P即為所求，
題型九：垂直平分線的判定中相關求解（解答題）
1．（24-25八年級下·陜西渭南·期中）如圖，在四邊形中，，點是的中點，連接并延長交的延長線于點，點在線段上，且，連接．求證：
(1)；
(2)垂直平分．
【答案】(1)見解析
(2)見解析
【分析】本題考查平行線的性質，三角形全等的判定和性質，等腰三角形的判定和性質．熟練掌握三角形全等的判定定理是解題關鍵．
（1）由平行線的性質可得出，再根據點E是的中點，即得出，由對頂角相等得出，即證明，得出；
（2）由，得出．根據題意又易證，結合，可證，即得出，即，從而可得結論．
【詳解】（1）證明：∵，即，
∴．
∵點E是的中點，
∴．
又∵，
∴，
∴；
（2）證明：∵，
∴．
∵，
∴，
∴．
又∵，
∴，
∴，即．
∴垂直平分．
2．（24-25八年級上·貴州遵義·期中）如圖，在中，的垂直平分線交于點M，交于點D，的垂直平分線交于點N，交于點E，與相交于點O，的周長為10．
(1)求的長；
(2)試判斷點O是否在邊的垂直平分線上，并說明理由．
【答案】(1)
(2)點在邊的垂直平分線上，理由見解析
【分析】此題考查了線段垂直平分線的性質．此題難度不大，注意掌握數形結合思想的應用．
（1）根據線段垂直平分線的性質得到，同理，于是得到結論；
（2）連接，，，根據線段垂直平分線的性質與判定即可得到結論．
【詳解】（1）垂直平分，
，
同理，
；
（2）點在邊的垂直平分線上，
理由：連接，，，
與是，的垂直平分線，
，，
，
點在邊的垂直平分線上．
3．（2025八年級下·全國·專題練習）如圖，是的角平分線，分別是和的高，連接、交于點O．
(1)證明：；
(2)證明：垂直平分．
【答案】(1)見解析
(2)見解析
【分析】本題主要考查了三角形全等的判定和性質，線段垂直平分線的判定，解題的關鍵是熟練掌握三角形全等的判定方法．
（1）用證明即可；
（2）根據全等三角形的性質，得出，，說明點、在線段的垂直平分線上，即可證明結論．
【詳解】（1）證明：是的角平分線，
，
，分別是和的高，
，
在和中，
，
；
（2）證明：，
，，
點、在線段的垂直平分線上，
垂直平分．
4．（24-25八年級上·貴州遵義·期末）如圖，四邊形中，，我們把這種兩組鄰邊分別相等的四邊形叫做“箏形”．
(1)線段和線段的位置關系是 ；
(2)求證：；
(3)在“箏形”中，已知，求“箏形”的面積．
【答案】(1)
(2)見解析
(3)
【分析】此題考查了全等三角形的判定和性質，垂直平分的判定；
（1）根據垂直平分線的判定即可得出證明；
（2）根據全等三角形的判定和性質進行證明即可；
（3）根據進行計算即可．
【詳解】（1）是線段的垂直平分線，理由如下：
∵，，
∴在的垂直平分線上，
則線段和線段的位置關系是
故答案為：．
（2）證明：在和中，
，
∴；
（3）∵
∴
∴“箏形”的面積為：．
5．（24-25八年級上·貴州黔南·期中）如圖，在四邊形中，，，我們把這種兩組鄰邊分別相等的四邊形叫做“箏形”．已知箏形的對角線，相交于點．
(1)請判斷與之間的位置關系，并說明理由；
(2)若，，求四邊形的面積．
【答案】(1)，理由見解析
(2)24
【分析】本題考查線段垂直平分線的判定、四邊形的面積等知識點，掌握垂直平分線的判定方法是解題的關鍵．
（1）先說明點B、點D都在線段的垂直平分線上即可證明結論；
（2）根據以及三角形的面積公式求解即可．
【詳解】（1）解：．理由如下：
，
點在線段的垂直平分線上．
，
點在線段的垂直平分線上，
是線段的垂直平分線，
．
（2）解：由（1）得，，
．
6．（24-25八年級上·天津東麗·期中）如圖，與相交于點O，，，．
(1)求證；
(2)求證：垂直平分．
【答案】(1)見解析；
(2)見解析．
【分析】本題考查全等三角形的判定和性質，線段的垂直平分線的判定等知識，解題的關鍵是正確尋找全等三角形解決問題．
（1）證明，可得結論；
（2）根據線段的垂直平分線的判定解決問題即可．
【詳解】（1）證明：在與中，
，
∴，
∴．
（2）證明：由（1）得，
∴，
∴點O在線段的垂直平分線上，
∵，
∴點E在線段的垂直平分線上，
∴垂直平分．
7．（24-25八年級上·山東德州·期中）已知：如圖，在中，，，點是的中點，，垂足為點，交的延長線于點，
(1)求證：；
(2)連接，求證：垂直平分．
【答案】(1)見解析；
(2)見解析．
【分析】本題考查了全等三角形的判定和性質，熟練掌握全等三角形的判定方法是解題的關鍵．
（1）根據平行的性質證，即可證明，可得，易證，即可解題；
（2）連接交于點，易，，根據，可求得，即可證明，可得，，即可求得，即可解題．
【詳解】（1），
，
，，
，
在和中，
，
，
點是的中點，
，
；
（2）連接交于點，
,點是的中點，
，
，
，
，，
，
，
，
，
在和中，
，
，，
，
，
垂直平分．
8．（24-25八年級上·陜西咸陽·期末）如圖，平分，于點，于點，連接．
(1)試說明；
(2)與相等嗎？請說明理由；
(3)是否垂直平分，請說明理由．
【答案】(1)證明見解析
(2)，理由見解析
(3)垂直平分，理由見解析
