資源簡介

(共71張PPT)
第一章
§1.3　等式性質與
不等式性質
數學
大
一
輪
復
習
1.掌握等式性質.
2.會比較兩個數的大小.
3.理解不等式的性質，并能簡單應用.
課標要求
課時精練
內容索引
第一部分 落實主干知識
第二部分 探究核心題型
落實主干知識
第一部分
1.兩個實數比較大小的方法
作差法 (a，b∈R).
a-b>0 a b,
a-b＝0 a b,
a-b<0 a b
>
＝
<
2.等式的性質
性質1　對稱性：如果a＝b，那么 ；
性質2　傳遞性：如果a＝b，b＝c，那么 ；
性質3　可加(減)性：如果a＝b，那么a±c＝b±c；
性質4　可乘性：如果a＝b，那么ac＝bc；
性質5　可除性：如果a＝b，c≠0，那么 .
b＝a
a＝c
3.不等式的性質
性質1　對稱性：a>b ；
性質2　傳遞性：a>b，b>c ；
性質3　可加性：a>b a＋c>b＋c；
性質4　可乘性：a>b，c>0 ；a>b，c<0 ；
性質5　同向可加性：a>b，c>d ；
性質6　同向同正可乘性：a>b>0，c>d>0 ；
性質7　同正可乘方性：a>b>0 an>bn(n∈N，n≥2).
ba>c
ac>bc
aca＋c>b＋d
ac>bd
1.判斷下列結論是否正確.(請在括號中打“√”或“×”)
(1)兩個實數a，b之間，有且只有a>b，a＝b，a(2)若>1，則b>a.(　　)
(3)同向不等式具有可加性和可乘性.(　　)
(4)若>，則b×
√
×
×
2.(多選)下列命題為真命題的是
A.若ac2>bc2，則a>b
B.若a>b>0，則a2>b2
C.若aD.若a
√
C中，若a＝－2，b＝－1，則a2>ab>b2，故C錯誤.
√
√
3.設M＝2a2＋5a＋4，N＝(a＋1)(a＋3)，則M與N的大小關系為
A.M>N B.M＝N
C.M√
因為M－N＝(2a2＋5a＋4)－(a＋1)(a＋3)＝a2＋a＋1＝>0，所以M>N.
4.若實數a，b滿足0∵0(－1，2)
1.熟練應用兩個倒數性質
(1)a<0(2)ab>0，a>b <.
2.牢記四個常用不等式
若a>b>0，m>0，則：
(1)<；(2)>(b－m>0)；(3)>；(4)<(b－m>0).
返回
微點提醒
探究核心題型
第二部分
例1　(1)(多選)下列不等式中正確的是
A.x2－2x>－3(x∈R)
B.a3＋b3≥a2b＋ab2(a，b∈R)
C.a2＋b2>2(a－b－1)
D.<(b>a>0)
√
數(式)的大小比較
題型一
√
∵x2－2x＋3＝(x－1)2＋2≥2>0，
∴x2－2x>－3，故A正確；
a3＋b3－a2b－ab2＝a2(a－b)＋b2(b－a)＝(a－b)(a2－b2)＝(a－b)2(a＋b).
∵(a－b)2≥0，a＋b的符號不確定，
∴a3＋b3與a2b＋ab2的大小不確定，故B錯誤；
∵a2＋b2－2a＋2b＋2＝(a－1)2＋(b＋1)2≥0，
∴a2＋b2≥2(a－b－1)，故C錯誤；
用作差法比較，
∵b>a>0，∴>0，
∴<，故D正確.
(2)若實數m，n，p滿足m＝4，n＝5，p＝，則
A.pC.m√
因為實數m，n，p滿足m＝4，n＝5，p＝，則m>0，n>0，p>0，
所以·<1，所以m又·>1，所以m>p.
所以p比較大小的常用方法
(1)作差法：①作差；②變形；③定號；④得出結論.
(2)作商法：①作商；②變形；③判斷商與1的大小關系；④得出結論.
(3)構造函數，利用函數的單調性比較大小.
思維升華
跟蹤訓練1　(1)已知c>1，且x＝，y＝，則x，y之間的大小關系是
A.x>y B.x＝y
C.x√
方法一　由題設，易知x>0，y>0，又<1，∴x方法二　設f(x)＝，定義域為[1，＋∞)，
則f(x)＝，故f(x)為減函數，
又c＋1>c>1，則f(c＋1)(2)(多選)若a>b>0，那么下列不等式一定成立的是
A.> B.<
C.a>>b D.a＋>b＋
√
√
√
對于A，因為a>b>0，所以>0，故A正確；
對于B，>1>>0，故B錯誤；
對于C，a>b>0，>1，所以a>，因為>1，所以>b，所以a>>b，故C正確；
對于D，a＋－b－＝(a－b)>0，故D正確.
