資源簡介

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1.4 全等三角形
題型一：全等圖形的判斷
1．（24-25八年級上·江西上饒·期中）2024年巴黎奧運會上中國體育代表團獲得40枚金牌，金牌數與美國隊并列第一，創造了參加境外奧運會的最佳戰績．下列各組巴黎奧運會的項目圖標中，是全等形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本題考查了全等形“能夠完全重合的兩個圖形叫做全等形”，熟練掌握全等形的定義是解題關鍵．根據全等形的定義即可得．
【詳解】解：A、不是全等形，則此項不符合題意；
B、不是全等形，則此項不符合題意；
C、是全等形，則此項符合題意；
D、不是全等形，則此項不符合題意；
故選：C．
2．（24-25八年級上·江蘇南京·期中）下圖是2024年巴黎奧運會和殘奧會的吉祥物“弗里熱”，它的座右銘是“獨行快，眾行遠”，下列與該圖片是全等的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本題考查了全等圖形的定義，根據全等圖形定義直接選擇即可．
【詳解】解：由題意得，與題中圖片形狀、大小都相同的全等圖形的是D，
故選：D．
3．（2024八年級上·江蘇·專題練習）下列各選項中的兩個圖形屬于全等形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本題考查的是全等形的識別．利用全等圖形的概念（兩個圖形能夠完全重合，就是全等圖形）可得答案．
【詳解】解：A、兩個圖形形狀不同，不能完全重合，不是全等圖形，不符合題意；
B、兩個圖形能夠完全重合，是全等圖形，符合題意；
C、兩個圖形形狀不同，不能完全重合，不是全等圖形，不符合題意；
D、兩個圖形大小不同，不能完全重合，不是全等圖形，不符合題意；
故選：B．
4．（24-25八年級上·山西運城·期末）下列各組圖形中，屬于全等圖形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本題考查了全等圖形的定義，全等圖形：大小相等且形狀相同的圖形，據此逐個選項分析，即可作答．
【詳解】解：A、這兩幅圖大小不相等，故該選項不符合題意；
B、這兩幅圖大小不相等，故該選項不符合題意；
C、這兩幅圖大小相等且形狀相同，故該選項符合題意；
D、這兩幅圖大小相等但形狀不同，故該選項不符合題意；
故選：C．
5．（24-25八年級上·遼寧大連·階段練習）下列各選項中的兩個圖形屬于全等圖形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本題考查的是全等形的識別，根據全等形是能夠完全重合的兩個圖形進行分析判斷．
【詳解】解：A、兩個圖形不能夠完全重合，不是全等圖形，不符合題意；
B、兩個圖形不能完全重合，不是全等圖形，不符合題意；
C、兩個圖形可以完全重合，是全等圖形，符合題意；
D、兩個圖形不能完全重合，不是全等圖形，不符合題意．
故選：C．
6．（24-25八年級上·山西呂梁·階段練習）下列各組圖形中，是全等形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本題考查全等圖形，能完全重合的兩個平面圖形是全等圖形．據此進行判斷即可．
【詳解】觀察發現：B，C，D選項中兩個圖形不能完全重合，不是全等形；
A選項中兩個圖形能完全重合，是全等形，
故選：A．
7．（24-25八年級上·河南周口·階段練習）下列各個選項中的兩個圖形屬于全等形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本題考查的是全等圖形，掌握全等圖形的概念是解決問題的關鍵．
利用全等圖形的概念可得答案．
【詳解】解∶ A．兩個圖形形狀不同，不能完全重合，不是全等圖形，不符合題意；
B．兩個圖形能完全重合，是全等圖形，符合題意；
C．兩個圖形大小不同，不能完全重合，不是全等圖形，不符合題意；
D．兩個圖形形狀不同，不能完全重合，不是全等圖形，不符合題意；
故選∶B．
題型二：利用全等三角形性質判斷語句是否正確
1．（24-25七年級下·重慶·期中）有下列說法：
①在同一平面內，兩條不相交的直線叫做平行線；
②兩條直線被第三條直線所截，同位角相等；
③在同一平面內，垂直于同一條直線的兩條直線平行；
④全等三角形的周長相等；
⑤面積相等的兩個三角形全等；
⑥如果兩個角互為鄰補角，那么這兩個角的角平分線互相垂直．
其中正確的有（　　）個．
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【分析】本題主要考查了平行線的定義全等三角形的周長，平行線的性質．根據平行線的性質和定義，全等三角形的周長，逐項進行判斷即可．
【詳解】解：①在同一平面內，兩條不相交的直線叫做平行線，原說法正確；
②兩條平行直線被第三條直線所截，同位角相等，原說法錯誤；
③在同一平面內，垂直于同一條直線的兩條直線平行，原說法正確；
④全等三角形的周長相等，原說法正確；
⑤面積相等的兩個三角形不一定全等，原說法錯誤；
⑥如果兩個角互為鄰補角，那么這兩個角的角平分線互相垂直，原說法正確．
綜上分析可知，正確的有①③④⑥，共4個．
故選：C．
2．（24-25七年級下·陜西西安·期中）下列說法中，正確的個數有（ ）
①同位角相等；
②三角形的三條高線的交于三角形內部一點；
③全等三角形的面積一定相等；
④過一點有且只有一條直線與已知直線平行；
⑤三角形的三條角平分線交于一點，且這點在三角形內
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】A
【分析】本題考查了幾何的相關概念，掌握同位角、三角形的高、全等三角形的性質、平行公理，角平分線交點等知識是關鍵．
根據同位角、三角形的高、全等三角形的性質、平行公理，角平分線交點等知識進行判定即可．
【詳解】解：①兩直線平行，同位角相等，故原說法錯誤；
②銳角三角形的三條高線不一定交于三角形內部一點，故原說法錯誤；
③全等三角形的面積一定相等，正確；
④過直線外一點有且只有一條直線與已知直線平行，故原說法錯誤；
⑤三角形的三條角平分線交于一點，且這點在三角形內，正確；
綜上所述，正確的有2個，
故選：A ．
3．（24-25七年級下·遼寧阜新·期中）下列說法正確的是（ ）
A．過直線外一點有且只有一條直線與已知直線平行
B．過一點有且只有一條直線與已知直線垂直
C．面積相等的兩個三角形全等
D．三角形的三條高線交于一點
【答案】A
【分析】本題考查平行公理，垂線的性質、全等三角形的判定、三角形的高的定義，熟練掌握相關性質是解題的關鍵．根據平行公理，垂線的性質、全等三角形的判定、三角形的高的定義進行判斷即可．
【詳解】解：A. 過直線外一點有且只有一條直線與已知直線平行，故該選項正確，符合題意；
B. 同一平面內，過一點有且只有一條直線與已知直線垂直，故該選項不正確，不符合題意；
C. 面積相等的兩個三角形不一定全等，故該選項不正確，不符合題意；
D. 三角形的三條高線所在的直線交于一點，故該選項不正確，不符合題意；
故選：A．
4．（24-25八年級上·廣東河源·期末）下列命題中，是真命題的是（　?。?br/>A．內錯角相等
B．有理數和數軸上的點一一對應
C．三角形的一個外角大于任何一個內角
D．全等三角形對應邊上的中線相等
【答案】D
【分析】利用平行線的性質、實數的性質、三角形的外角的性質及全等三角形的性質分別判斷后即可確定正確的選項．
【詳解】解：A、兩直線平行，內錯角相等，原命題是假命題，故A選項不符合題意；
B、實數與數軸上的點一一對應，原命題是假命題，故B選項不符合題意；
C、三角形的一個外角大于任何一個和它不相鄰的內角，原命題是假命題，故C選項不符合題意；
D、全等三角形對應邊上的中線相等，原命題是真命題，故D選項符合題意；
故選：D．
5．（24-25八年級上·遼寧沈陽·期末）下列命題是真命題的是（ ）
A．面積相等的兩個三角形全等
B．相等的角是對頂角
C．兩直線平行，內錯角相等
D．三角形的一個外角等于兩個內角的和
【答案】C
【分析】此題考查真命題的定義：正確的命題是真命題，根據全等三角形的性質，對頂角的定義，平行線的性質及三角形外角性質分別判斷即可．
【詳解】解：A.面積相等的兩個三角形不一定全等，原說法錯誤，不是真命題；
B.相等的角不一定是對頂角，但對頂角一定相等，原命題不是真命題；
C.兩直線平行，內錯角相等，是真命題；