【分析】本題主要考查了全等三角形的性質與判定，角平分線的定義，線段垂直平分線的判定：
（1）利用證明，即可證明結論；
（2）設交于H，證明得到，再利用平角的定義即可證明結論；
（3）根據全等三角形的性質得到，再由線段垂直平分線的判定定理即可得到結論．
【詳解】（1）證明：∵平分，
∴，
∵，，
∴，
又∵，
∴，
∴；
（2）解：，理由如下：
設交于H，
∵，，，
∴，
∴，
∵，
∴；
（3）解：垂直平分，理由如下：、
∵，
∴，
∴點O和點E都在線段的垂直平分線上，
∴垂直平分．
9．（24-25八年級上·山東日照·期中）如圖，在中，邊的垂直平分線分別交，于點，，邊的垂直平分線分別交，于點，，，的延長線交于點．
(1)若，求的周長；
(2)試判斷點是否在的垂直平分線上，并說明理由；
【答案】(1)12
(2)點在的垂直平分線上，理由見解析
【分析】本題考查了垂直平分線的性質與判定，解題關鍵是熟練運用垂直平分線的性質與判定進行推理證明與計算；
（1）根據垂直平分線的性質得出，，再根據，求出的周長即可；
（2）連接，，，證明即可．
【詳解】（1）解：，的垂直平分線分別交于點，，
，，
的周長；
（2）解：點在的垂直平分線上，理由如下：
連接，，，
，分別是，的垂直平分線，
，，
，
點在的垂直平分線上；
題型一：垂直平分線的性質中最值問題
1．（24-25八年級下·安徽宿州·期中）如圖，在中，是的角平分線，點E、F分別是、上的動點，若，當的值最小時，的度數為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】過點B作于點G，交于點，過點作于點，與交于點，連接、，證明垂直平分，推出，由三角形三邊關系可知，，即的值最小為，通過證明，推出，因此利用三角形外角的性質求出即可．
【詳解】解：過點B作于點G，交于點，過點作于點，與交于點，連接、，如圖：
∵是的角平分線，，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴垂直平分，
∴，
∴，
∵兩點之間線段最短，且垂線段最短，
∴當點E在點處時，最小，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
即當的值最小時，的度數為．
故選：C．
2．（24-25八年級上·福建莆田·期中）如圖，在五邊形中，，，在直線，上分別找一點，，使得的周長最小，此時的度數為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本題考查中垂線的判定和性質，等邊對等角，延長至點，延長至點，連接，推出垂直平分，垂直平分，得到，進而得到的周長，得到當四點共線時，的周長最小，根據等邊對等角，三角形的內角和定理，求出的度數即可．
【詳解】解：延長至點，延長至點，連接，
則：，
∵，
∴垂直平分，垂直平分，
∴，
∴的周長，
∴當四點共線時，的周長最小，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
故選A．
3．（23-24八年級上·河北石家莊·期末）如圖，在中，，直線m是中邊的垂直平分線，P是直線m上的一動點，則的周長的最小值為 ．
【答案】4
【分析】本題考查了垂直平分線的性質，兩點間線段最短原理，熟練掌握線段最短原理是解題的關鍵．根據直線m是中邊的垂直平分線，得到點B與點C關于直線m對稱，故當點P位于直線m與的交點處時，取得最小值，此時的周長的最小值為，代入計算即可．
【詳解】解∶ 因為直線m是中邊的垂直平分線，
所以點B與點C關于直線m對稱，
故當點P位于直線m與的交點處時，取得最小值，
所以的周長的最小值為，
因為，
所以的周長的最小值為．
故答案為：4．
4．（24-25八年級上·河南漯河·期中）如圖，等腰的底邊，面積為18，直線是腰的垂直平分線，若點D在上運動，點F在邊上運動，則的最小值為 ．
【答案】9
【分析】本題考查了軸對稱﹣最短路線問題，線段垂直平分線的性質，掌握線段垂直平分線的性質是解題的關鍵．連接，由線段垂直平分線的性質可得，得到，可知當點A、D、F三點共線且時，的值最小，即等于的長，利用三角形的面積求出的長即可求解．
【詳解】解：在等腰中，直線是腰的垂直平分線，如圖1，連接，
∴，
∴，
當點A、D、F三點共線且時，的值最小，即等于的長，如圖2，
∵，等腰的面積為18，
∴，
∴，
∴的最小值為9，
故答案為：9．
5．（24-25九年級上·四川成都·階段練習）如圖，在中，，，是的垂直平分線，點P是直線上的任意一點，則的最小值是
【答案】6
【分析】本題考查了軸對稱-最短路線問題，根據線段的垂直平分線的性質可得，根據兩點之間線段最短即可求解．
【詳解】解：連接，如圖，
∵是的垂直平分線，
∴，
根據兩點之間線段最短知，，其值最小，
所以的最小值即為的長，
所以的最小值為6．
故答案為：6．
6．（24-25八年級上·吉林延邊·期末）如圖，中，，，，垂直平分，點P為直線上一動點，則周長的最小值為 ．
【答案】14
