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2025-2026學(xué)年七年級上冊數(shù)學(xué)單元考點培優(yōu)滬科版（2024）
第3章 一次方程與方程組 3.4 二元一次方程組及其解法
學(xué)校:___________姓名：___________班級：___________考號：___________
一、單選題
1．在① +y=1；②3x-2y=1；③5xy=1；④ +y=1四個式子中，不是二元一次方程的有（　　）
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
2．下列各方程組中，是二元一次方程組的是（　　）
A． B． C． D．
3．某公司上半年生產(chǎn)甲、乙兩種型號的無人機(jī)若干架，已知甲種型號無人機(jī)架數(shù)比總架數(shù)的一半多 11 架，乙種型號無人機(jī)架數(shù)比總架數(shù)的三分之一少 2 架．設(shè)甲種型號無人機(jī)x 架，乙種型號無人機(jī)y 架，根據(jù)題意可列出的方程 組是（ ）
A． B．
C． D．
4．學(xué)校的籃球數(shù)比排球數(shù)的2倍少3個，籃球數(shù)與排球數(shù)的比是，求兩種球各有多少個？若設(shè)籃球有x個，排球有y個，根據(jù)題意得方程組（　　）
A． B． C． D．
5．如果方程組 的解也是方程 的解，那么 的值是（　　）
A．1 B． C．-1 D．
6．已知是關(guān)于，的二元一次方程的一個解，則的值是（　　）
A．5 B．2 C． D．
7．如圖，已知函數(shù)y＝x+1和y＝ax+3圖象交于點P，點P的橫坐標(biāo)為1，則關(guān)于x，y的方程組 的解是（　　）
A． B． C． D．
8．四名學(xué)生解二元一次方程組提出四種不同的解法，其中解法不正確的是（　　）
A．由①得x=，代入② B．由①得y=，代入②
C．由②得y=，代入① D．由②得x=3+2y，代入①
9．已知是二元一次方程組的解，則的平方根為（　　）
A．2 B． C． D．
10．若甲數(shù)的3倍比乙數(shù)大7，設(shè)甲數(shù)為x，乙數(shù)為y，列出的二元一次方程為（　　）
A．3x+y=7 B．3x﹣y=7 C．3y﹣x=7 D．3y+x=7
二、填空題
11．已知方程，用含x的代數(shù)式表示y，即　 　．
12．關(guān)于 x，y 的方程組的解為，則①a2＋ b2　 　②關(guān)于 x，y 的方程組的解為　 　.
13．《孫子算經(jīng)》中記載：“今有三人共車，二車空.二人共車，九人步.問人和車各幾何 ”其大意是：今有若干人乘車，若每3人同乘一輛車，則最終剩余2輛空車；若每2人同乘一輛車，則最終剩下9人因無車可乘而步行，問有多少人，多少輛車 設(shè)有x輛車，y個人，則由題意可列方程組為　 　.
14．我國古代數(shù)學(xué)名著《張丘建算經(jīng)》中有這樣一題：一只公雞值5錢，一只母雞值3錢，3只小雞值1錢，現(xiàn)花100錢買了100只雞．若公雞有8只，設(shè)母雞有x只，小雞有y只，可列方程組為　 　。
15．以為解的一個二元一次方程是　 　
16．已知點 C、D是線段AB上兩點（不與端點A、B重合），點A、B、C、D四點組成的所有線段的長度都是正整數(shù)，且總和為29，則線段AB的長度為　 　 .
三、計算題
17．解方程組：
四、解答題
18．已知關(guān)于x、y的二元一次方程組 的解是 ，求關(guān)于a、b的二元一次方程組 的解.