D.三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和，原命題不是真命題；
故選：C．
題型三：利用全等三角形的性質求角度的大小
1．（24-25七年級下·四川雅安·期中）如圖，，且，，則的度數是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本題主要考查了全等三角形的性質、三角形內角和定理等知識，熟練掌握全等三角形的性質是解題關鍵．
利用全等三角形的性質結合三角形內角和定理以及三角形外角的性質得出答案．
【詳解】解：∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴．
故選：B．
2．（24-25七年級下·山東濟南·期中）如圖，已知，，則的度數為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本題考查了全等三角形對應角相等的性質，根據全等三角形對應角相等可得，進而可求出的度數．
【詳解】解：∵，
∴，
∴，
∴．
故選C．
3．（2025·山東濟南·二模）如圖，，若，，則的度數為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本題考查全等三角形的性質，三角形的內角和定理，解題的關鍵是掌握全等三角形的對應角相等．由全等三角形的對應角相等得到，再由三角形內角和定理即可求出的度數．
【詳解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
故選：．
4．（24-25七年級下·上海閔行·期中）如圖，已知，那么的度數是（　?。?br/>A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本題考查了全等三角形的性質，解題的關鍵是掌握全等三角形的對應角相等，根據全等三角形的性質可得，即可得出答案．
【詳解】解：∵，
∴，
故選：C．
5．（24-25七年級下·四川達州·階段練習）如圖，點B，C，D在同一直線上．若，且，則 ．
【答案】/48度
【分析】本題主要考查了全等三角形的性質、三角形外角的性質等知識點，掌握全等三角形的對應角相等是解題的關鍵．
根據全等三角形的性質可得，由三角形外角的性質可得，最后根據等量代換即可解答．
【詳解】解：∵，
∴，
∵是的外角，
∴，
∴．
故答案為：．
6．（2025·廣東深圳·二模）如圖，已知，，，則的度數為 度．
【答案】30
【分析】本題考查了全等三角形的性質，三角形內角和性質，先由，得，再結合三角形內角和進行列式計算，即可作答．
【詳解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
故答案為：30．
7．（24-25七年級下·上海楊浦·期中）如圖，已知，如果，，那么 ．
【答案】75
【分析】本題主要考查了全等三角形的性質，三角形內角和定理，先由全等三角形的性質得到，再證明，據此利用三角形內角和定理求出的度數即可得到答案．
【詳解】解：∵，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
故答案為：．
8．（24-25七年級下·重慶·階段練習）如圖，在中，，，，點在上，若．則 ．
【答案】
【分析】本題考查求角度，涉及全等的性質、三角形內角和定理等知識，先由兩個三角形全等得到，在中，由三角形內角和定理可得，最后數形結合表示出求解即可得到答案．熟記全等的性質、三角形內角和定理等知識，數形結合是解決問題的關鍵．
【詳解】解：，，
，
在中，，，則由三角形內角和定理可得，
，
，
故答案為：．
題型四：利用全等三角形的性質求線段的長度
1．（24-25七年級下·山東棗莊·階段練習）如圖，，若，，則的長度為（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
【答案】D
【分析】本題考查了全等三角形的性質，掌握全等三角形的性質“對應邊相等”是關鍵．
根據全等三角形的性質得到，由即可求解．
【詳解】解：，
∴，
∴，
故選：D ．
2．（24-25七年級下·重慶北碚·期中）如圖，點，在線段上，，若，，則的長為（ ）
A．7 B．7.5 C．8 D．8.5
【答案】B
【分析】本題考查了全等三角形的性質，到局全等三角形的對應邊相等得出，進而得出，結合已知條件可得出，求出，即可求解．
【詳解】解：∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
故選：B．
3．（24-25七年級下·山東濟南·期中）如圖，，若，則等于（ ）
A．4 B．4.5 C．5 D．5.5
【答案】C
【分析】本題考查了全等三角形的性質，結合，得，再結合線段的和差關系列式計算，即可作答．
【詳解】解：∵，
∴，
∴，
故選：C
4．（24-25七年級下·山東濟南·期中）如圖，在△ABC中，于點，是上的一點．若，，，則△BDE的周長為 ．
【答案】
【分析】本題考查全等三角形的性質，熟練掌握全等三角形的對應邊相等，是解題的關鍵．由全等三角形的性質可得，，即可得的周長，即可求解．
【詳解】解：∵，
∴，，
∴△BDE的周長，
∵，，
∴△BDE的周長為．
故答案為：．
5．（24-25七年級下·上海·期中）如圖，已知△ABC≌△DEB，點、、的對應點分別是點、、，點在邊上，與交于點．如果，，則線段的長是 ．
【答案】20
【分析】本題主要考查了三角形全等的性質，根據，得出，，根據，得出，即可得出答案．
【詳解】解：∵，
∴，，
∵，
∴，
∴．
故答案為：20．
6．（24-25八年級上·安徽合肥·期中）如圖，，且點在上．若，則的長為 ．
【答案】2
【分析】本題考查了全等三角形的性質，掌握全等三角形的性質是解題的關鍵．根據三角形全等的性質，對應邊相等可得，則有，即，由此即可求解．
【詳解】解：∵，
∴，
∴，即，
∴，
∵
∴，
∴，
故答案為：2 ．
7．（24-25九年級上·廣東清遠·期中）中國古代數學家劉徽在《九章算術注》中，給出證明三角形面積公式的出入相補法．如圖所示，在△ABC中，分別取、的中點、，連接，過點作，垂足為，將△ABC分割后拼接成長方形．已知，，則的面積為 ．
【答案】
【分析】本題主要考查了全等三角形的性質，三角形的面積等知識點，讀懂圖形中的信息是解題的關鍵．
由題意可知，，于是可得，，，，進而可得，，然后根據△ABC的面積=長方形面積即可得解．
【詳解】解：由題意可知：
，，
，，，，△ABC的面積=四邊形面積
，
四邊形是長方形，
，
，
故答案為：．
題型五：全等三角形與二元一次方程組的綜合
1．（23-24八年級上·廣西玉林·期中）已知△ABC的三邊長為3，5，7，△DEF的三邊長為5，，，若△ABC與△DEF全等，則x等于
【答案】3
【分析】本題主要考查全等三角形的性質，掌握全等三角形的對應邊相等是解題的關鍵．
根據全等三角形的性質，分兩種情況列方程求解即可．
【詳解】解：∵△ABC的三邊長為3，5，7，△DEF的三邊長為5，，，若△ABC與△DEF全等，
∴當時，，則，符合題意；
當時，，則，不符合題意；
∴．
故答案為：3．
2．（24-25八年級上·福建廈門·期中）一個三角形三條邊的長分別是8，11，16，另一個三角形三條邊的長分別是8，，，其中，若這兩個三角形全等，則的值是 ．
【答案】20
【分析】本題考查的是全等三角形的性質，掌握全等三角形對應邊相等是解題的關鍵．
根據全等三角形的對應邊相等即可得到結論．
【詳解】解：∵兩個三角形全等，
或，
解得：或，
∵，
∴，
，
故答案為：20．
3．（24-25八年級上·浙江·期中）一個三角形的三條邊的長分別是5，7，10，另一個三角形的三條邊的長分別是5，，，若這兩個三角形全等，則的值是 ．
【答案】14或12.5
【分析】本題考查的是全等三角形的性質及解二元一次方程組、求代數式的值，掌握全等三角形對應邊相等是解題的關鍵．
根據全等三角形的對應邊相等，分與7對應和與7對應兩種情況計算，得到答案．
【詳解】解∶兩個三角形全等，
，或，，
解得∶，或，，
或12.5．
故答案為∶14或12.5．
4．（24-25八年級上·廣東惠州·期中）已知△ABC三邊的長分別為，，，△DEF三邊的長分別為，，，若這兩個三角形全等，則 ．
【答案】5
【分析】本題主要考查三角形全等的性質，能夠通過全等得到對應邊相等并列式是解題關鍵．利用全等的性質列式計算即可．
【詳解】解：∵與全等，