【分析】本題考查了軸對稱-最短路線問題的應用、垂直平分線的性質、三角形周長，解答本題的關鍵是準確找出動點的位置．由圖形可得：周長，因為，所以求出的最小值即可求出周長的最小值，根據題意知點A關于直線EF的對稱點為點B，故當點P與點E重合時，的值最小，即可得到結論．
【詳解】解：如圖所示，連接，，
∵直線垂直平分，
∴A，B關于直線對稱，
∴，，
在中，
，
∴當P和E重合時，C、P、B三點共線，
此時，的值最小，最小值等于的長，
∴周長的最小值，
故答案為：14．
7．（24-25八年級上·河南新鄉·期末）如圖，在中，，的垂直平分線交于點，交于點，連接，，的周長為18．若點在直線上，連接、，則 ，的最大值為 ．
【答案】 8 8
【分析】本題考查線段垂直平分線的性質，三角形三邊關系，掌握相關圖形的性質是解題的關鍵．
先找出的長，再確定的取得最大值為的長即可．
【詳解】解：∵的垂直平分線交于點F，交于點E，
∴，
∵的周長是18，，
∴的周長，
點P在直線上，如圖，連接，

∵點P在的垂直平分線上，
∴，
∴，
故的最大值為8，此時點P是直線與直線的交點．
故答案為：8，8．
8．（24-25九年級上·河北廊坊·期中）如圖，在中，，，垂直平分邊，交于點D，交于點E，動點P在線段上，連接，，則周長的最小值為 ．
【答案】12
【分析】本題主要考查了線段垂直平分線的性質、兩點之間線段最短等知識點，熟練掌握線段垂直平分線的性質是解題的關鍵．
如圖：連接，先根據線段垂直平分線的性質可得，從而可得的周長為，再根據兩點之間線段最短可得當點P與點E重合時，取得最小值，最小值為的長，據此即可解答．
【詳解】解：如圖：連接，
∵垂直平分邊，
∴，
∵，
∴的周長為，
由兩點之間線段最短可知，當點P與點E重合時，取得最小值，最小值為的長，
∵，
∴的周長最小值．
故答案為：12．
題型二：垂直平分線的性質和判定中多結論問題
1．（24-25八年級下·寧夏銀川·階段練習）如圖，是的角平分線，分別是和的高，得到下列四個結論：①；②；③；④．其中正確的是（　　）
A．②③ B．②④ C．①③④ D．②③④
【答案】D
【分析】本題主要考查了全等三角形的性質與判定，線段垂直平分線的性質與判定，可證明得到，進而可證明垂直平分，據此逐一分析判斷即可．
【詳解】解：∵是的角平分線，分別是和的高，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴垂直平分，
∴，
∵，
∴，
根據現有條件無法證明，
∴正確的有②③④，
故選：D．
2．（24-25八年級上·湖北黃石·期末）如圖，在中，，以為邊，作，滿足，E為上一點，連接，，連接，下列結論中：①；②；③；④．其中正確的有（ ）
A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④
【答案】C
【分析】本題考查了全等三角形的判定和性質，角平分線的性質定理，掌握全等三角形的判定和性質是解題的關鍵．如圖所示，延長到點，使得，連接，設交于點，可證，根據全等三角形的性質可判定①②④，根據角平分線的性質定理可判定③；由此即可求解．
【詳解】解：如圖所示，延長到點，使得，連接，設交于點，
∵，
∴垂直平分，
∴，，
∴，
∴，即，
在和中，
，
∴，
∴，故①正確；
∴，故②正確；
∴，即，故④正確；
∵，
∴平分，
當時，，即，
∵無法確定與的數量關系，
∴無法確定，故③錯誤；
綜上所述，正確的有①②④，
故選：C ．
3．（24-25八年級上·山西大同·期中）如圖，在四邊形中，與交于點O，其中，．下列結論：①；②垂直平分；③平分；④．其中正確結論的個數為（ ）
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
【答案】C
【分析】本題考查全等三角形的判定和性質，垂直平分線的性質和判定．①由證明；②根據垂直平分線性質即可判斷；③根據垂直平分線性質即可判斷；④根據三角形面積公式得到四邊形的面積四邊形的面積即可判斷．
【詳解】在與中，
，
∴，故①正確；
，，
垂直平分，故②正確；
∵不一定等于，不一定等于，
∴不一定垂直平分
∴不一定平分，故③錯誤；
∴四邊形的面積，故④正確；
綜上所述，①②④正確，共3個正確．
故選：C．
4．（24-25八年級上·河北張家口·期末）如圖，在中，于點D，平分，且于點E，與相交于點F，于點H，交于點G．以下結論：①；②；③；④．其中正確的是（ ）
A．①② B．①③ C．①②③ D．①②③④
【答案】C
【分析】本題考查三角形全等的判定方法，根據可得出，利用判定，從而得出，．則，即；再利用判定，得出，又因為所以，連接，由是等腰直角三角形，即．又因為，得垂直平分．即．在中，是斜邊，是直角邊，所以．即．
【詳解】解：∵，
∴是等腰直角三角形．
∴．故①正確；
在和中，
∵，，且，
∴．
又∵，
∴．
∴；．
∵，
∴；故②正確；
在和中，
∵平分，
∴．
又∵
∴．
∴．
又由（2）知，
∴；故③正確；
連接．
∵是等腰直角三角形，
∴
又，
∴垂直平分．
∴
在中，是斜邊，是直角邊，
∴．
∵，
∴．故④錯誤．
綜上，正確的是①②③，
