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2025-2026學(xué)年七年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)單元考點(diǎn)培優(yōu)滬科版（2024）
第3章 一次方程與方程組 3.2 一元一次方程及其解法
學(xué)校:___________姓名：___________班級(jí)：___________考號(hào)：___________
一、單選題
1．下列方程中，解為 的是（　?。?br/>A． B． C． D．
2．下列方程中， 解為的是 （ ）
A． B． C． D．
3．下列等式變形中，錯(cuò)誤的是（　　）
A．由，得 B．由，得
C．由，得 D．由，得
4．下列方程中是一元一次方程的是（　?。?br/>A． B．x2=1 C．2x+y=1 D．
5．若單項(xiàng)式 的次數(shù)是8，則m的值是（　　）
A．8 B．6 C．5 D．15
6．如果關(guān)于x的一元一次方程x－m＋2＝0的解是負(fù)數(shù)，那么m的取值范圍是(　　)
A．m＜2 B．m≤2 C．m≥2 D．m＞2
7．若方程x |a| - 2－7=0是一個(gè)一元一次方程，則a等于 (　　)
A．－3 B．3 C．±3 D．0
8．下圖是明代數(shù)學(xué)家程大位所著的《算法統(tǒng)宗》中的一個(gè)問題，其大意為：有一群人分銀子，如果每人分七兩，則剩余四兩：如果每人分九兩，則還差八兩．設(shè)共有銀子x兩，共有y人，則所列方程（組）錯(cuò)誤的是（　?。?br/>隔壁聽得客分銀， 不知人數(shù)不知銀， 七兩分之多四兩， 九兩分之少半斤。 《算法統(tǒng)宗》 注：明代時(shí)1斤=16兩，故有“半斤八兩”這個(gè)成語
A． B．
C． D．
9．若關(guān)于x的方程 的解是 ，則關(guān)于y的方程 的解是（　　）
A． B． C． D．
10．解方程時(shí)，去分母正確的是（　　）
A． B．
C． D．
二、填空題
11．若方程是關(guān)于的一元一次方程．則a的值為　 　．
12．若含x的式子 與x﹣3互為相反數(shù)，則x＝　 ?。?br/>13．在實(shí)數(shù)范圍定義運(yùn)算“&”：a&b=2a+b，則滿足x&（x﹣6）=0的實(shí)數(shù)x是　 ?。?br/>14．若關(guān)于x的方程(n－5)x2＋xm－1－3＝0是一元一次方程，則nm＝　 ?。?br/>15．若是關(guān)于x的一元一次方程的解，則　 ?。?br/>16．表示不大于a的最大整數(shù)，例如，那么方程的解是　 　．
三、計(jì)算題
17．解方程
（1）
（2）
四、解答題
18．已知方程 和方程 的解相同，求m及方程的解
19．根據(jù)下列條件列方程，并利用等式的性質(zhì)求出方程的解。
（1）某數(shù)的 比它本身小6，求這個(gè)數(shù)。
（2）一個(gè)數(shù)的2倍與3的和等于這個(gè)數(shù)與7的差。
20．甲、乙兩人在相距18千米的A、B兩地相向而行，乙的速度是甲的速度的2倍，兩人同時(shí)出發(fā) 小時(shí)后相遇，請(qǐng)問甲的速度是多少？
21．用等式的性質(zhì)解方程：3x﹣4x=x．
22．若，，且，求的值．
23．?dāng)?shù)軸上有A、B兩點(diǎn)，分別對(duì)應(yīng)的數(shù)為a，b，已知（a+2）2與|b-6|互為相反數(shù)．點(diǎn)P為數(shù)軸上一動(dòng)點(diǎn)，對(duì)應(yīng)的數(shù)為x．
（1）若點(diǎn)P到點(diǎn)A和點(diǎn)B的距離相等，求點(diǎn)P對(duì)應(yīng)的數(shù)；
（2）數(shù)軸上是否存在點(diǎn)P，使點(diǎn)P到點(diǎn)A和點(diǎn)B的距離之和為10？若存在，請(qǐng)求出x的值；若不存在，說明理由；
（3）當(dāng)點(diǎn)P以每分鐘1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度從O點(diǎn)向左運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)A以每分鐘5個(gè)單位長(zhǎng)度向左運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)B以每分鐘20個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向左運(yùn)動(dòng)，問幾分鐘時(shí)點(diǎn)P到點(diǎn)A、點(diǎn)B的距離相等？
參考答案及試題解析
1．D
【解答】解：A、當(dāng)x=2時(shí)，左邊=3×2+6=12，右邊=0，左邊≠右邊，故x=2不是本方程的解；
B、當(dāng)x=2時(shí)，左邊=3－2×2=－1，右邊=0，左邊≠右邊，故x=2不是本方程的解；
C、當(dāng)x=2時(shí)，左邊= ×2=－1，右邊=1，左邊≠右邊，故x=2不是本方程的解；
D、當(dāng)x=2時(shí)，左邊= ，右邊=0，左邊=右邊，故x=2是本方程的解.