∴或，
當時，，故不符合題意，
當時，，故符合題意，
故答案為：．
5．（24-25九年級上·江蘇泰州·期末）已知一個三角形的三條邊的長分別是5，7，10，另一個三角形的三條邊的長分別是5，，．若這兩個三角形全等，則x的值是 ．
【答案】3
【分析】本題主要考查了全等三角形的性質，解一元一次方程等知識點，根據全等三角形的對應邊相等即可得到答案，熟練掌握全等三角形對應邊相等是解決此題的關鍵．
【詳解】解：兩個三角形全等，
，，
解得：，
故答案為：．
6．（24-25八年級上·江蘇泰州·期中）一個三角形的三條邊長分別為6，5，x，另一個三角形的三條邊長分別為y，6，4，若這兩個三角形全等，則的值為 ．
【答案】1
【分析】本題考查全等三角形的性質，求代數式的算術平方根，根據全等三角形的對應邊相等，可得x和y的值，代入計算即可得出答案．
【詳解】解：邊長分別為6，5，x的三角形和邊長分別為y，6，4的三角形全等，
，，
，
故答案為：1．
題型六：全等三角形中性質綜合
1．（24-25七年級下·上海松江·期中）如圖，，頂點A、C分別與頂點D、B對應，點E在邊上，邊與邊相交于點F．
(1)若，求線段的長；
(2)若，求的度數
【答案】(1)6
(2)
【分析】本題主要考查了三角形全等的性質，三角形內角和定理，熟練掌握全等三角形的對應邊相等、對應角相等是解題的關鍵．
（1）由全等三角形的性質可得，再由進行計算即可得到答案；
（2）由全等三角形的性質可得，再由三角形內角和定理可得，最后由進行計算即可．
【詳解】（1）解：，
，
；
（2）解：，
，
，
．
2．（24-25七年級下·寧夏銀川·期中）如圖所示，已知于D．
(1)判斷與的位置關系，并說明理由．
(2)已知，求的長．
【答案】(1)，理由見解析
(2)3
【分析】本題考查全等三角形的性質和三角形內角和定理，熟練應用全等三角形的性質是解題的關鍵．
（1）根據垂線的定義得到，由全等三角形的性質得到，據此可利用三角形內角和定理證明，據此可得結論；
（2）根據全等三角形的性質可得，，從而求得，即可求解．
【詳解】（1）解：，理由如下：
∵，
∴，
∵，
∴，
又∵，，
∴，即。
（2）解：∵，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴．
3．（24-25七年級下·陜西渭南·期中）如圖，△ADC≌△AFB，連接，與交于點，，，．
(1)求的度數；
(2)求的度數．
【答案】(1)
(2)
【分析】本題考查了全等三角形的性質、平行線的性質、三角形的內角和定理，熟練掌握全等三角形的性質是解題關鍵．
（1）先根據全等三角形的性質可得，再根據角的和差可得，由此即可得；
（2）先根據平行線的性質可得，，再根據全等三角形的性質可得，然后根據三角形的內角和定理可得，最后根據求解即可得．
【詳解】（1）解：∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴．
（2）解：∵，，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
由（1）已得：，
∴．
4．（24-25八年級上·河北保定·期中）如圖，，點，，，在一條直線上．
(1)求證：；
(2)連接．若，求的度數．
【答案】(1)見詳解
(2)
【分析】本題考查全等三角形的性質，三角形內角和定理，正確理解全等三角形的性質是解題的關鍵．
（1）根據得出,根據，問題得證；
（2）根據全等三角形的性質得出，再根據三角形內角和定理即可求解．
【詳解】（1）解：，
，即，
；
（2），
，
，
，
平分，
，
設，則
在中，根據三角形內角和定理，得
，
5．（24-25八年級上·內蒙古巴彥淖爾·期中）如圖，，，
(1)求的度數
(2)若，，求四邊形的周長
【答案】(1)
(2)20
【分析】本題考查了全等三角形的性質，熟練掌握全等三角形的對應邊相等，對應角相等是解答本題的關鍵．
（1）由全等三角形的性質得，求出，，然后根據三角形內角和即可求出的度數．
（2）由全等三角形的性質得，，然后根據周長公式求解即可．
【詳解】（1）解：∵，
∴．
∵，，
∴，，
∴；
（2）解：∵，
∴，，
∴四邊形的周長．
6．（24-25八年級上·北京·期中）如圖，已知△ABD≌△EBC，，，且點在線段上．
(1)求的長．
(2)求證：．
(3)猜想與的位置關系，并說明理由．
【答案】(1)；
(2)證明見解析；
(3)直線與直線垂直，理由見解析．
【分析】本題考查了全等三角形的性質，三角形的內角和定理，垂直的定義，掌握知識點的應用是解題的關鍵．
（）根據全等三角形的性質得出，，然后通過線段和差即可求解；
（）根據全等三角形的性質得出， 然后由平角定義即可求證；
（）延長交于點，根據全等三角形的性質得出，最后由三角形內角和即可求解．
【詳解】（1）解：∵，
∴，，
∴；
（2）證明：∵，
∴，
∵點在線段上，
∴
∴，
∴；
（3）解：直線與直線垂直，理由：
如圖，延長交于點，
∵，
∴，
∵中，，
∴，
∴，
∴．
7．（24-25八年級上·湖南衡陽·期末）如圖，，點在邊上（不與點，重合），與交于點．
(1)若，，求的度數；
(2)若，，求與的周長和；
【答案】(1)
(2)33.5
【分析】本題考查了全等三角形的性質等知識，解題的關鍵是：
（1）利用全等三角形的性質、等式的性質可得出，然后利用角的和差關系求解即可；
（2）利用全等三角形的性質可求出，，然后利用三角形的周長公式求解即可．
【詳解】（1）解∶∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴；
（2）解：∵，，，
∴，，
與的周長和為
．
8．（24-25八年級上·廣東廣州·期末）如圖，在△ABC中，點、分別在邊、上，連接、交于點，且△ABD≌△CFD．
(1)求證：是等腰直角三角形；
(2)若，，求四邊形的面積．
【答案】(1)證明見解析
(2)6
【分析】本題考查了全等三角形的性質，熟練掌握全等三角形的性質是解題的關鍵．
（1）根據全等三角形的性質可知，，結合，即可證明；
（2）根據題意可知，再由全等三角形的性質可得到，最后由四邊形的面積即可求得答案．
【詳解】（1）證明：，
，，
，
，
是等腰直角三角形；
（2）解：，，
，
，
，
四邊形的面積．
題型一：全等三角形性質中動點問題（選填）
1．（24-25七年級下·山東棗莊·階段練習）如圖，，，，點P在線段上以1cm/s的速度由點A向點B運動，同時，點Q在線段上由點B向點D運動，當其中一點到達終點時，另一點也隨之停止運動，設運動時間為t（s），若存在某一時刻使與△BPQ全等，則點Q的運動速度為（ ）
A． B． C．或 D．或
【答案】D
【分析】本題考查全等三角形的性質，設點Q的運動速度是，有兩種情況：①；②，列出方程，然后求出方程的解即可．
【詳解】解：設點Q的運動速度是，
∵點P的運動速度為，點Q的運動速度為，它們運動的時間為，
又∵，
∴，
∵，
∴當與全等時，有兩種情況：
①，
∴，
解得：；
②，
則：，
解得：；
∴當與全等時，點Q的運動速度為或．
故選D．
2．（24-25七年級下·廣東深圳·期中）如圖，，，點M在線段上以的速度由點C向點B運動，同時，點N在射線上以的速度運動，它們運動的時間為（當點M運動結束時，點N運動隨之結束）．在射線上取點A，在M、N運動到某處時，有△ABM與全等，則此時的長度為（ ）．
A．1或 B．2或 C．2或 D．1或
【答案】D
【分析】本題考查了全等三角形的性質，分類討論是解答本題的性質．
根據題意分兩種全等情況：①，②，然后利用全等的性質求解即可
【詳解】解：①若，則，，
∴，，
解得：，；
②若，則，，
∴，，
解得：，
∴AB的長度為或．
故選：D．
3．（24-25七年級下·江西撫州·階段練習）如圖，在△ABC中，，直線經過點且與邊相交，動點從點出發沿路徑向終點運動；動點從點出發沿路徑向終點運動，點和點的速度分別為和，兩點同時出發并開始計時，當點到達終點時計時結束，在某時刻分別過點和點作于點，于點，設運動時間為，則△PEC與△QFC全等時，的值為 ．
【答案】2或或6
【分析】本題考查全等三角形的性質，分，且點在上、點在上運動，，且點與點重合，當，且點在上、點在上運動三種情況進行討論求解即可．
【詳解】解：∵，
∴，
∴與全等分三種情況討論：
①如圖①，當，且點在上、點在上運動時，
．
此時，
∴，
解得；
②如圖②，當，且點與點重合時，
．
此時，
∴，
解得；
③當，且點在上、點在上運動時，．
此時．
當點未到達終點時，