故選：C．
5．（24-25八年級下·內蒙古包頭·期中）如圖，平分，，垂足為E，交的延長線于點F，若恰好平分．則下列結論中：①是的高；②是的中線；③；④．其中正確的有 ．（填序號）
【答案】①②③④
【分析】本題主要考查全等三角形的性質與判定、平行線的性質及角平分線的性質，熟練掌握全等三角形的性質與判定、平行線的性質及角平分線的性質是解題的關鍵．由角平分線的定義及平行線的性質可得，然后可證，，進而問題可求解．
【詳解】解：∵平分，恰好平分，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∴，即是的高，故①正確；
∵，，
∴，
∴，，即是的中線，故②正確；
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，，故③正確；
∵，，，
∴，故④正確；
故答案為：①②③④．
6．（24-25八年級上·重慶·階段練習）如圖，在中，，以為邊，作，滿足，點E為上一點，連接，，下列結論：①；②；③若，則；④．正確的有 ．（填序號）
【答案】①③④
【分析】因為，且，所以需要構造2倍的，故延長至，使，從而得到，進一步證明，且，接著證明，則，，所以①是正確的，也可以通過線段的等量代換運算推導出④是正確的，設，則，因為，所以，接著用表示出，再計算出，故③是正確的，當時，可以推導出，否則不垂直于，故②是錯誤的．
【詳解】解：如圖，延長至G，使，設與交于點M，
∵，
∴，
∴垂直平分，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
在與中，
∴，
∴，，故①是正確的；
∵，
∴，
∴平分，
當時，，則，
當時，，則無法說明，故②是不正確的；
設，則，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，故③是正確的；
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，故④是正確的，
故答案為①③④．
7．（23-24八年級上·江蘇·期中）如圖，四邊形的對角線、相交于點，，下列結論：①；②；③；④．其中不正確結論的序號是 ．
【答案】④
【分析】本題主要考查了全等三角形的判定和性質、線段垂直平分線的性質等知識，由全等三角形的性質得出，，，，再由全等三角形的判定定理得出，進而得出其它結論，掌握全等三角形的判定與性質是解題的關鍵．
【詳解】，
，，，，
，故①正確，不符合題意；
四邊形的對角線、相交于點，
，
在和中，
，
，故③正確，不符合題意；
，故②正確，不符合題意；
，
，
故④不正確，符合題意；
故答案為：④．
8．（23-24八年級上·河北唐山·階段練習）如圖，在中，，，分別為，邊上的高，，相交于點，連接，則下列結論：；；；若，則周長等于的長其中正確的有 寫出所有正確結論的序號
【答案】
【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質，掌握全等三角形的判定與性質，線段垂直平分線的性質，外角的性質，三角形內角和定理，等腰三角形的性質是解決問題的關鍵．
延長交于，先利用“”證明，得出，，可判斷①符合題意；由，得出，再由三角形外角的性質，可判斷②不符合題意；由，，得出，得出，可判斷③符合題意；由，，可證明垂直平分，得出，，得出的周長，可判斷④符合題意；即可得出答案．
【詳解】解：如圖，延長交于，
，分別為，邊上的高，
，
，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，，故①符合題意；
，
，
，
，故②不符合題意；
，，
，
，故③符合題意；
，，
，
，
，
垂直平分，
，，
的周長
，故④符合題意．
故答案為：．
題型三：垂直平分線的性質和判定綜合壓軸題
1．（24-25七年級下·吉林長春·階段練習）教材呈現：如圖是華師版八年級上冊數學教材第94頁的部分內容．
2．線段垂直平分線
我們已經知道線段是軸對稱圖形，線段的垂直平分線是線段的對稱軸．如圖，直線是線段的垂直平分線，是上任一點，連結、．將線段沿直線對折，我們發現與完全重合．由此即有：繞段垂直平分線的性質定理 線段垂直平分線上的點到線段兩端的距離相等．
已知：如圖，，垂足點為C，，點P是直線的任意一點，求證：．
AI
分析：圖中有兩個直角三角形和，只要證明這兩個三角形全等，便可證明．
（1）請根據所給教材內容，結合圖①，寫出“線段垂直平分線的性質定理”完整的證明過程．
定理應用：
（2）如圖②，在中，AB、AC的垂直平分線分別交BC于點D、E，垂足分別為M，N，，則的周長為________．
（3）如圖③，在中，，，E、P分別是AB、AD上任意一點，若，的面積為30，則的最小值是________．
【答案】（1）見解析；（2）24；（3）
【分析】此題考查了線段垂直平分線的性質、全等三角形的判定和性質、最短路徑等知識，熟練掌握線段垂直平分線的性質、全等三角形的判定和性質是關鍵．
（1）證明即可得證；