19．七（1）班的56名學(xué)生決定利用節(jié)假日去鎮(zhèn)江的五大景點當(dāng)“小志愿者”，其中去“西津渡”景點的有27人，去“金山公園”的人數(shù)為x人，去“焦山”、“北固山”的人數(shù)都是y人，去“南山”的有6人．
（1）請列出關(guān)于x、y的等量關(guān)系式：______；
（2）若去“金山公園”的人數(shù)第二多，去南山的人數(shù)最少，求去“金山公園”的人數(shù)．
20．若關(guān)于 的二元一次方程組 的解滿足 ，求出滿足條件的 的所有正整數(shù)數(shù)值．
21．已知關(guān)于 的二元一次方程組
（1） 用含 的代數(shù)式表示 ．
（2） 用含 的代數(shù)式表示方程組的解．
22．如圖，已知二次函數(shù)經(jīng)過A，B兩點，軸于點C，且點，，．
（1）求拋物線的解析式；
（2）點E是線段上一動點（不與A，B重合），過點E作x軸的垂線，交拋物線于點F，當(dāng)線段的長度最大時，求點E的坐標(biāo)．
（3）點P是拋物線對稱軸上的一個動點，是否存在這樣的P點，使成為直角三角形？若存在，求出所有點P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．
23． 把某個式子看成一個整體，用一個變量去代替它， 從而使問題得到簡化， 這叫整體代換或換元思想，請根據(jù)上面的思想解決下面的問題：
若關(guān)于 的方程組 的解是 求 關(guān)于 的方程 組 的解．
參考答案及試題解析
1．B
【解答】由二元一次方程的定義可得：①、③共2個不是二元一次方程.
故答案為：B.
【分析】含有兩個未知數(shù)，并且含有未知數(shù)的項的次數(shù)都是1的整式方程叫做二元一次方程，據(jù)此判斷即可.
2．A
【解答】解：A：滿足條件，符合題意；
B： 二元二次方程，不符合題意；
C： 是分式方程，不符合題意；
D：含有三個未知數(shù)，不符合題意．
故答案選：A．
【分析】二元一次方程：含有兩個未知數(shù)，并且所含未知數(shù)的項的次數(shù)都是1的方程；二元一次方程組：兩個二元一次方程結(jié)合在一起；根據(jù)定義判斷即可．
3．B
4．D
5．A
【解答】解：解方程組 ，
解得： ，
把 代入 ，
得： ，
解得： ，
故答案為：A.
【分析】首先求出方程組的解，然后代入x+3y=12中就可求得k的值.
6．C
【解答】∵是關(guān)于x，y的二元一次方程x-2y＝m的一個解，
∴1-2×3＝m，
∴m＝-5，
故答案為：C
【分析】將代入二元一次方程x-2y＝m即可求m的值．
7．A
【解答】解：把x＝1代入y＝x+1，得出y＝2，
函數(shù)y＝x+1和y＝ax+3的圖象交于點P（1，2），
即x＝1，y＝2同時滿足兩個一次函數(shù)的解析式.
所以關(guān)于x，y的方程組 的解是 .
故答案為：A.
【分析】將x＝1代入y＝x+1即可求出y的值，進(jìn)而得出.
8．C
【解答】解：A、正確，符合等式的性質(zhì)；
B、正確，符合等式的性質(zhì)；
C、錯誤，應(yīng)該是由②得y=，代入①；
D、正確，符合等式的性質(zhì)．
故選C．
【分析】此題中四位同學(xué)均利用了代入法求方程組的解，需對四個答案進(jìn)行逐一分析求解．
9．B
【解答】解：將代入，
可得：，
解得：，
∴2m-n=2×3-2=4，
∴4的平方根是±2，
故答案為：B.
【分析】先將代入，求出m、n的值，再求出的值，最后利用平方根的計算方法分析求解即可.
10．B
【解答】解：根據(jù)甲數(shù)的3倍比乙數(shù)大7，得方程3x﹣y=7．
故選B．
【分析】此題中的等量關(guān)系為：甲數(shù)的3倍比乙數(shù)大7．
11．
12．；；．
【解答】①將代入方程組得：，
(1)+(2)得：，
∴；
②方程組整理得：，
仿照已知方程組得：，
解得：，
故答案為：；．
【分析】①把方程組的解代入方程求出a2和b2的值，然后整體代入解題；
②運(yùn)用換元法解二元一次方程組即可．
13．
【解答】解：設(shè)有x輛車，y個人，
，
故答案為：.
【分析】設(shè)有x輛車，y個人，根據(jù)題干"若每3人同乘一輛車，則最終剩余2輛空車"，據(jù)此列出第一個方程，然后再根據(jù)題干"若每2人同乘一輛車，則最終剩下9人因無車可乘"，據(jù)此列出第二個方程將兩個方程聯(lián)立即可求解.
14．
【解答】解：∵花了100錢，
∴5×8+3x+y=100.
∵買了100只雞，
∴8+x+y=100，
∴方程組為.
故答案為：.