，
解得，
不符合題意，舍去．
當點到達終點時，繼續運動，如圖③，
此時點與點重合，，
∴，
解得．
綜上所述，當的值為2或或6時，與全等．
故答案為：2或或6
4．（24-25七年級下·遼寧遼陽·期中）如圖，已知長方形的邊長，點E在邊上，．如果點P從點B出發在線段上以的速度向點C運動，同時，點Q在線段上由點D向點C運動，那么當△BPE與△CQP全等時，運動時間t的值為 ．
【答案】1或3
【分析】本題考查全等三角形的性質，屬于全等三角形的動點問題，解題關鍵是分和兩種情況分別計算．
首先根據題意得到，然后分兩種情況討論求解即可．
【詳解】解：∵，
∴，
當時，則有，即，
解得，
當時，則，即，
解得，
故答案為：1或3．
5．（24-25七年級下·江西贛州·階段練習）如圖，，動點P從點A出發（不含點A），以2個單位長度/秒的速度沿射線運動，Q為射線上一動點，點P的運動時間為t秒，若以點P，Q，C為頂點的三角形與△ABC全等，則t的值為 ．
【答案】或或
【分析】本題考查直角三角形全等的判定，關鍵是找到所有符合題意的情況．根據已知條件分，，兩種情況，根據和列方程求出t值即可．
【詳解】解：∵，
∵，
∴當時，，，
∴點重合，點在點右側，
此時，，
∴，
解得：；
當時，，
當點在點左側時，
此時，，
∴，
解得：；
當點在點右側時，
此時，，
∴，
解得：；
綜上：則t的值為或或時，與以點，，為頂點的三角形全等，
故答案為：或或．
6．（24-25七年級下·上海·期中）如圖，已知線段米，射線于點，射線于，點從點向運動，每秒走2米，點從點向運動，每秒走3米，、同時從出發，若射線上有一點，使得某時刻和全等，則線段的長度為 米．
【答案】或/24或45
【分析】本題考查了全等三角形的判定和性質，掌握全等三角形的判定方法是解題的關鍵．
根據題意，分類討論：當；當；根據全等三角形的性質即可求解．
【詳解】解：根據題意，設運動時間為，則，，
①點是中點，時，，，
∵，
∴，
∴，
∴；
②時，，，
∴，即，
解得，，
∴；
綜上所述，線段的長度為或，
故答案為：或．
7．（24-25八年級上·河北石家莊·期末）如圖，直線，平分，過點作交于點．動點，同時從點出發，其中動點以的速度沿射線運動，動點以的速度在直線上運動．已知，設動點，的運動時間為．當動點在直線上運動時，若△ADB與△BEC全等，則的值為 ．
【答案】或
【分析】本題考查了全等三角形的性質，掌握全等三角形的性質是解題的關鍵．
分當在線段上時，，當在線段上時，，當在線段延長線上時，，當在線段延長線上時，四種情況，然后根據全等三角形的性質即可求解．
【詳解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵ ，平分，
∴，
∴當在線段上時，，
∴，
∵，，
∴ ， 解得：，
當在線段上時，，
∴，
∵，，
∴ ， 解得：，
當在線段延長線上時，，
∴，
∵，，
∴ ， 解得：，
當在線段延長線上時，，
∴，
∵，，
∴ ， 解得：，
∴若與全等，則的值為或，
故答案為：或．
題型二：全等三角形性質中完全平方問題
1．（24-25八年級上·江西贛州·期末）綜合與探究
【知識生成】我們已經知道，通過計算幾何圖形的面積可以表示一些代數恒等式．例如，由圖1可以得到，基于此，請解答下列問題．
【直接應用】（1）若，，求的值．
【類比應用】（2）若，則 ．
【知識遷移】（3）將兩塊全等的特制直角三角板（）按如圖2所示的方式放置，其中點A，O，D在同一直線上，點B，O，C也在同一直線上，連接，．若，，求一塊直角三角板的面積．
（4）如圖3，將一張矩形紙板按圖中虛線裁剪成九塊，其中有兩塊是邊長都為a的大正方形，兩塊是邊長都為b的小正方形，五塊是長為a，寬為b的全等小矩形，且．觀察圖形，分解因式 ．
【答案】（1）3.5；（2）12；（3）16；（4）
【分析】本題考查了完全平方公式變形求值，全等三角形的性質，因式分解的應用，熟練掌握完全平方公式是解題的關鍵．
（1）根據完全平方公式變形即可求解．
（2）將看成，進而根據，即可求解；
（3）設，，根據可得，而，進而根據完全平方公式變形即可求解．
（4）結合圖形由長方形的面積為，即可得出結果．
【詳解】解：（1）
又
，
；
（2）∵，則
故答案為：；
（3）∵兩塊直角三角板全等，
，，
點A，O，D在同一直線上，點B，O，C也在同一直線上，
，．
設，．
，
又，
，
，
，
，
答：一塊直角三角板的面積為16．
（4）根據圖形長方形的面積為：，
則分解因式．
2．（24-25八年級上·吉林白城·期末）我們已經知道，通過計算幾何圖形的面積可以表示一些代數恒等式．例如圖1可以得到，請解答下列問題：
(1)若，求的值：
(2)填空：
①若，則______；
②若______；
(3)兩塊形狀和大小完全相同的特制直角三角板如圖2所示放置，其中在一直線上，連接．若，求一塊直角三角板的面積．
【答案】(1)7
(2)①7；②5
(3)17
【分析】本題考查的是完全平方公式及其變形的應用，全等三角形的性質，熟練的運用完全平方公式的幾個變形是解本題的關鍵．
（1）把，代入 從而可得答案；
（2）①由完全平方公式的變形可得，再代入求值即可；
②利用完全平方公式變形可得，再求值即可；
（3）先證明三點共線，，可得，結合已知條件可得，，再利用，求解2ab，從而可得答案．
【詳解】（1）解： ，，而
解得：；
（2）解：①，
；
故答案為：7；
②，，
；
故答案為：5；
（3）解：三點共線，且
三點共線，
∵兩塊形狀和大小完全相同的特制直角三角板
∴，
，
，，
， ，
，
，
，
，
．
3．（24-25八年級上·四川眉山·期末）如圖1，將一個邊長為的大正方形拆分為邊長分別為a，b的兩個小正方形，以及兩個長方形，通過計算幾何圖形的面積可以得到一個完全平方的代數恒等式．
(1)【直接應用】①這個完全平方的代數恒等式是_____________；
②如果，，則_______；如果，，則_______；
(2)【類比應用】①若，則______；
②若x滿足，則_____；
(3)【知識遷移】兩塊全等的特制直角三角板（）如圖2所示放置，其中A，O，D在一直線上，連結．若，，求一塊直角三角板的面積．
【答案】(1)①；②，5
(2)①31，②1010
(3)30
【分析】本題考查的是完全平方公式及其變形的應用，全等三角形的性質，三角形面積的計算，完全平方公式在幾何圖形中的應用，熟練的運用完全平方公式的幾個變形是解本題的關鍵．
（1）①根據大正方形的面積等于兩個小正方形的面積加上兩個長方形的面積列出等式即可解答；②利用完全平方公式，再代入已知數據計算即可；
（2）①先求出，根據求出結果即可；②同理①，根據求出結果即可；
（3）先證明 三點共線，，可得 結合已知條件可得，再利用求出，從而可得答案．
【詳解】（1）解：①根據題意：；
②，
若，，
，
；
若，，
，
；
（2）解：①，，
；
②，，
；
（3）解：三點共線，且，
，
∴，
∴三點共線，
∴，
，
，
，，
，
，
，
，
，
即一塊直角三角板的面積為30．
4．（24-25八年級上·海南?？凇て谀┲R生成：我們已經知道，通過計算幾何圖形的面積可以表示一些代數恒等式．如圖1可以得到，基于此，請解答下列問題：
(1)直接應用：若，，直接寫出的值為 ；
(2)類比應用：若，則 ；（直接寫結果）
(3)知識遷移：兩塊全等的直角三角形，，其中．如圖2所示放置，其中C，B，D在一直線上，連接，，若，，求四邊形的面積的大?。?br/>【答案】(1)19
(2)7
(3)28
【分析】本題考查了全等三角形的性質、完全平方公式與圖形面積，熟練掌握完全平方公式是解題關鍵．
（1）根據代入計算即可得；
（2）根據和代入計算即可得；
（3）先根據全等三角形的性質可得，，設，，從而可得，，再根據四邊形的面積，利用完全平方公式變形運算即可得．
【詳解】（1）解：∵，，
∴
，
故答案為：19．
（2）解：∵，，
∴
，
故答案為：7．
（3）解：∵，
∴，，
設，，
∵，，
∴，
∵，，
∴，即，
∴四邊形的面積
，
所以四邊形的面積的大小為28．
題型三：全等三角形中解答題壓軸
1．（24-25七年級下·四川成都·階段練習）如圖①，在中，，，，，現有一動點，從點出發，沿著三角形的邊運動，回到點停止，速度為，設運動時間為．
(1)如圖①，當____時，的面積等于△ABC面積的一半；
(2)如圖②，在△DEF中，，，，．在的邊上，若另外有一個動點，與點同時從點出發，沿著邊運動，回到點停止．在兩點運動過程中的某一時刻，恰好，求點的運動速度．