（2）利用線段垂直平分線的性質得出，，然后根據三角形的周長和線段的和差關系即可求解；
（3）在上取點F，使，過點B作于H，證明得出，證明得出，則，故當B、P、F三點共線，且時，最小，最小值為，然后根據三角形面積求出即可．
【詳解】（1）證明：在和中
，
∴，
∴；
（2）解：∵、的垂直平分線分別交于點、，
∴，
∴，
∵，
∴，即的周長為24．
故答案為：24；
（3）解：在上取點F，使，過點B作于H，
在和中
，
∴，
∴，，
在和中
，
∴，
∴，
∴，
當B、P、F三點共線，且時，最小，最小值為，
∵，的面積為30，
∴，
∴，
∴的最小值為．
故答案為：．
2．（24-25八年級下·山西太原·階段練習）綜合與實踐
問題情境：數學課上，同學們利用兩個全等的直角三角形的紙片進行圖形變換的操作探究．如圖，，，．將和按如圖1的方式在同一平面內放置，其中點E與點A重合，邊與邊重合．

初步思考：（1）小麗在圖1的基礎上進行了如下操作：保持不動，將沿著射線的方向平移，邊與邊交于點H，邊與直線交于點G．如圖2，當點H為邊的中點時，判斷線段與線段的數量關系，并說明理由；
問題探究：（2）請在圖2的基礎上進行如下操作：連接，．求證：垂直平分；
拓展延伸：（3）小穎在圖1的基礎上進行如下操作：，保持不動，將沿著射線的方向平移，如圖2，在平移的過程中，當點F平移到的邊所在的直線上時，請直接寫出平移的距離．
【答案】（1），理由見解析（2）詳見解析（3）或
【分析】（1）利用中點的含義與含的直角三角形的性質可得結論；
（2）如圖，連接，證明，再利用線段的垂直平分線的判定即可得到答案；
（3）①當點F落在邊所在直線上時，如圖，②當點F落在邊所在直線上時，如圖，再進一步利用全等三角形的性質，結合勾股定理求解即可．
【詳解】解：（1）．理由：在中，，，，
點H為邊的中點，
，
．
（2）證明：如圖，連接，
由平移可知：，
，
，
，
在與中：
，
，
，
點G在的垂直平分線上，
，
點D在的垂直平分線上，
垂直平分．
（3）或．理由如下：
①當點F落在邊所在直線上時，如圖，
由平移可知：，
，，
∴，而，，
，
，
在中，，，，
∴，
，
，
在中，，，
，
；
②當點F落在邊所在直線上時，如圖，
過點E向邊所在直線作垂線，交邊所在直線于點H，
由平移可知：，
，
，
，
在中，，，
同理：，
．
綜上，平移距離為或．
3．（24-25八年級上·山西呂梁·期末）問題情境：課外興趣小組活動時，老師提出了如下問題：
如圖1，中，若，，求邊上的中線的取值范圍．
小明在組內經過合作交流，得到了如下的解決方法：延長至點E，使，連接．請根據小明的方法思考并解答：
（1）①由已知和作圖能得到，依據是____________．
A． B． C． D．
②由“三角形的三邊關系”可求得的取值范圍是____________．
解后反思：題目中出現“中點”、“中線”等條件，可考慮延長中線，構造全等三角形、平行線、平移線段，把分散的已知條件和所求證的結論集中到同一個三角形之中．
類比探究：（2）如圖2，已知與，，，，、分別為中邊上的中線與高，且，，求的面積．
（3）拓展延伸：如圖3，四邊形中，，E是的中點，
①若四邊形的面積為m，求證：的面積為．
②若，則、、三者之間的數量關系為______．
【答案】（1）①B；②（2）27（3）
【分析】本題考查三角形全等的判定及性質，三角形的三邊關系，平行線的性質，垂直平分線的性質．
（1）①由是中線得到，又，，通過“”可證．據此可解答；
②由，，根據三角形的三邊關系有，即，又，因此；
（2）延長至，使得，可證得，得，，，可知，得，結合，可證，即可證得，再由即可求解；
（3）①延長交于，證明，得，，可知，再結合，即可證明結論；
②由①可知，則，，結合題意可知，可得垂直平分，進而可得．
【詳解】解：（1）①∵是中線，
∴，
在和中，
，
∴．
故選：B；
②解：∵，
∴，
∴，
∴，即，
∵，
∴，
∴．
故答案為：；
（2）延長至，使得，
∵是中線，
∴，
又∵，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∵，則，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴
；
（3）①延長交于，
∵，
∴，，
又∵是的中點，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴的面積為；
②由①可知，則，，
∵，
∴，即，
∴垂直平分，
∴，
故答案為：．
4．（24-25八年級上·河南洛陽·期末）【問題發現】我們知道“線段垂直平分線上點到線段兩端的距離相等”，那么不在線段垂直平分線上的點到線段兩端的距離大小如何判斷呢？
【自主研究】（1）如圖①，直線l是線段 的垂直平分線，點P在直線l的左側，經測量， 請證明這個結論；
【遷移研究】（2）如圖②，直線l是線段的垂直平分線，點C在直線l外，且與點A在直線l的同測，點D 是直線l上的任意一點，連結，試判斷和之間的大小關系，并說明理由．
【答案】（1）理由見解析；（2），理由見解析