【分析】根據(jù)花了100錢可得5×8+3x+y=100；根據(jù)買了100只雞可得8+x+y=100，聯(lián)立即可得到方程組.
15．x+y=12
【解答】解：例如1×5+1×7=12；將數(shù)字換為未知數(shù)，得x+y=12．答案不唯一．
【分析】利用方程的解構(gòu)造一個等式，然后將數(shù)值換成未知數(shù)即可．
16．8或9
【解答】解：如圖，圖中共有線段6條，分別為AC、CD、DB，AD、BC、AB，
由題意得：AC+CD+DB+AD+BC+AB=29，
∵AC+CD+DB=AB，AD=AC+CD，BC=CD+DB，
∴3AB+CD=29，
又∵所有線段的長度都是正整數(shù)，AB>CD ，
∴AB=8，CD=5或AB=9，CD=2，
即AB的長度為8或9，
故答案為：8或9.
【分析】根據(jù)題意畫出圖形，可得圖中共有線段6條，分別是AC、CD、DB，AD、BC、AB，然后根據(jù)所有線段的和為29可得3AB+CD=29，再根據(jù)所有線段的長度都是正整數(shù)，AB>CD，利用二元一次方程的解進(jìn)行解答即可.
17．解：
由①+②，可得：
3x=6，
解得：x=2，
將x=2代入①，可得：
2+y=5，
解得：y=3，
∴方程組的解集為
【分析】利用加減消元法的計算方法及步驟分析求解即可.
18．解：∵關(guān)于x、y的二元一次方程組 的解是 ，
∴關(guān)于a.b的二元一次方程組 滿足 ，
解得 .
故關(guān)于a.b的二元一次方程組 的解是 .
【分析】由題意可得關(guān)于a、b的方程組滿足a+b=1，a-b=2，求出a、b的值即可.
19．（1）
（2）去“金山公園”的人數(shù)為9人
20．解：由
①+②得
由
滿足條件的 的所有正整數(shù)數(shù)值是
【分析】將m當(dāng)作常數(shù)，利用加減消元法求出x、y的值，再代入不等式求解即可。
21．（1）解：
用①＋②得3x+y=7，
∴y=-3x+7；
（2）解：
①×2+②得5x=m+9，
解得，
用②×2-①得5y=8-3m，
解得
所以方程組的解為 ．
【分析】（1）用①＋②消去m可得關(guān)于字母x、y的二元一次方程，然后將含x的項及常數(shù)項放到方程的一邊，未知數(shù)y的項放到方程的另一邊即可；
（2）用①×2+②消去y可求出x的值，再用②×2-①消去x求出y的值，從而即可得出方程組的解.
22．（1）解：∵點，，
∴，，
∵，
∴，
把和代入二次函數(shù)中得：
，
解得：，
∴二次函數(shù)的解析式為：；

（2）解：如圖1，∵直線經(jīng)過點和，
設(shè)直線的解析式為，
∴，
解得：，
∴直線的解析式為：，
∵二次函數(shù)，
∴設(shè)點，則，
∴，
∴當(dāng)時，的最大值為，
∴點E的坐標(biāo)為；
（3）解：存在，∵，
∴對稱軸為直線，
設(shè)，分三種情況：
①點B為直角頂點時，由勾股定理得：，
∴，
解得：，
∴；
②點A為直角頂點時，由勾股定理得：，
∴，
解得：，
∴；
③點P為直角頂點時，由勾股定理得：，
∴，
解得：或，
∴或；
綜上，點P的坐標(biāo)為或或或．
【分析】（1）先求得點B的坐標(biāo)，然后將點A和點B的坐標(biāo)代入拋物線的y=x2+bx+c可得到關(guān)于b、c的方程組，求解得b、c的值，從而即可得到拋物線的解析式；（2）先利用待定系數(shù)法求出直線AB的解析式，根據(jù)點的坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，設(shè)點E（t，t+1），則F（t，t2-2t-3），用兩點間的距離公式表示出EF，利用配方法可求得EF的最大值以及點E的坐標(biāo)；
（3）存在，設(shè)P（1，m），分三種情況：分別以A，B，P為直角頂點，根據(jù)勾股定理及兩點間的距離公式分別列方程，解方程即可.

23．解：，
由題意知
解得
原方程組的解為
【分析】對原方程組進(jìn)行變形可得根據(jù)關(guān)于 的方程組 的解是 可得 進(jìn)而解得方程組的解為
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