【答案】(1)或
(2)或
【分析】（1）根據題意，，動點的速度為，設運動時間為，在上運動的時長為，在上運動的時長為，在上運動的時長為，根據運動時間，分類解答即可．
（2）根據直角三角形的全等，分類解答即可．
【詳解】（1）解：根據題意，，動點的速度為，設運動時間為，在上運動的時長為，在上運動的時長為，在上運動的時長為，
當時，點P在上運動，此時不存在；
當時，點P在上運動，此時存在，如圖所示，
根據題意，，此時，
∵的面積等于面積的一半，
∴，
解得；
當時，點P在上運動，此時存在，如圖所示，
根據題意，運動總路程長為，此時，
∵的面積等于面積的一半，
∴，
∴,
解得；
故當或時，的面積等于面積的一半，
故答案為：或．
（2）解：當點P在上運動，點Q在上運動，且滿足，
∵，，，．
∴，，
∵動點P的速度為，
∴動點P的運動時間為，
∴動點Q的運動時間為，
∴動點Q的運動速度為；
當點P在上運動，點Q在上運動，不滿足，不存在；
當點P在上運動，點Q在上運動，滿足，存在；
∵，，，．
∴，，
∵動點P的速度為，
∴動點P的運動時間為，
∴動點Q的運動時間為，
點Q的運動路程為，
∴動點Q的運動速度為；
綜上所述，點Q的速度為或．
2．（24-25八年級上·江蘇常州·階段練習）如圖，在中，，，，，現有一動點從點出發，沿著三角形的邊運動，回到點停止，速度為，設運動時間為．
(1)如圖，當時，_____．
(2)如圖，當______時，的面積等于△ABC面積的一半；
(3)如圖，在△DEF中，，，，，在△ABC的邊上，若另外有一個動點，與點同時從點出發，沿著邊運動，回到點停止在兩點運動過程中的某一時刻，恰好≌，求點中的運動速度．
【答案】(1)
(2)或
(3)運動的速度為或或或
【分析】本題主要考查全等三角形的性質及三角形面積、一元一次方程的幾何應用，分類討論思想，掌握全等三角形的性質及分情況討論是解題的關鍵．
（1）當時，點P在線段上，根據點P速度表示的長即可；
（2）分兩種情況討論：①點P在上；②點P在上，利用三角形面積分別求解即可；
（3）根據題意分四種情況進行分析，利用全等三角形的性質得出點所走的路程，進而可求出的運動時間，即的運動時間，再利用速度路程時間求解即可．
【詳解】（1）解：當時，點P在線段上，
∵點P速度為，
∴．
故答案為：；
（2）∵，，
∴，
∵的面積等于面積的一半，
∴．
①當點P在上時，
，
∴，
．
②當點P在上時，
過點C作于點D，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
．
故答案為：或
（3）設點的運動速度為，
①當點在上，點在上，時，
，
∴；
②當點在上，點在上，時，
，
∴；
③當點P在上，點在上，時，
，
∴點P的路程為，點Q的路程為，
∴；
④當點P在上，點Q在上，時
，
∴點P的路程為，點Q的路程為，
∴．
∴運動的速度為或或或
3．（24-25八年級上·吉林長春·期中）如圖①，在中，，，，，現有一動點，從點出發，沿著三角形的邊運動，回到點停止，速度為，設運動時間為．
(1)如圖①，當______時，的面積等于△ABC面積的三分之二；
(2)如圖②，在中，，，，．在的邊上，若另外有一個動點，與點同時從點出發，沿著邊運動，回到點停止．在兩點運動過程中的某一時刻，恰好，求點的運動速度．
【答案】(1)或
(2)或
【分析】本題主要考查了三角形面積的計算，全等三角形的的性質，分類討論，是正確解答的關鍵．
（1）分兩種情況，當點P在上時，， 得到點P移動路程為，移動時間為；當點P在上時，， 得到得到點P移動路程為，移動時間為；
（2）分兩種情況討論：當點在上，當點在上，分別畫出圖形進行求解即可．
【詳解】（1）解：當點P在上時，
∵的面積等于面積的三分之二，
∴，
∴點P移動的距離為，
∴移動的時間為：；
當點P在上時，
∵的面積等于面積的三分之二；
∴，
∴點P移動的距離為，
∴移動的時間為：；
故答案為：或；
（2）解：∵，
∴對應頂點為與，與，與；
①當點在上，如圖所示：

此時，，，
點移動的速度為，
②當點在上，如圖所示：

此時，，，
即，點移動的路程為，點移動的路程為，
點移動的速度為，
綜上所述，兩點運動過程中的某一時刻，恰好，點的運動速度為或．
4．（24-25七年級上·海南儋州·期中）在中，，動點P從點A出發，以的速度沿著三角形的邊運動，回到點A停止，設運動時間為．
(1)如圖1，當時， ，當時， （用含t的式子表示）；
(2)如圖1，當 s時，△ABC的周長被線段平分為相等的兩部分；
(3)如圖1，若的面積等于△ABC面積的一半，求t的值；
(4)如圖2，在△DEF中，．在△ABC的邊上，若另外有一個動點Q，與點P同時從點A出發，沿著邊運動，回到點A停止；在兩點運動過程中的某一時刻，恰好和△DEF全等，求點Q的運動速度．
【答案】(1)，
(2)6
(3)或
(4)點的速度為或或或
【分析】本題考查三角形中的動點問題，全等三角形的性質，熟練掌握相關知識點，利用數形結合和分類討論的思想求解，是解題的關鍵：
（1）根據路程等于速度乘以時間，列出代數式即可；
（2）根據題意，易得，即點的路程等于三角形周長的一半，列出方程進行計算即可；
（3）分點為的中點和點為的中點兩種情況，進行求解即可；
（4）分，兩種情況，再分點在上和點在上，進行討論求解即可．
【詳解】（1）解：當時，；
當時，此時點在邊上，；
故答案為：，；
（2）解：由題意，得：，
∴，
解得：；
故答案為：6；
（3）解：①當點為的中點時，為的中線，則：，
；
②當點為的中點時，為的中線，則：，
；
綜上：或；
（4）解：①當，則：，
當點在上時，，解得：，
∴點的速度為：；
當點在上時，則：，
∴點的速度為：；
②當時，則：，
當點在上時，，解得：，
∴點的速度為：；
當點在上時，則：，
∴點的速度為：；
綜上：點的速度為或或或．
5．（24-25八年級上·吉林·期中）如圖，在長方形中，，，點P從點B出發，以的速度沿向終點C運動，設點P的運動時間為．
(1)_________．（用含x的代數式表示）
(2)當x為何值時，
(3)當點P從點B開始運動的同時，點Q從點C出發，以的速度沿折線向終點A運動．當時，直接寫出x的值．
【答案】(1)(2)1(3)或
【分析】本題考查了列代數式、全等三角形的性質、一元一次方程的應用，熟練掌握以上知識點并靈活運用，采用分類討論的思想是解此題的關鍵．
（1）由題意可得，再由計算即可得解；
（2）由全等三角形的性質可得，即，求解即可；
（3）分兩種情況：當點在上時，當點在上時，分別列出一元一次方程，解方程即可得解．
【詳解】（1）解：∵點P從點B出發，以的速度沿向終點C運動，設點P的運動時間為，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∴，
解得：，
∴當x為時，；
（3）解：如圖，當點在上時，，則，
∵，
∴，
解得：；
如圖，當點在上時，，則，
∵，
∴，
解得：；
綜上所述，當時，x的值為或．
1．（24-25七年級下·江蘇無錫·期中）“趙爽弦圖”巧妙地利用面積關系證明了勾股定理，是我國古代數學的驕傲．如圖所示的“趙爽弦圖”是由四個全等的直角三角形與中間的一個小正方形拼成的大正方形，設直角三角形較長直角邊長為a，較短直角邊長為b，若，大正方形的面積為17，則小正方形的面積為（ ）

A．5 B．7 C．9 D．11
【答案】D
【分析】本題考查了完全平方公式與幾何的應用，全等的性質，利用完全平方公式變形求值，掌握完全平方公式是解題的關鍵．
由題意，，由面積法得到，則，由求出，即小正方形的面積．
【詳解】解：如圖所示，由題意，，

∵大正方形的面積為17，
∴，
∵
∴，
∵，
∴，
∵，
∴小正方形的面積為，
故選：D．
2．（24-25七年級下·陜西渭南·期中）如圖，，連接，若，則圖中陰影部分的面積為（　?。?br/>A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】本題主要考查了全等三角形的性質，熟練掌握全等三角形的性質是解題關鍵．先根據全等三角形的性質可得，，，從而可得，再根據圖中陰影部分的面積等于的面積求解即可得．
【詳解】解：∵，，
∴，，，
∴，即，
∵，
∴，
又∵，
∴圖中陰影部分的面積等于，
故選：B．
3．（2025·江西·模擬預測）小明用4個全等且面積為4的直角三角形和1個小正方形剛好能拼成一個大正方形（如圖①所示），且他用這些還能拼成圖②所示的長方形， 則長方形的面積為（ ）
A．8 B．16 C．20 D．24
【答案】C
