資源簡介

中小學教育資源及組卷應用平臺
1.3 證明
題型一：證明的相關求解
1．（24-25八年級上·浙江溫州·階段練習）下列選項中，可以用來說明命題“若，則”是假命題的反例是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本題考查了舉例說明假命題．熟練掌握舉例說明假命題是解題的關鍵．
由 ，，可知是說明命題“若，則”是假命題的反例，然后作答即可．
【詳解】解：∵ ，，
∴是說明命題“若，則”是假命題的反例，
故選：D．
2．（24-25八年級上·四川眉山·期末）用反證法證明“已知，．求證：”．第一步應先假設 ．
【答案】
【分析】用反證法證明問題的關鍵是清楚結論的反面是什么，寫出與條件相反的假設即可
【詳解】解： “已知，．求證：”．第一步應先假設．
故答案為：．
3．（24-25九年級下·湖南長沙·期中）好久未見的A，B，C，D，E五位同學歡聚一堂，他們一見面便相互握手一次，中途統計各位同學握手次數為：A同學握手4次，B同學握手3次，C同學握手2次，D同學握手1次，請你推斷一下，E同學握手 次．
【答案】2
【分析】本題考查了邏輯推理能力，根據握手次數進行推導是解題的關鍵．共有5個人，A同學握手4次，則A與B、C、D、E每人握手一次，則B、C握手一定不是與D握手，依此類推即可確定．
【詳解】解：共有5個人，A同學握手4次，
A與B、 C、 D、 E每人握手一次，
D同學握手1次，
B、C握手一定不是與D握手，
B握手3次，D握手1次，
B握手3次一定是與A、 C、 E的握手，
C握手2次，
C是與A和B握手，
E一共握手2次，是與A和B握手．
故答案為：2．
4．（24-25八年級下·全國·課后作業）用反證法證明（填空）：兩直線平行，同位角相等．
已知：如圖，直線，被所截，A，B為交點，．
求證：．
證明：假設所求證的結論不成立，
即____________________．
過點A作直線，使與所成的與相等，則__________，
所以直線與直線不重合．
但（____________________），又已知，這與基本事實“____________________”產生矛盾．所以__________不成立．
所求證的結論成立．
【答案】、，，同位角相等，兩直線平行，過直線外一點有且只有一條直線與已知直線平行，
【分析】假設命題的結論不成立，從這個假設出發，經過推理論證，得出矛盾即可．
【詳解】解：假設所求證的結論不成立，
即．
過點A作直線，使與所成的與相等，則，
所以直線與直線不重合．
但（同位角相等兩直線平行），又已知，這與基本事實“過直線外一點有且只有一條直線與已知直線平行”產生矛盾．所以不成立．
所求證的結論成立，
故答案為：、，，同位角相等，兩直線平行，過直線外一點有且只有一條直線與已知直線平行，．
5．（24-25八年級上·全國·課后作業）已知：如圖，，求證：．
【答案】見解析
【分析】根據平行線的性質定理，進而得出，則，即可得出．
【詳解】證明：過點C作，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
6．（24-25八年級上·全國·課后作業）證明命題“三角形三個內角的和等于”是真命題．
【答案】見詳解
【分析】先寫出已知、求證，再畫圖，然后證明．過點A作，利用，可得，而，利用等量代換可證．
【詳解】解：已知：如圖，，
求證：，
證明：過點A作，
∵，
∴，
∵，
∴．
即知三角形內角和等于．
7．（24-25八年級上·全國·課后作業）命題“若n是自然數，則代數式的值是3的倍數”是真命題還是假命題？如果你認為是假命題，請說明理由：如果認為是真命題，給出證明．
【答案】真命題，證明見解析
【分析】要判斷命題是真命題還是假命題，只需代數式是否能分解成含因數3的整式．
【詳解】命題是真命題，理由如下：
，
由n是自然數可知，是自然數，
則是3的倍數，
即代數式的值是3的倍數，
命題是真命題．
8．（24-25八年級上·全國·課后作業）已知：如圖，直線、被直線所截，，B為垂足，．求證：．
證明：∵（　　），
∴___________（　　）
∴___________（　　）
∴（已知），
∴（　　）
∴，
∴（　　）
【答案】已知；；內錯角相等，兩直線平行；兩直線平行，同旁內角互補；垂直的定義；垂直的定義
【分析】先證明得到，根據垂直的定義得到，則，即可證明．
【詳解】證明：∵（已知），
∴（內錯角相等，兩直線平行）
∴（兩直線平行，同旁內角互補）
∵（已知），
∴（垂直的定義）
∴，
∴（垂直的定義），
故答案為：已知；；內錯角相等，兩直線平行；兩直線平行，同旁內角互補；垂直的定義；垂直的定義．
題型二：三角形外角中三角板問題
1．（2025·黑龍江齊齊哈爾·三模）將一副三角板按如圖所示的方式擺放，點在邊上，，則的大小為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本題考查了平行線的性質，三角形的外角性質，三角板中角度計算，解題的關鍵是構建未知量和已知量之間的關系．
記交于點，利用平行線的性質得到，再根據求解，即可解題．
【詳解】解：記交于點，如圖所示：
，，
，
，
；
故選：C．
2．（24-25八年級下·貴州銅仁·期中）將一副三角板如圖放置，使含角的三角板的一段直角邊與含角的三角板的一段直角邊重合，則的度數為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本題主要考查了平行線的性質與判定，三角形外角的性質，三角板中角度的計算，可證明，得到，再由三角形外角的性質可求出答案．
【詳解】解：如圖所示，∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
故選：D．
3．（2025·河北唐山·三模）將一塊含角的直角三角尺和直尺如圖放置，若，則的度數為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本題考查了平行線的性質，三角形外角的性質；由平行線的性質得，由三角形的外角性質得，即可求解；能熟練利用平行線的性質，三角形外角的性質求角度是解題的關鍵．
【詳解】解：如圖，
由題意得：，
，
，
，
，
故選：A．
4．（2025·安徽六安·二模）如圖，已知，將含角的直角三角板放在直線a，b之間，若，則的度數為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本題考查了平行線的性質和三角形外角的性質，據此即可求出答案．
【詳解】解：如圖，
，
，
，
，
故選：B．
5．（24-25九年級下·山東德州·期中）一副三角板按如圖所示的方式擺放，，，，若，則的度數為 ．
【答案】
【分析】本題考查了平行線的性質，三角形外角的性質，對頂角相等，正確記憶相關知識點是解題關鍵．
根據三角板得出，，根據，得出，再根據三角形外角的性質和對頂角相等即可求解．
【詳解】如圖；
，，，
，
，
，
，
，
，
故答案為：．
6．（24-25八年級下·江西撫州·階段練習）如圖，三角形是由三角形平移得到的，點D在邊上，連接．若和中其中一個角是另一個角的3倍，，則的度數為 ．
【答案】或
【分析】本題主要考查圖形的平移的性質，三角形外角和性質的綜合，理解圖示，掌握平移的性質，平行線的性質，三角形外角和的性質等知識是解題的關鍵．
根據圖形的平移，可知是的外角，可得，分類討論，當時；當時；根據角的和差倍分關系即可求解．
【詳解】解：如圖所示，設與交于點，
∵三角形平移得到三角形，
∴，
∴，
∵是的外角，
，
當時，，
解得，；
當時，則，
∴，解得，；
綜上所述，的度數為或，
故答案為：或．
7．（2025·江西新余·一模）如圖，將一副三角尺按圖中所示的位置擺放，點在上，，則的度數是 ．
【答案】/15度
【分析】本題考查平行線的性質，三角形的外角，根據平行線的性質，得到，利用外角的性質得到，進行求解即可．
【詳解】解：由題意，得：，
，
，
由三角形外角的性質可知，
．
故答案為：
題型三：三角形外角的實際應用
1．（24-25七年級下·重慶·期末）如圖，起重機在工作時，起吊物體前機械臂與操作臺的夾角，支撐臂為的平分線．物體被吊起后，機械臂的位置不變，支撐臂繞點B旋轉一定的角度并縮短，此時，增大了，則的變化情況為 （ ）
A．增大 B．減小 C．增大 D．減小
【答案】C
【分析】本題考查三角形三角形外角的性質及角平分線的定義，起吊物體前，設，根據題意可得，則，物體被吊起后，可得，增大了，由即可解答．
【詳解】解：起吊物體前，設，
，支撐臂為的平分線，
，
；
物體被吊起后，
機械臂的位置不變，，，
，
增大了，
，
，
，
的變化情況為增大．
故選：C．
2．（2025·陜西西安·模擬預測）汽車前照燈通常由光源、反光鏡和配光鏡等部件組成．如圖，光源位于焦點處，光線經反光鏡反射后均平行于地面射出，已知，，則的度數為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本題考查平行線的性質，三角形外角的性質，由反射后的光線均平行于地面，可得，由三角形外角的性質可得，結合即可求解．
【詳解】解：如圖，
反射后的光線均平行于地面，
，
，，
．
故選C．
3．（24-25九年級下·河南商丘·期中）如圖是一款嬰兒車的平面示意圖，其中，若，，則的度數為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本題考查了平行線的性質，三角形外角定理，解答此題的關鍵是準確識圖，熟練掌握平行線的性質．根據三角形的外角性質即可求出，進而根據平行線的性質得出．
【詳解】解：∵
∵，
∴
故選：D．
4．（24-25七年級下·廣東梅州·期中）如1圖所示是一輛自動變速自行車的實物圖，如2圖所示是抽象出來的部分示意圖，已知直線與相交于點P，，，，則的大小為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】此題考查了平行線的性質“兩直線平行，同位角相等”，三角形的外角性質．由平行線的性質得到，再由三角形的外角性質即可求解．
【詳解】解：∵，，
，
，，
，
故選：C．
5．（24-25七年級下·河南鄭州·期中）如圖，一束平行于主光軸的光線經凸透鏡折射后，其折射光線與一束經過光心的光線相交于點，若，，則的度數為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本題考查平行線的性質、角形外角的性質、頂角的性質等知識點，靈活運用相關知識成為解題的關鍵．
先根據平行線的性質可得，由三角形外角的性質即可求出的度數．然后根據對頂角相等即可解答．
【詳解】解：如圖，
∵，
，
，
∴，
∵，
∴，
．
故選A．
6．（2025·四川綿陽·二模）某物體靜止在斜面上，其受力分析如圖所示，重力G的方向豎直向下，支持力的方向與斜面垂直，摩擦力的方向與斜面平行．若斜面的坡角，則摩擦力與重力G方向的夾角的度數為 ．