例2　(1)(多選)已知實數a，b，c，d，則下列命題中錯誤的是
A.若a>b，則ac>bc
B.若a>b，c>d，則a－c>b－d
C.若b
D.若a>b，c>d，則ac不等式的基本性質
題型二
√
√
√
對于A，當c＝0時，ac＝bc，故A錯誤；
對于B，不妨取a＝2，b＝1，c＝－1，d＝－2，滿足a>b，c>d，但a－c＝b－d，故B錯誤；
對于C，若b－a>0，所以<，則>，故C正確；
對于D，取a＝3，b＝－5，c＝1，d＝－，此時ac>bd，故D錯誤.
(2)(多選)(2025·常德模擬)已知a>b>0，則下列不等式正確的是
A.a2>ab B.>
C.a＋b＋ln(ab)>2 D.a－>b－
√
√
√
對于A，∵a>b>0，∴a2>ab，故A正確；
對于B，∵a>b>0，∴<，∴1＋<1＋，即0<<，∴>，故B正確；
對于C，令a＝1，b＝，則a＋b＋ln(ab)＝1＋＋ln <2，故C錯誤；
對于D，易得y＝x－(x>0)為增函數，且a>b>0，故a－>b－，故D正確.
判斷不等式的常用方法
(1)利用不等式的性質逐個驗證.
(2)利用特殊值法排除錯誤選項.
(3)作差法.
(4)構造函數，利用函數的單調性.
思維升華
跟蹤訓練2　(1)設a，b∈R，則“a”的
A.充分不必要條件 B.必要不充分條件
C.充要條件 D.既不充分也不必要條件
√
充分性：由a－b>0，則(－a)2>(－b)2>0，
即a2>b2>0，兩邊同乘，可得<，不滿足充分性；
必要性：取特殊值a＝1，b＝2，滿足>，但不滿足a”的既不充分也不必要條件.
(2)(多選)若a>b>0，c>d>0，則下列結論正確的是
A.ad>bc B.a(a＋c)>b(b＋d)
C.< D.ac＋bd>ad＋bc
√
√
√
對于A，取a＝2，b＝1，c＝2，d＝1，則ad＝bc，故A錯誤；
對于B，由a>b>0，c>d>0，得a＋c>b＋d>0，則a(a＋c)>b(b＋d)，故B正確；
對于C，由a>b>0，c>d>0，得ac>bd，
且<等價于<，
等價于>，等價于ac>bd，故C正確；
對于D，(ac＋bd)－(ad＋bc)＝(ac－ad)＋(bd－bc)＝a(c－d)＋b(d－c)＝(c－d)(a－b)>0，
則ac＋bd>ad＋bc，故D正確.
例3　(1)(多選)已知－1A.－15C.－2√
不等式性質的綜合應用
題型三
√
√
因為－1所以－1<－b<3，
對于A，當0≤a<5，0≤b<1時，0≤ab<5；
當0≤a<5，－3則0≤－ab<15，即－15當－1則0≤－ab<1，即－1當－1綜上，－15對于B，－1－3＝－4對于C，－1－1＝－2對于D，當a＝4，b＝時，＝8，故D錯誤.
(2)(2024·遼寧縣域重點高中協作體模擬)公園的綠化率是指公園內的綠化面積與公園的面積之比.已知某公園的面積為a m2，綠化面積為b m2(0A.變大 B.變小
C.不變 D.不確定
√
原來公園的綠化率為，擴建后公園的綠化率為，
則，
所以與的大小與a，2b的大小有關，故擴建后公園的綠化率與原來公園的綠化率的變化情況不確定.
利用不等式的性質求代數式的取值范圍的注意點
(1)必須嚴格運用不等式的性質.
(2)在多次運用不等式的性質時有可能擴大變量的取值范圍，解決途徑是先建立所求范圍的整體與已知范圍的整體的等量關系，然后通過“一次性”不等關系的運算求解范圍.
思維升華
跟蹤訓練3　(1)已知2A.[6，7] B.(2，5) C.[4，7] D.(5，8)
√
由題意可知4<2a<6，1<－b<2，所以5<2a－b<8.
(2)手機屏幕面積與整機面積的比值叫手機的“屏占比”，它是手機外觀設計中一個重要參數，其值通常在(0，1)之間.設計師將某手機的屏幕面積和整機面積同時增加相同的數量，升級為一款新的手機外觀，則該手機“屏占比”和升級前比
A.不變 B.變小
C.變大 D.變化不確定
√
設原來手機屏幕面積為b，整機面積為a，
則屏占比為(a>b>0)，設手機的屏幕面積和整機面積同時增加相同的數量為m(m>0)，升級后屏占比為，∵a>b>0，
∴>0，
即該手機“屏占比”和升級前比變大.