【分析】本題考查了全等三角形的性質，整式的運算的應用，設直角三角形的較長直角邊長為a， 較短直角邊長為b，利用兩個圖中面積關系和線段之間的關系求得，即可解答，熟練運用整式表示相關面積和線段長度是解題的關鍵．
【詳解】解：設直角三角形的較長直角邊長為a， 較短直角邊長為b，
4個全等且面積為4的直角三角形和1個小正方形剛好能拼成一個大正方形
中間的小正方形邊長為，
由直角三角形的面積為4，可得，
由圖②長方形可得，
，
可得
解得（負值舍去），
則，
所以長方形的面積為20．
故選：C．
4．（24-25八年級上·河北邢臺·期中）如圖，已知，下列結論中正確的個數是（　?。?br/>；；；；；．
A．個 B．個 C．個 D．個
【答案】C
【分析】本題考查了全等三角形的性質，平行線的判定，熟練掌握以上知識點是解答本題的關鍵．
根據全等三角形的性質判斷即可．
【詳解】解：，
，故正確；
，即，故正確；
，
，
，即，故正確；
，
，
，故正確；
，
，故正確；
與不一定相等，故錯誤；
故選：C．
5．（24-25八年級上·內蒙古呼和浩特·期中）如圖，銳角△ABC中，，分別是，邊上的點，，，且，，交于點，若，則的大小是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本題考查了全等三角形的性質，此題利用了“全等三角形的對應角相等”和“兩直線平行，內錯角相等”進行推理的．由全等三角形的對應角相等、三角形外角定理以及三角形內角和定理進行解答．
【詳解】解：設，，
∵，，
∴，，，
∴，．
∵，
∴，，
∴，即．
則．
∵，，
∴．
故選：A．
6．（24-25八年級上·浙江嘉興·期末）如圖，將△ABC沿折疊，的對應邊恰好經過頂點，，設，，則下列等式成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本題主要考查全等三角形的性質和三角形內角和定理和外角的性質，根據全等三角形的性質可得，，由三角形外角的性質得，根據三角形定理可得結論．
【詳解】解：∵，
∴，
由翻折得，，
∴，
而,
∴,
∴，
故選：B．
7．（24-25八年級上·內蒙古通遼·期末）如圖，在長方形中，，．點從點A出發，以每秒個單位長度的速度沿向點勻速運動，點從點出發，以每秒個單位長度的速度沿向點勻速運動，點從點C出發，以每秒個單位長度的速度沿向點勻速運動，連接、，三點同時開始運動，當某一點運動到終點時，其它點也停止運動．若在某一時刻，與全等，則的值為（ ）
A．或 B．或 C．或 D．或
【答案】A
【分析】本題考查了全等三角形性質，分當時，當時兩種情況分析，然后根據全等三角形的性質即可求解，解題的關鍵是注意分類討論，利用對應邊相等列方程求解．
【詳解】解：設秒后，與全等，
由題意可得：，，，，
由與全等，，
當時，
∴，，
∴，，
∴，；
當時，
∴，，
∴，，
∴，；
∴的值為或，
故選：．
8．（24-25八年級上·河南安陽·期末）三個全等三角形按如圖所示擺放，則的度數為 °．
【答案】180
【分析】本題考查了全等三角形的性質、三角形內角和定理、三角形外角和等知識點，利用三角形的外角和為得出，根據全等三角形的性質得出，，然后結合三角形的內角和定理求解即可．
【詳解】解：三角形的外角和是，
．
三個全等三角形，
，，
又，
，
的度數是，
故答案為：180．
9．（24-25八年級上·江西新余·期末）如圖，，B，E，在一直線上，則的度數為 ．
【答案】/30度
【分析】本題考查了全等三角形的性質，三角形內角和定理，掌握全等三角形的性質是解決問題的關鍵；
根據全等三角形對應角相等可得，，再根據平角等于求出，然后根據直角三角形兩銳角互余求解即可．
【詳解】解：∵，
，，
，
，
∵，
即，
解得．
故答案為：．
10．（24-25八年級上·河南周口·階段練習）2024年9月10日是第40個教師節．數學老師用與教師節年月日相關的數字，編擬了一道運用全等三角形的性質和解方程等知識求解的題目：一個三角形的三邊長分別是4，9，10，另一個三角形三邊的長分別是4，，．若這兩個三角形全等，則的值為 ．
【答案】2或
【分析】本題考查的是全等三角形的性質，二元一次方程組的應用；由全等三角形的性質可得或，再解方程組即可．
【詳解】解：由題意得或，
當，
②①得：，
把代入②得：，
∴方程組的解為：，
∴，
當，
同理解得：
∴；
的值為2或．
故答案為：2或
11．（24-25八年級上·浙江寧波·期中）如圖1，正方形被分割成五部分，其中①②③④為四個全等的四邊形，⑤為正方形，且①②③④恰好可以拼成圖2的正方形．若在正方形中，恰有，則 ．
【答案】/
【分析】本題主要考查了全等圖形的性質、正方形面積公式等知識，理解全等圖形的性質是解題關鍵．設，則，易得，故有，結合全等圖形的性質可得，易得，然后可求得，即可獲得答案．
【詳解】解：如下圖，
∵，
可設，，
∴，
∴，
由全等三角形的性質可得，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案為：．
12．（23-24八年級上·廣西河池·期末）已知兩個三角形全等，其中一個三角形的三邊長分別為6，8，10，另一個三角形的三邊長分別為6，．
(1)求m，n的值；
(2)當邊長小于邊長時，以，，為三角形的三邊長，求邊長a取值范圍．
【答案】(1)，或；
(2)，
【分析】本題考查了全等三角形的性質及三角形三邊關系，
（1）有兩種情況：與8、與10分別是對應邊；與10、與8分別是對應邊；分別求出m與n即可；
（2）根據（1）中結果，確定，；再根據三角形三邊關系分析即可．
熟練掌握全等三角形的性質及三角形三邊關系是解題關鍵．
【詳解】（1）解：當與8、與10分別是對應邊時，則，
∴；
當與10、與8分別是對應邊時，則，
∴；
綜上，或；
（2）因為邊長小于邊長，所以取，；
當時，以a，m，n為三角形的三邊長，
則邊長a取值范圍為．
∴．
13．（23-24八年級上·全國·課后作業）如圖，已知，，，，．
(1)求的度數與的長；
(2)求證：．
【答案】(1)，6
(2)見解析
【分析】本題考查了全等三角形的性質，三角形的內角和定理，平行線的判定的應用，解此題的關鍵是能根據全等三角形的性質得出，，，注意：全等三角形的對應邊相等，對應角相等，難度適中．
（1）根據三角形內角和定理求出，根據全等三角形的性質得出，，即可得出答案；
（2）根據全等三角形的性質得出，根據平行線的判定得出即可．
【詳解】（1）解：∵，，
∴，
∵，，
∴，，
∵，
∴；
（2）證明：∵，
∴，
∴．
14．（24-25八年級上·江蘇揚州·期中）如圖，已知于點，點在上，交于點F，．
(1)若，，求的長．
(2)試判斷和的數量關系和位置關系，并說明理由．
【答案】(1)
(2)，，理由見解析
【分析】本題主要考查了全等三角形的性質，三角形的內角和定理，熟練掌握全等三角形的性質是解題的關鍵．
（1）由全等三角形的性質可得，，進而可得，然后根據線段之間的和差關系可得，由此即可求出的長；
（2）由可得，由全等三角形的性質可得，，由對頂角相等可得，進而可得，由三角形的內角和定理可得，因而可得，于是結論得證．
【詳解】（1）解：，
，，
，，
，
；
（2）解：，且，理由如下：
，
，
，
，，
，
，
又，
，
，
，且．
15．（24-25八年級上·青海海東·期末）如圖，在△ABC中，，，點在上，且；點從出發以每秒 的速度向點運動，同時，點從出發向點運動，設運動時間為秒，連接、．
(1)用含的式子表示、；
(2)若點的運動速度也為每秒，為何值時，；
(3)若點的運動速度和點的速度不相等，要使，則點的運動速度為多少 全等時為多少
【答案】(1)，；
(2)；
(3)每秒；．
【分析】（）根據題意列代數式即可；
（）由點的運動速度也為每秒，則，，再由，則，所以，然后求解即可；
（）由點的運動速度和點的速度不相等，則，，則，，即為中點，所以，然后求解即可；
本題考查了全等三角形的性質，解一元一次方程，列代數式，掌握知識點的應用是解題的關鍵．
【詳解】（1）解：由題意得：，；
（2）解：∵點的運動速度也為每秒，
∴，，
∵；
∴，
∴，解得，
∴時，；
（3）解：由點的運動速度和點的速度不相等，則，
∵，
∴，，
∴為中點，
∴，解得：，
∴點的速度為每秒．中小學教育資源及組卷應用平臺
1.4 全等三角形
題型一：全等圖形的判斷