【分析】本題考查線段垂直平分線的性質，三角形三邊的關系，關鍵是掌握線段垂直平分線上的任意一點，到線段兩端點的距離相等．
（1）如圖①，連接，由線段垂直平分線的性質推出，由三角形三邊關系定理得到，推出；
（2）如圖②，當D不在線段上時，連接，由線段垂直平分線的性質推出，由三角形三邊關系定理得到，當D在線段上時，，于是．
【詳解】（1）證明：如圖①，連接，
∵直線l是線段的垂直平分線，
∴，
∴，
∵，
∴；
（2）解：如圖②，，理由如下：
當D不在線段上時，連接，
∵直線l是線段的垂直平分線，
∴，
∵，
∴，
當D在線段上時，，
綜上可知，．
5．（24-25八年級上·陜西渭南·期末）【問題探究】
（1）如圖1，在中，點是上一點，點是的中點，連接并延長到點，過點作交于點，連接，求證：；
【問題解決】
（2）如圖2，四邊形是一個工業區，點是一個入口，是兩個倉庫，點分別是粗加工廠和精密加工廠，點分別在上，是兩條小路，是兩條運輸公路，為方便從粗加工廠運輸到精密加工廠，現要沿修建一個運輸軌道，為了估計成本，現管理人員需要知道運輸軌道與運輸公路之間的數量關系．已知，．請你幫助管理人員探索線段之間的數量關系，并加以證明．
【答案】（1）見解析；（2），見解析
【分析】本題主要考查了全等三角形的判定以及性質，線段垂直平分線的判定以及性質以及三角形三邊關系的應用．構造全等三角形是解題的關鍵．
（1）先證明，由全等三角形的性質得出，再根據線段垂直平分線的判定以及性質得出，根據三角形三邊關系可得出 ，等量代換可得出．
（2）延長至點，使，連接，先證明，再證明，由全等三角形的性質以及線段的和差等量代換可證明．
【詳解】證明：（1）點是的中點，
，
，
，
．
，
垂直平分 ，
，
在 中，
，
．
（2），
證明如下：
如圖，延長至點，使 ，連接 ，
，
，
在和中，
，
，
，
在和中，
，
，
，
．
6．（24-25八年級上·內蒙古赤峰·期末）【教材呈現】如圖1，連接的頂點和它所對的邊的中點，所得線段叫做的邊上的中線．學了這個知識后，小明遇到這樣一個問題：如圖1，在中，是的中點，求邊上的中線的取值范圍．
【嘗試感悟】小明在組內經過合作交流，得到了如下的解決方法：如圖2，延長到，使，請完成證明“”的推理過程．
（1）求證：．
（2）求的取值范圍．
【問題解決】
（3）如圖3，在中，，，是的中線，，，且，求的長．
【答案】（1）證明見解析；（2）；（3）6
【分析】本題考查了三角形全等的判定與性質、三角形的三邊關系、線段垂直平分線的判定與性質等知識，通過作輔助線，構造全等三角形是解題關鍵．
（1）延長到點，使，連接，先根據線段中點的定義可得，再利用定理即可得證；
（2）先根據全等三角形的性質可得，再根據三角形的三邊關系可得，由此即可得；
（3）延長，交的延長線于點，先證出，根據全等三角形的性質可得，，從而可得，再證出垂直平分，根據線段垂直平分線的性質即可得．
【詳解】（1）證明：如圖，延長到點，使，連接，
∵點是的中點，
∴，
在和中，
，
∴．
（2）解：由（1）已證：，
∴，
在中，，即，
∴，
又∵，
∴，
∴．
（3）解：如圖，延長，交的延長線于點，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵是的中線，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∵，
∴，
又∵，，即，
∴垂直平分，
∴．
7．（24-25八年級上·安徽滁州·期末）在等腰直角三角形中，，，點在射線上，點在直線上，垂直平分線段交直線于點．
(1)如圖1，若點在線段的延長線上，點在線段上．求證：；
(2)如圖2，當點在線段的延長線上，點在線段的延長線上時．
①請寫出，，之間的數量關系并證明；
②若，，求的長．
【答案】(1)見解析
(2)①，證明見解析；②
【分析】本題考查了線段垂直平分線的性質，全等三角形的綜合問題，掌握線段垂直平分線的性質是解題的關鍵．
（1）根據垂直平分線得到，再由即可證明全等；
（2）①同理可證明：，那么，由可得；②先證明，則，故，那么，而，因此得到．
【詳解】（1）證明：∵，
∴，
∵垂直平分
∴
在和中，

∴；
（2）①解：，理由如下：
證明：∵垂直平分
∴，
同（1）可證明：
∴
∵
∴；
②解：∵垂直平分
∴，
又
∴
∴
∴
∴
又∵
∴．
1．（2025·山東威海·中考真題）我們把兩組鄰邊分別相等的四邊形稱之為“箏形”．在四邊形中，對角線交于點O．下列條件中，不能判斷四邊形是箏形的是（　　）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】D
【分析】本題考查了線段垂直平分線的判定和性質以及全等三角形的判定與性質等知識；
根據線段垂直平分線的判定和性質可判斷A選項，證明可判斷B、C選項，由，不能判斷，即可判斷D選項，進而可得答案.
【詳解】解：A、∵，，
∴垂直平分，
∴，
∴四邊形是箏形；
B、∵，，，
∴，
∴，
∴四邊形是箏形；
C、∵，，，
∴，
∴，，
∴四邊形是箏形；
D、由，不能判斷，，故不能判斷四邊形是箏形；
故選：D.