【答案】
【分析】本題考查了平行線的性質和三角形外角性質，根據題意結合圖形可知是重力與斜面形成的三角形的外角，從而可求得的度數．
【詳解】解：重力的方向豎直向下，
重力與水平方向夾角為，
摩擦力的方向與斜面平行，，
，
故答案為：．
7．（2025·廣東深圳·二模）如圖，一束激光射入水面，在點處發生折射，折射光線在杯底形成光斑點．水位下降時，光線保持不變，此時光線在點處發生折射，光斑移動到點．因水面始終與杯底平行，則折射光線．若，，則的度數為 ．
【答案】
【分析】本題考查了三角形的外角性質，平行四邊形的判定與性質，掌握知識點的應用是解題的關鍵．
由三角形外角性質得，又，，則四邊形是平行四邊形，最后通過平行四邊形的性質即可求解．
【詳解】解：∵，，
∴，
∵，，
∴四邊形是平行四邊形，
∴，
故答案為：．
題型四：三角形的外角與平行線的結合
1．（24-25九年級下·云南昆明·階段練習）如圖，直線，，則的度數為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本題主要考查了平行線的性質，三角形外角的性質，靈活運用所學知識是解題的關鍵．
根據三角形外角的性質可得，再由平行線的性質，即可求解．
【詳解】解：∵，
∴，
∵，
∴．
故選：C
2．（2025·陜西寶雞·模擬預測）如圖，在中，，為延長線上一點，過點作．若，則的度數是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本題主要考查平行線的性質定理和外角的性質定理，熟記性質定理是解題關鍵．
根據，可得，根據外角的性質，可得－．
【詳解】解：，
，
是的外角，，
－．
故選：C．
3．（2025·湖北·二模）如圖，已知，，則的度數為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本題主要考查了平行線的性質，三角形外角的性質，先由平行線的性質得到的度數，再根據三角形一個外角的度數等于與其不相鄰的兩個內角的度數之和即可得到答案．
【詳解】解：如圖所示，
∵，
∴，
∵，
∴，
故選：C．
4．（2025·山東威海·二模）如圖，，，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】此題考查了平行線的性質、三角形外角的性質等知識，根據平行線的性質得到再由三角形外角的性質即可得到答案．
【詳解】解：∵，
∴
∴,
故選：C
5．（2025·湖南懷化·三模）如圖，，若，，則的度數為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本題主要考查了平行線的性質，三角形的外角的性質．根據平行線的性質可得，進而根據，即可求解．
【詳解】解：∵，，，
∴，
∴，
故選：B．
6．（2025·陜西西安·模擬預測）唐朝李白的《行路難》有句詩“長風破浪會有時，直掛云帆濟滄海．”如圖是小明作的一個帆船模型抽象的幾何圖形，已知．若，則的度數為（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本題考查了平行線的性質，三角形的外角的性質，根據平行線的性質可得，進而根據三角形的外角的性質可得，即可求解．
【詳解】解：∵，
∴，
∵，
，
故選：A．
7．（2025·湖南衡陽·模擬預測）如圖所示，已知直線，，，則的度數為 ．
【答案】
【分析】本題考查了三角形外角的性質，平行線的性質，由三角形外角的性質得到，再根據平行線的性質即可求解，掌握相關知識是解題的關鍵．
【詳解】解：∵，，
∴，
∵，
∴，
故答案為：．
題型五：三角形的外角與角平分線的結合
1．（24-25七年級下·江蘇揚州·階段練習）如圖，在四邊形中，，和的平分線交于點P，則的度數為 ．
【答案】/230度
【分析】本題考查角平分線的定義，四邊形的內角和，三角形的外角，先根據角平分線的定義得出，根據三角形的外角得出，進而求出，根據，進而可得出答案．
【詳解】解：∵和的平分線交于點P，
∴，
∵，
∴，
∴，
在四邊形中，，
∴，
∴，
故答案為：．
2．（24-25七年級下·江西贛州·階段練習）如圖，在△ABC中，平分，若，則的度數為 ．
【答案】
【分析】由三角形的內角和定理可求解的度數，結合角平分線的定義可得的度數，利用垂直的定義以及三角形外角性質得，最后運用三角形內角和性質列式計算，即可作答．本題主要考查三角形的內角和定理，三角形外角性質，角平分線的定義，垂直的定義，正確掌握相關性質內容是解題的關鍵．
【詳解】解：∵，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案為：
3．（24-25七年級下·陜西西安·期中）如圖，在△ABC中，平分，于點M，交的延長線于點N，已知，則的度數為 ．
【答案】
【分析】本題考查三角形內角和定理和外角的性質，角平分線的定義，找出已知角和未知角的關系是解題的關鍵．
通過角平分線和垂直關系，找出未知角和已知角和的關系，代入即可．
【詳解】解：平分，
，
∵，
，
，，
，
，，，
，
，
∵
．
故答案為：．
4．（24-25八年級上·河南鄭州·期末）如圖，在△ABC中，已知的平分線與交于點D，，，則的度數為 ．

【答案】
【分析】由三角形內角和定理求出，由角平分線定義得到，由三角形的外角性質推出，本題考查三角形的外角性質，三角形內角和定理，關鍵是由三角形內角和定理求出的度數，由三角形的外角性質得到
【詳解】解：，，
，
平分，
，
故答案為：
5．（24-25七年級下·江蘇泰州·階段練習）如圖，是△ABC的外角的平分線，若，，則的度數是 ．
【答案】/94度
【分析】本題考查的是三角形的外角性質、角平分線的定義，熟練掌握三角形外角等于其不相鄰兩個內角之和是解題關鍵．
根據角平分線的定義求出，根據三角形的外角性質計算，得到答案．
【詳解】解：是△ABC的外角的平分線，，
，
是△ABC的外角，，
，
故答案為：．
6．（24-25七年級下·上海閔行·階段練習）如圖，在△ABC中，是邊上的高，，平分交于點E，，則的度數為 ．
【答案】/58度
【分析】本題考查了三角形角平分線、中線和高，三角形內角和定理與三角形外角的性質，由三角形外角的性質，得到，進而得到，再根據三角形內角和定理求解即可．
【詳解】解：∵是邊上的高，
∴，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
故答案為：．
題型六：三角形的內角等分線和外角等分線綜合
1．（24-25八年級上·四川成都·期末）如圖，點是△ABC的外角內部一點，滿足，．若，則的度數是 ．
【答案】
【分析】本題考查了外角的性質，解題的關鍵是掌握三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內角的和．設，，根據，，得，，根據外角的性質列式解答即可．
【詳解】解：設，，
∵，，
∴，，
∵，，
∴①，②，
∵，
∴由①②得
解得．
故答案為：．
2．（24-25七年級上·江蘇揚州·期中）如圖，若平分平分，則 ．
【答案】/20度
【分析】本題考查了三角形外角性質，角平分線定義的應用，根據角平分線定義求出，，根據三角形外角性質求出，，推出，得出，即可求出答案．
【詳解】解：∵平分，平分，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
故答案為：．
3．（24-25七年級下·上海閔行·期中）如圖，在△ABC中，延長到D，的角平分線相交于點點．與的外角平分線交于點，與的外角平分線交于點，依次類推，與的外角平分線交于點，如果，那么 °．（用含m、n的表示）．
【答案】/
【分析】此題考查了三角形外角的性質、角平分線的相關計算等知識．根據三角形外角的性質得到，，由角平分線的性質得到，，即可得到，同理可得，進一步得到答案即可．
【詳解】解：∵是的外角，
∴，
∵是的外角，
∴，
∵平分，平分，
∴，，
∴，
同理可得：，
…，
∴，
故答案為：．
4．（24-25九年級下·山東濟寧·期中）如圖，在△ABC中，，與的平分線交于點，得，與的平分線相交于點，得；…；與的平分線交于點，要使的度數為整數，則n的最大值為 ．
【答案】4
【分析】本題考查了三角形的外角性質，角平分線的定義，熟記性質與定義并求出后一個角是前一個角的是解題的關鍵．
利用外角等于不相鄰的兩個內角之和，以及角平分線的性質求，再依此類推得，,……，，即可求解．
【詳解】解：∵與的平分線交于點，
∴，，
由三角形的外角性質，，，
∴，
整理得：，
同理可得，
……
其規律為：．
要使的度數為整數，的最大值為4．
故答案為：4．
5．（24-25七年級下·山東威海·期中）如圖，在△ABC中，，和外角的平分線交于，得；和外角的平分線交于，得；……依次類推，則 ．
【答案】2
【分析】本題考查三角形外角的性質，角平分線的定義，找出角度的變化規律是解題的關鍵．
根據角平分線的定義可得，，再根據三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和可得，，整理即可求出的度數，同理求出，可以發現后一個角等于前一個角的，根據發現后一個角等于前一個角的的規律即可得解，把代入解答即可．
【詳解】解：平分，平分，
，，
，，
，
，
同理可得，
……
，
，
故答案為：2．
6．（24-25七年級下·江蘇南京·期末）如圖，在△ABC中，，點E、F分別在邊上，，，的角平分線與的角平分線交于點P，則的度數為 ．
【答案】/度
【分析】本題考查了三角形的內角和定理，三角形外角的性質，角平分線的定義等，熟練掌握這些知識是解題的關鍵．
根據題意可知，設，表示出，根據角平分線的定義，可得的度數，根據列方程，即可求出的度數．
【詳解】解：∵，平分，
∴，
設，
則，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案為：．
7．（24-25七年級下·湖南懷化·階段練習）如圖，的平分線與的平分線交于點E，且，則=（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本題考查平行線的性質，平分線的定義，三角形外角的性質，熟練掌握平行線的性質是關鍵．
過點F作，由得，，即可解答．
【詳解】解：過點F作，如圖
∴，
∵，的平分線與的平分線交于點E
∴，，，
∴，，
即，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴
故選B．
題型七：三角形外角中特殊多邊形的角度和
1．（24-25七年級下·河北秦皇島·階段練習）如圖，等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本題考查了三角形內角和定理，三角形外角的性質，熟練掌握相關知識點是解題的關鍵．