返回
課時精練
對一對
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
題號 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 B B C D A B AB ABD
題號 9 10 13 　14
答案 a=-1，b=2(答案不唯一) C C
(1)∵a>b>c>d，
∴a>b，-d>-c，
∴a-d>b-c>0，則<.
(2)∵a>b>0，c∴-c>-d>0，
∴a-c>b-d>0，b-a<0，c-d<0，
則-===>0，∴>.
11.
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
(1)a=[(a+b)+(a-b)]，
由-3≤a+b≤2，-1≤a-b≤4，
得-4≤(a+b)+(a-b)≤6，
∴-2≤[(a+b)+(a-b)]≤3，
即-2≤a≤3，
故實數a的取值范圍為[-2，3].
12.
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
(2)設3a-2b=m(a+b)+n(a-b)=(m+n)a+(m-n)b，
則解得
∴3a-2b=(a+b)+(a-b)，
∵-3≤a+b≤2，-1≤a-b≤4.
∴-≤(a+b)≤1，-≤(a-b)≤10，
∴-4≤3a-2b≤11，即3a-2b的取值范圍為[-4，11].
12.
一、單項選擇題
1.若a＝(x＋1)(x＋3)，b＝2(x＋2)2，則下列結論正確的是
A.a>b B.aC.a≥b D.a，b的大小關系不確定
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
知識過關
答案
因為b－a＝2(x＋2)2－(x＋1)(x＋3)＝2x2＋8x＋8－(x2＋4x＋3)＝x2＋4x＋5＝(x＋2)2＋1>0，所以a1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
答案
2.已知a>b，則下列不等式一定成立的是
A.< B.2a>2b
C.a2>b2 D.|a|>|b|
√
取a＝1，b＝－2，滿足a>b，顯然有>，a2指數函數y＝2x為增函數，若a>b，則必有2a>2b，B正確.
3.已知a，b，x均為實數，下列不等式恒成立的是
A.若aC.若ax2 026√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
當a＝－2，b＝1時，(－2)2 026>12 026，A錯誤；
當a＝0時，沒意義，B錯誤；
由ax2 0260，所以a當x＝0時，ax2 026答案
4.A，B，C，D四名同學的年齡關系如下.A，C的年齡之和與B，D的年齡之和相同，C，D的年齡之和大于A，B的年齡之和，B的年齡大于A，D的年齡之和，則A，B，C，D的年齡關系是
A.B>C>A>D B.B>C>D>A
C.C>B>A>D D.C>B>D>A
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
用A，B，C，D表示A，B，C，D四名同學的年齡，則A>0，B>0，C>0，D>0.
則A＋C＝B＋D， ①
C＋D>A＋B， ②
B>A＋D. ③
①＋②得C>B，①＋③得C>2D，②＋③得C>2A，由于A>0，D>0，故由③得B>A，B>D，
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
由①得C－B＝D－A，
∵C>B，∴C－B>0，∴D－A>0，∴D>A，
綜上，C>B>D>A.
答案
5.已知－3A.(1，3) B.
C. D.
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
答案
因為－3而3故的取值范圍為(1，3).
6.已知實數a，b，c滿足a＋b＋c＝0且a>b>c，則下列選項錯誤的是
A.bc>ac
B.a2>c2
C.2ac－2bcD.(a－c)2≤2(a－b)2＋2(b－c)2
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
因為a＋b＋c＝0且a>b>c，所以a>0，c<0，
A選項，bc－ac＝(b－a)c>0，故bc>ac，A正確；
B選項，不妨設a＝1，b＝0，c＝－1，此時滿足a＋b＋c＝0且a>b>c，但a2＝c2，B錯誤；
C選項，因為a＋b＋c＝0且a>b>c，所以a－b>0，a＋b－2c＝a－c＋b－c>0，
a2－b2＋2bc－2ac＝(a＋b)(a－b)＋2c(b－a)＝(a－b)(a＋b－2c)>0，
所以2ac－2bc答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
D選項，2(a－b)2＋2(b－c)2－(a－c)2
＝2(a－b)2＋2(b－c)2－[(a－b)＋(b－c)]2
＝2(a－b)2＋2(b－c)2－(a－b)2－2(a－b)(b－c)－(b－c)2
＝(a－b)2＋(b－c)2－2(a－b)(b－c)
＝[(a－b)－(b－c)]2＝(a＋c－2b)2，
因為a＋b＋c＝0，所以2(a－b)2＋2(b－c)2－(a－c)2＝(－b－2b)2＝9b2≥0，
故(a－c)2≤2(a－b)2＋2(b－c)2，D正確.