故答案為：D．
【分析】使方程的左邊和右邊相等的未知數(shù)的值就是方程的解，故將x=2分別代入各選項(xiàng)中的方程進(jìn)行檢驗(yàn)即可.
2．A
【解答】：A、將x=2代入，左邊=右邊，故本選項(xiàng)符合題意；
B、將x=2代入，左邊=4≠右邊，故本選項(xiàng)不合題意；
C、將x=2代入，左邊=4≠右邊，故本選項(xiàng)不合題意；
D、將x=2代入，左邊=10≠右邊，故本選項(xiàng)不合題意；
故答案為：A．
【分析】將x=2分別代入各選項(xiàng)求解判斷即可。
3．D
【解答】解：A、由，得，故A正確；
B、由，得，故B正確；
C、由，得，故C正確；
D、當(dāng)時(shí)，由，得，故D錯(cuò)誤；
故答案為：D
【分析】根據(jù)等式的性質(zhì)1：等式的兩邊同時(shí)加或減同一個(gè)式子，等式仍成立；等式的性質(zhì)2：等式的兩邊同時(shí)乘同一個(gè)式子，等式仍成立，進(jìn)而即可求解。
4．D
【解答】解：A、分母子中含有未知數(shù)，不是一元一次方程，故A選項(xiàng)不符合題意；
B、未知數(shù)的最高次項(xiàng)是2，故不是一元一次方程．故B選項(xiàng)不符合題意；
C、含有兩個(gè)未知數(shù)，故不是一元一次方程，故C選項(xiàng)不符合題意；
D、符合一元一次方程的定義，故D選項(xiàng)正確．
故選D．
【分析】根據(jù)一元一次方程的定義分別判斷即可得解．
5．B
【解答】解：∵單項(xiàng)式 的字母指數(shù)的和=m+2+1=9，
∴m=6．
故選B．
【分析】單項(xiàng)式的次數(shù)是單項(xiàng)式中所有字母的指數(shù)和，抓住已知此單項(xiàng)式的次數(shù)=8，建立方程，求解即可。
6．A
【解答】解：解方程 x－m＋2＝0，得x=m-2，
方程x－m＋2＝0的解是負(fù)數(shù)，
m-2<0，
m<2，
m的取值范圍是m<2.
故答案為：A.
【分析】先解方程 x－m＋2＝0得x=m-2，再根據(jù)方程x－m＋2＝0的解是負(fù)數(shù)，得出關(guān)于m的不等式，解不等式即可得到m的取值范圍.
7．C
8．D
【解答】解：根據(jù)題意得等量關(guān)系：人數(shù)×7=銀子總數(shù)－4；人數(shù)×9=銀子總數(shù)+8.
A、根據(jù)上面兩個(gè)等量關(guān)系，可得：人數(shù)×7+4=銀子總數(shù)=人數(shù)×9－8，于是可得方程：7y+4=9y－8.故A選項(xiàng)正確，不符合題意；
B、根據(jù)上面兩個(gè)等量關(guān)系，可得：人數(shù)=(銀子總數(shù)－4)÷7=（銀子總數(shù)+8）÷9，于是可得方程：.故B選項(xiàng)正確，不符合題意；
CD、根據(jù)上面兩個(gè)等量關(guān)系列二元一次方程，可得，故C選項(xiàng)正確，不符合題意；故D選項(xiàng)錯(cuò)誤，符合題意；
故答案為：D
【分析】根據(jù)題意得等量關(guān)系：人數(shù)×7=銀子總數(shù)－4；人數(shù)×9=銀子總數(shù)+8.據(jù)此列方程（組），即可對(duì)選項(xiàng)進(jìn)行判斷.