2．（24-25七年級下·山東棗莊·階段練習）如圖，是一塊三角形的草坪，現要在草坪上建一涼亭，要使涼亭到草坪三個頂點的距離相等，涼亭應選的位置是（ ）
A．的三條中線的交點
B．三條角平分線的交點
C．三邊的垂直平分線的交點
D．三條高所在直線的交點
【答案】C
【分析】本題考查線段垂直平分線的性質，解題的關鍵是理解三角形三條中線的交點、三條角平分線的交點、三邊的垂直平分線的交點、三條高所在直線的交點之間的區別．根據垂直平分線上的點到線段兩端點距離相等即可求解．
【詳解】解：涼亭到草坪三個頂點的距離相等，
涼亭應選的位置是三邊的垂直平分線的交點，
故選：C．
3．（24-25八年級上·廣東廣州·期中）如圖，在中，是的垂直平分線，，的周長為12，則的周長為（ ）
A．17 B．22 C．29 D．30
【答案】B
【分析】本題考查了垂直平分線的性質．先根據垂直平分線的性質可得，再根據三角形的周長公式即可得．
【詳解】解：是的垂直平分線，
，
的周長為，，
的周長為
，
故選：B．
4．（24-25八年級上·陜西渭南·期中）如圖，在中，直線是線段的垂直平分線，點是直線上的一個動點，連接、，若，，則周長的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本題考查了垂直平分線的性質，兩點之間線段最短，掌握知識點的應用是解題的關鍵．
連接，由直線是線段的垂直平分線，則，又周長為，則當點三點共線時，周長最小，為，然后代入即可求解．
【詳解】解：連接，
∵直線是線段的垂直平分線，
∴，
∴周長為，
則當點三點共線時，周長最小，
∴周長的最小值為，
故選：．
5．（24-25八年級上·湖北武漢·期末）如圖，在中，的垂直平分線分別交于點D、E，連接．若平分，且，則的度數為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本題考查中垂線的性質，與角平分線有關的三角形的內角和問題，根據三角形的內角和定理求出的度數，中垂線的性質，角平分線的定義，推出，進而求出的度數，再根據三角形的內角和定理求出的度數即可．
【詳解】解：∵，
∴，
∵平分，
∴，
∵的垂直平分線分別交于點D、E，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
故選C．
6．（24-25八年級上·河北保定·期中）在中，的垂直平分線分別交于點的垂直平分線分別交于點．若，則的周長為（　　）
A．8 B．10 C．14 D．10或14
【答案】D
【分析】本題考查了垂直平分線的性質，根據線段垂直平分線的性質可得：，分兩種情況：當點在點左側時，當點在點的右側時，根據三角形的周長公式求解即可得到答案．熟練掌握垂直平分線性質，數形結合，分類討論是解決問題的關鍵．
【詳解】解：當點在點左側時，如圖所示：
由垂直平分線性質可知，
∴；
當點在點的右側時，如圖所示：
由垂直平分線性質可知，
∴；
綜上所述，的周長為10或14，
故選：D．
7．（24-25八年級上·湖南婁底·期末）如圖，在中，，為內一點，過點的直線分別交，于點，，若在的垂直平分線上，在的垂直平分線上，則的度數為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本題考查了線段垂直平分線的性質，三角形的內角和定理，三角形的外角性質，解題的關鍵是掌握線段垂直平分線的性質．由，可得，根據線段垂直平分線的性質可得：，，推出，，再結合三角形的外角性質可得，最后根據，即可求解．
【詳解】解：，
，
在的垂直平分線上，在的垂直平分線上，
，，
，，
，，，
，
，
故選：B．
8．（24-25七年級下·四川成都·期中）如圖，將三角形紙片的一角沿的垂直平分線翻折，折痕為，點與點重合，已知，，則 ．
【答案】
【分析】本題考查了垂直平分線性質，根據垂直平分線性質得到，再結合求解，即可解題．
【詳解】解：為的垂直平分線，，
，
，
則
；
故答案為：．
9．（2025七年級下·全國·專題練習）如圖，直線l是線段的垂直平分線，交于點O，P為直線l上一點，則下列說法：①點O是線段的中點；②直線l是線段的對稱軸；③線段是的垂線，其中正確的有 ．
【答案】①②/②①
【分析】本題主要考查垂直平分線的性質，熟練掌握垂直平分線的性質是解題的關鍵．根據垂直平分線的性質進行判斷即可．
【詳解】解：直線是的垂直平分線，
點為的中點，故①正確，
直線是的垂直平分線，
直線l是線段的對稱軸，故②正確，
直線是的垂直平分線，
直線是的垂線，故③不正確
故答案為：①②．
10．（24-25八年級上·上海嘉定·期中）如圖，在四邊形中，為的中點，連接，延長交的延長線于點F．若，則 ．
【答案】2
【分析】本題主要考查了線段的垂直平分線的性質和全等三角形的判定，熟練掌握線段的垂直平分線的性質和全等三角形的判定方法是解題的關鍵．
根據可知，再根據是的中點可求出，利用可得， 可得，，結合已知可得是線段的垂直平分線，根據線段垂直平分線的性質判斷出即可證得，進而即可求解．
【詳解】解：∵，
∴，
∵是的中點，
∴，
∵，
∴，
∴，，
又∵，