由三角形外角的性質得到，，繼而得到，即可得到答案．
【詳解】解：如圖，
，，
，
故選：C．
2．（24-25八年級下·黑龍江綏化·期中）如圖， ．
【答案】
【分析】本題考查求角度，涉及三角形外角性質、四邊形內角和為等知識，先由是的一個外角，是的一個外角，得到，在四邊形中，由，將代入即可得到答案．熟記三角形外角性質、四邊形內角和為等知識，數形結合是解決問題的關鍵．
【詳解】解：如圖所示：
是的一個外角，
，
是的一個外角，
，
在四邊形中，，
，
故答案為：．
3．（24-25八年級上·河南新鄉·期末）如圖， 度．
【答案】360
【分析】本題考查了三角形外角性質和四邊形內角和定理，解題關鍵是利用三角形外角性質將所求的六個角轉化為四邊形的四個內角．
首先根據三角形外角的性質可知，這幾個角是一個四邊形的四個內角，再根據四邊形的內角和即可求解．
【詳解】解：設與交點為，與交點為，
在中，；
在中，．
∵，
∴．
故答案為：360．
4．（24-25八年級上·山東德州·階段練習）如圖，的度數為 ．
【答案】
【分析】本題考查了四邊形內角和定理，三角形內角和定理．由，推出，即可得到答案．
【詳解】解：連接，
，
．
故答案為：．
5．（24-25八年級上·遼寧盤錦·期中）如圖，在多邊形中，，，則 ．
【答案】/度
【分析】本題考查了多邊形的內角和定理：邊形的內角和為，掌握以上知識是解題的關鍵；
本題連接，根據多邊形的內角和公式可得五邊形的內角和，進而得出，由可得的度數，然后即可求解．
【詳解】解：連接，如圖：
，
∵五邊形的內角和為：，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案為：．
6．（2023·四川綿陽·模擬預測）如圖所示，把一個四邊形紙片的四個頂角分別向內折疊，折疊之后，4個頂點不重合，那么圖中的度數是 ．
【答案】/720度
【分析】本題考查三角形外角定理、折疊的性質和四角形內角和定理，熟知圖形翻折變換的性質是解題的關鍵．根據三角形外角定理得，，，，由折疊可知，，，，則等于四邊形的內角和的2倍即可求解．
【詳解】解：連接，如圖，
則
∴，
同理，，，，
那么，
由折疊知，，，，，
．
題型八：三角形外角中折疊問題
1．（24-25七年級下·山東泰安·期中）如圖，三角形紙片中，，將沿對折，使點落在△ABC外的點處，若，則的度數為 ．

【答案】
【分析】本題考查的是三角形內角和定理、折疊的性質，掌握三角形內角和等于是解題的關鍵．
根據三角形內角和定理求出，根據折疊的性質求出，根據三角形的外角的性質計算，得到答案．
【詳解】解：如圖：

，，
，
由折疊的性質可知，，
，
，
故答案是：．
2．（24-25七年級下·重慶·期中）折紙是幾何學習中的一種重要操作．如圖，將紙片沿折疊，使點落在點處，交于點．若，則當 度時，．
【答案】
【分析】本題考查了三角形內角性質以及外角性質，平行線的性質，折疊的性質，先由，得出，再結合兩直線平行，同位角相等得，根據折疊性質得，最后由三角形外角性質得，即可作答．
【詳解】解：∵，
∴，
∵，
∴
∵折疊，
∴，
則，
故答案為：
3．（24-25七年級下·江蘇宿遷·期中）如圖，在 △ABC中， D是上一點，將沿翻折后得到邊交于點F．若 中有兩個角相等，則 ．
【答案】或
【分析】本題主要考查了三角形的內角和定理，三角形外角的性質，折疊的性質，根據分三種情況列方程是解題的關鍵．由三角形的內角和定理可求解，設，則，，由折疊可知：，，可分三種情況：當時；當時；當時，根據列方程，解方程可求解x值，即可求解．
【詳解】解：在中，，
∴，
∵，
∴，
設，則
∴，，
由折疊可知：，
當時，
∵，
∴，
∴，
解得（不符合題意）；
當時，
∴，
解得，
即；
當時，
∵，
∴，
∴，
解得，
即，
綜上，或，
故答案為：或．
4．（24-25九年級下·陜西榆林·階段練習）如圖，在△ABC中，點是邊上一點，連接，點關于的對稱點恰好在邊上，連接，若，，則的度數為 ．
【答案】80
【分析】本題考查了軸對稱性質，三角形外角性質和三角形內角和定理．熟練掌握軸對稱性質，三角形外角性質是解題的關鍵．
由三角形外角性質得，由軸對稱得，由三角形內角和定理即可得答案．
【詳解】解：∵，，
∴
由折疊得，
∴．
故答案為：80．
5．（24-25七年級下·全國·隨堂練習）如圖，在三角形紙片中，，將三角形紙片沿折疊，使點C落在所在平面內的點處．若，則的度數為 ．
【答案】/50度
【分析】本題主要考查了圖形的折疊問題，三角形外角的性質．
首先根據折疊的性質和平角的概念得到，然后利用三角形外角的性質求解即可．
【詳解】解：∵將三角形紙片沿折疊，使點C落在所在平面內的點處
∴
∵
∴
∴
∵
∴．
故答案為：．
題型九：三角形外角解答題綜合
1．（23-24七年級下·江蘇淮安·期中）如圖，，，且．若，求的度數．
【答案】
【分析】本題考查了平行線的判定與性質、三角形外角的定義及性質，由三角形外角的定義及性質得出，根據平行線的判定與性質證明出，即可得解，熟練掌握以上知識點并靈活運用是解此題的關鍵．
【詳解】解：∵，，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴．
2．（24-25七年級下·廣東江門·期中）如圖，在四邊形中，E是延長線的一點，連接交于點F，若，．
(1)若，，求的度數；
(2)判斷與的位置關系，并說明理由．
【答案】(1)；
(2)，理由見解析．
【分析】本題主要考查了平行線的性質與判定，解題關鍵是正確識別圖形，理解角與角之間的數量關系．
（1）先根據對頂角的性質和已知條件證明，再根據平行線的性質證明，然后利用三角形外角的定義及性質求出即可；
（2）先根據（1）中證明的，然利用平行線的性質求證，最后利用已知條件證明，最后根據平行線的性質證明即可．
【詳解】（1）解：∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴；
（2）解：，理由如下：
由（1）可知，
∴，
∵，
∴，
∴．
3．（24-25七年級下·重慶銅梁·期中）如圖，已知點E、F在直線上，點G在線段上，與交于點H，，．
(1)求證：；
(2)若，，求的度數．
【答案】(1)見解析
(2)116°
【分析】本題考查平行線的性質，三角形外角的性質等知識，掌握平行線的性質和三線八角是解題的關鍵．
（1）根據同位角相等得到，從而利用兩直線平行同位角相等得到，繼而等量代換證明，即可利用內錯角相等兩直線平行得到；
（2）利用三角形的外角的性質先求出，再利用平行線的性質求出即可．
【詳解】（1）證明：∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴；
（2）解：∵，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
又∵，
∴∠，
∴．
4．（24-25七年級下·湖南衡陽·期中）如圖，在△ABC中，為邊上的高，點D為邊上的一點，連接．
(1)若點為邊的中點，，△ABC的面積為30，求的長；
(2)若平分，，，求的度數．
【答案】(1)6
(2)
【分析】本題主要考查了三角形中線的定義，角平分線的定義，三角形內角和定理和三角形外角的性質，熟知相關知識是解題的關鍵．
（1）根據三角形面積計算公式求出，再根據三角形中線的定義即可得到的長；
（2）由三角形內角和定理求出的度數，再由角平分線的定義得到的度數，接著求出的度數，最后根據三角形內角和定理即可求出答案．
【詳解】（1）解：，
，
∵，
，
是的中點，
；
（2）解：∵，，
∴，
∵平分，
，
，
．
5．（24-25七年級下·浙江杭州·階段練習）如圖，．
(1)判斷與的位置關系，并說明理由．
(2)若比大25°，求的度數．
【答案】(1)，理由見解析(2)
【分析】本題考查了平行線的判定與性質、三角形的外角性質等知識點，熟練掌握平行線的判定與性質是解題關鍵．
（1）先根據平行線的判定可得，再根據平行線的性質可得，然后根據等量代換可得，最后根據平行線的判定即可得；
（2）設，從而可得，再根據三角形的外角性質可求出x的值，然后根據平行線的性質即可得．
【詳解】（1）解：，理由如下：
，
，
，
，
又，
，
；
（2）設，則，
由三角形的外角性質得：，即，
解得，
即，
由（1）已證：，
．
6．（23-24八年級上·四川南充·階段練習）如圖，在△ABC中，，分別是△ABC的中線和高，是的角平分線．
(1)若△ABC的面積為，，求的長；
(2)若，，求的大小．
【答案】(1)(2)
【分析】本題考查了三角形的中線、高和角平分線，三角形的內角和定理，三角形的外角性質，解題的關鍵是掌握相關知識．
（1）由三角形的中線定理可得：，，再結合，即可求解；
（2）根據三角形的外角性質可求出，根據角平分線的定義可得，最后根據三角形的內角和定理即可求解．
【詳解】（1）解：是的中線，的面積為，
，，
，
，
；
（2），，
，
是的角平分線，
，
是△ABC的高，
，
，
．
7．（23-24七年級下·四川南充·期中）如圖，點，分別在三角形的邊，上，點在線段上，且，．
(1)試說明：；
(2)試說明：；
(3)若平分，，求的度數．
【答案】(1)見解析(2)見解析(3)
【分析】本題考查平行線的性質、鄰補角等知識，解題的關鍵是靈活運用所學知識解決問題．
（1）利用平行線性質可得，從而可求得，可判定；
（2）由平行線的性質得，解和三角形
（3）利用角平分線及鄰補角的定義、平行線的性質求解即可．
【詳解】（1）解：，
，
，
，
．
（2）解：∵，
∴．
∵
∴
（3）解：平分，
，
，
，
，
，，
，
解得：，
由（1）得，
．
題型一：三角形外角中多結論問題
1．（2025七年級下·全國·專題練習）如圖，，平分，，下列結論：
①；②；③；④；⑤若，則，
其中正確結論的個數是（ ）
A．2個 B．3個 C．4個 D．5個
【答案】C
【分析】本題主要考查了平行線的性質以及角平分線的定義的運用，解題的關鍵是注意：兩直線平行，內錯角相等．由，可得，根據，可得，再根據平行線的性質以及角的和差關系進行計算，即可得出正確結論．
【詳解】解：∵，
∴，
∵，
∴，故①正確；
∴，
∴，，
∴，
又∵平分，
∴，即，故②正確；
∵與不一定相等，
∴不一定成立，故③錯誤；
∵，
∴
，
∵，
∴，
即，
故④正確；
∵
，
∴為定值，故⑤正確．
綜上所述，正確的選項①②④⑤共4個，
故選：C．
2．（23-24八年級上·山東濟寧·期末）如圖，D是△ABC的邊上點，連接，平分交于點H，交于點M．△ABC的外角的平分線所在直線與的延長線交于點G．當時，有下列四個結論：
①與互余；
②；
③；
④．
其中正確的結論是（　　）
A．①② B．③④ C．②④ D．①③
【答案】D