1．（24-25八年級上·江西上饒·期中）2024年巴黎奧運會上中國體育代表團獲得40枚金牌，金牌數與美國隊并列第一，創造了參加境外奧運會的最佳戰績．下列各組巴黎奧運會的項目圖標中，是全等形的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（24-25八年級上·江蘇南京·期中）下圖是2024年巴黎奧運會和殘奧會的吉祥物“弗里熱”，它的座右銘是“獨行快，眾行遠”，下列與該圖片是全等的是（ ）
A． B． C． D．
3．（2024八年級上·江蘇·專題練習）下列各選項中的兩個圖形屬于全等形的是（ ）
A． B．
C． D．
4．（24-25八年級上·山西運城·期末）下列各組圖形中，屬于全等圖形的是（　　）
A． B．
C． D．
5．（24-25八年級上·遼寧大連·階段練習）下列各選項中的兩個圖形屬于全等圖形的是（　　）
A． B．
C． D．
6．（24-25八年級上·山西呂梁·階段練習）下列各組圖形中，是全等形的是（ ）
A． B．
C． D．
7．（24-25八年級上·河南周口·階段練習）下列各個選項中的兩個圖形屬于全等形的是（ ）
A． B．
C． D．
題型二：利用全等三角形性質判斷語句是否正確
1．（24-25七年級下·重慶·期中）有下列說法：
①在同一平面內，兩條不相交的直線叫做平行線；
②兩條直線被第三條直線所截，同位角相等；
③在同一平面內，垂直于同一條直線的兩條直線平行；
④全等三角形的周長相等；
⑤面積相等的兩個三角形全等；
⑥如果兩個角互為鄰補角，那么這兩個角的角平分線互相垂直．
其中正確的有（　　）個．
A．2 B．3 C．4 D．5
2．（24-25七年級下·陜西西安·期中）下列說法中，正確的個數有（ ）
①同位角相等；
②三角形的三條高線的交于三角形內部一點；
③全等三角形的面積一定相等；
④過一點有且只有一條直線與已知直線平行；
⑤三角形的三條角平分線交于一點，且這點在三角形內
A．2 B．3 C．4 D．5
3．（24-25七年級下·遼寧阜新·期中）下列說法正確的是（ ）
A．過直線外一點有且只有一條直線與已知直線平行
B．過一點有且只有一條直線與已知直線垂直
C．面積相等的兩個三角形全等
D．三角形的三條高線交于一點
4．（24-25八年級上·廣東河源·期末）下列命題中，是真命題的是（　?。?br/>A．內錯角相等
B．有理數和數軸上的點一一對應
C．三角形的一個外角大于任何一個內角
D．全等三角形對應邊上的中線相等
5．（24-25八年級上·遼寧沈陽·期末）下列命題是真命題的是（ ）
A．面積相等的兩個三角形全等
B．相等的角是對頂角
C．兩直線平行，內錯角相等
D．三角形的一個外角等于兩個內角的和
題型三：利用全等三角形的性質求角度的大小
1．（24-25七年級下·四川雅安·期中）如圖，，且，，則的度數是（　?。?br/>A． B． C． D．
2．（24-25七年級下·山東濟南·期中）如圖，已知，，則的度數為（ ）
A． B． C． D．
3．（2025·山東濟南·二模）如圖，，若，，則的度數為（ ）
A． B． C． D．
4．（24-25七年級下·上海閔行·期中）如圖，已知，那么的度數是（　?。?br/>A． B． C． D．
5．（24-25七年級下·四川達州·階段練習）如圖，點B，C，D在同一直線上．若，且，則 ．
6．（2025·廣東深圳·二模）如圖，已知，，，則的度數為 度．
7．（24-25七年級下·上海楊浦·期中）如圖，已知，如果，，那么 ．
8．（24-25七年級下·重慶·階段練習）如圖，在中，，，，點在上，若．則 ．
題型四：利用全等三角形的性質求線段的長度
1．（24-25七年級下·山東棗莊·階段練習）如圖，，若，，則的長度為（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
2．（24-25七年級下·重慶北碚·期中）如圖，點，在線段上，，若，，則的長為（ ）
A．7 B．7.5 C．8 D．8.5
3．（24-25七年級下·山東濟南·期中）如圖，，若，則等于（ ）
A．4 B．4.5 C．5 D．5.5
4．（24-25七年級下·山東濟南·期中）如圖，在△ABC中，于點，是上的一點．若，，，則△BDE的周長為 ．
5．（24-25七年級下·上?！て谥校┤鐖D，已知△ABC≌△DEB，點、、的對應點分別是點、、，點在邊上，與交于點．如果，，則線段的長是 ．
6．（24-25八年級上·安徽合肥·期中）如圖，，且點在上．若，則的長為 ．
7．（24-25九年級上·廣東清遠·期中）中國古代數學家劉徽在《九章算術注》中，給出證明三角形面積公式的出入相補法．如圖所示，在△ABC中，分別取、的中點、，連接，過點作，垂足為，將△ABC分割后拼接成長方形．已知，，則的面積為 ．
題型五：全等三角形與二元一次方程組的綜合
1．（23-24八年級上·廣西玉林·期中）已知△ABC的三邊長為3，5，7，△DEF的三邊長為5，，，若△ABC與△DEF全等，則x等于
2．（24-25八年級上·福建廈門·期中）一個三角形三條邊的長分別是8，11，16，另一個三角形三條邊的長分別是8，，，其中，若這兩個三角形全等，則的值是 ．
3．（24-25八年級上·浙江·期中）一個三角形的三條邊的長分別是5，7，10，另一個三角形的三條邊的長分別是5，，，若這兩個三角形全等，則的值是 ．
4．（24-25八年級上·廣東惠州·期中）已知△ABC三邊的長分別為，，，△DEF三邊的長分別為，，，若這兩個三角形全等，則 ．
5．（24-25九年級上·江蘇泰州·期末）已知一個三角形的三條邊的長分別是5，7，10，另一個三角形的三條邊的長分別是5，，．若這兩個三角形全等，則x的值是 ．
6．（24-25八年級上·江蘇泰州·期中）一個三角形的三條邊長分別為6，5，x，另一個三角形的三條邊長分別為y，6，4，若這兩個三角形全等，則的值為 ．
題型六：全等三角形中性質綜合
1．（24-25七年級下·上海松江·期中）如圖，，頂點A、C分別與頂點D、B對應，點E在邊上，邊與邊相交于點F．
(1)若，求線段的長；
(2)若，求的度數
2．（24-25七年級下·寧夏銀川·期中）如圖所示，已知于D．
(1)判斷與的位置關系，并說明理由．
(2)已知，求的長．
3．（24-25七年級下·陜西渭南·期中）如圖，△ADC≌△AFB，連接，與交于點，，，．
(1)求的度數；
(2)求的度數．
4．（24-25八年級上·河北保定·期中）如圖，，點，，，在一條直線上．
(1)求證：；
(2)連接．若，求的度數．
5．（24-25八年級上·內蒙古巴彥淖爾·期中）如圖，，，
(1)求的度數
(2)若，，求四邊形的周長
6．（24-25八年級上·北京·期中）如圖，已知△ABD≌△EBC，，，且點在線段上．
(1)求的長．
(2)求證：．
(3)猜想與的位置關系，并說明理由．
7．（24-25八年級上·湖南衡陽·期末）如圖，，點在邊上（不與點，重合），與交于點．
(1)若，，求的度數；
(2)若，，求與的周長和；
8．（24-25八年級上·廣東廣州·期末）如圖，在△ABC中，點、分別在邊、上，連接、交于點，且△ABD≌△CFD．
(1)求證：是等腰直角三角形；
(2)若，，求四邊形的面積．
題型一：全等三角形性質中動點問題（選填）
1．（24-25七年級下·山東棗莊·階段練習）如圖，，，，點P在線段上以1cm/s的速度由點A向點B運動，同時，點Q在線段上由點B向點D運動，當其中一點到達終點時，另一點也隨之停止運動，設運動時間為t（s），若存在某一時刻使與△BPQ全等，則點Q的運動速度為（ ）
A． B． C．或 D．或
2．（24-25七年級下·廣東深圳·期中）如圖，，，點M在線段上以的速度由點C向點B運動，同時，點N在射線上以的速度運動，它們運動的時間為（當點M運動結束時，點N運動隨之結束）．在射線上取點A，在M、N運動到某處時，有△ABM與全等，則此時的長度為（ ）．
A．1或 B．2或 C．2或 D．1或
3．（24-25七年級下·江西撫州·階段練習）如圖，在△ABC中，，直線經過點且與邊相交，動點從點出發沿路徑向終點運動；動點從點出發沿路徑向終點運動，點和點的速度分別為和，兩點同時出發并開始計時，當點到達終點時計時結束，在某時刻分別過點和點作于點，于點，設運動時間為，則△PEC與△QFC全等時，的值為 ．
4．（24-25七年級下·遼寧遼陽·期中）如圖，已知長方形的邊長，點E在邊上，．如果點P從點B出發在線段上以的速度向點C運動，同時，點Q在線段上由點D向點C運動，那么當△BPE與△CQP全等時，運動時間t的值為 ．
5．（24-25七年級下·江西贛州·階段練習）如圖，，動點P從點A出發（不含點A），以2個單位長度/秒的速度沿射線運動，Q為射線上一動點，點P的運動時間為t秒，若以點P，Q，C為頂點的三角形與△ABC全等，則t的值為 ．