答案
二、多項選擇題
7.已知c>b>a，則下列結論正確的是
A.c＋b>2a B.>
C.> D.<
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
√
答案
√
對于選項A，因為c>b>a，所以c＋b>2a，故選項A正確；
對于選項B，因為c>b>a，所以c－a>c－b>0，所以>>0，故選項B
正確；
對于選項C，取a＝－3，b＝－2，c＝－1，滿足c>b>a，此時＝－2，＝－，<，故選項C錯誤；
對于選項D，當c＝1，b＝－1，a＝－2時，＝2，＝－，此時>，
故選項D錯誤.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
答案
8.已知實數x，y滿足－3A.－1B.－2C.x＋y的取值范圍是(－3，3)
D.x－y的取值范圍是(－1，3)
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
答案
√
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
因為－3所以－2<4x－2y<8，
則－5<5x<10，即－1又－4<－2x－4y<6，－1<2x－y<4，
所以－5<－5y<10，即－2x＋y＝的取值范圍是(－2，2)，故C錯誤；
x－y＝的取值范圍是(－1，3)，故D正確.
答案
三、填空題
9.已知0<β<α<，則α－β的取值范圍是　　　　.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
答案
∵0<β<，∴－<－β<0，
又0<α<，∴－<α－β<，
又β<α，∴α－β>0，即0<α－β<.
10.若a，b同時滿足下列兩個條件：
①a＋b>ab；②>.
請寫出一組a，b的值　　　 　　　 .
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
答案
a＝－1，b＝2(答案不唯一)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
容易發現，若將①式轉化為②式，
需使(a＋b)ab<0，即a＋b與ab異號，
顯然應使a＋b>0，ab<0，
當a<0，b>0時，要使a＋b>0，則|a|<|b|，可取a＝－1，b＝2；
當a>0，b<0時，要使a＋b>0，則|a|>|b|，可取a＝2，b＝－1.
綜上，取任意兩個異號的實數，且正數的絕對值大于負數的絕對值皆為合理答案.
答案
四、解答題
11.證明下列不等式：
(1)已知a>b>c>d，求證：<；
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
答案
∵a>b>c>d，∴a>b，－d>－c，
∴a－d>b－c>0，則<.
(2)已知a>b>0，c.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
答案
∵a>b>0，c∴－c>－d>0，
∴a－c>b－d>0，b－a<0，c－d<0，
則>0，
∴>.
12.已知實數a，b滿足－3≤a＋b≤2，－1≤a－b≤4.
(1)求實數a的取值范圍；
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
答案
a＝[(a＋b)＋(a－b)]，
由－3≤a＋b≤2，－1≤a－b≤4，
得－4≤(a＋b)＋(a－b)≤6，
∴－2≤[(a＋b)＋(a－b)]≤3，即－2≤a≤3，
故實數a的取值范圍為[－2，3].
(2)求3a－2b的取值范圍.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
答案
設3a－2b＝m(a＋b)＋n(a－b)＝(m＋n)a＋(m－n)b，
則解得
∴3a－2b＝(a＋b)＋(a－b)，
∵－3≤a＋b≤2，－1≤a－b≤4.
∴－≤(a＋b)≤1，－≤(a－b)≤10，
∴－4≤3a－2b≤11，
即3a－2b的取值范圍為[－4，11].
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
答案
13.已知△ABC的三邊長分別為a，b，c，且滿足b＋c≤3a，則的取值范圍為
A.(1，＋∞) B.(1，3)
C.(0，2) D.(0，3)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
答案
√
能力拓展
由已知及三角形三邊關系得
所以則
兩式相加得0<<4，
所以0<<2.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
答案
14.某超市A，B兩種蔬菜連續n天的價格分別為a1，a2，a3，…，an和b1，b2，b3，…，bn，令M＝{m|amA.若AB.若AC.AD.A1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
答案
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
答案
對于A，采用特例法：若a1＝a2＝…＝a7＝1，a8＝4；b1＝b2＝…＝b7＝2，b8＝3；c1＝c2＝…＝c6＝3，c7＝1，c8＝4，滿足A對于B，若a1＝a2＝…＝a6＝1，a7＝a8＝2；b1＝b2＝…＝b6＝2，b7＝b8＝1；c1＝c2＝…＝c6＝1.5，c7＝c8＝3，此時A1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
答案
對于C，例如蔬菜A連續10天價格為1，2，3，4，…，10，蔬菜B連續10天價格分別為10，9，…，1時，
M＝{1，2，3，4，5}，則M中元素個數為5，n＝×10＝，此時A同理，B對于D，A返回