【分析】本題主要考查了三角形內角和定理、三角形外角的定義及性質、角平分線的定義，由角平分線的定義可得，，，求出，從而得出，由三角形外角的定義及性質得出，即可得出，從而判斷①；求出得到，即可判斷②；由以及結合三角形內角和定理計算即可得出，即可判斷③；由結合③即可判斷④，熟練掌握以上知識點并靈活運用是解此題的關鍵．
【詳解】解：∵平分，平分，
∴，，
∴，
即，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∴與互余，
故①正確；
∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
故②錯誤；
∵，，
，
∴，
故③正確；
∵，
∴，
故④錯誤；
綜上所述，正確的是①③，
故選：D．
3．（24-25七年級下·江蘇無錫·階段練習）如圖，、分別是△ABC的高和角平分線，F是延長線上的一點，過點F作交于點G、交于點H，下列結論：①；②；③；④，其中正確的結論有（ ）
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
【答案】D
【分析】本題考查角平分線的計算及三角形外角的性質，解題的關鍵是掌握角度之間關系的證明方法．
根據等角的余角相等證明結論①；根據角平分線的定義和三角形的外角證明結論②，根據直角三角形的兩銳角互余再結合②的結論可得結論③，根據三角形的外角和等角的余角相等可以證明結論④．
【詳解】解：∵是△ABC的高，，
∴，
∴，故①正確；
∵是△ABC的角平分線，
∴，
∵，
∴，故②正確；
∵，
∴，故③正確；
∵是△ABC的角平分線，
∴，
∵是△ABC的高，，
∴，故④正確；
故選D
4．（23-24七年級下·浙江杭州·期中）如圖，已知，P為下方一點，G，H分別為，上的點，，（，且，均為銳角），與的角平分線交于點F，平分，交直線于點E，下列結論：①；②；③若，則．其中正確結論的序號是（ ）
A．①②③ B．②③ C．③ D．②
【答案】A
【分析】①設與相交于點，與交于點，由得，再由三角形的外角定理得，由此出，據此可對結論①進行判斷；
②由得，再由三角形的外角定理得，進而得，再證，則，據此可對結論②進行判斷；
③先求出，，然后根據已知條件得，據此可求出，進而可求出的度數，于是可對結論③進行判斷．
【詳解】解：①設與相交于點，與交于點，如圖所示：
與的角平分線交于點，平分，，，
，，，
，
，
，
，
，
結論①正確；
②，
，
又，
，
即：，
，
，
即：，
，
，
整理得：，
結論②正確；
③，，
，
由②可知：，
，
又，
，
，
，
結論③正確．
綜上所述：正確的結論是①②③．
故選：A．
5．（24-25七年級下·四川廣元·期中）如圖，，交于點P，平分，平分，交的反向延長線于Q，，則：①若，則；②；③；④，其中正確的是 ．
【答案】①②④
【分析】本題考查了平行線的判定和性質，角平分線的定義，三角形的外角的性質，根據平行線的性質證得是解題的關鍵．，根據角平分線的定義得到，則可證明，若，則可證明，據此可判斷①；根據角平分線的定義得到，，根據外角的性質得到，等量代換得到，根據平行線的性質得到，等量代換得到，據此可判斷②；由于，而，于是得到，據此可判斷③；根據，即可判斷④．
【詳解】解：∵平分，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴，故①正確；
∵平分，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，故②正確；
∵，
∵，
∴，故③錯誤；
∵，
∴，故④正確；
故答案為：①②④．
6．（24-25七年級下·吉林長春·期中）如圖，在△ABC中，，是邊上的高，是邊上的中線，平分，交于點，交于點，給出下面四個結論：
①的面積與的面積相等；
②；
③；
④．
上述結論中，正確結論的序號有 ．
【答案】①②③
【分析】本題考查了三角形內角和定理，三角形的外角性質，三角形的角平分線、中線、高的定義，根據等底等高的三角形的面積相等即可判斷①；根據三角形內角和定理求出，根據三角形的外角性質即可推出②；根據三角形內角和定理求出，根據角平分線定義即可判斷③；根據現有條件無法證明可判斷④．
【詳解】解：是中線，
的面積的面積(等底等高的三角形的面積相等)，故①正確；
是角平分線，
，
為高，
，
，
，
∵，
，
，
，
，故②正確；
為高，
，
，
，
，
，
是的角平分線，
，
，
，故③正確；
根據已知條件不能推出，故④錯誤；
因此正確的有：①②③，
故答案為：①②③．
7．（2025七年級下·全國·專題練習）如圖，，E是線段上一點，F是線段的延長線上一點，的平分線交于點，交線段的延長線于點，過點作于點，且．下列結論：
①；
②；
③；
④若，則．
正確結論的序號是 ．
【答案】①②③
【分析】本題考查了平行線的性質，角平分線的性質，三角形外角的性質，掌握平行線的性質及三角形外角的性質是解題的關鍵．
根據平行線的性質及三角形外角的性質，垂直的定義，角平分線的定義對每一項判斷即可解答．
【詳解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵是的外角，
∴，
∴，
故①結論正確；
如圖，延長交于點，
∴
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴②結論正確；
∵是的外角，
∴，
∴，
∵，是的外角，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴③結論正確；
若，則，
∵是的外角，
∴，
而與不一定相等，
∴不一定成立，
∴④不正確；
綜上所述，正確結論的序號是①②③，
故答案為：①②③．
題型二：解答題壓軸之三角板中探究問題
1．（24-25七年級下·山東泰安·期中）材料閱讀：如圖①所示的圖形，像我們常見的學習用品——圓規．我們不妨把這樣圖形叫做“規形圖”．
解決問題：
(1)觀察“規形圖”，試探究與之間的數量關系，并說明理由；
(2)請你直接利用以上結論，解決以下三個問題：
①如圖②，把一塊三角尺放置在△ABC上，使三角尺的兩條直角邊恰好經過點B，C，若，則______；
②如圖③，平分，平分，若，求的度數；
③如圖③，平分，平分，若，則______．
【答案】(1)，理由見解析
(2)①50；②85；③
【分析】本題考查的是三角形內角和定理，三角形外角性質以及角平分線的定義的運用．
（1）根據題意過點A，D作射線，利用三角形外角性質即可得出答案．
（2）①由（1）得：，即可得出答案；②由（1）得： ，再結合角平分線的定義，可得，即可得出答案；③由（1）得： ，再結合角平分線的定義，可得，即可得出答案．
【詳解】（1）解：，理由如下：
如圖，過點A，D作射線，
由三角形外角的性質得：，
∵，
∴；
（2）解：①由（1）得：，
∵，，
∴；
故答案為：50
②由（1）得：，
∴，
∵平分，平分，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴；
③由（1）得：，
∴，
∵平分，平分，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴．
故答案為：
2．（24-25七年級下·廣東佛山·期中）如圖1，將一把含角的直角三角板的邊放置于長方形直尺的邊上．

【特例初探】
（1）在圖1中，______，______．
【技能提升】
（2）把三角板如圖2放置，線段與相交于點H，當時，求的值．
【綜合運用】
（3）將三角板如圖3放置，使點恰好落在邊上，現將射線繞點B以的速度逆時針旋轉得到射線，同時射線繞點Q以的速度順時針旋轉得到射線，當射線旋轉至與重合時，則射線，均停止轉動，設旋轉時間為．
①在旋轉過程中，若射線與射線相交于點P．當時，求的度數．
②在旋轉過程中，當時，求出此時的值．

【答案】（1），；（2）；（3）①；②存在，9或45
【分析】本題主要考查了平行線的性質、鄰補角的定義、三角形外角的性質、一元一次方程的應用等知識點，掌握平行線的性質定理并能熟練應用是解題的關鍵．
（1）根據鄰補角的定義和平行線的性質以及三角形的外角性質求解即可；
（2）先求得，同（1）的方法求解即可；
（3）①設，得到，，由角的和差和三角形的外角性質可得答案；②分兩種情況，根據平行線的性質列方程可解得答案．
【詳解】解：（1）∵且，
∴，
又∵，
∴．
∵，
∴．
故答案為：，；
（2）三角板是一塊含的直角三角板
，
，
，
∵，
，
，
，
是的外角，
，
；
（3）①如圖，根據題意得：，，
設，
，，
∵，
，，
，
；
②存在，理由如下：
依題意得，，
情況一：如圖
，，
，
，
，
解得，
情況二：如圖
，
，
，
解得，
綜上所述，的值為9或45．
3．（24-25七年級下·福建三明·期中）在綜合與實踐課上，某班開展了以兩條平行線和直角三角尺為主題的數學活動．
【初步感知】
（1）如圖1，若三角尺的角的頂點放在上，若，求的度數；
【自主探究】
（2）將一副三角板如圖2所示擺放，直線．若三角板不動，而三角板繞點以每秒的速度順時針旋轉，設旋轉時間為秒，求當旋轉到時，的值是多少？
【探究拓展】
（3）現將三角板繞點以每秒的速度順時針旋轉，同時三角板繞點以每秒的速度順時針旋轉，如圖3，設時間為秒，當時，若邊與三角板的一條直角邊（邊）平行，直接寫出滿足條件的值．
【答案】（1）；（2）40或100；（3）15或60或105
【分析】本題主要考查了平行線的性質，一元一次方程的應用，三角形外角的性質，三角形內角和定理：
（1）先由平角的定義得到，再由平行線的性質即可得到；
（2）當在上方時，延長交于T，先由平行線的性質得到，則，當在下方時，只需要在旋轉秒的基礎上再旋轉180度即有，據此求解即可；
（3）分解析中三種情況，畫出對應的圖形，根據角之間的關系，建立方程求解即可．
【詳解】解：（1），
．
，
，
（2）①如圖所示，當在上方時，延長交于，
，
，
，
，
；
②當在下方時，只需要在旋轉40秒的基礎上再旋轉180度即有，；
綜上所述，當旋轉到時，的值是40或100；
（3）①如圖，當時，
設直線與分別交于，
此時，
，
，
，
，
，即，解得：；
②如圖，當時，延長，分別與交于，
此時，，
，
，
，即，
，
，
解得：；
③如圖所示，當時，
設直線分別交、于、，
此時，，
，
，
，，
，
．
解得．
綜上：所有滿足條件的的值為15或60或105．
4．（24-25七年級下·遼寧大連·期中）【問題情境】
在綜合與實踐課上，老師讓同學們以“兩條平行線，和一塊含角的直角三角尺（其中，）”為背景開展數學活動．將三角尺角的頂點B放在直線上，直線與直線相交于點E．
【操作探究】
（1）聰聰同學將三角尺按圖1所示放置，若，求的度數；
（2）明明同學將三角尺繞點B旋轉至圖2位置時，與有什么數量關系，猜想并證明；
【深入探究】
（3）如圖3，如果直線不動，慧慧同學加大了平行線與之間的距離，使平行線之間的距離大于．繞點B旋轉三角尺，點A始終在平行線之間，請直接寫出與所有可能的數量關系．
