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2025-2026學(xué)年七年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)單元考點(diǎn)培優(yōu)滬科版（2024）
第3章 一次方程與方程組 3.1 方程
學(xué)校:___________姓名：___________班級(jí)：___________考號(hào)：___________
一、單選題
1．下面說(shuō)法正確的有（　　）個(gè)
①一條射線長(zhǎng)8厘米．
②既是等式，又是方程．
③5的倍數(shù)一定是合數(shù)．
④圓柱有無(wú)數(shù)條高，圓錐只有一條高．
⑤公園植樹(shù)101棵，成活100棵，成活率．
⑥求“長(zhǎng)方體、正方體、圓柱”這幾個(gè)立體圖形的體積時(shí)，都可以用“底面積高”來(lái)計(jì)算．
A．2 B．3 C．4 D．5
2．下列方程中，方程的解為的是（　　）
A． B． C． D．
3．若的最小整數(shù)解是方程的解，則m的值為（　　）
A．2 B．1 C． D．
4．已知關(guān)于x的一元一次方程的解為，則的值為（　　）
A．8 B．7 C．6 D．5
5．如圖，某小區(qū)計(jì)劃在一塊長(zhǎng)為32m，寬為20m的矩形空地上修建三條同樣寬的道路，剩余的空地上種植草坪，使草坪的面積為570m2.若設(shè)道路的寬為xm，則下面所列方程正確的是（　　）.
A．（32-2x）（20-x）=570 B．32x+2×20x=32×20-570
C．（32-x）（20-x）=32×20-570 D．32x+2×20x-2x2=570
6．對(duì)于任意兩個(gè)實(shí)數(shù)，給出以下兩個(gè)運(yùn)算法則：①；②，例如，．解決下列問(wèn)題：已知正整數(shù)滿(mǎn)足，且，關(guān)于這個(gè)四元方程下列說(shuō)法：①，，，是該四元方程的一組解；②連續(xù)的四個(gè)偶數(shù)一定是該四元方程的解；③若，則該四元方程有7組解；正確的個(gè)數(shù)是（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
7．下列四個(gè)式子中，是方程的是（　　）
A． B． C． D．
8．在一個(gè)籠子里面放著幾只雞與幾只兔，數(shù)了數(shù)一共有14個(gè)頭，44只腳．問(wèn)雞兔各有幾只？設(shè)雞為x只得方程（　　）
A．2x+4（14－x）=44 B．4x+2（14－x）=44
C．4x+2（x－14）=44 D．2x+4（x－14）=44
9．《九章算術(shù)》中有一道題：今有人共買(mǎi)羊，人出七，不足三；人出八，盈十六，問(wèn)人數(shù)、羊價(jià)幾何？譯文為：現(xiàn)在有若干人共同買(mǎi)一頭羊，若每人出7錢(qián)，則還差3錢(qián)；若每人出8錢(qián)，則剩余16錢(qián)．求買(mǎi)羊的人數(shù)和這頭羊的價(jià)格？設(shè)買(mǎi)羊的人數(shù)為x人，根據(jù)題意，可列方程為（　　）
A．7x+3＝8x+16 B．7x﹣3＝8x﹣16
C．7x+3＝8x﹣16 D．7x﹣3＝8x+16
10．在甲隊(duì)工作的有272人，在乙處工作的有196人，如果乙處工作的人數(shù)是甲處工作人數(shù)的，應(yīng)從乙處調(diào)多少人到甲處？若設(shè)應(yīng)從乙處調(diào)x人到甲處，則下列方程中正確的是（　　）
A．272+x= （196－x） B． （272－x）=196－x
C． （272+x）='196+x' D． （272+x）=196－x
二、填空題
11．若關(guān)于x的方程的解是整數(shù)解，m是整數(shù)，則所有m的值加起來(lái)為　 　．
12．當(dāng)x=　 　時(shí)，代數(shù)式 與 的值互為相反數(shù)．
13．若某一個(gè)正數(shù)的平方根是 和 ，則m的值是　 　．
14．已知Rt△ABC的兩直角邊分別是5、12，則Rt△ABC的內(nèi)切圓的半徑為　 　．
15．疫情期間，某工廠一生產(chǎn)車(chē)間獲得150000只口罩的生產(chǎn)訂單，加工60000 個(gè)口罩后，采用了新的生產(chǎn)工藝，效率調(diào)高到原來(lái)的2倍，任務(wù)完成后，發(fā)現(xiàn)比原計(jì)劃少用了10小時(shí).設(shè)采用新工藝之前每小時(shí)可生產(chǎn)口罩x個(gè)，依據(jù)題意可得方程　 　.
