資源簡介

中小學教育資源及組卷應用平臺
2.3　有理數的乘方
2．3.1　乘方
第1課時　乘方
乘方是有理數的一種基本運算，是在學生學習了有理數的加、減、乘、除運算的基礎上學習的，它既是有理數乘法的推廣和延續，又是后續學習有理數的混合運算、科學記數法和開方的基礎，起到承前啟后、鋪路架橋的作用．通過這一課的學習，對培養學生觀察問題、分析問題和解決問題的能力以及轉化的數學思想起到十分重要的作用．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
【情景導入】
同學們，你們吃過拉面嗎？你們知道拉面是怎么做出來的嗎？
做一做：用準備好的拉面玩具做拉面捏合的練習，作好記錄．
次數 1 2 3 4 5 6 … 10 …
面條根數 2 4 8 16 32 64 … 1 024 …
　　【說明與建議】　說明：通過生活中“拉面問題”的實例，將實際問題抽象為數學問題的過程，感受數學知識與生活的聯系，激發學生的學習興趣．建議：先讓學生根據示意圖口答捏合后的面條根數，然后再讓學生猜想回答第四次、第五次捏合后的根數，最后讓一名學生匯報實驗結果．猜想如果捏合10次、100次、n次呢？
【類比導入】
我們學數學就為了能成為一名化繁為簡的高手．
問題1：比如3＋3＋3＋3＋3＋3＝3×(　　)，利用乘法將這么長的加法算式變簡單．
問題2：我們在小學學過邊長為a的正方形的面積是a·a＝a2，棱長為a的正方體的體積是a·a·a＝a3，類似的式子有簡單的記法嗎？
【說明與建議】　說明：通過類比導入的方式，一是讓學生能在數學的發展關聯上有所啟迪，讓學生認識到在數學中許多的概念、定理和公式都產生或發展于原有知識，初步培養學生發展數學的意識；二是使得知識的學習在遷移中便于讓學生接受．建議：讓學生在輕松的氛圍中自主交流2分鐘左右，對學生的每個回答給予積極的評價．
命題角度1　有理數乘方的意義
1．(－7)6的意義是(C)
A．－7×6 B．6個－7相加 C．6個－7相乘 D．7個－6相乘
2．計算：＝(B)
A. B. C. D.
3．把式子××××寫成乘方的形式為()5．
命題角度2　有理數的乘方運算
4．－23的結果是(A)
A．－8 B．－6 C．6 D．8
5．下列式子①－(－3)；②－|－3|；③－(－3)2；④－(－2)3中，運算結果為負數的是(B)
A．①② B．②③ C．③④ D．①④
解讀“有理數乘方”
“乘方”是繼有理數的加、減、乘、除運算之后又一種新的運算，在有理數一章中占著很重要的地位，為了幫助同學們更好地掌握這部分知識，下面從幾個方面進行歸納敘述，供同學們參考．
一、正確理解乘方的含義
求n個相同乘數a的積的運算叫作乘方，其結果叫作冪．因此乘方有雙重含義，首先它表示一種運算，一種特殊的運算(即乘數相同的乘法運算)，如an表示的運算，讀作a的n次方；其次它表示一種運算的結果，如an是n個a相乘的結果，讀作a的n次冪．所以在理解乘方概念時，應知道它不僅表示一種運算，而且還表示運算的結果．
二、正確理解冪
上面我們談到乘方表示一種運算的結果，不少同學就認為只有把乘方寫成an的形式才叫作冪，這種觀點是錯誤的．實際上，對于具體數的乘方，特別是結果不太大的數，其結果可以寫成冪的形式，也可以用具體的數表示．如3×3×3＝33＝27，這里的33和27都是冪
，它們之間沒有什么不同．當然，對于用字母表示的數的乘方結果只能寫成冪的形式．
三、注意分清底數及其寫法
(－a)n的底數是－a，而－an的底數是a，前者表示n個(－a)相乘，后者表示n個a相乘的結果再取相反數，因此，不能把(－a)n與－an混為一談，雖然有時它們的結果可能相同，如(－2)3＝(－2)×(－2)×(－2)＝－8，－23＝－(2×2×2)＝－8，但它們的具體含義卻不一樣．當底數是負數或分數時，我們在書寫中一定要把底數加上括號，然后再在括號的右上角寫上指數，以體現底數的整體性，否則就會出現把－2的3次方寫成－23，的平方寫成的錯誤，同學們在初學時一定要注意這一點．
課題 2.3.1　第1課時　乘方 授課人
素養目標 1.在現實背景中，理解有理數乘方的意義． 2．會利用計算器進行乘方運算． 3．已知一個數，會求出它的正整數指數冪，滲透轉化思想． 4．用數學的眼光思考問題、解決問題，切實提高學生的運算能力.