【答案】（1） ；（2） ，證明見解析；（3）或或
【分析】本題考查了平行線的性質、三角形內角和定理、三角形外角的定義及性質，熟練掌握以上知識點并靈活運用，采用分類討論的思想是解此題的關鍵．
（1）延長交于，由平行線的性質可得，再由三角形內角和定理計算即可得解；
（2）延長交于，由平行線的性質結合對頂角相等可得，再由三角形外角的定義及性質計算即可得解；
（3）分三種情況：根據平行線的性質求解即可．
【詳解】解：（1）如圖，延長交于，
∵，
∴，
∵，
∴；
（2），證明如下：
如圖，延長交于，
∵，，
∴，
∵，，
∴；
（3）如圖，當的延長線與交于點時，延長交于，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
如圖，當的延長線交于，點在上方時，延長交于，
∵，
∴，
∵，，
∴；
如圖：當的延長線交于，點在下方時，令交于，
∵，
∴，
∵
∴，
綜上所述，與所有可能的數量關系為或或．
4．（24-25七年級下·四川南充·階段練習）如圖（a）所示，將一把含角的直角三角板的邊放置于長方形直尺的邊上．
(1)填空：______°，______°
(2)如圖（b）所示，現把三角板繞點B逆時針旋轉，當，且點C恰好落在邊上時，①_______，_______°：（結果用含n的代數式表示）
②若恰好是的倍，求n的值．
(3)如圖（a）所示放置的三角板，現將射線繞點B以的速度逆時針旋轉得到射線，同時射線繞點Q以的速度順時針旋轉得到射線，當射線旋轉至與重合時，則射線均停止轉動，設旋轉時間為．
①在旋轉過程中，若射線與射線相交，設交點為P．當時，則______．
②在旋轉過程中，是否存在？若存在，求出此時t的值；若不存在，請說明理由．
【答案】(1)120，90
(2)①，；②36
(3)①30；②t的值為12或48．
【分析】本題主要考查了平行線的性質、鄰補角的定義、三角形外角的性質、一元一次方程的應用等知識點，掌握平行線的性質定理并能熟練應用是解題的關鍵．
（1）根據鄰補角的定義和平行線的性質以及三角形的外角性質求解即可；
（2）①根據兩直線平行，內錯角相等求出，再用三角形外角等于不相鄰的兩個內角和可得，根據兩直線平行，同旁內角互補求出，然后根據周角等于計算即可得到；②根據恰好是的倍列方程求解即可；
（3）①畫出圖形，由角的和差和三角形的外角性質可得答案；②分兩種情況，根據平行線的性質列方程可解得答案．
【詳解】（1）解：∵且，
∴，
又∵，
∴．
∵，
∴，
∴．
故答案為：120，90．
（2）解：①如圖：
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴．
故答案為：，；
②當時，，解得：．
∴n的值是36．
（3）解：①如圖：
根據題意得：，
，
，
又∵，
．
故答案為：30；
②存在，理由如下：
如圖：
∵，
∴，
∴，解得：．
如圖：
∵，
∴，
∴，解得：．
綜上所述，t的值為12或48．
5．（24-25七年級下·遼寧沈陽·期中）將一副三角板如圖放置，，，，，．（溫馨提示：三角形的內角和為）
(1)若三角板如圖1擺放時，則______°，______°；
(2)現固定三角板的位置不變，將三角板沿方向平移至點E正好落在上，如圖2所示，與交于點G，作和的角平分線交于點H，求的度數；
(3)將三角板如圖2擺放，將三角板繞點E逆時針旋轉，速度為，同時將三角板繞點A順時針旋轉，速度為，當與直線首次重合時停止旋轉，運動時間為，當線段與三角板的一條邊平行時，請直接寫出旋轉的時間t的值______．
【答案】(1)，
(2)
(3)或或或．
【分析】（）如圖，延長交于點，由平角的定義可得和，根據平行線的性質可，進而根據三內角和可求出；
（）根據平行線的性質可得，根據三角形內角和和平角定義可得，，即得，再根據角平分線的定義及三角形內角和即可求解；
（）分、、三種情況，分別畫出圖形，利用平行線的性質及三角形內角和，三角形外角性質進行解答即可．
【詳解】（1）解：如圖，延長交于點，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案為：，；
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∵平分，平分，
∴，，
∴；
（3）解：∵，
∴，，
∵，
∴，
∵將三角板如圖2擺放，將三角板繞點E逆時針旋轉，速度為，同時將三角板繞點A順時針旋轉，速度為，
∴，，
當時，如圖，延長，分別交直線于點，
則，
∴
∵，
∴
∴，
∵，
∴，
即，
∴，
解得
當時，如圖，延長交于點，則，
連接交于一點，如圖所示，
將三角板如圖2擺放，將三角板繞點E逆時針旋轉，速度為，同時將三角板繞點A順時針旋轉，速度為，
∴，，
∵，
∴，
則，
∵，
∴
∴
則，
當時，如圖，延長分別交于點，設與交于點，
∴，
∴，
∵，
∴，
由題意得，
∵，
∴，解得：；
如圖，當時，如圖，設與交于點，與交于點，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，解得：；
綜上，當線段與三角板的一條邊平行時，旋轉的時間t的值為或或或，
故答案為：或或或．
題型三：解答題壓軸之其他探究問題
1．（24-25七年級下·廣東肇慶·期中）平面內的兩條直線有相交和平行兩種位置關系．
(1)如圖1，若，點P在、內部，，，求的度數．
(2)如圖2，將點P移到、外部，則、、之間有何數量關系？請證明你的結論．
(3)如圖3，直接寫出、、、之間的數量關系．（不需證明）
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）過P作，利用平行線的性質，等量代換證明即可；
（2）利用平行線的性質，三角形外角性質，等量代換證明即可；
（3）利用三角形外角性質，等量代換證明即可．
本題考查了平行線的判定和性質，三角形外角性質，熟練掌握判定和性質是解題的關鍵．
【詳解】（1）解：如圖，過P作，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴．
（2）解：如圖，
∵，
∴，
∴．
（3）解：、、、之間的數量關系為：．
連接并延長到點G，
根據題意，得，，，，
故．
2．（24-25七年級下·陜西漢中·期中）【問題提出】
如圖，已知，直線分別交于點E，F，平分交于點G．
（1）如圖1．若，則的度數是 ．
【問題探究】
（2）作平分，交于點M．
①如圖2，過點G作，交直線于點N，試說明：；
②如圖3．點P是延長線上的一點，連接，若，探究與之間的數量關系，并說明理由．
【答案】①；（2）①見解析；②，理由見解析
【分析】本題主要考查了平行線性質和判定、角平分線得定義等知識點，結合圖形進行分析是解題的關鍵．
（1）利用平行線性質得到，利用角平分線性質得到，再利用平行線性質即可得到，進而完成解答；
（2）①利用角平分線性質得到，根據平行線的性質可得，進而證明結論；②直接根據平行線的性質、角平分線定義、角的和差進行分析計算即可解答．
【詳解】解：（1）：∵，，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴．
故答案為：．
（2）①∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴．
②，理由如下：
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴
∴．
2．（24-25七年級下·山東淄博·期中）如圖，在四邊形中，，，延長到點，是的平分線，是的平分線．
(1)如圖，當時，求證：；
(2)如圖，當時，直線交直線于點，問 與，之間有何數量關系？寫出你的結論并證明；
(3)如果將（）中的條件 改為，那么與，之間又有何數量關系？請直接寫出結論，不用證明．
【答案】(1)見解析；
(2)，證明見解析；
(3)．
【分析】本題主要考查了三角形內角和定理、三角形外角的性質、角平分線的性質，解決本題的關鍵是根據三角形內角和定理與三角形外角的性質找到角之間的關系．
（1）根據角平分線的定義可知，，根據平行線的性質可知，所以可證，根據同位角相等，兩直線平行可證結論成立；
（2）根據角平分線的性質可知，根據三角形外角的性質可證，再根據三角形內角和定理可證；
（3）根據角平分線的定義可證，根據三角形內角和定理可證．
【詳解】（1）證明：是的平分線，是的平分線，
，，
，
，
，
，
，
；
（2）解：，
證明：如下圖所示，延長、相交于點，
是的平分線，是的平分線，
，，
，
在中，，
，
，
，
，，
，
；
（3）解：，
證明：如下圖所示，延長、交于點，
，，
，
，
，
，
，
．
3．（2025七年級下·山東·專題練習）【初步認識】
（1）如圖①，在中，平分，平分．若，則______；如圖②，平分，平分外角，則與的數量關系是______；
【繼續探索】
（2）如圖③，平分外角，平分外角．請探索與之間的數量關系．
【答案】（1），；（2）
【分析】本題考查了角平分線，三角形內角和定理，三角形外角的性質．明確角度之間的數量關系是解題的關鍵．
（1）如圖①，由角平分線可得，由三角形內角和可求，根據，計算求解即可；如圖②，由角平分線與外角可得，整理即可；
（2）由角平分線可得，由，可得，則根據，計算求解即可；
【詳解】解：（1）如圖①，∵平分，平分，
∴，
∵，
∴；
如圖②，∵平分，平分外角，
∴，
∵，，
∴，
整理得，，
故答案為：；．
（2）∵平分外角，平分外角，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
4．（24-25七年級下·上海奉賢·期中）綜合與實踐
(1)如圖1，在△ABC中，與的平分線交于點，如果，那么 ．
(2)如圖2，作△ABC外角、的平分線交于點，試求出、之間的數量關系．
(3)如圖3，延長、交于點，在中，存在一個內角等于另一個內角的4倍，請直接寫出的度數．
【答案】(1)(2)(3)或或或
【分析】（1）運用三角形的內角和定理及角平分線的定義，首先求出，進而求出即可解決問題；
（2）根據三角形的外角性質分別表示出與，再根據角平分線的性質可求得，最后根據三角形內角和定理即可求解；
（3）在中，由于，求出，，所以如果中，存在一個內角等于另一個內角的3倍，那么分四種情況進行討論：①；②；③；④；分別列出方程，求解即可．
【詳解】（1）解：∵．
∴，
∵點P是和的平分線的交點，
∴，
（2）解：∵外角，的角平分線交于點Q，
∴
，
∴；
（3）解：延長至F，
∵為的外角的角平分線，
∴是的外角的平分線，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，即，
又∵，
∴，即；
∵
，
∴；
如果中，存在一個內角等于另一個內角的4倍，那么分四種情況：
①，則，；
②，則，；
③，則，解得；
④，則，解得．