16．閱讀材料：一個(gè)四位自然數(shù)的千位為，百位為，十位為，個(gè)位為，若關(guān)于的一元一次方程的解為，則稱(chēng)這個(gè)四位自然數(shù)為方程的“順承數(shù)”．如：方程的解是所以2317就是方程的“順承數(shù)”．判斷5138　 　（填“是”或“否”）為某個(gè)方程的“順承數(shù)”；方程的解是（且為整數(shù)），若是該方程的“順承數(shù)”，交換的百位和個(gè)位數(shù)字得到新數(shù)，且能被3整除，則滿(mǎn)足條件的的最大值與最小值之和為　 　．
三、計(jì)算題
17．已知關(guān)于x的方程與方程的解互為相反數(shù)，求的值．
四、解答題
18．小明今年12歲，他爸爸今年36歲，幾年后爸爸的年齡是小明年齡的2倍？（列方程并估計(jì)問(wèn)題的解）
19．水平放置的容器內(nèi)原有210毫米高的水，如圖，將若干個(gè)球逐一放入該容器中，每放入一個(gè)大球水面就上升4毫米，每放入一個(gè)小球水面就上升3毫米，假定放入容器中的所有球完全浸沒(méi)水中且水不溢出．
（1）如果放1個(gè)大球、1個(gè)小球，水面高度達(dá)到____________毫米；只放入____________個(gè)大球時(shí)，水面高度會(huì)達(dá)到230毫米；
（2）僅放入6個(gè)大球后，開(kāi)始放入小球．
①求放入多少個(gè)小球時(shí)，水面高度會(huì)超不出原高度48毫米；
②限定水面高不超過(guò)280毫米，最多能放入幾個(gè)
20．關(guān)于、的方程組的解也是方程的解，求的值．
21．如果兩個(gè)方程的解相差，且為正整數(shù)，則稱(chēng)解較大的方程為另一個(gè)方程的“—后移方程”．
例如：方程的解是，方程的解是
所以：方程是方程的“2—后移方程”．
（1）判斷方程是否為方程的—后移方程________（填“是”或“否”）；
（2）若關(guān)于的方程是關(guān)于的方程的“2—后移方程”，求的值；
（3）當(dāng)時(shí)，如果方程是方程的“—后移方程”．求代數(shù)式的值．
22．列方程解應(yīng)用題：
（1）一個(gè)箱子，如果裝橙子可以裝18個(gè)，如果裝梨可以裝16個(gè)，現(xiàn)共有橙子、梨400個(gè)，而且裝梨的箱子是裝橙子箱子的2倍．請(qǐng)算一下，裝橙子和裝梨的箱子各多少個(gè)？
（2）一群小孩分一堆蘋(píng)果，每人3個(gè)多7個(gè)，每人4個(gè)少3個(gè)，求有幾個(gè)小孩？幾個(gè)蘋(píng)果？
（3）一架飛機(jī)在兩城之間飛行，風(fēng)速為24千米/時(shí)．順風(fēng)飛行需要2小時(shí)50分，逆風(fēng)飛行需要3小時(shí)，求無(wú)風(fēng)時(shí)飛機(jī)的速度和兩城之間的航程．
23．某服裝商場(chǎng)購(gòu)進(jìn)一批T恤，每件進(jìn)價(jià)40元，出于營(yíng)銷(xiāo)考慮，要求每件售價(jià)不得低于40元且不得高于60元，在銷(xiāo)售過(guò)程中發(fā)現(xiàn)該T恤每周的銷(xiāo)售量 （件）與每件售價(jià) （元）之間滿(mǎn)足一次函數(shù)關(guān)系：當(dāng)銷(xiāo)售單價(jià)為44元時(shí)，銷(xiāo)量是72件，當(dāng)銷(xiāo)售單價(jià)為48元時(shí)，銷(xiāo)售量為64件.