教學重點 冪、底數、指數的概念及其表示，理解有理數乘法運算與乘方間的聯系，處理好負數的乘方運算.
教學難點 準確建立底數、指數和冪三個概念，并能求冪的運算.
授課類型 新授課 課時
教學步驟 師生活動 設計意圖
活動一：創設情境、導入新課 【課堂引入】 棋盤上的數學 古希臘偉大數學家阿基米德與國王下棋，國王輸了，國王問阿基米德要什么獎賞，阿基米德對國王說：“我只要在棋盤上第一個格子中放進一顆麥子，在第二個格子中放進兩顆麥子，在第三個格子中放進四顆麥子……每一個格子中麥子數量都是前一個格子中麥子數量的兩倍，一直將棋盤每一個格子擺滿．”國王覺得很容易就可以滿足他的要求，于是就同意了．但很快國王就發現，即使將國庫所有的糧食都給他，也不夠百分之一．即使一粒麥子只有一克重，也需要數十萬億噸的麥子才夠．你們知道這是為什么嗎？ 帶著這個問題，我們進入本課“有理數乘方”的學習． 新課開始，巧妙地設置問題，使學生產生懸念，以引發學生的好奇心和求知欲，調動學生的學習積極性，讓學生知道數學無處不在，激發學生解決問題的強烈欲望.
活動二：實踐探究、交流新知 【探究新知】 把一張紙進行如下操作： (1)對折2次可裁成4張，即2×2張； (2)對折3次可裁成8張，即2×2×2張； 問題：(3)若對折10次可裁成幾張？請用一個算式表示(不用算出結果)； 解：對折10次裁成的張數可以表示為2×2×2×2×2×2×2×2×2×2，是一個由10個2相乘的乘積式． (4)若對折100次，式子中有多少個2相乘？ 解：對折100次裁成的張數可以表示為2×2×…×2 \s\do4(100個))，在這個式子中有100個2相乘． 思考：這么長的算式有簡單的記法嗎？ 為了簡便，我們把2×2記作22，讀作“2的平方”(或“2的二次方”)； 把2×2×2記作23，讀作“2的立方”(或“2的三次方”)； 把2×2×2×2×2×2×2×2×2×2記作210； 把2×2×…×2 \s\do4(100個))記作2100. 同樣地，(－2)×(－2)×(－2)×(－2)記作(－2)4，讀作“－2的四次方”； (－)×(－)×(－)×(－)×(－)記作(－)5，讀作“－的五次方”． 思考：(1)(－2)4與－24一樣嗎？為什么？ 答：不一樣，(－2)4表示－2的四次方，－24表示2的4次方的相反數． (2)(－)5與－一樣嗎？為什么？ 答：不一樣，(－)5表示－的五次方，－表示2的五次方再乘－. 一般地，n個相同的乘數a相乘，即a·a·a·…·a \s\do4(n個))，記作an，讀作“a的n次方”． 求n個相同乘數的積的運算，叫作乘方，冪 叫作冪． 在an中，a叫作底數，n叫作指數． 當an看作a的n次方的結果時，也可讀作“a的n次冪”． 讓學生感受現實生活中蘊含著大量的數學信息，數學在現實世界中有著廣泛的應用，面對實際問題，主動嘗試從數學的角度運用所學知識解決問題，并在解決問題的過程中體驗到乘方運算的必要性和優越性.