綜上所述，的度數是或或或．
5．（24-25七年級下·廣東廣州·期中）（1）如圖1，，點P在，之間，連接，．易證：．
下面是兩位同學添加輔助線的方法：
小強：如圖2，過點P作．
小菲：如圖3，延長交于點M．
請你選擇一位同學的方法進行證明．
（2）如圖4，E，F分別是射線，上一點，G是線段上一點，連接并延長，交直線于點，連接，，若，求證：．
（3）如圖5，在（2）的條件下，，平分，平分，與相交于點H，與相交于點T，若，，，求的度數．
【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）
【分析】本題考查了三角形外角的定義、平行線的判定與性質、角平分線的有關計算等知識點，掌握以上知識點是解答本題的關鍵．
（1）小強的方法：先證，根據平行線的性質得，，據此即可得出結論；
小菲的方法：先由得，再根據三角形的外角定理得，據此即可得出結論；
（2）先根據三角形的外角定理得，再根據得，然后根據平行線的判定可得出結論．
（3）設，則，進而可得，根據在（2）的條件下，得，由此解出，設，則，再根據得，進而得，然后根據在（2）的條件下得，則，由此得，據此求出即可得到的度數．
【詳解】解：（1）小強的證明如下：
過點作，
，
，
，
，
即；
小菲的證明如下：
延長交于點，
，
，
是的一個外角，
，
即；
（2）是的一個外角，
，
，
，
；
（3）平分，，
，
設，
，
，
在（2）的條件下，
，
，
解得：，
，
設，
平分，
，
，
，
，
，
在（2）的條件下，
，
，
即，
解得：，
．
1．（2024八年級上·全國·專題練習）某餐館有M、N、P、Q、R等特色菜，因人手不足和食材調配原因，顧客需根據如下規則點菜：
①不能同時點M和N；
②如果點了P，就要點Q或R；
③在Q和S中必須點一個，且只能點一個．
則以下組合中，符合點菜規則的是（　　）
A．Q、M、N B．S、N、P C．P、N、Q D．M、P、R
【答案】C
【分析】本題考查數學邏輯的知識，解題的關鍵是掌握數學邏輯推理．根據點菜規則，依次對各選項分析即可．
【詳解】解：A、∵不能同時點M和N，
∴選項A不符合點菜規則；
B、∵如果點了P，就要點Q或R，在Q和S中必須點一個，且只能點一個，
∴還需要點R，
∴選項B不符合點菜規則；
C、∵如果點了P，就要點Q或R，在Q和S中必須點一個，且只能點一個，
∴選項C符合點菜規則；
D、∵在Q和S中必須點一個，且只能點一個，
∴還需點S．
∴選項D不符合點菜規則；
故選：C．
2．（24-25七年級下·山東濟南·期中）如圖，在△ABC中，，點E，F分別在邊上，，的角平分線與的角平分線交于點P，若，則的度數為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本題考查了三角形的內角和定理，三角形外角的性質，角平分線的定義等，熟練掌握這些知識是解題的關鍵．
根據題意可知，設，表示出，根據角平分線的定義，可得的度數，根據列方程，即可求出的度數．
【詳解】解：∵，平分，
∴，
設，
則，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
故選：B．
3．（2025·陜西西安·模擬預測）如圖，已知，點A、B分別在射線上移動，平分，交于點E，平分，的反向延長線與交于點C．關于結論Ⅰ、Ⅱ，下列判斷正確的是（ ）
結論Ⅰ：若，則；
結論Ⅱ：無論點A、B在射線，射線（均不與點O重合）上怎樣移動，的度數都不變
A．只有結論Ⅰ正確 B．只有結論Ⅱ正確
C．結論Ⅰ、Ⅱ都正確 D．結論Ⅰ、Ⅱ都不正確
【答案】C
【分析】本題考查角平分線的定義，三角形外角的性質的應用等知識，熟練掌握以上知識并會利用數形結合的思想是解題關鍵．根據題意可求出，再根據角平分線的定義和三角形外角性質即可求出；根據角平分線的定義和三角形外角性質求解的度數即可；
【詳解】解：，為 的平分線，
，
，
為 的平分線，
,
故結論Ⅰ正確；
，
又 為 的平分線，
，
為 的平分線，
，
，
故結論Ⅱ正確；
故選：C．
4．（2025七年級下·全國·專題練習）如圖，直線，，，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本題考查了平行線的性質、三角形外角的定義及性質，由平行線的性質可得，再由三角形外角的定義及性質可得，，計算即可得解，熟練掌握以上知識點并靈活運用是解此題的關鍵．
【詳解】解：∵，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
∴，
故選：A．
5．（2025·陜西·模擬預測）如圖是某款鏟子的側面示意圖，已知，，．若，則的度數是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本題考查了平行線的性質，三角形的外角性質．利用平行線的性質求得，，，再利用三角形的外角性質即可求解．
【詳解】解：延長交于點，
∵，，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
故選：B．
6．（24-25七年級下·全國·課后作業）如圖，是的外角，平分，平分，且，相交于點D．若，則的度數為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本題考查三角形的外角的定義，角平分線的定義，熟練掌握角平分線的定義是解題的關鍵；
根據角平分線的定義可得，，可得，進而求解；
【詳解】解：平分，平分，
，，
，
；
故選：B
7．（24-25九年級下·河南鄭州·階段練習）如圖，一束平行于主光軸的光線經凹透鏡折射后，其折射光線與一束經過光心的光線相交于點，點為焦點（折射光線的反向延長線與主光軸線的交點）．若，，則的度數為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本題考查了平行線的性質，三角形的外角性質，根據題目的已知條件并結合圖形進行分析是解題的關鍵．
先利用平行線的性質可得，從而利用平角定義可得，然后利用三角形的外角性質可得，再利用對頂角相等即可解答．
【詳解】解：如圖：
，
，
，
是的一個外角，
，
，
故選：A．
8．（24-25七年級下·江蘇南通·期中）如圖，，垂足為，與相交于點，，，則的度數為 ．
【答案】/100度
【分析】本題考查了垂直定義，三角形的內角和定理，三角形外角性質，由，則，再通過三角形內角和定理可得，最后由三角形外角性質即可求解，熟記性質并準確識圖是解題的關鍵．
【詳解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案為：．
9．（2025·四川綿陽·三模）如圖，，，點G為直線上點，交的平分線于F，，則 ．
【答案】/度
【分析】本題考查的是平行線的性質，用到的知識點為：兩直線平行，同旁內角互補，內錯角相等．也考查了三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內角的和． 先根據平行線的性質求出與的度數，再由角平分線的性質求出的度數，進而可得出的度數，再根據三角形外角的性質即可得出結論．
【詳解】解：∵，，
∴，．
∵交的平分線于F，
∴，
∴．
∵，
∴．
故答案為：
10．（24-25七年級下·河南周口·階段練習）如圖，已知△ABC的內角，分別作內角與外角的平分線，兩條角平分線交于點；作和的平分線交于點；以此類推得到點，則的大小為 ．
【答案】/
【分析】本題考查三角形的外角性質，規律型：圖形的變化類，應用三角形的外角性質，由特殊情況總結出一般規律，即可得到答案．
【詳解】解：∵平分，平分，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
同理：，
∴．
故答案為：．
11．（24-25七年級下·湖北十堰·期中）將直角三角板和長方形直尺按如圖方式疊放在一起，交于點，連接，．下列三個結論：①若，則平分；②；③若平分，平分，則④其中正確的結論有
【答案】①②③
【分析】本題主要考查了平行線的性質，平行公理，三角形外角的性質，角平分線的定義，解題的關鍵是熟練掌握平行線的性質，根據平行線的性質和三角形外角的性質，逐項進行判斷即可．
【詳解】解：①∵，，
∴，
∴，
∴，
∴平分，故①正確；
②過點E作，如圖所示：
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴，故②正確；
④∴，故④錯誤，
③∵平分，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
解得：，故③正確；
綜上分析可知，正確的有①②③．
故答案為：①②③．
12．（24-25七年級下·山東德州·期中）如圖，點、、、分別在線段、、上，，．求證：．
【答案】見解析
【分析】本題主要考查了三角形外角的性質、平角的定義，根據平角的定義可得：，又因為，可證，根據，可得，根據外角的性質可得：，從而可證結論成立．
【詳解】證明：，，
，
，
，
是的外角，
，
．
13．（24-25七年級下·四川成都·期中）已知直線、，點A、B為分別在直線、上，點C為平面內一點，連接、，且．
(1)求證：；
(2)如圖2，射線、分別平分和，交直線于點E，與內部的一條射線交于點D，若，求的度數．
【答案】(1)見解析
(2)
【分析】（1）過作，證明，從而得到；
（2）連接并延長交于點，由已知可以得到，再由及平角的意義可以得到解答．
【詳解】（1）證明：過作，如圖所示，
，
，
，
，
，
；
（2）如圖所示，連接并延長交于點，
∵射線、分別平分和，
∴，，
∵ ，，，
∴，
而，
，
，
與（1）同理可得：，
，
，
即，
，
，
，
，
．
14．（2025·陜西西安·模擬預測）如圖，已知在△ABC中，．
(1)請在圖中畫出△ABC的邊上的高；
(2)已知E為邊上一點．
①若是中線，，則與的周長差為_____________；
②若，求的度數．
【答案】(1)見解析
(2)①；②
【分析】本題主要考查了畫三角形的高，三角形中線的定義，三角形內角和定理和三角形外角的性質，熟知三角形的相關知識是解題的關鍵．
（1）過點A作交延長線于D，則即為所求；
（2）①由三角形中線的定義得到，再根據三角形周長計算公式列式求解即可；②由三角形外角的性質可得，再由三角形內角和定理可得答案．
【詳解】（1）解：如圖所示，過點A作交延長線于D，則即為所求；
（2）解：①∵是中線，
∴，
∴
，
∴與的周長差為；
②∵，
∴，
∴，
∴．
15．（24-25七年級下·重慶渝北·階段練習）已知點，分別在和上，且．
(1)如圖，若，，則的度數為______；
(2)如圖，若平分，平分，的反向延長線交于點M，探究與的數量關系，并說明理由；
(3)如圖，若轉動與使其交于點G，若，且平分，平分，的反向延長線交于點M，試探究與的數量關系，并說明理由．（已知：任意四邊形的四個內角之和為）