∴是線段的垂直平分線，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
故答案為：2．
11．（24-25八年級上·吉林·期中）如圖，在中，以點為圓心，的長為半徑作圓弧交于點，再分別以點和點為圓心，大于的長為半徑作圓弧，兩弧分別交于點和點，連接交于點．若，，，則的周長為 ．
【答案】17
【分析】本題考查了線段垂直平分線的性質和作圖，由作圖可得垂直平分，則根據線段垂直平分線的性質得到，然后利用等量代換即可得到的周長．
【詳解】解：由作圖可得垂直平分，
∴，
∴的周長為，
故答案為：17．
12．（24-25八年級下·陜西安康·期中）如圖，在中、、于點、是的垂直平分線，求證：平分．
【答案】詳見解析
【分析】此題考查了全等三角形的判定和性質、垂直平分線的性質等知識，熟練掌握以上知識點是解題的關鍵．先證明，得到，即可得到結論．
【詳解】證明：，
．
又是的垂直平分線，
，
在和中，
，
，
平分．
13．（2025八年級下·全國·專題練習）如圖，A，B，C三點表示三個居民區，為了方便居民就近購物，計劃新建一個綜合超市，要使超市到三個居民區距離相等，請你在圖中用尺規確定超市位置．
【答案】見解析
【分析】本題主要考查了垂直平分線的性質的應用，掌握垂直平分線上的點到線段兩端的距離相等是解題的關鍵．
根據垂直平分線上的點到線段兩端的距離相等知，作出的中垂線相交于點P即為所求．
【詳解】解：如圖，點P即為超市位置．
14．（24-25八年級上·安徽池州·期末）【問題提出】
數學興趣小組在活動時，老師提出了這樣一個問題：如圖1，在中，，，D是的中點，求邊上的中線的取值范圍．
【問題探究】
小明在組內經過合作交流，得到了如下的解決方法：延長到E，使，請補充完整證明“”的推理過程．
（1）求證：；
證明：延長到點E，使
是的中點（已知）
（中點定義）
在和中
∴（________）
（2）探究得出的取值范圍是_______；
【問題解決】
（3）如圖2，中，，，是的中線，，，且，求的長．
【答案】（1）對頂角相等，SAS；（2）；（3）
【分析】本題主要考查全等三角形的判定和性質、三角形三邊關系及線段的垂直平分線的性質，解題的關鍵是作輔助線．
（1）根據對頂角相等可得理由，再結合三角形的判定方法可得答案；
（2）根據全等三角形的性質可得，再結合三角形的三邊關系可得答案；
（3）延長交于點，證明，根據全等性質得，，利用，結合線段的垂直平分線的性質即可求得答案．
【詳解】證明：延長到點E，使
是的中點（已知）
（中點定義）
在和中
∴（）；
（2）∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
（3）延長交于點，如圖

∵，，
∴
在和中
∴
∴，，
∵，
∴，
∴．
15．（24-25八年級上·安徽滁州·期末）在等腰直角三角形中，，，點在射線上，點在直線上，垂直平分線段交直線于點．
(1)如圖1，若點在線段的延長線上，點在線段上．求證：；
(2)如圖2，當點在線段的延長線上，點在線段的延長線上時．
①請寫出，，之間的數量關系并證明；
②若，，求的長．
【答案】(1)見解析
(2)①，證明見解析；②
【分析】本題考查了線段垂直平分線的性質，全等三角形的綜合問題，掌握線段垂直平分線的性質是解題的關鍵．
（1）根據垂直平分線得到，再由即可證明全等；
（2）①同理可證明：，那么，由可得；②先證明，則，故，那么，而，因此得到．
【詳解】（1）證明：∵，
∴，
∵垂直平分 ，
∴，
在和中，
，
∴；
（2）解：①，理由如下：
證明：∵垂直平分，
∴，
同理可證明：，
∴ ，
∵ ，
∴；
②∵垂直平分 ，
∴， ，
又，
∴ ，
∴ ，
∴，
∴ ，
又∵
∴．
16．（24-25八年級上·四川廣元·期末）（1）如圖1，在中，若，，求邊上的中線的取值范圍．解決此問題可以用如下方法：延長到點E，使，再連接，這樣就把，，集中在中，則中線的取值范圍是______．
（2）如圖2，在中，D是邊的中點，于點D，交于點E，交于點F，連接．試判斷與之間的大小關系，并說明理由．
（3）如圖3，在四邊形ABCD中，，，，以C為頂點作，邊，分別交，于點E，F，連接．試判斷，與之間的數量關系，并說明理由．
【答案】（1）；（2），見解析；（3）
【分析】本題考查全等三角形的綜合應用，涉及三角形全等的判定及性質，三角形三邊關系，線段垂直平分線的性質，添加常用輔助線構造全等三角形是解題的關鍵．
（1）延長到點使，再連接，證明，可得，再由三角形三角關系可得；
（2）延長至，使，連接，證明，可得，連接，可知是等腰三角形，則，在中，利用三角形的三邊關系可求解；
（3）延長至使，連接，證明，可推導出，再證明，則，能推導出．
【詳解】解：（1）延長到點使，再連接，
，，，
，
，
在中，，
，
，
，
故答案為：；
（2）．
理由：延長至，使，連接，
，，，
，
，
，，
∴是的垂直平分線，
，
在中，，即；
（3）延長至使，連接，
，，
，
，，
，
，，
，，
，
，
，，
，
，
，
．

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