續表
教學步驟 師生活動 設計意圖
活動二：實踐探究、交流新知 例如：在94中，底數是9，指數是4，94讀作“9的4次方”，或“9的4次冪”． 注意：一個數可以看作這個數本身的一次方．例如，5就是51.指數1通常省略不寫． 師生活動：學生由具體的數據推導出乘方的定義，老師給予適時指導，讓學生能分清底數、指數、冪之間的聯系和區別．先由學生討論，然后由小組代表發表自己的觀點.
活動三：開放訓練、體現應用 【典型例題】 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　例　(教材第51頁例1)計算： (1)(－4)3；(2)(－2)4；(3)(－)3. 解：(1)(－4)3＝(－4)×(－4)×(－4)＝－64. (2)(－2)4＝(－2)×(－2)×(－2)×(－2)＝16. (3)(－)3＝(－)×(－)×(－)＝－. 思考：從例題中，你發現負數的冪的正負有什么規律？ 當指數是奇數時，負數的冪是負數； 當指數是偶數時，負數的冪是正數． 思考：如果冪的底數是正數，那么這個冪有可能是負數嗎？ 不可能，正數的任何次冪都是正數． 歸納：根據有理數的乘法法則可以得出： 負數的奇次冪是負數，負數的偶次冪是正數； 正數的任何次冪都是正數； 0的任何正整數次冪都是0. 【變式訓練】 1．(－3)4表示(B) A．－3個4相乘 B．4個－3相乘 C．3個4相乘 D．4個3相乘 2．(－1)2 024的值是(B) A．－1 B．1 C．2 024 D．－2 024 師生活動：給予學生一定的時間去思考，充分討論，爭取讓學生自己得到正確答案，并對學習有困難的學生適當引導、點撥． 1.通過例題的學習，對有理數的乘方有更進一步的理解． 2．把問題再次交給學生，充分發揮學生的主觀能動性，鼓勵學生盡可能地發現規律.
活動四：課堂檢測 【課堂檢測】 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
1.若一個數的平方等于它本身，則這個數是(D) A．0 B．1 C．－1，1 D．0，1 2．下列各組數中，互為相反數的有(B) ①－(－2)和－|－2|；②(－1)2和－12；③23和32；④(－2)3和－23. A．④ B．①② C．①②③ D．①②④ 加深對所學知識的理解運用，在問題的選擇上以基礎為主，靈活運用所學知識解決問題，鞏固新知.
續表
教學步驟 師生活動 設計意圖
活動四：課堂檢測 3.計算： (1)(－)2；　(2)－(－6)3； (3)－；　(4)(－3)2×(－2)3. 解：(1)(－)2＝(－)×(－)＝. (2)－(－6)3＝－(－6)×(－6)×(－6)＝216. (3)－＝－＝－. (4)(－3)2×(－2)3＝9×(－8)＝－72. 師生活動：學生進行當堂檢測，完成后，教師進行批閱、點評、講解.
課堂小結 1.課堂小結： (1)本節課學到了什么？ 有理數的乘方 求幾個相同乘數的積的運算 →求幾個相同乘數的積的運算 冪 →冪 化為乘法 →化為乘法 乘方運算的符號法則?? (2)你還有什么疑惑？ 2．布置作業：教材第56頁習題2.3第1題． 通過課堂小結的形式，學生能夠對本課時所學知識進行整理，同時明確學習重點.
板書設計 2.3.1　乘方 第1課時　乘方 1．有理數乘方的意義 2．an：a叫作底數，n叫作指數，讀作“a的n次方”或“a的n次冪” 3．有理數的乘方運算 提綱挈領，重點突出.
教學反思 反思教學過程和教師表現，進一步優化操作流程和提升自身素質.
21世紀教育網 www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
21世紀教育網(www.21cnjy.com)

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