9．B
【解答】∵關(guān)于x的方程 的解是 ，
∴關(guān)于y的方程 的解是 ，
解得： y=9 ，
故答案為：B．
【分析】觀察兩個(gè)方程的特征，可得求出，據(jù)此解答即可.
10．D
【解答】解：程兩邊同時(shí)乘以12，得
，
即，
故答案為：D．
【分析】方程兩邊同時(shí)乘以12即可得到答案。
11．4
12．2
【解答】解：∵含x的式子 與x﹣3互為相反數(shù)，
∴ +x﹣3＝0，
∴x＝2，
故答案為：2．
【分析】先根據(jù)題意列出方程 +x﹣3＝0，再利用一元一次方程的解法求解即可。
13．2
【解答】解：根據(jù)題中的新定義化簡(jiǎn)x&（x﹣6）=0，得：2x+x﹣6=0，
解得：x=2，
故答案為：2
【分析】利用題中的新定義化簡(jiǎn)所求方程，求出方程的解即可得到x的值．
14．25
15．3
【解答】解：由題意把x=1代入原方程可得：
a+b-3=0，
∴a+b=3.
故答案為：3.
【分析】由題意把x=1代入原方程整理可求解.
16．x=、或2
【解答】解：∵表示不大于a的最大整數(shù)，
∴a-1＜≤a，
∴ 2x＜≤2x+1，
∵，
∴2x＜3x-1≤2x+1，
解得：1＜x≤2，
∴3＜3x≤6，
∵3x-1為整數(shù)，
∴3x為整數(shù)，
∴3x可為4，5，6，
∴3x=4、5或6，
解得：x=、或2；
故答案為：x=、或2；
【分析】 由表示不大于a的最大整數(shù)，可得a-1＜≤a，從而得出2x＜≤2x+1，由 可得2x＜3x-1≤2x+1，解得1＜x≤2，即得3＜3x≤6，由3x-1為整數(shù)則3x為整數(shù)，則3x可為4，5，6，據(jù)此求出x值.
17．（1）解：
去括號(hào)得，
移項(xiàng)得，
合并得，
系數(shù)化為1得，；
（2）解：
去分母得，
去括號(hào)得，
移項(xiàng)得，
合并得，
系數(shù)化為1，得.
【分析】（1）先去括號(hào)（括號(hào)前是負(fù)號(hào)，去掉括號(hào)和負(fù)號(hào)，括號(hào)里的每一項(xiàng)都要變號(hào)，括號(hào)前的數(shù)要與括號(hào)里的每一項(xiàng)都要相乘），然后移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)，最后把未知數(shù)的系數(shù)化為1；
（2）先去分母（兩邊同時(shí)乘以6，右邊的-1也要乘以6，不能漏乘），再去括號(hào)（括號(hào)前是負(fù)號(hào)，去掉括號(hào)和負(fù)號(hào)，括號(hào)里的每一項(xiàng)都要變號(hào)，括號(hào)前的數(shù)要與括號(hào)里的每一項(xiàng)都要相乘），然后移項(xiàng)合并同類項(xiàng)，最后把未知數(shù)的系數(shù)化為1.
18．解：解方程 得到 ，
解方程 得到
∵方程 和方程 的解相同
∴
解得：
把 的值代入得：
∴原方程的解是： .
【分析】先根據(jù)解一元一次方程的步驟解得兩個(gè)方程含 的解，再根據(jù)解相同，列出關(guān)于 的一元一次方程，解方程即可得到 的值，最后把 的值代入求原方程的解即可.
19．（1）解：列方程得：x- x=6
整理得：
給等式兩邊都乘以得：x=9
（2）解：列方程得：2y+3=y-7，
給方程兩邊都減去（）得：
所以
【分析】（1）先根據(jù)等量關(guān)系列出方程，此時(shí)未知數(shù)都在左邊，先合并同類項(xiàng)，再利用等式的性質(zhì)2把系數(shù)化為1即可；
（2）先根據(jù)等量關(guān)系列出方程，此時(shí)方程兩邊都有未知數(shù)和常數(shù)，先利用等式的性質(zhì)1分別把未知數(shù)和常數(shù)移到等號(hào)兩邊，再合并同類項(xiàng)，最后利用等式的性質(zhì)2把系數(shù)化為1即可 .