【答案】(1)；
(2)，見解析；
(3)，見解析
【分析】此題考查了平行線的性質、角平分線的相關計算、多邊形內角和等知識，添加適當的輔助線和熟練掌握平行線的性質是解題的關鍵．
（1）過點E作，得出，根據平行線的性質得出，，根據，求出結果即可；
（2）設，，由平分，平分，得到，，過點E作，求出，，即可得到，即可得到結論；
（3）設，，平分，平分，
則，，求出，，則，即可得到結論．
【詳解】（1）解：過點E作，如圖，
∵，
∴，
∴，，
∵，，，
∴；
故答案為：；
（2）解：設，，
∵平分，平分，
∴，，
過點E作，如圖，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴；
（3）解：設，，
∵平分，平分，
∴，，
∵，，，，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
即．中小學教育資源及組卷應用平臺
1.3 證明
題型一：證明的相關求解
1．（24-25八年級上·浙江溫州·階段練習）下列選項中，可以用來說明命題“若，則”是假命題的反例是（ ）
A． B． C． D．
2．（24-25八年級上·四川眉山·期末）用反證法證明“已知，．求證：”．第一步應先假設 ．
3．（24-25九年級下·湖南長沙·期中）好久未見的A，B，C，D，E五位同學歡聚一堂，他們一見面便相互握手一次，中途統計各位同學握手次數為：A同學握手4次，B同學握手3次，C同學握手2次，D同學握手1次，請你推斷一下，E同學握手 次．
4．（24-25八年級下·全國·課后作業）用反證法證明（填空）：兩直線平行，同位角相等．
已知：如圖，直線，被所截，A，B為交點，．
求證：．
證明：假設所求證的結論不成立，
即____________________．
過點A作直線，使與所成的與相等，則__________，
所以直線與直線不重合．
但（____________________），又已知，這與基本事實“____________________”產生矛盾．所以__________不成立．
所求證的結論成立．
5．（24-25八年級上·全國·課后作業）已知：如圖，，求證：．
6．（24-25八年級上·全國·課后作業）證明命題“三角形三個內角的和等于”是真命題．
7．（24-25八年級上·全國·課后作業）命題“若n是自然數，則代數式的值是3的倍數”是真命題還是假命題？如果你認為是假命題，請說明理由：如果認為是真命題，給出證明．
8．（24-25八年級上·全國·課后作業）已知：如圖，直線、被直線所截，，B為垂足，．求證：．
證明：∵（　　），
∴___________（　　）
∴___________（　　）
∴（已知），
∴（　　）
∴，
∴（　　）
題型二：三角形外角中三角板問題
1．（2025·黑龍江齊齊哈爾·三模）將一副三角板按如圖所示的方式擺放，點在邊上，，則的大小為（ ）
A． B． C． D．
2．（24-25八年級下·貴州銅仁·期中）將一副三角板如圖放置，使含角的三角板的一段直角邊與含角的三角板的一段直角邊重合，則的度數為（ ）
A． B． C． D．
3．（2025·河北唐山·三模）將一塊含角的直角三角尺和直尺如圖放置，若，則的度數為（ ）
A． B． C． D．
4．（2025·安徽六安·二模）如圖，已知，將含角的直角三角板放在直線a，b之間，若，則的度數為（ ）
A． B． C． D．
5．（24-25九年級下·山東德州·期中）一副三角板按如圖所示的方式擺放，，，，若，則的度數為 ．
6．（24-25八年級下·江西撫州·階段練習）如圖，三角形是由三角形平移得到的，點D在邊上，連接．若和中其中一個角是另一個角的3倍，，則的度數為 ．
7．（2025·江西新余·一模）如圖，將一副三角尺按圖中所示的位置擺放，點在上，，則的度數是 ．
題型三：三角形外角的實際應用
1．（24-25七年級下·重慶·期末）如圖，起重機在工作時，起吊物體前機械臂與操作臺的夾角，支撐臂為的平分線．物體被吊起后，機械臂的位置不變，支撐臂繞點B旋轉一定的角度并縮短，此時，增大了，則的變化情況為 （ ）
A．增大 B．減小 C．增大 D．減小
2．（2025·陜西西安·模擬預測）汽車前照燈通常由光源、反光鏡和配光鏡等部件組成．如圖，光源位于焦點處，光線經反光鏡反射后均平行于地面射出，已知，，則的度數為（ ）
A． B． C． D．
3．（24-25九年級下·河南商丘·期中）如圖是一款嬰兒車的平面示意圖，其中，若，，則的度數為（ ）
A． B． C． D．
4．（24-25七年級下·廣東梅州·期中）如1圖所示是一輛自動變速自行車的實物圖，如2圖所示是抽象出來的部分示意圖，已知直線與相交于點P，，，，則的大小為（ ）
A． B． C． D．
5．（24-25七年級下·河南鄭州·期中）如圖，一束平行于主光軸的光線經凸透鏡折射后，其折射光線與一束經過光心的光線相交于點，若，，則的度數為（ ）
A． B． C． D．
6．（2025·四川綿陽·二模）某物體靜止在斜面上，其受力分析如圖所示，重力G的方向豎直向下，支持力的方向與斜面垂直，摩擦力的方向與斜面平行．若斜面的坡角，則摩擦力與重力G方向的夾角的度數為 ．
7．（2025·廣東深圳·二模）如圖，一束激光射入水面，在點處發生折射，折射光線在杯底形成光斑點．水位下降時，光線保持不變，此時光線在點處發生折射，光斑移動到點．因水面始終與杯底平行，則折射光線．若，，則的度數為 ．
題型四：三角形的外角與平行線的結合
1．（24-25九年級下·云南昆明·階段練習）如圖，直線，，則的度數為（ ）
A． B． C． D．
2．（2025·陜西寶雞·模擬預測）如圖，在中，，為延長線上一點，過點作．若，則的度數是（ ）
A． B． C． D．
3．（2025·湖北·二模）如圖，已知，，則的度數為（ ）
A． B． C． D．
4．（2025·山東威海·二模）如圖，，，則（ ）
A． B． C． D．
5．（2025·湖南懷化·三模）如圖，，若，，則的度數為（ ）
A． B． C． D．
6．（2025·陜西西安·模擬預測）唐朝李白的《行路難》有句詩“長風破浪會有時，直掛云帆濟滄海．”如圖是小明作的一個帆船模型抽象的幾何圖形，已知．若，則的度數為（　　）
A． B． C． D．
7．（2025·湖南衡陽·模擬預測）如圖所示，已知直線，，，則的度數為 ．
題型五：三角形的外角與角平分線的結合
1．（24-25七年級下·江蘇揚州·階段練習）如圖，在四邊形中，，和的平分線交于點P，則的度數為 ．
2．（24-25七年級下·江西贛州·階段練習）如圖，在△ABC中，平分，若，則的度數為 ．
3．（24-25七年級下·陜西西安·期中）如圖，在△ABC中，平分，于點M，交的延長線于點N，已知，則的度數為 ．
4．（24-25八年級上·河南鄭州·期末）如圖，在△ABC中，已知的平分線與交于點D，，，則的度數為 ．

5．（24-25七年級下·江蘇泰州·階段練習）如圖，是△ABC的外角的平分線，若，，則的度數是 ．
6．（24-25七年級下·上海閔行·階段練習）如圖，在△ABC中，是邊上的高，，平分交于點E，，則的度數為 ．
題型六：三角形的內角等分線和外角等分線綜合
1．（24-25八年級上·四川成都·期末）如圖，點是△ABC的外角內部一點，滿足，．若，則的度數是 ．
2．（24-25七年級上·江蘇揚州·期中）如圖，若平分平分，則 ．
3．（24-25七年級下·上海閔行·期中）如圖，在△ABC中，延長到D，的角平分線相交于點點．與的外角平分線交于點，與的外角平分線交于點，依次類推，與的外角平分線交于點，如果，那么 °．（用含m、n的表示）．
4．（24-25九年級下·山東濟寧·期中）如圖，在△ABC中，，與的平分線交于點，得，與的平分線相交于點，得；…；與的平分線交于點，要使的度數為整數，則n的最大值為 ．
5．（24-25七年級下·山東威海·期中）如圖，在△ABC中，，和外角的平分線交于，得；和外角的平分線交于，得；……依次類推，則 ．
6．（24-25七年級下·江蘇南京·期末）如圖，在△ABC中，，點E、F分別在邊上，，，的角平分線與的角平分線交于點P，則的度數為 ．
7．（24-25七年級下·湖南懷化·階段練習）如圖，的平分線與的平分線交于點E，且，則=（ ）
A． B． C． D．
題型七：三角形外角中特殊多邊形的角度和
1．（24-25七年級下·河北秦皇島·階段練習）如圖，等于（ ）
A． B． C． D．
2．（24-25八年級下·黑龍江綏化·期中）如圖， ．
3．（24-25八年級上·河南新鄉·期末）如圖， 度．
4．（24-25八年級上·山東德州·階段練習）如圖，的度數為 ．
5．（24-25八年級上·遼寧盤錦·期中）如圖，在多邊形中，，，則 ．
6．（2023·四川綿陽·模擬預測）如圖所示，把一個四邊形紙片的四個頂角分別向內折疊，折疊之后，4個頂點不重合，那么圖中的度數是 ．
題型八：三角形外角中折疊問題
1．（24-25七年級下·山東泰安·期中）如圖，三角形紙片中，，將沿對折，使點落在△ABC外的點處，若，則的度數為 ．

2．（24-25七年級下·重慶·期中）折紙是幾何學習中的一種重要操作．如圖，將紙片沿折疊，使點落在點處，交于點．若，則當 度時，．
3．（24-25七年級下·江蘇宿遷·期中）如圖，在 △ABC中， D是上一點，將沿翻折后得到邊交于點F．若 中有兩個角相等，則 ．
4．（24-25九年級下·陜西榆林·階段練習）如圖，在△ABC中，點是邊上一點，連接，點關于的對稱點恰好在邊上，連接，若，，則的度數為 ．
5．（24-25七年級下·全國·隨堂練習）如圖，在三角形紙片中，，將三角形紙片沿折疊，使點C落在所在平面內的點處．若，則的度數為 ．
題型九：三角形外角解答題綜合
1．（23-24七年級下·江蘇淮安·期中）如圖，，，且．若，求的度數．
2．（24-25七年級下·廣東江門·期中）如圖，在四邊形中，E是延長線的一點，連接交于點F，若，．
(1)若，，求的度數；
(2)判斷與的位置關系，并說明理由．
3．（24-25七年級下·重慶銅梁·期中）如圖，已知點E、F在直線上，點G在線段上，與交于點H，，．
(1)求證：；
(2)若，，求的度數．
4．（24-25七年級下·湖南衡陽·期中）如圖，在△ABC中，為邊上的高，點D為邊上的一點，連接．
(1)若點為邊的中點，，△ABC的面積為30，求的長；
(2)若平分，，，求的度數．
5．（24-25七年級下·浙江杭州·階段練習）如圖，．
(1)判斷與的位置關系，并說明理由．
(2)若比大25°，求的度數．
6．（23-24八年級上·四川南充·階段練習）如圖，在△ABC中，，分別是△ABC的中線和高，是的角平分線．
(1)若△ABC的面積為，，求的長；
(2)若，，求的大小．
7．（23-24七年級下·四川南充·期中）如圖，點，分別在三角形的邊，上，點在線段上，且，．
(1)試說明：；
(2)試說明：；
(3)若平分，，求的度數．
題型一：三角形外角中多結論問題