6．（24-25七年級下·上?！て谥校┤鐖D，已知線段米，射線于點，射線于，點從點向運動，每秒走2米，點從點向運動，每秒走3米，、同時從出發，若射線上有一點，使得某時刻和全等，則線段的長度為 米．
7．（24-25八年級上·河北石家莊·期末）如圖，直線，平分，過點作交于點．動點，同時從點出發，其中動點以的速度沿射線運動，動點以的速度在直線上運動．已知，設動點，的運動時間為．當動點在直線上運動時，若△ADB與△BEC全等，則的值為 ．
題型二：全等三角形性質中完全平方問題
1．（24-25八年級上·江西贛州·期末）綜合與探究
【知識生成】我們已經知道，通過計算幾何圖形的面積可以表示一些代數恒等式．例如，由圖1可以得到，基于此，請解答下列問題．
【直接應用】（1）若，，求的值．
【類比應用】（2）若，則 ．
【知識遷移】（3）將兩塊全等的特制直角三角板（）按如圖2所示的方式放置，其中點A，O，D在同一直線上，點B，O，C也在同一直線上，連接，．若，，求一塊直角三角板的面積．
（4）如圖3，將一張矩形紙板按圖中虛線裁剪成九塊，其中有兩塊是邊長都為a的大正方形，兩塊是邊長都為b的小正方形，五塊是長為a，寬為b的全等小矩形，且．觀察圖形，分解因式 ．
2．（24-25八年級上·吉林白城·期末）我們已經知道，通過計算幾何圖形的面積可以表示一些代數恒等式．例如圖1可以得到，請解答下列問題：
(1)若，求的值：
(2)填空：
①若，則______；
②若______；
(3)兩塊形狀和大小完全相同的特制直角三角板如圖2所示放置，其中在一直線上，連接．若，求一塊直角三角板的面積．
3．（24-25八年級上·四川眉山·期末）如圖1，將一個邊長為的大正方形拆分為邊長分別為a，b的兩個小正方形，以及兩個長方形，通過計算幾何圖形的面積可以得到一個完全平方的代數恒等式．
(1)【直接應用】①這個完全平方的代數恒等式是_____________；
②如果，，則_______；如果，，則_______；
(2)【類比應用】①若，則______；
②若x滿足，則_____；
(3)【知識遷移】兩塊全等的特制直角三角板（）如圖2所示放置，其中A，O，D在一直線上，連結．若，，求一塊直角三角板的面積．
4．（24-25八年級上·海南海口·期末）知識生成：我們已經知道，通過計算幾何圖形的面積可以表示一些代數恒等式．如圖1可以得到，基于此，請解答下列問題：
(1)直接應用：若，，直接寫出的值為 ；
(2)類比應用：若，則 ；（直接寫結果）
(3)知識遷移：兩塊全等的直角三角形，，其中．如圖2所示放置，其中C，B，D在一直線上，連接，，若，，求四邊形的面積的大?。?br/>題型三：全等三角形中解答題壓軸
1．（24-25七年級下·四川成都·階段練習）如圖①，在中，，，，，現有一動點，從點出發，沿著三角形的邊運動，回到點停止，速度為，設運動時間為．
(1)如圖①，當____時，的面積等于△ABC面積的一半；
(2)如圖②，在△DEF中，，，，．在的邊上，若另外有一個動點，與點同時從點出發，沿著邊運動，回到點停止．在兩點運動過程中的某一時刻，恰好，求點的運動速度．
2．（24-25八年級上·江蘇常州·階段練習）如圖，在中，，，，，現有一動點從點出發，沿著三角形的邊運動，回到點停止，速度為，設運動時間為．
(1)如圖，當時，_____．
(2)如圖，當______時，的面積等于△ABC面積的一半；
(3)如圖，在△DEF中，，，，，在△ABC的邊上，若另外有一個動點，與點同時從點出發，沿著邊運動，回到點停止在兩點運動過程中的某一時刻，恰好≌，求點中的運動速度．
3．（24-25八年級上·吉林長春·期中）如圖①，在中，，，，，現有一動點，從點出發，沿著三角形的邊運動，回到點停止，速度為，設運動時間為．
(1)如圖①，當______時，的面積等于△ABC面積的三分之二；
(2)如圖②，在中，，，，．在的邊上，若另外有一個動點，與點同時從點出發，沿著邊運動，回到點停止．在兩點運動過程中的某一時刻，恰好，求點的運動速度．
4．（24-25七年級上·海南儋州·期中）在中，，動點P從點A出發，以的速度沿著三角形的邊運動，回到點A停止，設運動時間為．
(1)如圖1，當時， ，當時， （用含t的式子表示）；
(2)如圖1，當 s時，△ABC的周長被線段平分為相等的兩部分；
(3)如圖1，若的面積等于△ABC面積的一半，求t的值；
(4)如圖2，在△DEF中，．在△ABC的邊上，若另外有一個動點Q，與點P同時從點A出發，沿著邊運動，回到點A停止；在兩點運動過程中的某一時刻，恰好和△DEF全等，求點Q的運動速度．
5．（24-25八年級上·吉林·期中）如圖，在長方形中，，，點P從點B出發，以的速度沿向終點C運動，設點P的運動時間為．
(1)_________．（用含x的代數式表示）
(2)當x為何值時，
(3)當點P從點B開始運動的同時，點Q從點C出發，以的速度沿折線向終點A運動．當時，直接寫出x的值．
1．（24-25七年級下·江蘇無錫·期中）“趙爽弦圖”巧妙地利用面積關系證明了勾股定理，是我國古代數學的驕傲．如圖所示的“趙爽弦圖”是由四個全等的直角三角形與中間的一個小正方形拼成的大正方形，設直角三角形較長直角邊長為a，較短直角邊長為b，若，大正方形的面積為17，則小正方形的面積為（ ）

A．5 B．7 C．9 D．11
2．（24-25七年級下·陜西渭南·期中）如圖，，連接，若，則圖中陰影部分的面積為（　?。?br/>A．1 B．2 C．3 D．4
3．（2025·江西·模擬預測）小明用4個全等且面積為4的直角三角形和1個小正方形剛好能拼成一個大正方形（如圖①所示），且他用這些還能拼成圖②所示的長方形， 則長方形的面積為（ ）
A．8 B．16 C．20 D．24
4．（24-25八年級上·河北邢臺·期中）如圖，已知，下列結論中正確的個數是（　?。?br/>；；；；；．
A．個 B．個 C．個 D．個
5．（24-25八年級上·內蒙古呼和浩特·期中）如圖，銳角△ABC中，，分別是，邊上的點，，，且，，交于點，若，則的大小是（ ）
A． B． C． D．
6．（24-25八年級上·浙江嘉興·期末）如圖，將△ABC沿折疊，的對應邊恰好經過頂點，，設，，則下列等式成立的是（ ）
A． B． C． D．
7．（24-25八年級上·內蒙古通遼·期末）如圖，在長方形中，，．點從點A出發，以每秒個單位長度的速度沿向點勻速運動，點從點出發，以每秒個單位長度的速度沿向點勻速運動，點從點C出發，以每秒個單位長度的速度沿向點勻速運動，連接、，三點同時開始運動，當某一點運動到終點時，其它點也停止運動．若在某一時刻，與全等，則的值為（ ）
A．或 B．或 C．或 D．或
8．（24-25八年級上·河南安陽·期末）三個全等三角形按如圖所示擺放，則的度數為 °．
9．（24-25八年級上·江西新余·期末）如圖，，B，E，在一直線上，則的度數為 ．
10．（24-25八年級上·河南周口·階段練習）2024年9月10日是第40個教師節．數學老師用與教師節年月日相關的數字，編擬了一道運用全等三角形的性質和解方程等知識求解的題目：一個三角形的三邊長分別是4，9，10，另一個三角形三邊的長分別是4，，．若這兩個三角形全等，則的值為 ．
11．（24-25八年級上·浙江寧波·期中）如圖1，正方形被分割成五部分，其中①②③④為四個全等的四邊形，⑤為正方形，且①②③④恰好可以拼成圖2的正方形．若在正方形中，恰有，則 ．
12．（23-24八年級上·廣西河池·期末）已知兩個三角形全等，其中一個三角形的三邊長分別為6，8，10，另一個三角形的三邊長分別為6，．
(1)求m，n的值；
(2)當邊長小于邊長時，以，，為三角形的三邊長，求邊長a取值范圍．
13．（23-24八年級上·全國·課后作業）如圖，已知，，，，．
(1)求的度數與的長；
(2)求證：．
14．（24-25八年級上·江蘇揚州·期中）如圖，已知于點，點在上，交于點F，．
(1)若，，求的長．
(2)試判斷和的數量關系和位置關系，并說明理由．
15．（24-25八年級上·青海海東·期末）如圖，在△ABC中，，，點在上，且；點從出發以每秒 的速度向點運動，同時，點從出發向點運動，設運動時間為秒，連接、．
(1)用含的式子表示、；
(2)若點的運動速度也為每秒，為何值時，；
(3)若點的運動速度和點的速度不相等，要使，則點的運動速度為多少 全等時為多少

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