20．解：設(shè)甲的速度為x千米 小時(shí)，依題意得：
，
，
，
答：甲的速度為4千米 小時(shí)．
【分析】設(shè)甲的速度為x千米 / 小時(shí)，根據(jù)“甲的路程 乙的路程 ”列出方程求解可得．
21．解：方程的兩邊都減x，得：3x﹣4x﹣x=0，合并同類項(xiàng)，得：﹣2x=0，方程的兩邊都除以﹣2，得：x=0．
【解答】方程的兩邊都減x，方程的兩邊都除以﹣2，即可解方程.
【分析】根據(jù)等式的性質(zhì)1，等式的性質(zhì)2，可得方程的解．
22．解：由可知
若x+3＞0，則有x+3=6，
解得x=3，=3
若x+3＜0，則有-3-x=6，
解得x=-9，=9
由可知
若y-4＞0，則有y-4=2，
解得y=6，=6
若y-4＜0，則有4-y=2，
解得y=2，=2
∵
∴當(dāng)=3時(shí)，=2滿足條件
則
當(dāng)=9時(shí)，=6滿足條件
則
當(dāng)=9時(shí)，=2滿足條件
則
綜上所述的值為1，11，15
【分析】根據(jù)絕對(duì)值的性質(zhì)先分類求出x、y的值，結(jié)合 ，對(duì)x、y的取值進(jìn)行分類討論，再代值計(jì)算即可.
23．（1）解：∵（a+2）2與|b-6|互為相反數(shù)
∴（a+2）2+|b-6|＝0，
∴a+20且b-6=0，
解之：a＝-2，b＝6．
設(shè)P點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)為x，
根據(jù)數(shù)軸得：x+2＝6-x，
解得：x＝2，
則P對(duì)應(yīng)的數(shù)為：2；
（2）解：存在．根據(jù)題意得：|x+2|+|6-x|＝10，
當(dāng)x＜-2時(shí)，化簡(jiǎn)得：-x-2+6-x＝10，即x＝-3；
當(dāng)-2＜x＜6時(shí)，x+2+6-x=10，
8=10，
∵8≠10，此種情況不符合題意；
當(dāng)x＞6時(shí)，化簡(jiǎn)得：x+2+x-6＝10，即x＝7；
∴軸上是否存在點(diǎn)P，使點(diǎn)P到點(diǎn)A和點(diǎn)B的距離之和為10，此時(shí)x的值為-3或7.
（3）解：設(shè)第t分鐘時(shí)，點(diǎn)P到點(diǎn)A、點(diǎn)B的距離相等．
∵A：-2-5t，B：6-20t，P：-t，
∴PA＝|（-2-5t）-（-t）|＝|-4t-2|．
PB＝|（6-20t）-（-t）|＝|6-19t|．
∵PA＝PB，
∴|-4t-2|＝|6-19t|．
∴-4t-2＝6-19t，
解得：t＝
-4t-2＝-（6-19t），
解得：t＝．
∴在分鐘或分鐘時(shí)，點(diǎn)P到點(diǎn)A、B的距離相等．
【分析】（1）利用互為相反數(shù)的兩數(shù)之和為0，可得到關(guān)于a，b的方程，再利用偶次方的非負(fù)性和絕對(duì)值的非負(fù)性，可求出a，b的值；設(shè)P點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)為x，用含x的代數(shù)式表示出PA，PB的長(zhǎng)，根據(jù)PA=PB，可得到關(guān)于x的方程，解方程求出x的值.
（2）利用點(diǎn)P到點(diǎn)A和點(diǎn)B的距離之和為10，可得到關(guān)于x的絕對(duì)值方程，再分情況討論：當(dāng)x＜-2時(shí)；當(dāng)x＞6時(shí)；當(dāng)-2＜x＜6時(shí)；分別可得到關(guān)于x的方程，解方程求出符合題意的x的值.
（3）第t分鐘時(shí)，點(diǎn)P到點(diǎn)A、點(diǎn)B的距離相等，分別用含t的代數(shù)式表示出點(diǎn)A、B、P，即可表示出PA，PB，根據(jù)PA=PB，可得到關(guān)于t的方程，解方程求出t的值即可.
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