1．（2025七年級下·全國·專題練習）如圖，，平分，，下列結論：
①；②；③；④；⑤若，則，
其中正確結論的個數是（ ）
A．2個 B．3個 C．4個 D．5個
2．（23-24八年級上·山東濟寧·期末）如圖，D是△ABC的邊上點，連接，平分交于點H，交于點M．△ABC的外角的平分線所在直線與的延長線交于點G．當時，有下列四個結論：
①與互余；
②；
③；
④．
其中正確的結論是（　　）
A．①② B．③④ C．②④ D．①③
3．（24-25七年級下·江蘇無錫·階段練習）如圖，、分別是△ABC的高和角平分線，F是延長線上的一點，過點F作交于點G、交于點H，下列結論：①；②；③；④，其中正確的結論有（ ）
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
4．（23-24七年級下·浙江杭州·期中）如圖，已知，P為下方一點，G，H分別為，上的點，，（，且，均為銳角），與的角平分線交于點F，平分，交直線于點E，下列結論：①；②；③若，則．其中正確結論的序號是（ ）
A．①②③ B．②③ C．③ D．②
5．（24-25七年級下·四川廣元·期中）如圖，，交于點P，平分，平分，交的反向延長線于Q，，則：①若，則；②；③；④，其中正確的是 ．
6．（24-25七年級下·吉林長春·期中）如圖，在△ABC中，，是邊上的高，是邊上的中線，平分，交于點，交于點，給出下面四個結論：
①的面積與的面積相等；
②；
③；
④．
上述結論中，正確結論的序號有 ．
7．（2025七年級下·全國·專題練習）如圖，，E是線段上一點，F是線段的延長線上一點，的平分線交于點，交線段的延長線于點，過點作于點，且．下列結論：
①；
②；
③；
④若，則．
正確結論的序號是 ．
題型二：解答題壓軸之三角板中探究問題
1．（24-25七年級下·山東泰安·期中）材料閱讀：如圖①所示的圖形，像我們常見的學習用品——圓規．我們不妨把這樣圖形叫做“規形圖”．
解決問題：
(1)觀察“規形圖”，試探究與之間的數量關系，并說明理由；
(2)請你直接利用以上結論，解決以下三個問題：
①如圖②，把一塊三角尺放置在△ABC上，使三角尺的兩條直角邊恰好經過點B，C，若，則______；
②如圖③，平分，平分，若，求的度數；
③如圖③，平分，平分，若，則______．
2．（24-25七年級下·廣東佛山·期中）如圖1，將一把含角的直角三角板的邊放置于長方形直尺的邊上．

【特例初探】
（1）在圖1中，______，______．
【技能提升】
（2）把三角板如圖2放置，線段與相交于點H，當時，求的值．
【綜合運用】
（3）將三角板如圖3放置，使點恰好落在邊上，現將射線繞點B以的速度逆時針旋轉得到射線，同時射線繞點Q以的速度順時針旋轉得到射線，當射線旋轉至與重合時，則射線，均停止轉動，設旋轉時間為．
①在旋轉過程中，若射線與射線相交于點P．當時，求的度數．
②在旋轉過程中，當時，求出此時的值．

3．（24-25七年級下·福建三明·期中）在綜合與實踐課上，某班開展了以兩條平行線和直角三角尺為主題的數學活動．
【初步感知】
（1）如圖1，若三角尺的角的頂點放在上，若，求的度數；
【自主探究】
（2）將一副三角板如圖2所示擺放，直線．若三角板不動，而三角板繞點以每秒的速度順時針旋轉，設旋轉時間為秒，求當旋轉到時，的值是多少？
【探究拓展】
（3）現將三角板繞點以每秒的速度順時針旋轉，同時三角板繞點以每秒的速度順時針旋轉，如圖3，設時間為秒，當時，若邊與三角板的一條直角邊（邊）平行，直接寫出滿足條件的值．
4．（24-25七年級下·遼寧大連·期中）【問題情境】
在綜合與實踐課上，老師讓同學們以“兩條平行線，和一塊含角的直角三角尺（其中，）”為背景開展數學活動．將三角尺角的頂點B放在直線上，直線與直線相交于點E．
【操作探究】
（1）聰聰同學將三角尺按圖1所示放置，若，求的度數；
（2）明明同學將三角尺繞點B旋轉至圖2位置時，與有什么數量關系，猜想并證明；
【深入探究】
（3）如圖3，如果直線不動，慧慧同學加大了平行線與之間的距離，使平行線之間的距離大于．繞點B旋轉三角尺，點A始終在平行線之間，請直接寫出與所有可能的數量關系．
4．（24-25七年級下·四川南充·階段練習）如圖（a）所示，將一把含角的直角三角板的邊放置于長方形直尺的邊上．
(1)填空：______°，______°
(2)如圖（b）所示，現把三角板繞點B逆時針旋轉，當，且點C恰好落在邊上時，①_______，_______°：（結果用含n的代數式表示）
②若恰好是的倍，求n的值．
(3)如圖（a）所示放置的三角板，現將射線繞點B以的速度逆時針旋轉得到射線，同時射線繞點Q以的速度順時針旋轉得到射線，當射線旋轉至與重合時，則射線均停止轉動，設旋轉時間為．
①在旋轉過程中，若射線與射線相交，設交點為P．當時，則______．
②在旋轉過程中，是否存在？若存在，求出此時t的值；若不存在，請說明理由．
5．（24-25七年級下·遼寧沈陽·期中）將一副三角板如圖放置，，，，，．（溫馨提示：三角形的內角和為）
(1)若三角板如圖1擺放時，則______°，______°；
(2)現固定三角板的位置不變，將三角板沿方向平移至點E正好落在上，如圖2所示，與交于點G，作和的角平分線交于點H，求的度數；
(3)將三角板如圖2擺放，將三角板繞點E逆時針旋轉，速度為，同時將三角板繞點A順時針旋轉，速度為，當與直線首次重合時停止旋轉，運動時間為，當線段與三角板的一條邊平行時，請直接寫出旋轉的時間t的值______．
題型三：解答題壓軸之其他探究問題
1．（24-25七年級下·廣東肇慶·期中）平面內的兩條直線有相交和平行兩種位置關系．
(1)如圖1，若，點P在、內部，，，求的度數．
(2)如圖2，將點P移到、外部，則、、之間有何數量關系？請證明你的結論．
(3)如圖3，直接寫出、、、之間的數量關系．（不需證明）
2．（24-25七年級下·陜西漢中·期中）【問題提出】
如圖，已知，直線分別交于點E，F，平分交于點G．
（1）如圖1．若，則的度數是 ．
【問題探究】
（2）作平分，交于點M．
①如圖2，過點G作，交直線于點N，試說明：；
②如圖3．點P是延長線上的一點，連接，若，探究與之間的數量關系，并說明理由．
2．（24-25七年級下·山東淄博·期中）如圖，在四邊形中，，，延長到點，是的平分線，是的平分線．
(1)如圖，當時，求證：；
(2)如圖，當時，直線交直線于點，問 與，之間有何數量關系？寫出你的結論并證明；
(3)如果將（）中的條件 改為，那么與，之間又有何數量關系？請直接寫出結論，不用證明．
3．（2025七年級下·山東·專題練習）【初步認識】
（1）如圖①，在中，平分，平分．若，則______；如圖②，平分，平分外角，則與的數量關系是______；
【繼續探索】
（2）如圖③，平分外角，平分外角．請探索與之間的數量關系．
4．（24-25七年級下·上海奉賢·期中）綜合與實踐
(1)如圖1，在△ABC中，與的平分線交于點，如果，那么 ．
(2)如圖2，作△ABC外角、的平分線交于點，試求出、之間的數量關系．
(3)如圖3，延長、交于點，在中，存在一個內角等于另一個內角的4倍，請直接寫出的度數．
5．（24-25七年級下·廣東廣州·期中）（1）如圖1，，點P在，之間，連接，．易證：．
下面是兩位同學添加輔助線的方法：
小強：如圖2，過點P作．
小菲：如圖3，延長交于點M．
請你選擇一位同學的方法進行證明．
（2）如圖4，E，F分別是射線，上一點，G是線段上一點，連接并延長，交直線于點，連接，，若，求證：．
（3）如圖5，在（2）的條件下，，平分，平分，與相交于點H，與相交于點T，若，，，求的度數．
1．（2024八年級上·全國·專題練習）某餐館有M、N、P、Q、R等特色菜，因人手不足和食材調配原因，顧客需根據如下規則點菜：
①不能同時點M和N；
②如果點了P，就要點Q或R；
③在Q和S中必須點一個，且只能點一個．
則以下組合中，符合點菜規則的是（　　）
A．Q、M、N B．S、N、P C．P、N、Q D．M、P、R
2．（24-25七年級下·山東濟南·期中）如圖，在△ABC中，，點E，F分別在邊上，，的角平分線與的角平分線交于點P，若，則的度數為（ ）
A． B． C． D．
3．（2025·陜西西安·模擬預測）如圖，已知，點A、B分別在射線上移動，平分，交于點E，平分，的反向延長線與交于點C．關于結論Ⅰ、Ⅱ，下列判斷正確的是（ ）
結論Ⅰ：若，則；
結論Ⅱ：無論點A、B在射線，射線（均不與點O重合）上怎樣移動，的度數都不變
A．只有結論Ⅰ正確 B．只有結論Ⅱ正確
C．結論Ⅰ、Ⅱ都正確 D．結論Ⅰ、Ⅱ都不正確
4．（2025七年級下·全國·專題練習）如圖，直線，，，則（ ）
A． B． C． D．
5．（2025·陜西·模擬預測）如圖是某款鏟子的側面示意圖，已知，，．若，則的度數是（ ）
A． B． C． D．
6．（24-25七年級下·全國·課后作業）如圖，是的外角，平分，平分，且，相交于點D．若，則的度數為（ ）
A． B． C． D．
7．（24-25九年級下·河南鄭州·階段練習）如圖，一束平行于主光軸的光線經凹透鏡折射后，其折射光線與一束經過光心的光線相交于點，點為焦點（折射光線的反向延長線與主光軸線的交點）．若，，則的度數為（ ）
A． B． C． D．
8．（24-25七年級下·江蘇南通·期中）如圖，，垂足為，與相交于點，，，則的度數為 ．
9．（2025·四川綿陽·三模）如圖，，，點G為直線上點，交的平分線于F，，則 ．
10．（24-25七年級下·河南周口·階段練習）如圖，已知△ABC的內角，分別作內角與外角的平分線，兩條角平分線交于點；作和的平分線交于點；以此類推得到點，則的大小為 ．
11．（24-25七年級下·湖北十堰·期中）將直角三角板和長方形直尺按如圖方式疊放在一起，交于點，連接，．下列三個結論：①若，則平分；②；③若平分，平分，則④其中正確的結論有
12．（24-25七年級下·山東德州·期中）如圖，點、、、分別在線段、、上，，．求證：．
13．（24-25七年級下·四川成都·期中）已知直線、，點A、B為分別在直線、上，點C為平面內一點，連接、，且．
(1)求證：；
(2)如圖2，射線、分別平分和，交直線于點E，與內部的一條射線交于點D，若，求的度數．
14．（2025·陜西西安·模擬預測）如圖，已知在△ABC中，．
(1)請在圖中畫出△ABC的邊上的高；
(2)已知E為邊上一點．
①若是中線，，則與的周長差為_____________；
②若，求的度數．
15．（24-25七年級下·重慶渝北·階段練習）已知點，分別在和上，且．
(1)如圖，若，，則的度數為______；
(2)如圖，若平分，平分，的反向延長線交于點M，探究與的數量關系，并說明理由；
(3)如圖，若轉動與使其交于點G，若，且平分，平分，的反向延長線交于點M，試探究與的數量關系，并說明理由．（已知：任意四邊形的四個內角之和為）

展開更多......

收起↑