（1）請(qǐng)直接寫(xiě)出 與 的函數(shù)關(guān)系式；
（2）當(dāng)商場(chǎng)每周銷(xiāo)售這種T恤獲得350元的利潤(rùn)時(shí)，每件的銷(xiāo)售單價(jià)是多少元？
（3）設(shè)該商場(chǎng)每周銷(xiāo)售這種T恤所獲得的利潤(rùn)為 元，將該T恤銷(xiāo)售單價(jià)定為多少元時(shí)，才能使商場(chǎng)銷(xiāo)售該T恤所獲利潤(rùn)最大？最大利潤(rùn)是多少？
參考答案及試題解析
1．B
2．D
3．A
4．C
5．A
【解答】解：設(shè)道路的寬為xm，根據(jù)題意得：
(32 2x)(20 x)=570，
故答案為：A.
【分析】根據(jù)平移的性質(zhì)可得： 草坪的長(zhǎng)為(32-2x)，寬為(20-x)，然后根據(jù)矩形的面積=長(zhǎng)×寬就可列出方程.
6．C
7．B
【解答】解：A、含有未知數(shù)但不是等式，則不是方程，不符合題意；
B、含有未知數(shù)且是等式，則是方程，符合題意；
C、含有未知數(shù)但不是等式，則不是方程，不符合題意；
D、是等式但不含有未知數(shù)，則不是方程，不符合題意；
故答案為：B.
【分析】根據(jù)方程的定義：方程就是含有未知數(shù)（ 函數(shù) ）的等式，據(jù)此逐項(xiàng)判斷即可.
8．A
【分析】本題主要考查一元一次方程的應(yīng)用。知雞有一個(gè)頭兩只腳，兔有一個(gè)頭四只腳，則由題意可得到雞和兔共有14只，其等量關(guān)系為：雞的腳數(shù)+兔的腳數(shù)=44只，根據(jù)此等式列方程即可．
【解答】設(shè)雞為x只，則要雞有2x只腳，兔有4（14-x)只腳，
根據(jù)等量關(guān)系列方程為
2x+4（14-x)=44，
故選A．
9．C
【解答】解：設(shè)買(mǎi)羊的人數(shù)為x人，
根據(jù)題意，可列方程為7x+3＝8x﹣16，
故答案為：C．
【分析】 若每人出7錢(qián)，則還差3錢(qián)；若每人出8錢(qián)，則剩余16錢(qián) ，列方程求解即可。
10．D
【分析】首先理解題意找出題中存在的等量關(guān)系：（甲處原來(lái)工作的人+調(diào)入的人數(shù))=乙處原來(lái)工作的人-調(diào)出的人數(shù)，根據(jù)此等量關(guān)系列方程即可．
【解答】設(shè)應(yīng)從乙處調(diào)x人到甲處，則甲處現(xiàn)有的工作人數(shù)為272+x人，乙處現(xiàn)有的工作人數(shù)為196-x人．
根據(jù)“乙處工作的人數(shù)是甲處工作人數(shù)的，”
列方程得： （272+x)=196-x，
故選D．
11．
12．1
【解答】解：由題意得+=0，解得x=1，
故填1 ；
【分析】本題主要考查列方程解決問(wèn)題，根據(jù)互為相反數(shù)的兩數(shù)和為零這一等量關(guān)系列出方程是關(guān)鍵。
13．
【解答】∵正數(shù)a的平方根是 和 ，
，
，
故答案為： ．
【分析】根據(jù)平方根的性質(zhì)可得關(guān)于m的方程，解方程即可求得答案.
14．2
15．
【解答】解：設(shè)采用新工藝之前每小時(shí)可生產(chǎn)口罩x個(gè)，則采用新工藝之后每小時(shí)可生產(chǎn)口罩2x個(gè)，
依題意，得： .
【分析】分別表示出采用新工藝前、后所用的時(shí)間，然后根據(jù)比原計(jì)劃少用了10小時(shí)就可列出方程.
16．是；4146
17．5
18．解：設(shè)x年后爸爸的年齡是小明年齡的2倍，
根據(jù)題意得，36+x=2（12+x），
x=12．
【分析】設(shè)x年后爸爸的年齡是小明年齡的2倍，再根據(jù)x年后兩人的年齡是2倍關(guān)系列出方程即可．
19．（1）217，5
（2）①8個(gè)；②15個(gè)
20．
21．（1）否
（2）
（3）15
22．（1）解：設(shè)裝橙子的箱子x個(gè)，則裝梨的箱子2x個(gè)，依題意有
18x+16×2x=400，
解得x=8，
2x=2×8=16．
答：裝橙子的箱子8個(gè)，則裝梨的箱子16個(gè)
（2）解：設(shè)有x個(gè)小孩，
依題意得：3x+7=4x﹣3，
解得x=10，
則3x+7=37．
答：有10個(gè)小孩，37個(gè)蘋(píng)果
（3）解：設(shè)無(wú)風(fēng)時(shí)飛機(jī)的航速為x千米/小時(shí)．
根據(jù)題意，列出方程得：
（x+24）× =（x﹣24）×3，
解這個(gè)方程，得x=840．
航程為（x﹣24）×3=2448（千米）．
答：無(wú)風(fēng)時(shí)飛機(jī)的航速為840千米/小時(shí)，兩城之間的航程2448千米
【分析】（1）根據(jù)梨和橙子與各自箱數(shù)分別相乘，相加為兩者的總數(shù)，求出裝梨和橙子的箱子數(shù)。
（2）利用兩種分法的蘋(píng)果數(shù)是相同的，列出方程求解出小孩數(shù)和蘋(píng)果數(shù)。
（3）利用逆風(fēng)和順風(fēng)的路程是相同的，列出方程求出速度，再利用速度和時(shí)間求出航程。
23．（1）解：設(shè)y=kx+b，
把（44，72）與（48，64）代入得：
解得： ，
則y=-2x+160
（2）解：設(shè)當(dāng)飾品店每周銷(xiāo)售這種飾品獲得350元的利潤(rùn)時(shí)，每件飾品的銷(xiāo)售單價(jià)是x元，
根據(jù)題意得：（x-40）y=350，即（x-40）（-2x+160）=350，
解得：x1=45，x2=75（不合題意舍去），
答：每件飾品的銷(xiāo)售單價(jià)是45元
（3）解：
=
∵40≤ ≤60，
∴ 當(dāng) 時(shí)， 最大，最大利潤(rùn)為800元。
答：每件產(chǎn)品的銷(xiāo)售價(jià)為60時(shí)，商場(chǎng)銷(xiāo)售該T恤獲最大利潤(rùn)為800元。
【分析】（1）將售價(jià)與銷(xiāo)售量的值代入一次函數(shù)，可得出一次函數(shù)值。
（2）列出利潤(rùn)=（售價(jià)-進(jìn)價(jià)）×銷(xiāo)售量，得出滿(mǎn)足此利潤(rùn)的售價(jià)。
（3）列出總利潤(rùn)=（售價(jià)-進(jìn)價(jià)）×銷(xiāo)售量，銷(xiāo)售量由第（1）問(wèn)的函數(shù)關(guān)系式表示，可得出獲得最大利潤(rùn)的銷(xiāo)售價(jià)。
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